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传热学第3章非稳态导热
5、热量变化 Φ1－－板左侧导入的热流量 Φ2－－板右侧导出的热流量
（1）两个阶段的过程是有区别的；
（2）与热流方向向垂直的截面上热流量处处不等。
◆对于非稳态导热一般不能用热阻的方法来做问题的定量分析。
2020/5/3 - 5 -
第3章 非稳态导热——§3-1 非稳态导热的基本概念
6、非稳态导热问题的求解 (1) 温度分布和热流量分布随时间和空间的变化规律
t
tf
tf
h
h
0
x
t
tf
h
0
x
2020/5/3 - 7 -
第3章 非稳态导热——§3-1 非稳态导热的基本概念
(3) 第三类边界条件下Bi数对平板内温度分布的影响
Bi r h
rh
1h
无量纲数
无量纲数的简要介绍：
基本思想：当所研究的问题非常复杂，涉及到的参数很多，为了减少问题所涉
及的参数，于是人们将这样一些参数组合起来，使之能表征一类物理现象，或物 理过程的主要特征，并且没有量纲。
Bi r h
rh 1 h
当 Bi 时， 当 Bi 时0，
，r因此，r可h 以忽略对流换热热阻 ，r因 此，可rh以忽略导热热阻
0 Bi
2020/5/3 - 9 -
第3章 非稳态导热——§3-2 集中参数法
§3-2 零维问题的分析法——集中参数法
3.2.1 集中参数法温度场分布的解析解
]
J
s
2020/5/3 - 13 -
第3章 非稳态导热——§3-2 集中参数法
即与 1/
的量纲相同，当
Vc
hA
时，则
hA 1 Vc
此时，
e1 36.8% 0
（1）两个阶段的过程是有区别的；
（2）与热流方向向垂直的截面上热流量处处不等。
◆对于非稳态导热一般不能用热阻的方法来做问题的定量分析。
2020/5/3 - 5 -
第3章 非稳态导热——§3-1 非稳态导热的基本概念
6、非稳态导热问题的求解 (1) 温度分布和热流量分布随时间和空间的变化规律
t
tf
tf
h
h
0
x
t
tf
h
0
x
2020/5/3 - 7 -
第3章 非稳态导热——§3-1 非稳态导热的基本概念
(3) 第三类边界条件下Bi数对平板内温度分布的影响
Bi r h
rh
1h
无量纲数
无量纲数的简要介绍：
基本思想：当所研究的问题非常复杂，涉及到的参数很多，为了减少问题所涉
及的参数，于是人们将这样一些参数组合起来，使之能表征一类物理现象，或物 理过程的主要特征，并且没有量纲。
Bi r h
rh 1 h
当 Bi 时， 当 Bi 时0，
，r因此，r可h 以忽略对流换热热阻 ，r因 此，可rh以忽略导热热阻
0 Bi
2020/5/3 - 9 -
第3章 非稳态导热——§3-2 集中参数法
§3-2 零维问题的分析法——集中参数法
3.2.1 集中参数法温度场分布的解析解
]
J
s
2020/5/3 - 13 -
第3章 非稳态导热——§3-2 集中参数法
即与 1/
的量纲相同，当
Vc
hA
时，则
hA 1 Vc
此时，
e1 36.8% 0
非稳态传热_传热学.最全PPT
二类非稳态导热的区别：瞬态导热存在着有区别 的三个不同阶段，而周期性非稳态导热不存在。
t
四、边界条件对温度分布的影响 tf
一大平壁置于高温环境中。
h
tf h
问题的分析： 存在两个传热环节：
0
x
1、 流体与物体表面的对流换热
2、 物体内部的导热
r
rh 1 h
rh
r
tf
tw
tm
t
存在3种情况：
Biv
Fov
Biv
h(V
A)
Bi h
Fov (V
A)2
/
a
换热时间 热扰动扩散到(V A)2面积所用的时间
t t
hA
e vc eBivFov
0 t0 t
瞬态热流量：
hA
h A h A0 e vc
0~ 内传给流
体的总热量：
Q
0
d
0
hA
hA0e vc d
一、无限大平板的分析解
1、问题描述
λ=const a=const
h=const
因两边对称，只研究半块平壁
2、数学模型
t 2t
tx,0at0x2
导热微分方程
初始条件
t x
|x0
0
边界条件
t x
|x
ht
,
t
引入过余温度 t t
x,0ax202 t0 t
x
|x0
0
x
| x
h ,
3、求解（用分离变量法）
假设 x, x
a
2
x 2
x d
d
a
d 2
dx2
t
四、边界条件对温度分布的影响 tf
一大平壁置于高温环境中。
h
tf h
问题的分析： 存在两个传热环节：
0
x
1、 流体与物体表面的对流换热
2、 物体内部的导热
r
rh 1 h
rh
r
tf
tw
tm
t
存在3种情况：
Biv
Fov
Biv
h(V
A)
Bi h
Fov (V
A)2
/
a
换热时间 热扰动扩散到(V A)2面积所用的时间
t t
hA
e vc eBivFov
0 t0 t
瞬态热流量：
hA
h A h A0 e vc
0~ 内传给流
体的总热量：
Q
0
d
0
hA
hA0e vc d
一、无限大平板的分析解
1、问题描述
λ=const a=const
h=const
因两边对称，只研究半块平壁
2、数学模型
t 2t
tx,0at0x2
导热微分方程
初始条件
t x
|x0
0
边界条件
t x
|x
ht
,
t
引入过余温度 t t
x,0ax202 t0 t
x
|x0
0
x
| x
h ,
3、求解（用分离变量法）
假设 x, x
a
2
x 2
x d
d
a
d 2
dx2
最新[传热学]第三章-非稳态导热-1PPT课件
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0
x
远大于平板内的导热热阻 /, 即 1/h /
从曲线上看，物体内部的温度几乎是均匀的，这也就说物 体的温度场仅仅是时间的函数，而与空间坐标无关。我们 称这样的非稳态导热系统为集总参数系统（一个等温系统 或物体）。
曲线（a）表示平板外环境的换热热阻 1/ h
远大于平板内的导热热阻 / , 即
1/h /
下图表示一个大平板的加热过程，并画出在某一时刻的三 种不同边界情况的温度分布曲线（a）、（b）、（c）
(b) (c) t t∞
(a)
x
0
x
此图的实质，是表明在第三类边界条
(b) (c) t
件下可能的三种温度分布。
t∞
按照传热关系式 qttw twt (a)
1h
可作一近似的分析。
曲线（a）表示平板外环境的换热热阻1/ h x
这里， Fov 是傅立叶数。
考察指数项
hA cV
BViFoV
hl l
Bi
1h
＝ 物体内部导热热阻 物体表面对流换热热阻
无量纲 热阻
换 热 时 间
无量纲
F o l2a 边 界 热 扰 动 扩 散 到 l2 面 积 上 所 需 的 时 间 时间
Biv越小，表示内部热阻小或外部热阻大，则内部温度就
非稳态导热可分为
周期性非稳态导热 非周期性非稳态导热（瞬态导热）
周期性非稳态导热：在周期性变化边界条件下发生的导热过
程，物体温度按一定的周期发生变化。在周期性非稳态导热 的物体中，一方面，物体内各处的温度按一定的振幅随时间 周期性地波动；另一方面，同一时刻物体内的温度分布也是 周期性波动。
非周期性非稳态导热：在瞬间变化的边界条件下发生的导热
第三章 非稳态导热传热学
基本思想： 基本思想：当所研究的问题非常复杂， 当所研究的问题非常复杂，涉及到的参数很多， 涉及到的参数很多， 为了减少问题所涉及的参数， 为了减少问题所涉及的参数，于是人们将这样一些参数组合 起来， 起来，使之能表征一类物理现象， 使之能表征一类物理现象，或物理过程的主要特征， 或物理过程的主要特征， 并且没有量纲。 并且没有量纲。因此， 因此，这样的无量纲数又被称为特征数， 这样的无量纲数又被称为特征数，或 者准则数。 者准则数。
§3.1 非稳态导热的基本概念
二、非稳态导热的研究内容
1. 研究内容
温度分布和热流量分布随时间和空间的变化规律
t = f ( x, y , z ,τ ) ;
2. 数学模型
Φ = f(τ )
∂t ∂ ∂t ∂ ∂t ∂ ∂t ɺ ρ c = ( λ ) + ( λ ) + ( λ )+Φ ∂τ ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z 解的唯一性定律 初 始 条 件 边 界 条 件
τ4 τ3
τ2
t
1
τ1
t
0
τ0
第3章 非稳态热传导
§3.1 非稳态导热的基本概念
一、非稳态导热
6. 导热量的特点
Φ1
Φ2
由于物体各处本身温度的变化 要积聚或消耗热量， 要积聚或消耗热量，非稳态导热过 程中在与热流方向相垂直的不同截 面上热流量处处不等。 面上热流量处处不等。
第3章 非稳态热传导
Φ1－－板左侧导入的热流量 －－板左侧导入的热流量 Φ2－－板右侧导出的热流量 －－板右侧导出的热流量
2δ
t
tf，h x
q
rh
rh = 1 h
rλ = δ λ
§3.1 非稳态导热的基本概念
二、非稳态导热的研究内容
1. 研究内容
温度分布和热流量分布随时间和空间的变化规律
t = f ( x, y , z ,τ ) ;
2. 数学模型
Φ = f(τ )
∂t ∂ ∂t ∂ ∂t ∂ ∂t ɺ ρ c = ( λ ) + ( λ ) + ( λ )+Φ ∂τ ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z 解的唯一性定律 初 始 条 件 边 界 条 件
τ4 τ3
τ2
t
1
τ1
t
0
τ0
第3章 非稳态热传导
§3.1 非稳态导热的基本概念
一、非稳态导热
6. 导热量的特点
Φ1
Φ2
由于物体各处本身温度的变化 要积聚或消耗热量， 要积聚或消耗热量，非稳态导热过 程中在与热流方向相垂直的不同截 面上热流量处处不等。 面上热流量处处不等。
第3章 非稳态热传导
Φ1－－板左侧导入的热流量 －－板左侧导入的热流量 Φ2－－板右侧导出的热流量 －－板右侧导出的热流量
2δ
t
tf，h x
q
rh
rh = 1 h
rλ = δ λ
传热学第3章非稳态导热PPT课件
x x h Bi
2）毕渥数Bi对温度分布的影响
O( / Bi, 0)
2）毕渥数Bi对温度分布的影响
§3.2 集中参数法分析导热问题
当物体内部导热热阻远小于其表面的换热热阻， 也就是物体内部温度分布几乎趋于一致，可以近似 认为物体内部在同一瞬间均处于同一温度下。 此时 Bi h 0
对于任意形状的物体当Bi<0.1， 0.95 物体内部的过余温度与其表面的过m 余温度之比为 0.95。其内部热阻就可忽略，从而采用集中参数 法。
物体的温度随时间的变化关系是一条负 自然指数曲线，或者无因次温度的对数
0
与时间的关系是一条负斜率直线。
e
A cV
e
(V
A
)•(VaA
)2
e Bi •Fo
0
其中V/A具有长度的量纲，称为特征长度。
（2）导热量的计算
cV hA 称为系统的时间常数，记为s。
时间常数是反应物体对流体温度变动响应快慢的指标。它 取决于自身的热容量ρcv及表面换热条件hA。热容量越大， 温度变化得越慢；表面换热条件越好单位时间内传递的热 量越多，则越能使物体自身温度迅速接近流体温度。
突然把两侧介质温度降低 为 t并保持不变；壁表 面与介质之间的表面传热 系数为h。
两侧冷却情况相同、温度 分布对称。中心为原点。
3.3 无限大平壁非稳态导热
导热微分方程：
t 2t
a x2
初始条件： 0, t t 0
边界条件： (第三类)
x 0, t x 0
x
,
- t
x
h(t
t )
对于圆柱体和球体在第三类边界条件下的一维非
稳态导热问题，也可以求得温度分布的分析解。
传热学第三章 非稳态导热
Bi hl ≤0.1
时、物体中最大与最小的过余温度之差小于5%，对于一 般工程计算，此时已经足然特确地可以认为整个物体温度 均匀。按照这样要求，由于l=V/A对圆柱有球分别是半轻 的1/2与1/3、因而如果以l作为Bi数的特征长度，则该Bi数 对平板、国柱与球应该分别小于0.1、0.05和0. 033。
方程中指数的量纲：
hA
W m2K
m2
w1
Vc
kg m3
Jkg K
[
m3
]
J
s
第三章 非稳态导热
9
即与 1 的量纲相同，当 Vc 时，则
hA
hA
1 Vc
此时，
e1 36.8%
0
称
Vc
hA
为时间常数，用 c 表示。
第三章 非稳态导热
10
如果导热体的热容量（ Vc ）小、换热条件好（h大），
有一直径为 5cm 的钢球，初始温度为 450 ℃，将其突然置 于温度为 30 ℃空气中。设钢球表面与周围环境间的总换热 系数为 24w/（m2 . K），试计算钢球冷却到 300 ℃所需的 时间。已知钢球的 c=0.48kJ/(kg·K ) , ρ =7753kg/m3 , λ =33w/(m. K ).
Fo
l2
a
换热时间 边界热扰动扩散到l 2面积上所需的时间
无量纲 热阻
Fo越大，热扰动就能越深入地传播到物体 内部，因而，物体各点地温度就越接近周
围介质的温度。
无量纲 时间
第三章 非稳态导热
12
对于平板、圆柱、球的一维非稳态第三类边界条件条件下 的导热问题，当按特征长度
l= 、厚度为2 的平板，
l=R、圆柱 l=R.球 定义的Bi数满足
时、物体中最大与最小的过余温度之差小于5%，对于一 般工程计算，此时已经足然特确地可以认为整个物体温度 均匀。按照这样要求，由于l=V/A对圆柱有球分别是半轻 的1/2与1/3、因而如果以l作为Bi数的特征长度，则该Bi数 对平板、国柱与球应该分别小于0.1、0.05和0. 033。
方程中指数的量纲：
hA
W m2K
m2
w1
Vc
kg m3
Jkg K
[
m3
]
J
s
第三章 非稳态导热
9
即与 1 的量纲相同，当 Vc 时，则
hA
hA
1 Vc
此时，
e1 36.8%
0
称
Vc
hA
为时间常数，用 c 表示。
第三章 非稳态导热
10
如果导热体的热容量（ Vc ）小、换热条件好（h大），
有一直径为 5cm 的钢球，初始温度为 450 ℃，将其突然置 于温度为 30 ℃空气中。设钢球表面与周围环境间的总换热 系数为 24w/（m2 . K），试计算钢球冷却到 300 ℃所需的 时间。已知钢球的 c=0.48kJ/(kg·K ) , ρ =7753kg/m3 , λ =33w/(m. K ).
Fo
l2
a
换热时间 边界热扰动扩散到l 2面积上所需的时间
无量纲 热阻
Fo越大，热扰动就能越深入地传播到物体 内部，因而，物体各点地温度就越接近周
围介质的温度。
无量纲 时间
第三章 非稳态导热
12
对于平板、圆柱、球的一维非稳态第三类边界条件条件下 的导热问题，当按特征长度
l= 、厚度为2 的平板，
l=R、圆柱 l=R.球 定义的Bi数满足
非稳态导热传热学课件优秀课件
➢物体温度分布的变化分三阶段
第一阶段（不规则情况阶段）：过程开始的 一段时间，温度逐渐从边界面深入到内部，物 体内部各处温度随时间的变化率不一样，受初 始温度分布的影响很大。
第二阶段（正常情况阶段）：初始温度分布 影响消失，此时物体内各处温度随时间的变化 率具有一定的规律。
第三阶段（新的稳态阶段）：理论上需要经 过无限长的时间才能达到，事实上经过一段时 间，物体各处温度就可近似地认为已达到新的 稳态。
h 平壁与介质的初始温度均为：t0 突然把两侧介质温度降低为： t
➢ 无限大平壁加热
An infinite plane wall heated by convection
➢ 微分方程(differential equation)
t ax2t2,＞ 0， 0＜ x＜
初始条件 ＝ 0 ， tt0,0x
非稳态导热传热学课件
§1 非稳态导热的基本概念
(fundamental concepts)
➢ 非稳态温度场 Unsteady-state temperature field
t=f(x,y,z,)
➢分类(classification)
• 周期性的导热(periodic conduction) • 瞬态导热(transient conduction)
Biot number
: Bi V
hl c
V Characteri stic length : lc A
➢ 温度分布(Temperature distribution)
0 exp( Bi V Fo V )
where , characteri sticLength InfinitePl aneWall : l c
传热学基础(第二版)第四章教学课件非稳态导热
Lctptw
23/250291/4/16
0~τ范围内积分，得凝固层厚度的表达式
2 b L t w c ttp 0tw K
此式称为平方根定律，即凝固层厚度与凝固时 间的平方根成正比。式中
K2 b L t w c ttp 0tw
ms12
K 称为 凝固系数
24/250291/4/16
几种材质在不同冷却条件下的K值
由于砂型的导热系数较小，型壁较厚，所以平面 砂型壁可按半无限大平壁处理。本节得到的公式 应用于铸造工艺，可以计算砂型中特定地点在τ 时刻达到的温度和0~τ时间内传入砂型的累积热量。 瞬时热流密度qw和累计热量Q w都与蓄热系数成正 比，所以选择不同造型材料，即改变蓄热系数， 就成为控制凝固进程和铸件质量的重要手段。
物性的这种组合可表成: a c
cb W /m (2Cs1/2)
a b称为蓄热系数。它完全由材料的热物性构 成，它综合地反映了材料的蓄热能力，也是个热 物性。
15/250291/4/16
铸铁和铸型蓄热系数b的参考值。
热物性 材料
铸铁
导热系数 比热容 密度 热扩散率 蓄热系数
λ
c
ρ
a
b
46.5 753.6 7000 8.82×10－6 15600
5 /59 2021/4/16
积蓄（或放出）热 量随时间而变化是过 程的又一个特点。于 是在工程计算中，确 定瞬时热流密度和累 计热量也是非稳态导 热问题求解的任务。 在图中，累计热量由 指定时间τ与纵坐标 间曲线下的面积表示。
6/59 2021/4/16
4-2 第一类边界条件下的一维非稳态导热
式：
qw ' Lctptw
d d
与式
23/250291/4/16
0~τ范围内积分，得凝固层厚度的表达式
2 b L t w c ttp 0tw K
此式称为平方根定律，即凝固层厚度与凝固时 间的平方根成正比。式中
K2 b L t w c ttp 0tw
ms12
K 称为 凝固系数
24/250291/4/16
几种材质在不同冷却条件下的K值
由于砂型的导热系数较小，型壁较厚，所以平面 砂型壁可按半无限大平壁处理。本节得到的公式 应用于铸造工艺，可以计算砂型中特定地点在τ 时刻达到的温度和0~τ时间内传入砂型的累积热量。 瞬时热流密度qw和累计热量Q w都与蓄热系数成正 比，所以选择不同造型材料，即改变蓄热系数， 就成为控制凝固进程和铸件质量的重要手段。
物性的这种组合可表成: a c
cb W /m (2Cs1/2)
a b称为蓄热系数。它完全由材料的热物性构 成，它综合地反映了材料的蓄热能力，也是个热 物性。
15/250291/4/16
铸铁和铸型蓄热系数b的参考值。
热物性 材料
铸铁
导热系数 比热容 密度 热扩散率 蓄热系数
λ
c
ρ
a
b
46.5 753.6 7000 8.82×10－6 15600
5 /59 2021/4/16
积蓄（或放出）热 量随时间而变化是过 程的又一个特点。于 是在工程计算中，确 定瞬时热流密度和累 计热量也是非稳态导 热问题求解的任务。 在图中，累计热量由 指定时间τ与纵坐标 间曲线下的面积表示。
6/59 2021/4/16
4-2 第一类边界条件下的一维非稳态导热
式：
qw ' Lctptw
d d
与式
传热学课件第四章非稳态导热
exp
hA
cV
hA
cV
h V
A
c
V
A2
hl
c
l2
hl
a
l2
BiV
FoV
0
e BiV FoV
exp
BiV FoV
下角标V表示以 l=V/A为特征长度
在0~ 时间内物体和周围环境之间交换的热量
升高到t1并保持不变，而右侧仍与温度为t0的 空气接触。这时紧挨高温表面那部分的温度
很快上升，而其余部分则仍保持初始温度t0， 如图中曲线HBD所示。随着时间的推移，经τ 1, τ 2，τ 3…平壁从左到右各部分的温度也依次 升高，从某一时刻开始平壁右侧表面温度逐
渐升高，图中曲线HCD、HE、HF示意性地表示
• 二、Bi数对导热体温度分布的影响
•
Bi hL L / 的大小对非稳态导热过程中导
热体内的 温1度/ h 分布有重要的影响。
• 厚为2δ的平壁突然置于流体中冷却时 ，Bi数 不同壁中温度场的变化会出现三种情形 。
思考题: 试说明毕渥数的物理意义。 毕渥数趋于
零和毕渥数趋于无穷各代表什么样的换热条件？ 有人认为，毕渥数趋于零代表了绝热工况，你 是否赞同这一观点，为什么？
圆
球 Bi hR
Fo
a 2
BiV
h
FoV
a 2
Fo
a
R2
BiV
h(R / 2)
FoV
传热学基础(第二版)第四章教学课件非稳态导热分解
以从傅立叶定律只能解得表面的瞬时热流密度 qw。先对式 t t w (t0 t w )erf ( N ) 求导得
t0 t w t x2 exp( ) x 4a a
代入傅立叶定律表达式，得
t qw x
13/59
x 0
不难看出，qw随着时间 τ 的增加而递减。
14/59
4.蓄热系数
在上式中，材质不同的影响体现在 / a 上。 物性的这种组合可表成: a c
c b W /(m 2 C s1 / 2 ) a
b 称为蓄热系数。它完全由材料的热物性构 成，它综合地反映了材料的蓄热能力，也是个热 物性。
15/59
铸铁和铸型蓄热系数b的参考值。
高斯误差函数的性质: 当N=2.0时 (tw–t)/（tw–t0)≈1 即 t≈t0。 换句话说，可以认为，由 N=2确定的x点处温度尚未 发生变化。
11/59
*某点未受表面温度变化波及的时间（惰性时 间）τ 的确定
从 N x /(2 a ) 2.0 的关系可得
x2 x2 0.0625 16a a s
根据上式：选定 x ，可得到 x 点未受表面 温度变化波及的时间 τ 。这段时间 τ 称 为x点的惰性时间。 上式表明：惰性时间与表面温度tw无关，它 与深度x的平方成正比而与热扩散率a成反 比。热扩散率越小，惰性时间越大。
12/59
2.表面的瞬时热流密度
由于物体表面上的温度梯度依时间τ 而变化，所
1 (t w t0 ) a
W / m2
3.累计热量Qw
如果在0~ τ 一段时间内，tw保持不变，将qw在 0~ τ 范围内积分即得整段时间内消耗于加热每 平方米半无限大物体的热量Q w 1 d Qw qw d (t w t0 ) 0 a 0 2 2 (t w t0 ) J /m a 可以看出， Q w与时间τ 的平方根成正比，即 随时间增加而递增，但增加的势头逐渐减小。 这与温度梯度的变化相对应。
大学生精品课件：10.1导热-稳态与非稳态导热
导热微分方程式建立了导热过程中物体的温度随 时间和空间变化的函数关系:
t t t t c x x y y z z
直角坐标导热微分方程式的简化
式中2是拉普拉斯算子, 在直角坐标系中
a c
木材a =1.5×10-7 紫铜a = 5.33×10-5
称为热扩散率, 也称导温系数, 单位为m2/s。 其大小反映物体被瞬态加热或冷却时温度变化的快慢。
柱坐标导热微分方程式
• 柱坐标系常物性、含 内热源的三维非稳态 导热微分方程式：
t 1 t 1 t t c r 2 r r r r z z 如果为常数： 2 2 2 t t 1 t 1 t t a 2 2 2 2 r r r z c r
d t 0 2 dx
2
d dt (r ) 0 dr dr
t t a 2 x
2
t 1 t a ( ) r r r
• 常物性、有热源的零维非稳态导热微分方程式：
t c
导热微分方程式的边界条件
导热问题常见的边界条件分为三类： 1）第一类边界条件规定了边界上的温度场（如：边 界上的温度为零）； t f , x, y, z 2）第二类边界条件规定了边界上的热流场（如：边 界上的热流密度为零）；
q t n n
q gradt
• 负号表示温度梯度的方向与热流密度的方向 相反，保证导热系数取正值。
傅里叶定律
• 傅里叶定律：导热热流密度的大小与温度 梯度的绝对值成正比，其方向与温度梯度 的方向相反。
t A x
t t t t c x x y y z z
直角坐标导热微分方程式的简化
式中2是拉普拉斯算子, 在直角坐标系中
a c
木材a =1.5×10-7 紫铜a = 5.33×10-5
称为热扩散率, 也称导温系数, 单位为m2/s。 其大小反映物体被瞬态加热或冷却时温度变化的快慢。
柱坐标导热微分方程式
• 柱坐标系常物性、含 内热源的三维非稳态 导热微分方程式：
t 1 t 1 t t c r 2 r r r r z z 如果为常数： 2 2 2 t t 1 t 1 t t a 2 2 2 2 r r r z c r
d t 0 2 dx
2
d dt (r ) 0 dr dr
t t a 2 x
2
t 1 t a ( ) r r r
• 常物性、有热源的零维非稳态导热微分方程式：
t c
导热微分方程式的边界条件
导热问题常见的边界条件分为三类： 1）第一类边界条件规定了边界上的温度场（如：边 界上的温度为零）； t f , x, y, z 2）第二类边界条件规定了边界上的热流场（如：边 界上的热流密度为零）；
q t n n
q gradt
• 负号表示温度梯度的方向与热流密度的方向 相反，保证导热系数取正值。
傅里叶定律
• 傅里叶定律：导热热流密度的大小与温度 梯度的绝对值成正比，其方向与温度梯度 的方向相反。
t A x
传热学课件-第3章-非稳态导热分析解法精选全文
是与物体几何形状 有关的无量纲常数
对厚为2δ的 无限大平板
M 1
对半径为R的无 限长圆柱
M
1 2
对半径为R的 球
M 1 3
V A
AA
V R2 R
A 2R 2
V A
4 R3
3
4R 2
R 3
Biv Bi
Biv
Bi 2
Biv
Bi 3
对于一个复杂形体的形状修正系数时，可以将
修正系数M取为1/3，即 BiV 0.0333
由此可见，上述两个热阻的 相对大小对于物体中非稳态导热 的温度场的变化具有重要影响。 为此，我们引入表征这两个热阻 比值的无量纲数毕渥数。
Bi h 1h
1）毕渥数的定义：
Bi h 1h
毕渥数属特征数（准则数）。
2）Bi 物理意义： 固体内部单位导热面积上的导 热热阻与单位表面积上的换热热阻之比。Bi的大小
0
1
τ/τs
工程上认为= 4τc时导热体已达到热平衡状态
3 Bi F物o 理意义
hl l
Bi ＝
物体内部导热热阻
1 h 物体表面对流换热热阻
换热时间
Fo l2 a 边界热扰动扩散到l2面积上所需的时间
无量纲 热阻
无量纲 时间
Fo越大，热扰动就能越深入地传播到物体内部物体， 各点地温度就越接近周围介质的温度。
t(x, ) t — 过余温度
2
a
x2
0, t -t
0
0
x 0, 0
x , - x h x
采用分离变量法求解：
(, 0
)
n 1
Cn
exp(n2Fo) cos(n)
传热学课件-第三章非稳态热传导共66页文档
e cV eBivFov
0
物体中的温度 呈指数分布
方程中指数的量纲：
hA
mW2Km2
w1
cV
kg m3
JKkg[m3]
J
s
即与 1 的量纲相同，当
时hVAc，则
hA 1
Vc
此时， e1 36.8% 0
上式表明：当传热时间等于 Vc时，物体的过余温度已经达
到了初始过余温度的36.8％。hA称 为Vc 时间常数，用 表示 。c
非周期性非稳态导热：物体的温度随时间的推移逐渐趋 近于恒定的值
非周期性非稳态导热实例(汽轮机外壳)
冷态启动前：tf1=tw1=tw2=tf2
进汽后 tf1
内壁 q1=h1(tf1-tw1) 到某一时刻 h1A1(tf1-tw1)=h2A2(tw2-tf2) 以后为稳态导热
3 温度分布：
问题描述：
3 、了解内容：
①无限大物体非稳态导热的基本特点。 ②二维非稳态导热问题。
§3-1 非稳态导热的基本概念
一、非稳态导热的特点及类型
1 非稳态导热的定义
物体的温度随时间而变化的导热过程称非稳态导热。
2 非稳态导热的分类
周期性非稳态导热：物体的温度随时间而作周期性的变化
例如太阳辐射的周期性变化引起的房屋的墙壁温度随时间的变化。
这 时 ， 由 于 导 热 热 阻 δ/λ几乎可以 忽略，因而任一时刻平板中各点的 温度接近均匀，并随着时间的推移， 整体地下降，逐渐趋近于t∞ 。
（3） δ/λ与 1/h 的数值比较接近
这时，平板中不同时刻的温度分布介于上述两种极 端情况之间。
由此可见，上述两个热阻 的相对大小对于物体中非稳态 导热的温度场的变化具有重要 影响。为此，我们引入表征这 两个热阻比值的无量纲数毕渥 数： Bi h
0
物体中的温度 呈指数分布
方程中指数的量纲：
hA
mW2Km2
w1
cV
kg m3
JKkg[m3]
J
s
即与 1 的量纲相同，当
时hVAc，则
hA 1
Vc
此时， e1 36.8% 0
上式表明：当传热时间等于 Vc时，物体的过余温度已经达
到了初始过余温度的36.8％。hA称 为Vc 时间常数，用 表示 。c
非周期性非稳态导热：物体的温度随时间的推移逐渐趋 近于恒定的值
非周期性非稳态导热实例(汽轮机外壳)
冷态启动前：tf1=tw1=tw2=tf2
进汽后 tf1
内壁 q1=h1(tf1-tw1) 到某一时刻 h1A1(tf1-tw1)=h2A2(tw2-tf2) 以后为稳态导热
3 温度分布：
问题描述：
3 、了解内容：
①无限大物体非稳态导热的基本特点。 ②二维非稳态导热问题。
§3-1 非稳态导热的基本概念
一、非稳态导热的特点及类型
1 非稳态导热的定义
物体的温度随时间而变化的导热过程称非稳态导热。
2 非稳态导热的分类
周期性非稳态导热：物体的温度随时间而作周期性的变化
例如太阳辐射的周期性变化引起的房屋的墙壁温度随时间的变化。
这 时 ， 由 于 导 热 热 阻 δ/λ几乎可以 忽略，因而任一时刻平板中各点的 温度接近均匀，并随着时间的推移， 整体地下降，逐渐趋近于t∞ 。
（3） δ/λ与 1/h 的数值比较接近
这时，平板中不同时刻的温度分布介于上述两种极 端情况之间。
由此可见，上述两个热阻 的相对大小对于物体中非稳态 导热的温度场的变化具有重要 影响。为此，我们引入表征这 两个热阻比值的无量纲数毕渥 数： Bi h
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R 2
Sphere : lc
R 3
➢ 特征尺寸和引用尺寸
Bi 0.1 BiV 0.1M
大平壁
特征尺寸 引用尺寸
lc=V/A
le
M=lc/le 1
长圆柱体 R/2
R
1/2
长正方柱体 a/4
a/2
1/2
球体
R/3
R
1/3
正立方体 a/6
a/2
cV d hA d
根据初始条件： = 0 = t0-t
0
exp(
hA
cV
)
hA
cV
＝
h V A
c
a
V A
2
hlc alc2 BiV FoV
BiV
FoV
where
a
Fourier number : FoV lc2 A dimensionless time
Biot number : BiV
三、一维瞬态非稳态导热
One-dimensional transient conduction
A plane wall heated or cooled by convection Known 无限大平壁厚度(thickness)：2 热导率(thermal conductivity)：s 导温系数(thermal diffusivity)：a 表面传热系数(convection heat transfer coefficient)：
▪ 当Bi0时，意味着R0， |x== |x=0 。定向点距壁面无限远。
▪ 工程中，当Bi<0.1时，近似认为物 体内部温度场均匀。
➢ Bi0时无限大平壁加热
A infinite plane wall heated by convection
Temperature distribution
➢ 数学描述(Mathematical description)
优选非稳态导热传热学课件
一、周期性的非稳态导热
Periodic unsteady-state conduction
1. 物体内各处的温度按一定的振幅随 时间周期的波动。
2. 同一时刻物体的温度分布也是周期 性波动。
➢ 热工计算的目的：找出温度分布和 热流密度随时间和空间的变化规律。
二、瞬态导热过程
➢物体温度分布的变化分三阶段
第一阶段（不规则情况阶段）：过程开始的 一段时间，温度逐渐从边界面深入到内部，物 体内部各处温度随时间的变化率不一样，受初 始温度分布的影响很大。
第二阶段（正常情况阶段）：初始温度分布 影响消失，此时物体内各处温度随时间的变化 率具有一定的规律。
第三阶段（新的稳态阶段）：理论上需要经 过无限长的时间才能达到，事实上经过一段时 间，物体各处温度就可近似地认为已达到新的 稳态。
h
x x
x
x
x
x
x
h
Bi
➢ 第三类边界条件的定向点O’
定义：任何时刻壁面温度分布的切线都通过 坐标为(/h+, t)或(-/h-, t)的点O’,该点为 定向点。
➢ 讨论(Discussion)
▪ 当Bi时，意味着h， |x==0。 定向点位于壁面上，第三类边界条 件实际上等于第一类边界条件。
h 平壁与介质的初始温度均为：t0 突然把两侧介质温度降低为： t
➢ 无限大平壁加热
An infinite plane wall heated by convection
➢ 微分方程(differential equation)
t
a
2t x2
,＞0，0＜x＜
初始条件 ＝0，t t0 ,0 x
如图3-1（c ）
• 室内空气与内墙对流换热热流密度q1 开始高，逐渐减小至稳定。
• 室外空气与内墙对流换热热流密度q2 逐渐升高至稳定。
• 物体得到的热量
qA plane wall symmetrically heated by convection
➢ A plane wall symmetrically cooled by convection
(initial condition )
边界条件 x 0, t 0(对称性）
(boundary condition)
x x0
x , t x
x
ht x
t
§2 集总参数法
(Lumped capacitance method)
定义(Definition)：如果大平壁热导率很 大，表面传热系数较小，且平壁的半厚 度不大，平壁内部导热热阻与表面传热 热阻相比可以忽略。则此时平壁内各点 温度相差不大，物体温度可用其任意一 点的温度表示，而将该物体的质量和热 容量等视为集中在这一点，这种方法称 为集总参数法。
hlc
V Characteristic length : lc A
➢ 温度分布(Temperature distribution)
0 exp(BiV FoV )
where, characteristicLength
InfinitePlaneWall : lc
InfiniteCylinder : lc
Differential equation
•
dt ,＞0 d c
Heat rate
hA(t t)
Volumetric generation rate
•
hA(t
t)
V
V
说明：物体被加热，内热源强度为正值；物 体被冷却，内热源强度为负值
将内热源强度代入微分方程，得
cV
dt
d
hA(t
t)
引入过余温度 = t-t
导热热阻不可忽略
忽略导热热阻
➢毕渥准则(Biot number)
▪ 定义
Bi hle le / 1 Rs 0.1
s s h Rh
式中，le为引用尺寸。 • 无限大平壁： le=(壁厚的一半) • 无限长圆柱体： le=d/2=R • 球： le=d/2=R
➢毕渥准则(续)
▪ 物理意义：Bi准则表示物体内部导 热热阻与物体表面对流热阻的比值。 所以它与第三类边界条件有密切的关 系。 ▪ 第三类边界条件
Transient conduction ➢ 以采暖房屋外墙为例
1. 供热前,墙内温度场是稳态的,如图3-1 （a）tf1’, tw1’, tw2’, tf2’
2. 供热开始后，
• 室内温度迅速上升tf1’ tf1” • 内墙温度tw1’ tw1” • 外墙温度tw2’ tw2”
• 室外温度tf2
3. 热流密度（heat flux）