1.2.1任意角的三角函数(1)
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P(a, b)
1wk.baidu.com
cos a
x
o
M
b tan a
同样的，我们可以利用单位圆来定 义任意角的三角函数。
任意角的三角函数定义
设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P( x, y )
那么:（1）y 叫做
的正弦，记作 sin ，即 sin y ； （2）x 叫做 的余弦，记作 cos ，即 cos x ； y y tan （3） 叫做 的正切，记作 ，即 tan ( x 0)
求角的sin ,cos , tan 的值.
解：由于x -15a, y 8a,
所以r
15a 8a 17 a a 0
2 2
1 若a 0则r 17a, 于是
8a 8 15a 15 8a 8 sin , cos , tan 17a 17 17a 17 15a 15
1 2 5
2 2
sin
2 2 5 1 5 2 , cos , tan 2 5 5 1 5 5
特殊角的三角函数值表
角
第一象限
00
三角函数
300
π/6
1 2
3 2 3 3
3
450
π/4
2 2 2 2
600
π/3
3 2 1 2
3
900
y
MP b sin OP r
OM a cos OP r
﹒Pa, b
MP b tan OM a
o
﹒
M
x
问2：对于确定的角 ，这三个比值的大小和 P 点在角 的终边上的位置是否有关呢？
y
P
P(a,b)
﹒
M
MP sin OP
OMP ∽ OM P
y （ - ）（ + ） o x （ - ）（ + ） cos
y （ -） （+ ） o x （ +） （ - ） tan
例.（教材第13页第3题）求证： （1）角θ 为第二或第三象限角当且仅当 sin tan 0 分析： 需证明两方面： ①若θ 为第二或第三象限角， 则 sin tan 0 ; ②若 sin tan 0 , 则θ 为第二或第三象限角.
tan y sin 4 x cos 3
任意角 的三角函数值仅与 有关，而与点 P 在角的 终边上的位置无关.
任意角的三角函数定义推广：
设角 是一个任意角， P( x, y) 是终边上的任意一点，
点 P 与原点的距离 r x 2 y 2 0 y y 那么① 叫做 的正弦，即 sin r r x x ② r 叫做 的余弦，即 cos r y y ③ x 叫做 的正弦，即 tan x 0 x 注：由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系， 三角函数可以看成是自变量为实数的函数.
高一年级集体备课
第一课时
主备人：罗瑜、唐强
复习回顾
1、在初中我们是如何定义锐角三角函数的？ P
c
a
sin
cos
tan
O
b
M
a c b c a b
新课
导入
2.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？
P
a
O y
b
M
x
问1：你能用点P的坐标来表示锐角三角函数吗？
其中 : OM a MP b OP r a 2 b 2
①当角θ 为第二象限角时， 证明： sin 0 ,tan 0 , 则 sin tan 0 ; 当角θ 为第三象限角时， sin 0 ,tan 0 , 则 sin tan 0 . sin tan 0 ; 故角θ 为第二或第三象限角时， ②若 sin tan 0 , 即 sin 0且 tan 0 ，或 sin 0且 tan 0 . θ 为第二象限角； 当sin 0且 tan 0 时， θ 为第三象限角. 当sin 0且 tan 0 时， 故 sin tan 0 时， θ 为第二或第三象限角.
角
第四象限
3000
三角函数
3150
7π/4
2 2 2 2
3300
11π/6
1 2
3 2 3 3
3
3600
2π
0
弧度 sin cos
5π/3
3 2 1 2
3
1
0
不存在
tan
cot
1 1
3 3
特殊角的三角函数值总表
特殊角的三角函数值表
正值
特殊角的三角函数值表
综上所述：原命题成立.
归纳
总结
1. 内容总结： ①三角函数的概念. ②三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号. ③诱导公式一. 2 .方法总结： 运用了定义法、公式法、数形结合法解题. 3 .体现的数学思想： 划归的思想，数形结合的思想.
作业：
课本第20页 习题1.2 A组 2题 第9题的（1）（3）题.
30°与60°正余弦值正负及互换
探
究
1.根据三角函数的定义，确定它们的定义域 （弧度制）
三角函数 定义域
cos tan
sin
R
k ( k Z ) 2
R
2.确定三角函数值在各象限的符号
y （+） + o x （ - ）（ - ）
sin
x
x
y
﹒ Px, y
O
A1,0 x
所以，正弦，余弦，正 切都是以角为自变量，以单 位圆上点的坐标或坐标的比 值为函数值的函数，我们将 他们称为三角函数.
求 5 的正弦、余弦和正切值. 3 5 ，易知 AOB 解：在直角坐标系中，作 AOB 例1
的终边与单位圆的交点坐标为
，
3
练1、已知角
的终边过点
P 12,5 ，
求
的三个三角函数值.
解：由已知可得：
r x y
2 2
12
2
52 13
y 5 于是，sin r 13 y 5 tan x 12
x 12 cos r 13
2、已知角的终边上一点P 15a,8a a R且a 0 ，
2 若a 0则r -17a, 于是
8a 8 15a 15 8a 8 sin , cos , tan 17a 17 17a 17 15a 15
3、已知角的终边在直线y 2 x上，求角的sin ,cos , tan 的值.
tan
cot
1 1
3 3
特殊角的三角函数值表
角
第三象限
2100
三角函数
2250
5π/4
2 2 2 2
2400
4π/3
3 2 1 2
3
2700
3π/2
1
0
不存在
弧度 sin cos
7π/6
1 2
3 2 3 3
3
tan
cot
1 1
3 3
0
特殊角的三角函数值表
π/2
1
0
不存在
弧度 sin cos
0
0
1
0
不存在
tan
cot
1 1
3 3
0
特殊角的三角函数值表
角
第二象限
1200
三角函数
1350
3π/4
2 2
2 2
1500
5π/6
1 2
3 2 3 3
3
1800
π
0
弧度 sin cos
2π/3
3 2 1 2
3
1
0
不存在
M P OP OM OP
O
M
x
OM cos OP
MP tan OM
M P OM
问3：你能选出适当的点使表达式简化吗？
将点P选在使 OP 1，即r 1的位置,则有： b sin b cos a tan a 单位圆的定义： 在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心， 以单位长度为半径的圆为单位圆。 y sin b
，
y
5 3 所以 sin 3 2
5 3
o
﹒
A
x
﹒B
5 tan 3 3 7 5 思考：若把角 改为 呢? 3 6 7 1 sin , 6 2 7 3 cos , 6 2
5 1 cos 3 2
1 3 ( , ) 2 2
7 3 tan 6 3
例2 已知角 的终边经过点 P0 (3,4)，求角 的正弦、余 弦和正切值 . 解:由已知可得 设角 的终边与单位圆交于 P( x, y ) ， M 0 P0 P0 作 x 轴的垂线 MP 分别过点 P 、 、
OP0 (3) 2 (4) 2 5
y
M0
M
Px, y
M 0 P0 4
OM 0 3
OM x MP y
O
x
OMP ∽ OM 0 P0
P0 3,4
于是， sin y y | MP | M 0 P0 4 ; 1 OP OP0 5 OM 0 x OM 3 cos x ; 1 OP OP0 5
解： 1当角的终边在第一象限时，
在角的终边上取点 1, 2 ，则r= 12 22 5
sin 2 2 5 1 5 2 , cos , tan 2 5 5 1 5 5
2 当角的终边在第三象限时，
在角的终边上取点 1, 2，则r
1wk.baidu.com
cos a
x
o
M
b tan a
同样的，我们可以利用单位圆来定 义任意角的三角函数。
任意角的三角函数定义
设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P( x, y )
那么:（1）y 叫做
的正弦，记作 sin ，即 sin y ； （2）x 叫做 的余弦，记作 cos ，即 cos x ； y y tan （3） 叫做 的正切，记作 ，即 tan ( x 0)
求角的sin ,cos , tan 的值.
解：由于x -15a, y 8a,
所以r
15a 8a 17 a a 0
2 2
1 若a 0则r 17a, 于是
8a 8 15a 15 8a 8 sin , cos , tan 17a 17 17a 17 15a 15
1 2 5
2 2
sin
2 2 5 1 5 2 , cos , tan 2 5 5 1 5 5
特殊角的三角函数值表
角
第一象限
00
三角函数
300
π/6
1 2
3 2 3 3
3
450
π/4
2 2 2 2
600
π/3
3 2 1 2
3
900
y
MP b sin OP r
OM a cos OP r
﹒Pa, b
MP b tan OM a
o
﹒
M
x
问2：对于确定的角 ，这三个比值的大小和 P 点在角 的终边上的位置是否有关呢？
y
P
P(a,b)
﹒
M
MP sin OP
OMP ∽ OM P
y （ - ）（ + ） o x （ - ）（ + ） cos
y （ -） （+ ） o x （ +） （ - ） tan
例.（教材第13页第3题）求证： （1）角θ 为第二或第三象限角当且仅当 sin tan 0 分析： 需证明两方面： ①若θ 为第二或第三象限角， 则 sin tan 0 ; ②若 sin tan 0 , 则θ 为第二或第三象限角.
tan y sin 4 x cos 3
任意角 的三角函数值仅与 有关，而与点 P 在角的 终边上的位置无关.
任意角的三角函数定义推广：
设角 是一个任意角， P( x, y) 是终边上的任意一点，
点 P 与原点的距离 r x 2 y 2 0 y y 那么① 叫做 的正弦，即 sin r r x x ② r 叫做 的余弦，即 cos r y y ③ x 叫做 的正弦，即 tan x 0 x 注：由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系， 三角函数可以看成是自变量为实数的函数.
高一年级集体备课
第一课时
主备人：罗瑜、唐强
复习回顾
1、在初中我们是如何定义锐角三角函数的？ P
c
a
sin
cos
tan
O
b
M
a c b c a b
新课
导入
2.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？
P
a
O y
b
M
x
问1：你能用点P的坐标来表示锐角三角函数吗？
其中 : OM a MP b OP r a 2 b 2
①当角θ 为第二象限角时， 证明： sin 0 ,tan 0 , 则 sin tan 0 ; 当角θ 为第三象限角时， sin 0 ,tan 0 , 则 sin tan 0 . sin tan 0 ; 故角θ 为第二或第三象限角时， ②若 sin tan 0 , 即 sin 0且 tan 0 ，或 sin 0且 tan 0 . θ 为第二象限角； 当sin 0且 tan 0 时， θ 为第三象限角. 当sin 0且 tan 0 时， 故 sin tan 0 时， θ 为第二或第三象限角.
角
第四象限
3000
三角函数
3150
7π/4
2 2 2 2
3300
11π/6
1 2
3 2 3 3
3
3600
2π
0
弧度 sin cos
5π/3
3 2 1 2
3
1
0
不存在
tan
cot
1 1
3 3
特殊角的三角函数值总表
特殊角的三角函数值表
正值
特殊角的三角函数值表
综上所述：原命题成立.
归纳
总结
1. 内容总结： ①三角函数的概念. ②三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号. ③诱导公式一. 2 .方法总结： 运用了定义法、公式法、数形结合法解题. 3 .体现的数学思想： 划归的思想，数形结合的思想.
作业：
课本第20页 习题1.2 A组 2题 第9题的（1）（3）题.
30°与60°正余弦值正负及互换
探
究
1.根据三角函数的定义，确定它们的定义域 （弧度制）
三角函数 定义域
cos tan
sin
R
k ( k Z ) 2
R
2.确定三角函数值在各象限的符号
y （+） + o x （ - ）（ - ）
sin
x
x
y
﹒ Px, y
O
A1,0 x
所以，正弦，余弦，正 切都是以角为自变量，以单 位圆上点的坐标或坐标的比 值为函数值的函数，我们将 他们称为三角函数.
求 5 的正弦、余弦和正切值. 3 5 ，易知 AOB 解：在直角坐标系中，作 AOB 例1
的终边与单位圆的交点坐标为
，
3
练1、已知角
的终边过点
P 12,5 ，
求
的三个三角函数值.
解：由已知可得：
r x y
2 2
12
2
52 13
y 5 于是，sin r 13 y 5 tan x 12
x 12 cos r 13
2、已知角的终边上一点P 15a,8a a R且a 0 ，
2 若a 0则r -17a, 于是
8a 8 15a 15 8a 8 sin , cos , tan 17a 17 17a 17 15a 15
3、已知角的终边在直线y 2 x上，求角的sin ,cos , tan 的值.
tan
cot
1 1
3 3
特殊角的三角函数值表
角
第三象限
2100
三角函数
2250
5π/4
2 2 2 2
2400
4π/3
3 2 1 2
3
2700
3π/2
1
0
不存在
弧度 sin cos
7π/6
1 2
3 2 3 3
3
tan
cot
1 1
3 3
0
特殊角的三角函数值表
π/2
1
0
不存在
弧度 sin cos
0
0
1
0
不存在
tan
cot
1 1
3 3
0
特殊角的三角函数值表
角
第二象限
1200
三角函数
1350
3π/4
2 2
2 2
1500
5π/6
1 2
3 2 3 3
3
1800
π
0
弧度 sin cos
2π/3
3 2 1 2
3
1
0
不存在
M P OP OM OP
O
M
x
OM cos OP
MP tan OM
M P OM
问3：你能选出适当的点使表达式简化吗？
将点P选在使 OP 1，即r 1的位置,则有： b sin b cos a tan a 单位圆的定义： 在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心， 以单位长度为半径的圆为单位圆。 y sin b
，
y
5 3 所以 sin 3 2
5 3
o
﹒
A
x
﹒B
5 tan 3 3 7 5 思考：若把角 改为 呢? 3 6 7 1 sin , 6 2 7 3 cos , 6 2
5 1 cos 3 2
1 3 ( , ) 2 2
7 3 tan 6 3
例2 已知角 的终边经过点 P0 (3,4)，求角 的正弦、余 弦和正切值 . 解:由已知可得 设角 的终边与单位圆交于 P( x, y ) ， M 0 P0 P0 作 x 轴的垂线 MP 分别过点 P 、 、
OP0 (3) 2 (4) 2 5
y
M0
M
Px, y
M 0 P0 4
OM 0 3
OM x MP y
O
x
OMP ∽ OM 0 P0
P0 3,4
于是， sin y y | MP | M 0 P0 4 ; 1 OP OP0 5 OM 0 x OM 3 cos x ; 1 OP OP0 5
解： 1当角的终边在第一象限时，
在角的终边上取点 1, 2 ，则r= 12 22 5
sin 2 2 5 1 5 2 , cos , tan 2 5 5 1 5 5
2 当角的终边在第三象限时，
在角的终边上取点 1, 2，则r