西工大附中2

2012年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中第二次适应性训练数 学（理科）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下列说法中，正确的是（ ）A ．命题“若22am bm <，则a b <”的逆命题是真命题B ．命题“x R ∃∈，02>-x x ”的否定是：“x R ∀∈，02≤-x x ”C ．命题“p 或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题D ．已知R x ∈，则“1x >”是“2x >”的充分不必要条件 2.点(),a b 在直线23x y +=上移动，则24a b +的最小值是（ ）A.8B. 6C.42D.323. 已知点)0,4(1-F 和)0,4(2F ，曲线上的动点P 到1F 、2F 的距离之差为6，则曲线方程为（ ）A ．17922=-y xB ．)0(17922>=-y x y C ．17922=-y x 或17922=-x yD ．)0(17922>=-x y x 4. 运行右图所示框图的相应程序,若输入,a b 的值分别为2log 3和3log 2,则输出M 的值是（ ）A.0B.1C. 2D. －15.令1)1(++n n x a 为的展开式中含1-n x 项的系数，则 数列1{}na 的前n 项和为（ ）A ．(3)2n n +B ．(1)2n n + C ．1n n + D ．21n n +6．某几何体的三视图如右图,根据图中标出的尺寸,可得这个几何体的体积 A.12 B.123 C.43 D.163 ()()()sin 0,f x x x π=∈及直线()()0,x a a π=∈与x 轴围成，向矩形OABC 内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为14，则a 的值是( )A .712π B.23π C .34π D.56π 8. 已知集合111{|(),},1ni A z z n Z i+==∈-集合{22,B z z x y ==+,,x y A ∈}x y ≠且，则B A ＝（ ）.A ．{}1,1i i ±-± B.{}1,0,1- C. {}1,0,1i i ±-± D.Φ（空集） 9．为了从甲乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将二人最近6次数学测试的分数进行统计，甲乙两人的平均成绩分别是x 甲、x 乙，则下列说法正确的是（ ）A. x 甲>x 乙，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛B. x 甲>x 乙，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛C. x 甲<x 乙，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛D. x 甲<x 乙，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛 10．已知()f x 是奇函数，且()2()f x f x -=，当[]2,3x ∈时，()()2log 1f x x =-，则当[]1,2x ∈时，()f x =（ ）A ．()2log 3x --B ．()2log 4x -C ．()2log 4x --D ．()2log 3x -第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．将答案填写在题中的横线上．11．从1=1，1－4=－(1+2),1－4+9=1+2+3,1－4+9－16=－(1+2+3+4),…,推广到第n 个等式为_____________________________________.12．设,x y 满足约束条件00134x y x ya a⎧⎪≥⎪≥⎨⎪⎪+≤⎩，若11y z x +=+的最小值为14，则a 的值为__________；13．函数2221()431x x f x x x x -⎧=⎨-+>⎩， ≤， 的图象和函数()()ln 1g x x =-的图象的交点个数是 。

14．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列说法错误．．的是 。

①若{}n a 是等差数列，则{}132n n a a +-是等差数列； ②若{}n a 是等差数列，则{}n a 是等差数列；③若{}n a 是公比为q 的等比数列，则{}1n n a a +-也是等比数列且公比为q ； ④若{}n a 是公比为q 的等比数列，则232,,k k k k k S S S S S --(k 为常数)k N ∈且k q 15．（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）（A ）(几何证明选做题)如图，CD 是圆O 的切线, 切点为C , 点B 在圆O 上，2,30BC BCD ︒=∠=， 则圆O 的面积为 ；（B ）(极坐标系与参数方程选做题)极坐标方程θθρcos 4sin 2+=表示的曲线截()4R πθρ=∈所得的弦长为 ；（C ）（不等式选做题） 不等式|2x -1|<|x |+1解集是 ．三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本题满分13分）在四棱锥P ABCD -中，侧面PCD ⊥底面ABCD ，PD CD ⊥，E 为PC 中点，底面ABCD 是直角梯形。

0//,90,AB CD ADC ∠= 1,AB AD PD ===2CD = （Ⅰ）求证：//BE 平面APD ； （Ⅱ）求证：BC ⊥平面PBD ； （Ⅲ）设Q 为侧棱PC 上一点，PQ PC λ=，试确定λ的值，使得二面角Q BD P --为45。

17． （本题满分12分）{}项和的前为数列已知n a S n n a →=()1,n S , b →=()122,1++-n n a ,a b →→⊥（Ⅰ）求证：⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a 2为等差数列； （Ⅱ） 若20131n n n b a n -=+,问是否存在0n , 对于任意k （k N *∈）， 不等式0n k b b ≤成立.18．（本题满分12分）设2()6cos 2f x x x =． （Ⅰ）求()f x 的最大值及最小正周期；（Ⅱ）△ABC 中锐角A 满足()3f A =-12B π=，角A 、B 、C 的对边分别为,,,a b c 求2a b cb a ab ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的值。

19．（本题满分12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点F 与抛物线24y x =的焦点重合，倾斜角为45的直线l 过点F .（Ⅰ）求该椭圆的方程；（Ⅱ）设椭圆的另一个焦点为1F ，问抛物线24y x =上是否存在一点M ，使得M 与1F 关于直线l 对称，若存在，求出点M 的坐标，若不存在，说明理由.20．（本题满分12分）某同学参加某高校自主招生3门课程的考试。

假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为45，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p ，q (p q <)，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立。

记ξ为该生i p6125xy 24125 (Ⅰ (Ⅱ) 求数学期望E ξ。

21．（本题满分14分）已知函数)(ln )(R a xax x f ∈+=（Ⅰ）求)(x f 的极值；（Ⅱ）若函数)(x f 的图象与函数)(x g =1的图象在区间],0(2e 上有公共点，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）设各项为正的数列}{n a 满足：*111,ln 2,n n n a a a a n N +==++∈，求证：21n n a ≤-.2012年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中第二次适应性训练数学（理科）参考答案与评分标准题号12 3 4 5 6 7 8 9 10 答案BCDCDDBDDA11. ()112149(1)1(12),.n n n n n ++-+-+-=-+++∈12 1 13. 2 14. ②③④ 15. A 4π B 32 C ()0,2三、解答题16.解：（1）取PD 的中点F ，连结,EF AF ，因为E 为PC 中点，∴//EF CD ，且112EF CD ==，在梯形ABCD 中，//,1AB CD AB =，∴//,,EF AB EF AB =四边形ABEF 为平行四边形，∴//,BE AFBE ⊄平面PAD ，AF ⊂平面PAD ，∴//BE 平面PAD（2）平面PCD ⊥平面ABCD ，PD CD ⊥，∴PD ⊥平面ABCD ，∴PD AD ⊥在直角梯形ABCD 中，2,2,BD BC DC === ∴90,CBD ∠=即DB BC ⊥.又由PD ⊥平面ABCD ，可得PD ⊥BC ， 又PD BD D =，∴BC ⊥平面PBD . （3）如图，以D 为原点建立空间直角坐标系F EBA CDPD xyz -，则(1,0,0),(1,1,0),(0,2,0),(0,0,1)A B C P ，平面PBD 的法向量为(1,1,0),BC =-(0,2,1),,(0,1)PC PQ PC λλ=-=∈，(0,2,1)Q λλ∴-，设平面QBD 的法向量为(,,)n a b c =，(1,1,0),DB =(0,2,1)DQ λλ=-，由02(1)0n DB a b n DQ b c λλ⎧⋅=+=⎨⋅=+-=⎩，∴2(1,1,)1n λλ=--∴02cos 452222(nBC n BCλ⋅===⋅⋅+，注意(0,1)1λλ∈∴=。

17. 解：（Ⅰ） a b →→⊥,∴0221=++-+n n n a S , 022211=++-+++n n n a S1122++-=∴n n n a a ，12211-=∴++nn n n a a ，∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a 2为等差数列 （Ⅱ）)1()1(22+-=---=n n a n n，()20132,n n b n ∴=-()()112012220132,n n n n b b n n ++≥-≥-令20122011201202011,2,20112012.n n bb b n ∴≤==∴=的最大值为或18. 解：（Ⅰ）1cos2()622xf x x +=3cos 223x x =-+12sin 2322x x ⎫=-+⎪⎪⎭236x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．故()f x 的最大值为3；最小正周期22T π==π．（Ⅱ）由()3f A =-)336A π++=-，故cos 216A π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，又由02A π<<得2,666A ππππ<+<+故2,6A ππ+=解得512A π=．又12B π=，∴.2C π=∴22222cos 0.a b ca b c C b a abab +-⎛⎫+-=== ⎪⎝⎭ 19.解：（Ⅰ）抛物线x y 42=的焦点为)0,1(F ，准线方程为1-=x ， ∴ 122=-b a ①又椭圆截抛物线的准线1-=x∴ 得上交点为)22,1(-，∴ 121122=+ba ② 由①代入②得01224=--b b ，解得12=b 或212-=b （舍去），从而2122=+=b a∴ 该椭圆的方程为该椭圆的方程为22121x y += （Ⅱ）∵ 倾斜角为45的直线l 过点F ，∴ 直线l 的方程为)1(45tan -=x y ，即1-=x y ，由（Ⅰ）知椭圆的另一个焦点为)0,1(1-F ，设),(00y x M 与1F 关于直线l 对称，则得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--+=+-=⨯+-12)1(201110000x y x y ，解得⎩⎨⎧-==2100y x ，即)2,1(-M ，又)2,1(-M 满足x y 42=，故点M 在抛物线上。