费马大定理的初等证明

费马大定理的初等证明

倪晓勇

（中国石化仪征化纤短纤生产中心生产管理室，江苏 仪征211900）

E-mail:nxyong.yzhx.@

费马大定理：不定方程n n n y x z +=当n ≥3时无正整数解。

证明：一、当n=2时，有222y x z +=，所以))((222y z y z y z x +-=-=（1）。令22)(m y z =-，则22m y z +=，代入（1）得222222222222)(2)22(2l m m y m m y m y z x =+=+=-=，所以ml x 2=，

22m l y -=，22m l z +=（x 、y 、z 、l 、m 都是自然数）

，显然x 、y 、z 有正整数解。 二、当n=3时，有333y x z +=，所以 ))((22333y zy z y z y z x ++-=-=（2）。令323)(m y z =-，

则323m y z +=，代入（2）得］

［23223232333)3()3(3y y m y m y m y z x ++++=-= )3333(36432232m y m y m +⨯+=)33(36332233m y m y m ++=。

若方程333y x z +=有正整数解，则)33(63322m y m y ++为某自然数的三次幂，即 363322)33(l m y m y =++，所以 )33)(3(3)3(4222263332m l m l m l m l m y y ++-=-=+，所以 )33(3)3(4222322m l m l m y m l y ++=+-=和，所以l -3m 2+32m 3=l 2+3m 2l +32m 4，所以l = l 2+3m 2l ，且32m 3=3m 2+32m 4，所以1=l +3m 2，3m=1+3m 2，所以 l +3m=2。因为l 和m 都是自然数，所以l +3m ≥4，所以l +3m=2不可能，所以当n=3时，333y x z +=无正整数解。

三、当n=4时，有z 4=x 4+y 4，所以x 4= z 4-y 4=（z -y ）（z 3+z 2y+zy 2+y 3）(3) 。令（z -y ）=43m 4，则z=y+43m 4，代入 (3) 得x 4= z 4- y 4=43m 4［（y+43m 4）3+（y+43m 4）2+（y+43m 4）y+ y 3］=43m 4 (4y 3+47m 8y+6×43m 4y 2+49m 12)= 44m 4(y 3+46m 8y+6×42m 4y 2+48m 12

) 。 若方程z 4=x 4+y 4有正整数-解，则(y 3+46m 8y+6×42m 4y 2+48m 12)为某自然数的四次幂，即(y 3+46m 8y+6×42m 4y 2+48m 12) =l 4，所以y 3+46m 8y+6×42m 4y 2=l 4-48m 12 =（l 42m 3）（l 3+l 242m 3+l 44m 6+46m 9），所以y =l -42m 3且y 2+46m 8+6×42m 4y =l 3+l 242m 3+l 44m 6+46m 9），所以(l -42m 3)2+46m 8+6×42m 4（l -42m 3）

=l 3+l 242m 3+l 44m 6+46m 9），所以l 2-32m 3 l + 44m 6 + +46m 8+6×42m 4（l -42m 3）=l 3+l 242m 3+l 44m 6+46m 9），所以

44m 6 +46m 8=6×44m 7+46m 9 ，l 2+6×42m 4l =l 3+l 242m 3+l （44m 6+32m 3），所以1+42m 2=6m+42m 3，所以l 2+l （42m 2-6m ）+42m 3（42m 2-12m+5）=0。因为l 和m 都是自然数，所以l 2+l （42m 2-6m ）+42m 3（42m 2-12m+5）>0，所

以l 2+l （42m 2-6m ）+42m 3（42m 2-12m+5）=0不可能，所以当n=4时，z 4=x 4+y 4无正整数解。

当n>4时，同理可证方程n n n y x z +=无正整数解。所以定理得证。

参考文献：

[1]李联忠科学网《费马大定理的简单证明》