向量产生和发展历程
2.1平面向量的实际背景及基本概念[精选文档]
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从数学发展史来看，历史上很长一段时间，空间的向量结构
并未被数学家们所认识，直到19世纪末20世纪初，人们才把空间
的性质与向量运算联系起来，使向量成为具有一套优良运算通性
的数学体系．
向量能够进入数学并得到发展，首先应从复数的几何表示谈
起．18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点
来表示复数a+bi，并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的
F E
例2：在4 5方格纸中有一个向量AB,以图中 的格点为起点和终点作向量，其中与AB相等的 向量有多少个？与AB长度相等的共线向量有多少个？ (AB除外）
B
相等的有 7个
长度相等
A
的有15个
2024/3/30
根据下列小题的条件，分别判断四边形ABCD 的形状： （1）AD = BC ； （2）A表示出来，并把向量的几何表示
用于研究几何问题与三角问题．人们逐步接受了复数，也学会了
利用复数来表示和研究平面中的向量，向量就这样平静地进入了
数学．
2024/3/30
在物理和数学中，我们学习了很多“量”，如年龄， 身高，位移，长度，速度，加速度，面积，体积，力， 质量等，大家一起分析一下，这些“量”有什么不同？
2024/3/30
共线向量: 任一组平行向量都可平移到同一直线上.
即平行向量也叫做共线向量.
a
b
O
A
C
c
B
思考：共线向量一定在一条直线上吗？
2024/3/30
巩固练习：判断下列结论是否正确。
(1)平行向量方向一定相同；
(×)
(2)不相等向量一定不平行；
(×)
(3)与零向量相等的向量是零向量；
矢量发展史
对于这个问题，实际上我们不可以直接采用矢量的运算来对应刚体转动的复合，而可采用线性变换的运算来解决。例如，设以刚体绕x轴转动角度为α，则对于刚体上任意一点，有
哈密尔顿试图将复数的概念推广到三维空间时，意外地发现了四元数。他提出的四元数可表示为 ，这也是第一个牺牲了乘法交换律这一性质的数学对象。在物理学应用上，四元数与电磁理论的结合是非常微妙的，因为电磁场非常自然地对应于四维时空。
哈密尔顿之后，麦克斯韦（1831~1879）在他1861年论文《论物理力线》中提出了法拉第电磁感应定律分量形式的微分方程，在1864年论文《电磁场的动力学理论》中第三节“电磁场一般方程”中包括了麦克斯韦方程组的八个方程，包括了大量的矢量分析。在此后包括洛伦兹提出的洛伦兹力公式及其建立的经典电动力学的假设证明，在四元数中乘法必须包括点乘和叉乘，即数量积和矢量积。
二、
矢量最初起源于物理学应用。
约公元前350年，伟大的古希腊哲学家、科学家的亚里士多德（前384~前322）就知道了力可以表示为矢量，但英国科学家牛顿（1642年12月25日~1727年3月31日）被认为是最先使用有向线段来表示矢量的。
矢量最基本的属性是大小、方向和起点，而牛顿将力的大小、方向与作用点概念进行形象化、几何化的处理，使用一条简单的带有箭头的线段表示表示力，这样既可以通过线段长度表示大小，又可以通过箭头指向表示方向，还可以用端点位置表示力的作用点。在牛顿所处的年代，是没有矢量这个概念的数学定义的，而他所做的仅仅是对“力”的概念的直观表现。然而，我认为，这种方法及其智慧，具有相当的优越性。
向量的发展史
向量的发展史惠民县第一中学罗宝山2011年7月19日10:14向量又称为矢量，最初被应用于物理学．很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量．大约公元前350年前，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量，两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到．“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段．最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿．课本上讨论的向量是一种带几何性质的量，除零向量外，总可以画出箭头表示方向．但是在高等数学中还有更广泛的向量．例如，把所有实系数多项式的全体看成一个多项式空间，这里的多项式都可看成一个向量．在这种情况下，要找出起点和终点甚至画出箭头表示方向是办不到的．这种空间中的向量比几何中的向量要广泛得多，可以是任意数学对象或物理对象．这样，就可以指导线性代数方法应用到广阔的自然科学领域中去了．因此，向量空间的概念，已成了数学中最基本的概念和线性代数的中心内容，它的理论和方法在自然科学的各领域中得到了广泛的应用．而向量及其线性运算也为“向量空间”这一抽象的概念提供出了一个具体的模型．从数学发展史来看，历史上很长一段时间，空间的向量结构并未被数学家们所认识，直到19世纪末20世纪初，人们才把空间的性质与向量运算联系起来，使向量成为具有一套优良运算通性的数学体系．向量能够进入数学并得到发展，首先应从复数的几何表示谈起．18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数a＋bi，并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的运算．把坐标平面上的点用向量表示出来，并把向量的几何表示用于研究几何问题与三角问题．人们逐步接受了复数，也学会了利用复数来表示和研究平面中的向量，向量就这样平静地进入了数学．但复数的利用是受限制的，因为它仅能用于表示平面，若有不在同一平面上的力作用于同一物体，则需要寻找所谓三维“复数”以及相应的运算体系．19世纪中期，英国数学家哈密尔顿发明了四元数（包括数量部分和向量部分），以代表空间的向量．他的工作为向量代数和向量分析的建立奠定了基础．随后，电磁理论的发现者，英国的数学物理学家麦克思韦尔把四元数的数量部分和向量部分分开处理，从而创造了大量的向量分析．三维向量分析的开创，以及同四元数的正式分裂，是英国的居伯斯和海维塞德于19世纪8O年代各自独立完成的．他们提出，一个向量不过是四元数的向量部分，但不独立于任何四元数．他们引进了两种类型的乘法，即数量积和向量积．并把向量代数推广到变向量的向量微积分．从此，向量的方法被引进到分析和解析几何中来，并逐步完善，成为了一套优良的数学工具。
向量思想
向 量 思 想 在 数 学 解 题 中 的 应 用
向量是高中数学试验教科书中新增的一章内 容。以向量为背景,一些传统的中学数学内容和问 题就有了新的内涵。在数学教学中引导学生积极 探索向量在高中数学中的应用,不仅可深入了解数 学教科书中新增内容和传统内容的内部联系,构造 合理的数学知识结构,而且有利于拓展学生的想象 力,激发创新活力。
莱布尼兹系统框架在没有任何图形的情接表达位置角度和运动新系统能紧跟可见的图形以一种自然的分析的方式通过一个确定的程序同时给出解构造和几何的证明不需要大量的乘法不需要添加令人困惑的太多提出了一个新代数其中几何实体可以用符号来表示并且这些符号可以直接进行运算
数学思想
函数思想 向量思想
在此输入文字标题
-
莱布尼兹系统框架
新系统能紧 跟可见的图形, 以一种自然的、 分析的方式,通 过一个确定的 程序同时给出 解、构造和几 何的证明
在没有任 何图形的情 况下,能直 接表达位置、 角度和运动
不需要大量 的乘法,不需 要添加令人 困惑的太多 的点和线
提出了一个新代数,其中几何 实体可以用符号来表示,并且 这些符号可以直接进行运算。 然而,他没有发现一个能够相 加、减和相乘的几何系统,同 样地,他也没有看到AB和BA能 被看作相异的实体,并且没有 看到-AB的重要意义。
评
价
格拉斯曼的工作
1 AB+BC=AC
2
几何积:线的长度的积乘以它们之间夹角的正弦
3
线性积:一个向量的长度与另一个向量在它上面的垂直投影的代数积
向 量 理 论 复 数 几 何
为了复数便于应用，韦赛尔和阿尔冈分别独 立地建立起复数的几何表示，并为数学家们所接 受和熟悉，于是数学家们认识到复数可以用来表 示和研究平面上的向量。复数的几何表示是向量 理论起源的一条最重要的线索,现代向量理论就 是在这条线索上建立、发展起来的。
向量的三代家世
阅读《向量的三代家世》，梳理向量的发展历程力，作为向量，故而有之。
但作为向量结构，于今方兴。
有大小和方向的量，叫做向量。
仔细研究向量之家世，看到它经历了三代的发展。
打个比方，早先的向量相当于远古的“原始人”，后来的向量是“文明人”，今天的向量可比拟为“现代人”。
第一代向量：力，以平行四边形法则为特征力，是向量的最常见的实例。
大约公元前350年之前，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量，两个力的组合可用平行四边形法则来得到。
这是向量的第一代。
以后的一千多年中，经过文艺复兴时期，牛顿创立微积分之后的17、18世纪，向量的知识没有什么变化。
伽利略只不过更清楚地叙述了“平行四边形”而已。
这点向量知识，形不成多少有意义的问题，发展不成一个独立的学科，因而数学家没有把向量当做一回事。
中国古代的驷马大车，俄国列宾描绘伏尔加河纤夫的名画，都可以直觉地依照平行四边形法则看到这样的合力。
第二代向量：有“数乘”运算，可以进行力的分解力既然有合成，则必有力的分解。
力的合成相当于向量的加减。
但是，力的分解，只靠加减运算无法完成，必须引入另一个运算：数乘（这里的数只涉及“实数”）。
有了数乘，向量具有了自己的特定数学结构，进入了第二代。
许多向量计算问题要进行向量的分解。
平面上全体向量组成的集合V，如果其上定义了加法和数乘运算，就成了一种新的数学结构，叫做向量空间，也称为线性空间。
第二代向量，不再是孤立地看几个向量的运算，而是形成了一族向量，相当于一个“社会”，彼此利益相连，浑然一体。
如果说第一代向量是远古的“原始人”，那么第二代向量就相当于具有社会性质的“文明人”了。
第三代向量：引入了数量积笛卡尔之梦：由蜘蛛结网的梦建立了平面直角坐标系这一刻画点在平面中具体位置关系的工具，由此创立了解析几何。
数与形互相结合，使得几何学别开生面。
但是，平面直角坐标系中的“点”不能运算，“点”用向量表示之后，就可以运算了，特别是引入“数量积”之后，向量几何好像插上了翅膀，超越了坐标几何。
向量的由来
向量的由来（1）向量又称为矢量，最初被应用于物理学．很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量．大约公元前350年前，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量，两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到．“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段．最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿．课本上讨论的向量是一种带几何性质的量，除零向量外，总可以画出箭头表示方向．但是在高等数学中还有更广泛的向量．例如，把所有实系数多项式的全体看成一个多项式空间，这里的多项式都可看成一个向量．在这种情况下，要找出起点和终点甚至画出箭头表示方向是办不到的．这种空间中的向量比几何中的向量要广泛得多，可以是任意数学对象或物理对象．这样，就可以指导线性代数方法应用到广阔的自然科学领域中去了．因此，向量空间的概念，已成了数学中最基本的概念和线性代数的中心内容，它的理论和方法在自然科学的各领域中得到了广泛的应用．而向量及其线性运算也为“向量空间”这一抽象的概念提供出了一个具体的模型．从数学发展史来看，历史上很长一段时间，空间的向量结构并未被数学家们所认识，直到19世纪末20世纪初，人们才把空间的性质与向量运算联系起来，使向量成为具有一套优良运算通性的数学体系．向量能够进入数学并得到发展，首先应从复数的几何表示谈起．18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数a＋bi，并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的运算．把坐标平面上的点用向量表示出来，并把向量的几何表示用于研究几何问题与三角问题．人们逐步接受了复数，也学会了利用复数来表示和研究平面中的向量，向量就这样平静地进入了数学．但复数的利用是受限制的，因为它仅能用于表示平面，若有不在同一平面上的力作用于同一物体，则需要寻找所谓三维“复数”以及相应的运算体系．19世纪中期，英国数学家汉密尔顿发明了四元数（包括数量部分和向量部分），以代表空间的向量．他的工作为向量代数和向量分析的建立奠定了基础．随后，电磁理论的发现者，英国的数学物理学家麦克思韦尔把四元数的数量部分和向量部分分开处理，从而创造了大量的向量分析．三维向量分析的开创，以及同四元数的正式分裂，是英国的居伯斯和海维塞德于19世纪8O年代各自独立完成的．他们提出，一个向量不过是四元数的向量部分，但不独立于任何四元数．他们引进了两种类型的乘法，即数量积和向量积．并把向量代数推广到变向量的向量微积分．从此，向量的方法被引进到分析和解析几何中来，并逐步完善，成为了一套优良的数学工具.向量的由来（2）向量能够进入数学并得到发展，首先应从复数的几何表示谈起．18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的运算．把坐标平面上的点用向量表示出来，并把向量的几何表示用于研究几何问题与三角问题．人们逐步接受了复数，也学会了利用复数来表示和研究平面中的向量，向量就这样平静地进入了数学．但复数的利用是受限制的，因为它仅能用于表示平面上的量，若有不在同一平面上的力作用于同一物体，则需要寻找所谓的三维“复数”以及相应的运算体系．19世纪中期，英国数学家哈密尔顿发明了四元数（包括数量部分和向量部分），以代表空间的向量．他的工作为向量代数和向量分析的建立奠定了基础．随后，电磁理论的发现者，英国的数学、物理学家麦克思韦尔把四元数的数量部分和向量部分分开处理，从而创造了向量分析．三维向量分析的开创，以及同四元数的正式分裂，是英国的居伯斯和海维塞德于19世纪80年代各自独立完成的．他们提出，一个向量不过是四元数的向量部分，但不独立于任何四元数．他们引进了两种类型的乘法，即数量积和向量积．并把向量代数推广到变向量的向量微积分．从此，向量的方法被引进到分析和解析几何中来，并逐步完善，成为了一套优良的数学工具．课本上讨论的向量是一种带几何性质的量，除零向量外，总可以画出箭头来表示方向．但是在高等数学中还有更广泛的向量．例如，把所有实系数多项式的全体看成一个多项式空间，这里的多项式都可看成一个向量．在这种情况下，要找出起点和终点甚至画出箭头表示方向是办不到的．这种空间中的向量比几何中的向量要广泛得多，可以是任意数学对象或物理对象．这样，就可以把线性代数方法应用到广阔的自然科学领域中去了．因此，向量空间的概念，已成了数学中最基本的概念和线性代数的中心内容，它的理论和方法在自然科学的各领域中得到了广泛的应用．而向量及其线性运算也为“向量空间”这一抽象的概念提供出了一个具体的模型．。
向量概念的历史发展
向量概念的历史发展李婷(西安交通大学苏州附中215021)1引言向量理论有三条历史发展线索:力和速度的平行四边形法则的向量理论、与位置几何有关的向量理论及源自复数几何表示的向量理论匚1*早在公元前4世纪，古希腊哲学家亚里士多德(Aristotle,384—322DC)即知道两种速度的合速度满足平行四边形法则，数学家海伦(Heron)则给出了该法则的几何证明囚.17世纪,英国数学家牛顿(Newton,1643—1727)在其《自然哲学的数学原理》中进一步将平行四边形法则推广到了力的情形囚.18世纪末，丹麦数学家韦塞尔(Wessel,1745—1818)给出了复数的几何表示以及有向线段的加法与乘法⑷.1806年,瑞士数学家阿尔冈(Argand,1768—1822)发表了复数几何表示的论文囚,后来还创用了向量的符号.1843年,英国数学家哈密尔顿(Hamilton,1805—1865)研究了空间中两点之间的位置关系囚，他提出的“几何差”概念等价于我们今天的向量概念.《普通高中数学课程标准》强调，在引入向量概念时要呈现丰富的实际背景刀.教师想知道的是：向量的实际背景仅仅是物理量的表示吗？为什么向量在物理上被称为矢量呢？教学实践表明，学生在学习向量概念时存在许多困惑,例如：向量是有向线段吗？为什么向量是自由的？物理的与数学的等价的？我们要从向量概念的历史发展过程中寻找问题的答案.那么，向量概念在历史上经历了怎样的演变过程?其实际背景有哪些？向量概念的历史对今日课堂教学有何启示？本文将通过历史考察来回答上述题.2历史上向量概念的定义对60种西方数学或物理学文献进行考察发现，向量概念的定义可分成四类,分别是“基于物理量的定义”“基于有向线段的定义”“基于复数的定义”和“基于平移运动的定义”,其中基于物理量的定义出现的频数最多,其次是有向线段.2.1基于物理量的定义“基于物理量的定义”指的是以力、位移、速度等有方向的物理量为背景而产生的向量定义•这类定义最初的思想可以上溯到亚里士多德,即物理学科中的矢量•在物理情境下,向量有三个关键要素:大小、方向和位置•以力为例,力的刻画必须要有作用点、大小和方向•这类定义又可以分成三.第一类定义相对于物理中的标量给出•例如,英国物理学家亥维赛德(Heaviside,1850—1925)于1889年指出："生活中两种不同的大小,像质量、密度、能量、温度只具有代数意义上的大小，是标量意义上的大小•还有一些具有大小的量，如位、速、加速、、、等有有方向，两者缺一不可,这些都是向量•”闪第二类定义是在物理量的基础上，将向量定义为表示物理量的有向线段•例如,Palmer将向量定义为“表示物理矢量的有向线段”囱•此类定义强调有向线段是力的几何表征,力的方向用有向箭头表示,力的大小用有向线段的长度衡量，力的作用点就是有向线段的起点,这种表示力的线•第三类定义是物理量的抽象Coffin在《向量分析》中给出的定义是:“向量是任何具有方向与大小的物理量的抽象结果”.口5Coffin意识到,向量是某类具有大小与方向特征的量的统称,仅限于物理量的抽象结果.22基于的20世纪20—60年代的数学文献中,基于有向的定考两的有序性是有向线段产生的原因之一.Gibson详细介绍了有向线段的概念:“A,B是一直线上的任意两点,在初等几何中,人们习惯将以A,1为端点的线段记为AB或BA,不在乎字母书写的顺序•然而,当线段用来表示从点A到点1的轨迹或者从点1到点A的轨迹时,有必要区分线段2B与B2的别时有线段(directed segment)或向量(vector)或移动(step),用字母的书写顺序来表示这种差别.因2B表2到B的B2表B 到A的，向量AB与向量BA，方向反.％11*书中作了字母的组合来表，而没有用有头•需要说明的是，这里并没有岀现自由向量的概念，但在定义相等的有时，不考虑起点,当•如图！AB与CD相等，满三个条件：(1)在同一A B D'C DC D图1相等向量平行；(2)AB与CD等；(3)A 与C要边B与D边.因此，若点D f 到C的与点D到C的等，但方反'那么CD'与CD等.Murnaghan认为，要接受向量概念，首先必有的问题)2*・”几里得几何中'人们 的，而不考的方向代表意义的•为什么后来人们会考的方向性呢？的题•一条给定的延伸的有任意两点A和B,这两点确定了一条'A和B,我们可以写成AB或BA.当我们考虑到顺序时，先写哪一点是非常重要的:若先写点A'我们从点A B延伸的'己作A*B；反之，若B,我们从点B向点A 延伸的'己作B*A.设A*B是一条直线上的意一条有C*D条的另一条有向线段，如果A*B与C*D的箭头方向相同，并且AB与CD的长度相同,那么有向线段AB与CD相恒受了有的后，我们要考有的方向和，这两与点A向.B行进的路径B*A.事实上，真正引起我们的是从点A运西到点B的方向和距，我们将具有固定性质的有称为向量(vector).其词vehere,意思是运载.有A*B与C*D有过平移能够互，那么它们表征，本质.因此，这两的有过一个向量的不同表征而已.向量将由以下符号表7K V(A*B).Fame用类似于＞(AB)的符号来表)3*.方面，人们有画物.得到的力、速度等有，用有表有时将两者等价当然.Coffin与Phillips了的外延，使了物理量的，但仍将有等.Low 与Ransom应的三征：有、有方向、没有•H=1也明确与$确定的有的代数表征都有对应的几何结构%14*.C 一简短的定了的本质特征#甦不定的，向量有代数与几何两种表征方式，因此它代数和几何的桥梁.Wentworth(1900), Ziwet(1913)，Sheppard(1923)，Roever(1941)，Brand(1947)，Kells(1949)，Hart(1957)，Taylor(1959)和Davis(1961)在定时都采用了有向线段的2.3基于复数的定义作为复数的几何表征，主要代数教科书中•复数的几何表征问题数学家们讨论的问题.1846年畀表了一篇绍的才了题,'表复数经过了很长时间才被众多数学受. Wentworth了的复数：如图2,如果通过点O画一条与XX，垂直的直线yy/,所有的实数都可XX，上的点表示，那有的纯虚数都用yy'上的点表示.XX，实轴,yy f图2的复数o原点.我们习惯上把逆时针方向看作正,那么图中的点M OM就表示+5i 或者+55—1；点N或线段ON表zK—6i或者一6 7—1.a与a i是不同种类的数，因此,就用不同的表OA+AP或#+y i能够确定一点P,从O开始，与OX方角且为厂的有向OP•这样,那些表示实数和纯虚数的有都)5*.之后的复数的定似于Wentworth的上述定切如van Velzer与Slichter(1892),Young(1911), Smail(1931),Davis(1942),Nowlan(1947)和Cowles!947)等2.4基于运动的平下的定19世纪末和20世纪30—40年代,且分为两类平-类图形的平移,,指纯粹的平移变换.次表示平移的,之后的平移的向量定少继承了哈密的定义•例如,Tait将定义为“将运载到的工具，因此'表示空的定平移％16*.Wood的定定距定方向平移的表示方法％17*.如果2,1是两个,那21表示从点2到点1的平移.向量几何上的表示，线段的等于平移的，方平移的方向.因此，在书量时，方字母的顺序确定•从的定义看，所有等且平行的的符号来表示•所以，两个向量相等，指的就是同方.的等.若21,CD,15,57,HG方等'符号表示AB= CD=15=57=HG=a=….Hardy的定了现代学生学习的一困难:#等的，其本质Aldis了定义,而且明确表示，平移变换)7*.Tait给岀了更为一般的定义：“向量表示平移，它几何上的有表示,等有'有两本要素:大小和方向,它有具有大小和方向的量，例如、力、速度等.％18*应该说, Tait的定平移变换又了平移，给岀了相对完善的定义：#具有和方向的的统称.Phillips同样提到'表何具有和方的Hime从动态视角认识向量，把向量看作一种平移操作过程(action process).他认为，向量被人们接受'其运能，即“将从点2运载(vehere,carry)到点1.因此，向量蕴操作,表定方定的平确定方要两的,从隐三个数，一个确定,两个确定方向.％1Young基于有序点对,把向量看成是欧几里平有序2B的定符如'如果CD意平行且等于21的有序点对21与CD相等'符I量VC2B)表示.因为平面上任意过平移化为，因此，所有VCOP)\，其中4是平定点, "是变化的任意•该定明平移的，且欧氏平有组基向到.Veblen(1938)有序和平移来定义向量.采用平移定义的还有Stringham(1893), Thomas(1931),Morley(1933)与Roever(1933).平下的与起，其本质平释的性易人接受，这可以作为中学向量概念教学的背景料.3向量定义的演变最初用以表7K速度和力，后来表般有方向的物•因此'从物理学科延伸岀来的数学，是用几何上的有来表示物的•后来，数学家们研究了几何以及寻求平移运变换的符号表示，区分了【向与图3给岀了我们所考察的60种西方文献中向各类定义图3四种定义的频数分布图的频数分布情况.从图3中可见，基于物的定义岀现次数最多,其次是有的定若把年分为5等时段，则可以看岀各个时定使用的频HSWW圍野榊龈的做口野复躺釵□基于平勰抽釵1865-18841885-19041905-19241925-19441945-1965图41865—1965年间各种定义频数分布图数情况，如图4所示.1905—1924年间，基于物理的定与有的定要之后，人们逐渐认识到有定义的缺陷,代之的平移的定义；到了20世纪40年代到60年代'物和有的定又重新要•基于复数的定义虽然始终存在，但岀现得并不多.4结论与启示跨越百年的60种英美数学或物理学文献清了的四种定其脉络.从物到有，再到复数的几何表征,最后平运的定的'的过程学科的要有的，从到多角度延伸，才形今日的•一开始,指：向量,是物理量的抽象结果，因此，物理量是向量出现的背景之一•接着，人们用有向线段代替向量,源于物理量的几何表征和复数的几何表征，有大小和方向是向量的特征•最后，自由向量的出现源于数学家对于位置几何的探讨和平移运动与变换的表达•不同背景下的向量定义蕴含了不同的数学思想与方法，如数形结合、从特殊到一般、从有限到无限等•这些背景渊源对今日教科书编写和课堂教学有一定的启示.(1)对教材编写者的启示每一版高中数学教材关于向量的背景引入和概念界定都是从某一方面而言•人教版、苏教版和北师大版从位移等物理量中抽象出向量的概念,学生能够理解有大小、有方向的量的存在，只是这个背景无法解决向量的自由性，更无法让学生体会到向量符号在数学学习中的优势所在•另一方面，教材中未曾渗透几何图形符号化、代数化的思想;将空间向量置于立体几何中，并未自然地揭示出向量的几何性质•若能在平面向量章节中涉及用平面向量解决平面几何问题，并凸显它在平面几何中的作用，将为空间向量在立体几何中的应用打好基础•再者，不同时空的数学家都对向量理论做出过贡献，有些数学家花费了一生的精力研究向量系统,为了让世人接受他们的观点，作出了艰苦的奋斗与努力，这一点若能放在教材章节后的阅读材料中，则可让学生了解数学的创造过程,感受数学概念发展之曲折与艰辛,更好地认识数学和数学活动的本质，感悟数学背后的人文精神和数学文化的多元性，并从数学家身上汲取精神的力量，增加数学学习的自信心.(2)对课堂教学的启示首先，在设计向量的实际背景、引入向量概念时,教师可以灵活地处理教材，基于学生已有的认知基础，充分利用历史材料呈现不同的背景，例如物理背景、平移运动，把握住向量的本质特征•其次，向量的符号也是经过多次的争议才确定了今天的这种形式,若给予学生创造的机会,将会发现学生也能够和数学家一样,创造出他们自己的符号，这会给学生带来巨大的成就感与愉悦感•也可以用数学家的故事激发学生的学习动机•例如，可以讲述莱布尼兹与惠更斯友好的师生关系，以及他们在各自的研究领域做出的贡献，用莱布尼兹钻研求知的历程感染学生的心灵,用海伦证明平行四边形法则的方法为学生提供新的研究思路.再次,教师利用史料,明确物理中的矢量与数学中的向量之间的关系,从而让学生更深入地理解自的参考文献孙庆华•向量理论历史研究[D*.西安：西北大学,2006.[2*Heath TLA History of Greek Mathematics[M*.Oxford:Clarendon Press1921：348.[3*牛顿著.自然哲学的数学原理[M*.曾琼瑶，等译.南京：江苏人民出版社,2011：15.[4*Atzema E J.Caspar Wessel on the analytical representation of direction,an attempt chiefly to solvingplane and spherical polygons[J*.Historia Math-ematica,2004,31(1)：116-119.[5*Argand J R Imaginary Quantities:Their Geometrical InterpretationHM*.New York：D.Van Nostrand,1881：18-26[6*Hamilton W.Lectures on Quaternions[M*.Dublin：HodgesandSmith1853：5-11[7*中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准[M*北京:人民教育出版社,2003:31-32.[8*HeavisideO Electromagnetic Waves[M*London：Taylor&Francis,1889：132134.[9*PalmerCI PracticalMathematics[M*New York：McGraw-Hi l BookCompany1913：73-75.[10*Coffin J G.Vector Analysis[M*.New York：Chapman &Hall!909：1-4.[11*Gibson G A An Elementary Treatise on theCalculus[M*.London：Macmi l an1901：1-3.[12*Murnaghan F D.Analytic Geometry[M*.New York：Prentice-Ha l1946：4-18.[13*FrameJSSolidGeometry[M*.NewYork：McGraw-Hi l BookCo194829-30.[14*Hall T P.A Geometrical Vector Algebra[M*.Vancou-ver：WesternSpecialty1914：1-2.[15*WentworthG A.A Co l egeAlgebra[M*.Boston：Ginn&Company,1888:482-484.[16*TaitPG.AnElementaryTreatiseonQuaternions[M*.Oxford：ClarendonPress1867：48-50.[17*Wood D'The Elements of Coordinate Geometry[M*.New York：John Wiley&Sons,1879：231-233. 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向量理论发展历程
向量理论发展历程向量理论发展历程可以追溯到古希腊时期的欧几里得几何学，但直到17世纪末和18世纪初，随着数学家对几何学的探索，向量的概念才开始逐渐形成。
在18世纪末，数学家欧拉提出了向量的概念，并将其用于描述力学现象。
他将向量视为具有大小和方向的量，并引入了向量加法和数量乘法的概念。
欧拉的向量概念为后来的向量理论奠定了基础。
19世纪初，法国数学家旺达尔提出了矢量的代数定义，将其视为有序对，并引入了矢量的加法和数量乘法运算。
他的工作为向量理论的代数化奠定了基础，并成为后来矩阵理论的发展奠定了基石。
随后，数学家哈密顿提出了四元数的概念，扩展了旺达尔的矢量概念，并引入了四元数的乘法运算。
虽然四元数是一种更为复杂的代数结构，但它加深了对向量的理解，并为向量理论的发展提供了新的视角。
19世纪末和20世纪初，向量的概念逐渐从几何学领域扩展到了其他领域。
数学家哈密尔顿引入了向量空间的概念，将向量的运算规律进行了系统化的描述。
这一概念进一步促进了向量理论在线性代数、函数空间等领域的发展。
在20世纪，随着向量理论的不断深化和广泛应用，数学家们对向量空间的性质进行了更为深入的研究。
他们提出了向量的内积、正交性、线性无关性等概念，并探索了向量空间的维度、基底等重要性质。
此外，随着计算机科学的快速发展，向量理论还被广泛地应用于图形学、数据分析、机器学习等领域。
数学家们不断地对向量理论进行推广和拓展，使其更好地适应现实问题的求解。
总的来说，向量理论的发展历程经历了数学家们对向量概念的提出、代数化、拓展和应用等多个阶段。
这一理论在数学、物理学、工程学等多个领域都发挥着重要作用，成为现代科学研究的基础之一。
向量概念的提出
向量概念的提出向量概念是数学中的重要概念之一，它广泛应用于几何、物理和工程等领域。
向量的提出源于人们对于空间中变化的观察和研究需求。
向量最早的概念可以追溯到古代希腊数学家欧几里得（Euclid），他在《几何原本》中提出了点、线、面的概念，并用线段来表示物体或几何图形。
然而，线段仅仅能表示方向与长度，无法表达位移，并且只能在平面内进行研究。
而当人们开始研究力学、力学和力学时，仅仅用线段表示受力或位移的概念是不够的。
17世纪的英国数学家约翰·沃拉斯顿（John Wallis）首次引入了“向量”的概念。
他在研究力学时，提出了一种表示位移的新概念，即有大小、方向的量。
他将这个量称为“位移量”，并用一个箭头来表示。
然而，向量的概念在当时并没有得到广泛的认可和应用。
直到18世纪，瑞士数学家欧拉（Leonhard Euler）和法国数学家拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace）开始系统地研究向量的性质和应用，才使得向量成为数学的重要分支。
欧拉和拉普拉斯在研究光学、电磁学和力学等领域时，发现用一个箭头表示位移量是非常方便的。
他们将位移量的概念推广到了一般的场景中，即位移不仅可以表示空间中的移动，还可以表示其他物理量的改变，比如速度、加速度等等。
欧拉和拉普拉斯还提出了向量的运算法则，比如向量的加法和数乘。
他们发现向量的加法满足交换律和结合律，向量的数乘满足分配律。
这些法则使得向量可以进行精确计算，并且方便了对物体运动和力学性质的研究。
19世纪的数学家哈姆农（William Rowan Hamilton）和吉布斯（J. Willard Gibbs）进一步发展了欧拉和拉普拉斯的向量理论。
他们引入了向量的分量表示法和坐标系的概念，使得向量可以通过坐标来进行表达和计算。
在20世纪，向量的概念得到了广泛的应用和发展。
特别是在矩阵论和线性代数的发展中，向量的概念成为了理解和解决线性方程组、矩阵运算和线性变换等问题的重要工具。
向量的概念与背景
向量被定义为具有大小和方向的几何 对象，通常用箭头表示，箭头的长度 代Байду номын сангаас大小，箭头的指向代表方向。
早期发展
向量概念在19世纪中叶开始受到关注， 英国数学家哈密顿等人在研究力学和 几何学的过程中，开始使用向量来表 示速度、力等物理量。
向量在数学中的发展
代数运算
数学家们为向量引入了加法、数乘、向量的数量积、向量 的外积等代数运算，使得向量成为了一个完整的数学体系。
|vec{B}| times sin theta$。叉乘的结果是一 个向量，它具有一些重要的性质，如反交换
律和分配律。
向量的混合积
总结词
混合积是三个向量之间的一种运算，结果是一个标量 。
详细描述
混合积的定义为三个向量$vec{A}$、$vec{B}$和 $vec{C}$的混合积等于它们的模长之积乘以它们夹角 的余弦值，即$vec{A} times vec{B} cdot vec{C} = |vec{A}| times |vec{B}| times |vec{C}| times sin theta$。混合积的结果是一个标量，它具有一些重要 的性质，如分配律和反交换律。
控制系统分析
02
向量在工程学中可以用于分析控制系统的传递函数和稳定性，
优化控制系统设计。
信号处理
03
向量在工程学中可以用于信号处理，包括信号的合成与分解、
滤波和频谱分析等。
05
向量的历史与发展
向量概念的起源
起源背景
定义与表示
向量最初起源于物理学中的速度和力 等物理量的表示，为了更方便地描述 这些物理量，数学家们引入了向量概 念。
力的作用
向量在物理学中可以表示 力的作用，包括力的大小 和方向。
向量的历史和人文学科
向量的历史和人文学科向量是现代数学中一个非常重要的概念，广泛应用于物理学、工程学、计算机科学等领域中。
但是，向量并不是一种新近发明的数学工具，早在古希腊时代，就有人开始研究向量的相关问题。
本文将从历史和人文学科角度探讨向量的发展和应用。
一、向量的起源在欧几里得的书《几何原本》中，就已经提到了空间向量的概念。
但是，这种向量和现在我们所说的向量还是有很大的区别。
欧几里得所说的向量只是一个定向的线段，它没有任何数学意义上的加法和乘法。
因此，如果要研究向量的真正意义，需要等到十九世纪。
十九世纪初，法国数学家拉格朗日开始研究向量的性质。
他认为，向量不仅是一个定向线段，而且应该具有一些数学意义上的属性。
例如，它们应该可以相加和相乘，并且应该能够表示空间中任意的点。
随后，其他一些数学家也开始研究向量的性质。
最重要的是威廉·哈密顿和奥古斯都·科西.旺。
哈密顿为向量引入了一个重要的概念——四元数，这一概念为后来的矢量空间理论打下了坚实的基础。
而科西.旺则将向量的概念推广至更高维空间，使得向量可以被用来表示任意维度的数据。
二、向量在物理学中的应用向量在物理学中被广泛应用，这得益于向量具有的良好几何性质。
物理学中的许多量都可以用向量来描述，例如速度、加速度、力等。
通过向量的几何性质和向量的运算规则，可以很方便地求解这些物理量的大小和方向。
例如，假设一个物体在水平方向上以匀速运动，那么它的速度向量应该是一个恒定的向量，大小和方向都不会发生改变。
如果我们知道了这个向量的大小和方向，就可以很容易地计算出物体的速度。
三、向量在工程学中的应用向量在工程学中的应用相对独特。
一方面，工程领域中许多复杂的问题可以转化成向量的形式进行求解，如电路分析、结构力学等。
另一方面，向量也被工程师们广泛用于设计过程中，例如建筑物的设计、机械结构的设计等。
在这些应用中，向量可以帮助工程师们更好地理解和优化设计，从而实现更好的效果。
向量的起源和发展详解
向量的起源和发展详解
向量是一个重要的概念，广泛应用于物理、数学、工程、计算机科学等领域。
在这篇文章中，我们将详细探讨向量的起源和发展。
向量最初起源于欧几里得几何学，可以被描述为有大小和方向的量。
在欧几里得几何中，向量通常用箭头来表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
在17世纪，伽利略和牛顿的运动学理论中使用了向量的概念。
他们使用向量来描述质点的位移、速度和加速度，并发展出了微积分学和物理学的基本原理。
在19世纪，向量的概念得到了进一步发展和推广。
哈密顿发明了四元数，这是一种数学结构，可以用来表示向量和旋转。
同时，向量的概念也被推广到向量空间的概念中，向量空间是一种数学结构，可以描述向量的代数性质。
在20世纪，向量的概念在计算机科学中得到了广泛应用。
向量被用来表示图像、音频和文本等数据。
向量还被用来描述计算机程序的状态和行为，从而在计算机科学中发挥了重要作用。
总之，向量是一个重要的概念，它的起源可以追溯到欧几里得几何学，发展至今已经被广泛应用于不同领域。
通过深入理解向量的概念和性质，我们可以更好地理解和应用它。
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人教版教材中平面向量内容的历史变迁
人教版教材中平面向量内容的历史变迁
近代数学中，平面向量是一种表示物体在平面上的位置和方向的数学概念，它们在形式上表现为一个两个元素的数组，它们经常被用来表示在平面上的空间位置和方向。
平面向量的历史变迁至少可以追溯到古希腊，以及17世纪末的英国数学
家斯特劳斯·斯特劳斯。
古希腊时期，斯特劳斯·斯特劳斯提出了第一个平面向量
概念，他认为，平面上的任何两个点都可以用一个叫做“残差”的向量来表示。
他把两个点连接起来，根据其形状的不同，将其叫作“残差”。
这种方法表明，在平面上的任何两个点之间都
可以用一个向量来代表它们之间的距离和方向。
随着时间的推移，平面向量的概念发展得越来越充分。
20世纪初，数学家开始把平面向量应用到抽象几何中，并开始探讨它们的性质和特性，他们把这种方法叫做“线性代数”。
此外，他们还开始探讨如何把平面向量应用到实际的物理和技术问题中，比如航空航天和量子力学。
今天，平面向量的概念已经被广泛应用于各种领域。
它们被用来表示物体在平面上的位置和方向，也被用来表示几何图形的形状和特征，并且可以用来解决实际的物理和技术问题。
尤其是在教育中，平面向量的概念已经被广泛应用于各种教材中，如中小学的数学课本，大学的物理教材和技术教材等。
因此，可以看出，平面向量的历史变迁自古希腊以来，已经发生了很大的变化。
它们不仅被广泛应用于数学、物理和技术等领域，而且也被广泛用于教育领域，对各种教材中的内容具有重要的意义。
1向量简史及向量解题研究现状
1向量简史及向量解题研究现状1．1向量的起源与发展综述在现实世界的各个领域，对事物的特性及采用度量来标记是常见的手段，但在这个标记的过程中，有的只需要标记它的大小，如物体的质量等，我们称这种度量的结果为标量(纯量)；而有的不仅需要大小还需要方向，如物体运动的速度等，我们称这种度量的结果为向量(矢量)。
1．1．1向量的起源大约从17世纪初开始，向量相加的“平行四边形法则”就已经被用来确定两个运动“合成”的运动所驱使的点的速度。
速度由其内涵(具有方向和大小的量)可由一个“向量”表示，也即沿着运动方向(运动轨迹的切线方向)的一个有线段，其长度和大小成正比。
罗伯瓦尔(Roberval，1602—1675)首先用这个法则来确定曲线运动在某一时刻的运动方向：牛顿(Newton,1642．1727) 也采用雷同的手法，把力表示为从某一个点出发的有向线段，定义了作用于同一点的力的合成。
17世纪中叶，向量的加法和数乘运算已广泛运用于物理学等自然科学的研究之中。
如牛顿第二定律：F=ma其中F和a是向量，m是标量，它表述了运动物理所受的作用力等于质量与加速度的乘积。
又如牛顿利用向量函数微分的方法，从数学的角度研究开普勒行星运行三大定理，在理论上导出万有引力定理的向量表达形式：F=GMmr2e r，其中M、m是物体的质量，r是距离，G是引力常数，e r是从质心出发沿极半径方向的单位向量。
总之，我们最初对向量的概念的理解是：一条有向线段。
1．1．2向量的初次发展，大约在19世纪中期，格拉斯曼(Grassmann,1809．1877)借助于直角坐标系，引进了向量运算中的新形式：a=a1,a2,b=b1,b2，则a∙b=a1b1+a2b2称之为向量a,b的数量积。
同时，这个公式很容易推广到三维空间。
数量积的另一种等价表达形式为：a∙b=a∙ b cos(a ,b)，它能方便地研究力对运动物体l I|l ＼，所做的功。
而在讨论如力矩、刚体等绕轴旋转时的角速度与线速度的关系问题时，前面的工具显然不够用，因此又定义了两个向量的向量积，并自然地引进了三个向量的混合积和二重向量积等运算，并研究了它们的运算性质。
向量概念的历史
向量概念的历史向量的概念在数学和物理学中都有着广泛的应用。
它的历史可以追溯到古代希腊的几何学和古代印度的数学。
在这篇文章中，我将详细回答向量概念的历史，希望能对读者有所启发。
在古代希腊，几何学家开始研究线段和角度的性质。
然而，当时的几何学主要关注的是几何形状的性质，而非数量的概念。
直到公元前3世纪，数学家欧几里得在他的《几何原本》中才开始引入长度和角度的概念。
然而，在欧几里得的几何学中，这些量仍然是无向量的，因为它们只有大小，没有具体的方向。
向量的概念在数学中的发展可以追溯到17世纪。
当时，数学家开始研究力的性质和方向。
尤其在牛顿力学的发展中，向量成为了解释力和运动的重要工具。
1650年左右，荷兰物理学家和数学家哈贝利安(Hadiberg)引入了"推动力"的概念，这在某种程度上类似于向量，但仍然没有明确的定义。
向量的现代定义最早可以追溯到19世纪初。
1806年，法国数学家卢瑟福雷·利奥塔(Siméon-Denis Poisson)首次引入了现代意义上的向量的概念。
他将向量定义为有大小和方向的量，并用箭头表示。
然而，当时的向量仍然只是一个几何概念，没有与实际数值联系起来。
实际数值与向量的结合发生在19世纪中期。
1843年，爱尔兰数学家威廉·汤姆森（William Thomson）引入了向量的运算法则，通过定义加法和数量乘法使得向量具有更多的代数性质。
这一时期，向量的定义和运算法则得到了进一步的发展，成为了线性代数的一部分。
19世纪末和20世纪初，数学家进一步扩展了向量的概念。
德国数学家大卫·希尔伯特（David Hilbert）提出了无穷维度的向量空间的概念，这对于现代数学和物理学的发展具有重要意义。
此外，爱因斯坦的相对论理论以及量子力学的发展也需要对向量的研究。
到了20世纪后期，向量的应用已经非常广泛。
不仅在数学中，向量在物理学、工程学、计算机科学等领域都起着重要作用。
向量产生和发展历程
向量产生和发展历程一、向量的产生：规定了方向和大小的量称为向量．向量又称为矢量，最初被应用于物理学．很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量．大约公元前350年前，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量，两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到．“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段．最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿．二、向量的发展过程：向量是一种带几何性质的量，除零向量外，总可以画出箭头表示方向．但是在高等数学中还有更广泛的向量．例如，把所有实系数多项式的全体看成一个多项式空间，这里的多项式都可看成一个向量．在这种情况下，要找出起点和终点甚至画出箭头表示方向是办不到的．这种空间中的向量比几何中的向量要广泛得多，可以是任意数学对象或物理对象．这样，就可以指导线性代数方法应用到广阔的自然科学领域中去了．因此，向量空间的概念，已成了数学中最基本的概念和线性代数的中心内容，它的理论和方法在自然科学的各领域中得到了广泛的应用．而向量及其线性运算也为“向量空间”这一抽象的概念提供出了一个具体的模型．从数学发展史来看，历史上很长一段时间，空间的向量结构并未被数学家们所认识，直到19世纪末20世纪初，人们才把空间的性质与向量运算联系起来，使向量成为具有一套优良运算通性的数学体系．向量能够进入数学并得到发展，首先应从复数的几何表示谈起．18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数a＋bi，并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的运算．把坐标平面上的点用向量表示出来，并把向量的几何表示用于研究几何问题与三角问题．人们逐步接受了复数，也学会了利用复数来表示和研究平面中的向量，向量就这样平静地进入了数学．但复数的利用是受限制的，因为它仅能用于表示平面，若有不在同一平面上的力作用于同一物体，则需要寻找所谓三维“复数”以及相应的运算体系．19世纪中期，英国数学家汉密尔顿发明了四元数（包括数量部分和向量部分），以代表空间的向量．他的工作为向量代数和向量分析的建立奠定了基础．随后，电磁理论的发现者，英国的数学物理学家麦克思韦尔把四元数的数量部分和向量部分分开处理，从而创造了大量的向量分析．现代向量理论是在复数的几何表示这条线索上发展起来的。
向量概念的发展资料
向量概念的开展向量〔矢量〕是现代数学和物理学中的重要工具，对数学和物理学的开展产生了不可或缺的影响。
向量概念的产生和演变也正是源自于数学的内部需要和物理学的直接推动。
一、建立现代向量理论的根底力的平行四边形法那么、莱布尼兹的位置几何以及复数的几何表示思想是向量理论起源的三个重要思想源泉[1]29。
为了复数便于应用，韦赛尔〔C.Wessel〕于1797年，阿尔冈〔J.R.Argand〕于1806年分别独立地建立起复数的几何表示，并为数学家们所承受和熟悉，于是数学家们认识到复数可以用来表示和研究平面上的向量。
然而复数不能刻画三维空间中的一般物理量，所以，数学家们试图将这种思想推广到三维空间中去，寻找复数的空间类似物，但他们的尝试总是在乘法的困难面前失败。
英国的数学家、物理学家哈密顿〔w.r.hamilton〕和德国数学家格拉斯曼〔H.G. Grassmann〕的创造解决了这个问题。
哈密顿把复数处理成有序对(a，b)，构造了复数的四那么运算法那么。
之后，他希望能开展类似于(a，b)的三元数组(a，b，c)的代数理论。
经过十三年的努力，哈密顿终于在1843年找到了问题的解。
当然，不是他所期望的三元数组，而是有4个分量的四元数，并且要放弃乘法交换律。
哈密顿的四元数(a，b，c，d)类似于复数记为a+bi+cj+dk，其中a,b,c,d∈R，I,j,k满足i2=j2=k2=ijk=-1,ij=-ij=k,jk=-kj=I,ki=-ik=j。
因为bj+cj+dk 可以在三维空间中用几何的方法构造直线或径矢[2]532，所以，哈密顿把四元数Q=a+bi+cj+dk分为两局部：数量局部SQ=a和向量局部VQ=bi+cj+dk。
哈密顿第一个用“向量〔vector〕〞表示了有向线段。
正当哈密顿建立四元数时，格拉斯曼对复数作了更大胆的推广。
在他1840年完成的论文潮汐理论中已包括了三维向量代数的大局部内容，1944年的线性扩张理论阐述了n维向量空间。
数学万花筒(22) 向量史话
数学万花筒(22)向量史话我们生活在一个激动人心的年代，“神七”飞天，“嫦娥”奔月，外层空间旅行也已不再是遥不可及的神话.空间探索向人们提出了很多难题，如发射一枚导弹，它的速度、它所受到的力，以及运动中的加速度，都是成功与否的重要因素.你可曾划过小河中逆流而行的小船？你在江河中游泳时，顺流而下与逆流而上感觉有何不同？你一定有过这样的经历，顺风行走非常轻松，逆风前进则步履困难得多…….足球比赛中正在传球的队员、快速救球的守门员；正在航行的飞机；对行进中的敌舰发射的鱼雷；甚至肆虐的龙卷风、海啸…….所有这些，都在叙述着向量的故事.向量又称矢量，是既有大小又有方向的量.向量是作为力、速度、加速度等物理量的模型而被引入数学的.还有很多物理量也是向量，如位移、电场强度、磁感应强度等.向量一词来自力学、解析几何中的有向线段.最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿.公元前，古希腊的亚里士多德就已经知道力可以表示成向量，两个力的合成可以运用平行四边形法则得到.公元十六世纪到十七世纪，德国的斯蒂文也开始应用平行四边形法则来处理静力学问题.同时期的意大利物理学家伽利略也发现并运用了这一法则.稍后，丹麦的未塞尔、瑞士的阿工发现了复数的几何表示，德国的高斯建立起了复平面的概念，从而平面向量就与复数建立起了一一对应的关系，它不仅为虚数给出了实际的几何解释，不再虚无缥缈，也为复数的运用提供了更广阔的平台.19世纪末、20世纪初的英国数学家亥维赛在向量分析上作出了许多贡献.他首先给出了向量的定义——向量可以表示成ai+bj+ck的形式(空间向量).这里的i，j，k分别是沿着x，y，z轴正方向的单位向量，系数a，b，c是实数，称为分量.至于n维向量的理论则是由德国数学家格拉斯曼于1844年引入的.高中数学中所研究的向量是一种带几何性质的量，所有非零向量都可以用带箭头的线段表示，箭头表示方向．高等数学则对向量进行了推广.比如，把所有实系数多项式的全体看成一个多项式空间，这里的每一个多项式都可以看成一个向量，在这种情况下，要找出起点和终点以及画出带箭头的有向线段都是办不到的．向量空间中的向量，比几何中的向量要广泛得多，可以是任意数学对象或物理对象．这样，就可以使线性代数方法在自然科学领域中得到更广阔的应用．向量空间的概念，已成为数学中最基本的概念和线性代数的中心内容，而空间向量及其线性运算也为“向量空间”这一抽象的概念提供了一个具体的模型．如上所述，向量的概念源于物理学中的力、速度等，是从物理量中抽象出来的数学概念，而向量的加、减运算也是完全遵循了矢量运算的基本规律.不仅如此，向量理论中的一些重要概念，也都源于物理，如向量的数量积就源于力的做功. 但其应用却远远超过了力的做功本身.运用向量的数量积既可以计算向量的模(即线段的长度)、向量之间的夹角，还可以证明线段的平行与垂直关系、线与面、面与面的平行与垂直关系.也正因为此，我们就能够运用向量求解空间中异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的大小以及点面、线面与面面之间的距离等问题了.这种以物理对象作为数学模型的数学结构的形成方式，在中学数学中是独一无二的，它拓展了数学的生成和发展空间.与此同时，这一源于物理的数学结构对解决数学中的问题，促进数学的发展也发挥了很大的作用.由于向量与实数对的对应关系的建立，沟通了几何与代数之间的联系，从而进一步拓展了向量的应用范围，为数学带来了更多的活力.用代数方法证明柯西不等式的思路是很不容易想到的，然而从向量的角度，利用n维向量数量积的性质来证明，则显得非常简单、明了.关于此问题的证明我们将在第二章中介绍，在此就不赘述了.对三角形中的正弦定理和余弦定理，用向量观点看，其本质就更能够得到统一：反映三角形的边、角之间关系的最基本的关系式为，从这个关系式出发，以“数量化”的思想为指导，通过不同的数量化方式，就可以得到三角形中边角关系的不同表达形式.如通过“平方”，就可得到余弦定理；通过两边同时乘BC边上的高对应的单位向量j，即可得到正弦定理；而将等式两边同时乘向量，又可得到射影定理，即b=acosC+ccosA(这里的“乘”和“平方”都是数量积运算).向量变换为我们表示平面(空间)中图形的变换带来方便.如图形的平移变换就可以用向量非常简捷地给出表示，线段的定比分点的位置也可以通过向量非常简单地加以刻画.而且通过构造向量，还可以解决更多的数学问题.譬如，已知正实数x，y满足x+y=1，求证：解析：由目标式联想不等式：由|a||b|≥|a·b|，|a|2|b|2≥|a·b|2.设a=(1，1)，b=()，则(12+12) [+]2，由x+y=1，可得4，从而向量的魅力由此可见一斑.。
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向量产生和发展历程
一、向量的产生：
规定了方向和大小的量称为向量．向量又称为矢量，最初被应用于物理学．很多物理量
如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量．大约公元前350年前，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量，两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到．“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段．最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿．
二、向量的发展过程：
向量是一种带几何性质的量，除零向量外，总可以画出箭头表示方向．但是在高等数学中还有更广泛的向量．例如，把所有实系数多项式的全体看成一个多项式空间，这里的多项式都可看成一个向量．在这种情况下，要找出起点和终点甚至画出箭头表示方向是办不到的．这种空间中的向量比几何中的向量要广泛得多，可以是任意数学对象或物理对象．这样，就可以指导线性代数方法应用到广阔的自然科学领域中去了．因此，向量空间的概念，已成了数学中最基本的概念和线性代数的中心内容，它的理论和方法在自然科学的各领域中得到了广泛的应用．而向量及其线性运算也为“向量空间”这一抽象的概念提供出了一个具体的模型．
从数学发展史来看，历史上很长一段时间，空间的向量结构并未被数学家们所认识，直到19世纪末20世纪初，人们才把空间的性质与向量运算联系起来，使向量成为具有一套优良运算通性的数学体系．
向量能够进入数学并得到发展，首先应从复数的几何表示谈起．18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数a＋bi，并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的运算．把坐标平面上的点用向量表示出来，并把向量的几何表示用于研究几何问题与三角问题．人们逐步接受了复数，也学会了利用复数来表示和研究平面中的向量，向量就这样平静地进入了数学．
但复数的利用是受限制的，因为它仅能用于表示平面，若有不在同一平面上的力作用于同一物体，则需要寻找所谓三维“复数”以及相应的运算体系．19世纪中期，英国数学家汉密尔顿发明了四元数（包括数量部分和向量部分），以代表空间的向量．他的工作为向量代数和向量分析的建立奠定了基础．随后，电磁理论的发现者，英国的数学物理学家麦克思韦尔把四元数的数量部分和向量部分分开处理，从而创造了大量的向量分析．现代向量理论是在复数的几何表示这条线索上发展起来的。
18世纪，由于在一些数学的推导中用到复数，复数的几何表示成为人们探讨的热点。
哈密顿在做3维复数的模拟物的过程中发现了四元数。
随后，吉布斯和亥维赛在四元数基础上创造了向量分析系统，最终被广为接受。