2020初升高暑期衔接班讲义《第4讲 三角形的五心》(适合中等以上学生)
三角形的重心、外心、垂心、内心和旁心(五心定理)
三角形五心定理（三角形的重心, 外心, 垂心, 内心和旁心称之为三角形的五心）三角形五心定理是指三角形重心定理, 外心定理, 垂心定理, 内心定理, 旁心定理的总称.之马矢奏春创作一、二、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点.该点叫做三角形的重心.三中线交于一点可用燕尾定理证明, 十分简单.（重心原是一个物理概念, 对等厚度的质量均匀的三角形薄片, 其重心恰为此三角形三条中线的交点, 重心因而得名）重心的性质：1、重心到极点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1.2、重心和三角形3个极点组成的3个三角形面积相等.即重心到三条边的距离与三条边的长成反比.3、重心到三角形3个极点距离的平方和最小.4、在平面直角坐标系中, 重心的坐标是极点坐标的算术平均, 即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3, （Y1+Y2+Y3)/3.二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心, 叫做三角形的外心.外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点, 该点即为该三角形外心.2、若O是△ABC的外心, 则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）.3、当三角形为锐角三角形时, 外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时, 外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时, 外心在斜边上, 与斜边的中点重合.4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1, d2, d3分别是三角形三个极点连向另外两个极点向量的点乘.c1=d2d3,c2=d1d3, c3=d1d2；c=c1+c2+c3.重心坐标：( (c2+c3)/2c,(c1+c3)/2c, (c1+c2)/2c ).5、外心到三极点的距离相等三、三角形垂心定理三角形的三条高（所在直线）交于一点, 该点叫做三角形的垂心.垂心的性质：1、三角形三个极点, 三个垂足, 垂心这7个点可以获得6个四点圆.2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线, 且OG∶GH=1∶2.（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））3、垂心到三角形一极点距离为此三角形外心到此极点对边距离的2倍.4、垂心分每条高线的两部份乘积相等.定理证明已知：ΔABC中, AD、BE是两条高, AD、BE交于点O, 连接CO 并延长交AB于点F , 求证：CF⊥AB证明：连接DE ∵∠ADB=∠AEB=90度∴A、B、D、E四点共圆∴∠ADE=∠ABE∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC ∴ΔAEO∽ΔADC∴AE/AO=AD/AC ∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE 又∵∠ABE+∠BAC=90度∴∠ACF+∠BAC=90度∴CF⊥AB因此, 垂心定理成立！四、三角形内心定理三角形内切圆的圆心, 叫做三角形的内心.内心的性质：1、三角形的三条内角平分线交于一点.该点即为三角形的内心.2、直角三角形的内心到边的距离即是两直角边的和减去斜边的差的二分之一.3、P为ΔABC所在平面上任意一点, 点I是ΔABC内心的充要条件是：向量PI=(a×向量PA+b×向量PB+c×向量PC)/(a+b+c).4、O为三角形的内心, A、B、C分别为三角形的三个极点, 延长AO交BC边于N, 则有AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC五、三角形旁心定理三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心, 叫做三角形的旁心.旁心的性质：1、三角形一内角平分线和另外两极点处的外角平分线交于一点, 该点即为三角形的旁心.2、每个三角形都有三个旁心.3、旁心到三边的距离相等.如图, 点M就是△ABC的一个旁心.三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点.一个三角形有三个旁心, 而且一定在三角形外.附：三角形的中心：只有正三角形才有中心, 这时重心, 内心, 外心, 垂心, 四心合一.有关三角形五心的诗歌三角形五心歌（重外垂内旁）三角形有五颗心, 重外垂内和旁心, 五心性质很重要, 认真掌握莫记混．重心三条中线定相交, 交点位置真奇巧, 交点命名为“重心”, 重心性质要明了,重心分割中线段, 数段之比听分晓；长短之比二比一, 灵活运用掌握好．外心三角形有六元素, 三个内角有三边．作三边的中垂线, 三线相交共一点．此点界说为外心, 用它可作外接圆．内心外心莫记混, 内切外接是关键．垂心三角形上作三高, 三高必于垂心交．高线分割三角形, 呈现直角三对整,直角三角形有十二, 构成六对相似形, 四点共圆图中有, 细心分析可找清.内心三角对应三极点, 角角都有平分线, 三线相交定共点, 叫做“内心”有根源；点至三边均等距, 可作三角形内切圆, 此圆圆心称“内心”, 如此界说理固然．。
三角形的五心讲义-重心、垂心、内心、外心、旁心
．O A BDC2016届高三数学讲义————三角形的“五心”————（Ⅰ）“五心”的概念及性质一、外心（1）定义：三角形三边垂直平分线的交点(三角形外接圆的圆心)． （2）外心的位置锐角三角形的外心在三角形内；锐角三角形的外心在三角形内； 直角三角形的外心在斜边中点；直角三角形的外心在斜边中点； 钝角三角形的外心在三角形外． （3）性质垂直平分线的性质：到线段两端点距离相等．垂直平分线的性质：到线段两端点距离相等．外心的性质：到三角形三个顶点距离相等．外心的性质：到三角形三个顶点距离相等． 内心到三顶点距离R(三角形外接圆半径)R= 2sin c C(某边除以它对角正弦的2倍) 证明过程如下:连接AO 并延长交圆O 于D,则AD 为圆直径,AD=2R ．又90ABD Ð=°(直径所对的圆周角是90°),AB=c, ADB CÐ=Ð(同弧AB 所对的圆周角相等),∴AD= sin AB ADB Ð,即2R sin c C =, R=2sin cC ． 延伸①:正弦定理由于R=2sin cC ,同理易证2sin 2sin 2sin cbaR C B A===,变形得到变形得到正弦定理: 2sin sin sin a b c R A B C===(每边除以它所对角的正弦为2R) 延伸②:余弦定理2222cos a b c bc A =+- （222cos 2b c a A bc+-=）ABC OA BCD证明过程如下：作CD ^AB 交其于D ，∴cos cos AD AC A b A ==，BD= cos c b A -，sin CD b A =，又222BC BD CD =+，即222(cos )(sin )a c b A b A =-+=22222222cos cos sin 2cos c bc A b A b A b c bc A -++=+-，其他边角也同求．二、内心（1）定义：三角形三条内角平分线的交点,也是三角形内切圆的圆心．也是三角形内切圆的圆心． （2）性质角平分线的性质：到角两边距离相等．角平分线的性质：到角两边距离相等．内心的性质：到三角形三边距离相等．内心的性质：到三角形三边距离相等．延伸①：内角平分线定理如图，AD 为△ABC 中BAC Ð的平分线，则有的平分线，则有(=)A B B D A C D C =上左下左上右下右证明过程如下：作BE//AC 交其延长线于E,则E DAC Ð=Ð． ∵BAD DAC Ð=Ð,∴E BAD Ð=Ð,AB BE ==c ． 又∵BE//AC,易证△ADC ∽ △EDB, ∴BD=DCAB EB AC AC =,得证． 延伸②：外角平分线定理如图，AD 为△ABC 的外角平分线，交BC 延长线于D ，则有()AB BDAC DC=同上IK H EF D ABCMABDCEcb cAB CDEFcb cA FBDCE证明过程如下：作CE//AB 交AD 于E,则AEC EAF Ð=Ð．∵EAF EAC Ð=Ð,∴AEC EAC Ð=Ð,AC AE =． 又∵CE//AB,易证△ADB ∽ △EDC, ∴BD =DCAB AB ACCE=,得证．得证．延伸③：三角形内角平分线长公式如图，AD 为△ABC 中BAC Ð的平分线，则有的平分线，则有2bccos 2cos2211b+c +b c A AAD =（或）证明过程如下：作BE//AC 交其延长线于E,BF ^AE 交其于F ．由前文的内角平分线定理可知，△ADC ∽ △EDB,∴bcAD AC DE BE ==． 又+DE=AE AD ,即bb+cAD AE =．而△ABE 为等腰三角形, BF ^AE, ∴22sin =2csin 2AAE AF AB BAF ==Ð,∴2bccos 2cos 2211b+c +b cA AAD =（或）．延伸④：内心到三边距离r(三角形内切圆半径)设三角形面积为S ，则有，则有2r=a+b+cS（即面积的（即面积的22倍除以周长） 证明过程如下：连接OA,OB,OC ． ∵相切，∴OF AB ^，即S △AOB = 11cr 22AB OF ·=，同理，同理S △AOC = 1br 2，S △BOC = 1ar 2．又∵S=S △AOB + S △AOC + S △BOC ,即S= 1(a+b+c)r 2,∴2r=a+b+cS．．O A F BDCE（1）定义：三角形三条中线的交点．三角形三条中线的交点． （2）性质中线性质:将三角形面积等分成两部分．将三角形面积等分成两部分． 重心性质:分三角形的中线两段长比例为2:1(长:短) 如图:AD,BE,CF 为△ABC 三条中线，G 为其重心，则有:::2:1A G G CB G G EC G G F === 证明过程如下：作BH//FC 交AD 延长线于H,易证△GDC ≌ △HDB ，∴,2GD DH GH GD == 又∵BH//FG ，F 为AB 中点，∴G 也为AH 中点，即2AG GH GD ==， ∴:2:1AG GC =，其他同证．，其他同证． 延伸:三角形中线长公式如图,AD 为△ABC 的中线,则有则有221b +c +2bccos 2AD A =证明过程如下:作BE//AC 交AD 延长线于E,易证△ADC ≌ △EDB ， ∴1,=2AD DE AD AE=即，∵BE//AC ，∴ABF A Ð=Ð．作AF ^EB 交其交其 延长线于F ．又AB=c ，∴BF=AB cos ABF Ð=cos c A ，AF=sin c A ， 故EF=cos c A b +．∴12AD AE ==222211(cos )(sin )b +c +2bccos 22c A b c A A ++=四、垂心（1）定义：三角形三条高的交点．：三角形三条高的交点． （2）性质斜三角形的三个顶点与垂心这四个点中，任何三个为顶点的三角形的垂任何三个为顶点的三角形的垂 心就是第四个点．所以把这样的四个点称为一个“垂心组”．AFBEDCBCD EFGAG FE CBD H（1）定义：三角形的一条内角平分线与另两个外角平分线的交点(旁切圆的圆心)．（2）性质每个三角形都有三个旁切圆．每个三角形都有三个旁切圆．三角形的四心（内心、重心、垂心、外心）只有 一个，但旁心有三个，旁心到三角形三边所在直线距离相等． （Ⅱ）三角形“四心”与向量的典型问题分析向量是数形结合的载体，有方向，大小，双重性，不能比较大小．在高中数学“平面向量”（必修4第二章）的学习中，一方面通过数形结合来研究向量的概念和运算；另一方面，我们又以向量为工具，运用数形结合的思想解决数学问题和物理的相关问题．我们又以向量为工具，运用数形结合的思想解决数学问题和物理的相关问题．在平面向量的应用中，用平面向量解决平面几何问题时，首先将几何问题中的几何元素和几何关系用向量表示，然后选择适当的基底向量，将相关向量表示为基向量的线性组合，把问题转化为基向量的运算问题，最后将运算的结果再还原为几何关系．把问题转化为基向量的运算问题，最后将运算的结果再还原为几何关系．下面就以三角形的四心为出发点，应用向量相关知识，巧妙的解决了三角形四心所具备的一些特定的性质．既学习了三角形四心的一些特定性质，又体会了向量带来的巧妙独特的数学美感．的数学美感．一、“重心”的向量风采【命题1】 已知G 是ABC △所在平面上的一点，若0GA GB GC ++=，则G 是ABC△的重心．如图⑴．的重心．如图⑴．A'GCAB【命题2】 已知O 是平面上一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足()OP OA AB AC l =++，(0)l Î+¥，，则P 的轨迹一定通过ABC △的重心．的重心． 【解析】【解析】 由题意()AP AB AC l =+ ，当(0)l Î+¥，时，由于()AB AC l +表示BC 边ABCDEFI a图⑴图⑴图⑵图⑵MPCBAO二、“垂心”的向量风采【命题3】 P 是ABC △所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ×=×=×，则P 是ABC △的垂心．的垂心．【解析】【解析】由PA PB PB PC ×=× ，得()0PB PA PC ×-= ，即0PB CA ×=，所以PB CA ⊥．同理可证PC AB ⊥，PA BC⊥．∴P 是ABC △的垂心．如图⑶．的垂心．如图⑶．PABC【命题4】 已知O 是平面上一定点，AB C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足cos cos AB AC OP OA AB B AC C l æöç÷=++ç÷èø ，(0)l Î+¥，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的垂心．的垂心．【解析】【解析】 由题意cos cos AB AC AP AB B AC C l æöç÷=+ç÷èø，由于0cos cos AB AC BC AB B AC C æöç÷+×=ç÷èø， 即0cos cos AB BC AC BC BC CB AB B AC C××+=-=,所以AP 表示垂直于BC 的向量，即P 点在过点A 且垂直于BC 的直线上，所以动点P 的轨迹一定通过ABC △的垂心，如图⑷．的垂心，如图⑷．图⑶图⑶ 图⑷图⑷ H FEM ABCO P三、“内心”的向量风采 【命题5】 已知I 为ABC △所在平面上的一点，且AB c =，AC b =，BC a = ．若0aIA bIB cIC++=，则I 是ABC △的内心．的内心．【解析】 ∵IB IA AB =+ ，IC IA AC =+ ，则由题意得()0a b c IA bAB cAC++++=，∵AB AC bAB cAC AC AB AB AC AC AB AB ACæöç÷+=×+×=××+ç÷èø， ∴bc AB AC AI a b c AB ACæöç÷=+ç÷++èø．∵AB AB与ACAC分别为AB 和AC 方向上的单位向量，量，∴AI与BAC ∠平分线共线，即AI 平分BAC Ð． 同理可证：BI 平分ABC Ð，CI 平分ACB Ð．从而I 是ABC △的内心，如图⑸．的内心，如图⑸．【命题6】 已知O 是平面上一定点，AB C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足AB ACOP OA AB ACl æö=++ç÷èø，(0)l Î+¥，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的内心．的内心． 【解析】【解析】 由题意得AB AC AP AB AC l æöç÷=+ç÷èø，∴当(0)l Î+¥，时，AP 表示BAC Ð的平分线所在直线方向的向量，故动点P 的轨迹一定通过ABC △的内心，如图⑹．的内心，如图⑹．图⑸图⑸图⑹图⑹ABCOPbacIA CBOCAB四、“外心”的向量风采【命题7】 已知O 是ABC △所在平面上一点，若222OA OB OC == ，则O 是ABC △的外心．外心．【解析】 若222OA OB OC == ，则222O A O B O C == ，∴OA OB OC == ，则O是ABC △的外心，如图⑺．的外心，如图⑺．【命题7】 已知O 是平面上的一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足2cos cos OB OC AB AC OP AB B AC Cl æö+ç÷=++ç÷èø，(0)l Î+¥，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的外心．的外心．【解析】 由于2OB OC + 过BC 的中点，当(0)l Î+¥，时，cos cos AB AC AB B AC Cl æöç÷+ç÷èø表示垂直于BC的向量（注意：理由见二、命题4解释．），所以P 在BC 垂直平分线上，动点P 的轨迹一定通过ABC △的外心，如图⑻．的外心，如图⑻．图⑺图⑺M OB CAP图⑻图⑻。
全国高中数学联赛辅导课件三角形的五心
1 1 2 1 2
∠ O2 O1 K=
1 2
( ∠ O2 O1S+ ∠ SO1K)
= (∠O2O1S+∠PO1O2 ) = ∠PO1S=∠A. 同理有∠O1O2O3 =∠
2
B.故△O1O2O3∽△ABC.
7
内心: 三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆 圆心.△ABC 的内心一般用字母 I 表示，它具有如下性质： (1)内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角. (2)∠A 的平分线和△ABC 的外接圆相交于点 D， D 与顶点 B、 则 C、 内心 I 等距(即 D 为△BCI 的外心). (3)∠BIC=90º+ ∠A，∠CIA=90º + ∠B，∠AIB=90º+ ∠C.
5
3答案
思考练习 3. AB 为半圆 O 的直径， 其弦 AF、 相交于 Q， BE 过 E、F 分别作半圆的切线得交点 P，求证：PQ⊥AB. 分析：延长 EP 到 K，使 PK=PE，连 KF、AE、EF、BF， 直线 PQ 交 AB 于 H.因∠EQF=∠AQB =( 9 0 －∠1)+( 9 0 +∠2) =∠ABF+∠BAE=∠QFP+∠QEP， 又由 PK=PE=PF 知∠K=∠PFK， ∴∠EQF+∠K=∠QFK+∠QEK= 1 8 0 ， 从而 E、Q、F、K 四点共圆. 由 PK=PF=PE 知，P 为△EFK 的外心，显然 PQ=PE=PF.于 是∠1+∠AQH=∠1+PQF=∠1+∠PFQ=∠1+∠AFP=∠1+∠ ABF=90º .由此知 QH⊥AH，即 PQ⊥AB.
三角形的五心
第五讲 三角形的五心三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心. 一、外心.三角形外接圆的圆心，简称外心.与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理.例1．过等腰△ABC 底边BC 上一点P 引PM ∥CA 交AB 于M ；引PN ∥BA 交AC 于N .作点P 关于MN 的对称点P ′.试证：P ′点在△ABC 外接圆上. (杭州大学《中学数学竞赛习题》)分析：由已知可得MP ′=MP =MB ，NP ′=NP=NC ，故点M 是△P ′BP 的外心，点 N 是△P ′PC 的外心.有 ∠BP ′P =21∠BMP =21∠BAC ，∠PP ′C =21∠PNC =21∠BAC .∴∠BP ′C =∠BP ′P +∠P ′PC =∠BAC .从而，P ′点与A ，B ，C 共圆、即P ′在△ABC 外接圆上. 由于P ′P 平分∠BP ′C ，显然还有 P ′B :P ′C =BP :PC .例2．在△ABC 的边AB ，BC ，CA 上分别取点P ，Q ，S .证明以△APS ，△BQP ，△CSQ 的外心为顶点的三角形与△ABC 相似.(B ·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)分析：设O 1，O 2，O 3是△APS ，△BQP ，△CSQ 的外心，作出六边形 O 1PO 2QO 3S 后再由外 心性质可知 ∠PO 1S =2∠A ， ∠QO 2P =2∠B ， ∠SO 3Q =2∠C .∴∠PO 1S +∠QO 2P +∠SO 3Q =360°.从而又知∠O 1PO 2+∠O 2QO 3+∠O 3SO 1=360°将△O 2QO 3绕着O 3点旋转到△KSO 3，易判断△KSO 1≌△O 2PO 1，同时可得△O 1O 2O 3≌△O 1KO 3. ∴∠O 2O 1O 3=∠KO 1O 3=21∠O 2O 1K=21(∠O 2O 1S +∠SO 1K ) =21(∠O 2O 1S +∠PO 1O 2) =21∠PO 1S =∠A ；同理有∠O 1O 2O 3=∠B .故△O 1O 2O 3∽△ABC .A BCPP MN'A B C QK P O O O ....S123二、重心三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心.掌握重心将每 条中线都分成定比2:1及中线长度公式，便于解题.例3．AD ，BE ，CF 是△ABC 的三条中线，P 是任意一点.证明：在△PAD ，△PBE ，△PCF 中，其中一个面积等于另外两个面积的和. (第26届莫斯科数学奥林匹克)分析：设G 为△ABC 重心，直线PG 与AB，BC 相交.从A ，C ，D ，E ，F 分别 作该直线的垂线，垂足为A ′，C ′， D ′，E ′，F ′. 易证AA ′=2DD ′，CC ′=2FF ′，2EE ′=AA ′+CC ′， ∴EE ′=DD ′+FF ′. 有S △PGE =S △PGD +S △PGF .两边各扩大3倍，有S △PBE =S △PAD +S △PCF .例4．如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似.其逆亦真.分析：将△ABC 简记为△，由三中线AD ，BE ，CF 围成的三角形简记为△′.G为重心，连DE 到H ，使EH =DE ，连HC ，HF ，则△′就是△HCF .(1)a 2，b 2，c 2成等差数列⇒△∽△′. 若△ABC 为正三角形，易证△∽△′. 不妨设a ≥b ≥c ，有 CF =2222221c b a -+， BE =2222221b a c -+， AD =2222221ac b -+.将a 2+c 2=2b 2，分别代入以上三式，得 CF =a23，BE =b 23，AD =c23.∴CF :BE :AD =a23:b 23:c23=a :b :c .故有△∽△′.(2)△∽△′⇒a 2，b 2，c 2成等差数列. 当△中a ≥b ≥c 时， △′中CF ≥BE ≥AD . ∵△∽△′， ∴∆∆S S '＝(aCF )2.AA 'FF 'G E E 'D 'C'P C B D据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的43”，有∆∆S S '=43.∴22aCF =43⇒3a 2=4CF 2=2a 2+b 2-c 2 ⇒a 2+c 2=2b 2.三、垂心三角形三条高的交战，称为三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四个等(外接)圆三角形，给我们解题提供了极大的便利.例5．设A 1A 2A 3A 4为⊙O 内接四边形，H 1，H 2，H 3，H 4依次为△A 2A 3A 4，△A 3A 4A 1，△A 4A 1A 2，△A 1A 2A 3的垂心.求证：H 1，H 2，H 3，H 4四点共圆，并确定出该圆的圆心位置.(1992，全国高中联赛) 分析：连接A 2H 1，A 1H 2，H 1H 2，记圆半径为R .由△A 2A 3A 4知13212sin H A A H A ∠=2R ⇒A 2H 1=2R cos ∠A 3A 2A 4； 由△A 1A 3A 4得A 1H 2=2R cos ∠A 3A 1A 4.但∠A 3A 2A 4=∠A 3A 1A 4，故A 2H 1=A 1H 2. 易证A 2H 1∥A 1A 2，于是，A 2H 1 A 1H 2，故得H 1H 2 A 2A 1.设H 1A 1与H 2A 2的交点为M ，故H 1H 2与A 1A 2关于M 点成中心对称.同理，H 2H 3与A 2A 3，H 3H 4与A 3A 4，H 4H 1与A 4A 1都关于M 点成中心对称.故四边形H 1H 2H 3H 4与四边形A 1A 2A 3A 4关于M 点成中心对称，两者是全等四边形，H 1，H 2，H 3，H 4在同一个圆上.后者的圆心设为Q ，Q 与O 也关于M 成中心对称.由O ，M 两点，Q 点就不难确定了.例6．H 为△ABC 的垂心，D ，E ，F 分别是BC ，CA ，AB 的中心.一个以H 为圆心的⊙H 交直线EF ，FD ，DE 于A 1，A 2，B 1，B 2，C 1，C 2.求证：AA 1=AA 2=BB 1=BB 2=CC 1=CC 2. (1989，加拿大数学奥林匹克训练题) 分析：只须证明AA 1=BB 1=CC 1即可.设 BC =a ， CA =b ，AB =c ，△ABC 外接圆半径为R ，⊙H 的半径为r . 连HA 1，AH 交EF 于M . A 21A =AM 2+A 1M 2=AM 2+r 2-MH 2=r 2+(AM 2-MH 2)， ①又AM 2-HM 2=(21AH 1)2-(AH -21AH 1)2∥=∥=.OA A A A 1234H H12H H HMA B BA ABC CC F12111222D E=AH ·AH 1-AH 2=AH 2·AB -AH 2=cos A ·bc -AH 2， ② 而ABH AH∠sin =2R ⇒AH 2=4R 2cos 2A ,Aasin =2R ⇒a 2=4R 2sin 2A . ∴AH 2+a 2=4R 2，AH 2=4R 2-a 2. ③ 由①、②、③有 A 21A =r 2+bcac b 2222-+·bc -(4R 2-a 2)=21(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2.同理，21BB =21(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2，21CC =21(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2.故有AA 1=BB 1=CC 1.四、内心三角形内切圆的圆心，简称为内心.对于内心，要掌握张角公式，还要记住下面一个极为有用的等量关系：设I 为△ABC 的内心，射线AI 交△ABC 外接圆于A ′，则有A ′I =A ′B =A ′C .换言之，点A ′必是△IBC 之外心(内心的等量关系之逆同样有用).例7．ABCD 为圆内接凸四边形，取△DAB ，△ABC ，△BCD ， △CDA 的内心O 1， O 2，O 3， O 4.求证：O 1O 2O 3O 4为矩形.(1986，中国数学奥林匹克集训题)证明见《中等数学》1992；4例8．已知⊙O 内接△ABC ，⊙Q 切AB ，AC 于E ，F 且与⊙O 内切.试证：EF中点P 是△ABC 之内心.(B ·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)分析：在第20届IMO 中，美国提供的一道题实际上是例8的一种特例，但它增加了条件AB =AC .当AB ≠AC ，怎样证明呢？如图，显然EF 中点P 、圆心Q ，BC 中点K 都在∠BAC 平分线上.易知AQ =αsin r .∵QK ·AQ =MQ ·QN ， ∴QK =AQQN MQ ⋅=αsin /)2(r r r R ⋅-=)2(sin r R -⋅α.由Rt △EPQ 知PQ =r ⋅αsin .A B C D O O O 234O1AααMBC KN ER OQ Fr P∴PK =PQ +QK =r ⋅αsin +)2(sin r R -⋅α=R 2sin ⋅α. ∴PK =BK .α利用内心等量关系之逆定理，即知P 是△ABC 这内心. 五、旁心三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于 一点，是旁切圆的圆心，称为旁心.旁心常常与内心联系在一起， 旁心还与三角形的半周长关系密切.例9．在直角三角形中，求证：r +r a +r b +r c =2p .式中r ，r a ，r b ，r c 分别表示内切圆半径及与a ，b ，c 相切的旁切圆半径，p 表示半周.(杭州大学《中学数学竞赛习题》)分析：设Rt △ABC 中，c 为斜边，先来证明一个特性：p (p -c )=(p -a )(p -b ).∵p (p -c )=21(a +b +c )·21(a +b -c )=41[(a +b )2-c 2] =21ab ；(p -a )(p -b )=21(-a +b +c )·21(a -b +c )=41[c 2-(a -b )2]=21ab .∴p (p -c )=(p -a )(p -b ). ① 观察图形，可得 r a =AF -AC =p -b ， r b =BG -BC =p -a ， r c =CK =p . 而r =21(a +b -c )=p -c . ∴r +r a +r b +r c=(p -c )+(p -b )+(p -a )+p =4p -(a +b +c )=2p . 由①及图形易证.例10．M 是△ABC 边AB 上的任意一点.r 1，r 2，r 分别是△AMC ，△BMC ，△ABC 内切圆的半径，q 1，q 2，q 分别是上述三角形在∠ACB 内部的旁切圆半径.证明：11q r ·22q r =qr .(IMO -12)分析：对任意△A ′B ′C ′，由正弦定理可知K r r r r O O O 213AOECBabcOD =OA ′·2'sinA=A ′B ′·'''sin 2'sinB O A B ∠·2'sin A =A ′B ′·2''sin2'sin2'sinB A B A +⋅，O ′E = A ′B ′·2''sin2'cos2'cosB A B A +.∴2'2''B tgA tg EO OD =.亦即有11q r ·22q r =2222B tgCNB tgCMA tgA tg∠∠=22B tgA tg=qr .六、众心共圆这有两种情况：(1)同一点却是不同三角形的不同的心；(2)同一图形出现了同一三角形的几个心. 例11．设在圆内接凸六边形ABCDFE 中，AB =BC ，CD =DE ，EF =FA .试证：(1)AD ，BE ，CF 三条对角线交于一点；(2)AB +BC +CD +DE +EF +FA ≥AK +BE +CF . (1991，国家教委数学试验班招生试题)分析：连接AC ，CE ，EA ，由已知可证AD ，CF ，EB 是△ACE 的三条内角平分线，I 为△ACE 的内心.从而有ID =CD =DE ，IF =EF =FA ， IB =AB =BC . 再由△BDF ，易证BP ，DQ ，FS 是它的三条高，I 是它的垂心，利用 不等式有： BI +DI +FI ≥2·(IP +IQ +IS ).不难证明IE =2IP ，IA =2IQ ，IC =2IS . ∴BI +DI +FI ≥IA +IE +IC .∴AB +BC +CD +DE +EF +FA =2(BI +DI +FI )≥(IA +IE +IC )+(BI +DI +FI ) =AD +BE +CF . I 就是一点两心.例12．△ABC 的外心为O ，AB =AC ，D 是AB 中点，E 是△ACD 的重心.证明A ...'B'C'O O 'EDE rdos..I P ABCD E FQSOE 丄CD .(加拿大数学奥林匹克训练题) 分析：设AM 为高亦为中线，取AC 中点F ，E 必在DF 上且DE :EF =2:1.设 CD 交AM 于G ，G 必为△ABC 重心. 连GE ，MF ，MF 交DC 于K .易证：DG :GK =31DC :(3121-)DC =2:1.∴DG :GK =DE :EF ⇒GE ∥MF . ∵OD 丄AB ，MF ∥AB ，∴OD 丄MF ⇒OD 丄GE .但OG 丄DE ⇒G 又是△ODE 之垂心. 易证OE 丄CD .例13．△ABC 中∠C =30°，O 是外心，I 是内心，边AC 上的D 点与边BC 上的E 点使得AD =BE =AB .求证：OI 丄DE ，OI =DE .(1988，中国数学奥林匹克集训题)分析：辅助线如图所示，作∠DAO 平分线交BC 于K . 易证△AID ≌△AIB ≌△EIB ，∠AID =∠AIB =∠EIB . 利用内心张角公式，有 ∠AIB =90°+21∠C =105°，∴∠DIE =360°-105°×3=45°. ∵∠AKB =30°+21∠DAO=30°+21(∠BAC -∠BAO ) =30°+21(∠BAC -60°)=21∠BAC =∠BAI =∠BEI .∴AK ∥IE .由等腰△AOD 可知DO 丄AK ，∴DO 丄IE ，即DF 是△DIE 的一条高. 同理EO 是△DIE 之垂心，OI 丄DE . 由∠DIE =∠IDO ，易知OI =DE .例14．锐角△ABC 中，O ，G ，H 分别是外心、重心、垂心.设外心到三边距离和为d 外，重心到三边距 离和为d 重，垂心到三边距离和为d 垂.求证：1·d 垂+2·d 外=3·d 重. 分析：这里用三角法.设△ABC 外接圆半径为1，三个内角记为A ，B ， C . 易知d 外=OO 1+OO 2+OO 3 =cos A +co sB +cos C ，∴2d 外=2(cos A +cos B +cos C ). ①AB CDE FOKG O A BC DEFIK30°B CO IA O G H O G H G O G H 123112233∵AH 1=sin B ·AB =sin B ·(2sin C )=2sin B ·sin C ， 同样可得BH 2·CH 3.∴3d 重=△ABC 三条高的和=2·(sin B ·sin C +sin C ·sin A +sin A ·sin B ) ② ∴BCHBH sin =2，∴HH 1=cos C ·BH =2·cos B ·cos C . 同样可得HH 2，HH 3. ∴d 垂=HH 1+HH 2+HH 3=2(cos B ·cos C +cos C ·cos A +cos A ·cos B ) ③ 欲证结论，观察①、②、③，须证(cos B ·cos C +cos C ·cos A +cos A ·cos B )+( cos A + cos B + cos C )=sin B ·sin C +sin C ·sin A +sin A ·sin B .即可.练 习 题1.I 为△ABC 之内心，射线AI ，BI ，CI 交△ABC 外接圆于A ′， B ′，C ′.则AA ′+BB ′+CC ′＞△ABC 周长.(1982，澳大利 亚数学奥林匹克)2.△T ′的三边分别等于△T 的三条中线，且两个三角形有一组角相等.求证这两个三角形相似.(1989，捷克数学奥林匹克)3.I 为△ABC 的内心.取△IBC ，△ICA ，△IAB 的外心O 1，O 2，O 3.求证：△O 1O 2O 3与△ABC 有公共的外心.(1988，美国数学奥林匹克)4.AD 为△ABC 内角平分线.取△ABC ，△ABD ，△ADC 的外心O ，O 1，O 2.则△OO 1O 2是等腰三角形.5.△ABC 中∠C ＜90°，从AB 上M 点作CA ，CB 的垂线MP ，MQ .H 是△CPQ 的垂心.当M 是AB 上动点时，求H 的轨迹.(IMO -7)6.△ABC 的边BC =21(AB +AC )，取AB ，AC 中点M ，N ，G 为重心，I 为内心.试证：过A ，M ，N 三点的圆与直线GI 相切.(第27届莫斯科数学奥林匹克) 7.锐角△ABC 的垂心关于三边的对称点分别是H 1，H 2，H 3.已知：H 1，H 2，H 3，求作△ABC .(第7届莫斯科数学奥林匹克)8.已知△ABC 的三个旁心为I 1，I 2，I 3.求证：△I 1I 2I 3是锐角三角形.9.AB ，AC 切⊙O 于B ，C ，过OA 与BC 的交点M 任作⊙O 的弦EF .求证：(1)△AEF 与△ABC 有公共的内心；(2)△AEF 与△ABC 有一个旁心重合.[编辑本段]1、重心三角形三条中线的交点叫做三角形重心。
平面几何竞赛讲座(三)三角形的“五心”
M平面几何竞赛讲座（三）三角形的“五心”一、基本概念1、内心：与三角形所有边相切的圆叫做此三角形的内切圆，其圆心叫做此三角形的内心.内心是三角形三条内角平分线的交点.三角形的内心在三角形内部.内心有以下常用的性质：性质1：设I是⊿ABC内一点，I为⊿ABC内心的充要条件是：I到三角形三边的距离相等.性质2：设I是⊿ABC内一点，AI所在直线交⊿ABC 的外接圆于D，I为⊿ABC内心的充要条件是：ID=DB=DC.性质3：设I是⊿ABC内一点，I为⊿ABC内心的充要条件是：∠BIC=900+21∠A，∠AIC=900+21∠B，∠AIB=900+21∠C.性质4：设I是⊿ABC内一点，I为⊿ABC内心的充要条件是：⊿IBC、⊿IAC、⊿IAB的外心均在⊿ABC的外接圆上.性质5：设I为⊿ABC内心，BC=a，AC=b，AB=c，I在BC、AC、AB边上的射影分别为D、E、F，内切圆的半径为r，令p=21(a+b+c),则(1)ID=IE=IF=r，S⊿ABC=pr=))()((cpbpapp---=xyzzyx)(++；(2)r=cbaSABC++∆2；(3)abc·r=p·AI·BI·CI.性质6：设I为⊿ABC内心，BC=a，AC=b，AB=c，∠A的平分线交BC于K，交⊿ABC 的外接圆于D，则IKAI=DIAD=DKDI=acb+.〖例1〗如图，设⊿ABC的外接圆O的半径为R，内心为I，∠B=600，∠A<∠C,∠A的外角平分线交圆O于E，证明：(1)IO=AE,(2)2R<IO+IA+IC<(1+3)R. (1994高中联赛)〖例2〗如图，在⊿ABC中，AB=4，AC=6，BC=5，∠A的平分线交⊿ABC的外接圆于K，O、I分别是⊿ABC 的外心和内心，求证：IO⊥AK. (1982四川省数学竞赛题)2、外心：.外心是三角形三条边的垂直平分线的交点. 锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心在斜边中点，钝角三角形的外心在三角形外部.性质1：⊿ABC所在平面上一点是其外心的充要条件是：该点到三角形三顶点的距离相等.性质2：设O是⊿ABC所在平面内一点，则O为⊿ABC的外心的充要条件是：(1)∠BOC=2∠A，∠ACC=2∠B，∠AOB=2∠C.(2)OB=OC, 且∠BOC=2∠A.性质3：R=ABCSabc4或S⊿ABC=Rabc4.〖例3〗如图，设AD是⊿ABC的∠BAC的平分线，O是⊿ABC的外心，01是⊿ABD的外接圆的圆心，02是⊿ADC的外接圆的圆心.求证：OO1=OO2. (1990高中联赛)3、重心：三角形三条边中线的交点叫做此三角形的重心.重心在三角形内部.重心到顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍（即：重心将每条中线分成1:2两部分）.重心有以下常用的性质：性质1：设G是⊿ABC的重心，连AG并延长交BC于D，则D为BC的中点，AD2=21(AB2+AC2)-BC2,且AG:GD=2:1.性质2：设G是⊿ABC的重心，P为⊿ABC内任意一点，则(1)AP2+BP2+CP2=AG2+BG2+CG2+3PG2；(2)AG2+BG2+CG2=31(AB2+BC2+CA2).性质3：设G是⊿ABC内一点，G是⊿ABC的重心的充要条件是下列条件之一：(1)S⊿GBC=S⊿GCA=S⊿GAB=31S⊿ABC；(2)当AG、BG、CG的延长线交三边于D、E、F时，S⊿AFG=S⊿BDG=S⊿CEG.(3)当点G在三边BC、CA、AB上的射影分别为D、E、F时，GD·GE·GF值最大；H (4)过G 的直线交AB 于P ，交AC 于Q 时，AP AB +AQAC=3； (5)BC 2+3AG 2=CA 2+3GB 2=AB 2+3GC 2.4、垂心：三角形三条边高线的交点叫做此三角形的垂心。
2020年初升高数学衔接辅导之三角形(含答案)
09三角形高中必备知识点1：三角形的“四心”三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题.如图3.2-1 ，在三角形ABC V 中，有三条边,,AB BC CA ，三个角,,A B C 行?，三个顶点,,A B C ，在三角形中，角平分线、中线、高（如图3.2-2）是三角形中的三种重要线段.三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点.三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心. 三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等.三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部.过不共线的三点A 、B 、C 有且只有一个圆，该圆是三角形ABC 的外接圆，圆心O 为三角形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点.典型考题【典型例题】如图，在⊙O中，AB是的直径，P A与⊙O相切于点A，点C在⊙O 上，且PC＝P A，（1）求证PC是⊙O的切线；（2）过点C作CD⊥AB于点E，交⊙O于点D，若CD＝P A＝2，①求图中阴影部分面积；②连接AC，若△P AC的内切圆圆心为I，则线段IE的长为．【变式训练】已知菱形ABCD的边长为2．∠ADC=60°，等边△AEF两边分别交边DC、CB于点E、F。
（1）特殊发现：如图①，若点E、F分别是边DC、CB的中点．求证：菱形ABCD对角线AC、BD交点O即为等边△AEF的外心；（2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动．记等边△AEF的外心为点P．①猜想验证：如图②．猜想△AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明；②拓展运用：如图③，当△AEF面积最小时，过点P任作一直线分别交边DA于点M，交边DC的延长线于点N，试判断是否为定值．若是．请求出该定值；若不是．请说明理由。
初中的几何三角形五心及定理性质
初中几何三角形五心定律及性质三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。
三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称重心定理三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。
（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。
2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（（X1+X2+X3）/3，（Y1+Y2+Y3）/3）。
5. 以重心为起点，以三角形三顶点为终点的三条向量之和等于零向量。
外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形的外心。
2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
5、外心到三顶点的距离相等垂心定理图1 图2三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。
（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。
4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。
推论：1. 若D 、E 、F 分别是△ABC 三边的高的垂足，则∠1 = ∠2 。
三角形的五心整理
中英文学校自主招生平面几何讲义（三角形的五心）一、三角形的重心1、重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
证明一三角形ABC，E、F是AB，AC的中点。
EC、FB交于G。
过E作EH平行BF。
AE=BE推出AH=HF=1/2AFAF=CF推出HF=1/2CF 推出EG=1/2CG2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
证明二证明方法：在△ABC内，三边为a，b，c，点O是该三角形的重心，AOA1、BOB1、COC1分别为a、b、c边上的中线根据重心性质知，OA1=1/3AA1，OB1=1/3BB1，OC1=1/3CC1过O，A分别作a边上高h1，h可知Oh1=1/3Ah 则，S(△BOC)=1/2×h1a=1/2×1/3ha=1/3S(△ABC)；同理可证S(△AOC)=1/3S(△ABC)，S(△AOB)=1/3S(△ABC) 所以，S(△BOC)=S(△AOC)=S(△AO B)3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。
(等边三角形）证明方法：设三角形三个顶点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) 平面上任意一点为（x，y）则该点到三顶点距离平方和为：(x1-x)^2+(y1-y)^2+(x2-x)^2+(y2-y)^2+(x3-x)^2+(y3-y)^2=3x^2-2x(x1+x2+x3)+3y^2-2y(y1+y2+y3)+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^ 2=3(x-1/3*(x1+x2+x3))^2+3(y-1/3(y1+y2+y3))^2+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y 2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2显然当x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3（重心坐标）时上式取得最小值x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2 最终得出结论。
三角形的五心综合讲稿(陶平生)
【几何十讲】三角形的五心-B （欧拉线心）（外心、重心与垂心） 陶平生三角形的五心是指内心、外心、重心、垂心与旁心；在数学竞赛中占有十分重要的位置． 从赛题统计方面来看，其中又以内心问题最为突出，必须熟悉五心的基本性质，基本构形，常用辅助线以及基本定理的应用．外心、重心与垂心ABC ∆的外心为O ，重心为G ，垂心为H ，则有(1)、,,O G H 三点共线（欧拉线）且:::1:2OG GH DG AG DO AH ===；(2)、2,2,2BOC A COA B AOB C ∠=∠=∠=；(3)、13AGB BGC CGA ABC ∆=∆=∆=∆；(4)、,,HAB HBC HCA ∆∆∆与ABC ∆具有相等的外接圆半径；(5)、ABC ∆的垂心H 是其垂足三角形的内心．例1、ABC ∆中，O 为外心，三条高,,AD BE CF 交于点H ，直线ED 和AB 交于点M ， FD 和AC 交于点N ；求证：0(1)、,OB DF OC DE ⊥⊥；0(2)、OH MN ⊥． （2001全国联赛）证一、（纯几何方法）设OK AB ⊥于K ，则1==2KOB AOB C ∠∠，又由AFDC 共圆，D则BFD C KOP ∠==∠，所以KOPF 共圆，所以0==90OPF OKF ∠∠，因此OB DF ⊥，同理有OC DE ⊥．为证OH MN ⊥，由,AEDB AFDC 分别共圆，=,==FDB A MDB EDC A ∠∠∠，2FDM A BOC ∠==∠，设OB CF T =，在直角三角形BTF 中，由于DF BT ⊥， 则==OTC BTF DFB ∠∠∠，因此COT ∆∽MDF ∆，且其对应边互相垂直． 作DG ∥MN ，于是只要证，OH DG ⊥，即要证MDG ∆∽COH ∆，由=DMF OCT ∠∠， 只要证=MG CH MD CO… ① 因===MG MG MF ND MF ND CT MD MF MD NF MD NF CO⋅⋅⋅ … ② 据①②，只要证=ND CHNF CT… ③ 注意CDH ∆∽AFH ∆，CTB ∆∽AHB ∆，NDC ∆∽NAF ∆，则 =,=CH CD AH AB AH AF CT CB ，相乘得==CH AB CD AB NCCT BC AF BC NF⋅⋅⋅ … ④ 由③④，只要证=ND ABNC BC… ⑤ 由于DCE ∆∽ACB ∆，且DC 平分NDE ∠，则=DN NCDE CE， 所以==ND DE AB NC CE BC，因此OH DG ⊥，即有OH MN ⊥．证二、（利用根轴性质）为证OB DF ⊥，只要证，2222=OD OF BD BF --， 据斯特瓦特定理，2222=+=CD BDOD R R CD BD R CD BD BC BC⋅⋅-⋅-⋅，同样有 22=OF R BF AF -⋅，据AFDC 共圆，又有=BF BA BD BC ⋅⋅，所以 22==()()OD OF BF AF BD CD BF AB BF BD BC BD -⋅-⋅--⋅-2222=()+()=BF BA BD BC BD BF BD BF ⋅-⋅--，因此OB DF ⊥，同理有OC DE ⊥．再证OH MN ⊥，据CF MA ⊥，得2222=MC MH AC AH -- … ①； 由BE NA ⊥得2222=NB NH AB AH -- … ②； 由DA BC ⊥得2222=BD CD BA AC -- … ③； 由OB DF ⊥得2222=BN BD ON OD -- … ④ 由OC DE ⊥得2222=CM CD OM OD -- … ⑤①＋③+④ －②-⑤得2222=NH MH ON OM --，所以OH MN ⊥．证三、（面积与三角方法）（仅证OH MN ⊥．）如图，作DW ∥AN ，点W 在MN 上，在OBH ∆与NDW ∆中，因为OB ND ⊥， BE AN ⊥，即BH DW ⊥，于是=NDW OBH ∠∠；为证OH WN ⊥，只要证NDW ∆∽OBH ∆，即要证=DW BHDN BO… ① 因1cos ===2cos sin sin BH BD AB B B BO C R R C ⋅⋅，==DW DW EN MD EN DN EN DN ME DN ⋅⋅ … ②， 而sin sin 2==sin sin EN EDN A DN DEN B∠∠， sin cos sin cos sin 2=====sin sin cos sin sin 2MD AMD AM AD BAD AD B AB B B BME AME AM AE A AE A AB A A A∆⋅∠∆⋅． 故由②，sin 2sin 2===2cos sin 2sin DW MD EN B AB DN ME DN A B⋅⋅，因此①成立，故结论得证． 证四、（解析法）0(1)、取D 为原点，DA 为Y 轴，建立直角坐标系，设三顶点坐标为(0,),(,0),(,0)A a B b C c ，则重心为,33b c a G +⎛⎫⎪⎝⎭，于是AB 的方程为：1x y b a +=，AC 的方程为：1x y c a +=；再设垂心为(0,)H h ，则CH 的方程为：1x yc h+=； 由于CH AB ⊥，则1CH AB h a ahk k c b bc ⎛⎫⎛⎫-=⋅=-⋅-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因此，bc h a =-，于是CH 的方程为：1x ay c bc -=，且垂心坐标为0,bc H a ⎛⎫- ⎪⎝⎭同理得，BH 的方程为：1x ayb bc-=； 因,,O G H 共线（欧拉线），且点O 外分线段HG 为定比3-：3HOOG=-；记00(,)O x y ， 则00(3)31(3)2b c b c x ++-+==+-，2(3)31(3)2bc aa bc a y a -+-+==+-，即2,22b c a bc O a ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，故2232()02OHa bc bc a bc a a kbc a b c +⎛⎫-- ⎪+⎝⎭==++-，2202()2OB a bc a bc a k b c a c b b +-+==+--，2()OC a bc k a b c +=-， 因DF 过CH 与AB 的交点F ，故DF 的方程可表为：110x ay x y c bc b a λ⎛⎫⎛⎫--++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，注意DF 过原点，得1λ=-，所以DF 的方程为：1110a x y c b a bc ⎛⎫⎛⎫--+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 同理知，DE 的方程为：1110a x y c b a bc ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 所以2()DF a b c k a bc -=+，2()DEa cb k a bc-=+； 由于1,1OB DF OC DE k k k k ⋅=-⋅=-，所以,OB DF OC DE ⊥⊥；0(2)、先求MN 的方程：一方面，由于MN 过DF 与AC 的交点N ，故MN 的方程可表为：11110a x y x y c b a bc c a μ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+++-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即：111a x y c b a bc μμμ+-⎛⎫⎛⎫--+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，也即111a x y c b abc μμγγγμ+-⎛⎫⎛⎫--+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ … ① 另一方面，由于MN 过DE 与AB 的交点M ，故MN 的方程可表为：11110a x y x y c b a bc b a γ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++++-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即： 111a x y cb a bc γγγ-+⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，也即111a x y cb abc γγμμγμ-+⎛⎫⎛⎫-++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ … ② 由于方程①和②表示同一条直线MN ，所以1111c b c b μγγμ+-⎛⎫⎛⎫-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭… ③， 11a a a bc a bc μγγμ-+⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ … ④ 由③得()()0c b γμγμ-+-=，显然有0,0c b ><，0c b ->，所以0γμγμ+-= …… ⑤ 由④得2()()0a bc μγ++=，（因2()DF a b c k a bc -=+，2()DE a c b k a bc-=+有意义，则20a bc +≠） 所以0μγ+= ……⑥，由⑤⑥得2,2γμ==-，于是MN 的方程为：1132a x y b c a bc ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2()(3)2a b c x bc a y abc +++=，因此，2()3MN a b c k a bc +=-+， 前已得到23()OH a bck a b c +=+，所以1OH MN k k ⋅=-，从而OH MN ⊥．例2、如图，以ABC ∆的一边BC 为直径作圆，分别交,AB AC 所在直线于,E F ，过,E F 分别作圆的切线交于一点P ，直线AP 与BF 交于一点D ；证明：,,D C E 三点共线．证：连,,EF EC CD ，则弦切角PEF PFE EBF ∠=∠=∠，由AF BF ⊥，得09090BAF EBF PEF ∠=-∠=-∠12EPF =∠，以P 为圆心，()PE PF =为半径作P ，交直线BA 于A '，则12EA F EPF BAF '∠=∠=∠， 故,A A '共点；所以PA PE =，090PAE ABC PEA PEC ∠+∠=∠+∠=，得BC AP ⊥，因此C 是ABD ∆的垂心．所以CD AB ⊥，又因CE AB ⊥，则,,D C E 三点共线．例3、如图，,M N 分别是ABC ∆的边,AB AC 上的点，且1BM CNMA NA+=； 求证：线段MN 过ABC ∆的重心．证：取AC 的中点E ，MN 截ABE ∆于,,M P N ，1EP BM ANPB MA NE⋅⋅=，则1BP BM AN CN AN PE MA NE NA NE ⎛⎫=⋅=- ⎪⎝⎭ 22NE ANAN NE =⋅=，因为P 在中线BE 上，所以P 是重心． 以上用到，()()NA CN NE EA CN NE EC CN -=+-=+- ()2NE CN NE CN NE =++-=．例4、12,O O 是ABC ∆的旁切圆，已知 1O 分别切,,AB BC CA 三边于,,D E F ；2O 分别切,,AB BC CA 三边于,,M N K ；1212, O O EF S O O MN T ==；MN EF P =；ED NK H =.证明：()1. ,,P A H 共线1l ，,,,E D H T 共线2l ，,,,N K H S 共线3l ；DB()1232. , , l BC l PN l PE ⊥⊥⊥.证：()1. 作AQ BC ⊥于Q ，设1QANM P =，12,O O 的半径分别记为12,r r ， 则222costan22sin tan 22B A AM AT AMT B B TO MTO r ∆===∆ 同理，1tan 2tan 2AAS CSO = ，因为1P A ∥2O N ，则122P A AT r TO =，故12tan 2tan2A P A rB =⋅. 又设2QA EF P =，则 21tan2tan2A P A r C =⋅ ，为证12P A P A =，只要证， 21cot cot 22B Cr r =，即BN CE =，连21, BO CO ，因122, O B BO MN BO ⊥⊥，故1O B ∥MN ，同理，21O C O C ⊥，于是21BCO O 共圆，得212CBO CO O ∠=，12212212cotcot cos 22O C B CBN r r CO O r O C CE O C ==∠===，所以 12P A P A =. 即,,EF MN AQ 三线共点.()2.因, 222B BBED ENM BMN π∠=∠=∠=-，所以 ED MN ⊥，因 2tan 2tan 2A AT B TO =，而11tan 2tan 2A r AD AD BDB r DB =⋅=， 所以，2AT AD TO DB =，因此 DT ∥2BO ，而 2BO MN ⊥，所以DT MN ⊥，且,,E D T 共线.即,,E D T 所共直线为PEN ∆的一条高线；同理可得，,,N K S 共线，且其所共直线也构成PEN ∆的一条高线，因此ED 与NK 的交点H 为PEN ∆的垂心，故在另一条高线PAQ 上，因此结论得证.例5、如图， ABC ∆中，AB AC =，AB AC ⊥，,E F 是BC 上的点，且045EAF ∠=；AEF ∆的外接圆分别交,AB AC 于,M N ．求证：BM CN MN +=．证：如右图，设,,,,BM x CN y BE b CF c EF a =====，则AB AC ===，将ABE ∆绕A 反时针旋转090至ACP ∆， 则090PCF PCA ACF ∠=∠+∠=，所以PCF ∆为直角三角形； 又显然045PAF EAF ∠==∠，所以PAF EAF ∆∆≌， 故由222PF PC FC =+，得222a b c =+ 记圆的半径为r ，则直径2MN r =，a EF ==，由圆幂定理，BM BA BE BF ⋅=⋅，CN CA CF CE ⋅=⋅，即()x b a b =+，()y c a c =+；所以222[()][()]2x y b c a b c a a b c r a b c a b c+=+++=++==++++，即BM CN MN +=．例6、过ABC ∆的外心O 任作一直线，分别交边,AB AC 于,M N ，F E ,分别是,BN CM 的中点.证明：EOF A ∠=∠.证：我们证明以上结论对任何三角形都成立．分三种情况考虑，对于直角三角形ABC ，结论是显然的，事实上，如图一中左图，若ABC ∠为直角，则外心O 是斜边AC 的中点，过O 的直线交,AB AC 于,M N ，则,O N 共点，由于F 是CM 的中点，故中位线OF ∥AM ，所以EOF OBA OAB A ∠=∠=∠=∠；P以下考虑ABC ∆为锐角三角形或钝角三角形的情况，（如图一中右边两图所示） （图一）先证引理：如右图，过O 的直径KL 上的两点,A B 分别作弦,CD EF ，连,CE DF ，分别交,K L 于,M N ，若OA OB =，则MA NB =. 引理证明：设CDEF P =，直线,CE DF 分别截PAB ∆，据梅涅劳斯定理，1AC PE BM CP EB MA ⋅⋅=，1BF PD ANFP DA NB ⋅⋅=； 则MA AC AD PE PF BM NB BE BF PC PD AN⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅ … ① 而由相交弦，得PC PD PE PF ⋅=⋅ … ② 若O 的半径为R ，OA OB a ==，则22AC AD AK AL R a BK BL BE BF ⋅=⋅=-=⋅=⋅ …③，据①②③得，MA MB NB NA =，即1MA MA AB ABNB NB AB AB+===+.因此MA NB =.引理得证.回到本题，如下图（两图都适用），延长MN 得直径1KK ，在直径上取点1M ，使1OM OM =，设11CM O A =，连1A B 交1KK 于1N ，由引理，11MN M N =，（右图中则是11M N MN =）因此，O 是1NN 的中点，故,OE OF 分别是1NBN ∆及1MCM ∆的中位线，于是得1EOF BA C A ∠=∠=∠.11F E M (N)C B AO例7、锐角三角形ABC 的三边互不相等，其垂心为H ，D 是BC 的中点，直线, BHAC E CHAB F ==，AH BC T =，BDE 交CDF 于G ，直线AG 与, BDE CDF 分别交于,M N ．证明：()1、AH 平分MTN ∠；()2、, , ME NF AH 三线共点．证：如图，连,,,DE DF MB NC ，因BCEF 共圆，D 为圆心，则DE DF DB DC ===， 连,,GD GE GF ，由BDEG 共圆，得DGE DBE TAC ∠=∠=∠；又由CDFG 共圆，得DGF DCF TAB ∠=∠=∠，相加得，EGF EAF ∠=∠，故EGAF 共圆，又因EAFH 共圆，即有AGEHF 五点共圆，所以HGE HAE TAC DGE ∠=∠=∠=∠，即,,D H G 共线；五点圆AGEHF 的直径为AH ，设圆心为P （P 为AH 的中点），由090AGH AEH ∠=∠=，即DG MN ⊥，故MD 为BDE 的直径，从而MB BC ⊥，进而由090DGN ∠=，知DN 为CDF 的直径，所以NC BC ⊥，MB ∥AT ∥NC ，因直径MD 过BDE 的中点D ，故MD 垂直且平分弦BE ；同理，CDF 的直径DN CF ⊥，又由, BE AC CF AB ⊥⊥，所以 MD ∥AC ，ND ∥AB ，则 Rt ABT ∆∽Rt NCD ∆，则 BT AT DC NC=……○1； 由MD ∥AC ，得 Rt MDB ∆∽Rt ACT ∆， BD MBTC AT=……○2． ○1、○2相乘，并注意 BD CD =， 有BT MBTC NC=，所以 MBT ∆∽NCT ∆， 由此，TN TC ANTM TB AM==，故AT 平分MTN ∠. 为证 , , ME NF AH 三线共点，只要证 , ME NF 皆过点P ，据五点圆AGEHF 的圆心角22HPE HAE HBC EDC BME ∠=∠=∠=∠=∠，所以PE ∥ME ，因此,,M P E 共线；同理可得，,,N P F 共线，因此, , ME NF AH 三线共点．例8、锐角三角形ABC 中，, , BC a AC b AB c ===，在边,,BC CA AB 上分别有动点,,D E F ，试确定，当222DE EF FD ++取得最小值时DEF ∆的面积．解：对于任一个内接DEF ∆，暂将EF 固定，而让D 在BC 上移动，设EF 的中点为M ，则由中线长公式，222222EF DE DF DM +=+⋅，因此在EF 固定后，欲使222DE EF FD ++取得最小值，当使DM 达最小，但是M 为EF 上的定点，则当DM BC ⊥时，DM 达最小，再对,E F 作同样的讨论，可知，当222DE EF FD ++取得最小值时，DEF ∆的三条中线必定垂直于三角形ABC 的相应边；今设DEF ∆重心为G ，面积为0S ，ABC ∆的面积为S ，则3GDE GEF GFD S S S S ∆∆∆===……○1 由于,,GDCE GEAF GFBD 分别共圆，则, , DGE C EGF A FGD B πππ∠=-∠=-∠=-，故由○1，sin sin sin GD GE C GE GF A GF GD B ⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅，同除以2S ，得GD GE GE GF GD GFa b b c a c⋅⋅⋅==⋅⋅⋅，所以 GD GE GFa b cλ===， … ②，又由 2GD a GE b GF c S ⋅+⋅+⋅=，即()2222a b c S λ++=，所以2222Sa b cλ=++，因而 220113sin 3sin 322S GD GE C ab C S λλ=⋅⋅=⋅=()3222212S a b c =++． （其中2a b c S p ++==） 例9、如图，△PAB 中，,E F 分别是边,PA PB 上的点，在,AP BP 的延长线上分别取点,C D ，使 , PC AE PD BF ==；点,M N 分别是△PCD ，△PEF 的垂心.证明：MN AB ⊥.证：如图，设线段,,DE CF PF 的中点分别为,,G H K ，则K也是BD 的中点，据中位线知，在△BDE 中，KG ∥BE ，12KG BE =； 在△PCF 中，KH ∥PC ，12KH PC =，即 KH ∥AE ，12KH AE =，所以△KHG △EAB ， 且HG ∥AB ，12HG AB =.为证MN AB ⊥，只要证MN HG ⊥.以G 为圆心，DE 为直径作G ，其半径记为R ；以H 为圆心，CF 为直径作H ，其半径记为r ，设直线AC 交MD 于Q ，MC 交BD 于W ，由于点M 是△PCD 的垂心， 则MD PQ ⊥，MC PD ⊥，所以DWCQ 共圆，故有MQ MD MC MW ⋅=⋅ … … ①另一方面，由于90, 90,EQD FWC ︒︒∠=∠=可知，Q 在G 上，W 在H 上，从而2222, MQ MD MG R MC MW MH r ⋅=-⋅=-，因此○1化为2222MG R MH r -=-，即 2222MG MH R r -=- … …②又设直线NF 交AC 于S ，NE 交BD 于T ，由于点N 是△PEF 的垂心，，则NS PE ⊥， NE PF ⊥，所以ETFS 共圆，故有 NT NE NF NS ⋅=⋅ … … ③ 再由 90, 90,DTE CSF ︒︒∠=∠=可知，T 在G 上，S 在H 上，从而2222, NT NE NG R NF NS NH r ⋅=-⋅=-，因此③化为2222NG R NH r -=-，即 2222NG NH R r -=- … ④ 据②、④得，2222MG MH NG NH -=-， 故 MN GH ⊥，而HG ∥AB ，所以MN AB ⊥.例10、在ABC ∆中，3a c b +=,内心为I ，内切圆在,AB BC 边上的切点分别为,D E , 设K 是D 关于点I 的对称点，L 是E 关于点I 的对称点.求证：,,,A C K L 四点共圆.证：设直线BI 交ABC ∆的外接圆于点P ，易知P 是AC 的中点，记AC 的中点为M ，则PM AC ⊥．设点P 在直线DI 上的射影为N ， 由于3,a c b +=则半周长22a b cp b ++==， 于是2BD BE p b b AC CM ==-===， 又0,90ABP ACP BDI CMP ∠=∠∠=∠=所以DBI ∆∽MCP ∆，且相似比为2，熟知；PI PC PA ==。
三角形的五心(PPT)5-4
可以大显神通了.
思考练习 3. AB 为半圆 O 的直径，其弦 AF、BE 相交于 Q， 过 E、F 分别作半圆的切线得交点 P，求证：PQ⊥AB.
3答案
2.三角形的垂心到任一顶点的距离等于外心到对边距 离的 2 倍. 垂心、外心，重心的共线性(欧拉线)
3.∠A 的平分线和△ABC 的外接圆相交于点 D，则 D 为 △BCI 的外心. 三.与三角形的心有关的几何竞赛题的思考.你会吗?
自己的意见或技能表露出来让别人知道。 【藏踪】动隐藏踪迹；躲藏。 【操】①动抓在手里；拿：～刀。②动掌握；控制：～纵｜稳～胜券｜～生杀大权。
三角形的五心
三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心,统称为三角形的五心.
关于三角形的五心,主要掌握三个方面的问题: 一.这五心是怎么来的?你能证明下面几个结论吗?
练习 1.证明:三角形的三条中线交于一点. 练习 2.证明:三角形的三条角平分线交于一点. 练习 3.证明:锐角三角形的三条高交于一点.
二.与五心有关的性质有哪些?这些性质你能证明吗? 如: 1.重心将每条中线都分成定比 2:1 及中线长度公式.
外心:三角形外接圆的圆心(三边垂直平分线的交点). △ABC 的外心一般用字母 O 表示，它具有如下性质：
(1)外心到三顶点等距，即 OA=OB=OC.
(2)∠A= 1 BOC,B 1 AOC,C 1 AOB .
2”出外心，与外心
有关的几何定理，尤其是圆周角与圆心角关系定理，就
③做（事）；从事：～作｜～劳｜重～旧业。④动用某种语言、方言说话：～英语｜～吴语。⑤操练：～演｜出～。⑥名由一系列动作编排起来的体育活动： 体～｜早～｜工间～｜健美～｜做几节～。⑦品；自动化网络营销 / 自动化网络营销 ；行；行为：～守｜～行。⑧（）名姓。 【操办】 动操持办理：～婚事。 【操场】名供体育锻炼或军事操练用的场地。 【操持】动①料理；处理：～家务｜这件事由你～。②筹划；筹办：村里正～着办粮食 加工厂。 【操刀】动比喻主持或亲自做某项工作：这次试验由王总工程师～｜点球由九号队员～主罚。 【操典】名记载军事操练要领等的书，如步兵操典、 骑兵操典等。 【操控】动操众控制：幕后～。 【操劳】动辛辛苦苦地劳动；费心料理（事务）：日夜～｜～过度。 【操练】动以队列形式学习和练习军事 或体育等方面的技能：～人马。 【操盘】∥动操作、期货等的买进和卖出（多指数额较大的）：～手。 【操切】形指办事过于急躁：～从事｜这件事他办得 太～了。 【操琴】∥动演奏胡琴（多指京胡）。 【操神】∥动劳神：～受累｜他为这事可操了不少神了。 【操守】名指人平时的行为、品德：～清廉。 【操心】∥ī动费心考虑和料理：为国事～｜为儿女的事操碎了心。 【操行】名品行（多指学生在学校里的表现）。 【操演】动操练；演习（多用于军事、体 育）：学生在操场里～｜～一个动作，先要明了要领。 【操之过急】ī办事情过于急躁：这事得分步骤进行，不可～。 【操纵】动①控制或开动机械、仪器 等：～自如｜远距离～｜一个人～两台机床。②用不正当的手段支配、控制：～市场｜幕后～。 【操作】动按照一定的程序和技术要求进行活动或工作：～ 方法｜～规程。 【操作规程】ī操作时必须遵守的规定，是根据工作的条件和性质而制定的：技术～｜安全～。 【操作系统】计算机中的一种软件系统。负 责组织计算机的工作流程，控制存储器、中央处理器和外围设备等。是计算机应用的基础。常见的操作系统有系统、系统、系统等。 【糙】形粗糙；不细 致：～粮｜～纸｜这活儿做得很～。 【糙粮】〈方〉名粗粮。 【糙米】名碾得不精的大米。 【曹】①〈书〉辈?：吾～｜尔～。②古代分科办事的官署。 【曹】①周朝国名，在今山东西南部。②名姓。 【曹白鱼】名鳓。 【嘈】（声音）杂乱：～杂。 【嘈杂】形（声音）杂乱；喧闹：人声～｜声音～刺耳。 【漕】
第二讲第三讲第四讲三角形五心定理及证明ppt课件
的距离）。 • ∴它们底相等，即：BF=CF • ∴AF为三角形的中线。
重心：三条中线的交点
• 方法二： • 证：连AO交BC于点F，连DE交AF
• 由角平分线定理（角平分线 上一点到两边的距离相等） 得：
• OD=OF，OF=OE • ∴ OD=OE • ∴AO为角BAC的平分线
注：红线为所要证明的线，绿线为辅助线。
外心：三条中垂线的交点
• 证：连结OA、OB、OC，并 过O点作OF⊥BC于点F。
• 由线段中垂线定理（线段中垂 线上一点到
注：红线为所要证明的线，绿线为辅助线。
重心：三条中线的交点
• 同理可得： • S△BOC=S△AOB ······② • 由①②得，S△AOC=S△AOB • 又∵△AOC与△AOB底都为AO • ∴它们高相等，即：点B和点C到AF的距离相
等。 • 对于△AFB和△AFC，底相同（为AF），高
三角形的“五心”定理
1 内心：内切圆的圆心，即三条角平分线的交点。 2 外心：外切圆的圆心，即三条中垂线的交点。 3 旁心：旁切圆的圆心，即三条角平分线的交点。 4 垂心：三条高的交点。 5 重心：三条中线的交点。
内心：三条角平分线的交点
• 证明：过点O作三边的垂 线，垂足分别为D、E、F。
• 距离相等）得： • OD=OF，OD=OE • ∴ OF=OE • ∴BO为角ABC的平分线
注：红线为所要证明的线，绿线为辅助线。
垂心：三条高的交点
• 证：连结DE，连结AO交BC于F点。 • ∵角BDC=角BEC=90° • ∴B、D、E、C四点共圆（以BC为直径的圆）。 • ∴角FBO=角CDE ······① • （同弦(弧)所对圆周角相等） • 又∵角ODA=角AEO=90° • ∴O、D、A、E四点共圆（以AO为直径的圆）。 • ∴角AOE=角ADE （同弦(弧)所对圆周角相等） • 且 角AOE=角BOF • ∴角ADE=角BOF ······② • 由①②可知，角OFB=角ODA=90° • ∴AF为BC边上的高。
2020年初中数学竞赛讲义：三角形的五心
2020年初中数学竞赛讲义：三角形的五心一、重心 (1)二、垂心 (2)三、内心 (4)四、外心 (7)五、旁心 (9)第1 页共10 页第 1 页 共 10 页一、 重心1. （2007年全国初中数学联赛1试）设K 是ABC △内任意一点，KAB △、KBC △、KCA △的重心分别为D 、E 、F ，则:DEF ABC S S △△的值为（ ）A ．19B ．29C ．49D ．23【难度】 ★★【解析】A ， 分别延长KD 、KE 、KF ，与ABC △的三边AB 、BC 、CA 交于点M 、N 、P ，由于D 、E 、F 分别为KAB △、KBC △、KCA △的重心，易知M 、N 、P 分别为AB 、BC 、CA 的中点，所以14MNP ABC S S =△△．易证DEF △∽MNP △，且相似比为2:3， 所以22()3DEF MNP S S =△△4194ABC S =⋅△19ABC S =△．所以:DEF S △19ABC S =△．故选A ．2. （1998年全国初中数学联赛2试）已知P 为平行四边形ABCD 内一点，O 为AC与BD 的交点，M ，N 分别为PB ，PC 的中点，Q 为AN 与DM 的交点，求证： ⑴P ，Q ，O 三点在一条直线上； ⑵2PQ OQ =．【难度】 ★★★ 【解析】 证明：如图，连接PO ，设PO 与AN DM ，分别交于点Q '，Q ''．在PAC △中，∵AO OC PN NC ==，， ∴Q '为重心，2PQ OQ ''''=．这样Q Q '''=，并且Q Q '''，就是AN DM ，的交点Q ． 故P Q O ，，在一条直线上，且2PQ OQ =．3. （1992年全国初中数学联赛1试）若一等腰三角形的底边上的高等于18cm ，腰上的中线等15cm ，则这个等腰三角形的面积等于__________．N M Q PODCBAQ''Q'NMQPO DCBA。
2020初升高暑期衔接班讲义《第5讲 几何中的著名定理》(适合中等以上学生)
第五讲 几何中的著名定理
一、知识归纳
本节重点掌握三角形内、外角平分线定理、中线长定理，梅涅劳斯定理与塞瓦定理 二、例题解析
例1：如图△ABC 中，AD 为∠BAC 的角平分线 求证：DC
BD
AC AB =
例2：如图，△ABC 中，AD 为∠A 的外角 平分线，交BC 的延长线于点D ，求证：
AC
AB
CD BD =
.
例3：如图，AD 为△ABC 的中线， 求证：)(22
2
2
2
BD AD AC AB +=+
例4：（梅涅劳斯定理）
如果在△ABC 的三边BC ，CA 、AB 或其延长线上有点D 、E 、F 且D 、E 、F 三点共线，则
1=⋅⋅FB
AF
EA CE DC BD A F B
D
C
E 1 2
A
B
C
D
1
2 A
B
C
A
F
B
C
E
G
D
例5：设O 为△ABC 内任意一点，AO 、BO 、CO 分别交对边于N 、P 、M ，则
1=⋅⋅PA
CP
NC BN MB AM . 三、课堂练习
1、如图，P 是AC 中点，D 、E 为BC 上两点， 且BD ＝DE ＝EC ，则BM ：MN ：NP ＝ ；
2、如图，在△ABC 中，D 、E 分别在边AB 、 AC 上且DE//BC ，设BE 与CD 交于S ，证明BM ＝CM 。
3、证明：三角形的三条角平分线交于一点。
A M B
N
C P 0 1
2 3 4
5
6 B
D
A
E
S
C M。
中考数学之三角形五心定律
三角形五心定律三角形的重心，外心，垂心，心里和旁心称之为三角形的五心。
三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，心里定理，旁心定理的总称.重心定理：三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。
（重心原是一个物理观点，关于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因此得名）重心的性质：1、重心到极点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。
2、重心和三角形随意两个极点构成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个极点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是极点坐标的算术均匀数，即其重心坐标为X1+X2+X3）/3，（Y1+Y2+Y3）/3）。
以重心为起点，以三角形三极点为终点的三条向量之和等于零向量。
外心定理：三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心的性质：1、三角形的三条边的垂直均分线交于一点，该点即为该三角形的外心。
2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360° -2∠A（∠为钝角）。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外面；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
4、外心到三极点的距离相等垂心定理：三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：1、三角形三个极点，三个垂足，垂心这7个点能够获得6个四点圆。
2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。
（此直线称为三角形的欧拉线（Eulerline））（除正三角形）3、垂心到三角形一极点距离为此三角形外心到此极点对边距离的2倍。
4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。
定理证明已知：ABC中，AD、BE是两条高，AD、BE订交于点O，连结CO并延伸交AB于点F，求证：CF⊥AB证明：连结DE1∵∠ADB=∠AEB=90度∴A、B、D、E四点共圆∴∠ADE=∠ABE又∵∠ODC=∠OEC=90度∴O、D、C、E四点共圆∴∠ACF=∠ADE=∠ABE又∵∠ABE+∠BAC=90度∴∠ACF+∠BAC=90度CF⊥AB所以，垂心定理建立！心里定理：三角形内切圆的圆心，叫做三角形的心里。
三角形五心口诀
三角形的基本性质及应用
三角形的基本性质
• 三角形的内角和为180° • 三角形的两边之和大于第三边 • 三角形的两边之差小于第三边 • 三角形的任意两边之和大于第三边
三角形性质的应用
• 求解三角形的边长和角度 • 证明三角形的相似和全等 • 计算三角形的面积和周长
三角形的角度与边长关系
三角形的角度与边长关系
五心口诀的高级技巧
• 五心口诀的高级技巧可以包括更多的三角形性质和定理的应用 • 五心口诀的高级技巧可以包括三角形与其他图形的关系的应用
五心口诀的窍门
• 五心口诀的窍门可以包括更快地求解三角形问题的方法 • 五心口诀的窍门可以包括更容易地证明几何问题的方法
五心口诀在实际教学中的价值与意义
五心口诀在实际教学中的价值
• 五心口诀可以帮助我们更快地求解三 角形的边长和角度 • 五心口诀可以帮助我们更容易地证明 三角形的性质和定理
五心口诀在求解三角形问题中的应用实 例
• 利用内心定理求解三角形的面积 • 利用外心定理求解三角形的周长 • 利用垂心定理求解三角形的高 • 利用重心定理求解三角形的中线 • 利用旁心定理求解三角形的角平分线
五心口诀的学习方法
• 五心口诀的学习方法可以采用理解记忆法 • 五心口诀的学习方法可以采用实际操作法
五心口诀的学习技巧
• 五心口诀的学习技巧可以包括用图形和图像来帮助理解 • 五心口诀的学习技巧可以包括用数学公式和算法来帮助 记忆
五ห้องสมุดไป่ตู้口诀的学习建议与策略
五心口诀的学习建议
• 五心口诀的学习建议可以包括多做练习和总结 • 五心口诀的学习建议可以包括注重理解和应用
• 五心口诀的学习体会可以包括学习过程中的乐趣和挑战 • 五心口诀的学习体会可以包括学习过程中的成长和收获
初高中数学衔接课程教案01-三角形的五心
初高中数学衔接课程教案01三角形的五心一、知识点梳理1、三角形的重心：三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心． 性质：（1）三角形的重心到边的中点与到相应顶点的距离之比为 1∶ 2． （2）三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等．（3）三角形所在平面内的所有点中，三角形的重心到三个顶点的距离的平方和最小． 2、三角形的垂心：三角形的三条高交于一点，这点称为三角形的垂心．性质：（1）锐角三角形的垂心在三角形的内部；直角三角形的垂心在三角形的直角顶点处；钝角三角形的垂心在三角形的外部．（2）三角形的三个顶点、三个垂足和垂心这7个点可以得到6个共圆的四点组合． （3）斜三角形的三个顶点与垂心这四个点中，任何三个为顶点的三角形的垂心就是第四个点．所以把这样的四个点称为一个“垂心组”．3、三角形的外心：三角形的三条边的垂直平分线交于一点，这点称为三角形的外心． 过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心即三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．三角形有且只有一个外接圆．性质：（1）三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等．都等于三角形的外接圆半径．（2）锐角三角形的外心在三角形内；直角三角形的外心在斜边中点；钝角三角形的外心在三角形外．4、三角形的内心：三角形的三条内角平分线交于一点，这点称为三角形的内心． 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心即三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．性质：（1）三角形的内心到三边的距离相等，都等于三角形内切圆半径． （2）若三角形的三条边长分别为a,b,c ，面积为s ，则其内切圆半径2sr a b c=++．（3）直角三角形的内心到各边的距离等于两直角边的和与斜边的差的二分之一． 拓展内容：①内角平分线定理：如图，AD 为△ABC 中BAC ∠的平分线，则有(=)AB BD AC DC =上左下左上右下右（证明：作BE//AC 交其延长线于E ，则E DAC ∠=∠.∵BAD DAC ∠=∠，∴E BAD ∠=∠，AB BE ==c.又∵BE//AC ，易证△ADC ∽△EDB ，∴BD=DCAB EB AC AC =，得证．） ②外角平分线定理：如图，AD 为△ABC 的外角平分ABDCEc b cABCDEF线，交BC 延长线于D ，则有AB BDAC DC=． （证明：作CE//AB 交AD 于E ，则AEC EAF ∠=∠.∵EAF EAC ∠=∠，∴AEC EAC ∠=∠，AC AE =.又∵CE//AB ，易证△ADB ∽△EDC ，∴BD=DCAB AB AC CE =，得证．）5、三角形的旁心：三角形的一条角一条角平分线与另外两个角的外角平分线交于一点，该点称为这个三角形的旁心．性质：（1）三角形有三个旁心．（2）三角形的旁心到三角形三边的距离相等． 二、典型例题例1、证明重心定理：三角形的三条中线交于一点。
2020MBA初数备考：三角形五线四心之外心
2020MBA初数备考：三角形五线四心之外心好多同学对老师说，三角形的五线四心学起来好混呀，特别是内心，中公考研初数教研室今天就此机会和大家聊聊三角形的内心。
平面几何知识体系，在管理类联考数学中占据了一定的比例，基本上是每年必考题。
管综类的数学，平面几何知识主要有：三角形、四边形、圆与扇形。
其中，三角形是比较关键的一种图形，在生活中应用也非常广泛，因为它有些独特的性质和特点。
因此，我们今天就来说说三角形的五线四心，尤其是外心。
首先介绍下五线四心。
1、垂线及垂心：从三角形的顶点向其对边或对边的延长线作垂线段，称为该对边上的高(也称垂线)。
三角形三边上的高或它们的延长线相交于一点，称为三角形的垂心。
2、中线及重心：三角形的顶点及其对边中点的连线称为该对边的中线，三角形三边上的中线相交于一点，称为三角形的重心。
3、角平分线及内心：三角形三个内角平分线的交点，称为三角形的内心(内切圆的圆心)。
4、中垂线及外心：三角形三条边的中垂线(垂直平分线)相交于一点，称为三角形的外心(外接圆的圆心)。
5、中位线：三角形两条边中点的连线段称为第三边对应的中位线。
五线四心代表了三角形的一些独特的特点，如重心分中线为长度为2：1的两段，角平分线把对边分成的两部分长度之比为另外两边长度之比，内心到三边的距离相等……三角形的外心，到三角形的三个顶点的距离相等，也就是说三角形的三个顶点在三角形的外接圆上，外接圆的圆心就是三角形的外心。
三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的;但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合。
三角形的外心还有如下性质：1.锐角三角形的外心在三角形内;2.直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合;3.钝角三角形的外心在三角形外;4.等边三角形外心与内心为同一点，或者说正三角形四线合一、四心合一。
熟练掌握三角形的五线四心，将使我们可以快速地了解三角形的相关知识，有助于提升我们的平面几何知识，为我们的管理类联考数学考试助力不少。
2020级初高中衔接(数学)课堂讲义11
1 初高中衔接（数学）课堂讲义（11）
三、三角形的“心”
三角形的“五心”：重心、垂心、外心、内心和旁心*
“五心”的性质（节选）
（1）重心的性质：
（2）垂心的性质：
②垂心分每条高线的两部分乘积相等；
③垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍；
④若点H 是锐角ABC ∆的垂心，则C B A HC HB HA cos :cos :cos ::=；
⑤*垂心是它垂足三角形的内心（或者说三角形的内心是它旁心三角形的垂心）；
⑥*垂心与三顶点中的任一点都是其余三点构成的三角形的垂心（称这样的四心为垂心组）；
⑧*垂心关于三边的对称点均在三角形的外接圆上；
2
⑨*若H 为ABC ∆的垂心，则ABC ∆、ABH ∆、BCH ∆、CAH ∆的外接圆是等圆.
问题1：求证：三角形的三条中线相交于一点，这个交点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍.
问题5：求证：若G 为ABC ∆的重心，则22222(31BC AB GC GB GA +=
++)2CA +.
问题2：设I 为锐角ABC ∆的内心，AI 、BI 、CI 的延长线分别交ABC ∆的三边BC 、CA 、AB 于D 、E 、F 三点，求证：()()()
a c c
b b a ab
c S S ABC DEF +++=∆∆2.（其中BC a =，CA b =，AB c =，DEF S ∆、ABC S ∆分别表示DEF ∆、ABC ∆的面积）。
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第四讲三角形的“五心”
一、知识归纳
1、重心：三角形的三条中线交点，它到顶点的距离等于它到对边中点的距离的2倍，重心和三顶点的连线将△ABC的面积三等分，重心一定在三角形内部。
2、外心：是三角形三边中垂线的交点，它到各顶点的距离相等，锐角三角形的外心在三角形内，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形外。
3、内心：是三角形的三内角平分线的交点，它到三边的距离相等，内心一定在三角形内。
4、垂心：是三角形三条高的交点，垂心和三角形的三个顶点，三条高的垂足组成六组四点共圆，锐角三角形的垂心在三角形内，直角三角形的垂心为直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形外。
5、旁心：是三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点，它到三角形的三边距离相等，一定位于三角形外部。
二、例题解析
例1：在锐角△ABC中，内角为A、B、C三边为a、b、c，则内心到三边的距离之比为，重心到三边的距离为，外心到三边的距离之比为，垂心到三边的距离之比为。
例2：如图，锐角△ABC的垂心为H，三条高的垂足分别为D、E、F，则H是△DEF
的；
A、垂心
B、重心
A
F
B D C
E
H
C 、内心
D 、外心
例3：如图，D 是△ABC 的边BC 上任一点，点E 、 F 分别是△ABD 和△ACD 的重心连结EF 交AD 于G 点， 则DG ：GA ＝ ；
例4：设△ABC 的重心为G ，GA ＝32，22=GB ，2=GC ，则ABC S ∆＝ ；
例5：若H 为△ABC 的重心，AH ＝BC ，则∠BAC 的度数是 ； A 、45° B 、30°
C 、30°或150°
D 、45°或135°
A B
C
E
G F
例6：已知平行四边形ABCD 中，E 是AB 的中点，AB ＝10，AC ＝9，DE ＝12，求平行四边形ABCD 的面积。
三、课堂练习
1、已知三角形的三边长分别为5，12，13，则其垂心到外心的距离为 ，重心到垂心的距离为 ；
2、已知三角形的三边长为5，12，13，则其内切圆的半径r ＝ ；
3、在△ABC 中，∠A 是钝角，O 是垂心，AO ＝BC ，则cos （∠OBC+∠OCB ）= ;
4、设G 为△ABC 的重心，且AG ＝6，BG ＝8，CG ＝10，则△ABC 的面积为 ；
5、若︒<<︒900α，那么以αsin 、αcos 、ααcot tan ⋅为三边的△ABC 的内切圆，外接圆的半径之和为 ；
A 、
)cos (sin 2
1
αα+ B 、
)cot (tan 2
1
αα+ C 、ααcos sin 2
D 、α
αcos sin 1
⋅
6、△ABC 的重心为G ，M 在△ABC 的平面内，求证：
22222223GM GC GB GA MC MB MA +++=++
A
E B
C
D
O G。