高三第一轮复习17----不等式、推理与证明训练题
高考数学一轮复习 数列 不等式 推理与证明质量检测 文(含解析)新人教A版
高考数学一轮复习 数列 不等式 推理与证明质量检测 文（含解析）新人教A 版时间：90分钟 分值：120分一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．(2013·天津十二区县重点学校联考(一))“lg x ，lg y ，lg z 成等差数列”是“y 2＝xz ”成立的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：lg x ，lg y ，lg z 成等差，必有2lg y ＝lg x ＋lg z 得y 2＝xz .故前者为后者的充分条件，但y 2＝x ·z ，y <0，x <0，z <0时，lg x ，lg y ，lg z 没有意义，故前者不是后者的必要条件，选A.答案：A2．(2013·辽宁六校联考)公比为q 的等比数列{a n }的各项为正数，且a 2a 12＝16，log q a 10＝7，则公比q ＝( )A.12B. 2 C ．2D.22解析：∵a 10＝a 4q 6＝q 7，∴a 4＝q ，又a 27＝a 2a 12＝a 4a 10＝16，∴q 8＝16，q 2＝2，q ＝2，故选B.答案：B3．(2013·东北三校第二次联考)已知{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 3a 5＝14a 1，且a 4与a 7的等差中项为98，则S 5等于( )A ．35B ．33C ．31D ．29解析：等比数列中，a 3·a 5＝a 1·a 7，∴a 7＝14，a 4＋a 7＝2×98，∴a 4＝2，得q ＝12，a 1＝16，S 5＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1251－12＝31，选C.答案：C4．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＋a 9＋a 11＝30，那么S 13的值是( )A ．65B ．70C ．130D ．260解析：a 1＋a 1＋8d ＋a 1＋10d ＝30 3a 1＋18d ＝30a 1＋6d ＝10，a 7＝10 S 13＝13a 1＋a 132＝13a 7＝130，故选C.答案：C5．若a >0，b >0，且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( ) A.1ab >12B.1a ＋1b≤1C.ab ≥2D ．a 2＋b 2≥8解析：a ＋b ＝4≥2ab ，ab ≤2，ab ≤4 ∴1ab ≥14，故C 错，A 错． 1a ＋1b＝a ＋b ab ＝4ab≥1，故B 错．(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ≤2(a 2＋b 2) ∴a 2＋b 2≥8，故选D. 答案：D6．(2012·辽宁卷)设变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤10，0≤x ＋y ≤20，0≤y ≤15，则2x ＋3y 的最大值为( )A ．20B ．35C ．45D ．55 解析：可行域如图所示：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝15，x ＋y ＝20得A (5,15)，A 点为最优解，∴z max ＝2×5＋3×15＝55，故选D. 答案：D7．若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对于x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．(－2,2) B ．[－2,2] C ．(－2,2]D ．[－2,2)解析：当a ＝2时，不等式－4<0恒成立；当a ≠2时，由⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0Δ＝4a －22＋4×4a －2<0，解得－2<a <2，∴符合要求的a 的取值范围是(－2,2]，故选C. 答案：C8．(2013·辽宁卷)下面是关于公差d >0的等差数列{a n }的四个命题：p 1：数列{a n }是递增数列； p 2：数列{na n }是递增数列；p 3：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是递增数列；p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列．其中的真命题为( )A ．p 1，p 2B ．p 3，p 4C ．p 2，p 3D ．p 1，p 4解析：设a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋a 1－d ，它是递增数列，所以p 1为真命题；若a n ＝3n －12，则满足已知，但na n ＝3n 2－12n 并非递增数列，所以p 2为假命题；若a n ＝n ＋1，则满足已知，但a n n＝1＋1n是递减数列，所以p 3为假命题；设a n ＋3nd ＝4dn ＋a 1－d ，它是递增数列，所以p 4为真命题．答案：D9．(2013·浙江五校第二次联考)已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0x －y ≥1x ＋2y ≤4x ＋my ＋n ≥0，若该不等式组所表示的平面区域是一个面积为54的直角三角形，则n 的值是( )A ．－32B ．－2C ．2D.12解析：在坐标平面内画出线性约束条件所表示的可行域，欲使可行域为直角三角形，可得m ＝1时，可与直线x －y ＝1垂直，此时求出⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0x ＋y ＋n ＝0与⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋n ＝0x ＋2y －4＝0的解，由直角三角形的面积为54，可求得n ＝－32，故选A.答案：A10．定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x ＋2)，当x >1时，f (x )单调递增，如果x 1＋x 2>2且(x 1－1)(x 2－1)<0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( )A ．恒小于0B ．恒大于0C ．可能为0D ．可正可负解析：由f (－x )＝－f (x ＋2)知函数y ＝f (x )关于点(1,0)对称，因此由x >1时f (x )单调递增可知当x <1时函数f (x )单调递增．由(x 1－1)(x 2－1)<0知x 1－1，x 2－1异号，不妨设x 1>1， 则x 2<1.∵x 1＋x 2>2，∴x 1>2－x 2.由x 2<1知2－x 2>1，故x 1>2－x 2>1. ∴f (x 1)>f (2－x 2)．∵f (2－x 2)＝－f (x 2)．∴f (x 1)>－f (x 2)， 即f (x 1)＋f (x 2)>0. 答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 5＝a 8＋5，S 6＝a 7＋a 9－5，则公差d 等于________．解析：a 6＝S 6－S 5＝a 7＋a 9－5－(a 8＋5) ＝a 7＋a 9－a 8－10，∴a 6－a 7＝a 9－a 8－10，∴－d ＝d －10，∴d ＝5. 答案：512．二维空间中圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2，观察发现S ′＝l ；三维空间中球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝43πr 3，观察发现V ′＝S .则四维空间中“超球”的四维测度W ＝2πr 4，猜想其三维测度V ＝________.解析：由已知，可得圆的一维测度为二维测度的导函数；球的二维测度是三维测度的导函数．类比上述结论，“超球”的三维测度是四维测度的导函数，即V ＝W ′＝(2πr 4)′＝8πr 3.故填8πr 3.答案：8πr 313．(2013·安徽卷)若非负变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋2y ≤4，则x ＋y 的最大值为________．解析：法一：画出可行域是如图所示的四边形OABC 的边界及内部，令z ＝x ＋y ，易知当直线y ＝－x ＋z 经过点C (4,0)时，直线在y 轴上截距最大，目标函数z 取得最大值，即z max ＝4.法二：令z ＝x ＋y .界点定值，同法一先画出可行域，这时把边界点O (0,0)，A (0,1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，52，C (4,0)代入目标函数z ＝x ＋y 可得z A ＝1，z B ＝73，z C ＝4，比较可得z max ＝4.答案：414．(2013·重庆卷)设0≤α≤π，不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，则α的取值范围为________．解析：根据题意可得(8sin α)2－4×8cos 2α≤0，即2sin 2α－cos 2α≤0,2sin 2α－(1－2sin 2α)≤0，即－12≤sin α≤12.因为0≤α≤π，故α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 15．(满分12分)(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知等差数列{a n }的公差不为零，a 1＝25，且a 1，a 11，a 13成等比数列．(1)求{a n }的通项公式； (2)求a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.解：(1)设{a n }的公差为d .由题意，a 211＝a 1a 13， 即(a 1＋10d )2＝a 1(a 1＋12d )，于是d (2a 1＋25d )＝0.又a 1＝25，所以d ＝0(舍去)，d ＝－2. 故a n ＝－2n ＋27.(2)令S n ＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.由(1)知a 3n －2＝－6n ＋31，故{a 3n －2}是首项为25，公差为－6的等差数列．从而S n ＝n2(a 1＋a 3n －2)＝n2(－6n ＋56)＝－3n 2＋28n .16．(满分12分)(1)解不等式：ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a >0)；(2)已知f (x )＝x 2－2ax ＋2(a ∈R )，当x ∈[－1，＋∞)时， f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．解：(1)原不等式变为(ax －1)(x －1)<0，因为a >0，所以⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0.所以当a >1时，解为1a<x <1； 当a ＝1时，解集为Ø； 当0<a <1时，解为1<x <1a.综上，当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1<x <1a ； 当a ＝1时，不等式的解集为Ø；当a >1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a<x <1. (2)法一：f (x )＝(x －a )2＋2－a 2，此二次函数图象的对称轴为x ＝a .①当a ∈(－∞，－1)时， f (x )在[－1，＋∞)上单调递增， f (x )min ＝f (－1)＝2a ＋3. 要使f (x )≥a 恒成立，只需f (x )min ≥a ，即2a ＋3≥a ，解得－3≤a <－1； ②当a ∈[－1，＋∞)时， f (x )min ＝f (a )＝2－a 2，由2－a 2≥a ，解得－1≤a ≤1. 综上所述，a 的取值范围为[－3,1]．法二：令g (x )＝x 2－2ax ＋2－a ，由已知，得x 2－2ax ＋2－a ≥0在[－1，＋∞)上恒成立，即Δ＝4a 2－4(2－a )≤0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，a <－1，g －1≥0.解得－3≤a ≤1.所求a 的取值范围是[－3,1]．17．(满分13分)某商店预备在一个月内分批购入每张价值为20元的书桌共36张，每批都购入x 张(x 是正整数)，且每批均需付运费4元，储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值(不含运费)成正比，若每批购入4张，则该月需用去运费和保管费共52元，现在全月只有48元资金可以用于支付运费和保管费．(1)求该月需用去的运费和保管费的总费用f (x )；(2)能否恰当地安排每批进货的数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由． 解：(1)设题中比例系数为k ，若每批购入x 张书桌，则共需分36x批，每批价值为20x元，由题意得f (x )＝36x·4＋k ·20x .由x ＝4时，f (x )＝52，得k ＝1680＝15.∴f (x )＝144x＋4x (0<x ≤36，x ∈N *)．(2)由(1)知f (x )＝144x＋4x (0<x ≤36，x ∈N *)，∴f (x )≥2144x×4x ＝48(元)．当且仅当144x＝4x ，即x ＝6时，上式等号成立．故只需每批购入6张书桌，可以使资金够用．18．(满分13分)(2013·浙江省重点中学摸底)已知数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＝2a n －1＋2n (n ≥2且n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{a n }的前n 项之和为S n ，求S n ，并证明：S n2n >2n －3.解：(1)∵a n ＝2a n －1＋2n(n ≥2，且n ∈N *)， ∴a n 2n ＝a n －12n －1＋1，即a n 2n －a n －12n －1＝1(n ≥2，且n ∈N *)， 所以，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是等差数列，公差d ＝1，首项12，于是a n 2n ＝12＋(n －1)d ＝12＋(n －1)·1＝n －12，∴a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12·2n.(2)∵S n ＝12·21＋32·22＋52·23＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12·2n∴2S n ＝12·22＋32·23＋52·24＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12·2n ＋1以上两式相减得－S n ＝1＋22＋23＋ (2)－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12·2n ＋1＝2＋22＋23＋ (2)－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12·2n ＋1－1＝21－2n1－2－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12·2n ＋1－1＝(3－2n )·2n－3， S n ＝(2n －3)·2n ＋3>(2n －3)·2n ，∴S n2n >2n －3.。
2017年高考数学一轮总复习达标训练：第六章 不等式、
6.2 一元二次不等式及其解法一、选择题1．下列不等式中解集为R 的是( )A ．－x 2＋2x ＋1≥0B ．x 2－25x ＋5>0C ．x 2＋6x ＋10>0D ．2x 2－3x ＋4<02．(2015·郑州质检)不等式f (x )＝ax 2－x －c >0的解集为{x |－2<x <1}，则函数y ＝f (－x )的图象为( )3．已知(a 2－1)x 2－(a －1)x －1＜0的解集是R ，则实数a 的取值范围是( )A ．a ＜－35或a ＞1B ．－35＜a ＜1 C ．－35＜a ≤1或a ＝－1 D ．－35＜a ≤1 4. 若函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x ＋a |的最小值为3，则实数a 的值为( )A ．5或8B ．－1或5C ．－1或－4D ．－4或85．设二次函数f (x )＝ax 2－4x ＋c (x ∈R )的值域为[0，＋∞)，则1c ＋1＋9a ＋9的最大值为( )A.3125B.3833C.65D.3126解析：1．C 2.C 3.D 4.D 5.C二、填空题6．若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4，3]的子集，则a 的取值范围是________．7．设函数f (x )＝x 2－1，对任意x ∈⎣⎡⎭⎫32，＋∞，f ⎝⎛⎭⎫x m －4m 2f (x )≤f (x －1)＋4f (m )恒成立，则实数m 的取值范围是________．8．设函数f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|，若不等式|a ＋b |－|2a －b |≤|a |·f (x )对任意a 、b ∈R 且a ≠0恒成立，则实数x 的范围是________.导学号74780045答案：6．[－4，3] 7.⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞ 8.⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ≤－32或x ≥32三、解答题9．求不等式12x 2－ax ＞a 2(a ∈R )的解集．解析：∵12x 2－ax ＞a 2，∴12x 2－ax －a 2＞0，即(4x ＋a )(3x －a )＞0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0，得x 1＝－a 4，x 2＝a 3. ①a ＞0时，－a 4＜a 3，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ＜－a 4，或x ＞a 3； ②a ＝0时，x 2＞0，解集为{x |x ∈R ，且x ≠0}；③a ＜0时，－a 4＞a 3，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ＜a 3，或x ＞－a 4. 综上所述，当a ＞0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ＜－a 4，或x ＞a 3； 当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ∈R ，且x ≠0}；当a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ＜a 3，或x ＞－a 4.10．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m ＜n )．(1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )＞0的解集；(2)若a ＞0，且0＜x ＜m ＜n ＜1a，比较f (x )与m 的大小．解析：(1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )·(x －n )，当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )＞0，即a (x ＋1)(x －2)＞0.当a ＞0时，不等式F (x )＞0的解集为{x |x ＜－1，或x ＞2}；当a ＜0时，不等式F (x )＞0的解集为{x |－1＜x ＜2}．(2)f (x )－m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m＝(x －m )(ax －an ＋1)，∵a ＞0，且0＜x ＜m ＜n ＜1a，∴x －m ＜0，1－an ＋ax ＞0. ∴f (x )－m ＜0，即f (x )＜m .11．(2015·浙江台州模拟)已知不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(1，t )，记函数f (x )＝ax 2＋(a －b )x －c .(1)求证：函数y ＝f (x )必有两个不同的零点；(2)若函数y ＝f (x )的两个零点分别为m ，n ，求|m －n |的取值范围；(3)是否存在这样的实数a ，b ，c 及t 使得函数y ＝f (x )在[－2，1]上的值域为[－6，12]？若存在，求出t 的值及函数y ＝f (x )的解析式；若不存在，请说明理由．导学号74780046解析：(1)证明：由题意知a ＋b ＋c ＝0，且－b 2a >1，a <0且c a>1， ∴ac >0，∴对于函数f (x )＝ax 2＋(a －b )x －c 有Δ＝(a －b )2＋4ac >0，∴函数y ＝f (x )必有两个不同零点．(2)|m －n |2＝(m ＋n )2－4mn ＝（b －a ）2＋4ac a 2＝（－2a －c ）2＋4ac a 2＝⎝⎛⎭⎫c a 2＋8×c a＋4， 由不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(1，t )可知，方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个解分别为1和t (t >1)，由根与系数的关系知c a＝t ， ∴|m －n |2＝t 2＋8t ＋4，t ∈(1，＋∞)．∴|m －n |>13，∴|m －n |的取值范围为(13，＋∞)．(3)假设存在满足题意的实数a ，b ，c 及t ，∵f (x )＝ax 2＋(a －b )x －c ＝a ⎣⎡⎦⎤x 2＋⎝⎛⎭⎫1－b a x －c a ＝a ⎣⎡⎦⎤x 2＋⎝⎛⎭⎫1＋a ＋c a x －c a ＝a []x 2＋（2＋t ）x －t (t >1)， ∴f (x )的对称轴为x ＝－1－t 2<－32. ∴f (x )在[－2，1]上的最小值为f (1)＝3a ＝－6，则a ＝－2. 要使函数y ＝f (x )在[－2，1]上的值域为[－6，12]，只要f (x )max ＝12即可．①若－1－t 2≤－2，即t ≥2，f (x )max ＝f (－2)＝12， 则有6t ＝12，∴t ＝2.此时，a ＝－2，b ＝6，c ＝－4，t ＝2，∴f (x )＝－2x 2－8x ＋4.②若－1－t 2>－2， ∴1<t <2，f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫－1－t 2＝t 2＋8t ＋42＝12. ∴t ＝2或t ＝－10，舍去．综上所述，当a ＝－2，b ＝6，c ＝－4，t ＝2时，函数y ＝f (x )在[－2，1]上的值域为[－6，12]，此时函数的解析式为f (x )＝－2x 2－8x ＋4.。
高考数学一轮复习第六章不等式、推理与证明考点集训理
第六章 不等式、推理与证明考点集训(三十七) 第37讲 不等式的性质与基本不等式1．已知a ，b ，c ∈R ，那么下列命题中正确的是A ．若a ＞b ，则ac 2＞bc 2B ．若a c ＞b c，则a ＞bC ．若a 3＞b 3且ab ＜0，则1a ＞1bD ．若a 2＞b 2且ab ＞0，则1a ＜1b2．设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，那么2α－β3的取值范围是A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，56πB.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，56π C ．(0，π) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π 3．若直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1，1)，则该直线在x 轴、y 轴上的截距之和的最小值为A ．1B ．2C ．4D ．84．已知x >1，y >1，且14ln x ，14，ln y 成等比数列，则xyA ．有最大值eB ．有最大值 eC ．有最小值eD ．有最小值 e5．下列各函数中，最小值为4的个数为①y ＝x ＋4x ；②y ＝sin x ＋4sin x(0<x <π)；③y ＝e x ＋4e －x；④y ＝log 3x ＋4log x 3.A ．4B ．3C ．2D ．16．已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是A ．3B ．4 C.92 D.1127．函数y ＝9sin 2x＋4sin 2x 的最小值是________．8．已知－1＜a ＋b ＜3且2＜a －b ＜4，则2a ＋3b 的取值范围是______________．9．某养殖厂需定期购买饲料，已知该厂每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格为1.8元，饲料的保管与其他费用为平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元．假定当天所买饲料当天用，不需保管与其他费用．(1)求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少； (2)若提供饲料的公司规定，当一次购买饲料不少于5吨时其价格可享受八五折优惠(即为原价的85%)，问该厂是否可以考虑利用此优惠条件？若考虑优惠条件，则应如何安排可使平均每天所支付的费用最少？考点集训(三十八) 第38讲 简单不等式的解法1．设a>0，不等式－c<ax ＋b<c 的解集是{x|－2<x<1}，则a ∶b ∶c ＝ A ．1∶2∶3 B ．2∶1∶3 C ．3∶1∶2 D ．3∶2∶12．“0<a<1”是“ax 2＋2ax ＋1>0的解集是实数集R ”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知关于x 的不等式x ＋1x ＋a<2的解集为P .若1∉P ，则实数a 的取值范围为A ．(－∞，0]∪[1，＋∞)B ．[－1，0]C ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)D ．(－1，0]4．定义区间长度m 为这样的一个量：m 的大小为区间右端点的值减去左端点的值．若关于x 的不等式x 2－x －6a <0有解，且解集的区间长度不超过5个单位长度，则实数a 的取值范围是A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－124，1 B.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－124∪[1，＋∞) C ．(0，1] D ．[－24，1)5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1x <1，x 13x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是__________．6．已知y ＝f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )＝(x －1)2；若当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12时，n ≤f (x )≤m 恒成立，则m －n 的最小值为________．7．不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集是____________．8．若不等式ax 2＋5x －2>0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12<x <2.(1)求实数a 的值；(2)求不等式ax 2－5x ＋a 2－1>0的解集．9．设a >0，b >0，函数f (x )＝ax 2－bx －a ＋b . (1)若b >2a ，求不等式f (x )<f (1)的解集；(2)若f (x )在[0，1]上的最大值为b －a ，求b a的取值范围；(3)当x ∈[0，m ]时，对任意的正实数a ，b ，不等式f (x )≤(x ＋1)|2b －a |恒成立，求实数m 的取值范围．考点集训(三十九) 第39讲 含参变量不等式问题1．已知log a 25＜1，则a 的取值范围是A ．0＜a ＜25 B ．a ＞1C ．0＜a ＜25或a ＞1D ．a ＞522．关于x 的不等式x 2－4ax －5a 2＞0(a ＜0)的解集是 A ．{x|5a ＜x ＜－a } B ．{x|－a ＜x ＜5a }C ．{x|x ＜5a 或x ＞－a }D ．{x|x ＞5a 或x ＜－a }3．已知a ＞0，a ≠1，f (x )＝x 2－a x，当x ∈(－1，1)时，均有f (x )＜12，则实数a 的取值范围是A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞)B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，1∪(1，4]C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪(1，2]D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14∪[4，＋∞) 4．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＜b )，若对任意x ∈R ，f (x )≥0恒成立，则A ＝a ＋b ＋c b －a的最小值为________．5．设a ，b ∈R ，关于x 的不等式a 2x ＋b 2(1－x )≥[ax ＋b (1－x )]2，若a ＝b ，则不等式的解集为________；若a ≠b ，则不等式的解集为____________．6．设a ∈R ，若x ＞0时均有[(a －1)x －1](x 2－ax －1)≥0，则a ＝__________．7．已知f (x )＝32x －(k ＋1)3x＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围为______________．8．已知集合P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12≤x ≤2，函数y ＝log 2(ax 2－2x ＋2)的定义域为Q . (1)若P ∩Q ≠∅，求实数a 的取值范围；(2)若方程log 2(ax 2－2x ＋2)＝2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2内有解，求实数a 的取值范围．9．设函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于一切实数x ，f (x )＜0恒成立，求m 的取值范围；(2)若对于x ∈[1，3]，f (x )＜－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．考点集训(四十) 第40讲 简单的线性规划问题1．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，且z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为m 和n ，则m －n ＝A ．8B ．7C ．6D ．52．由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x －2≤0确定的平面区域记为Ω1，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ＋y ≥－2确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机抽取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为A.18B.14C.34D.783．若点(x ，y )位于曲线y ＝|x|与y ＝2所围成的封闭区域，则2x －y 的最小值是 A ．－6 B ．－2 C ．0 D ．24．x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为A.12或－1 B ．2或12 C ．2或1 D ．2或－15．已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为A ．5B ．29C ．37D ．496．设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0，则z ＝y x ＋xy的取值范围是A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，103B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，52C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，1037．实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为________．8．已知D 是以点A (4，1)，B (－1，－6)，C (－3，2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)．如图所示．(1)写出表示区域D 的不等式组．(2)设点B (－1，－6)，C (－3，2)在直线4x －3y －a ＝0的异侧，求a 的取值范围．9．变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1.(1)设z ＝yx ，求z 的最小值；(2)设z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13，求z 的取值范围．考点集训(四十一) 第41讲 不等式的应用1．若直线x a ＋y b＝1(a>0，b>0)始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的周长，则ab 的取值范围是A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，18B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18 C ．(0，8] D ．[8，＋∞)2．已知函数f (x )＝x ＋mx，x ∈(0，＋∞)，若不等式f (x )<4的解集是空集，则A ．m ≥4B ．m ≥2C ．m ≤4D ．m ≤23．设f (x )是⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12x 6展开式的中间项，若f (x )≤mx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，2上恒成立，则实数m 的取值范围是A ．(－∞，5)B ．(－∞，5]C ．(5，＋∞)D ．[5，＋∞)4．已知函数f (x )＝x (1＋a|x|)．设关于x 的不等式f (x ＋a )<f (x )的解集为 A.若⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12⊆A ，则实数a 的取值范围是 A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－32，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，1＋32D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1－525．已知两条直线l 1：y ＝m 和l 2：y ＝82m ＋1(m>0)，l 1与函数y ＝|log 2x|的图象从左至右相交于点A ，B ，l 2与函数y ＝|log 2x|的图象从左至右相交于点C ，D.记线段AC 和BD 在x轴上的投影长度分别为a ，b.当m 变化时，ba的最小值为A ．16 2B ．8 2C ．834D ．4346．设a ∈R ，若x >0时均有[(a －1)x －1]·(x 2－ax －1)≥0，则a ＝________．7．若不等式m ＋－x 2－2x ≤x ＋1对x ∈[－2，0]恒成立，则实数m 的取值范围是____________．8．已知函数f (x )＝a －2x ＋1.(1)当a ＝4，解不等式f (x )>3x ；(2)若函数g (x )＝f (2x)是奇函数，求a 的值；(3)若不等式f (x )<x 在[0，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围．9．已知函数f (x )＝ln x ＋kex(k 为常数，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行．(1)求k 的值；(2)求f (x )的单调区间；(3)设g (x )＝(x 2＋x )f ′(x )，其中f ′(x )为f (x )的导函数．证明：对任意x >0，g (x )<1＋e －2.考点集训(四十二) 第42讲 合情推理与演绎推理1．已知f (x ＋1)＝2f （x ）f （x ）＋2，f (1)＝1(x ∈N *)，猜想f (x )的表达式为A ．f (x )＝42x ＋2B ．f (x )＝2x ＋1C ．f (x )＝1x ＋1D ．f (x )＝22x ＋12．记S n 是等差数列{a n }前n 项的和，T n 是等比数列{b n }前n 项的积，设等差数列{a n }公差d ≠0，若对小于2 017的正整数n ，都有S n ＝S 2 017－n 成立，则推导出a 1 009＝0.设等比数列{b n }的公比q ≠1，若对于小于23的正整数n ，都有T n ＝T 23－n 成立，则A ．b 11＝1B ．b 12＝1C ．b 13＝1D ．b 14＝13．将石子摆成如图的梯形形状．称数列5，9，14，20，…为“梯形数列”．根据图形的构成，此数列的第2 016项与5的差，即a 2 016－5＝A ．1 011×2 016B ．1 011×2 015C ．1 011×2 014D ．1 010×2 0174．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，记f 2(x )＝f ′1(x )，f 3(x )＝f ′2(x )，…，f n (x )＝f ′n－1(x )(n ∈N *且n ≥2)，则f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋…＋f 2 016⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝ A ．504 B ．1 008 C ．0 D ．2 0165．在平面中，△ABC 的角C 的内角平分线CE 分△ABC 面积所成的比S △AEC S △BEC ＝ACBC.将这个结论类比到空间：在三棱锥A －BCD 中，平面DEC 平分二面角A －CD －B 且与AB 交于E ，则类比的结论为______________．6．观察下列等式：13＋23＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为____________________________．7．已知P (x 0，y 0)是抛物线y 2＝2px (p >0)上的一点，过P 点的切线方程的斜率可通过如下方式求得：在y 2＝2px 两边同时求导，得：2yy ′＝2p ，则y ′＝p y ，所以过P 的切线的斜率：k ＝p y 0.试用上述方法求出双曲线x 2－y 22＝1在P (2，2)处的切线方程为________________．8．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图(1)(2)(3)(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形．(1)求出f (5)．(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f (n ＋1)与f (n )的关系式，并根据你得到的关系式求f (n )的关系式．9．已知数列{a n }和{b n }满足：a 1＝λ，a n ＋1＝23a n ＋n －4，b n ＝(－1)n(a n －3n ＋21)，其中λ为实数，n 为正整数．(1)证明：对任意实数λ，数列{a n }不是等比数列； (2)证明：当λ≠－18时，数列{b n }是等比数列； (3)设S n 为数列{b n }的前n 项和．是否存在实数λ，使得对任意正整数n ，都有S n >－12？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．考点集训(四十三) 第43讲 直接证明与间接证明1．要证明a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证明A ．2ab －1－a 2b 2≤0B ．a 2＋b 2－1－a 4＋b 42≤0C.（a ＋b ）22－1－a 2b 2≤0D ．(a 2－1)(b 2－1)≥02．若实数a ，b 满足a ＋b<0，则 A ．a ，b 都小于0 B ．a ，b 都大于0C ．a ，b 中至少有一个大于0D ．a ，b 中至少有一个小于03．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a ≥0)，则P ，Q 的大小关系是 A ．P ＞Q B ．P ＝QC ．P ＜QD ．由a 的取值确定4．若⎪⎪⎪⎪⎪⎪log a 14＝log a 14，|log b a|＝－log b a ，则a ，b 满足的条件是 A ．a ＞1，b ＞1 B ．0＜a ＜1，b ＞1C ．a ＞1，0＜b ＜1D ．0＜a ＜1，0＜b ＜1 5．已知函数f (x )是R 上的单调增函数且为奇函数，数列{a n }是等差数列，a 3>0，则f (a 1)＋f (a 3)＋f (a 5)的值A ．恒为正数B ．恒为负数C ．恒为0D ．可正可负6．如果a a ＋b b >a b ＋b a ，则a ，b 应满足的条件是______________． 7．求使x ＋y ≤a x ＋y (x ＞0，y ＞0)恒成立的a 的最小值．8．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．(1)sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°.(2)sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°.(3)sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°.(4)sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°.(5)sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.①试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数．②根据①的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．9．(1)求证：当a>1时，不等式a3＋1a3>a2＋1a2成立．(2)要使上述不等式成立，能否将条件“a>1”适当放宽？若能，请放宽条件，并简述理由；若不能，也请说明理由．(3)请你根据(1)(2)的结果，写出一个更为一般的结论，且予以证明．考点集训(四十四) 第44讲 数学归纳法及应用1．对于不等式n 2＋n ＜n ＋1(n ∈N *)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：(1)当n ＝1时，12＋1＜1＋1，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *且k ≥1)时，不等式成立，即k 2＋k ＜k ＋1，则当n ＝k ＋1时，（k ＋1）2＋（k ＋1）＝k 2＋3k ＋2＜（k 2＋3k ＋2）＋（k ＋2）＝（k ＋2）2＝(k ＋1)＋1，∴当n ＝k ＋1时，不等式成立，则上述证法A ．过程全部正确B ．n ＝1验得不正确C ．归纳假设不正确D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确2．用数学归纳法证明命题“当n 是正奇数时，x n ＋y n能被x ＋y 整除”，在第二步时，正确的证法是A ．假设n ＝k (k ∈N ＋)，证明n ＝k ＋1命题成立B ．假设n ＝k (k 是正奇数)，证明n ＝k ＋1命题成立C ．假设n ＝2k ＋1(k ∈N ＋)，证明n ＝k ＋1命题成立D ．假设n ＝k (k 是正奇数)，证明n ＝k ＋2命题成立3．用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n，则当n ＝k＋1时，左端应在n ＝k 的基础上加上A.12k ＋2 B ．－12k ＋2 C.12k ＋1－12k ＋2 D.12k ＋1＋12k ＋24．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n ×3n －1＝3n (na －b )＋c 对一切n ∈N *都成立，则a 、b 、c 的值为A ．a ＝12，b ＝c ＝14B ．a ＝b ＝c ＝14C ．a ＝0，b ＝c ＝14D ．不存在这样的a 、b 、c5．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1＜n (n ∈N *，n ＞1)时，第一步应验证的不等式是______________．6．设f (n )＝1＋12＋13＋14＋…＋13n －1(n ∈N *)，则f (n ＋1)－f (n )＝________________．7．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝12a n ＋1(n ∈N *)，通过计算a 1，a 2，a 3，a 4，可猜想a n＝______________．8．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且方程x 2－a n x －a n ＝0有一根为S n －1(n ∈N *)． (1)求a 1，a 2；(2)猜想数列{S n }的通项公式，并给出证明．9．等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知对任意的n ∈N *，点(n ，S n )均在函数y ＝b x＋r (b ＞0且b ≠1，b ，r 均为常数)的图象上．(1)求r 的值；(2)当b ＝2时，记b n ＝2(log 2a n ＋1)(n ∈N *)．证明：对任意的n ∈N *，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n＞n ＋1成立．第37讲 不等式的性质与基本不等式【考点集训】1．C 2.D 3.C 4.C 5.D 6.B 7.13 8.⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，132 9．【解析】(1)设该厂应隔x(x ∈N *)天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y 1. ∵饲料的保管与其他费用每天比前一天少200×0.03＝6(元)， ∴x 天饲料的保管与其他费用共是6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6＝3x 2－3x (元)．从而有y 1＝1x(3x 2－3x ＋300)＋200×1.8＝300x＋3x ＋357≥417.当且仅当300x＝3x ，即x ＝10时，y 1有最小值．即每隔10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少． (2)设该厂利用此优惠条件，每隔x 天(x ≥25)购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y 2，则y 2＝1x(3x 2－3x ＋300)＋200×1.8×0.85＝300x＋3x ＋303(x ≥25)．∵y ′2＝－300x2＋3，∴当x ≥25时，y ′2>0，即函数y 2在[25，＋∞)上是增函数， ∴当x ＝25时，y 2取得最小值为390.而390<417，∴该厂可以接受此优惠条件． 第38讲 简单不等式的解法【考点集训】1．B 2.A 3.B 4.A 5.(－∞，8] 6.1 7.{x|0<x<2}8．【解析】(1)由题意知a<0，且方程ax 2＋5x －2＝0的两个根为12，2，代入解得a ＝－2.(2)由(1)知不等式为－2x 2－5x ＋3>0，即2x 2＋5x －3<0，解得－3<x<12，即不等式ax 2－5x ＋a 2－1>0的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－3，12.9．【解析】(1)求不等式f(x)<f(1)，即f(x)<0， 即(x －1)(ax ＋a －b)<0，当b>2a 时，解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，b －a a .(2)∵a>0，b>0，∴ba>0，①当0<b 2a <12时，即0<b<a 时，f(0)＝b －a<0＝f(1)，不符合题意，②当b 2a ≥12时，即b ≥a 时，f(0)＝b －a ≥0＝f(1)，符合题意，∴b a ≥1，∴ba的取值范围是[1，＋∞)．(3)①当2b ≥a 时，不等式即为：ax 2－bx －a ＋b ≤(2b －a)x ＋2b －a ，整理得：ax 2－(3b －a)x －b ≤0，即：x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫3b a －1x －b a ≤0.令t ＝b a ，则t ≥12，所以不等式即x 2－(3t －1)x －t ≤0，即(3x ＋1)t －x 2－x ≥0，由题意：对任意的t ≥12不等式恒成立，而3x ＋1>0，∴只要t ＝12时不等式成立即可，∴x 2－12x －12≤0，∴－12≤x ≤1，而x ∈[0，m]，∴0<m ≤1；②当2b<a 时，同理不等式可整理为：x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－b a x －2＋3b a ≤0，令t ＝b a ，则0<t<12，所以不等式即x 2－(1－t)x －2＋3t ≤0，即(x ＋3)t ＋x 2－x －2≤0，由题意：对任意的0<t<12不等式恒成立，而x ＋3>0，∴只要t ＝12时不等式成立即可，∴x 2－12x －12≤0，∴－12≤x ≤1，而x ∈[0，m]，∴0<m ≤1； 综合①②得：0<m ≤1. 第39讲 含参变量不等式问题【考点集训】1．C 2.C 3.C 4.3 5.R {x |0≤x ≤1} 6.327.(－∞，22－1) 8．【解析】(1)由已知Q ＝{x |ax 2－2x ＋2＞0}，若P ∩Q ≠∅，则说明在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2内至少有一个x 值，使不等式ax 2－2x ＋2＞0成立，即在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2内至少有一个x 值，使a ＞2x －2x 2成立．令u ＝2x －2x 2，则只需a ＞u min ，又u ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －122＋12，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时，1x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，从而u ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4，12，∴a ＞－4， ∴a 的取值范围是{a |a ＞－4}．(2)方程log 2(ax 2－2x ＋2)＝2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2内有解，则方程ax 2－2x ＋2＝4，即ax 2－2x －2＝0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2内有解，分离a 与x ，得a ＝2x 2＋2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤x ≤2. ∵a ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋122－12⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤x ≤2，∴32≤a ≤12.∴a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，12. 9．【解析】(1)要使mx 2－mx －1＜0恒成立， 若m ＝0，显然－1＜0； 若m ≠0， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0Δ＝m 2＋4m ＜0，⇒－4＜m ＜0. 所以－4＜m ≤0.(2)要使f (x )＜－m ＋5在[1，3]上恒成立，就是要使m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6＜0在x ∈[1，3]上恒成立． 令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1，3]． 当m ＞0时，g (x )在[1，3]上是增函数，所以g (x )max ＝g (3)＝7m －6＜0，所以m ＜67，则0＜m ＜67；当m ＝0时，－6＜0恒成立；当m ＜0时，g (x )在[1，3]上是减函数， 所以g (x )max ＝g (1)＝m －6＜0， 所以m ＜6，所以m ＜0.综上所述，m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪m ＜67.第40讲 简单的线性规划问题【考点集训】1．C 2.D 3.A 4.D 5.C 6.D 7.21 8．【解析】(1)直线AB ，AC ，BC 的方程分别为7x －5y －23＝0，x ＋7y －11＝0，4x ＋y＋10＝0.原点(0，0)在区域D 内，故表示区域D 的不等式组为：⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.(2)根据题意有[4×(－1)－3×(－6)－a][4×(－3)－3×2－a]<0，即(14－a)(－18－a)<0，得a 的取值范围是－18<a<14.故a 的取值范围是(－18，14)．9．【解析】由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1，作出(x ，y)的可行域如图阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，3x ＋5y －25＝0，解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，225.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －4y ＋3＝0，解得C(1，1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，解得B(5，2)． (1)∵z ＝y x ＝y －0x －0，∴z 的值即是可行域中的点与原点O 连线的斜率．观察图形可知z min ＝k OB ＝25.(2)z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2的几何意义是可行域上的点到点(－3，2)的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到(－3，2)的距离中，d min ＝1－(－3)＝4，d max ＝5－(－3)＝8.∴16≤z ≤64. 第41讲 不等式的应用【考点集训】1．D 2.A 3.D 4.A 5.B 6.327.(－∞，－2]8．【解析】(1)当a ＝4时，f(x)＝4－2x ＋1，不等式f(x)>3x ⇔4－2x ＋1>3x ⇔3x 2－x －2x ＋1<0⇔（3x ＋2）（x －1）x ＋1<0，解得x<－1或－23<x<1.∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x<－1或－23<x<1. (2)g(x)＝f(2x)＝a －22＋1，其定义域是R .∵函数g (x )是奇函数，∴对任意实数x ，有g (－x )＝－g (x )恒成立，即a －22－x ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －22x ＋1，∴a －22－x ＋1＋a －22x ＋1＝0，即2a －22－x ＋1－22x ＋1＝0，2a －2·2x1＋2x －22x＋1＝0， ∴2a －2＝0， 解得a ＝1.(3)不等式f (x )<x 在[0，＋∞)上恒成立⇔a －2x ＋1<x 在[0，＋∞)上恒成立⇔a <x ＋2x ＋1在[0，＋∞)上恒成立，设函数h (x )＝x ＋2x ＋1，x ∈[0，＋∞)，则h (x )＝(x ＋1)＋2x ＋1－1≥2（x ＋1）×2x ＋1－1＝22－1， 当且仅当x ＋1＝1x ＋1，即x ＝2－1时等号成立，∴函数h (x )＝x ＋2x ＋1，x ∈[0，＋∞)的最小值是22－1，∴a <22－1，∴实数a 的取值范围是(－∞，22－1)．9．【解析】(1)由f (x )＝ln x ＋kex， 得f ′(x )＝1－kx －x ln xx e x，x ∈(0，＋∞)，由于曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线与x 轴平行， 所以f ′(1)＝0，因此k ＝1.(2)由(1)得f ′(x )＝1x ex (1－x －x ln x )，x ∈(0，＋∞)，令h (x )＝1－x －x ln x ，x ∈(0，＋∞)，当x ∈(0，1)时，h (x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，h (x )<0.又e x>0，所以x ∈(0，1)时，f ′(x )>0； x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0.因此f (x )的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞)．(3)因为g (x )＝(x 2＋x )f ′(x )，所以g (x )＝x ＋1ex (1－x －x ln x )，x ∈(0，＋∞)．因此对任意x >0，g (x )<1＋e －2等价于1－x －x ln x <e x x ＋1(1＋e －2)．由(2)中h (x )＝1－x －x ln x ，x ∈(0，＋∞)，得h ′(x )＝－ln x －2＝－(ln x －ln e －2)，x ∈(0，＋∞)，因此当x ∈(0，e －2)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增；当x ∈(e －2，＋∞)时，h ′(x )<0，h (x )单调递减．所以h (x )的最大值为h (e －2)＝1＋e －2，故1－x －x ln x ≤1＋e －2.设φ(x )＝e x－(x ＋1)．因为φ′(x )＝e x －1＝e x －e 0，所以x ∈(0，＋∞)时，φ′(x )>0，φ(x )单调递增， φ(x )>φ(0)＝0，故x ∈(0，＋∞)时，φ(x )＝e x－(x ＋1)>0，即e xx ＋1>1. 所以1－x －x ln x ≤1＋e －2<e xx ＋1(1＋e －2)．因此，对任意x >0，g (x )<1＋e －2.第42讲 合情推理与演绎推理【考点集训】1．B 2.B 3.B 4.C 5.V A －CDE V B －CDE ＝S △ACD S △BDC6．13＋23＋33＋43＋53＋63＝2127．2x －y －2＝0 8．【解析】(1)∵f(1)＝1，f(2)＝5，f(3)＝13，f(4)＝25， ∴f(5)＝25＋4×4＝41.(2)由f(2)－f(1)＝4＝4×1. f(3)－f(2)＝8＝4×2， f(4)－f(3)＝12＝4×3， f(5)－f(4)＝16＝4×4， …得f(n ＋1)－f(n)＝4n. ∴f(2)－f(1)＝4×1， f(3)－f(2)＝4×2， f(4)－f(3)＝4×3， …f(n －1)－f(n －2)＝4·(n－2)， f(n)－f(n －1)＝4·(n－1)，∴f(n)－f(1)＝4[1＋2＋…＋(n －2)＋(n －1)] ＝2n(n －1)，∴f(n)＝2n 2－2n ＋1.9．【解析】(1)假设存在一个实数λ，使{a n }是等比数列，则有a 22＝a 1a 3，即⎝ ⎛⎭⎪⎫23λ－32＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫49λ－4⇔49λ2－4λ＋9＝49λ2－4λ⇔9＝0.矛盾，∴{a n }不是等比数列．(2)∵b n ＋1＝(－1)n ＋1[a n ＋1－3(n ＋1)＋21]＝(－1)n ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫23a n －2n ＋14＝－23(－1)n(a n －3n ＋21)＝－23b n .又λ≠－18，∴b 1＝－(λ＋18)≠0.由上式知b n ≠0， ∴b n ＋1b n ＝－23(n ∈N *)． 故当λ≠－18时，数列{b n }是以－(λ＋18)为首项，－23为公比的等比数列．(3)当λ≠－18时，由(2)得b n ＝－(λ＋18)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－23n －1，于是S n ＝－35(λ＋18)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－23n .当λ＝－18时，b n ＝0，从而S n ＝0，S n >－12恒成立． 要使对任意正整数n ，都有S n >－12， 即－35(λ＋18)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－23n >－12 ⇔λ<201－⎝ ⎛⎭⎪⎫－23n －18.令f (n )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－23n，则 当n 为正奇数时，1<f (n )≤53；当n 为正偶数时，59≤f (n )<1.∴f (n )的最大值为f (1)＝53.于是可得λ<20×35－18＝－6.综上所述，存在实数λ，使得对任意正整数n ，都有S n >－12， λ的取值范围为(－∞，－6)． 第43讲 直接证明与间接证明【考点集训】1．D 2.D 3.C 4.B 5.A 6.a ≥0，b ≥0且a ≠b 7．【解析】设u ＝x ＋y x ＋y＝（x ＋y ）2x ＋y＝x ＋y ＋2xyx ＋y ＝1＋2xy x ＋y.∵x ＞0，y ＞0，∴x ＋y ≥2xy(当且仅当x ＝y 时，等号成立)， ∴2xyx ＋y≤1，即1＋2xy x ＋y≤2，∴a 的最小值为 2. 8．【解析】①选择(2)式计算如下sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝34.②三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos (30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos (30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34. 9．【解析】(1)a 3＋1a 3－a 2－1a 2＝1a 3()a －1()a 5－1，因为a>1，所以1a3()a －1()a 5－1>0，故原不等式成立．(2)能将条件“a ＞1”适当放宽．理由如下：由于a －1与a 5－1对于任意的a>0且a ≠1都保持同号，所以上述不等式对任何a>0且a ≠1都成立，故条件可以放宽为a>0且a ≠1.(3)根据(1)、(2)的证明，可推知： 若a>0且a ≠1，m>n>0，则有a m＋1a m >a n ＋1an .证明如下：a m －a n ＋1a m －1a n ＝a n()a m －n －1－1a m ()a m －n －1＝1am ()a m －n －1()a m ＋n－1， 若a>1，则由m>n>0得a m －n －1>0，a m ＋n－1>0，知不等式成立；若0<a<1，则由m>n>0得a m －n －1<0，a m ＋n－1<0知不等式成立． 第44讲 数学归纳法及应用【考点集训】1．D 2.D 3.C 4.A5．1＋12＋13<26.13n ＋13n ＋1＋13n ＋27.2n－12n －1 8．【解析】(1)当n ＝1时，方程x 2－a 1x －a 1＝0有一根为S 1－1＝a 1－1，∴(a 1－1)2－a 1(a 1－1)－a 1＝0，解得a 1＝12.当n ＝2时，方程x 2－a 2x －a 2＝0有一根为S 2－1＝a 1＋a 2－1＝a 2－12，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－122－a 2⎝⎛⎭⎪⎫a 2－12－a 2＝0，解得a 2＝16. (2)由题意知(S n －1)2－a n (S n －1)－a n ＝0， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，代入上式整理得S n S n －1－2S n ＋1＝0，解得S n ＝12－S n －1.由(1)得S 1＝a 1＝12，S 2＝a 1＋a 2＝12＋16＝23.猜想S n ＝n n ＋1(n ∈N *)．下面用数学归纳法证明这个结论． ①当n ＝1时，结论成立．②假设n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时结论成立，即S k ＝k k ＋1，当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝12－S k ＝12－kk ＋1＝k ＋1k ＋2. 即当n ＝k ＋1时结论成立．由①②知S n ＝nn ＋1对任意的正整数n 都成立．9．【解析】(1)由题意，S n ＝b n＋r ，当n ≥2时，S n －1＝b n －1＋r ，所以a n ＝S n －S n －1＝b n －1(b －1)，由于b ＞0且b ≠1，所以n ≥2时，{a n }是以b 为公比的等比数列，又a 1＝b ＋r ，a 2＝b (b －1)，a 2a 1＝b ，即b （b －1）b ＋r＝b ，解得r ＝－1.(2)证明：由(1)知a n ＝2n －1，因此b n ＝2n (n ∈N *)，所证不等式为2＋12·4＋14·…·2n ＋12n ＞n ＋1.①当n ＝1时，左式＝32，右式＝2，左式＞右式，所以结论成立．②假设n ＝k 时结论成立，即2＋12·4＋14·…·2k ＋12k＞k ＋1，则当n ＝k ＋1时，2＋12·4＋14·…·2k ＋12k ·2k ＋32（k ＋1）＞k ＋1·2k ＋32（k ＋1）＝2k ＋32k ＋1，要证当n ＝k ＋1时结论成立，只需证2k ＋32k ＋1≥k ＋2，即证2k ＋32≥（k ＋1）（k ＋2），由均值不等式2k ＋32＝（k ＋1）＋（k ＋2）2≥（k ＋1）（k ＋2）成立，故2k ＋32k ＋1≥k ＋2成立，所以，当n ＝k ＋1时，结论成立．由①②可知，n ∈N *时，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n＞n ＋1成立．。
2017高考数学一轮复习 第六章 不等式、推理与证明考点集训 理.
第六章 不等式、推理与证明考点集训(三十七) 第37讲 不等式的性质与基本不等式1．已知a ，b ，c ∈R ，那么下列命题中正确的是A ．若a ＞b ，则ac 2＞bc 2B ．若a c ＞b c，则a ＞bC ．若a 3＞b 3且ab ＜0，则1a ＞1bD ．若a 2＞b 2且ab ＞0，则1a ＜1b2．设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，那么2α－β3的取值范围是A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，56πB.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，56π C ．(0，π) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π 3．若直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1，1)，则该直线在x 轴、y 轴上的截距之和的最小值为A ．1B ．2C ．4D ．84．已知x >1，y >1，且14ln x ，14，ln y 成等比数列，则xyA ．有最大值eB ．有最大值 eC ．有最小值eD ．有最小值 e5．下列各函数中，最小值为4的个数为①y ＝x ＋4x ；②y ＝sin x ＋4sin x(0<x <π)；③y ＝e x ＋4e －x；④y ＝log 3x ＋4log x 3.A ．4B ．3C ．2D ．16．已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是A ．3B ．4 C.92 D.1127．函数y ＝9sin 2x＋4sin 2x 的最小值是________．8．已知－1＜a ＋b ＜3且2＜a －b ＜4，则2a ＋3b 的取值范围是______________．9．某养殖厂需定期购买饲料，已知该厂每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格为1.8元，饲料的保管与其他费用为平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元．假定当天所买饲料当天用，不需保管与其他费用．(1)求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少； (2)若提供饲料的公司规定，当一次购买饲料不少于5吨时其价格可享受八五折优惠(即为原价的85%)，问该厂是否可以考虑利用此优惠条件？若考虑优惠条件，则应如何安排可使平均每天所支付的费用最少？考点集训(三十八) 第38讲 简单不等式的解法1．设a>0，不等式－c<ax ＋b<c 的解集是{x|－2<x<1}，则a ∶b ∶c ＝ A ．1∶2∶3 B ．2∶1∶3 C ．3∶1∶2 D ．3∶2∶12．“0<a<1”是“ax 2＋2ax ＋1>0的解集是实数集R ”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知关于x 的不等式x ＋1x ＋a<2的解集为P .若1∉P ，则实数a 的取值范围为A ．(－∞，0]∪[1，＋∞)B ．[－1，0]C ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)D ．(－1，0]4．定义区间长度m 为这样的一个量：m 的大小为区间右端点的值减去左端点的值．若关于x 的不等式x 2－x －6a <0有解，且解集的区间长度不超过5个单位长度，则实数a 的取值范围是A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－124，1 B.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－124∪[1，＋∞) C ．(0，1] D ．[－24，1)5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1x <1，x 13x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是__________．6．已知y ＝f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )＝(x －1)2；若当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12时，n ≤f (x )≤m 恒成立，则m －n 的最小值为________．7．不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集是____________．8．若不等式ax 2＋5x －2>0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12<x <2.(1)求实数a 的值；(2)求不等式ax 2－5x ＋a 2－1>0的解集．9．设a >0，b >0，函数f (x )＝ax 2－bx －a ＋b . (1)若b >2a ，求不等式f (x )<f (1)的解集；(2)若f (x )在[0，1]上的最大值为b －a ，求b a的取值范围；(3)当x ∈[0，m ]时，对任意的正实数a ，b ，不等式f (x )≤(x ＋1)|2b －a |恒成立，求实数m 的取值范围．考点集训(三十九) 第39讲 含参变量不等式问题1．已知log a 25＜1，则a 的取值范围是A ．0＜a ＜25 B ．a ＞1C ．0＜a ＜25或a ＞1D ．a ＞522．关于x 的不等式x 2－4ax －5a 2＞0(a ＜0)的解集是 A ．{x|5a ＜x ＜－a } B ．{x|－a ＜x ＜5a }C ．{x|x ＜5a 或x ＞－a }D ．{x|x ＞5a 或x ＜－a }3．已知a ＞0，a ≠1，f (x )＝x 2－a x，当x ∈(－1，1)时，均有f (x )＜12，则实数a 的取值范围是A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞)B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，1∪(1，4]C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪(1，2]D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14∪[4，＋∞) 4．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＜b )，若对任意x ∈R ，f (x )≥0恒成立，则A ＝a ＋b ＋c b －a的最小值为________．5．设a ，b ∈R ，关于x 的不等式a 2x ＋b 2(1－x )≥[ax ＋b (1－x )]2，若a ＝b ，则不等式的解集为________；若a ≠b ，则不等式的解集为____________．6．设a ∈R ，若x ＞0时均有[(a －1)x －1](x 2－ax －1)≥0，则a ＝__________．7．已知f (x )＝32x －(k ＋1)3x＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围为______________．8．已知集合P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12≤x ≤2，函数y ＝log 2(ax 2－2x ＋2)的定义域为Q . (1)若P ∩Q ≠∅，求实数a 的取值范围；(2)若方程log 2(ax 2－2x ＋2)＝2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2内有解，求实数a 的取值范围．9．设函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于一切实数x ，f (x )＜0恒成立，求m 的取值范围；(2)若对于x ∈[1，3]，f (x )＜－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．考点集训(四十) 第40讲 简单的线性规划问题1．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，且z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为m 和n ，则m －n ＝A ．8B ．7C ．6D ．52．由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x －2≤0确定的平面区域记为Ω1，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ＋y ≥－2确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机抽取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为A.18B.14C.34D.783．若点(x ，y )位于曲线y ＝|x|与y ＝2所围成的封闭区域，则2x －y 的最小值是 A ．－6 B ．－2 C ．0 D ．24．x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为A.12或－1 B ．2或12 C ．2或1 D ．2或－15．已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为A ．5B ．29C ．37D ．496．设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0，则z ＝y x ＋xy的取值范围是A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，103B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，52C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，1037．实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为________．8．已知D 是以点A (4，1)，B (－1，－6)，C (－3，2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)．如图所示．(1)写出表示区域D 的不等式组．(2)设点B (－1，－6)，C (－3，2)在直线4x －3y －a ＝0的异侧，求a 的取值范围．9．变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1.(1)设z ＝yx ，求z 的最小值；(2)设z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13，求z 的取值范围．考点集训(四十一) 第41讲 不等式的应用1．若直线x a ＋y b＝1(a>0，b>0)始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的周长，则ab 的取值范围是A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，18B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18 C ．(0，8] D ．[8，＋∞)2．已知函数f (x )＝x ＋mx，x ∈(0，＋∞)，若不等式f (x )<4的解集是空集，则A ．m ≥4B ．m ≥2C ．m ≤4D ．m ≤23．设f (x )是⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12x 6展开式的中间项，若f (x )≤mx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，2上恒成立，则实数m 的取值范围是A ．(－∞，5)B ．(－∞，5]C ．(5，＋∞)D ．[5，＋∞)4．已知函数f (x )＝x (1＋a|x|)．设关于x 的不等式f (x ＋a )<f (x )的解集为 A.若⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12⊆A ，则实数a 的取值范围是 A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－32，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，1＋32D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1－525．已知两条直线l 1：y ＝m 和l 2：y ＝82m ＋1(m>0)，l 1与函数y ＝|log 2x|的图象从左至右相交于点A ，B ，l 2与函数y ＝|log 2x|的图象从左至右相交于点C ，D.记线段AC 和BD 在x轴上的投影长度分别为a ，b.当m 变化时，ba的最小值为A ．16 2B ．8 2C ．834D ．4346．设a ∈R ，若x >0时均有[(a －1)x －1]·(x 2－ax －1)≥0，则a ＝________．7．若不等式m ＋－x 2－2x ≤x ＋1对x ∈[－2，0]恒成立，则实数m 的取值范围是____________．8．已知函数f (x )＝a －2x ＋1.(1)当a ＝4，解不等式f (x )>3x ；(2)若函数g (x )＝f (2x)是奇函数，求a 的值；(3)若不等式f (x )<x 在[0，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围．9．已知函数f (x )＝ln x ＋kex(k 为常数，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行．(1)求k 的值；(2)求f (x )的单调区间；(3)设g (x )＝(x 2＋x )f ′(x )，其中f ′(x )为f (x )的导函数．证明：对任意x >0，g (x )<1＋e －2.考点集训(四十二) 第42讲 合情推理与演绎推理1．已知f (x ＋1)＝2f （x ）f （x ）＋2，f (1)＝1(x ∈N *)，猜想f (x )的表达式为A ．f (x )＝42x ＋2B ．f (x )＝2x ＋1C ．f (x )＝1x ＋1D ．f (x )＝22x ＋12．记S n 是等差数列{a n }前n 项的和，T n 是等比数列{b n }前n 项的积，设等差数列{a n }公差d ≠0，若对小于2 017的正整数n ，都有S n ＝S 2 017－n 成立，则推导出a 1 009＝0.设等比数列{b n }的公比q ≠1，若对于小于23的正整数n ，都有T n ＝T 23－n 成立，则A ．b 11＝1B ．b 12＝1C ．b 13＝1D ．b 14＝13．将石子摆成如图的梯形形状．称数列5，9，14，20，…为“梯形数列”．根据图形的构成，此数列的第2 016项与5的差，即a 2 016－5＝A ．1 011×2 016B ．1 011×2 015C ．1 011×2 014D ．1 010×2 0174．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，记f 2(x )＝f ′1(x )，f 3(x )＝f ′2(x )，…，f n (x )＝f ′n－1(x )(n ∈N *且n ≥2)，则f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋…＋f 2 016⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝ A ．504 B ．1 008 C ．0 D ．2 0165．在平面中，△ABC 的角C 的内角平分线CE 分△ABC 面积所成的比S △AEC S △BEC ＝ACBC.将这个结论类比到空间：在三棱锥A －BCD 中，平面DEC 平分二面角A －CD －B 且与AB 交于E ，则类比的结论为______________．6．观察下列等式：13＋23＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为____________________________．7．已知P (x 0，y 0)是抛物线y 2＝2px (p >0)上的一点，过P 点的切线方程的斜率可通过如下方式求得：在y 2＝2px 两边同时求导，得：2yy ′＝2p ，则y ′＝p y ，所以过P 的切线的斜率：k ＝p y 0.试用上述方法求出双曲线x 2－y 22＝1在P (2，2)处的切线方程为________________．8．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图(1)(2)(3)(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形．(1)求出f (5)．(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f (n ＋1)与f (n )的关系式，并根据你得到的关系式求f (n )的关系式．9．已知数列{a n }和{b n }满足：a 1＝λ，a n ＋1＝23a n ＋n －4，b n ＝(－1)n(a n －3n ＋21)，其中λ为实数，n 为正整数．(1)证明：对任意实数λ，数列{a n }不是等比数列； (2)证明：当λ≠－18时，数列{b n }是等比数列； (3)设S n 为数列{b n }的前n 项和．是否存在实数λ，使得对任意正整数n ，都有S n >－12？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．考点集训(四十三) 第43讲 直接证明与间接证明1．要证明a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证明A ．2ab －1－a 2b 2≤0B ．a 2＋b 2－1－a 4＋b 42≤0C.（a ＋b ）22－1－a 2b 2≤0D ．(a 2－1)(b 2－1)≥02．若实数a ，b 满足a ＋b<0，则 A ．a ，b 都小于0 B ．a ，b 都大于0C ．a ，b 中至少有一个大于0D ．a ，b 中至少有一个小于03．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a ≥0)，则P ，Q 的大小关系是 A ．P ＞Q B ．P ＝QC ．P ＜QD ．由a 的取值确定4．若⎪⎪⎪⎪⎪⎪log a 14＝log a 14，|log b a|＝－log b a ，则a ，b 满足的条件是 A ．a ＞1，b ＞1 B ．0＜a ＜1，b ＞1C ．a ＞1，0＜b ＜1D ．0＜a ＜1，0＜b ＜1 5．已知函数f (x )是R 上的单调增函数且为奇函数，数列{a n }是等差数列，a 3>0，则f (a 1)＋f (a 3)＋f (a 5)的值A ．恒为正数B ．恒为负数C ．恒为0D ．可正可负6．如果a a ＋b b >a b ＋b a ，则a ，b 应满足的条件是______________． 7．求使x ＋y ≤a x ＋y (x ＞0，y ＞0)恒成立的a 的最小值．8．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．(1)sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°.(2)sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°.(3)sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°.(4)sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°.(5)sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.①试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数．②根据①的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．9．(1)求证：当a>1时，不等式a3＋1a3>a2＋1a2成立．(2)要使上述不等式成立，能否将条件“a>1”适当放宽？若能，请放宽条件，并简述理由；若不能，也请说明理由．(3)请你根据(1)(2)的结果，写出一个更为一般的结论，且予以证明．考点集训(四十四) 第44讲 数学归纳法及应用1．对于不等式n 2＋n ＜n ＋1(n ∈N *)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：(1)当n ＝1时，12＋1＜1＋1，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *且k ≥1)时，不等式成立，即k 2＋k ＜k ＋1，则当n ＝k ＋1时，（k ＋1）2＋（k ＋1）＝k 2＋3k ＋2＜（k 2＋3k ＋2）＋（k ＋2）＝（k ＋2）2＝(k ＋1)＋1，∴当n ＝k ＋1时，不等式成立，则上述证法A ．过程全部正确B ．n ＝1验得不正确C ．归纳假设不正确D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确2．用数学归纳法证明命题“当n 是正奇数时，x n ＋y n能被x ＋y 整除”，在第二步时，正确的证法是A ．假设n ＝k (k ∈N ＋)，证明n ＝k ＋1命题成立B ．假设n ＝k (k 是正奇数)，证明n ＝k ＋1命题成立C ．假设n ＝2k ＋1(k ∈N ＋)，证明n ＝k ＋1命题成立D ．假设n ＝k (k 是正奇数)，证明n ＝k ＋2命题成立3．用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n，则当n ＝k＋1时，左端应在n ＝k 的基础上加上A.12k ＋2 B ．－12k ＋2 C.12k ＋1－12k ＋2 D.12k ＋1＋12k ＋24．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n ×3n －1＝3n (na －b )＋c 对一切n ∈N *都成立，则a 、b 、c 的值为A ．a ＝12，b ＝c ＝14B ．a ＝b ＝c ＝14C ．a ＝0，b ＝c ＝14D ．不存在这样的a 、b 、c5．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1＜n (n ∈N *，n ＞1)时，第一步应验证的不等式是______________．6．设f (n )＝1＋12＋13＋14＋…＋13n －1(n ∈N *)，则f (n ＋1)－f (n )＝________________．7．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝12a n ＋1(n ∈N *)，通过计算a 1，a 2，a 3，a 4，可猜想a n＝______________．8．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且方程x 2－a n x －a n ＝0有一根为S n －1(n ∈N *)． (1)求a 1，a 2；(2)猜想数列{S n }的通项公式，并给出证明．9．等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知对任意的n ∈N *，点(n ，S n )均在函数y ＝b x＋r (b ＞0且b ≠1，b ，r 均为常数)的图象上．(1)求r 的值；(2)当b ＝2时，记b n ＝2(log 2a n ＋1)(n ∈N *)．证明：对任意的n ∈N *，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n＞n ＋1成立．第37讲 不等式的性质与基本不等式【考点集训】1．C 2.D 3.C 4.C 5.D 6.B 7.13 8.⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，132 9．【解析】(1)设该厂应隔x(x ∈N *)天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y 1. ∵饲料的保管与其他费用每天比前一天少200×0.03＝6(元)， ∴x 天饲料的保管与其他费用共是6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6＝3x 2－3x (元)．从而有y 1＝1x(3x 2－3x ＋300)＋200×1.8＝300x＋3x ＋357≥417.当且仅当300x＝3x ，即x ＝10时，y 1有最小值．即每隔10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少． (2)设该厂利用此优惠条件，每隔x 天(x ≥25)购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y 2，则y 2＝1x(3x 2－3x ＋300)＋200×1.8×0.85＝300x＋3x ＋303(x ≥25)．∵y ′2＝－300x2＋3，∴当x ≥25时，y ′2>0，即函数y 2在[25，＋∞)上是增函数， ∴当x ＝25时，y 2取得最小值为390.而390<417，∴该厂可以接受此优惠条件． 第38讲 简单不等式的解法【考点集训】1．B 2.A 3.B 4.A 5.(－∞，8] 6.1 7.{x|0<x<2}8．【解析】(1)由题意知a<0，且方程ax 2＋5x －2＝0的两个根为12，2，代入解得a ＝－2.(2)由(1)知不等式为－2x 2－5x ＋3>0，即2x 2＋5x －3<0，解得－3<x<12，即不等式ax 2－5x ＋a 2－1>0的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－3，12.9．【解析】(1)求不等式f(x)<f(1)，即f(x)<0， 即(x －1)(ax ＋a －b)<0，当b>2a 时，解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，b －a a .(2)∵a>0，b>0，∴ba>0，①当0<b 2a <12时，即0<b<a 时，f(0)＝b －a<0＝f(1)，不符合题意，②当b 2a ≥12时，即b ≥a 时，f(0)＝b －a ≥0＝f(1)，符合题意，∴b a ≥1，∴ba的取值范围是[1，＋∞)．(3)①当2b ≥a 时，不等式即为：ax 2－bx －a ＋b ≤(2b －a)x ＋2b －a ，整理得：ax 2－(3b －a)x －b ≤0，即：x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫3b a －1x －b a ≤0.令t ＝b a ，则t ≥12，所以不等式即x 2－(3t －1)x －t ≤0，即(3x ＋1)t －x 2－x ≥0，由题意：对任意的t ≥12不等式恒成立，而3x ＋1>0，∴只要t ＝12时不等式成立即可，∴x 2－12x －12≤0，∴－12≤x ≤1，而x ∈[0，m]，∴0<m ≤1；②当2b<a 时，同理不等式可整理为：x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－b a x －2＋3b a ≤0，令t ＝b a ，则0<t<12，所以不等式即x 2－(1－t)x －2＋3t ≤0，即(x ＋3)t ＋x 2－x －2≤0，由题意：对任意的0<t<12不等式恒成立，而x ＋3>0，∴只要t ＝12时不等式成立即可，∴x 2－12x －12≤0，∴－12≤x ≤1，而x ∈[0，m]，∴0<m ≤1； 综合①②得：0<m ≤1. 第39讲 含参变量不等式问题【考点集训】1．C 2.C 3.C 4.3 5.R {x |0≤x ≤1} 6.327.(－∞，22－1) 8．【解析】(1)由已知Q ＝{x |ax 2－2x ＋2＞0}，若P ∩Q ≠∅，则说明在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2内至少有一个x 值，使不等式ax 2－2x ＋2＞0成立，即在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2内至少有一个x 值，使a ＞2x －2x 2成立．令u ＝2x －2x 2，则只需a ＞u min ，又u ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －122＋12，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时，1x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，从而u ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4，12，∴a ＞－4， ∴a 的取值范围是{a |a ＞－4}．(2)方程log 2(ax 2－2x ＋2)＝2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2内有解，则方程ax 2－2x ＋2＝4，即ax 2－2x －2＝0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2内有解，分离a 与x ，得a ＝2x 2＋2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤x ≤2. ∵a ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋122－12⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤x ≤2，∴32≤a ≤12.∴a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，12. 9．【解析】(1)要使mx 2－mx －1＜0恒成立， 若m ＝0，显然－1＜0； 若m ≠0， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0Δ＝m 2＋4m ＜0，⇒－4＜m ＜0. 所以－4＜m ≤0.(2)要使f (x )＜－m ＋5在[1，3]上恒成立，就是要使m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6＜0在x ∈[1，3]上恒成立． 令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1，3]． 当m ＞0时，g (x )在[1，3]上是增函数，所以g (x )max ＝g (3)＝7m －6＜0，所以m ＜67，则0＜m ＜67；当m ＝0时，－6＜0恒成立；当m ＜0时，g (x )在[1，3]上是减函数， 所以g (x )max ＝g (1)＝m －6＜0， 所以m ＜6，所以m ＜0.综上所述，m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪m ＜67.第40讲 简单的线性规划问题【考点集训】1．C 2.D 3.A 4.D 5.C 6.D 7.21 8．【解析】(1)直线AB ，AC ，BC 的方程分别为7x －5y －23＝0，x ＋7y －11＝0，4x ＋y＋10＝0.原点(0，0)在区域D 内，故表示区域D 的不等式组为：⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.(2)根据题意有[4×(－1)－3×(－6)－a][4×(－3)－3×2－a]<0，即(14－a)(－18－a)<0，得a 的取值范围是－18<a<14.故a 的取值范围是(－18，14)．9．【解析】由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1，作出(x ，y)的可行域如图阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，3x ＋5y －25＝0，解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，225.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －4y ＋3＝0，解得C(1，1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，解得B(5，2)． (1)∵z ＝y x ＝y －0x －0，∴z 的值即是可行域中的点与原点O 连线的斜率．观察图形可知z min ＝k OB ＝25.(2)z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2的几何意义是可行域上的点到点(－3，2)的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到(－3，2)的距离中，d min ＝1－(－3)＝4，d max ＝5－(－3)＝8.∴16≤z ≤64. 第41讲 不等式的应用【考点集训】1．D 2.A 3.D 4.A 5.B 6.327.(－∞，－2]8．【解析】(1)当a ＝4时，f(x)＝4－2x ＋1，不等式f(x)>3x ⇔4－2x ＋1>3x ⇔3x 2－x －2x ＋1<0⇔（3x ＋2）（x －1）x ＋1<0，解得x<－1或－23<x<1.∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x<－1或－23<x<1. (2)g(x)＝f(2x)＝a －22x ＋1，其定义域是R .∵函数g (x )是奇函数，∴对任意实数x ，有g (－x )＝－g (x )恒成立，即a －22－x ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －22x ＋1，∴a －22－x ＋1＋a －22x ＋1＝0，即2a －22－x ＋1－22x ＋1＝0，2a －2·2x1＋2x －22x＋1＝0， ∴2a －2＝0， 解得a ＝1.(3)不等式f (x )<x 在[0，＋∞)上恒成立⇔a －2x ＋1<x 在[0，＋∞)上恒成立⇔a <x ＋2x ＋1在[0，＋∞)上恒成立，设函数h (x )＝x ＋2x ＋1，x ∈[0，＋∞)，则h (x )＝(x ＋1)＋2x ＋1－1≥2（x ＋1）×2x ＋1－1＝22－1， 当且仅当x ＋1＝1x ＋1，即x ＝2－1时等号成立，∴函数h (x )＝x ＋2x ＋1，x ∈[0，＋∞)的最小值是22－1，∴a <22－1，∴实数a 的取值范围是(－∞，22－1)．9．【解析】(1)由f (x )＝ln x ＋kex， 得f ′(x )＝1－kx －x ln xx e x，x ∈(0，＋∞)，由于曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线与x 轴平行， 所以f ′(1)＝0，因此k ＝1.(2)由(1)得f ′(x )＝1x ex (1－x －x ln x )，x ∈(0，＋∞)，令h (x )＝1－x －x ln x ，x ∈(0，＋∞)，当x ∈(0，1)时，h (x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，h (x )<0.又e x>0，所以x ∈(0，1)时，f ′(x )>0； x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0.因此f (x )的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞)．(3)因为g (x )＝(x 2＋x )f ′(x )，所以g (x )＝x ＋1ex (1－x －x ln x )，x ∈(0，＋∞)．因此对任意x >0，g (x )<1＋e －2等价于1－x －x ln x <e x x ＋1(1＋e －2)．由(2)中h (x )＝1－x －x ln x ，x ∈(0，＋∞)，得h ′(x )＝－ln x －2＝－(ln x －ln e －2)，x ∈(0，＋∞)，因此当x ∈(0，e －2)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增；当x ∈(e －2，＋∞)时，h ′(x )<0，h (x )单调递减．所以h (x )的最大值为h (e －2)＝1＋e －2，故1－x －x ln x ≤1＋e －2.设φ(x )＝e x－(x ＋1)．因为φ′(x )＝e x －1＝e x －e 0，所以x ∈(0，＋∞)时，φ′(x )>0，φ(x )单调递增， φ(x )>φ(0)＝0，故x ∈(0，＋∞)时，φ(x )＝e x－(x ＋1)>0，即e xx ＋1>1. 所以1－x －x ln x ≤1＋e －2<e xx ＋1(1＋e －2)．因此，对任意x >0，g (x )<1＋e －2.第42讲 合情推理与演绎推理【考点集训】1．B 2.B 3.B 4.C 5.V A －CDE V B －CDE ＝S △ACD S △BDC6．13＋23＋33＋43＋53＋63＝2127．2x －y －2＝0 8．【解析】(1)∵f(1)＝1，f(2)＝5，f(3)＝13，f(4)＝25， ∴f(5)＝25＋4×4＝41.(2)由f(2)－f(1)＝4＝4×1. f(3)－f(2)＝8＝4×2， f(4)－f(3)＝12＝4×3， f(5)－f(4)＝16＝4×4， …得f(n ＋1)－f(n)＝4n. ∴f(2)－f(1)＝4×1， f(3)－f(2)＝4×2， f(4)－f(3)＝4×3， …f(n －1)－f(n －2)＝4·(n－2)， f(n)－f(n －1)＝4·(n－1)，∴f(n)－f(1)＝4[1＋2＋…＋(n －2)＋(n －1)] ＝2n(n －1)，∴f(n)＝2n 2－2n ＋1.9．【解析】(1)假设存在一个实数λ，使{a n }是等比数列，则有a 22＝a 1a 3，即⎝ ⎛⎭⎪⎫23λ－32＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫49λ－4⇔49λ2－4λ＋9＝49λ2－4λ⇔9＝0.矛盾，∴{a n }不是等比数列．(2)∵b n ＋1＝(－1)n ＋1[a n ＋1－3(n ＋1)＋21]＝(－1)n ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫23a n －2n ＋14＝－23(－1)n(a n －3n ＋21)＝－23b n .又λ≠－18，∴b 1＝－(λ＋18)≠0.由上式知b n ≠0， ∴b n ＋1b n ＝－23(n ∈N *)． 故当λ≠－18时，数列{b n }是以－(λ＋18)为首项，－23为公比的等比数列．(3)当λ≠－18时，由(2)得b n ＝－(λ＋18)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－23n －1，于是S n ＝－35(λ＋18)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－23n .当λ＝－18时，b n ＝0，从而S n ＝0，S n >－12恒成立． 要使对任意正整数n ，都有S n >－12， 即－35(λ＋18)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－23n >－12 ⇔λ<201－⎝ ⎛⎭⎪⎫－23n －18.令f (n )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－23n，则 当n 为正奇数时，1<f (n )≤53；当n 为正偶数时，59≤f (n )<1.∴f (n )的最大值为f (1)＝53.于是可得λ<20×35－18＝－6.综上所述，存在实数λ，使得对任意正整数n ，都有S n >－12， λ的取值范围为(－∞，－6)． 第43讲 直接证明与间接证明【考点集训】1．D 2.D 3.C 4.B 5.A 6.a ≥0，b ≥0且a ≠b 7．【解析】设u ＝x ＋y x ＋y＝（x ＋y ）2x ＋y＝x ＋y ＋2xyx ＋y ＝1＋2xy x ＋y.∵x ＞0，y ＞0，∴x ＋y ≥2xy(当且仅当x ＝y 时，等号成立)， ∴2xyx ＋y≤1，即1＋2xy x ＋y≤2，∴a 的最小值为 2. 8．【解析】①选择(2)式计算如下sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝34.②三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos (30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos (30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34. 9．【解析】(1)a 3＋1a 3－a 2－1a 2＝1a 3()a －1()a 5－1，因为a>1，所以1a3()a －1()a 5－1>0，故原不等式成立．(2)能将条件“a ＞1”适当放宽．理由如下：由于a －1与a 5－1对于任意的a>0且a ≠1都保持同号，所以上述不等式对任何a>0且a ≠1都成立，故条件可以放宽为a>0且a ≠1.(3)根据(1)、(2)的证明，可推知： 若a>0且a ≠1，m>n>0，则有a m＋1a m >a n ＋1an .证明如下：a m －a n ＋1a m －1a n ＝a n()a m －n －1－1a m ()a m －n －1＝1am ()a m －n －1()a m ＋n－1， 若a>1，则由m>n>0得a m －n －1>0，a m ＋n－1>0，知不等式成立；若0<a<1，则由m>n>0得a m －n －1<0，a m ＋n－1<0知不等式成立． 第44讲 数学归纳法及应用【考点集训】1．D 2.D 3.C 4.A5．1＋12＋13<26.13n ＋13n ＋1＋13n ＋27.2n－12n －1 8．【解析】(1)当n ＝1时，方程x 2－a 1x －a 1＝0有一根为S 1－1＝a 1－1，∴(a 1－1)2－a 1(a 1－1)－a 1＝0，解得a 1＝12.当n ＝2时，方程x 2－a 2x －a 2＝0有一根为S 2－1＝a 1＋a 2－1＝a 2－12，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－122－a 2⎝⎛⎭⎪⎫a 2－12－a 2＝0，解得a 2＝16. (2)由题意知(S n －1)2－a n (S n －1)－a n ＝0， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，代入上式整理得S n S n －1－2S n ＋1＝0，解得S n ＝12－S n －1.由(1)得S 1＝a 1＝12，S 2＝a 1＋a 2＝12＋16＝23.猜想S n ＝n n ＋1(n ∈N *)．下面用数学归纳法证明这个结论． ①当n ＝1时，结论成立．②假设n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时结论成立，即S k ＝k k ＋1，当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝12－S k ＝12－kk ＋1＝k ＋1k ＋2. 即当n ＝k ＋1时结论成立．由①②知S n ＝nn ＋1对任意的正整数n 都成立．9．【解析】(1)由题意，S n ＝b n＋r ，当n ≥2时，S n －1＝b n －1＋r ，所以a n ＝S n －S n －1＝b n －1(b －1)，由于b ＞0且b ≠1，所以n ≥2时，{a n }是以b 为公比的等比数列，又a 1＝b ＋r ，a 2＝b (b －1)，a 2a 1＝b ，即b （b －1）b ＋r＝b ，解得r ＝－1.(2)证明：由(1)知a n ＝2n －1，因此b n ＝2n (n ∈N *)，所证不等式为2＋12·4＋14·…·2n ＋12n ＞n ＋1.①当n ＝1时，左式＝32，右式＝2，左式＞右式，所以结论成立．②假设n ＝k 时结论成立，即2＋12·4＋14·…·2k ＋12k＞k ＋1，则当n ＝k ＋1时，2＋12·4＋14·…·2k ＋12k ·2k ＋32（k ＋1）＞k ＋1·2k ＋32（k ＋1）＝2k ＋32k ＋1，要证当n ＝k ＋1时结论成立，只需证2k ＋32k ＋1≥k ＋2，即证2k ＋32≥（k ＋1）（k ＋2），由均值不等式2k ＋32＝（k ＋1）＋（k ＋2）2≥（k ＋1）（k ＋2）成立，故2k ＋32k ＋1≥k ＋2成立，所以，当n ＝k ＋1时，结论成立．由①②可知，n ∈N *时，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n＞n ＋1成立．。
高三数学不等式推理与证明训练试题集
高三数学不等式、推理与证明训练试题集一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．下列符合三段论推理形式的为A．如果pq，p真，则q真B．如果bc，ab，则acC．如果a∥b，b∥c 高考，则a∥cD．如果a＞b，c＞0，则ac＞bc解析：由三段论的推理规则可以得到B为三段论.答案：B2．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是①各棱长相等，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各面都是面积相等的三角形，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等．A．① B．② C．①②③ D．③解析：由类比原理和思想，①②③都是合理、恰当的.答案：C3．用反证法证明命题“2＋3是无理数”时，假设正确的是A．假设2是有理数 B．假设3是有理数C．假设2或3是有理数 D．假设2＋3是有理数解析：假设结论的反面成立，2＋3不是无理数，则2＋3是有理数.答案：D4．已知ai，bi∈Ri＝1,2,3，…，n，a12＋a22＋…＋an2＝1，b12＋b22＋…＋bn2＝1，则a1b1＋a2b2＋…＋anbn的最大值为A．1 B．2 C．n2 D．2n解析：此结论为“a，b，c，d∈R，a2＋b2＝1，c3＋d2＝1，则ac＋bd≤a2＋c22＋b2＋d22＝1”的推广，类比可得a1b1＋a2b2＋…＋anbn≤a12＋b122＋a22＋b222＋…＋an2＋bn22＝1.答案：A5．在下列函数中，最小值是2的是A．y＝x2＋2xB．y＝x＋2x＋1x＞0C．y＝sinx＋1sinx，x∈0，π2D．y＝7x＋7－x解析：A中x的取值未限制，故无最小值．D中，∵y＝7x＋7－x＝7x＋17x≥2，等号成立的条件是x＝0.B、C选项均找不到等号成立的条件.答案：D6．一元二次不等式ax2＋bx＋1＞0的解集为{x－1＜x＜13}，则ab的值为A．－6 B．6 C．－5 D．5解析：∵ax2＋bx＋1＞0的解集是{x－1＜x＜13}，∴－1，13是方程ax2＋bx＋1＝0的两根，∴－1＋13＝－ba－1×13＝1ab＝－2，a＝－3，∴ab＝－3×－2＝6.答案：B7．已知a＞0，b＞0，则1a＋1b＋2ab的最小值是A．2 B．22 C．4 D．5解析：因为1a＋1b＋2ab≥21ab＋2ab＝21ab＋ab≥4，当且仅当1a＝1b，且 1ab＝ab，即a＝b＝1时，取“＝”.答案：C8．在直角坐标系中，若不等式组y≥0，y≤2x，y≤kx－1－1，表示一个三角形区域，则实数k的取值范围是A．－∞，－1 B．－1,2C．－∞，－1∪2，＋∞ D．2，＋∞解析：先作出y≥0，y≤2x，的平面区域如图：若k＝0时，显然不能与阴影部分构成三角形．若k＞0，将阴影部分的点如0,0代入y≤kx－1－1，有0≤－k－1，显然不能与阴影部分构成三角形，所以k＜0；又y＝kx－1－1是过定点1，－1的直线，由图知，若与阴影部分构成三角形，则有－k－1＞0，故k＜－1时，原不等式组能构成三角形区域.答案：A9．如果a＞b，给出下列不等式，其中成立的是11a＜1b； 2a3＞b3；3a2＋1＞b2＋1; 42a＞2b.A．23 B．13 C．34 D．24解析：∵a、b符号不定，故1不正确，3不正确．∵y＝x3是增函数，∴a＞b时，a3＞b3，故2正确．∴y＝2x是增函数，∴a＞b时，2a＞2b，故4正确.答案：D10．设函数fx＝－3 x＞0，x2＋bx＋c x≤0，若f－4＝f0，f－2＝0，则关于x的不等式fx≤1的解集为A．－∞，－3]∪[－1，＋∞ B．[－3，－1]C．[－3，－1]∪0，＋∞ D．[－3，＋∞解析：当x≤0时，fx＝x2＋bx＋c且f－4＝f0，故对称轴为x＝－b2＝－2，∴b＝4.又f－2＝4－8＋c＝0，∴c＝4，令x2＋4x＋4≤1有－3≤x≤－1；当x＞0时，fx＝－2≤1显然成立．故不等式的解集为[－3，－1]∪0，＋∞.答案：C11．若直线2ax＋by－2＝0a＞0，b＞0平分圆x2＋y2－2x－4y－6＝0，则2a＋1b的最小值是A．2－2 B.2－1 C．3＋22 D．3－22解析：由x2＋y2－2x－4y－6＝0得x－12＋y－22＝11，若2ax＋by－2＝0平分圆，∴2a＋2b－2＝0，∴a＋b＝1，∴2a＋1b＝2a＋ba＋a＋bb＝3＋2ba＋ab≥3＋2 2baab＝3＋22，当且仅当2ba＝ab，且a＋b＝1，即a＝2－2，b＝2－1时取等号.答案：C12．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的’距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10 km处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站A．5 km处 B．4 km处C．3 km处 D．2 km处解析：由题意可设y1＝k1x，y2＝k2x，∴k1＝xy1，k2＝y2x，把x＝10，y1＝2与x＝10，y2＝8分别代入上式得k1＝20，k2＝0.8，∴y1＝20x ，y2＝0.8xx为仓库到车站的距离，费用之和y＝y1＋y2＝0.8x＋20x≥2 0.8x20x＝8，当且仅当0.8x＝20x，即x＝5时等号成立，故选A.答案：A第Ⅱ卷非选择共90分二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．如下图，对大于或等于2的自然数m的n次幂进行如下方式的“分裂”：仿此，52的“分裂”中最大的数是，53的“分裂”中最小的数是 .解析：由已知中“分裂”可得故“52”的“分裂”中最大的数是9,53的“分裂”中最小的数是21.答案：9 2114．由图①有面积关系：S△PA′B′S△PAB＝PA′PB′PAPB，则由图②有体积关系：VP－A′B′C′VP－ABC＝__________.解析：设三棱锥C′-PA′B′的高为h′，15．已知等比数列{an}中，a2＞a3＝1，则使不等式a1－1a1＋a2－1a2＋a3－1a3＋…＋an－1an≥0成立的最大自然数n是__________．解析：∵a2＞a3＝1，∴0＜q＝a1a2＜1，a1＝1q2＞1，a1－1a1＋a1－1a2＋a3－1a1＋…＋an－1an＝a1＋a2＋…＋an－1a1＋1a2＋…＋1an＝a11－qn1－q－1a11－1qn1－1q＝a11－q41－q－q1－qna11－qqn≥0，∴a11－qn1－q≥q1－qna11－qqn.因为0 ＜q＜1，所以，化简得：a12≥1qn－1，即q4≤qn－1，∴4≥n－1，n≤5，所以n的最大值为5.答案：516．设实数x，y满足x－y－2≤0，x＋2y－5≥0，y－2≤0，则u＝yx－xy的取值范围是__________．解析：作出x，y满足的可行域如图中阴影部分所示，可得可行域内的点与原点连线的斜率的取值范围是13，2，即yx∈13，2，故令t＝yx，则u＝t－1t，根据函数u＝t－1t在t∈13，2上单调递增，得u∈－83，32.答案：－83，32三、解答题：本大题共6小题，共7 0分．17．10分在三角形中有下面的性质：1三角形的两边之和大于第三边；2三角形的中位线等于第三边的一半；3三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形的内心；4三角形的面积为S＝12a＋b＋crr为三角形内切圆半径，a、b、c为三边长．请类比出四面体的有关相似性质．解析：1四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；2四面体的中位面过三条棱的中点的面的面积等于第四个面的面积的四分之一；新课]3四面体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四面体内切球的球心；4四面体的体积为V ＝13S1＋S2＋S3＋S4rr为四面体内切球的半径，S1、S2、S3、S4为四面体的四个面的面积．18．12分已知a＞0，b＞0，求证b2a＋a2b≥a＋b.解析：b2a＋a2b－a＋b＝b2a－a＋a2b－b＝b＋ab－aa＋a＋ba－bb＝a－ba＋b1b－1a＝1aba－b2a＋b，∵a＞0，b＞0，∴b2a＋a2b≥a＋b.19．12分为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2021年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量即该厂的年产量x万件与年促销费用tt≥0万元满足x＝4－k2t＋1k 为常数．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件．已知2021年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍产品成本包括固定投入和再投入两部分．1将该厂家2021年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数；2该厂家2021年的年促销费用投入多少万元时厂家利润最大？解析：1由题意有1＝4－k1，得k＝3，故x＝4－32t＋1.∴y＝1.5×6＋12xx×x－6＋12x－t＝3＋6x－t＝3＋64－3t－1－t＝27－182t＋1－tt≥0．2由1知：y＝27－182t＋1－t＝27.5－9t＋12＋t＋12.由基本不等式9t＋12＋t＋12≥29t＋12t＋12＝6，当且仅当9t＋12＝t＋12，即t＝2.5时，等号成立，故y＝27－182t＋1－t＝27.5－9t＋12＋t＋12≤27.5－6＝21.5.当t＝2.5时，y有最大值21.5.所以2021年的年促销费用投入2.5万元时，该厂家利润最大．20．12分设数列{an}的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1，n＝1,2,3，….1求a1，a2；2猜想数列{Sn}的通项公式．解析：1当n＝1时，x2－a1x－a1＝0有一根为S1－1＝a1－1，于是a1－12－a1a1－1－a1＝0，解得a1＝12.当n＝2时，x2－a2x－a2＝0有一根为S2－1＝a2－12，于是a2－122－a2a2－12－a2＝0，解得 a2＝16.2由题设Sn－12－anSn－1－an＝0，Sn2－2Sn＋1－anSn＝0.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，代入上式得Sn－1Sn－2Sn＋1＝0①由1得S1＝a1＝12，S2＝a1＋a2＝12＋16＝23.由①可得S3＝34，由此猜想Sn＝nn＋1，n＝1,2,3，….21．12分设二次函数fx＝ax2＋b x＋c的一个零点是－1，且满足[fx－x]fx－x2＋12≤0恒成立．1求f1的值；2求fx的解析式；解析：1由均值不等式得x2＋12≥2x2＝x，若[fx－x]fx－x2＋12≤0恒成立，即x≤fx≤x2＋12恒成立，令x＝1得1≤f1≤12＋12＝1，故f1＝1.2由函数零点为－1得f－1＝0，即a－b＋c＝0，又由1知a＋b＋c＝1，所以解得a＋c＝b＝12.又fx－x＝ax2＋12x＋c－x＝ax2－12x＋c，因为fx－x≥0恒成立，所以Δ＝14－4ac≤0，因此ac≥116①于是a＞0，c＞0.再由a＋c＝12，得ac≤c＋a22＝116②故ac＝116，且a＝c＝14，故fx的解析式是fx＝14x2＋12x2＋12x＋14.22．12分某少数民族的刺绣有着悠久的，下图1、2、3、4为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣小正方形的摆放规律相同，设第n个图形包含fn个小正方形．1求出f5；2利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出fn+1与fn的关系，并根据你得到的关系式求fn的表达式．解析：1∵f1=1，f2=5，f3=13，f4=25，∴f5=25+4×4=41.2∵f2-f1=4=4×1，f3-f2=8=4×2，f4-f3=12=4×3，f5-f4=16=4×4，由上式规律得出fn+1-fn=4n.∴fn-fn-1=4n-1，fn-1-fn-2=4n-2，fn-2-fn-3=4n-3，…f2-f1=4×1，∴fn-f1=4[n-1+n-2+…+2+1]=2n-1n，∴fn=2n2-2n+1.感谢您的阅读，祝您生活愉快。
高中数学不等式证明题目训练卷及答案
高中数学不等式证明题目训练卷及答案一、选择题1、若\（a ＞ b ＞ 0\），则下列不等式中一定成立的是（）A ＼（a ＋＼frac{1}｛b} ＞ b ＋＼frac{1}｛a}＼）B ＼（＼frac{b ＋ 1}｛a ＋ 1} ＞＼frac{b}｛a}＼）C ＼（a ＼frac{1}｛b} ＞ b ＼frac{1}｛a}＼）D ＼（＼frac{2a ＋ b}｛a ＋ 2b} ＞＼frac{a}｛b}＼）答案：A解析：因为\（a ＞ b ＞ 0\），所以\（a b ＞ 0\）。
A 选项：＼（（a ＋＼frac{1}｛b}）（b ＋＼frac{1}｛a}）＝（a b) ＋（＼frac{1}｛b} ＼frac{1}｛a}）＝（a b) ＋＼frac{a b}｛ab}＞ 0\），所以\（a ＋＼frac{1}｛b} ＞ b ＋＼frac{1}｛a}＼），A 选项正确。
B 选项：＼（＼frac{b ＋ 1}｛a ＋ 1} ＼frac{b}｛a} ＝＼frac{a(b＋ 1) b(a ＋ 1)｝｛a(a ＋ 1)｝＝＼frac{a b}｛a(a ＋ 1)｝＼），因为\（a(a ＋ 1) ＞ 0\），但\（a b\）的正负不确定，所以\（＼frac{b ＋ 1}｛a ＋ 1}＼）与\（＼frac{b}｛a}＼）大小不确定，B 选项错误。
C 选项：＼（（a ＼frac{1}｛b}）（b ＼frac{1}｛a}）＝（a b) （＼frac{1}｛b} ＼frac{1}｛a}）＝（a b) ＼frac{a b}｛ab}＼），当\（ab ＞ 1\）时，＼（（a b) ＼frac{a b}｛ab} ＜ 0\），C 选项错误。
D 选项：＼（＼frac{2a ＋ b}｛a ＋ 2b} ＼frac{a}｛b} ＝＼frac{b(2a ＋ b) a(a ＋ 2b)｝｛b(a ＋ 2b)｝＝＼frac{b^2 a^2}｛b(a ＋2b)｝＼），因为\（b^2 a^2 ＜ 0\），＼（b(a ＋ 2b) ＞ 0\），所以\（＼frac{2a ＋ b}｛a ＋ 2b} ＼frac{a}｛b} ＜ 0\），D 选项错误。
2017年高考数学一轮总复习达标训练：第六章 不等式、
6.1 不等关系与不等式一、选择题1．已知a ，b 为正数，a ≠b ，n 为正整数，则a n b ＋ab n －a n ＋1－b n ＋1的正负情况为 ( )A ．恒为正B ．恒为负C ．与n 的奇偶性有关D ．与a ，b 的大小有关2．已知a ，b ，c ，d 为实数，满足a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd >1，则在a ，b ，c ，d 中( )A ．有且仅有一个为负B ．有且仅有两个为负C ．至少有一个为负D ．都为正数3．若a 、b 均为不等于零的实数，给出下列两个条件．条件甲：对于区间[－1，0]上的一切x 值，ax ＋b >0恒成立；条件乙：2b －a >0，则甲是乙的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．如果0＜m ＜b ＜a ，则( )A ．cos b ＋m a ＋m ＜cos b a ＜cos b －m a －mB ．cos b a ＜cos b －m a －m ＜cos b ＋m a ＋mC ．cos b －m a －m ＜cos b a ＜cos b ＋m a ＋mD ．cos b ＋m a ＋m ＜cos b －m a －m＜cos b a 5．(2015·湖南长沙联考)已知a 、b 、c ∈R ，则下列推理：①a c 2＞b c 2⇒a ＞b ；②a 3＞b 3，ab ＞0⇒1a ＜1b ；③a 2＞b 2，ab ＞0⇒1a ＜1b；④0＜a ＜b ＜1⇒log a (1＋a )＞log b 11－a.其中正确的个数是( ) A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个答案：1．B 2.C 3.A 4.A 5.C二、填空题6．若－1＜a ＜b ＜1，－2＜c ＜3，则(a －b )·c 的取值范围是________．7．设函数f (x )＝ax ＋b (0≤x ≤1)，则a ＋2b ＞0是f (x )＞0在[0，1]上恒成立的________________条件．(选填“充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要”)8．已知1≤lg x y ≤2，2≤lg x 3y ≤3，则lg x 33y的取值范围为________． 答案：6．(－6，4) 7.必要不充分 8.⎣⎡⎦⎤2615，3三、解答题9．已知12<a <60，15<b <36，求a －b ，a b的取值范围．解析：∵15<b <36，∴－36<－b <－15.又12<a <60，∴12－36<a －b <60－15，∴－24<a －b <45，即a －b 的取值范围是(－24，45)．∵136<1b <115，∴1236<a b <6015， ∴13<a b <4，即a b的取值范围是⎝⎛⎭⎫13，4.10．(1)设a ＞b ＞c ，求证：1a －b ＋1b －c ＋1c －a＞0. (2)若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，e ＜0，求证：e （a －c ）2＞e （b －d ）2.证明：(1)∵a ＞b ＞c ，∴－c ＞－b .∴a －c ＞a －b ＞0，∴1a －b ＞1a －c ＞0，∴1a －b ＋1c －a＞0. 又b －c ＞0，∴1b －c ＞0，∴1a －b ＋1b －c ＋1c －a＞0. (2)∵c ＜d ＜0，∴－c ＞－d ＞0.又∵a ＞b ＞0，∴a －c ＞b －d ＞0，∴(a －c )2＞(b －d )2＞0.∴0＜1（a －c ）2＜1（b －d ）2. 又∵e ＜0，∴e （a －c ）2＞e （b －d ）2.11．(1)已知a ，b ，c ∈{正实数}，且a 2＋b 2＝c 2，当n ∈N ，n >2时，比较c n 与a n ＋b n 的大小．(2)已知a >0，a 2－2ab ＋c 2＝0，bc >a 2.试比较a ，b ，c 的大小.导学号74780044 解析：(1)∵a ，b ，c ∈{正实数}，∴a n ，b n ，c n >0.而a n ＋b n c n ＝⎝⎛⎭⎫a c n ＋⎝⎛⎭⎫b c n. ∵a 2＋b 2＝c 2，则⎝⎛⎭⎫a c 2＋⎝⎛⎭⎫b c 2＝1，∴0<a c <1，0<b c<1. ∵n ∈N ，n >2，∴⎝⎛⎭⎫a c n <⎝⎛⎭⎫a c 2，⎝⎛⎭⎫b c n <⎝⎛⎭⎫b c 2.∴a n ＋b n c n ＝⎝⎛⎭⎫a c n ＋⎝⎛⎭⎫b c n <a 2＋b 2c 2＝1. ∴a n ＋b n <c n .(2)∵bc >a 2>0，∴b ，c 同号．又a 2－2ab ＋c 2＝0，∴b ＝a 2＋c 22a>0.∴c >0. 由(a －c )2＝2ab －2ac ＝2a (b －c )≥0，∴b －c ≥0.当b －c >0，即b >c 时，由⎩⎪⎨⎪⎧b ＝a 2＋c 22a ，bc >a 2⇒a 2＋c 22a ·c >a 2⇒(a －c )(2a 2＋ac ＋c 2)<0. ∵a >0，b >0，c >0，∴2a 2＋ac ＋c 2>0.∴a －c <0，即a <c ，则a <c <b .当b －c ＝0，即b ＝c 时，∵bc >a 2，∴b 2>a 2，即b ≠a . 又∵a 2－2ab ＋c 2＝(a －b )2＝0⇒a ＝b 与a ≠b 矛盾，∴b －c ≠0.综上，可知a <c <b .。
【高三】高三数学不等式推理与证明测试(含答案)
【高三】高三数学不等式推理与证明测试(含答案)【高三】高三数学不等式、推理与证明测试(含答案)2022高三三章数学题综合测试题（11）不等式、推理与证明一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的)1.如果a、B、C∈ 如果已知R，那么下列命题中正确的一个是（）a．若a>b，则ac2>bc2b．若ac>bc，则a>bc、如果A3>B3，ab<0，则1A>1BD。
如果A2>B2，ab>0，则1A<1b解析 c 当c＝0时，可知选项a不正确；当c<0时，可知b不正确；由a3>b3且ab<0知a>0且b<0，所以1a>1b成立；当a<0且b<0时，可知d不正确．2.如果设置a={XX-2≤ 3，X∈ r} ，B={YY=1-x2，X∈ r} ，然后∩ B=（）a．[0,1]b．[0，＋∞)c、 [-1,1]d。
解析 c 由x－2≤3，得－1≤x≤5，即a＝{x－1≤x≤5}；b＝{yy≤1}．故a∩b＝[－1,1]．3.用数学归纳法证明“1+2+22+…+2n+2=2n+3-1”。
验证n=1时，左边计算的公式为（）a．1b．1＋2c、 1＋2＋22d.1＋2＋22＋23解析 d 当n＝1时，左边＝1＋2＋22＋23.4.如果x，y，Z∈ R+已知，且XYZ（x+y+Z）=1，（x+y）（y+Z）的最小值为（）a．1b．2c、 3d.4解析 b ∵(x＋y)(y＋z)＝xy＋y2＋xz＋yz＝y(x＋y＋z)＋xz＝y×1xyz＋xz＝1xz＋xz≥21xzxz＝2，当且仅当xz＝1，y(x＋y＋z)＝1时，取“＝”，∴（x＋y）（y＋z）in＝2。
5．要证a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明( )a、 2ab－1－a2b2≤0b.a2+b2－1－a4+b42≤0c.a＋b22－1－a2b2≤0d．(a2－1)(b2－1)≥0分析d，因为A2+b2-1-a2b2≤ 0（A2-1）（b2-1）≥ 0，选择D6．对于平面α和共面的直线、n，下列命题为真命题的是( )a、如果⊥ α，⊥ n、然后n‖αb.如果‖α，n∥ α、然后‖nc．若α，n∥α，则∥nd．若、n与α所成的角相等，则∥n解析C对于平面α和共面直线，N，真命题是“如果”α，N∥ α、然后“n”7．若不等式2x2＋2kx＋k4x2＋6x＋3<1对于一切实数都成立，则k的取值范围是( )a、（－∞，＋∞)b、（1,3）c.(－∞，3)d.(－∞，1)∪(3，＋∞)分析B∵ 4x2+6x+3=4x2+32x+3=4x+342+34≥ 34,∴不等式等价于2x2＋2kx＋k<4x2＋6x＋3，也就是说，对于任何x，2x2+（6-2k）x+3-K>0是常数，∴δ＝(6－2k)2－8(3－k)<0，∴1<k<3.8.让函数f（x）=x2+x+a（a>0）满足f（）<0，则f（+1）的符号为（）a．f(＋1)≥0b．f(＋1)≤0c、 f（＋1）>0d.f（＋1）<0解析 c ∵f(x)的对称轴为x＝－12，f(0)＝a>0，‡从F（）<0，-1<0，‡+1>0，‡F（+1）>F（0）>09．已知a>0，b>0，则1a＋1b＋2ab的最小值是( )a、 2b.22c．4d．5分析C∵ a>0，b>0，∵ 1A+1b+2Ab≥ 21ab+2Ab≥ 4,当且仅当a＝b＝1时取等号，∴1a＋1b＋2abin＝4.10.不等式log2x（5x-1）>0的一个充要条件是（）a．x>12b.15<x<25或x>12c、 15<x<1D。
高考数学一轮复习 第七章 不等式、推理与证明7
高考数学一轮复习 第七章 不等式、推理与证明7.4 基本不等式 考试要求 1.掌握基本不等式及常见变型.2.会用基本不等式解决简单的最值问题． 知识梳理1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．(3)其中a ＋b 2叫做正数a ，b 的算术平均数，ab 叫做正数a ，b 的几何平均数． 2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．(2)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )．以上不等式等号成立的条件均为a ＝b .3．利用基本不等式求最值(1)已知x ，y 都是正数，如果积xy 等于定值P ，那么当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P .(2)已知x ，y 都是正数，如果和x ＋y 等于定值S ，那么当x ＝y 时，积xy 有最大值14S 2. 注意：利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)不等式ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22与ab ≤a ＋b 2等号成立的条件是相同的．( × ) (2)y ＝x ＋1x的最小值是2.( × ) (3)若x >0，y >0且x ＋y ＝xy ，则xy 的最小值为4.( √ )(4)函数y ＝sin x ＋4sin x，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2的最小值为4.( × ) 教材改编题1．已知x >2，则x ＋1x －2的最小值是( ) A ．1 B ．2 C ．2 2 D ．4答案 D解析 ∵x >2，∴x ＋1x －2＝x －2＋1x －2＋2≥2x －21x －2＋2＝4， 当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时，等号成立． 2．函数y ＝4－x －1x(x <0)( ) A ．有最小值2B ．有最小值6C ．有最大值2D ．有最大值6答案 B解析 y ＝4＋(－x )＋1－x ≥4＋2－x ·⎝⎛⎭⎫－1x ＝6. 当且仅当－x ＝1－x，即x ＝－1时取等号． 3．若a ，b ∈R ，下列不等式成立的是________．①b a ＋a b ≥2； ②ab ≤a 2＋b 22； ③a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22；④2ab a ＋b≤ab . 答案 ②③ 解析 当b a为负时，①不成立． 当ab <0时，④不成立.题型一 利用基本不等式求最值命题点1 配凑法例1 (1)(2022·乐山模拟)设0<x <32，则函数y ＝4x (3－2x )的最大值为( ) A.94 B ．4 C.92D ．9 答案 C解析 y ＝4x (3－2x )＝2·2x ·(3－2x )≤2·⎝⎛⎭⎫2x ＋3－2x 22＝92. 当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时取等号， ∴当x ＝34时，y max ＝92. (2)若x <23，则f (x )＝3x ＋1＋93x －2有( ) A ．最大值0B ．最小值9C ．最大值－3D ．最小值－3解析 ∵x <23， ∴3x －2<0， f (x )＝3x －2＋93x －2＋3＝－⎣⎡⎦⎤2－3x ＋92－3x ＋3≤－22－3x ·92－3x ＋3＝－3.当且仅当2－3x ＝92－3x ，即x ＝－13时取“＝”．(3)(2022·绍兴模拟)若－1<x <1，则y ＝x 2－2x ＋22x －2的最大值为________．答案 －1解析 因为－1<x <1，则0<1－x <2，于是得y ＝－12·1－x 2＋11－x＝－12⎣⎡⎦⎤1－x ＋11－x≤－12·21－x ·11－x ＝－1，当且仅当1－x ＝11－x ，即x ＝0时取“＝”，所以当x ＝0时，y ＝x 2－2x ＋22x －2有最大值－1.命题点2 常数代换法例2 (2022·重庆模拟)已知a >0，b >0，且a ＋b ＝2，则2a ＋12b 的最小值是() A ．1 B ．2C.94 D.92解析 因为a >0，b >0，且a ＋b ＝2，所以a ＋b 2＝1， 所以2a ＋12b ＝12(a ＋b )⎝⎛⎭⎫2a ＋12b ＝12⎝⎛⎭⎫2b a ＋a 2b ＋52 ≥12×⎝⎛⎭⎫2＋52＝94， 当且仅当a ＝43，b ＝23时，等号成立．命题点3 消元法例3 已知x >0，y >0且x ＋y ＋xy ＝3，则x ＋y 的最小值为________．答案 2解析 方法一 (换元消元法)∵x ＋y ＋xy ＝3，则3－(x ＋y )＝xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22，即(x ＋y )2＋4(x ＋y )－12≥0，令t ＝x ＋y ，则t >0，∴t 2＋4t －12≥0，解得t ≥2，∴x ＋y 的最小值为2.方法二 (代入消元法)由x ＋y ＋xy ＝3得y ＝3－x x ＋1， ∵x >0，y >0，∴0<x <3，∴x ＋y ＝x ＋3－x x ＋1＝x ＋4x ＋1－1＝x ＋1＋4x ＋1－2≥2x ＋1·4x ＋1－2＝2，当且仅当x ＋1＝4x ＋1，即x ＝1时取等号，∴x ＋y 的最小值为2.延伸探究 本例条件不变，求xy 的最大值．解 ∵x ＋y ＋xy ＝3，∴3－xy ＝x ＋y ≥2xy ，当且仅当x ＝y 时取等号，令t ＝xy ，则t >0，∴3－t 2≥2t ，即t 2＋2t －3≤0， 即0<t ≤1，∴当x ＝y ＝1时，xy 最大值为1.教师备选1．(2022·哈尔滨模拟)已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，则当x ＋y 取得最小值时，y 等于() A ．16 B ．6 C ．18 D ．12答案 B解析 因为x >0，y >0,2x ＋8y ＝xy ，所以2y ＋8x ＝1，所以x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫2y ＋8x ＝10＋2xy ＋8yx≥10＋22xy ·8yx ＝10＋2×4＝18，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2x y ＝8y x ，2x ＋8y －xy ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12，y ＝6时取等号，所以当x ＋y 取得最小值时，y ＝6.2．已知函数f (x )＝－x 2x ＋1(x <－1)，则( ) A ．f (x )有最小值4B ．f (x )有最小值－4C ．f (x )有最大值4D ．f (x )有最大值－4 答案 A解析 f (x )＝－x 2x ＋1＝－x 2－1＋1x ＋1＝－⎝⎛⎭⎫x －1＋1x ＋1＝－⎝⎛⎭⎫x ＋1＋1x ＋1－2 ＝－(x ＋1)＋1－x ＋1＋2. 因为x <－1，所以x ＋1<0，－(x ＋1)>0，所以f (x )≥21＋2＝4，当且仅当－(x ＋1)＝1－x ＋1，即x ＝－2时，等号成立． 故f (x )有最小值4.思维升华 (1)前提：“一正”“二定”“三相等”．(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．(3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法．跟踪训练1 (1)已知函数f (x )＝22x －1＋x (2x >1)，则f (x )的最小值为________． 答案 52解析 ∵2x >1，∴x －12>0， f (x )＝22x －1＋x ＝1x －12＋x －12＋12 ≥21x －12·⎝⎛⎭⎫x －12＋12＝2＋12＝52， 当且仅当1x －12＝x －12，即x ＝32时取“＝”． ∴f (x )的最小值为52. (2)已知x >0，y >0且x ＋y ＝5，则1x ＋1＋1y ＋2的最小值为________． 答案 12解析 令x ＋1＝m ，y ＋2＝n ，∵x >0，y >0，∴m >0，n >0，则m ＋n ＝x ＋1＋y ＋2＝8，∴1x ＋1＋1y ＋2＝1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n ×18(m ＋n )＝18⎝⎛⎭⎫n m ＋m n ＋2≥18×(21＋2)＝12. 当且仅当n m ＝m n，即m ＝n ＝4时等号成立． ∴1x ＋1＋1y ＋2的最小值为12. 题型二 基本不等式的常见变形应用例4 (1)(2022·宁波模拟)《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB ，设AC ＝a ，BC ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为( )A.a ＋b 2≥ab (a >0，b >0) B ．a 2＋b 2≥2ab (a >0，b >0)C.2ab a ＋b ≤ab (a >0，b >0)D.a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)答案 D解析 由图形可知，OF ＝12AB ＝12(a ＋b )，OC ＝12(a ＋b )－b ＝12(a －b )，在Rt △OCF 中，由勾股定理可得，CF ＝⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＋⎝⎛⎭⎫a －b 22＝12a 2＋b 2，∵CF ≥OF ，∴12a 2＋b 2≥12(a ＋b )(a >0，b >0)．(2)(2022·广州模拟)已知0<a <1，b >1，则下列不等式中成立的是() A ．a ＋b <4aba ＋bB.ab <2aba ＋bC.2a 2＋2b 2<2abD ．a ＋b <2a 2＋2b 2答案 D解析 对于选项A ，因为0<a <1，b >1，所以(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2>4ab ，故选项A 错误；对于选项B ，ab >21a ＋1b＝2aba ＋b，故选项B 错误；对于选项C ，2a 2＋b 2>2×2ab ＝2ab ，故选项C 错误；对于选项D,2a 2＋2b 2>a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b )2，所以a ＋b <2a 2＋2b 2，故选项D 正确．教师备选若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( )A ．a 2＋b 2>2abB ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2abD.b a ＋a b≥2 答案 D解析 a 2＋b 2≥2ab ，所以A 错误；ab >0，只能说明两实数同号，同为正数，或同为负数，所以当a <0，b <0时，B 错误；同时C 错误；a b 或b a都是正数，根据基本不等式求最值， a b ＋b a ≥2a b ×b a ＝2，故D 正确． 思维升华 基本不等式的常见变形(1)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22. (2)21a ＋1b ≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)． 跟踪训练2 (1)(2022·浙南名校联盟联考)已知命题p ：a >b >0，命题q ：a 2＋b 22>⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，则p是q 成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 ∵a >b >0，则a 2＋b 2>2ab ，∴2(a 2＋b 2)>a 2＋b 2＋2ab ，∴2(a 2＋b 2)>(a ＋b )2， ∴a 2＋b 22>⎝⎛⎭⎫a ＋b 22， ∴由p 可推出q ，当a <0，b <0时，命题q 成立，如a ＝－1，b ＝－3时，a 2＋b 22＝5>⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝4，∴由q 推不出p ，∴p 是q 成立的充分不必要条件．(2)(2022·漳州质检)已知a ，b 为互不相等的正实数，则下列四个式子中最大的是( )A.2a ＋bB.1a ＋1bC.2abD.2a 2＋b 2答案 B解析 ∵a ，b 为互不相等的正实数，∴1a ＋1b >2ab， 2a ＋b <22ab ＝1ab <2ab， 2a 2＋b 2<22ab ＝1ab <2ab， ∴最大的是1a ＋1b.柯西不等式是法国著名的数学家、物理学家、天文学家柯西(Cauchy,1789－1857)发现的，故命名为柯西不等式．柯西不等式是数学中一个非常重要的不等式，除了用柯西不等式来证明一些不等式成立外，柯西不等式还常用于选择、填空求最值的问题中，借助柯西不等式的技巧可以达到事半功倍的效果．1．(柯西不等式的代数形式)设a ，b ，c ，d 均为实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时，等号成立．推广一般情形：设a 1，a 2，…，a n ，b 1，b 2，…，b n ∈R ，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2(当且仅当b i＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个实数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立)．2．(柯西不等式的向量形式)设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|，其中当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使α＝k β时等号成立．3．(柯西不等式的三角不等式)设x 1，y 1，x 2，y 2，x 3，y 3为任意实数，则： x 1－x 22＋y 1－y 22＋x 2－x 32＋y 2－y 32 ≥x 1－x 32＋y 1－y 32.一、利用柯西不等式求最值例1 已知x ，y 满足x ＋3y ＝4，则4x 2＋y 2的最小值为________．答案 6437 解析 (x ＋3y )2≤(4x 2＋y 2)⎝⎛⎭⎫14＋9，所以4x 2＋y 2≥16×437＝6437， 当且仅当y ＝12x 时，等号成立，所以4x 2＋y 2的最小值为6437. 例2 已知正实数x ，y ，z 满足x 2＋y 2＋z 2＝1，正实数a ，b ，c 满足a 2＋b 2＋c 2＝9，则ax ＋by ＋cz 的最大值为________．答案 3解析 (ax ＋by ＋cz )2≤(a 2＋b 2＋c 2)·(x 2＋y 2＋z 2)＝9，∴ax ＋by ＋cz ≤3，当且仅当a ＝3x ，b ＝3y ，c ＝3z 时取“＝”，∴ax ＋by ＋cz 的最大值为3.例3 函数y ＝5x －1＋10－2x 的最大值为________． 答案 6 3 解析 y 2＝(5x －1＋10－2x )2＝(5x －1＋2·5－x )2≤(52＋2)(x －1＋5－x )＝108，当且仅当x ＝12727时等号成立，∴y ≤6 3.二、利用柯西不等式证明不等式例4 已知a 1，a 2，b 1，b 2为正实数，求证：(a 1b 1＋a 2b 2)·⎝⎛⎭⎫a 1b 1＋a 2b 2≥(a 1＋a 2)2. 证明 (a 1b 1＋a 2b 2)⎝⎛⎭⎫a 1b 1＋a 2b 2＝[(a 1b 1)2＋(a 2b 2)2]⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a 1b 12＋⎝⎛⎭⎫a 2b 22 ≥⎝⎛⎭⎫a 1b 1·a 1b 1＋a 2b 2·a 2b 22 ＝(a 1＋a 2)2.当且仅当b 1＝b 2时，等号成立．例5 已知a 1，a 2，…，a n 都是实数，求证：1n(a 1＋a 2＋…＋a n )2≤a 21＋a 22＋…＋a 2n . 证明 根据柯西不等式，有()12＋12＋…＋12n 个 (a 21＋a 22＋…＋a 2n )≥(1×a 1＋1×a 2＋…＋1×a n )2， 所以1n(a 1＋a 2＋…＋a n )2≤a 21＋a 22＋…＋a 2n . 课时精练1．下列函数中，最小值为2的是( )A ．y ＝x ＋2xB ．y ＝x 2＋3x 2＋2C ．y ＝e x ＋e －xD ．y ＝log 3x ＋log x 3(0<x <1)答案 C解析 当x <0时，y ＝x ＋2x<0，故A 错误； y ＝x 2＋3x 2＋2＝x 2＋2＋1x 2＋2≥2， 当且仅当x 2＋2＝1x 2＋2， 即x 2＝－1时取等号，∵x 2≠－1，故B 错误；y ＝e x ＋e －x ≥2e x ·e －x ＝2，当且仅当e x ＝e －x ，即x ＝0时取等号，故C 正确；当x ∈(0,1)时，y ＝log 3x <0，故D 错误．2．(2022·汉中模拟)若a >0，b >0且2a ＋b ＝4，则ab 的最大值为( )A ．2 B.12 C ．4 D.14答案 A解析 4＝2a ＋b ≥22ab ，即2≥2ab ，平方得ab ≤2，当且仅当2a ＝b ，即a ＝1，b ＝2时等号成立，∴ab 的最大值为2.3．(2022·苏州模拟)若a ，b 是正常数，a ≠b ，x ，y ∈(0，＋∞)，则a 2x ＋b 2y ≥a ＋b 2x ＋y ，当且仅当a x ＝b y 时取等号．利用以上结论，函数f (x )＝2x ＋91－2x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，12取得最小值时x 的值为( ) A.15 B.14 C.24 D.13答案 A解析 f (x )＝2x ＋91－2x ＝42x ＋91－2x ≥2＋322x ＋1－2x ＝25，当且仅当22x ＝31－2x ，即x ＝15时等号成立．4．(2022·重庆模拟)已知x >2，y >1，(x －2)(y －1)＝4，则x ＋y 的最小值是() A ．1 B ．4C ．7D ．3＋17答案 C解析 ∵x >2，y >1，(x －2)(y －1)＝4，∴x ＋y ＝(x －2)＋(y －1)＋3≥2x －2y －1＋3＝7，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝3时等号成立． 5．已知函数f (x )＝14x ＋9x －1(x <1)，下列结论正确的是( )A ．f (x )有最大值114B ．f (x )有最大值－114C ．f (x )有最小值132D ．f (x )有最小值74答案 B解析 f (x )＝x －14＋9x －1＋14＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 4＋91－x ＋14≤－21－x 4·91－x＋14＝－114，当且仅当x ＝－5时等号成立．6．已知函数f (x )＝xx 2－x ＋4(x >0)，则( )A ．f (x )有最大值3B ．f (x )有最小值3C ．f (x )有最小值13 D ．f (x )有最大值13答案 D解析 f (x )＝xx 2－x ＋4＝1x ＋4x －1≤124－1＝13，当且仅当x ＝4x ，即x ＝2时等号成立，∴f (x )的最大值为13.7．(2022·济宁模拟)已知a ，b 为正实数，则“aba ＋b ≤2”是“ab ≤16”的() A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 由a ，b 为正实数，∴a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时等号成立，若ab ≤16，可得aba ＋b ≤ab2ab ＝ab2≤162＝2，故必要性成立；当a ＝2，b ＝10，此时aba ＋b ≤2，但ab ＝20>16，故充分性不成立，因此“ab a ＋b ≤2”是“ab ≤16”的必要不充分条件． 8．已知正实数a ，b 满足a >0，b >0，且a ＋b ＝1，则下列不等式恒成立的有( ) ①2a ＋2b ≥22；②a 2＋b 2<1； ③1a ＋1b<4； ④a ＋1a >2. A ．①②B ．①③C ．①②④D ．②③④答案 C解析 ∵2a ＋2b ≥22a ·2b ＝22a ＋b ＝22，当且仅当a ＝b 时取等号，∴①正确； ∵a 2＋b 2<a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2＝1，∴②正确；∵1a ＋1b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ×a b ＝4， 当且仅当a ＝b 时取等号，∴③错误；∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴0<a <1，∵a ＋1a ≥2a ·1a＝2，当且仅当a ＝1时取等号， ∴a ＋1a>2，④正确． 9．若0<x <2，则x 4－x 2的最大值为________．答案 2解析 ∵0<x <2，∴x 4－x 2＝x 24－x 2≤x 2＋4－x 22＝2， 当且仅当x 2＝4－x 2，即x ＝2时取“＝”．10．若a >0，b >0，lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )，则a ＋b 的最小值为________． 答案 4解析 依题意ab ＝a ＋b ，∴a ＋b ＝ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22， 即a ＋b ≤a ＋b 24，∴a ＋b ≥4，当且仅当a ＝b 时取等号，∴a ＋b 的最小值为4.11．已知x >0，y >0且3x ＋4y －xy ＝0，则3x ＋y 的最小值为________． 答案 27解析 因为x >0，y >0,3x ＋4y ＝xy ，所以3y ＋4x＝1， 所以3x ＋y ＝(3x ＋y )⎝⎛⎭⎫3y ＋4x ＝15＋9x y ＋4y x ≥15＋29x y ·4y x＝27， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ 9x y ＝4y x ，3x ＋4y －xy ＝0即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝9时取等号， 所以3x ＋y 的最小值为27.12．(2021·天津)若a >0，b >0，则1a ＋a b2＋b 的最小值为________． 答案 2 2解析 ∵a >0，b >0，∴1a ＋a b 2＋b ≥21a ·a b 2＋b ＝2b ＋b ≥22b·b ＝22， 当且仅当1a ＝a b 2且2b＝b ，即a ＝b ＝2时等号成立， ∴1a ＋a b2＋b 的最小值为2 2.13．(2022·南京模拟)若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－233，233 B.⎝⎛⎭⎫－233，233 C.⎣⎡⎦⎤－223，223 D.⎝⎛⎭⎫－223，223 答案 A解析 ∵x 2＋y 2＋xy ＝1⇔xy ＝(x ＋y )2－1，又∵xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22，∴(x ＋y )2－1≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22，令x ＋y ＝t ， 则4t 2－4≤t 2，∴－233≤t ≤233， 即－233≤x ＋y ≤233，当且仅当x ＝y 时，取等号， ∴x ＋y 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－233，233. 14．设a >0，b >0，则下列不等式中一定成立的是________．(填序号)①a ＋b ＋1ab ≥22； ②2ab a ＋b >ab ； ③a 2＋b 2ab≥a ＋b ； ④(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4.答案 ①③④解析 因为a >0，b >0，所以a ＋b ＋1ab ≥2ab ＋1ab≥22， 当且仅当a ＝b 且2ab ＝1ab ，即a ＝b ＝22时取等号，故①正确； 因为a ＋b ≥2ab >0， 所以2ab a ＋b ≤2ab 2ab＝ab ，当且仅当a ＝b 时取等号， 故②错误；因为2ab a ＋b ≤2ab 2ab＝ab ，当且仅当a ＝b 时取等号， 所以a 2＋b 2a ＋b ＝a ＋b 2－2ab a ＋b ＝a ＋b －2ab a ＋b≥ 2ab －ab ＝ab ，当且仅当a ＝b 时取等号，所以a 2＋b 2a ＋b ≥ab ，即a 2＋b 2ab≥a ＋b ，故③正确； 因为(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b≥ 2＋2b a ·a b＝4，当且仅当a ＝b 时取等号，故④正确．15．已知a >0，b >0，且a ＋b ＝1，则1a ＋1b＋ab 的最小值为____________． 答案 174解析 因为a >0，b >0，且a ＋b ＝1，所以1＝a ＋b ≥2ab ，即0<ab ≤14，当且仅当a ＝b 时取等号， 令t ＝ab ，则1a ＋1b ＋ab ＝1ab ＋ab ＝1t＋t ，t ∈⎝⎛⎦⎤0，14， 因为函数y ＝1t＋t 在⎝⎛⎦⎤0，14上为减函数，所以当t ＝14时，函数y ＝1t ＋t 取得最小值，即y min ＝14＋4＝174. 16．(2022·沙坪坝模拟)若x >0，y >0且x ＋y ＝xy ，则x x －1＋2y y －1的最小值为________． 答案 3＋2 2解析 因为x >0，y >0且x ＋y ＝xy ，则xy ＝x ＋y >y ，即有x >1，同理y >1，由x ＋y ＝xy 得，(x －1)(y －1)＝1，于是得x x －1＋2y y －1＝1＋1x －1＋2＋2y －1＝3＋⎝⎛⎭⎫1x －1＋2y －1 ≥3＋21x －1·2y －1＝3＋22， 当且仅当1x －1＝2y －1， 即x ＝1＋22，y ＝1＋2时取“＝”， 所以x x －1＋2y y －1的最小值为3＋2 2.。
高三数学一轮复习 第六章不等式推理与证明测试题 新人教版
高三数学一轮复习 第六章不等式推理与证明测试题 新人教版(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．不等式(x ＋1)x －1≥0的解集是 ( ) A ．{x |x ＞1} B ．{x |x ≥1}C ．{x |x ≥1或x ＝－1}D ．{x |x ≥－1或x ＝1} 解析：∵x －1≥0，∴x ≥1. 同时x ＋1≥0，即x ≥－1.∴x ≥1. 答案：B2．下列命题中的真命题是 ( ) A ．若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd B ．若|a |＞b ，则a 2＞b 2C ．若a ＞b ，则a 2＞b 2D ．若a ＞|b |，则a 2＞b 2解析：由a ＞|b |，可得a ＞|b |≥0⇒a 2＞b 2. 答案：D3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤02x －1，x ＞0，若f (x )≥1，则x 的取值范围是 ( )A ．(－∞，－1]B ．[1，＋∞)C ．(－∞，0]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)解析：将原不等式转化为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＞02x －1≥1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0x 2≥1，从而得x ≥1或x ≤－1.答案：D4．若集合A ＝{x ||2x －1|＜3}，B ＝{x |2x ＋13－x ＜0}，则A ∩B 是 ( )A ．{x |－1＜x ＜－12或2＜x ＜3} B ．{x |2＜x ＜3}C ．{x |－12＜x ＜2}D ．{x |－1＜x ＜－12}解析：∵|2x －1|＜3，∴－3＜2x －1＜3.∴－1＜x ＜2. 又∵2x ＋13－x ＜0，∴(2x ＋1)(x －3)＞0，∴x ＞3或x ＜－12.∴A ∩B ＝{x |－1＜x ＜－12}．答案：D5．给出下面类比推理命题(其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)：①“若a ，b ∈R，则a －b ＝0⇒a ＝b ”类比推出“若a ，b ∈C，则a －b ＝0⇒a ＝b ”；②“若a ，b ，c ，d ∈R，则复数a ＋b i ＝c ＋d i ⇒a ＝c ，b ＝d ”类比推出“若a ，b ，c ，d ∈Q，则a ＋b 2＝c ＋d 2⇒a ＝c ，b ＝d ”；③“若a ，b ∈R，则a －b ＞0⇒a ＞b ”类比推出“若a ，b ∈C，则a －b ＞0⇒a ＞b ”． 其中类比得到的结论正确的个数是 ( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：①②是正确的，③是错误的，因为复数不能比较大小，如a ＝5＋6i ，b ＝4＋6i ，虽然满足a －b ＝1＞0，但复数a 与b 不能比较大小． 答案：C6．已知实数a ，b ，则“ab ≥2”是“a 2＋b 2≥4”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：当ab ≥2时，a 2＋b 2≥2ab ≥4，故充分性成立，而a 2＋b 2≥4时，当a ＝－1，b ＝3时成立，但ab ＝－3＜2，显然ab ≥2不成立，故必要性不成立． 答案：A7．三段论：“①只有船准时起航，才能准时到达目的港；②某艘船是准时到达目的港的；③所以这艘船是准时起航的”中小前提是 ( ) A ．① B ．② C ．①② D ．③ 解析：大前提是①，小前提是②，结论是③. 答案：B8．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥43x ＋y ≤4，所表示的平面区域的面积等于 ( )A.32B.23C.43D.34解析：不等式组表示的平面区域如图所示，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝4，3x ＋y ＝4得交点A 的坐标为(1,1)．又B 、C 两点的坐标为(0,4)，(0，43)．故S △ABC ＝12(4－43)×1＝43.答案：C9．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象过点(－1,3)和(1,1)，若0＜c ＜1，则实数a 的取值范围是 ( )A ．[2,3]B ．[1,3]C ．(1,2)D ．(1,3)解析：由题意：⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝3，a ＋b ＋c ＝1，得b ＝－1，∴a ＋c ＝2.又0＜c ＜1，∴0＜2－a ＜1，∴1＜a ＜2. 答案：C10．(2010·淄博模拟)若f (a )＝(3m －1)a ＋b －2m ，当m ∈[0,1]时f (a )≤1恒成立，则a ＋b 的最大值为 ( ) A.13 B.23 C.53 D.73 解析：设g (m )=f (a )=(3a -2)m +b -a ，由于当m ∈[0,1]时g (m )=f (a )=(3a -2)m +b -a ≤1恒成立，于是(0)1,(1)1g g ⎧⎨⎩≤≤ 1,21b a b a -⎧⎨+⎩≤即≤满足此不等式组的点(a ，b )构成图中的阴影部分， 其中A (25,33)，设a +b =t ，显然直线a +b =t 过点A 时，t 取得最大值73. 答案：D9．已知函数f (x )满足：f (p ＋q )＝f (p )f (q )，f (1)＝3，则2(1)(2)(1)f f f +＋f f f 2(2)(4)(3)＋f f f 2(3)(6)(5)＋f f f 2(4)(8)(7)等于 ( )A ．36B ．24C ．18D ．12 解析：由f (p ＋q )＝f (p )f (q )， 令p ＝q ＝n ，得f 2(n )＝f (2n )．原式＝f f 22(1)(1)＋2f (4)f (3)＋2f (6)f (5)＋2f (8)f (7)＝2f (1)＋2f (1)f (3)f (3)＋2f (1)f (5)f (5)＋2f (1)f (7)f (7)＝8f (1)＝24. 答案：B12．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10 km 处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站 ( )A ．5 km 处B ．4 km 处C ．3 km 处D ．2 km 处 解析：由题意可设y 1＝k 1x，y 2＝k 2x ， ∴k 1＝xy 1，k 2＝y 2x，把x ＝10，y 1＝2与x ＝10，y 2＝8分别代入上式得k 1＝20，k 2＝0.8， ∴y 1＝20x，y 2＝0.8x (x 为仓库与车站距离)，费用之和y ＝y 1＋y 2＝0.8x ＋20x≥20.8x ·20x＝8，当且仅当0.8x ＝20x，即x ＝5时等号成立．答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上)13．关于x 的不等式x 2＋(a ＋1)x ＋ab ＞0的解集是{x |x ＜－1或x ＞4}，则实数a 、b 的值分别为________．解析：由不等式的解集为{x |x ＜－1或x ＞4}可得，－1,4是方程x 2＋(a ＋1)x ＋ab ＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋4＝－(a ＋1)－1×4＝ab ，解得a ＝－4，b ＝1.答案：－4,114．关于x 的不等式ax 2＋4x －1≥－2x 2－a 恒成立，那么实数a 的取值范围是________． 解析：不等式ax 2＋4x －1≥－2x 2－a 可化为(a ＋2)x 2＋4x ＋a －1≥0，当a ＋2＝0，即a ＝－2时，不恒成立，不合题意． 当a ＋2≠0时，要使不等式恒成立，需⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＞0，16－4(a ＋2)(a －1)≤0，解得a ≥2.所以a 的取值范围为[2，＋∞)． 答案：[2，＋∞)15．某公司租赁甲、乙两种设备生产A ，B 两类产品，甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件，乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A 类产品50件，B 类产品140件，所需租赁费最少为________元．解析：设需租赁甲种设备x 台，乙种设备y 台， 则⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋6y ≥50，10x ＋20y ≥140，x ∈N *，y ∈N *.目标函数为z ＝200x ＋300y .作出其可行域，易知当x ＝4，y ＝5时，z ＝200x ＋300y 有最小值2300元． 答案：230016．已知点P (a ，b )与点Q (1,0)在直线2x －3y ＋1＝0的两侧，则下列说法正确的是________． ①2a －3b ＋1＞0；②a ≠0时，b a有最小值，无最大值； ③∃M ∈R ＋，使a 2＋b 2＞M 恒成立； ④当a ＞0且a ≠1，b ＞0时，则ba －1的取值范围为(－∞，－13)∪(23，＋∞)．解析：由已知(2a －3b ＋1)(2－0＋1)＜0， 即2a －3b ＋1＜0，∴①错； 当a ＞0时，由3b ＞2a ＋1，可得b a ＞23＋13a，∴不存在最小值，∴②错；a 2＋b 2表示为(a ，b )与(0,0)两点间的距离，由线性规划知识可得： a 2＋b 2＞|1|4＋9＝1313恒成立， ∴③正确；ba －1表示为(a ，b )和(1,0)两点的斜率．由线性规划知识可知④正确． 答案：③④三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋b . (1)解关于a 的不等式f (1)＞0；(2)当不等式f (x )＞0的解集为(－1,3)时，求实数a ，b 的值． 解：(1)f (1)＝－3＋a (6－a )＋b ＝－a 2＋6a ＋b －3， ∵f (1)＞0，∴a 2－6a ＋3－b ＜0. Δ＝24＋4b ，当Δ≤0即b ≤－6时，f (1)＞0的解集为∅； 当b ＞－6时，3－b ＋6＜a ＜3＋b ＋6，∴f (1)＞0的解集为{a |3－b ＋6＜a ＜3＋b ＋6}． (2)∵不等式－3x 2＋a (6－a )x ＋b ＞0的解集为(－1,3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝a (6－a )3，3＝b3.解之，得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝9.18．(本小题满分12分)若a 1＞0，a 1≠1，a n ＋1＝2a n1＋a n (n ＝1,2，…)(1)求证：a n ＋1≠a n ；(2)令a 1＝12，写出a 2、a 3、a 4、a 5的值，观察并归纳出这个数列的通项公式a n .解：(1)证明：(采用反证法)．若a n ＋1＝a n ， 即2a n 1＋a n＝a n ，解得a n ＝0,1. 从而a n ＝a n －1＝…＝a 2＝a 1＝0,1，与题设a 1＞0，a 1≠1相矛盾， 故a n ＋1≠a n 成立．(2)a 1＝12、a 2＝23、a 3＝45、a 4＝89、a 5＝1617，a n ＝2n －12n －1＋1，n ∈N *.19．(本小题满分12分)(2010·吉林模拟)沪杭高速公路全长166千米．假设某汽车从上海莘庄镇进入该高速公路后以不低于60千米/时且不高于120千米/时的速度匀速行驶到杭州．已知该汽车每小时的运输成本y (以元为单元)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v (千米/时)的平方成正比，比例系数为0.02；固定部分为200元．(1)把全程运输成本y (元)表示为速度v (千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域； (2)汽车应以多大速度行驶才能使全程运输成本最小？最小运输成本为多少元？ 解：(1)依题意得：y ＝(200＋0.02v 2)×166v＝166(0.02v ＋200v)(60≤v ≤120)．(2)y ＝166(0.02v ＋200v)≥166×20.02v ×200v＝664(元)当且仅当0.02v ＝200v即v ＝100千米/时时取等号．答：当速度为100千米/时时，最小的运输成本为664元． 20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax 2＋4(a 为非零实数)，设函数F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x ) (x ＞0)－f (x ) (x ＜0).(1)若f (－2)＝0，求F (x )的表达式；(2)设mn ＜0，m ＋n ＞0，试判断F (m )＋F (n )能否大于0? 解：(1)由f (－2)＝0,4a ＋4＝0⇒a ＝－1，∴F (x )＝22+4(0).-4(0)x x x x ⎧-<⎨>⎩(2)∵⎩⎪⎨⎪⎧m ·n ＜0m ＋n ＞0，∴m ，n 一正一负．不妨设m ＞0且n ＜0，则m ＞－n ＞0，F (m )＋F (n )＝f (m )－f (n )＝am 2＋4－(an 2＋4)＝a (m 2－n 2)，当a ＞0时，F (m )＋F (n )能大于0， 当a ＜0时，F (m )＋F (n )不能大于0.21．(本小题满分12分)某工艺品加工厂准备生产具有收藏价值的奥运会标志——“中国印·舞动的北京”和奥运会吉祥物——“福娃”．该厂所用的主要原料为A 、B 两种贵金属，已知生产一套奥运会标志需用原料A 和原料B 的量分别为4盒和3盒，生产一套奥运会吉祥物需用原料A 和原料B 的量分别为5盒和10盒．若奥运会标志每套可获利700元，奥运会吉祥物每套可获利1200元，该厂月初一次性购进原料A 、B 的量分别为200盒和300盒．问该厂生产奥运会标志和奥运会吉祥物各多少套才能使该厂月利润最大？最大利润为多少？解：设该厂每月生产奥运会标志和奥运会吉祥物分别为x ，y 套，月利润为z 元， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≤200，3x ＋10y ≤300，x ≥0，y ≥0，目标函数为z ＝700x ＋1200y .作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图：目标函数可变形为y ＝－712x ＋z1200，∵－45＜－712＜－310，∴当y ＝－712x ＋z 1200通过图中的点A 时，z 1200最大，z 最大．解⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ＝200，3x ＋10y ＝300，得点A 坐标为(20,24)．将点A (20,24)代入z ＝700x ＋1200y 得z max ＝700×20＋1200×24＝42800元．答：该厂生产奥运会标志和奥运会吉祥物分别为20、24套时月利润最大，最大利润为42800元． 22．[理](本小题满分14分)已知函数f (x )＝ax －b x－2ln x ，f (1)＝0. (1)若函数f (x )在其定义域内为单调函数，求a 的取值范围；(2)若函数f (x )的图象在x ＝1处的切线的斜率为0，且a n ＋1＝f ′(1a n －n ＋1)－n 2＋1，已知a 1＝4，求证：a n ≥2n ＋2.解：(1)因为f (1)＝a －b ＝0，所以a ＝b ， 所以f (x )＝ax －a x－2ln x ，所以f ′(x )＝a ＋a x2－2x.要使函数f (x )在定义域(0，＋∞)内为单调函数， 则在(0，＋∞)内f ′(x )恒大于等于0或恒小于等于0.当a ＝0时，则f ′(x )＝－2x＜0在(0，＋∞)内恒成立；适合题意．当a ＞0时，要使f ′(x )＝a (1x －1a )2＋a －1a ≥0恒成立，则a －1a≥0，解得a ≥1；当a ＜0时，由f ′(x )＝a ＋a x2－2x＜0恒成立，适合题意．所以a 的取值范围为(－∞，0]∪[1，＋∞)．(2)根据题意得：f ′(1)＝0，即a ＋a －2＝0，得a ＝1， 所以f ′(x )＝(1x－1)2，于是a n ＋1＝f ′(1a n －n ＋1)－n 2＋1＝(a n －n )2－n 2＋1＝a 2n －2na n ＋1.用数学归纳法证明如下： 当n ＝1时，a 1＝4＝2×1＋2， 当n ＝2时，a 2＝9＞2×2＋2；假设当n ＝k (k ≥2且k ∈N *)时，不等式a k ＞2k ＋2成立，即a k －2k ＞2成立， 则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝a k (a k －2k )＋1＞(2k ＋2)×2＋1＝4k ＋5＞2(k ＋1)＋2， 所以当n ＝k ＋1，不等式也成立， 综上得对所有n ∈N *时，都有a n ≥2n ＋2.[文](本小题满分14分)已知不等式x 2＋px ＋1＞2x ＋p . (1)如果不等式当|p |≤2时恒成立，求x 的范围； (2)如果不等式当2≤x ≤4时恒成立，求p 的范围． 解：(1)原不等式为 (x －1)p ＋(x －1)2＞0，令f (p )＝(x －1)p ＋(x －1)2，它是关于p 的一次函数， 定义域为[－2,2]，由一次函数的单调性知⎩⎪⎨⎪⎧f (－2)＝(x －1)(x －3)＞0f (2)＝(x －1)(x ＋1)＞0，解得x ＜－1或x ＞3.即x 的取值范围是{x |x ＜－1或x ＞3}． (2)不等式可化为(x －1)p ＞－x 2＋2x －1， ∵2≤x ≤4，∴x －1＞0. ∴p ＞－x 2＋2x －1x －1＝1－x .对x ∈[2,4]恒成立， 所以p ＞(1－x )max .当2≤x ≤4时，(1－x )max ＝－1， 于是p ＞－1.故p 的范围是{p |p ＞－1}．。
2017年高考数学一轮总复习达标训练：第六章 不等式、
6.5 合情推理与演绎推理一、选择题1．(2015·山东检测)下列推理是归纳推理的是( )A ．A ，B 为定点，动点P 满足|P A |＋|PB |＝2a ＞|AB |，则P 点的轨迹为椭圆B ．由a 1＝1，a n ＝3n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积πr 2，猜想出椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的面积S ＝πabD ．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇 2．如图是2015年元宵节灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一呈现出来的图形是( )3．如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n 行有n 个数且两端的数均为1n (n ≥2)，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如11＝12＋12，12＝13＋ ,11 12 12 13 16 13 14 112 112 14 15 120 130 120 15 16 130 160 160 130 16……16，13＝14＋112，…，则第7行第4个数(从左往右数)为( ) A.1140 B.1105 C.160 D.142 4．(2015·石景山期末) 在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k ]，即[k ]＝{5n ＋k |n ∈Z }，k ＝0，1，2，3，4.给出如下四个结论：①2 015∈[0]； ②－2∈[2]；③Z ＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是a －b ∈[0]． 其中，正确结论的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．45．(2015·西安五校联考)已知“整数对”按如下规律排成一列：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，…，则第60个“整数对”是导学号74780054( )A ．(7，5)B ．(5，7)C ．(2，10)D ．(10，1)答案：1．B 2.A 3.A 4.C 5. B二、填空题6．仔细观察下面○和●的排列规律：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●○○○○○○●……若依此规律继续下去，得到一系列的○和●，那么在前120个○和●中，●的个数是________．7．在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：c 2＝a 2＋b 2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥OLMN ，如果用S 1，S 2，S 3表示三个侧面面积，S 4表示截面面积，那么类比得到的结论是________．8．分形几何学是数学家伯努瓦·曼得尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路，按照图甲所示的分形规律可得图乙所示的一个树形图．易知第三行有白圈5个，黑圈4个，我们采用“坐标”来表示各行中的白圈、黑圈的个数．比如第一行记为(1，0)，第二行记为(2，1)，第三行记为(5，4)．(1)第四行的白圈与黑圈的“坐标”为________；(2)照此规律，第n 行中的白圈、黑圈的“坐标”为________． 导学号74780055答案：6．14 7.S 21＋S 22＋S 23＝S 248．(1)(14，13) (2)⎝⎛⎭⎫3n －1＋12，3n －1－12(n ∈N *)三、解答题9．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°；④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为一个三角恒等式，并证明你的结论．解析：(1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos (30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos (30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34.10．对于三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导数，f ″(x )是f ′(x )的导数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512，请你根据这一发现，(1)求函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512的对称中心；(2)计算f ⎝⎛⎭⎫12 017＋f ⎝⎛⎭⎫22 017＋f ⎝⎛⎭⎫32 017＋f ⎝⎛⎭⎫42 017＋…＋f ⎝⎛⎭⎫2 0162 017.解析：(1)f ′(x )＝x 2－x ＋3，f ″(x )＝2x －1，由f ″(x )＝0，即2x －1＝0，解得x ＝12.f ⎝⎛⎭⎫12＝13×⎝⎛⎭⎫123－12×⎝⎛⎭⎫122＋3×12－512＝1. 由题中给出的结论，可知函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512的对称中心为⎝⎛⎭⎫12，1. (2)由(1)，知函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512的对称中心为⎝⎛⎭⎫12，1， 所以f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＋f ⎝⎛⎭⎫12－x ＝2，即f (x )＋f (1－x )＝2.故f ⎝⎛⎭⎫12 017＋f ⎝⎛⎭⎫2 0162 017＝2，f ⎝⎛⎭⎫22 017＋f ⎝⎛⎭⎫2 0152 017＝2，f ⎝⎛⎭⎫32 017＋f ⎝⎛⎭⎫2 0142 017＝2， …f ⎝⎛⎭⎫2 0162 017＋f ⎝⎛⎭⎫12 017＝2.所以f ⎝⎛⎭⎫12 017＋f ⎝⎛⎭⎫22 017＋f ⎝⎛⎭⎫32 017＋f ⎝⎛⎭⎫42 017＋…＋f ⎝⎛⎭⎫2 0162 017＝12×2×2 016＝2 016.11．已知点M (k ，l )、P (m ，n )是曲线C 上的两点(klmn ≠0)，点M 、N 关于x 轴对称，直线MP 、NP 分别交x 轴于点E (x E ，0)和点F (x F ，0)，(1)用k 、l 、m 、n 分别表示x E 和x F ；(2)当曲线C 的方程分别为：x 2＋y 2＝R 2(R ＞0)，x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)时，探究x E ·x F 的值是否与点M 、N 、P 的位置相关；(3)类比(2)的探究过程，当曲线C 的方程为y 2＝2px (p ＞0)时，探究x E 与x F 经加、减、乘、除的某一种运算后为定值的一个正确结论(只要求写出你的探究结论，无须证明)．导学号74780056解析：(1)依题意N (k ，－l )，又由klmn ≠0及MP 、NP 与x 轴有交点知：M 、P 、N 为不同点，直线PM 的方程为y ＝n －l m －k (x －m )＋n ，则x E ＝nk －ml n －l ，同理可得x F ＝nk ＋ml n ＋l. (2)∵M ，P 在圆C ：x 2＋y 2＝R 2上，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝R 2－n 2，k 2＝R 2－l 2， x E ·x F ＝n 2k 2－m 2l 2n 2－l 2＝n 2（R 2－l 2）－（R 2－n 2）l 2n 2－l2＝R 2(定值)． ∴x E ·x F 的值与点M 、N 、P 位置无关．同理由M 、P 在椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上，得⎩⎨⎧m 2＝a 2－a 2n2b2，k 2＝a 2－a 2l2b2，x E ·x F ＝n 2k 2－m 2l 2n 2－l 2＝n 2⎝⎛⎭⎫a 2－a 2l 2b 2－⎝⎛⎭⎫a 2－a 2n 2b 2l2n 2－l2＝a 2(定值)． ∴x E ·x F 的值与点M 、N 、P 位置无关． (3)一个探究结论是：x E ＋x F ＝0.证明如下：依题意，x E ＝nk －ml n －l ，x F ＝nk ＋mln ＋l.∵M 、P 在抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上，∴n 2＝2pm ，l 2＝2pk .x E ＋x F ＝2（n 2k －ml 2）n 2－l 2＝2（2pmk －2pmk ）n 2－l 2＝0.∴x E ＋x F 为定值．。
高考数学一轮总复习数学推理与证明题经典题目
高考数学一轮总复习数学推理与证明题经典题目数学推理与证明题是高考数学中的一种重要题型，对学生的逻辑思维和推理能力提出了较高的要求。
在高考中，这类题目常常考查学生的分析和推理能力，对于学生而言，掌握一定的解题技巧和方法是非常重要的。
本文将为大家介绍一些经典的高考数学推理与证明题，帮助大家加深对这一题型的理解和应对能力。
一、数列推导与证明题数列是高考数学中经常出现的题型，其推导与证明题目主要考查学生的数学归纳法和推理能力。
下面我们来看一个经典的数列推导与证明题。
例题1: 已知数列{an}满足a1=2，an+1=an+1/n，证明该数列单调递增。
解析: 首先我们将证明该数列是递增的，即an+1≥an。
当n=1时，根据题目条件有a2=a1+1/1=3/1=3，显然3≥2，满足条件。
假设当n=k时，an+1≥an成立，即ak+1≥ak。
当n=k+1时，根据题目条件有a(k+1)+1=a(k+1)+1/(k+1)=ak+1+1/(k+1)。
由假设条件可得a(k+1)+1≥ak+1+1/(k+1)≥ak+1。
综上所述，根据数学归纳法，可证明该数列是递增的。
通过这个例子，我们可以看到数学归纳法在数列推导与证明题中的重要性。
在解这类题目时，我们要善于利用归纳法的思想，合理运用数学推理的方法。
二、平面几何推理与证明题平面几何推理与证明题是高考数学中的又一个重要考点，其解题过程需要注意严谨的逻辑推理和几何图形的分析。
下面我们来看一个经典的平面几何推理与证明题。
例题2: 在平面直角坐标系xOy中，点A(a，0)，B(b，0)与C(0，c)所构成的三角形ABC为正三角形，证明ab=3c²。
解析: 首先我们知道如果三角形ABC为正三角形，则其三个内角均为60°。
利用点A、B和C的坐标可以得到三条边的长度分别为√((a-b)²+c²)，|a-b|和√(a²+b²)。
高考数学一轮复习 第七章 不等式、推理与证明7
高考数学一轮复习 第七章 不等式、推理与证明7.5 基本不等式的综合应用题型一 基本不等式与其他知识交汇的最值问题例1 (1)(2022·成都模拟)已知直线ax ＋by －1＝0(a >0，b >0)与圆x 2＋y 2＝4相切，则log 2a ＋log 2b 的最大值为( )A ．3B ．2C ．－2D ．－3答案 D解析 因为直线ax ＋by －1＝0(a >0，b >0)与圆x 2＋y 2＝4相切， 所以1a 2＋b 2＝2，即a 2＋b 2＝14，因为a 2＋b 2≥2ab ，所以ab ≤18(当且仅当a ＝b 时，等号成立)，所以log 2a ＋log 2b ＝log 2(ab )≤log 218＝－3，所以log 2a ＋log 2b 的最大值为－3.(2)(2022·合肥质检)若△ABC 的内角满足sin B ＋sin C ＝2sin A ，则( )A ．A 的最大值为π3B ．A 的最大值为2π3C ．A 的最小值为π3D ．A 的最小值为π6答案 A解析 ∵sin B ＋sin C ＝2sin A .∴b ＋c ＝2a .由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－b ＋c242bc＝3b 2＋c 2－2bc 8bc ≥6bc －2bc 8bc ＝12， 当且仅当b ＝c 时取等号．又A ∈(0，π)， ∴0<A ≤π3，即A 的最大值为π3. 教师备选已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点分别为F 1，F 2.若椭圆上有一点P ，使PF 1⊥PF 2，则b a的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，12 B.⎝⎛⎦⎤0，22 C.⎣⎡⎦⎤12，22 D.⎣⎡⎭⎫22，1 答案 B解析 设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m ＋n ＝2a ，m 2＋n 2＝4c 2，∴2mn ＝4a 2－4c 2＝4b 2，又2mn ≤2⎝⎛⎭⎫m ＋n 22， 即4b 2≤2⎝⎛⎭⎫2a 22，∴2b 2≤a 2，∴0<b a ≤22. 思维升华 基本不等式与其他知识相结合时，往往是提供一个应用基本不等式的条件，一般利用常数代换法求最值，要注意最值成立的条件．跟踪训练1 (1)若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则1a ＋4b 的最小值等于( ) A ．2 B.32 C.12D ．1 答案 B解析 ∵函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，∴f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ，则f ′(1)＝12－2a －2b ＝0，即a ＋b ＝6，又a >0，b >0.∴1a ＋4b ＝16⎝⎛⎭⎫1a ＋4b (a ＋b ) ＝56＋16⎝⎛⎭⎫b a ＋4a b ≥56＋16×2b a ·4a b ＝32， 当且仅当2a ＝b ＝4时，等号成立．此时满足在x ＝1处有极值．∴1a ＋4b 的最小值等于32. (2)已知数列{a n }是等比数列，若a 2a 5a 8＝－8，则a 9＋9a 1的最大值为________．答案 －12解析 ∵a 2a 5a 8＝－8，∴a 35＝－8，∴a 5＝－2，∴a 1<0，a 9<0，a 9＋9a 1＝－(－a 9－9a 1)≤－2－a 9－9a 1＝－29a 1a 9 ＝－29·a 25＝－12，当且仅当－a 9＝－9a 1时取等号．题型二 求参数值或取值范围例2 (1)已知函数f (x )＝4x ＋ax (x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a 等于( )A ．6B ．8C ．16D ．36答案 D解析 因为f (x )＝4x ＋ax (x >0，a >0)，故4x ＋a x ≥24x ·ax ＝4a ，当且仅当4x ＝ax ，即x ＝a2时取等号，故a2＝3，a ＝36.(2)已知x ，y 属于正实数，若不等式4x ＋9y ≥mx ＋y 恒成立，则实数m 的取值范围是() A ．(－∞，9] B ．(－∞，16]C ．(－∞，25]D ．(－∞，36]答案 C解析 因为x ，y 属于正实数，所以不等式4x ＋9y ≥mx ＋y 恒成立，即m ≤⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫4x ＋9y x ＋y min ，因为⎝⎛⎭⎫4x ＋9y (x ＋y )＝13＋4y x ＋9x y≥13＋24y x ·9x y＝25， 当且仅当4y x ＝9x y，即3x ＝2y 时，等号成立， 所以m ≤25.教师备选(2022·沙坪坝模拟)已知函数f (x )＝2x 3＋3x (x ∈R )，若不等式f (2m ＋mt 2)＋f (4t )<0对任意实数t ≥1恒成立，则实数m 的取值范围为( )A ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)B.⎝⎛⎭⎫－∞，43 C ．(－∞，－2)D ．(－2，－2)答案 C解析 ∵f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝－2x 3－3x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数，且f (x )在R 上单调递增，则不等式f (2m ＋mt 2)＋f (4t )<0等价于f (2m ＋mt 2)<－f (4t )＝f (－4t )，∴2m ＋mt 2<－4t ，即m <－4t t 2＋2对t ≥1恒成立， ∵－4t t 2＋2＝－4t ＋2t ≥－42t ·2t＝－2， 当且仅当t ＝2t，即t ＝2时等号成立， ∴m <－ 2.思维升华 求参数的值或取值范围时，要观察题目的特点．利用基本不等式确定等号成立的条件，从而得到参数的值或范围．跟踪训练2 (1)(2022·杭州模拟)已知k ∈R ，则“对任意a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥kab ”是“k ≤2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 因为对任意a ，b ∈R ，有a 2＋b 2≥2ab ，而对任意a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥kab ，所以－2≤k ≤2，因为[－2,2]是(－∞，2]的真子集，所以“对任意a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥kab ”是“k ≤2”的充分不必要条件．(2)(2022·济宁质检)命题p ：∃x ∈(0，＋∞)，x 2－λx ＋1＝0，当p 是真命题时，则λ的取值范围是________．答案 [2，＋∞)解析 依题意，方程x 2－λx ＋1＝0有正解，即λ＝x ＋1x有正解， 又x >0时，x ＋1x≥2， ∴λ≥2.题型三 基本不等式的实际应用例3 小王于年初用50万元购买了一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x 年年底出售，其销售价格为(25－x )万元(国家规定大货车的报废年限为10年)．(1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润＝累计收入＋销售收入－总支出)解 (1)设大货车运输到第x 年年底，该车运输累计收入与总支出的差为y 万元，则y ＝25x －[6x ＋x (x －1)]－50＝－x 2＋20x －50(0<x ≤10，x ∈N *)，由－x 2＋20x －50>0，可得10－52<x ≤10. 因为2<10－52<3，所以大货车运输到第3年年底，该车运输累计收入超过总支出．(2)因为利润＝累计收入＋销售收入－总支出，所以二手车出售后，小王的年平均利润为y ＋25－x x ＝19－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ≤19－225＝9，当且仅当x ＝25x，即x ＝5时，等号成立，所以小王应当在第5年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大．教师备选某高级中学高二年级部为了更好的督促本年级学生养成节约用水、珍惜粮食、爱护公物的良好习惯，现要设计如图所示的一张矩形宣传海报，该海报含有大小相等的左中右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为60 000 cm 2，四周空白的宽度为10 cm ，栏与栏之间的中缝空白的宽度为 5 cm.怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形海报面积最小，其最小值是________ cm 2.答案 72 600解析 设矩形栏目的高为a cm ，宽为b cm ，由题意可得3ab ＝60 000，所以ab ＝20 000，即b ＝20 000a， 所以该海报的高为(a ＋20)cm ，宽为(3b ＋10×2＋5×2)cm ，即(3b ＋30)cm ，所以整个矩形海报面积S ＝(a ＋20)(3b ＋30)＝3ab ＋30a ＋60b ＋600＝30(a ＋2b )＋60 600＝30⎝⎛⎭⎫a ＋40 000a ＋60 600 ≥30×2a ·40 000a＋60 600 ＝30×400＋60 600＝72 600， 当且仅当a ＝40 000a，即a ＝200时等号成立， 所以当广告栏目的高为200 cm ，宽为100 cm 时，能使整个矩形海报面积最小，其最小值是72 600 cm 2.思维升华 利用基本不等式求解实际问题时，要根据实际问题，设出变量，注意变量应满足实际意义，抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值． 跟踪训练3 网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向．某品牌行车记录仪支架销售公司从2021年10月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式．根据几个月运营发现，产品的月销量x 万件与投入实体店体验安装的费用t 万元之间满足函数关系式x ＝3－2t ＋1.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是______万元．答案 37.5解析 由题意知t ＝23－x －1(1<x <3)，设该公司的月利润为y 万元，则y ＝⎝⎛⎭⎫32×150%＋t 2x x －32x －3－t ＝16x －t 2－3＝16x －13－x ＋12－3＝45.5－⎣⎡⎦⎤163－x ＋13－x ≤45.5－216＝37.5，当且仅当x ＝114时取等号， 即最大月利润为37.5万元． 课时精练1．(2022·苏州模拟)设直线l 与曲线y ＝x 3－2x＋1相切，则l 斜率的最小值为( ) A. 6 B ．4 C ．2 6 D ．3 2答案 C解析 因为x ≠0，所以x 2>0，因为y ′＝3x 2＋2x 2≥26⎝⎛⎭⎫当且仅当3x 2＝2x 2，等号成立， 所以l 斜率的最小值为2 6.2．(2021·新高考全国Ⅰ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 29＋y 24＝1的两个焦点，点M 在C 上，则|MF 1|·|MF 2|的最大值为( )A ．13B ．12C ．9D ．6答案 C解析 由椭圆C ：x 29＋y 24＝1， 得|MF 1|＋|MF 2|＝2×3＝6，则|MF 1|·|MF 2|≤⎝⎛⎭⎫|MF 1|＋|MF 2|22＝32＝9，当且仅当|MF 1|＝|MF 2|＝3时等号成立．3．(2022·北京人大附中模拟)数列{a n }是等差数列 ，{b n }是各项均为正数的等比数列，公比q >1，且a 5＝b 5，则( )A ．a 3＋a 7>b 4＋b 6B ．a 3＋a 7≥b 4＋b 6C ．a 3＋a 7<b 4＋b 6D ．a 3＋a 7＝b 4＋b 6 答案 C解析 因为数列{a n }是等差数列，{b n }是各项均为正数的等比数列，所以a 3＋a 7＝2a 5＝2b 5，b 4＋b 6≥2b 4b 6＝2b 5，所以a 3＋a 7≤b 4＋b 6，又因为公比q >1，所以a 3＋a 7<b 4＋b 6.4．已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8答案 B解析 已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，只要求(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y 的最小值大于或等于9，∵(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋y x ＋ax y≥a ＋2a ＋1，当且仅当y ＝ax 时，等号成立，∴a ＋2a ＋1≥9， ∴a ≥2或a ≤－4(舍去)，∴a ≥4，即正实数a 的最小值为4.5．(2022·湖南五市十校联考)原油作为“工业血液”“黑色黄金”，其价格的波动牵动着整个化工产业甚至世界经济．小李在某段时间内共加油两次，这段时间燃油价格有升有降，现小李有两种加油方案：第一种方案是每次加油40升，第二种方案是每次加油200元，则下列说法正确的是( )A ．第一种方案更划算B ．第二种方案更划算C ．两种方案一样D ．无法确定答案 B解析 设小李这两次加油的油价分别为x 元/升、y 元/升(x ≠y )，则方案一：两次加油平均价格为40x ＋40y 80＝x ＋y 2>xy ， 方案二：两次加油平均价格为400200x ＋200y＝2xy x ＋y <xy ， 故无论油价如何起伏，方案二比方案一更划算．6．已知p ：存在实数x ，使4x ＋2x ·m ＋1＝0成立，若綈p 是假命题，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]B ．(－∞，－2)C ．(0，＋∞)D ．(1，＋∞)答案 A解析 ∵綈p 为假命题，∴p 为真命题，即关于x 的方程4x ＋2x ·m ＋1＝0有解．由4x ＋2x ·m ＋1＝0，得m ＝－2x －12x ＝－⎝⎛⎭⎫2x ＋12x ≤－22x ·12x ＝－2， 当且仅当2x ＝12x ，即x ＝0时，取等号．∴m 的取值范围为(－∞，－2]．7．(2022·焦作质检)若数列{a n }满足a 2＝9，a n －1＋n ＝a n ＋1(n ≥2且n ∈N *)，则a n n 的最小值为( ) A.72 B.185 C.113 D.92答案 A解析 因为数列{a n }满足a 2＝9，a n －1＋n ＝a n ＋1(n ≥2且n ∈N *)，所以a 1＋2＝a 2＋1，解得a 1＝8，所以a n ＝a 2－a 1＋a 3－a 2＋a 4－a 3＋…＋a n －a n －1＋a 1＝1＋2＋3＋…＋n －1＋8＝n 2－n ＋162， 则a n n ＝n 2－n ＋162n＝12⎝⎛⎭⎫n ＋16n －1 ≥12⎝⎛⎭⎫2n ·16n －1＝72， 当且仅当n ＝16n，即n ＝4时，等号成立， 所以a n n 的最小值为72. 8. 如图，在半径为4(单位：cm)的半圆形(O 为圆心)铁皮上截取一块矩形材料ABCD ，其顶点A ，B 在直径上，顶点C ，D 在圆周上，则矩形ABCD 面积的最大值为(单位：cm 2)( )A ．8B ．10C ．16D ．20答案 C解析 连接OC ，如图，设BC ＝x ，则OB ＝16－x 2，所以AB ＝216－x 2，所以矩形ABCD 的面积S ＝2x 16－x 2，x ∈(0,4)，S ＝2x 16－x 2＝2x 216－x 2≤x 2＋16－x 2＝16，当且仅当x 2＝16－x 2，即x ＝22时取等号，此时S max ＝16.9．已知向量m ＝(x ,2)，n ＝⎝⎛⎭⎫3，y －12(x >0，y >0)，若m ⊥n ，则xy 的最大值为________． 答案 124 解析 因为向量m ＝(x ,2)，n ＝⎝⎛⎭⎫3，y －12， 且m ⊥n ，所以3x ＋2⎝⎛⎭⎫y －12＝0，即3x ＋2y ＝1. 因为x >0，y >0，所以1＝3x ＋2y ≥23x ×2y ，即xy ≤124， 当且仅当3x ＝2y ＝12， 即x ＝16，y ＝14时取等号． 10．在中国，周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例．在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他们用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和．若一个直角三角形的斜边长等于5，则这个直角三角形周长的最大值为________．答案 52＋5解析 设直角三角形的两条直角边边长分别为a ，b ，则a 2＋b 2＝25.因为(a ＋b )2＝25＋2ab ≤25＋2×a ＋b 24， 所以(a ＋b )2≤50，所以5<a ＋b ≤52，当且仅当a ＝b ＝522时，等号成立． 故这个直角三角形周长的最大值为52＋5.11．已知圆C 1：x 2＋y 2＋4ax ＋4a 2－4＝0和圆C 2：x 2＋y 2－2by ＋b 2－1＝0只有一条公切线，若a ，b ∈R 且ab ≠0，则1a 2＋1b2的最小值为________． 答案 9解析 因为圆C 1：x 2＋y 2＋4ax ＋4a 2－4＝0和圆C 2：x 2＋y 2－2by ＋b 2－1＝0只有一条公切线， 所以两圆相内切，其中C 1(－2a ,0)，r 1＝2；C 2(0，b )，r 2＝1，故|C 1C 2|＝4a 2＋b 2，由题设可知4a 2＋b 2＝2－1⇒4a 2＋b 2＝1，所以(4a 2＋b 2)⎝⎛⎭⎫1a 2＋1b 2＝4a 2b 2＋b 2a 2＋5 ≥24a 2b 2·b 2a 2＋5＝9， 当且仅当b 2＝2a 2时等号成立．12．(2022·北京朝阳区模拟)李明自主创业，经营一家网店，每售出一件A 商品获利8元．现计划在“五一”期间对A 商品进行广告促销，假设售出A 商品的件数m (单位：万件)与广告费用x (单位：万元)符合函数模型m ＝3－2x ＋1.若要使这次促销活动获利最多，则广告费用x 应投入________万元．答案 3解析 设李明获得的利润为f (x )万元，则x ≥0，则f (x )＝8m －x ＝8⎝⎛⎭⎫3－2x ＋1－x＝24－16x ＋1－x＝25－⎣⎡⎦⎤16x ＋1＋x ＋1≤25－216x ＋1x ＋1＝25－8＝17，当且仅当x ＋1＝16x ＋1， 因为x ≥0，即当x ＝3时，等号成立．13．(2022·柳州模拟)已知△ABC 中，a 2＋b 2－c 2＝ab ≥c 2，则△ABC 一定是() A ．等边三角形 B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形答案 A解析 由a 2＋b 2－c 2＝ab ，则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12，又因为0°<C <180°，所以C ＝60°，因为a 2＋b 2－c 2≥2ab －c 2，当且仅当a ＝b 时取等号，即ab ≥2ab －c 2，解得ab ≤c 2，又因为ab ≥c 2，所以ab ＝c 2，且a ＝b 时取等号，因为C ＝60°，所以△ABC 一定是等边三角形．14．(2022·武汉模拟)已知平面向量OA →，OB →，OC →为三个单位向量，且〈OA →，OB →〉＝120°，若OC →＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )，则x ＋y 的取值范围为________．答案 [－2,2]解析 由OC →＝xOA →＋yOB →，两边同时平方得OC →2＝(xOA →＋yOB →)2，即OC →2＝x 2OA →2＋y 2OB →2＋2xyOA →·OB →，∵平面向量OA →，OB →，OC →为三个单位向量，且〈OA →，OB →〉＝120°，∴x 2＋y 2－xy ＝1，∴(x ＋y )2＝1＋3xy ≤1＋3⎝⎛⎭⎫x ＋y 22，即(x ＋y )2≤4，即－2≤x ＋y ≤2.15．(2022·大庆模拟)设函数f (x )＝|lg x |，若存在实数0<a <b ，满足f (a )＝f (b )，则M ＝log 2a 2＋b 28，N ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b 2，Q ＝ln 1e 2的关系为( ) A ．M >N >Q B ．M >Q >NC ．N >Q >MD ．N >M >Q 答案 B解析 ∵f (a )＝f (b )，∴|lg a |＝|lg b |，∴lg a ＋lg b ＝0，即ab ＝1， ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b 2＝1a ＋b ＋2＝1a ＋1a ＋2<12＋2＝14，∴N ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b 2<－2，又a 2＋b 28>ab 4＝14，∴a 2＋b 28>14，∴M ＝log 2a 2＋b 28>－2，又∵Q ＝ln 1e 2＝－2，∴M >Q >N .16．设0<t <12，若1t ＋21－2t ≥k 2＋2k 恒成立，则k 的取值范围为() A ．[－4,2] B ．[－2,4]C ．[－4,0)∪(0,2]D ．[－2,0)∪(0,4] 答案 A解析 依题意k 2＋2k ≤1t ＋21－2t 对∀t ∈⎝⎛⎭⎫0，12恒成立，所以k 2＋2k ≤⎝⎛⎭⎫1t ＋21－2t min ，因为t ∈⎝⎛⎭⎫0，12，所以1－2t >0，所以1t ＋21－2t ＝⎝⎛⎭⎫1t ＋21－2t (2t ＋1－2t )＝2＋2＋1－2t t ＋4t1－2t≥4＋21－2t t ·4t 1－2t＝8， 当且仅当1－2t t ＝4t 1－2t时取“＝”， 即t ＝14时取得最小值， 所以k 2＋2k ≤8，所以(k －2)(k ＋4)≤0，解得－4≤k ≤2，即k ∈[－4,2]．。
(新课标)2017版高考数学大一轮复习 第七章 不等式及推理与证明题组34 文
题组层级快练(三十四)1．已知a ，b ∈(0，1)且a≠b，下列各式中最大的是( ) A ．a 2＋b 2B ．2abC ．2abD ．a ＋b答案 D解析 只需比较a 2＋b 2与a ＋b.由于a ，b ∈(0，1)，∴a 2<a ，b 2<b ，∴a 2＋b 2<a ＋b. 2．下列命题中正确的是( ) A ．函数y ＝x ＋1x 的最小值为2B ．函数y ＝x 2＋3x 2＋2的最小值为2 C ．函数y ＝2－3x －4x (x>0)的最小值为2－4 3D ．函数y ＝2－3x －4x (x>0)的最大值为2－4 3答案 D解析 y ＝x ＋1x 的定义域为{x|x≠0}，当x>0时，有最小值2，当x<0时，有最大值－2，故A项不正确； y ＝x 2＋3x 2＋2＝x 2＋2＋1x 2＋2≥2， ∵x 2＋2≥2，∴取不到“＝”，故B 项不正确； ∵x>0时，3x ＋4x≥2·3x·4x＝43，当且仅当3x ＝4x ，即x ＝233时取“＝”，∴y ＝2－(3x ＋4x )有最大值2－43，故C 项不正确，D 项正确．3．若0<x<32，则y ＝x(3－2x)的最大值是( )A.916B.94 C ．2 D.98答案 D4．(2016·江苏常州第一次质检)已知f(x)＝x ＋1x－2(x<0)，则f(x)有( )A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－4答案 C解析 ∵x<0，∴－x>0，∴x ＋1x －2＝－(－x ＋1－x )－2≤－2（－x ）·1－x－2＝－4，当且仅当－x ＝1－x，即x ＝－1时，等号成立．5．已知函数g(x)＝2x，且有g(a)g(b)＝2，若a>0且b>0，则ab 的最大值为( ) A.12 B.14 C ．2 D ．4答案 B 解析 ∵2a 2b＝2a ＋b＝2，∴a ＋b ＝1，ab ≤(a ＋b 2)2＝14，故选B.6．(2015·湖南文)若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( )A. 2 B ．2 C ．2 2 D ．4答案 C解析 解法一：由已知得1a ＋2b ＝b ＋2aab ＝ab ，且a>0，b>0，∴ab ab ＝b ＋2a≥22ab ，∴ab ≥2 2.解法二：由题设易知a>0，b<0，∴ab ＝1a ＋2b≥22ab ，即ab≥22，选C. 7．(2013·重庆理)（3－a ）（a ＋6）(－6≤a≤3)的最大值为( ) A ．9 B.92 C ．3 D.322答案 B解析 方法一：因为－6≤a≤3，所以3－a≥0，a ＋6≥0.由基本不等式，可知（3－a ）（a ＋6）≤（3－a ）＋（a ＋6）2＝92，当且仅当a ＝－32时等号成立．方法二：（3－a ）（a ＋6）＝－（a ＋32）2＋814≤92，当且仅当a ＝－32时等号成立．8．函数y ＝x 2＋2x ＋2x ＋1(x>－1)的图像最低点的坐标是( )A ．(1，2)B ．(1，－2)C ．(1，1)D ．(0，2)答案 D解析 y ＝（x ＋1）2＋1x ＋1＝(x ＋1)＋1x ＋1≥2.当且仅当x ＝0时等号成立．9．(2013·福建文)若2x ＋2y＝1，则x ＋y 的取值范围是( ) A ．[0，2] B ．[－2，0] C ．[－2，＋∞) D ．(－∞，－2]答案 D解析 ∵2x＋2y≥22x·2y＝22x ＋y(当且仅当2x ＝2y 时等号成立)，∴2x ＋y≤12，∴2x ＋y≤14，得x ＋y≤－2，故选D.10．已知不等式(x ＋y)(1x ＋ay )≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8答案 B解析 (x ＋y)(1x ＋a y )＝1＋a·x y ＋y x ＋a≥1＋a ＋2a ＝(a ＋1)2，当且仅当a·x y ＝y x ，即ax 2＝y 2时“＝”成立．∴(x ＋y)(1x ＋a y )的最小值为(a ＋1)2≥9.∴a ≥4.11．设实数x ，y ，m ，n 满足x 2＋y 2＝1，m 2＋n 2＝3，那么mx ＋ny 的最大值是( ) A. 3 B ．2 C. 5 D.102答案 A解析 方法一：设x ＝sin α，y ＝cos α，m ＝3sin β，n ＝3cos β，其中α，β∈R . ∴mx ＋ny ＝3sin βsin α＋3cos βcos α＝3cos(α－β)．故选A.方法二：由已知(x 2＋y 2)·(m 2＋n 2)＝3，即m 2x 2＋n 2y 2＋n 2x 2＋m 2y 2＝3，∴m 2x 2＋n 2y 2＋2(nx)·(my)≤3，即(mx ＋ny)2≤3，∴mx ＋ny≤ 3. 12．若x ，y 是正数，则(x ＋12y )2＋(y ＋12x)2的最小值是( )A ．3 B.72 C ．4 D.92答案 C解析 原式＝x 2＋x y ＋14y 2＋y 2＋y x ＋14x 2≥4.当且仅当x ＝y ＝12时取“＝”号．13．已知x ，y ，z ∈(0，＋∞)，且满足x －2y ＋3z ＝0，则y2xz 的最小值为( )A ．3B ．6C ．9D ．12答案 A14．(1)当x>1时，x ＋4x －1的最小值为________；(2)当x≥4时，x ＋4x －1的最小值为________．答案 (1)5 (2)163解析 (1)∵x>1，∴x －1>0.∴x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥24＋1＝5.(当且仅当x －1＝4x －1.即x ＝3时“＝”号成立)∴x ＋4x －1的最小值为5.(2)∵x≥4，∴x －1≥3.∵函数y ＝x ＋4x在[3，＋∞)上为增函数，∴当x －1＝3时，y ＝(x －1)＋4x －1＋1有最小值163.15．若a>0，b>0，a ＋b ＝1，则ab ＋1ab 的最小值为________．答案174解析 ab≤(a ＋b 2)2＝14，当且仅当a ＝b ＝12时取等号．y ＝x ＋1x 在x∈(0，14]上为减函数．∴ab ＋1ab 的最小值为14＋4＝174.16．设x ＞0，y ＞0，且(x －1)(y －1)≥2，则xy 的取值范围为__________． 答案 [3＋22，＋∞)解析 (x －1)(y －1)＝xy －(x ＋y)＋1≤xy －2xy ＋1， 又(x －1)(y －1)≥2，即xy －2xy ＋1≥2， ∴xy ≥2＋1，∴xy ≥3＋2 2. 17．已知a>b>0，求a 2＋16b （a －b ）的最小值．答案 16思路 由b(a －b)求出最大值，从而去掉b ，再由a 2＋64a 2，求出最小值．解析 ∵a>b>0，∴a －b>0. ∴b(a －b)≤[b ＋（a －b ）2]2＝a24.∴a 2＋16b （a －b ）≥a 2＋64a 2≥2a 2·64a2＝16.当a 2＝64a 2且b ＝a －b ，即a ＝22，b ＝2时等号成立．∴a 2＋16b （a －b ）的最小值为16.18．已知lg(3x)＋lgy ＝lg(x ＋y ＋1)， (1)求xy 的最小值； (2)求x ＋y 的最小值． 答案 (1)1 (2)2解析 由lg(3x)＋lgy ＝lg(x ＋y ＋1)，得⎩⎪⎨⎪⎧x>0，y>0，3xy ＝x ＋y ＋1.(1)∵x>0，y>0，∴3xy ＝x ＋y ＋1≥2xy ＋1.∴3xy －2xy －1≥0，即3(xy)2－2xy －1≥0. ∴(3xy ＋1)(xy －1)≥0. ∴xy ≥1.∴xy ≥1.当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立．∴xy 的最小值为1.(2)∵x>0，y>0，∴x ＋y ＋1＝3xy≤3·(x ＋y 2)2.∴3(x ＋y)2－4(x ＋y)－4≥0. ∴[3(x ＋y)＋2][(x ＋y)－2]≥0. ∴x ＋y≥2.当且仅当x ＝y ＝1时取等号． ∴x ＋y 的最小值为2.1．“a ＝18”是“对任意的正数x ，2x ＋ax ≥1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 令p ：“a＝18”，q ：“对任意的正数x ，2x ＋ax ≥1”．若p 成立，则a ＝18，则2x ＋a x ＝2x ＋18x≥22x·18x＝1，即q 成立，pq ；若q 成立，则2x 2－x ＋a≥0恒成立，解得a≥18，∴q/ p.∴p 是q 的充分不必要条件．2．(2013·山东文)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当z xy 取得最小值时，x ＋2y－z 的最大值为( ) A ．0 B.98 C ．2 D.94答案 C解析 z xy ＝x 2－3xy ＋4y 2xy ＝x y ＋4yx－3≥2x y ·4yx－3＝1，当且仅当x ＝2y 时等号成立，因此z ＝4y 2－6y 2＋4y 2＝2y 2，所以x ＋2y －z ＝4y －2y 2＝－2(y －1)2＋2≤2.3．(2016·成都一诊)已知正数a ，b 满足a ＋b ＝ab ，a ＋b ＋c ＝abc ，则c 的取值范围是( ) A ．(0，43]B ．(12，43]C ．(13，43]D ．(1，43]答案 D解析 ∵正数a ，b 满足a ＋b ＝ab ，∵ab ≥2ab (ab)2－2ab ≥0ab ≥2ab ≥4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，由a ＋b ＝ab ，a ＋b ＋c ＝abc ，得c ＝ab ab －1＝ab －1＋1ab －1＝1＋1ab －1，∵ab ≥4，∴ab －1≥3，∴0<1ab －1≤13，∴1<1＋1ab －1≤43，故选D.4．已知x ＞0，y ＞0，2x ＋y ＝1，则xy 的最大值为________． 答案 18解析 ∵2xy≤(2x ＋y 2)2＝14，∴xy ≤18.(当且仅当2x ＝y 即x ＝14，y ＝12时取“＝”号．)∴xy 的最大值为18.5．若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________． 答案233解析 ∵xy≤14(x ＋y)2，∴1＝x 2＋y 2＋xy ＝(x ＋y)2－xy≥(x＋y)2－14(x ＋y)2＝34(x ＋y)2，∴(x＋y)2≤43.∴－233≤x ＋y≤233，当x ＝y ＝33时，x ＋y 取得最大值233.6．某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，每次购买面粉需支付运费900元． (1)该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？(2)若提供面粉的公司规定：当一次性购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠(即原价的90%)，该厂是否应考虑接受此优惠条件？请说明理由． 答案 (1)10天 (2)应该接受此优惠条件解析 (1)设该厂应每隔x 天购买一次面粉，则其购买量为6x 吨．由题意知，面粉的保管等其他费用为3[6x ＋6(x －1)＋…＋6×2＋6×1]＝9x(x ＋1)． 设每天所支付的总费用为y 1元，则 y 1＝1x [9x(x ＋1)＋900]＋6×1 800＝900x＋9x ＋10 809≥2900x·9x＋10 809＝10 989， 当且仅当9x ＝900x，即x ＝10时取等号．所以该厂每隔10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少．(2)若该厂家接受此优惠条件，则至少每隔35天购买一次面粉．设该厂接受此优惠条件后，每隔x(x≥35)天购买一次面粉，平均每天支付的总费用为y 2，则 y 2＝1x [9x(x ＋1)＋900]＋6×1 800×0.90＝900x＋9x ＋9 729(x≥35)． 令f(x)＝x ＋100x (x≥35)，x 2>x 1≥35，则f(x 1)－f(x 2)＝(x 1＋100x 1)－(x 2＋100x 2)＝（x 1－x 2）（x 1x 2－100）x 1x 2.因为x 2>x 1≥35，所以x 1－x 2<0，x 1·x 2>100，即x 1x 2－100>0. 所以f(x 1)－f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)． 所以f(x)＝x ＋100x 在[35，＋∞)上为增函数．所以当x ＝35时，y 2有最小值，约为10 069.7. 此时y 2<10 989，所以该厂应该接受此优惠条件．7．某商店预备在一个月内分批购入每张价值为20元的书桌共36张，每批都购入x 张(x 是正整数)，且每批均需付运费4元，储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值(不含运费)成正比，若每批购入4张，则该月需用去运费和保管费共52元，现在全月只有48元资金可以用于支付运费和保管费．(1)求该月需用去的运费和保管费的总费用f(x)；(2)能否恰当地安排每批进货的数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由． 答案 (1)f(x)＝4x ＋144x (0<x≤36，x ∈N *)(2)每批购入6张解析 (1)设题中比例系数为k ，若每批购入x 张，则共需分36x 批，每批价值为20x 元．由题意，知f(x)＝36x ·4＋k·20x.由x ＝4时，f(4)＝52，得k ＝1680＝15.∴f(x)＝144x＋4x(0<x≤36，x ∈N *)．(2)由(1)知f(x)＝144x ＋4x(0<x≤36，x ∈N *)，∴f (x)≥2144x×4x＝48(元)． 当且仅当144x ＝4x ，即x ＝6时，上式等号成立．故只需每批购入6张书桌，可以使资金够用．。
高考数学一轮复习 第七章 不等式、推理与证明7
高考数学一轮复习第七章不等式、推理与证明7.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题考试要求 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．知识梳理1．二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式表示区域Ax＋By＋C>0 直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域不包括边界Ax＋By＋C≥0包括边界不等式组各个不等式表示的平面区域的公共部分2.线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式(组)线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集．( √ ) (2)不等式Ax ＋By ＋C >0表示的平面区域一定在直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方．( × ) (3)点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)在直线Ax ＋By ＋C ＝0同侧的充要条件是(Ax 1＋By 1＋C )(Ax 2＋By 2＋C )>0，在异侧的充要条件是(Ax 1＋By 1＋C )(Ax 2＋By 2＋C )<0.( √ )(4)目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中，z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距．( × )教材改编题1．某校对高三美术生划定录取分数线，专业成绩x 不低于95分，文化课总分y 高于380分，体育成绩z 超过45分，用不等式表示就是( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥95，y ≥380，z >45 B.⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥95，y >380，z ≥45 C.⎩⎪⎨⎪⎧x >95，y >380，z >45 D.⎩⎪⎨⎪⎧x ≥95，y >380，z >45答案 D解析 “不低于”即“≥”，“高于”即“>”，“超过”即“>”， ∴x ≥95，y >380，z >45.2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1<0，x ＋y －3≥0表示的区域(阴影部分)是( )答案 D解析 将点(0,0)代入x －y ＋1<0不成立，则点(0,0)不在不等式x －y ＋1<0所表示的平面区域内， 将点(0,0)代入x ＋y －3≥0不成立，则点(0,0)不在不等式x ＋y －3≥0所表示的平面区域内， 所以表示的平面区域不包括原点，排除A ，C ；x －y ＋1<0不包括边界，用虚线表示，x ＋y －3≥0包括边界，用实线表示，故选D. 3．设变量x ，y 满足约束条件：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －y ≥0，y ≥0，则目标函数z ＝x ＋2y 的最大值为________．答案 92解析 根据不等式组作出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，当目标函数z ＝x ＋2y 经过点⎝⎛⎭⎫32，32时，z 取最大值为92.题型一 二元一次不等式(组)表示的平面区域 例1 (1)(2022·新乡模拟)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －y ≥1，y ＋1≥0表示的平面区域的面积为______．答案 3解析 画出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，2x －y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即A (1,1)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝1，y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1，即B (0，－1)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，y ＝－1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1，即C (3，－1)， S △ABC ＝12×|3－0|×|1－(－1)|＝3.(2)已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，2x －y －2≤0，x >m 表示的平面区域为三角形，则实数m 的取值范围为____________． 答案 (－∞，3)解析 根据题意，先作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，2x －y －2≤0表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2，y ＝x ＋1，可得A (3,4)， 要使不等式组表示的平面区域为三角形，只需m <3， 所以m 的取值范围为(－∞，3)．教师备选已知点A (3,0)，B (－3,2)，若直线ax －y －1＝0与线段AB 总有公共点，则a 的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤－1，13 B ．(－∞，－1]∪⎣⎡⎭⎫13，＋∞ C.⎣⎡⎦⎤－13，1 D.⎝⎛⎦⎤－∞，－13∪[1，＋∞) 答案 B解析 因为直线ax －y －1＝0与线段AB 总有公共点， 所以点A 和点B 不同在直线的一侧， 所以(3a －0－1)(－3a －2－1)≤0， 解得a ≤－1或a ≥13.即a 的取值范围是(－∞，－1]∪⎣⎡⎭⎫13，＋∞. 思维升华 平面区域的形状问题主要有两种题型(1)确定平面区域的形状，求解时先作出满足条件的平面区域，然后判断其形状．(2)根据平面区域的形状求解参数问题，求解时通常先作出满足条件的平面区域，但要注意对参数进行必要的讨论．跟踪训练1 (2022·西安模拟)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y ≥2，3x ＋y ≤5所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋2分成面积相等的两个部分，则实数k 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 A解析 作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分(含边界)所示，B (0,5)，因为直线y ＝kx ＋2过定点C (0,2)， 所以C 点在可行域内，要使直线y ＝kx ＋2将可行域分成面积相等的两部分， 则直线y ＝kx ＋2必过线段AB 的中点D .由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，3x ＋y ＝5，解得⎝⎛⎭⎫32，12，即A ⎝⎛⎭⎫32，12， 所以AB 的中点D ⎝⎛⎭⎫34，114，将D 的坐标代入直线y ＝kx ＋2，得114＝34k ＋2，解得k ＝1.题型二 求目标函数的最值问题 命题点1 求线性目标函数的最值例2 (2021·浙江)若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，x －y ≤0，2x ＋3y －1≤0，则z ＝x －12y 的最小值是( )A ．－2B ．－32C ．－12 D.110答案 B解析 作出可行域如图中阴影部分(含边界)所示，作出直线y ＝2x 并平移，数形结合可知，当平移后的直线经过点A 时z 取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y －1＝0，x ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1， 所以A (－1,1)，z min ＝－1－12＝－32.命题点2 求非线性目标函数的最值例3 (1)如果点P (x ，y )在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x －2y ＋1≤0，x ＋y －2≤0上，则y ＋1x －2的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－2，－13 B.⎣⎡⎦⎤－2，－32 C.⎣⎡⎦⎤－2，13 D.⎣⎡⎦⎤－13，2 答案 A解析 作出点P (x ，y )所在的平面区域，如图中阴影部分(含边界)所示，y ＋1x －2表示动点P 与定点Q (2，－1)连线的斜率． 联立⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1＝0，x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.于是k QE ＝1＋11－2＝－2，k QF ＝0＋1－1－2＝－13.因此－2≤y ＋1x －2≤－13.(2)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x ＋y －3≤0，x ≥0，则(x －1)2＋y 2的最小值为( )A ．1 B.45 C.255 D ．2答案 B解析 结合题意作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分(含边界)所示，而(x －1)2＋y 2的几何意义是可行域内的点与(1,0)的距离的平方， 又(1,0)到直线2x －y ＝0的距离为25， 故(x －1)2＋y 2的最小值为45.命题点3 求参数值或取值范围例4 已知k >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，x ＋y －3≤0，y ≥k x －3，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则k 等于( )A ．3B ．5 C.12 D.14答案 A解析 由不等式组知可行域只能是图中△ABC 内部阴影部分(含边界)所示，作直线l ：2x ＋y ＝0，平移直线l ，只有当l 过点B 时，z ＝2x ＋y 取得最小值， 易知B (2，－k )， ∴4－k ＝1，解得k ＝3. 教师备选1．(2022·六安模拟)已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，y －2≥0，x ＋y －5≤0，则z ＝2x ＋y 的最大值为( )A ．4B ．5C ．8D ．10 答案 C解析 不等式组表示的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，由z ＝2x ＋y ，得y ＝－2x ＋z ， 作出直线y ＝－2x ，向上平移过点C 时，z ＝2x ＋y 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧ y －2＝0，x ＋y －5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，即C (3,2)， 所以z ＝2x ＋y 的最大值为2×3＋2＝8. 2．已知实数x ，y 满足不等式⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x ＋y －5≤0，y ≥1，则z ＝x 2＋y 2的最大值为________．答案 10解析 根据约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x ＋y －5≤0，y ≥1，画出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，z ＝x 2＋y 2是指可行域内的动点(x ，y )与定点(0,0)之间的距离的平方， 由图可知，点P 到原点O 的距离的平方最大，又因为⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x ＋y －5＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，所以P (1,3)， 故z max ＝12＋32＝10.3．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a ＝________.答案 3解析 作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分(含边界)所示，联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－1，x ＋y ＝a ，解得⎩⎨⎧x ＝a －12，y ＝a ＋12，∴A ⎝⎛⎭⎫a －12，a ＋12.①当a ＝0时，A ⎝⎛⎭⎫－12，12，x ＝z 无最小值，不满足题意； ②当a <0时，由z ＝x ＋ay 得y ＝－1a x ＋za，要使z 最小，则直线y ＝－1a x ＋za 在y 轴上的截距最大，满足条件的最优解不存在；③当a >0时，由z ＝x ＋ay 得y ＝－1a x ＋za，由图可知，当直线过点A 时直线在y 轴上的截距最小，z 最小，此时，－1a ≥－1，即a ≥1，此时z ＝a －12＋a ·a ＋12＝a 2＋2a －12＝7.即a 2＋2a －15＝0， 解得a ＝3或a ＝－5(舍)． 思维升华 常见的三类目标函数 (1)截距型：形如z ＝ax ＋by . (2)距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2. (3)斜率型：形如z ＝y －bx －a.跟踪训练2 (1)已知A (1,2)，点B (x ，y )的坐标x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤3，2x －y －2≤0，x ≥1，则OA →·OB →的取值范围是________． 答案 [1,5]解析 作不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤3，2x －y －2≤0，x ≥1的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示．设z ＝OA →·OB →，则z ＝x ＋2y ， 将z ＝x ＋2y 化为y ＝－12x ＋z 2，由图象可得，当直线y ＝－12x ＋z2过点A (1,2)时，z 取最大值，最大值为5.当直线y ＝－12x ＋z2过点C (1,0)时，z 取最小值，最小值为1.∴OA →·OB →的取值范围是[1,5]．(2)(2022·平顶山模拟)若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －5≤0，y －2≥0，x －1≥0，则z ＝x ＋2y ＋3x ＋1的最小值是______． 答案 52解析 作出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，z ＝x ＋2y ＋3x ＋1＝1＋2y ＋1x ＋1，其中k ＝y ＋1x ＋1表示可行域内点P (x ，y )与定点Q (－1，－1)连线的斜率，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －5＝0，y ＝2得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，即C (3,2)， 由图可得k min ＝k CQ ＝2＋13＋1＝34， 所以z min ＝1＋2×34＝52.(3)(2022·金华模拟)已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0，若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a 的值为________． 答案 －1或2解析 作出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，作直线l ：y －ax ＝0，在z ＝y －ax 中，y ＝ax ＋z ，a 是斜率，z 是纵截距，直线向上平移，z 增大，因此要使最大值的最优解不唯一，则直线l 与AB 或AC 平行， 所以a ＝－1或a ＝2.题型三 实际生活中的线性规划问题例5 (2022·新乡模拟)快递行业的高速发展极大地满足了人们的购物需求，也提供了大量的就业岗位，出现了大批快递员．某快递公司接到甲、乙两批快件，基本数据如下表：体积(立方分米/件)重量(千克/件)快递员工资(元/件)甲批快件 20108乙批快件102010快递员小马接受派送任务，小马的送货车载货的最大容积为350立方分米，最大载重量为250千克，小马一次送货可获得的最大工资额为( ) A ．150元 B ．170元 C ．180元 D ．200元答案 B解析 设一次派送甲批快件x 件、乙批快件y 件，则x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋10y ≤350，10x ＋20y ≤250，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤35，x ＋2y ≤25，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N ，小马派送完毕获得的工资z ＝8x ＋10y (元)， 画出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝35，x ＋2y ＝25，解得x ＝15，y ＝5， 所以目标函数在点M (15,5)处取得最大值， 故z max ＝8×15＋10×5＝170(元)．所以小马一次送货可获得的最大工资额为170元． 教师备选某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为( ) A ．180 000元 B ．216 000元 C ．189 000元 D ．256 000元答案 B解析 设生产产品A 为x 件，产品B 为y 件，获利z 元． ∴⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N ，目标函数z ＝2 100x ＋900y ，作出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示．将z ＝2 100x ＋900y 化为y ＝－73x ＋z900，由图象可得，当直线y ＝－73x ＋z900过点M 时，在y 轴上的截距最大，即z 最大．联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋0.3y ＝90，5x ＋3y ＝600，得M (60,100)，∴z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)， ∴利润最大为216 000元．思维升华 解线性规划应用题的步骤(1)转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题； (2)求解—— 解这个纯数学的线性规划问题；(3)作答——将线性规划问题的答案还原为实际问题的答案．跟踪训练3 某企业在“精准扶贫”行动中，决定帮助一贫困山区将水果运出销售．现有8辆甲型车和4辆乙型车，甲型车每次最多能运6吨且每天能运4次，乙型车每次最多能运10吨且每天能运3次，甲型车每天费用320元，乙型车每天费用504元．若需要一天内把180吨水果运输到火车站，则通过合理调配车辆，运送这批水果的费用最少为( ) A ．2 400元 B ．2 560元 C ．2 816元 D ．4 576元答案 B解析 设甲型车x 辆，乙型车y 辆，运送这批水果的费用为z 元， 则⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤8，0≤y ≤4，24x ＋30y ≥180，x ∈N ，y ∈N目标函数z ＝320x ＋504y ， 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ∈N ，y ∈N ，0≤x ≤8，0≤y ≤4，24x ＋30y ≥180所表示的平面区域，如图所示的阴影部分(含边界)．作直线320x ＋504y ＝0，并平移，结合实际情况分析可得当直线过整点(8,0)时，z 取得最小值， 即z min ＝8×320＋0×504＝2 560(元)．课时精练1．将不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2≥0，x ＋y <0表示的平面区域记为F ，则属于F 的点是( )A ．(1,1)B ．(－1,1)C ．(－1，－1)D ．(1，－1)答案 C解析 将点(1,1)代入方程组得⎩⎪⎨⎪⎧1≥0，2>0，故不在区域F 内，将点(－1,1)代入方程组得⎩⎪⎨⎪⎧－1<0，0＝0，故不在区域F 内，将点(－1，－1)代入方程组得⎩⎪⎨⎪⎧3≥0，－2<0，故在区域F 内，将点(1，－1)代入方程组得⎩⎪⎨⎪⎧5≥0，0＝0，故不在区域F 内．2．(2022·合肥质检)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3≤0，x ＋y ≥0，x －y ≥0围成的封闭图形的面积是( )A ．12B ．6C ．9D ．15 答案 C解析 作出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，由⎩⎪⎨⎪⎧ x －3＝0，x －y ＝0得A (3,3)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝0，x ＋y ＝0得B (3，－3)， 所以可行域的面积为12×3×6＝9.3．(2021·全国乙卷)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥4，x －y ≤2，y ≤3，则z ＝3x ＋y 的最小值为( )A ．18B ．10C ．6D ．4 答案 C解析 方法一 (数形结合法)作出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，作出直线y ＝－3x ，并平移，数形结合可知，当平移后的直线经过点A 时，直线y ＝－3x ＋z 在y 轴上的截距最小，即z 最小．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝4，y ＝3得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，即点A 的坐标为(1,3)．从而z ＝3x ＋y 的最小值为3×1＋3＝6.方法二 (代点比较法)画图易知，题设不等式组对应的可行域是封闭的三角形区域，所以只需要比较三角形区域三个顶点处的z 的大小即可．易知直线x ＋y ＝4与y ＝3的交点坐标为(1,3)，直线x ＋y ＝4与x －y ＝2的交点坐标为(3,1)，直线x －y ＝2与y ＝3的交点坐标为(5,3)，将这三个顶点的坐标分别代入z ＝3x ＋y 可得z 的值分别为6,10,18，所以比较可知z min ＝6.方法三 (巧用不等式的性质)因为x ＋y ≥4，所以3x ＋3y ≥12. ① 因为y ≤3，所以－2y ≥－6.②于是，由①＋②可得3x ＋3y ＋(－2y )≥12＋(－6)，即3x ＋y ≥6，当且仅当x ＋y ＝4且y ＝3，即x ＝1，y ＝3时不等式取等号，易知此时不等式x －y ≤2成立． 4．不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在直角坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的( )答案 C解析 (x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0，即不等式表示的区域是同时在两直线的上方部分或同时在两直线的下方部分，只有选项C 符合题意．5．(2022·长沙模拟)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －y ≥0，x ≤1，则z ＝2x －y 的取值范围是( )A ．[0,3]B ．[1,3]C ．[－3,0]D ．[－3，－1]答案 A解析 作出⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －y ≥0，x ≤1表示的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，x ＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1，即B (1，－1)，化目标函数z ＝2x －y 为y ＝2x －z ，由图可知，当直线y ＝2x －z 过原点时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最小值，为2×0－0＝0；当直线y ＝2x －z 过点B 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最大值，为2×1－(－1)＝3， ∴z ＝2x －y 的取值范围是[0,3]．6．一小商贩准备用50元钱在某批发市场购买甲、乙两种小商品，甲每件进价4元，乙每件进价7元，甲商品每卖出去1件可赚1元，乙商品每卖出去1件可赚1.8元．该商贩若想获取最大收益，则购买甲、乙两种商品的件数应分别为( ) A ．甲7件，乙3件 B ．甲9件，乙2件 C ．甲4件，乙5件 D ．甲2件，乙6件答案 D解析 设购买甲、乙两种商品的件数应分别x ，y 件，利润为z 元，由题意⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋7y ≤50，x ，y ∈N ，z ＝x ＋1.8y ，画出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，结合实际情况，显然当y ＝－59x ＋59z 经过整点A (2，6)时，z 最大．7．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －6≤0，x ＋y －1≥0，2x －y ＋1≥0，则z ＝y －1x ＋1的最大值是( )A.127 B.12 C ．1 D ．2答案 A解析 作出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，z ＝y －1x ＋1表示可行域中的点(x ，y )与点P (－1,1)的连线的斜率， 由图可知z ＝y －1x ＋1的最大值在A 点取得，由⎩⎪⎨⎪⎧x －6＝0，2x －y ＋1＝0， 得A (6,13)， 所以z max ＝13－16＋1＝127.8．在某校冬季长跑活动中，学校要给获得一、二等奖的学生购买奖品，要求花费总额不得超过200元．已知一等奖和二等奖奖品的单价分别为20元、10元，一等奖人数与二等奖人数的比值不得高于13，且获得一等奖的人数不能少于2人，那么下列说法中错误的是( )A ．最多可以购买4份一等奖奖品B ．最多可以购买16份二等奖奖品C ．购买奖品至少要花费100元D ．共有20种不同的购买奖品方案 答案 D解析 设获得一等奖和二等奖的人数分别为x ，y (x ，y ∈N *)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋10y ≤200，3x ≤y ，x ≥2，作出该不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分(含边界)所示，由图可知，2≤x ≤4,6≤y ≤16，故x 可取2,3,4，故最多可以购买4份一等奖奖品，最多可以购买16份二等奖奖品， 购买奖品至少要花费2×20＋6×10＝100(元)，故A ，B ，C 正确； 当x ＝2时，y 可取6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16，共有11种， 当x ＝3时，y 可取9,10,11,12,13,14，共6种， 当x ＝4时，y 可取12，共1种， 故共有11＋6＋1＝18(种)，故D 不正确．9．已知点(1,1)在直线x ＋2y ＋b ＝0的下方，则实数b 的取值范围是________． 答案 (－∞，－3)解析 因为点(1,1)在直线x ＋2y ＋b ＝0的下方，所以1＋2＋b <0，解得b <－3. 10．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y －2≥0，x －3y ＋6≥0，则2y4x 的最小值为________． 答案 18解析 画出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，2y 4x ＝2y －2x，若使2y －2x 最小，需y －2x 最小． 令z ＝y －2x ，则y ＝2x ＋z ， z 表示直线在y 轴上的截距，根据平移知，当x ＝3，y ＝3时，z ＝y －2x 有最小值为－3， 则2y 4x 的最小值为2－3＝18. 11．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋4≥0，x ＋y －1≥0，x ≤1，若直线y ＝k (x －1)将可行域分成面积相等的两部分，则实数k 的值为________． 答案 －4解析 画出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，其中A (1,6)，B (1,0)，C (－1,2)．由于直线y ＝k (x －1)过定点B (1,0)且将可行域分成面积相等的两部分，所以当直线y ＝k (x －1)过线段AC 的中点D (0,4)时，△ABD 和△BCD 的面积相等， 此时k ＝k BD ＝4－00－1＝－4.12．现某小型服装厂锁边车间有锁边工10名，杂工15名，有7台电脑机，每台电脑机每天可给12件衣服锁边；有5台普通机，每台普通机每天可给10件衣服锁边．如果一天至少有100件衣服需要锁边，用电脑机每台需配锁边工1名，杂工2名，用普通机每台需要配锁边工1名，杂工1名，用电脑机给一件衣服锁边可获利8元，用普通机给一件衣服锁边可获利6元，则该服装厂锁边车间一天最多可获利________元． 答案 780解析 设每天安排电脑机和普通机各x ，y 台， 则一天可获利z ＝12×8x ＋10×6y ＝96x ＋60y ， 线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤10，2x ＋y ≤15，12x ＋10y ≥100，0<x ≤7，0<y ≤5，画出可行域(图略)，可知当目标函数经过(5,5)时，z max ＝780.13．(2022·郑州模拟)已知M (x ，y )是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋y ＋2≥0，y ≤1所表示的平面区域内的任意一点，且M (x ，y )满足x 2＋y 2≤a ，则a 的最小值为( ) A ．3 B ．4 C ．9 D ．10 答案 D解析 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋y ＋2≥0，y ≤1所表示的可行域，如图中的阴影部分(含边界)所示，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋2＝0，y ＝1，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝1，即点A (－3,1)，同理可得B (3,1)，C (0，－2)， 且OA ＝OB ＝10，OC ＝2，x 2＋y 2的几何意义为原点O 与可行域内的点M (x ，y )的距离的平方，由图可知，当点M 与点A 或点B 重合时，OM 取最大值，故x 2＋y 2的最大值为10， ∴a ≥10，即a 的最小值为10.14．已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x ≥a ，x ≤y ，且z ＝2x －y 的最大值是最小值的2倍，则a 等于( ) A.34 B.56 C.65 D.43 答案 B解析 根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，作出直线l ：y ＝2x ，平移直线l ，由图可知，当直线经过点D 时，直线在y 轴上的截距最小， 此时z ＝2x －y 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，x ＝y ，可得D (1,1)， 所以z ＝2x －y 的最大值是1；当直线经过点B 时，直线在y 轴上的截距最大， 此时z ＝2x －y 取得最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，x ＝a ，可得B (a ,2－a )， 所以z ＝2x －y 的最小值是3a －2， 因为z ＝2x －y 的最大值是最小值的2倍， 所以6a －4＝1，解得a ＝56.15．实数对(x ，y )满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0，且目标函数z ＝kx －y 当且仅当x ＝3，y ＝1时取最大值，则k 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ B.⎣⎡⎭⎫－12，1 C.⎝⎛⎭⎫－12，1 D ．(－∞，1]答案 C解析 作出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，其中A (1,2)，B (4,2)，C (3,1)，由z ＝kx －y ，将直线l ：y ＝kx －z 进行平移可得直线在y 轴上的截距为－z ， 因此直线在y 轴上截距最小时，目标函数z 达到最大值． 因为当且仅当l 经过点C (3,1)时，目标函数z 达到最大值， 所以直线l 的斜率应介于直线AC 的斜率与直线BC 的斜率之间， k AC ＝1－23－1＝－12，k BC ＝2－14－3＝1，所以k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－12，1. 16．(2022·宜春模拟)设实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6≥0，x ＋2y －6≤0，y ≥0，则2y 2－xy x 2的最小值是________． 答案 －18解析 作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示，k ＝yx 的几何意义为可行域内的点到原点的斜率， 由图象可知，OA 的斜率最大，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6＝0，x ＋2y －6＝0得A (2,2)， ∴0≤k ≤1，∴2y 2－xy x 2＝2⎝⎛⎭⎫y x 2－y x＝2k 2－k ＝2⎝⎛⎭⎫k －142－18≥－18⎝⎛⎭⎫当且仅当k ＝14时，取到最小值.。
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不等式、推理与证明训练题（十七）一、选择题：1．若02522>-+-x x ，则221442-++-x x x 等于（ ）A ．54-xB ．3-C ．3D ．x 45- 2．若122+x ≤()142x -，则函数2x y =的值域是（ ）A ．1[,2)8B ．1[,2]8C ．1(,]8-∞ D ．[2,)+∞ 3．设11a b >>>-,则下列不等式中恒成立的是 ( )A ．ba 11< B ．b a 11> C ．2a b > D ．22a b >4．如果实数,x y 满足221x y +=,则(1)(1)xy xy +-有 ( )A ．最小值21和最大值1 B ．最大值1和最小值43C ．最小值43而无最大值 D ．最大值1而无最小值5．如果221x y +=,则34x y -的最大值是 ( ) A ．3 B ．51C ．4D ．56．在十进制中01232004410010010210=⨯+⨯+⨯+⨯，那么在5进制中数码2004折合成十进制为 （ ）A.29B. 254C. 602D. 2004 7．设集合等于则B A x x B x x A ,31|,21|⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<=（ ） A ．⎪⎭⎫⎝⎛2131， B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，21C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-，，3131 D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-，，21318．下列表述正确的是（ ）。
①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理。
A ．①②③；B ．②③④；C ．②④⑤；D ．①③⑤。
9．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图 的规律拼成若干个图案：则第n 个图案中 有白色地面砖( )块.A.4n+2B.3n+2C.4n+1D.3n+1 10．关于x 的不等式22155(2)(2)22x x k k k k --+<-+的解集是 ( )A ．12x >B ．12x < C ．2x > D ．2x <11．已知函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象经过点(1,3)-和(1,1)两点, 若01c <<,则a 的取值范围是 ( )A ．(1,3)B ．(1,2)C ．[)2,3D ．[]1,312．若方程05)2(2=++++m x m x 只有正根，则m 的取值范围是（ ）． A ．4-≤m 或4≥m B ． 45-≤<-m C ．45-≤≤-m D ． 25-<<-m13．若()a ax x x f ++-=12lg )(2在区间]1,(-∞上递减，则a 范围为（ ） A ．[1,2) B ． [1,2] C ．[)1,+∞ D ． [2,)+∞ 14．不等式22lg lg x x <的解集是 ( )A ．1(,1)100 B ．(100,)+∞ C ．1(,1)100(100,)+∞ D ．(0,1)(100,)+∞ 15．若不等式2log 0a x x -<在1(0,)2内恒成立,则a 的取值范围是 ( )A ．1116a ≤<B ．1116a <<C ．1016a <≤D ．1016a << 16．若不等式201x ax a ≤-+≤有唯一解,则a 的取值为( ) A ．0 B ．2 C ．4 D ．617．不等式组131y x y x ≥-⎧⎪⎨≤-+⎪⎩的区域面积是( )A ．12 B ．32C ．52D ．1 18．可行域（如图）为四边形ABCD 的内部（包括边界），其中 A （2，1），B （4，1），C （3，3），D （0，3），目标函数y ax z +=取最大值的最优解是无穷多个时，实数a 的值为（ ） A. 0 B. 2C. 1或2D. 0或2二、填空题：19．设函数23()lg()4f x x x =--，则()f x 的单调递减区间是 。
20．当=x ______时，函数)2(22x x y -=有最_______值，且最值是_________。
21．设实数,x y 满足2210x xy +-=，则x y +的取值范围是___________。
22．若121log a x a -≤≤的解集是11[,]42,则a 的值为___________。
23．当02x π<<时，函数21cos 28sin ()sin 2x xf x x++=的最小值是________。
24．设,x y R +∈ 且191x y+=,则x y +的最小值为________.25．不等式组222232320x x x x x x ⎧-->--⎪⎨+-<⎪⎩的解集为__________________。
26．不等式122log (21)log (22)2x x +-⋅-<的解集是_______________。
27．若0,2y x π<≤<且tan 3tan ,x y =则x y -的最大值为________.28．设0≠x ，则函数1)1(2-+=xx y 在x =________时，有最小值__________。
290xx≥的解集是________________。
30．已知变量x,y 满足约束条件2y -x 4,-2y x 1≤≤≤+≤。
若目标函数y ax z +=（其中0a >）仅在点（3，1）处取得最大值，则a 的取值范围为_________。
三、解答题：31．解不等式 （1）2(23)log (3)0x x --> （2）2232142-<---<-x x32．设函数1)(2++=x bax x f 的值域为[]4,1-，求b a ,的值。
33．（1）求y x z +=2的最大值，使式中的x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤.1,1,y y x x y（2）求y x z +=2的最大值，使式中的x 、y 满足约束条件2212516x y +=34．已知集合23(1)23211331|2,|log (9)log (62)2x x x A x B x x x ---⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<=-<-⎨⎬⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭⎩⎭,又{}2|0A B x x ax b =++<,求a b +等于多少？35．若函数()log (4)(0,1)a af x x a a x=+->≠且的值域为R ，求实数a 的取值范围。
不等式、推理与证明训练题（十七）参考答案一、选择题：1．C 212520,(21)(2)0,22x x x x x -+->--<<<，22212221423x x x x x -=-+-=-+-=2．B 122+x ≤2421()24x x --=,221142,230,31,28x x x x x y +≤-+-≤-≤≤≤≤3．C 对于A ，B ，倒数法则：11,0a b ab a b>>⇒<，要求,a b 同号， 2111,1b b a >>-⇒<>而，对于22a b >的反例：21.1, 1.21,0.8,2 1.6a a b b ====4．B 设2221cos ,sin ,11sin 24x y x y θθθ==-=-5．D 设cos ,sin ,343cos 4sin 5sin()5x y x y θθθθθϕ==-=-=+≤ 6．B 0123200445050525254=⨯+⨯+⨯+⨯= 7．B12112,0,,02x x x x x -<>><或 8．D9．A 10．B225312(1)1,1,222k k k x x x -+=-+>∴<-< 11．B 3,2,2,021,121a b ca c c a aa abc -+=⎧+==-<-<<<⎨++=⎩ 12．B 21212(2)4(5)0(2)0,5450m m x x m m x x m ⎧∆=+-+≥⎪+=-+>-<≤-⎨⎪=+>⎩ 13．A 令(]221,,1u x ax a =-+--∞是的递减区间，得1a ≥而0u >须恒成立，∴min 20u a =->，即2a <，∴12a ≤<；14．D 22lg lg ,lg 2lg 0,100,01x x x x x x <><><<或或15．A 2log a x x <在1(0,)2x ∈恒成立，得01a <<，则2maxmin 1111log ,(log )log 142416a a a x xx a ≥==≥⇒≤<。
（另可画图做） 16．B 当20x ax a -+=仅有一实数根，240,04a a a a ∆=-===或，代入检验，不成立或21x ax a -+=仅有一实数根，2440,2a a a ∆=-+==，代入检验，成立！17．D 画出可行域18．D 当直线y ax z +=的斜率等于AB BC k k 或时最大值的最优解是无穷多个。
二、填空题： 19．11,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭23310,422x x x -->-<<，递减则12x ≥-， ∴1122x -≤<20．1,,1大± 224222(2)2(1)1y x x x x x=-=-+=--+，当21x =时，max 1y =21．(][)+∞-∞-,11, 2222211,()1,11x xy y y x y x y x y ++=+≥+≥+≥+≤-或 22．2 111211111log ,()(),(),22222aa a a x a x a ---≤≤≤≤== 23．4 2221cos 28sin 2cos 8sin 1()4tan 4sin 22sin cos tan x x x x f x x x x x x+++===+≥= 24．16 199()()101016x yx y x y x y y x+=++=++≥+= 25．(1,3) 222301313,13(2)(1)01020x x x x x x x x x x ⎧--<-<<-<<⎧⎧⎪⎪⎪⇒⇒<<⎨⎨⎨+->->+->⎪⎪⎩⎩⎪⎩ 26．53422(log ,log ) 2222log (21)log [2(21)]2,log (21)[1log (21)]2x x x x -⋅-<-⋅+-< 2222log (21)log (21)20,2log (21)1x x x -+--<-<-<22155212,23,log log 3444x x x <-<<<<< 27．6π 2t a n t a n 2t a n 23t a n ()11t a n t a n 13t a n 33tan tan x y y x y x y y y y--===≤=+++ 而0,022y x x y ππ<≤<<-<，tan()36x y x y π-≤⇒-≤ 28．1,3± 22111122()4()13x x x y x x x x x+≥+≤-⇒+≥⇒=+-≥或 29．[)(]2,00,3 - 当0x >10≥，得02x <≤；当0x <10≥，得0x <；)(]0,2x ⎡∴∈⎣30．（1，∞+） 由已知变量满足约束条件4y x 1≤+≤，2y x 2≤-≤-。