量子力学答案(第二版)苏汝铿第三章课后答案3.17-3#11

1/ 2 iE0t / sin 2 x eiE2t / cos 0 x e
(2)可能测到的能量为 E0
p cos 2 1 5 cot 2 和E2 = ，相对概率为 0 2 p2 sin 2 2
（3）由于 H 0 x 和H 2 x 都是 x 的偶函数，而且 x, 0 又仅为 0 x 与 2 x 的组
n
其中 an n* x x, 0 dx

因此 x, t
a x e
n n n
iEn t /
对于谐振子 n x N n e
x / 2
2
H n x
2 2
an dxN n e
2 2
x /2
H n x Ae
2
U 0 的情况下，减少势阱宽度 a 使满足不等式：a 2
空间位置将越来越精确（ x
mU 0
初看起来束缚在势阱中的粒子的
a ）然而在任何情况下，动量的不确定度 p 应限制在数量级
mU 0 内，于是有不等式 px mU 0 a ，这个结果显然和不确定性原理矛盾，试指
出上述论证中的错误，并求出粒子坐标和动量不确定度的乘积。 解：势场 U x
x, t H x, t t
iEnt /
由于 H 不显含时间 t , 则有 n x, t n x e 而 H n x En n x 用能量本征函数展开 x, 0
x, 0 an n x
2n
U 0 0 ，定性讨论能量的本征值的分布和相应的本征函数的宇称，用不确定性原理估计基
态能量的数量级，并讨论 n=1 和 n 两种特殊情况。 解：由束缚态和一维薛定谔方程的普遍性质可知，U(x)中有无限多个束缚态，且各束缚态无 简 并 ， 能 量 本 征 值 是 分 立 的 ， 第 m 个 激 发 在 E<U(x) 区 域 应 有 m 个 节 点 ， 则 有
3.17
在
t=0
时 ， 处 在 谐 振 子 势 U
2
1 2 kx 中 的 一 颗 粒 子 的 波 函 数 是 2
x, 0 Ae x

2
/2
sin cos H 0 x 2 2 H 2 x 其 中 和 A 是 实 常 数 ，
px
2b
，
2
b
x
2
1 b E U0 2m 2b a
2n
2 a 2n 2n2 b 2 n 1 dE 2 nU 0, b 求极值。即 0有 0 4mb3 a2n db 8mnU 0
1
U 2 a 2 n n 1 所以 E n 1 20 a n 8mnU 0
x 不会变小反而会变大。
N＝1 时， U x 为邪振子势 U x 上式给出 E
n
U 0 x2 1 m 2 x 2 a2 2
1 ，与结果一致 2
2 2
n 时， U x 为无限深方势阱，上式给出 E
8ma 2
精确结果为
2
2ma 2
3.19 考虑一维对称势阱中粒子，熟知，在这种情形下至少有一个能级。现在在给定势阱深度
x 2 e [ H n x ] dx
2
1
2
mk ，且厄米多项式归一化条件是

2
2n n !

(i)写出 x, t ； （ii）求出 x, t 态中测量粒子的能量的可能值和相对概率； （iii）求 t=0 时的 x ，并问 x 是否随时间 t 变化？ 解： （1）系统的薛定谔方程为 i
0 U 0
x a / 2 x a / 2
由于在 x a / 2 处， 势场 U 0 有限， 它并不是无限大的， 所以粒子完全有可能在 x a / 2 的 位子出现，也就是说粒子并不是一定在 x a / 2 范围内运动，所以 a 减小时说粒子的空间 位置越来越精确的说法错误；相反地，随着 a 的减小，粒子出现在阱外的几率会越来越大，
x /2
sin cos H 0 x 2 2 H 2 x
A N0 cos n 0 N 2 2 2 sin n 2 2 2
所以有 x, t A 2
合，因此有 x,0 x,0 , 故 t=0 时 x * x,0 x x,0 dx 0

并且 x 不随时间变化。 3.18 考虑一质量为 m 的粒子在一维势场 U x U 0
x 中运动，其中 n 是正整数， a
x k m 1
由维里定理
，随着 m 的增大， x 也增大
2 2n
2 T 2n U 得 k x
2n
(m 1) k
2n
2mE 其中 2 k

所以 E k m+1 n 1
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
即一般来说随着 n 增加，能级间隔也增加。因为V x V x ，故所有的本征态都有确定 宇称，基态和第二，四· · ·激发态宇称为偶，其余本征态宇称为奇。 下面用不确定原理估计基态能量