解直角三角的应用(1)--仰角与俯角教案
初中数学_解直角三角形的应用——仰角俯角教学设计学情分析教材分析课后反思
《解直角三角形的应用-----仰角、俯角》教学设计授课人：班级：一、教学任务分析二、教学流程安排视频导入学习新知例题讲解知识应用课堂小结布置作业通过观察火箭击中空中目标，引入本节课主题，增强学生学习数学的兴趣，增加学生的爱国热情，对学生进行德育教育.结合生活实际,让学生了解仰角和俯角概念.并会在简单的几何图形中，认识仰角和俯角，结合三角函数解决简单的应用问题.通过具体例题教学帮助学生如何分析问题、解决问题，归纳解题方法.通过习题考察学生对本节课的掌握情况，体会分析问题的方法，如何用解直角三角形的方法解决实际问题.由学生总结本节课收获.分层次布置作业，有必做题和选做题.三、教学过程设计视频导入师生行为设计意图火箭筒要想准确打中空中目标，对视线和水平线的夹角有精确地要求，这就是本节课将要学习的《解直角三角形的应用---仰角、俯角》师生观看视频，通过实际问题引入课题.数学来源于生活，学会数学知识能解决生活问题，同时对学生进行德育教育.学习新知师生行为设计意图仰角和俯角在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角. 与学生一起学习仰角和俯角的概念，让学生从复杂图中寻找仰角和俯角学习概念、认识概念学以致用（1）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， BC=2，从B 点看A点的仰角为60°, 则AC=____(2)如图，A点看B点的俯角为α，BC=m,则AC=____(3)如图，A，B两点在河的两岸，要测量这两点之间的距离，测量者在与A同侧的河岸边选定一点C，测出AC=a 米，∠BAC=90°，∠ACB=40°，则AB=____ 学生口答解题思路，总结解题方法结合生活实际认识数学条件，会将题目文字条件转化为数学条件例题讲解师生行为设计意图例1: 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高?（结果取整数）3≈1.732学生归纳解题方法1、找出与问题有关的直角三角形，或通过作辅助线构造有关的直角三角形。
初中数学九年级《解直角三角形及其应用——仰角和俯角》公开课教学设计
解直角三角形及其应用——仰角和俯角教学目标： 1.了解仰角、俯角的概念。
2.将某些实际问题的数量关系，归结为直角三角形知识元素之间的关系，从而利用所学知识解决实际问题。
复习：1.解直角三角形指什么？ 解直角三角形主要依据什么？(1)边角之间关系：(2)三边之间关系 a 2 +b 2 =c 2 (勾股定理) (3)锐角之间关系 ∠A+∠B=90°．2.已知：如图，△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝135°，AC ＝10cm ．求AB 及BC 的长．新授： 活动一 1、填空：测量时，从下往上看视线与水平线所成的锐角叫做 ， 从上往下看视线与水平线的夹角叫做 。
请在右图图中相应的位置分别标明“仰角” 和“俯角”`2. 如图，某飞机于空中A 处探测到目标C ，此时飞行高度AC ＝1200米，从飞机上看地面控制点B 的俯角α＝20°，求飞机A 到控制点B 的距离．（精确到1米,sin20°≈0.3 ，cos20°≈0.9 tan20°≈0.4）的对边的邻边；的邻边的对边；斜边的邻边；斜边的对边αααααααααα∠∠=∠∠=∠=∠=cot tan cossinA BC45°30°活动二1. 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角α为30°，看这栋高楼底部的俯角β为60°，热气球与高楼的水平距离为120m ，这栋高楼有多高（结果用根号表示）2.要在C 处建一所学校，小李沿着东西方向的公路AB 以50 m/min 的速度向正东方向行走，在A 处测得点∠CAB=30°，20min 后他走到B 处，测得点∠CBA=45°，若为防止公路上噪音污染，建筑要求到公路的距离不能少于300米，问在C 处建一所学校能否符合要求。
（已知 3 ≈1.7）小结：本堂课你学到哪些知识？检测反馈：1.从高出海平面55米灯塔A处搜到一艘帆船B的求救信号，从灯塔看帆船的俯角为21°，求此时帆船到灯塔的距离BC的长度是多少?（已知sin21°≈0.4 cos21°≈0.9 tan21°≈0.4）2.如图，小明想测量塔CD的高度。
三角函数应用举例(1)仰角俯角
28.2.2解直角三角形的应用（仰角和俯角）教案
中，
D
设计意图：通过分析题意，引导学生构造直角三角形，把已知条件转化到两个直角三角形里，根据已知的边角条件，恰当地选择锐角三角函数关系，解决实际问题，让学生初步认识到解直角三角形在实际问题中的应用；同时通过
一方面让学生进一步认识到解直角三角形在实际问题中的应用，另一方面，让学生意识到通过设未知数，建立方程也是解决实际问题时常用到
处，看另一栋楼楼顶的俯角为30°，看这
BC有多高？
A
E
尽管实际问题的背景发生了变化，
C E。
第1课时 仰角、俯角与解直角三角形教案
第1课时仰角、俯角与解直角三角形本课时是在熟练掌握解直角三角形的基础上探究仰、俯角问题，常用来解决实际生活中的测量问题，利用其解决实际问题的一般过程是：“实际问题——数学问题——数学问题的答案——实际问题的答案”．在教学过程中要注意让学生结合具体问题，并且引导学生通过作垂线来构造直角三角形，同时将这一过程与运用方程、函数、不等式解决实际问题的过程进行比较，让学生进一步体会运用数学知识解决实际问题的一般过程．【情景导入】小明班的教室在教学楼的二楼，一天，他站在教室的窗台前看操场上的旗杆，心想：站在二楼上可以利用解直角三角形测得旗杆的高吗？他望着旗杆顶端和旗杆底部，可以测得视线与水平视线之间的夹角各一个，但是，这两个角怎样命名区别呢？如图，∠CAD，∠BAD在测量中各叫什么角呢？【说明与建议】说明：用来源于学生身边的问题吸引他们的注意力，激发他们的好奇心，体会数学来源于生活，并服务于生活，诱发学生对新知识的渴求．建议：两个学生一组，一个学生观察物体，另一个学生根据他观察的视线画出示意图，教师选择合适的时机引出仰角和俯角的概念．命题角度1 利用仰角解决实际问题根据题意，画出示意图，确定已知角，构造直角三角形，再通过解直角三角形解决问题．1．(达州中考)小明为测量校园里一棵大树AB的高度，在树底部B所在的水平面内，将测角仪CD竖直放在与B相距8 m的位置，在D处测得树顶A的仰角为52°.若测角仪的高度是1 m，则大树AB的高度约为11m.(结果精确到1 m．参考数据：sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28)命题角度2 利用俯角解决实际问题根据题意和俯角的位置，构建直角三角形，设出相应的线段，通过解直角三角形构建一次方程，解方程并回答相应的问题．2．(广西中考)如图，从楼顶A处看楼下荷塘C处的俯角为45°，看楼下荷塘D处的俯角为60°，已知楼高AB为30米，则荷塘的宽CD为(30－103)米(结果保留根号)．命题角度3 综合利用仰角、俯角解决实际问题通过仰角和俯角添加辅助线，构建直角三角形，解直角三角形，解决实际问题．3．(阜新中考)如图，甲楼高21 m，由甲楼顶看乙楼顶的仰角是45°，看乙楼底的俯角是30°，则乙楼高度约为57m(结果精确到1 m，3≈1.7)．三角学的历史早期三角学不是一门独立的学科，而是依附于天文学，是天文观测结果推算的一种方法，因而最先发展起来的是球面三角学．古希腊、印度、阿拉伯数学中都有三角学的内容，可大都是天文观测的副产品．例如，古希腊门纳劳斯(Menelaus of Alexandria，公元100年左右)著《球面学》，提出了三角学的基础问题和基本概念，特别是提出了球面三角学的门纳劳斯定理；50年后，另一个古希腊学者托勒密著《天文学大成》，初步发展了三角学．而在公元499年，印度数学家阿耶波多也表述出古代印度的三角学思想；其后的瓦拉哈米希拉(Varahamihira，约505―587) 最早引入正弦概念，并给出最早的正弦表；公元10世纪的一此阿拉伯学者进一步探讨了三角学．当然，所有这些工作都是天文学研究的组成部分．直到纳西尔丁(Nasīral－Dīn al－Tūsī，1201—1274)的《横截线原理书》才开始使三角学脱离天文学，成为纯粹数学的一个独立分支．而在欧洲，最早将三角学从天文学独立出来的数学家是德国人雷格蒙塔努斯(Regiomontanus，1436－1476)．雷格蒙塔努斯的主要著作是1464年完成的《论各种三角形》．这是欧洲第一部独立于天文学的三角学著作．全书共5卷，前2卷论述平面三角学，后3卷讨论球面三角学，是欧洲传播三角学的源泉．雷格蒙塔努斯还较早地制成了一些三角函数表．雷格蒙塔努斯的工作为三角学在平面和球面几何中的应用建立了牢固的基础．他去世以后，其著作手稿在学者中广为传阅，并最终出版，对16世纪的数学家产生了相当大的影响，也对哥白尼等一批天文学家产生了直接或间接的影响．课题28.2.2 第1课时仰角、俯角与解直角三角形授课人素养目标1.进一步掌握解直角三角形的方法．2．理解仰角、俯角的概念，并能通过作高构造直角三角形进而解直角三角形.3．运用数形结合思想，把实际问题转化为数学问题，培养学生的自主探究精神，并提高合作交流的能力，培养学数学、用数学的思想.教学重点1.能够灵活应用边与边、角与角、边与角之间的关系解直角三角形．2．能将某些与仰角、俯角有关的实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识解决实际问题.教学难点1.如何把实际问题转化为数学问题．2．灵活应用解直角三角形及仰角、俯角等知识解决实际问题.授课类型新授课课时教学步骤师生活动设计意图回顾教师提问：1．解直角三角形的主要依据是什么？学生回答：两锐角之间的关系、三边之间的关系、边角之间的关系．教师提问：2．解直角三角形主要有哪两种类型？回顾以前所学内容，为本节课的教学内容做好准备.学生回答：(1)已知两条边；(2)已知一条边和一个锐角(或其锐角三角函数值).活动一：创设情境、导入新课【课堂引入】2012年6月18日，“神舟九号”载人航天飞船与“天宫一号”目标飞行器成功实现交会对接．“神舟九号”与“天宫一号”的组合体在离地球表面343 km的圆形轨道上运行，如图，当组合体运行到地球表面P点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与P点的距离是多少(地球半径约为6 400 km, π取3.142，结果取整数)?通过实际问题，激发学生的学习兴趣，把实际问题转化为数学问题，通过求解，初步体会解直角三角形的内涵，引入课题.活动二：实践探究、交流新知1.解决问题：师生活动：教师引导学生分析问题，将实际问题转化为数学问题，并画出示意图．分析问题：从组合体中能直接看到的地球表面的最远点，是视线与地球相切时的切点．如图，本例可以抽象为以地球中心为圆心、地球半径为半径的⊙O的有关问题，其中点F是组合体的位置，FQ是⊙O的切线，切点Q是从组合体中观测地球时能直接看到的最远点，PQ︵的长就是地球表面上P，Q两点间的距离．为计算PQ︵的长需先求出∠POQ(即α)的度数．2．仰角、俯角的应用：例题：热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为120 m．这栋楼有多高(结果取整数)?师生活动：教师带领学生回顾复习题中涉及的仰角、俯角等概念，并引导学生从不同角度思考问题．仰角与俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角．设置的实际问题都是从现实生活中提取出来而又高于现实的，既丰富了学生的知识，使他们更有兴趣学习，又让学生进一步经历用三角函数解决实际问题的过程，提高学生运用所学知识解决实际问题的能力.如图，仰角α＝30°，俯角β＝60°.在Rt△ABD中，α＝30°，AD＝120 m，所以可以利用解直角三角形的知识求出BD；类似地，可以求出CD，进而求出BC的长度.活动三：开放训练、体现应用【典型例题】例1从一艘船上测得海岸上高为42米的灯塔顶部的仰角为30°时，船离灯塔的水平距离是(A)A．423米 B．143米 C．21米 D．42米师生活动：引导学生能借助仰角构造直角三角形，并分析已知角的对边求邻边，可以利用正切函数来解决．例2如图，小明同学在民族广场A处放风筝，风筝位于B处，风筝线AB长为100 m，从A处看风筝的仰角为30°，小明的父母从C处看风筝的仰角为50°.(1)风筝离地面多少米？(2)A，C两处相距多少米？(结果保留小数点后一位，参考数据：sin30°＝0.5，cos30°≈0.866 0，tan30°≈0.577 4，sin50°≈0.776 0，cos50°≈0.642 8，tan50°≈1.191 8)解：提示：过点B作BD⊥AC于点D.(1)风筝离地面50 m.(2)A，C两处相距约128.6 m.师生活动：学生先做，教师再进行讲解，重点总结并归纳构造直角三角形的辅助线作法．【变式训练】1．2020年7月23日，我国首次火星探测“天问一号”探测器，由长征五号遥四运载火箭在中国文昌航天发射场发射成功，正式开启了中国的火星探测之旅．运载火箭从地面O处发射，当火箭到达点A时，地面D处的雷达站测得AD＝4 000米，仰角为30°.3秒后，火箭直线上升到达点B处，此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为45°.O，C，D在同一直线上，已知C，D两处相距460米，求火箭从A到B处的平均速度．(结果保留整数，参考数据：3≈1.732，1.例1主要考查直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，培养学生解决实际问题的能力．2．例2的解决需要通过添加恰当的辅助线构造直角三角形，将实际问题转化为解直角三角形问题解决，可以培养学生把实际问题转化成数学问题，灵活应用知识解直角三角形的能力．3．变式训练的设置主要用来提升学生分析问题，并将实际问题转化为数学问题的灵活性.2≈1.414)解：由题意，得AD ＝4 000米，∠ADO ＝30°，CD ＝460米，∠BCO ＝45°， 在Rt △AOD 中，∵AD ＝4 000米，∠ADO ＝30°，∴OA ＝12AD ＝2 000(米)，OD ＝AD ·cos30°＝32AD ＝2 0003(米)．在Rt △BOC 中，∠BCO ＝45°，∴OB ＝OC ＝OD －CD ＝(2 0003－460)米．∴AB ＝OB －OA ＝2 0003－460－2 000≈1 004(米)． ∴1 004÷3≈335(米/秒)．答：火箭从A 到B 处的平均速度约为335米/秒．2．如图，为了测得某建筑物的高度AB ，在C 处用高为1米的测角仪CF ，测得该建筑物顶端A 的仰角为45°，再向建筑物方向前进40米，又测得该建筑物顶端A 的仰角为60°.求该建筑物的高度AB.(结果保留根号)解：设AM ＝x 米，在Rt △AFM 中，∠AFM ＝45°， ∴FM ＝AM ＝x.在Rt △AEM 中，tan ∠AEM ＝AMEM ，则EM ＝AM tan ∠AEM ＝33x ，由题意，得FM －EM ＝EF ，即x －33x ＝40， 解得x ＝60＋20 3. ∴AB ＝AM ＋MB ＝61＋20 3.答：该建筑物的高度AB为(61＋203)米.活动四：课堂检测【课堂检测】1．如图，要得到从点D观测点A的俯角，可以测量(A)A．∠DAB B．∠DCE C．∠DCA D．∠ADC2．如图，在综合实践活动中，小明在学校门口的点C处测得树的顶端A仰角为37°，同时测得BC＝12米，则树的高AB (单位：米)为(C)A.12sin37°B.12tan37°C．12tan37° D．12sin37°3．如图，AB是一座办公大楼，一架无人机从C处测得楼顶部B的仰角为60°，测得楼底部A的俯角为37°，测得与大楼的水平距离为40米，则该办公大楼的高度是99米．(结果保留整数，参考数据：3≈1.73，sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75)4．我国于2019年6月5日首次完成运载火箭海上发射，这标志着我国火箭发射技术达到了一个崭新的高度．如图，运载火箭从海面发射站点M处垂直于海面发射，当火箭到达点A处时，海岸边N处的雷达站测得点N到点A的距离为8千米，仰角为30°.火箭继续直线上升到达点B处，此时海岸边N处的雷达测得B处的仰角增加15°，求此时火箭所在点B处与发射站点M处的距离．(结果精确到0.1千米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)通过设置课堂检测，进一步巩固所学新知，同时检测学习效果，做到“堂堂清”.解：由题意，得∠AMN＝90°，∠ANM＝30°，∠BNM＝45°，AN＝8千米，在Rt△AMN中，MN＝AN·cos30°＝8×32＝43(千米)．在Rt△BMN中，BM＝MN·tan45°＝43≈6.9(千米)．答：此时火箭所在点B处与发射站点M处的距离约为6.9千米.课堂小结1.课堂总结：(1)什么是仰角和俯角？(2)在解答实际问题的过程中，你学会了哪些解题技巧或方法？还有哪些疑惑？教学说明：教师总结仰、俯角问题转化为解直角三角形问题的关键步骤：(1)画图；(2)作垂．2．布置作业：教材第76页练习第1，2题.通过课堂小结的形式，使学生能够对本课时所学知识进行整理，同时明确学习重点.。
人教版数学九年级下册28.2解直角三角形-仰角、俯角问题教案
另外，小组讨论和实践活动环节，学生的参与度很高，他们积极讨论，热烈交流，这让我很欣慰。但我也观察到，有些小组在分享成果时表达不够清晰，这可能是他们在整理思路和语言表达上还存在不足。在以后的教学中，我需要加强对学生表达能力的训练，鼓励他们更加自信、条理清晰地表达自己的观点。
（1）通过实际情境引入仰角、俯角的概念；
（2）掌握正切函数的定义，并应用于仰角、俯角问题的求解；
（3）通过例题讲解和练习，让学生熟练运用解直角三角形的方法解决实际生活中的仰角、俯角问题。
二、核心素养目标
1.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提高数学建模素养；
2.通过对正切函数的运用，增强学生的数学运算和数据分析能力；
五、教学反思
在今天的课程中，我们探讨了解直角三角形中的仰角、俯角问题。我发现学生们在理解仰角、俯角概念上并没有太大困难，他们对于这些新知识充满了好奇。但在实际应用上，特别是在构建直角三角形模型和运用正切函数时，部分学生遇到了一些挑战。
首先，我注意到在案例分析环节，有些学生在确定直角三角形的边长和角度时显得犹豫不决。这说明他们对于如何将实际问题转化为数学模型还不够熟练。在未来的教学中，我需要提供更多的实际例子，让学生有更多的机会去练习和体会这一过程。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解仰角与俯角的基本概念。仰角是我们从水平线向上看时，视线与水平线所形成的角；俯角则是我们从水平线向下看时，视线与水平线所形成的角。它们在测量、建筑等领域有着广泛的应用。
解直角三角形的应用之仰角、俯角问题说课材料
解直角三角形的应用之仰角、俯角问题说课材料解直角三角形的应用之仰角、俯角问题说课稿一、教材分析：解直角三角形的应用是在学生熟练掌握了直角三角形的解法的基础上进行教学，它是把一些实际问题转化为解直角三角形的数学问题，对分析问题能力要求较高，这会使学生学习感到困难，在教学中应引起足够的重视。
本节课主要内容是通过认识仰角、俯角的意义，并结合解直角三角形的基本理论知识去解决生活中的简单实际问题，它是在学习了"锐角三角函数、解直角三角形的条件、方法"的基础上进一步深入教学，使学生能联系新旧知识学有所用。
二、学情分析：（一）学生已具备的知识和技能学生已经学习了二次根式的运算，方程的解法，全等三角形，相似三角形等相关知识，特别是前面锐角三角函数知识的运用，这些都为解直角三角形的应用的学习打下了一定的基础。
（二）学生有待提高的知识和技能由于学生计算能力较差，分析问题能力，将实际问题抽象为数学问题的能力，“数形转化”的能力能力较弱，因此在本节课中特别准备了一些题型相同或相近的问题，帮助学生提升分析问题的能力和灵活应用知识的能力和实数运算的能力。
三、教学方法：先学后教，引导发现，讲透练实四、学习方法：小组合作，探索发现，总结整合五、教学过程：自学讲解（一）导入以复习解直角三角形的相关知识导入，并设计了一道纯数学知识的解直角三角形练习。
设计意图就是为了起到承上启下的作用，为新知打开突破口。
（二）新授1.自学环节：由于教材上的例题比较简单，所以我将例题设计为自学内容，让学生通过自学，对例题中所涉及的此类型问题的解题思路和方法有一个初步感知，然后通过小组讨论来尝试完成我设计的同类型问题（例1）。
设计意图：想尽可能的凸显学生的主体作用，将本节课的重点通过学生的活动自主完成。
建立解题模型，促使学生划归能力和思想的形成。
同时培养学生自学能力和合作协同能力。
2.讲授环节：变式1是在例1的基础上进行的改编，难度有所增加，思路与之前的例题也有所不同，同时还要结合方程的思想来解答。
九年级数学上册《仰角与俯角》教案、教学设计
（二）过程与方法
1.利用情境导入法，通过生活中的实例引出仰角与俯角的概念，激发学生的学习兴趣；
2.采用直观演示法，通过实物模型、图片等展示仰角与俯角，帮助学生形成直观的认识；
3.运用任务驱动法，设计丰富的教学活动，让学生在探究、实践过程中掌握仰角与俯角的性质和应用；
（3）运用量角器、三角板等工具，测量并记录身边的仰角与俯角，分析它们的特点。
2.选做题：
（1）探究题目：在三角形中，如何求解未知仰角与俯角？请给出解题步骤并举例说明；
（2）拓展题目：结合其他学科知识，探讨仰角与俯角在物理学、工程学等领域的应用。
作业要求：
1.认真完成必做题，选做题可根据自己的兴趣和实际情况进行选择；
2.作业过程中，注意书写规范，保持卷面整洁；
3.遇到问题，及时与同学、老师沟通交流，提高解决问题的能力；
4.作业完成后，认真检查，确保无误。
作业批改与反馈：
1.教师将及时批改作业，给予评价和指导；
2.针对作业中出现的共性问题，教师在课堂上进行讲解和解答；
3.鼓励学生互相批改作业，取长补短，共同提高；
5.采用分层教学策略，针对不同学生的学习需求，设计难易程度不同的练习题，使每个学生都能在原有基础上得到提高。同时，注重课后辅导，及时解答学生的疑问。
6.强化课堂小结，通过师生互动、生生互动，总结本节课所学知识，形成知识体系。
7.注重评价与反馈，采用多元化评价方式，关注学生在知识掌握、能力提升、情感态度等方面的全面发展。
c.教师点评，强调重点、难点，纠正错误；
d.布置课后作业，巩固所学知识。
五、作业布置
为了巩固本节课所学知识，提高学生对仰角与俯角的理解和应用能力，特布置以下作业：
冀教版初中数学九年级上册26.4解直角三角形的应用仰角俯角教学设计
问题：请计算这座山丘大约有多高？
4.思考反思题：请学生回顾本节课的学习过程，总结自己在解决问题时遇到的困难和收获，以及在学习过程中对解直角三角形方法的理解和感悟。
2.案例分析：每个小组选取一个实际案例，共同分析问题，提出解决方案。
3.小组分享：各小组代表分享讨论成果，其他小组给予评价和补充。
4.教师指导：在学生讨论过程中，教师巡回指导，解答学生的疑问，引导学生深入思考。
（四）课堂练习
1.设计练习题：针对本节课所学内容，设计不同难度的练习题，让学生独立完成。
2.练习指导：在学生练习过程中，教师给予个别指导，帮助学生巩固所学知识。
2.解直角三角形时，如何将实际问题转化为数学模型，并运用相关定理进行求解。
3.学生在解决实际问题时，对问题的分析、策略选择和计算能力的提高。
（三）教学设想
1.创设生活情境，激发学生兴趣：通过引入生活中的实例，如测量建筑物的高度、确定两地之间的距离等，让学生感受数学在现实生活中的应用，激发学生的学习兴趣。
2.实践应用题：选取生活中的一个实际场景，如测量学校旗杆的高度、计算两栋建筑物之间的距离等，自行设计一个与仰角或俯角相关的问题，并运用所学的解直角三角形的方法解决问题。
要求：学生需要详细记录问题解决的过程，包括建立数学模型、选择合适的求解方法、计算步骤以及最终答案。
3.提高拓展题：针对课堂上所学的内容，设计一道综合性的应用题，要求学生不仅需要求解直角三角形，还要结合其他数学知识，如勾股定理、相似三角形的性质等，来解决问题。
解直角三角形的应用之仰角、俯角问题学案
武安市第二中学解直角三角形的应用之仰角、俯角问题 学案学习目标：理解仰角、俯角的意义，准确运用仰角、俯角来解决实际问题，提高学生的解题能力。
一、温故知新 （同学们，准备好了吗？起航了！）1、如图，在Rt ⊿ABC 中，∠C=90°，∠B=30°,BC=12，求AB 的长。
2、如图，在⊿ABC 中，∠BAD=45°, ∠CAD=60°AD ⊥BC 于D 点，AD=18， 求BC 的长。
这是两道纯数学问题，那么，把它放到现实情境中会是什么样的呢？ 二、探索交流 （大显身手的机会一定不要错过哟！加油！）自学课本88页例4。
三、当堂训练 （相信自己，用事实证明自己——我能行！）1、（2012•昆明）如图，AB 和CD 是同一地面上的两座相距36米的楼房,在楼AB 的楼顶A 点测得楼顶C 的仰角为45°，楼底D 的俯角为30°，求楼CD 的高。
2、（2011•鄂州）如图，一艘核潜艇在海面下500米A 点处测得俯角为30°正前方的海底有黑匣子信号发出，继续在同一深度直线航行4000米后再次在B 点处测得俯角为60°正前方的海底有黑匣子信号发出，求海底黑匣子C 点处距离海面的深度。
(结果保留根号)四、随堂检测1、（2012•安徽）如图，小明站在A 处放风筝，风筝飞到C 处时的线长为20米，这时∠CBD=60°，若AB= 1.5米。
求此时风筝离地面CE 的高度。
（精确到0.1米，3 ≈1.732）2、（2012•太原）如图，从热气球C 上测得两建筑物A 、B 底部的俯角分别为30°和60°。
如果这时气球的高度CD 为90米．且 点A 、D 、B 在同一直线上，求建筑物A 、B 间的距离。
3、（2011•青岛）某建筑物BC 上有一旗杆AB,由距BC 边40米的D 处观察旗杆顶部A 的 仰角为60°,观察底部B 的仰角为45°,求旗杆的高度。
解直角三角的应用(1)--仰角与俯角教案
九年级上学期数学教学设计 第 课时 年 月 日 第 周 星期4.4解直角三角形的应用（1）--仰角与俯角【课堂类型】新知课【教学目标】1、进一步掌握直角三角形的边角关系。
2、理解仰角与俯角的概念，能在实际问题中识别仰角与俯角。
3、学会把实际问题转化为数学模型---解直角三角形，会利用解直角三角形来解决实际问题。
4、进一步积累数学活动的经验，并在学习活动中与人合作交流。
【重点难点】重点：灵活地运用三角函数关系式解直角三角形。
难点：运用解直角三角形的方法解决实际问题。
学会把实际问题转化为数学模型---解直角三角形。
【教学辅助】多媒体【教学过程】让我了解阅读教材第125-126页的内容，自主探究。
回答下列问题：1、如图在Rt △ABC 中，∠C=90°, ∠A,∠B,∠C 的对边分别记作a ，b,c ，边、角之间有什么关系？（1）三边之间的关系： ；（2）两个锐角之间的关系： ；（3）边与锐角之间的关系：2、举例说一说：什么是仰角，什么是俯角？让我尝试根据以上的探究,自主解决下列问题,并与小组成员交流分享你的学习成果:任务一: 理解仰角、俯角的概念当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角。
任务二:利用仰角、俯角解直角三角形直升飞机在跨江大桥AB 的上方P 点处，此时飞机离地面的高度PO =450米，且A 、B 、O 三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角分别为α=30°，β=45°，求大桥的长AB .变题1：直升飞机在长400米的跨江大桥AB 的上方P 点处，且A 、B 、O 三点在一条直线上，在大桥的两端测得飞机的仰角分别为30°和45 °，求飞机的高度PO .B云龙示范区云田中学 第四章 锐角三角函数50)变题2：直升飞机在高为200米的大楼AB 上方P 点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为30°和60°，求飞机的高度PO .变题3：直升飞机在高为200米的大楼AB 左侧P 点处，测得大楼的顶部仰角为45°,测得大楼底部俯角为30°，求飞机与大楼之间的水平距离.任务三:综合提升先尝试独立解决，再与小组成员合作交流，解释下列问题：有一块三形场地ABC ，测得其中AB 边长为60米，AC 边长50米，∠ABC =30°，试求出这个三角形场地的面积．让我做1.如图1AB 高为50m ，铁塔塔基距楼房地基间的水平距离BD 为100m ，塔高CD为，则下面结论中正确的是（ ）A ．由楼顶望塔顶仰角为60°B ．由楼顶望塔基俯角为60°C ．由楼顶望塔顶仰角为30° D．由楼顶望塔基俯角为30°2.如图2，在离铁塔BE 120m 的A 处，用测角仪测量塔顶的仰角为30°，已知测角仪高AD =1.5m ，则塔高BE = _________ （根号保留）．2. 如图3，从地面上的C ，D 两点测得树顶A 仰角分别是45°和30°，已知CD =200m ，点C 在BD 上，则树高AB 等于 （根号保留）．图3【课堂小结】1．把实际问题转化成数学问题，这个转化包括两个方面：一是将实际问题的图形转化为几何图形，画出正确的示意图；二是将已知条件转化为示意图中的边、角或它们之间的关系.2．把数学问题转化成解直角三角形问题，如果示意图不是直角三角形，可添加适当的辅助线，画出直角三角形.【课后巩固】教材126页1、2题【教学反思】九年级上学期数学教学设计第课时年月日第周星期。
解直角三角形的应用 优课教案
D C
BE
2、探究新知：
（1）认识仰角与俯角：想要解决刚才的
问题，我们先来了解仰角、俯角的概念，利用
多媒体演示仰角、俯角。
（2）引导学生小组探究解决导入中提出
的问题。为了测量东方明珠塔的高度，同学们
在距离东方明珠塔 200 米处的地面上，用高
1.20 米的测角仪测得东方明珠塔顶的仰角为
60°48 ′。根据测量的结果，小亮画了一张
6 / 10
第三课时
教学目标 教学重点
1．明确方位角、坡角、坡度的概念，并能将之灵活应用于实际生活。 2．能熟练运用解直角三角形的有关知识来解决实际应用问题。 3．会解决底部不能到达的物件高度的测量问题。
能熟练运用解直角三角形的有关知识来解决实际应用问题。
教学难点
底部不能到达的物件高度的测量问题。
纳小结
___________________________我将_______ 帮助
___________________________________ ________________解决我的困惑。
2．解直角三角形的应用的常见类型有
_____________________________________
找生板书解答过程
三、练
1．一名滑雪运动员从坡度为 1：5 的山坡
习自测
上滑下，如果这名运动员滑行的距离为 150 米，
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那么他下降的高度是多少（精确到 0.1 米）？
i=1:2.5
Aα
B C
5.6 米 E
10 米
β
D
2．如上图，拦水坝的横断面为梯形 ABCD， 根据图中数据，求：
（1）角α 和β 的大小（精确到1 ） （2）坝底宽 AD 和斜坡 AB 的长（精确到 0.1 米） 3．入夏以来，松花江哈尔滨段水位不断 下降，达到历史最低水位，一条船在松花江某 水段自西向东沿直线航行，在 A 处测得航标 C 在北偏东 60°方向上，前进 100 米到达 B 处， 又测得航标 C 在北偏东 45°方向上，如图 9， 在以航标 C 为圆心，120 米长为半径的圆形区 域内有浅滩，如果这条船继续前进，是否有被 浅滩阻碍的危险？
解直角三角形的应用----仰角与俯角
七十九团中学公开课教学设计教学设计基本信息姓名田贺云科目数学所用教书书名人民教育出版社数学九年级下时间2017.4.7所教年级九年级所教册次、单元九年级下第三单元设计主题解直角三角形的应用----仰角、俯角1.整体设计思路、指导依据说明采用“复习引入—出示问题—学生探究—练习及总结”的方法, 总体思路是旧知让学生复习, 问题让学生解决, 规律让学生探究, 练习及总结让学生做。
2.教材分析锐角三角函数是在直角三角形的基础上加以定义的, 在学习概念之后又用于解直角三角形, 不仅是知识的循环, 还突显出三角函数在实际测量中的重要作用, 在把实际问题转化为数学问题之后, 就是运用解直角三角形的知识来解决的. 本节课内容就是介绍解直角三角形的知识, 是三角函数知识运用的最基础的部分.3.学情分析本节课学生是在学习了锐角三角函数之后来学习的，本节课利用复习、问题，激活学生原有的知识，为本课的学习作知识预备。
4、教学目标分析知识目标：了解仰角、俯角概念，能应用解直角三角形解决观测中的实际问题．帮助学生学会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而把实际问题转化为数学问题来解决．能力目标：逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．渗透数学建模及方程思想和方法，能将实际问题中的数量关系转化为直角三角形中元素之间的关系．情感与价值观：渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识，同时激发学生对自己家乡的热爱之情及自豪感，更好的激励学习．5、教学重点难点1．重点：应用解直角三角形的有关知识解决观测问题． 2．难点：能够准确分析问题并将实际问题转化为数学模型．6、教学方法引导探索现学生的主体地位。
7、教学准备PPT ，照片8.教学过程设计一、复习旧知, 导入新课1. 在三角形中共有几个元素?2. Rt △ABC (∠C=90°)中, 除了直角外, 还有几个元素?3. a, b, c, ∠A,∠B 这5个元素中有哪些等量关系呢?分类: 三边之间关系: a ²+b ²=________(勾股定理)锐角之间关系: ∠A+∠B=________(互余)边角之间关系: sinA=________, cosA=________, tanA=________, 有了这些关系, 在直角三角形中, 除直角外的五个元素中, 已知其中两个, 是否可以求出另外三个元素呢? 4、（1）若AC=2 ，BC=2AC B则∠A=_____∠B=_____ AB=_____（2）若AB=， ∠A=45° 则 ∠B=_____AC=_____ BC=_____ 二、讲授新课1、仰角与俯角的定义：如图，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角。
28.2.2解直角三角形的应用之仰角俯角教案2021-2022学年人教版九年级数学下册
总的来说，今天的课程达到了预期的教学目标，但我也清楚地看到了改进的空间。我将在接下来的教学中，针对学生的具体情况，调整教学策略，提供更多的辅导和支持，确保每个学生都能真正理解和掌握解直角三角形的应用之仰角与俯角这一章节的内容。
2.解直角三角形在仰角与俯角中的应用：利用锐角三角函数，解决实际生活中与仰角和俯角相关的问题。具体内容包括：
-利用正切函数求解仰角和俯角；
-通过实际案例，让学生学会如何建立直角三角形模型，进而求解仰角和俯角；
-结合图形，让学生直观地理解仰角和俯角与直角三角形各边的关系。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下三个方面：
28.2.2解直角三角形的应用之仰角俯角教案2021-2022学年人教版九年级数学下册
一、教学内容
本节课选自人教版九年级数学下册第28章第2节，主题为“解直角三角形的应用之仰角与俯角”。教学内容主要包括以下两个方面：
1.仰角与俯角的概念：通过实际情境引入仰角与俯角的概念，让学生理解仰角和俯角是如何形成的，以及它们在实际生活中的应用。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“仰角与俯角在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
九年级同步第13讲：解直角三角形的应用(1)(教案教学设计导学案)
解直角三角形的应用是九年级数学上学期第二章第四小节的内容．本小节的学习重点在于理解仰角、俯角、方向角、坡度、坡角等概念，并能利用其解决实际问题．1、仰角与俯角在测量过程中，常常会遇到仰角和俯角．如图，当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角．【例1】如图，，FB// AC，从A看D的仰角是______；从B看D的俯角是______；从A 看B的______角是______；从D看B的______角是______．【难度】★【答案】；；仰；；仰；．【解析】考查仰角、俯角的基本定义．【例2】升国旗时，某同学站在离旗杆底部24米处行注目礼．当国旗升至旗杆顶端时，该同学视线的仰角为30°．若双眼离地面1.5米，则旗杆的高度为______米．（用含根号的式子表示）【难度】★【答案】．【解析解：如图所示，AB为旗杆，CD为某同学．则，，，在中，，∴，∴，∴．【总结】本题主要考查锐角三角比的实际应用以及对仰角的理解．【例3】如图，两建筑物水平距离为a米，从点A测得点C的俯角为，测得点D的俯角为，则较低建筑物CD的高为（）A．a米B．（）米C．米D．米【难度】★【答案】D【解析】过C作CE⊥AB，垂足为E．由题意有：，，在中，，∴在中，，∴∴【总结】本题主要考查锐角三角比的实际应用以及对俯角的理解．【例4】如图，河对岸有一座铁塔AB，若在河这边C、D处分别用测角仪器测得顶部A的仰角为30°、45°，已知CD = 30米，求铁塔的高．（结果保留根号）【难度】★★【答案】．【解析】解：由题意可得：，．设，则，在中，，∴，解得：．【总结】本题主要考查锐角三角比的实际应用以及对仰角的理解．【例5】如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为60°，看这栋高楼底部的俯角为30°，热气球与高楼的水平距离为120m，请问：这栋高楼有多高？（结果精确到0.1m）【难度】★★【答案】277.1米．【解析】解：由题意可得：，，在中，，∴，∴．在中，，∴，∴．∴【总结】本题主要考查锐角三角比的实际应用以及对仰角、俯角的理解和运用．【例6】如图，某幢大楼顶部有一块广告牌CD，甲、乙两人分别在相距8米的A、B两处测得点D和点C的仰角为45°和60°，且A、B、E三点在一条直线上，若BE = 15米，求这块广告牌的高度．（取，计算结果保留整数）【难度】★★【答案】3【解析】解：由题意可得：，，在中，，∴，∴在中，，∴，∴．∴．【总结】本题主要考查锐角三角比的实际应用以及对仰角的理解和运用．【例7】某高层建筑物图中AB所示，小明家住在高层建筑物附近的“祥和”大厦（图中CD所示），小明想利用所学的有关知识测量出高层建筑物AB的高度．他先在自己家的阳台（图中的Q点）测得AB的顶端（点A）的仰角为37°，然后来到楼下，由于附近建筑物影响测量，小明向AB方向走了84米，来到另一座高楼的底端（图中的点P 处），测得点A的仰角为45°．已知点C、P、B在一条直线上，小明家的阳台距地面60米，请你画出示意图，并根据上述信息求出AB的高度．（参考数据：，，）【难度】★★★【答案】492米．【解析】过Q作AE⊥AB，垂足为E．解：由题意可得：，，，．设，则在中，，∴，∴．【总结】本题综合性较强，需要认真分析题目中的条件，然后利用锐角三角比解决实际问题．【例8】如图，为某小区的两幢10层住宅楼，由地面向上依次为第1层、第2层、…、第10层，每层的高度为3米，两楼间的距离AC = 30米．现需了解在某一时间段内，甲楼对乙楼采光的影响情况．假设某一时刻甲楼楼顶B落在乙楼的影子长EC= h，太阳光线与水平线的夹角为．（1）用含的式子表示h；（2）当= 30°时，甲楼楼顶B的影子落在乙楼的第几层？从此时算起，若每小时增加10°，约几小时后，甲楼的影子刚好不影响乙楼采光．（结果精确到0.01）【难度】★★★【答案】(1)；（2）第4层，6小时．【解析】解：(1)由题意可得：．过E作FE⊥AB，垂足为F．在中，，∴，∴．∴．（2）如图2，，∴∵若每小时增加10°，∴．∴需要1.5小时才能从30°到90°．【总结】本题综合性较强，需要认真分析题目中的条件，然后利用锐角三角比解决实际问题．1、方向角指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角．如图：北偏东30°，北偏西70°，南偏东50°，南偏西45°．【例9】如果由点A测得点B在北偏东15°的方向，则由B测点A的方向为（）A．北偏东15°B．北偏西75°C．南偏西15°D．南偏东75°【难度】★【答案】B【解析】考查方向角的定义．【例10】如图，小明从A地沿北偏东30°方向走米到B地，再从B地向正南方向走200米到C地，此时小明离A地_____米．【难度】★【答案】100．【解析】解：由题意可知：在中，，∴，∴，．∴．∴．【总结】本题主要考查对方位角的准确理解和运用．【例11】如图，一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B 地，再由B地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距（）A．30海里B．40海里C．50海里D．60海里【难度】★【答案】B【解析】解：∵，∴为等边三角形．∴．【总结】本题主要考查利用方位角解决实际问题．【例12】在位于O处某海防哨所的北偏东60°相距6海里的A处，有一艘快艇正向正南方向航行，经过一段时间快艇到达哨所东南方向的B处，则A、B间的距离是______海里．（精确到0.1海里，，）【难度】★★【答案】5.5．【解析】解：由题意可知：，，在中，，∴，∴，．∴．∴．【总结】本题主要考查利用方位角解决实际问题．【例13】如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，请问，此时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？（精确到0.01海里，，）【难度】★★【答案】130.23．【解析】解：在中，，∴，∴在中，，∴，∴．【总结】本题主要考查利用方位角解决实际问题．【例14】如图，A、B为湖滨的两个景点，C为湖心一个景点．景点B在景点C的正东方向，从景点A看，景点B在北偏东75°方向，景点C在北偏东30°方向．一游客自景点A驾船以20米/分的速度行驶了10分到达景点C，之后又以同样的速度驶向景点B，该游客从景点C到景点B需用多长时间？（，精确到1分）【难度】★★【答案】27分．【解析】过A作AD⊥BC的延长线于D．由题意可得：，，．在中，，∴，∴，在中，，∴，∴∴∴．【总结】本题主要考查利用方位角解决实际问题．【例15】如图，某船以36海里/时的速度向正东方向航行，在点A测得某岛C在北偏东60°方向上，航行半小时后到达点B，测得该岛在北偏东30°方向上，已知该岛周围16海里内有暗礁．（1）试说明点B是否在暗礁区域外？（2）若继续向东航行有无触礁危险？请说明理由．【难度】★★【答案】（1）B在暗礁区外；（2）有危险．【解析】解：（1）由题意可得：，，．∴，∴∴∴B在暗礁区外．（2）在中，，∴，∴∴若继续向东航行有触礁危险．【总结】本题主要考查利用方位角解决实际问题，注意在触礁问题中的最小距离指的是垂直距离．【例16】如图，AC是某市环城路的一段，AE、BF、CD都是南北方向的街道，其与环城路AC的交叉路口分别是A、B、C．经测量，花卉世界D位于点A的北偏东45°方向、点B的北偏东30°方向上，AB = 2千米，．（1）求B、D之间的距离；（2）求C、D之间的距离．【难度】★★【答案】（1）2；（2）．【解析】解：(1)由题意得：，．∵∴∴∵∴∴∴(2)∵∴∴过C作CG⊥BD，垂足为G在中，，∴，∴．【总结】本题主要考查利用方位角解决实际问题，要注意认真分析题意．【例17】如图，甲、乙两只捕捞船同时从A港出海捕鱼，甲船以每小时千米的速度沿北偏西60°的方向前进，乙船以每小时15千米的速度沿东北方向前进，甲船航行2小时到达C处，此时甲船发现渔具丢在乙船上，于是甲船加快速度（匀速）沿北偏东75°的方向追赶，结果两船在B处相遇．（1）甲船从C处追赶上乙船用了多少时间？（2）求甲船加快速度后，追赶乙船时的速度？（结果保留根号）【难度】★★★【答案】（1）4小时；（2）．【解析】解：由题意可得：，，，．在中，，∴，∴，∴，，．∴（1）；（2）．【总结】本题主要考查利用方位角解决实际问题，要注意认真分析题意．【例18】如图，在航线l的两侧分别有观测点A和B，点A到航线l的距离为2千米，点B位于点A北偏东60°方向且与点A相距10千米处．现有一艘轮船从位于点B南偏西76°方向的C处，正沿该航线自西向东航行，5分钟后该轮船行至点A正北方向的点D处．（1）求观测点B到航线l的距离；（2）求该轮船航行的速度．（结果精确到0.1千米/时）（参考数据：，，，）【难度】★★★【答案】（1）3；（2）40.4．【解析】解：（1）由题意有：，．在中，，，∴．(2)在中，，∴，∴．∴．∴．【总结】本题主要考查利用方位角解决实际问题，要注意认真分析题目中给出的条件．1、坡度（坡比）、坡角在修路、挖河、开渠等设计图纸上，都需要注明斜坡的倾斜程度．如图，坡面的铅垂高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i，即．坡度通常写成1 : m的形式，如．坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作．坡度i与坡角之间的关系：．【例19】某人沿着坡度为3 : 4的斜坡前进了10米，则他所在的位置比原来的位置升高______米．【难度】★【答案】6．【解析】考查坡度的定义．【例20】某铁路路基的横断面是等腰梯形，其上底为10米，下底为13.6米，高1.2米，则腰面坡角的正切值为______．【难度】★【答案】．【解析】考查等腰梯形双高的辅助线．【例21】如图，坡角为30°的斜坡上两树间的水平距离AC为2米，则两树间的坡面距离AB为（）A．4米B．米C．米D．米【难度】★【答案】C【解析】考查坡角的定义．【例22】如图，燕尾槽的横断面中，槽口的形状是等腰梯形，其外口宽AD = 15毫米，槽的深度为12毫米，的正切值为，则它的里口宽BC = ______．【难度】★★【答案】33毫米．【解析】考查等腰梯形双高的辅助线．【例23】河堤横断面是梯形，上底为4米，堤高为6米，斜坡AD的坡度为1 : 3，斜坡CB的坡角为45°，则河堤横断面的面积为______平方米．【难度】★★【答案】96．【解析】考查坡角的基本定义．【例24】如图，一个大坝的横断面是一个梯形ABCD，其中坝顶AB= 3米，经测量背水坡AD= 20米，坝高10米，迎水坡BC的坡度i= 1 : 0.6，求迎水坡BC的坡角的余切值和坝底宽CD．【难度】★★【答案】；．【解析】过A、B作AE⊥CD，BF⊥CD．由题意可得：，，∴．在中，，∴，∴．在中，，∴．【总结】本题主要考查坡脚和坡比的概念．【例25】如图，某村开挖一条长1600米的水渠，渠道的横断面为等腰梯形，渠道深0.8米，下底宽1.2米，坡度为1 : 1．求一共挖土多少立方米？【难度】★★【答案】2560．【解析】，．【总结】考查等腰梯形双高辅助线的做法和坡度的基本定义．【例26】如图，小杰发现垂直地面的旗杆AB的影子落在地面和斜坡上，影长分别为BC和CD，经测量得BC=10米，CD=10米，斜坡CD的坡度为，且此时测得垂直于地面的1米长标杆在地面上影长为2米，求旗杆AB的长度．（答案保留整数，其中）【难度】★★【答案】13．【解析】解：延长AD和BC交于点E，过D作DF⊥BE．由题意可知：，．在中，，∴．设，，则，∴．∴，．在中，，∴，∴在中，，∴，∴．【总结】本题主要考查利用坡脚和坡比的概念以及锐角三角比的相关概念解决实际问题．【例27】如图，斜坡的坡度为，坡长为26米，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，在坡顶A处测得该塔的塔顶B 的仰角为76°．求：（1）坡顶A到地面PQ的距离；（2）古塔BC的高度．（结果精确到1米）（参考数据：，，）【难度】★★【答案】（1）10；（2）19．【解析】解：延长BC交PQ于点E，过A作AD⊥PQ由题意可知：，．在中，，∴．设，，则，∴．∴，．在中，，∴设，，在中，，∴，∴．∴．【总结】本题主要考查利用坡脚和坡比的概念以及锐角三角比的相关概念解决实际问题．【例28】如图，某堤坝的横截面是梯形ABCD，背水坡AD的坡度i为1 : 1.2，坝高为5米．现为了提高堤坝的防洪能力，市防汛指挥部决定加固堤坝，要求坝顶CD加宽1米，形成新的背水坡EF，其坡度为1 : 1.4，已知堤坝总长度为4000米．（1）求完成该工程需要多少立方米的土？（2）该工程由甲、乙两个工程队同时合作完成．按原计划需要20天．准备开工前接到上级通知，汛期可能提前，要求两个工程队提高工作效率，甲队工作效率提高30%，乙队工作效率提高40%，结果提前5天完成．问这两个工程队原计划每天各完成多少立方米？【难度】★★★【答案】（1）30000；（2）甲：1000；乙：500．【解析】由题意可知：，在中，，∴，∴．∴．在中，，∴，∴．∴．∴．∴．（2）设原计划甲工程队每天完成立方米，乙工程队每天完成立方米，则根据题意可得：，解得：．∴原计划甲工程队每天完成1000立方米，乙工程队每天完成500立方米．【总结】本题主要考查利用坡脚和坡比的概念以及锐角三角比的相关概念解决实际问题．【例29】如图所示，在风景区观测塔高时，塔的底部不能直接到达．测绘员从观景台（横截面为梯形）的底部沿坡面方向走30米到达顶部处，用测角仪（测角仪的高度忽略不计）在点处测得塔顶E的仰角是45°，沿方向走20米到达点处测得塔顶E的仰角是60°．已知坡面的坡度是，根据上述测量数据能否求出塔高？若能，请求出塔高（精确到1米）；若不能，说明还需测出哪些量才能求出塔高．【难度】★★★【答案】能，62米．【解析】由题意可知：，．．过B作BH⊥AD．在中，，∴．设，，在中，，∴，∴．∵，∴．∴．∴．【总结】本题主要考查利用坡脚和坡比的概念以及锐角三角比的相关概念解决实际问题，注意认真分析题目中的条件，分析清楚仰角分别指的是哪个角．【例30】如图，小智所住的楼房在一个不高的斜坡EF上，楼房旁边不远处有一棵笔直而垂直于水平地面BE的大树HD．小智想要测量这棵大树HD的高度．在下午的某个时刻，他观察到这棵大树树梢H的影子落在楼房的外墙面上的点G处．同时，他又观察到在大树旁边有一根笔直而垂直于水平地面BE的木柱AB，它在水平地面BE上的影子BC也清晰可见．小智通过测量得到以下一些数据：AB = 1.6米，BC = 3.2米，DE =7.2米，EF = 2.6米，斜坡EF的坡度i =1 : 2.4，FG = 1.6米．试求大树HD的高．【难度】★★★【答案】7.4米．【解析】解：由题意可得：，过F作FM⊥HD，过F作FN⊥DN在中，，∴．设，，∴则，∴．∴，．∴．在中，，∴，∴．∴．【总结】本题主要考查利用坡脚和坡比的概念以及锐角三角比的相关概念解决实际问题，注意认真分析题目中的条件．【习题1】某飞机在离地面1200米的上空测得地面控制点的俯角为60°，此时飞机与该地面控制点之间的距离是______米．【难度】★【答案】．【解析】考查俯角的定义．【习题2】一船在海上点B处沿南偏东10°方向航行到点C处，这时在小岛A测得点C 在南偏西80°方向，则______．【难度】★【答案】90°【解析】考查方向角的定义．【习题3】某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为米，则这个坡面的坡度为______．【难度】★【答案】1:2【解析】考查坡度的定义．【习题4】如图，已知楼房AB高50米，铁塔塔基距楼房房基间的水平距离BD = 50米，塔高DC为米，下列结论中，正确的是（）A．由楼顶望塔顶仰角为60°B．由楼顶望塔基俯角为60°C．由楼顶望塔顶仰角为30°D．由楼顶望塔基俯角为30°【难度】★★【答案】C．【解析】解：由图可知：，∴．在中，，∴．∴由楼顶望塔顶仰角为30°．【总结】本题主要考查利用已知条件解直角三角形，再利用锐角三角比的值求出角的度数．【习题5】A港在B地的正南千米处，一艘轮船由A港开出向西航行，某人第一次在B处望见该船在南偏西30°，半小时后，有望见该船在南偏西60°，则该船速度为______．【难度】★★【答案】40．【解析】解：在中，，∴，解得：．在中，，∴，解得：．∴，∴．【总结】本题主要考查利用方位角解决实际问题．【习题6】如图，一架飞机在高度为5千米的点A时，测得前方的山顶D的俯角为30°，水平向前飞行2千米到达点B时，又测得山顶D的俯角为45°，求这座山的高度DN．（结果可保留根号）【难度】★★【答案】米．【解析】解：由题意可得：，，，．设，则．∴，解得：，∴．【总结】本题主要考查利用仰角和俯角的有关概念解决实际问题．【习题7】小岛B正好在深水港口A的东南方向，一艘集装箱货船从港口A出发，沿正东方向以每小时30千米的速度行驶，40分钟后在C处测得小岛B在它的南偏东15°方向，求小岛B离深水港口A的距离．(精确到0.1千米)（参考数据：，，，，）【难度】★★【答案】38.6千米．【解析】解：由题意可得：，，．过C点作CD⊥AB．在中，，∴，解得：，∴．在中，，∴，解得：．∴．【总结】本题主要考查利用方位角解决实际问题．【习题8】如图，以水库大坝横断面是梯形ABCD，坝顶宽6米，坝高23米，斜坡AB 的坡度，斜坡CD的坡度．（1）求斜坡AB和坝底AD的长度；（2）若要把坝宽增加3米，同时背水坡AB的坡度由原来的1 : 3变为1 : 5，请求出大坝横断面的面积增加了多少平方米．【难度】★★【答案】（1），132.5；（2）598．【解析】解：由题意可得：，，，．在中，，∴，解得：．∴．∴，解得：．∴．（2）由（1）可得：．在中，，∴，∴．∴．∴．【总结】本题主要考查利用坡度来解决实际问题，注意对题目中条件的认真分析．【习题9】某城市规划期间，欲拆除河岸边的一根电线杆AB（如图），已知距电线杆AB 水平距离14米处是河岸，即BD= 14米，该河岸的坡面CD的坡比为1 : 2，岸高CF 为2米，在坡顶C处测得杆顶A的仰角为30°，D、E之间是宽2米的人行道，请你通过计算说明在拆除电线杆AB时，为确保安全，是否需要将此人行道封上？（在地面上以点B为圆心，以AB长为半径的圆形区域为危险区域）【难度】★★★【答案】不需要将此人行道封上．【解析】解：由题意可知：，．在中，，∴，解得：，∴．∴．在中，，∴，解得：，∴．∴．∴不需要将此人行道封上．【总结】本题主要考查利用坡度来解决实际问题，注意对题目中条件的认真分析．【习题10】如图，小唐同学在操场上放风筝，风筝从A处起飞，一会儿便飞抵C处，此时，在AQ延长线B处的小宋同学，发现自己的位置与风筝和旗杆PQ的顶点P在同一直线上．（1）已知旗杆高为10米，若在B处测得旗杆顶点P的仰角为30°，A处测得点P的仰角为45°，试求A、B之间的距离；（2）此时，在A处背向旗杆又测得风筝的仰角为75°．若绳子在空中视为一条线段，求绳子AC约为多长？（结果保留根号）【难度】★★★【答案】．【解析】解：（1）由题意可知：，，．在中，，∴，解得：，∵，∴．（2）由题意有：∴．过A作AE⊥BC，在中，，∴，解得：，在中，，∴，解得：．【总结】本题综合性较强，主要是利用已知条件，结合仰角和俯角的运用解直角三角形．【作业1】身高相同的三个小朋友甲、乙、丙放风筝，他们放出的线长分别为300米，250米，200米，线与地面所成的角度分别为30°，45°，60°（假设风筝线是拉直的），则三人所放的风筝（）A．甲的最高B．乙的最低C．丙的最低D．乙的最高【难度】★【答案】D．【解析】由仰角的定义和解直角三角形可得：甲的风筝离地面150米，乙的风筝离地面米，丙的风筝离地面米．∵∴乙的风筝最高．【总结】本题主要考查方位角的概念以及特殊角的锐角三角比的值．【作业2】小明在东西方向是沿江大道A处，测得江中灯塔P在北偏东60°方向上，在A 处正东400米的B处，测得江中灯塔P在北偏东30°方向上，则灯塔P到沿江大道的距离为______米．【难度】★【答案】．【解析】解：由题意可知：，．∴∴∴过P作PC⊥AB，垂足为C在中，，∴∴．【总结】本题主要考查方位角的概念及运用．【作业3】某人从地面沿着坡度的山坡走了100米，这时他离地面的高度是______米．【难度】★【解析】考查坡度的定义和解直角三角形．【作业4】如图，一渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60°的方向，这艘渔船以28海里/时的速度向正东航行，半小时到达B处，在B处看见灯塔M在北偏东15°的方向，此时灯塔M与渔船的距离是（）A．14海里B．海里C．7海里D．海里【难度】★★【答案】D【解析】解：由题意有：，，．∴．过B作BC⊥AM，垂足为C在中，；在中，，∴．∴．【总结】本题主要考查利用方位角结合锐角三角比解决实际问题．【作业5】如图，在同一地面上有甲、乙两幢楼AB、CD，甲楼AB高10米，从甲楼AB 的楼顶测得乙楼CD的楼顶C的仰角为30°，从乙楼CD的楼顶C拉下的节日庆典条幅CE与地面所成的角为60°，这时条幅与地面的固定点E到甲楼B的距离为24米，求条幅CE的长度．【难度】★★【答案】米．【解析】解：由题意可知：，在中，，∴，∴．∴．【总结】本题主要考查利用仰角和俯角的相关概念结合锐角三角比解决实际问题．【作业6】如图，水坝的横截面是梯形，上底= 4米，坝高米，斜坡的坡比，斜坡的坡比．（1）求坝底的长；（结果保留根号）（2）为了增加水坝的抗洪能力，在原来的水坝上增加高度，使得水坝的上底米，求水坝增加的高度．（精确到0.1米，参考数据）【难度】★★【答案】（1）；（2）0.7米．【解析】解：（1）在中，，∴，∴．在中，，∴，∴．∴．(2)在中，，∴，在中，，∴，设，则，，∴．∴．∴．【总结】本题主要考查利用坡度和坡比的相关概念结合锐角三角比解决实际问题．【作业7】如图，某人在建筑物AB的顶部测得一烟囱CD的顶端C的仰角为45°，测得点C在湖中的倒影C1的俯角为60°，已知AB = 20米，求烟囱CD的高．【难度】★★【答案】米．【解析】解：由题意可得：，．过A作AE⊥CD，垂足为E．设，则．∵C和C1关于BD对称，∴．在中，，∴，∴．∴．【总结】本题主要考查利用俯角的相关概念结合锐角三角比解决实际问题，注意认真分析．【作业8】如图，一水渠的横断面是等腰梯形，已知其迎水斜坡AD和BC的坡度为1：0.6，现在测得放水前的水面宽EF为1.2米，当水闸放水后，水渠内水面宽GH为2.1米，求放水后水面上升的高度．【难度】★★【答案】放水后水面上升的高度为0.75米．【解析】解：由题意可知：四边形GEFH为等腰梯形．．过E作EM⊥GH，过F作FN⊥GH由等腰梯形的性质可得：．在中，，∴，∴．∴放水后水面上升的高度为0.75米．【总结】本题主要考查利用坡度和坡比的相关概念结合锐角三角比解决实际问题．【作业9】台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．据气象观测，距沿海某城市的正南方向220千米的处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就减弱一级，该台风中心现在以每小时15千米的速度沿北偏东方向往移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到四级，则称受台风影响．（1）该城市是否会受这次台风影响？请说明理由．（2）若受台风影响，那么台风影响该城市的持续时间会有多长？（3）该城市受台风影响的最大风力是几级？【难度】★★★【答案】（1）受影响；（2）；（3）6.5级．【解析】解：（1）会受到台风影响．过A作AD⊥BC．台风在移动时，距离A最近D处时，在中，110÷20=5.5；12-5.5=6.5；6.5超过4级，受台风影响．（2）当台风在移动，其与A距离是时开始受影响或结束影响．持续时间为．（3）由（1）可得：该城市受台风影响的最大风力是6.5级．【总结】本题主要考查对方位角的理解以及是否受影响的理解，解题时要认真分析题意．【作业10】如图，小明发现在小丘上种植着一棵香樟树AB，它的影子恰好落在丘顶平地BC和斜坡的坡面CD上．小明测得BC= 4米，斜坡的坡面CD的坡度为，CD=2.5米．如果小明同时还测得附近的一根垂直于地面的2米高的木柱MN的影长NP= 1.5米，求这棵香樟树AB的高度．【难度】★★★【答案】6.5米．【解析】解：由题意可得：．，设，，∴．∴，∴，，∴．在中，，∴，∴．【总结】本题综合性较强，考查的知识点比较多，要认真分析题意，并且熟练使用相似的性质以及通过锐角三角比解直角三角形的方法．。
冀教版初中数学九年级上册26.4解直角三角形的应用仰角俯角优秀教学案例
在课堂的最后，我会布置相关的作业，让学生巩固所学的知识。作业可以是解决一些类似的实际问题，或者是一些练习题，要求学生独立完成。同时，我还会提醒学生在完成作业时要注意观察和思考，培养他们的观察能力和思考能力。
1.对数学产生兴趣，愿意主动学习和探索。
2.建立自信心，相信自己能够通过数学知识解决实际问题。
3.认识到数学在生活中的应用价值，学会用数学的眼光看待世界。
总而言之，本节课的教学目标是让学生掌握仰角与俯角的概念，并能够运用解直角三角形的知识解决实际问题。同时，通过参与和实践，培养学生的观察能力、思考能力和动手能力，并培养他们对数学的兴趣和自信心，感受数学在实际生活中的应用价值。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
导入新课是引发学生兴趣和好奇心的重要环节。我会通过一个实际的例子来导入新课。例如，我可以展示一张图片，图片中一个人站在山脚下，抬头看着山顶，要求学生估计山顶的高度。然后，我可以提问：“如果你想知道山顶的确切高度，你会怎么办？”这个例子能够引发学生的思考，激发他们对仰角和俯角的兴趣。
三、教学策略
（一）情景创设
在本节课中，我将创设贴近学生生活实际的情景，引发学生的好奇心和兴趣，激发他们主动学习和探索的欲望。例如，我可以通过展示一些实际的例子，如登山时测量山的高度、运动员起跳时的仰角等，让学生感受到仰角与俯角在实际生活中的应用，从而引发他们对这两个概念的兴趣。同时，我还可以利用多媒体手段，如图片、视频等，为学生提供丰富的感性材料，帮助他们更好地理解和记忆仰角与俯角的概念。
在讲授新知后，我会组织学生进行小组讨论。我会给出一些实际问题，要求学生以小组的形式合作解决。例如，我可以给出一个问题：如何利用仰角和俯角测量一棵树的高度？学生需要通过讨论和合作，运用所学的知识来解决问题。这种小组讨论能够培养学生的团队合作能力和解决问题的能力。
解直角三角形的应用 优质课教案
解直角三角形的应用【教学目标】1．知识目标：理解仰角、俯角的意义，准确运用这些概念来解决一些实际问题。
2．能力目标：培养学生将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的能力。
3．情感与态度目标：在探究学习过程中，注重培养学生的合作交流意识，激发学生学习数学的兴趣。
【教学重难点】1．理解仰角和俯角的概念；2．能解与直角三角形有关的实际问题。
【教学过程】一、课前延伸：1．仰角和俯角。
在实际测量时，从低处观测高出的目标时，（ ）与（ ）所成的锐角叫做仰角；从高出观测低处的目标时，（ ）与（ ）所成的锐角叫做俯角。
2．解决直角三角形的应用思路。
（1）把实际问题转化为解直角三角形的问题，关键是找出实际问题中的（ ），直角三角形（ ）之间的关系，是解决与直角三角形有关的实际问题的重要工具。
（2）解答过程的思路：实际问题 解直角三角形的问题二、课内探究：1．创设问题情景，引出新知：上海东方明珠塔于1994年10月1日建成，在各国广播电视塔的排名榜中，当时其高度列亚洲第一、世界第三。
与外滩的“万国建筑博览群”隔江相望。
在塔顶俯瞰上海风景，美不胜收。
运用本章所学过的知识，能测出东方明珠塔的高度来吗？2．探究新知：转化 问题答案 求出有关的边或角（1）认识仰角与俯角：想要解决刚才的问题，我们先来了解仰角、俯角的概念，利用多媒体演示仰角、俯角。
（2）引导学生小组探究解决导入中提出的问题。
为了测量东方明珠塔的高度，同学们在距离东方明珠塔200米处的地面上，用高1.20米的测角仪测得东方明珠塔顶的仰角为60°48′。
根据测量的结果，小亮画了一张示意图，其中（ ）表示东方明珠塔，（ ）为测角仪的支架，DC=（ ）米，CB=（ ）米，∠ADE=（ ）。
（3）探究解直角三角形的简单应用。
例1：如图，厂房屋顶人字架的跨度为10米，上弦AB ＝BD ，∠A ＝260，求中柱BC 和上弦AB 的长（精确到0.01米）。
处理方法：师： （1）题目中已知哪些条件，还要求哪些条件？（2）请同学们独立思考，自己解决。
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九年级上学期数学教学设计第课时年月日第周星期
4.4解直角三角形的应用（1）--仰角与俯角
【课堂类型】新知课
【教学目标】
1、进一步掌握直角三角形的边角关系。
2、理解仰角与俯角的概念，能在实际问题中识别仰角与俯角。
3、学会把实际问题转化为数学模型---解直角三角形，会利用解直角三角形来解决实际问题。
4、进一步积累数学活动的经验，并在学习活动中与人合作交流。
【重点难点】
重点：灵活地运用三角函数关系式解直角三角形。
难点：运用解直角三角形的方法解决实际问题。
学会把实际问题转化为数学模型---解直角
三角形。
【教学辅助】多媒体
【教学过程】
让我了解
阅读教材第125-126页的内容，自主探究。
回答下列问题：
1、如图在Rt△ABC中，∠C=90°, ∠A,∠B,∠C的对边分别记作a，b,c，边、角之间有什
么关系？
（1）三边之间的关系：；（2）两个锐角之间的关系：；
（3）边与锐角之间的关系：
2、举例说一说：什么是仰角，什么是俯角？
让我尝试
根据以上的探究,自主解决下列问题,并与小组成员交流分享你的学习成果:
任务一: 理解仰角、俯角的概念
当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做
仰角，在水平线下方的叫做俯角。
任务二:利用仰角、俯角解直角三角形
直升飞机在跨江大桥AB的上方P点处，此时飞机离地面的高度PO=450米，且A、B、O三点
在一条直线上，测得大桥两端的俯角分别为α=30°，β=45°，求大桥的长AB .
变题1：直升飞机在长400米的跨江大桥AB的上方P点处，且A、B、O三点在一条直线上，
在大桥的两端测得飞机的仰角分别为30°和45 °，求飞机的高度PO .
C
B
云龙示范区云田中学 第四章 锐角三角函数
1003(50) 变题2：直升飞机在高为200米的大楼AB 上方P 点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为30°和60°，求飞机的高度PO .
变题3：直升飞机在高为200米的大楼AB 左侧P 点处，测得大楼的顶部仰角为45°,测得大楼底部俯角为30°，求飞机与大楼之间的水平距离.
任务三:综合提升
先尝试独立解决，再与小组成员合作交流，解释下列问题：
有一块三形场地ABC ，测得其中AB 边长为60米，AC 边长50米，∠ABC =30°，试求出这个三角形场地的面积．
让我做
1.如图1，已知楼房AB 高为50m ，铁塔塔基距楼房地基间的水平距离BD 为100m ，塔高CD
为 m ，则下面结论中正确的是（ ）
A ．由楼顶望塔顶仰角为60°
B ．由楼顶望塔基俯角为60°
C ．由楼顶望塔顶仰角为30° D．由楼顶望塔基俯角为30°
2.如图2，在离铁塔BE 120m 的A 处，用测角仪测量塔顶的
仰角为30°，已知测角仪高AD =1.5m ，
则塔高BE = _________ （根号保留）．
2. 如图3，从地面上的C ，D 两点测得树顶A 仰角分别是45°和30°，
已知CD =200m ，点C 在BD 上，则树高AB 等于 （根号保留）．
图3
【课堂小结】
1．把实际问题转化成数学问题，这个转化包括两个方面：一是将实际问题的图形转化为几何图形，画出正确的示意图；二是将已知条件转化为示意图中的边、角或它们之间的关系.
2．把数学问题转化成解直角三角形问题，如果示意图不是直角三角形，可添加适当的辅助线，画出直角三角形.
【课后巩固】教材126页1、2题
【教学反思】。