初中数学圆心角和圆周角

圆心角和圆周角及之间的关系

二、看一看

A

B

C

O

有没有圆周角？∠BAC 有没有圆心角？∠BOC 它们有什么共同的特点？ 它们都对着同一条弧BC

三、猜想归纳：请画出弧BC 所对的圆周角. 若按圆心O 与这个圆周角的位置关系来分类,我们可以分成几类？圆周角的度数与什么有关系？动手量一量∠BOC 与∠BAC 有何数量关系？

A

B

C

O

A

B C

O

四、证明圆心角与圆周角之间的关系

1、首先考虑一种特殊情况：

当圆心(O)在圆周角(∠BAC)的一边(AB)上时,圆周角∠BAC 与圆心角∠BOC 的大小关系.

∵∠BOC 是△ACO 的外角 ∴∠BOC=∠C+∠A

∵OA=OC，

∴∠A=∠C

∴∠BOC=2∠A

即∠BAC = 1/2∠BOC

2、如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样?

当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?

思考：能否转化成1中的情况？

证明：过点A作直径AD.由1可得:

∵∠BAD = 1/2∠BOD,∠CAD = 1/2∠COD

∴∠BAC = 1/2∠BOC.

3、当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?

思考：同样是否能转化成1中的情况？

过点B作直径AD.由1可得:

∵∠BAD = 1/2∠BOD,∠CAD = 1/2∠COD

∴∠BAC = 1/2∠BOC.

综上所述,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系是:

圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半即∠BAC = 1/2∠BOC

知识点总结：圆周角与圆心角的关系

（1）．在同圆或等圆中，如果两条弦，两条弧，两个圆心角中有一组量相等，那么它们所对应的

其它各组量都分别相等。

（2）．一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半。

（3）．直径所对的圆周角是90度，90度的圆周角所对的弦是直径。

（4）．圆的内接四边形对角之和是180度。

（5）．弧的度数就是圆心角的度数。

练习题：（一）选择、填空题：

1．在⊙O中，同弦所对的圆周角（）

A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．都不对

3．下列说法正确的是（）

A．顶点在圆上的角是圆周角

B．两边都和圆相交的角是圆周角

C．圆心角是圆周角的2倍

D．圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半

4．下列说法错误的是（）

A．等弧所对圆周角相等 B．同弧所对圆周角相等

C．同圆中，相等的圆周角所对弧也相等． D．同圆中，等弦所对的圆周角相等

5．如图4，AB是⊙O的直径，∠AOD是圆心角，∠BCD是圆周角．若∠BCD=25°，则∠AOD= ．6．如图5，⊙O直径MN⊥AB于P，∠BMN=30°，则∠AON= ．

7.⊙O的弦AB等于半径，那么弦AB所对的圆周角一定是（）．

（A）30°（B）150°（C）30°或150°（D）)60°

8.△ABC中，∠B＝90°，以BC为直径作圆交AC于E，若BC=12，AB=12，则的度数为（）

（A）60°（B）80°（C）100°（D）)120°

9.如图，△ABC 是⊙O 的内接等边三角形，D 是AB 上一点，AB 与CD 交于E 点，则图中60°的角共有( )个．

（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6

10.如图，△ABC 内接于⊙O ，∠OBC=25°，则∠A 的度数为（ ） （A ）70° （B ）65° （C ）60° （D ）)50°

二、填空题：

1.如图4,A 、B 、C 为⊙O 上三点，若∠OAB=46°,则∠ACB=_______度.

C

B

A

O D

C

B

A

O

E

D C

B

A

O

(1) (2) (3)

2.如图5,AB 是⊙O 的直径, BC BD =,∠A=25°,则∠BOD 的度数为________.

3.如图6,AB 是半圆O 的直径,AC=AD,OC=2,∠CAB= 30 °, 则点O 到CD 的距离OE=______.

三、解答题：

1．如图，已知AB 是O 的直径，AC 是弦，过点O 作OD AC ⊥于D ，连结BC ． （1）求证：1

2

OD BC =

； （2）若40BAC =∠，求ABC 的度数．

2.如图,⊙O 的直径AB=8cm,∠CBD=30°,求弦DC 的长.

A

B

C

D O

（图1）

30

D

C

B

A

O

3.如图,A 、B 、C 、D 四点都在⊙O 上,AD 是⊙O 的直径,且AD=6cm,若∠ABC= ∠CAD,求弦AC 的长.

D

C

B

A O

四、能力提升：

如图1，AB 是半⊙O 的直径，过A 、B 两点作半⊙O 的弦，当两弦交点恰好落在半⊙O 上C 点时，则有AC ·AC ＋BC ·BC=AB 2．

（1）如图2，若两弦交于点P 在半⊙O 内，则AP ·AC ＋BP ·BD=AB 2是否成立？请说明理由． （2）如图3，若两弦AC 、BD 的延长线交于P 点，则AB 2= ．参照（1）填写相应结论，并

证明你填写结论的正确性．

学生对于本次课的评价：

○ 特别满意 ○ 满意 ○ 一般 ○ 差

学生签字：________ 教学总结：