初中数学圆心角和圆周角
圆心角与圆周角(4种题型)-2023年新九年级数学核心知识点与常见题型(浙教版)(解析版)
圆心角与圆周角（4种题型）【知识梳理】一．圆心角、弧、弦的关系（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．二．圆周角定理（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．三．圆内接四边形的性质（1）圆内接四边形的性质：①圆内接四边形的对角互补．②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．（2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．四．相交弦定理（1）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）．几何语言：若弦AB、CD交于点P，则P A•PB＝PC•PD（相交弦定理）（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC2＝P A•PB（相交弦定理推论）．【考点剖析】一．圆心角、弧、弦的关系（共9小题）1．（2023•杭州二模）如图，A，B，C是⊙O上三个点，∠AOB＝2∠BOC，则下列说法中正确的是（）A．∠OBA＝∠OCA B．四边形OABC内接于⊙OC．AB＝2BC D．∠OBA+∠BOC＝90°【分析】过O作OD⊥AB于D交⊙O于E，由垂径定理得到＝，于是得到＝＝，推出AE＝BE ＝BC，根据三角形的三边关系得到2BC＞AB，故C错误；根据三角形内角和得到∠OBA＝（180°﹣∠AOB）＝90°﹣∠BOC，∠OCA＝（180°﹣∠AOC）＝90°﹣∠BOC，推出∠OBA≠∠OCA，故A错误；由点A，B，C在⊙O上，而点O在圆心，得到四边形OABC不内接于⊙O，故B错误；根据余角的性质得到∠OBA+∠BOC＝90°，故D正确；【解答】解：过O作OD⊥AB于D交⊙O于E，则＝，∴AE＝BE，∠AOE＝∠BOE＝AOB，∵∠AOB＝2∠BOC，∴∠AOE＝∠BOE＝∠BOC，∴＝＝，∴AE＝BE＝BC，∴2BC＞AB，故C错误；∵OA＝OB＝OC，∴∠OBA＝（180°﹣∠AOB）＝90°﹣∠BOC，∠OCA＝（180°﹣∠AOC）＝90°﹣∠BOC，∴∠OBA≠∠OCA，故A错误；∵点A，B，C在⊙O上，而点O在圆心，∴四边形OABC不内接于⊙O，故B错误；∵∠BOE＝∠BOC＝AOB，∵∠BOE+∠OBA＝90°，∴∠OBA+∠BOC＝90°，故D正确；故选：D．【点评】本题考查了圆心角，弧，弦的关系，垂径定理，三角形的三边关系，正确的作出辅助线是解题的关键．2．（2022秋•鄞州区校级期末）如图，AB，CD是⊙O的直径，，若∠AOE＝32°，则∠COE的度数是．【分析】根据在同圆中，等弧所对的圆心角相等，可推出∠BOD＝∠AOE＝32°，再根据对顶角相等，可推出∠AOC＝∠BOD＝32°，最后用∠COE＝∠COA+∠AOE即可求解．【解答】解：∵，∠AOE＝32°，∴∠BOD＝∠AOE＝32°，∵∠AOC＝∠BOD＝32°，∴∠COE＝∠COA+∠AOE＝32°+32°＝64°．故答案为：64°．【点评】本题主要考查等弧和圆心角的关系，熟知在同圆中，等弧所对的圆心角相等，和对顶角相等是解题的关键．3．（2022秋•越城区期末）如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC＝CD＝DA＝4，则⊙O 的周长为（）A．4πB．6πC．8πD．9π【分析】如图，连接OD、OC．根据圆心角、弧、弦的关系证得△AOD是等边三角形，则⊙O的半径长为BC ＝4cm；然后由圆的周长公式进行计算．【解答】解：如图，连接OC、OD∵AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，BC＝CD＝DA＝4，∴＝＝，∴∠AOD＝∠DOC＝∠BOC＝60°．又OA＝OD，∴△AOD是等边三角形，∴OA＝AD＝4，∴⊙O的周长＝2×4π＝8π．故选：C．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等边三角形的判定与性质．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等，即四者有一个相等，则其它三个都相等．4．（2023•越城区模拟）如图，AB，AC是⊙O的两条弦，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，连结OB，OC．若∠DOE＝140°，则∠BOC的度数为（）A．70°B．80°C．90°D．100°【分析】根据四边形的内角和等于360°计算可得∠BAC＝50°，再根据圆周角定理得到∠BOC＝2∠BAC，进而可以得到答案．【解答】解：∵OD⊥AB，OE⊥AC，∴∠ADO＝90°，∠AEO＝90°，∵∠DOE＝140°，∴∠BAC＝360°﹣90°﹣90°﹣140°＝40°，∴∠BOC＝2∠BAC＝80°，故选：B．【点评】本题考查的是圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．5．（2023•路桥区校级二模）如图，弧AB所对圆心角∠AOB＝90°，半径为8，点C是OB中点，点D弧AB上一点，CD绕点C逆时针旋转90°得到CE，则AE的最小值是．【分析】如图，连接OD，以OC为边向下作正方形OCTH，连接AT，ET．利用勾股定理求出AT，再证明△OCD≌△TCE（SAS），推出ET＝OD＝8，由AE≥AT﹣ET＝4﹣8，可得结论．【解答】解：如图，连OD，以OC为边向下作正方形OCTH，连AT，ET．∵OA＝OB＝8，OC＝CB＝CT＝OH＝HT＝4，∴AH＝AO+OH＝12，∴AT＝＝＝4，∴∠OCT＝∠ECD＝90°，∴∠OCD＝∠RCE，在△OCD和△TCE中，，∴△OCD≌△TCE（SAS），∴ET＝OD＝8，∴AE≥AE﹣ET＝4﹣8，∴AE的最小值为4﹣8．故答案为：4﹣8．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．6．（2023•宁波模拟）传统服饰日益受到关注，如图1为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如图2马面裙可以近似地看作扇环，其中AD长度为米，BC长度为米，圆心角∠AOD＝60°，则裙长AB 为．【分析】由题意知，＝＝，＝＝计算求解OA ，OB 的值，然后根据AB ＝OB ﹣OA 计算求解即可．【解答】解：由题意知，＝＝，＝＝，解得OA ＝1，，∴＝0.8（米）， 故答案为：0.8米．【点评】本题考查了扇形的弧长公式．解题的关键在于正确的计算．7．（2023•萧山区校级模拟）如图，BD 是⊙O 的直径，点A ，C 在⊙O 上，AB ＝AD ，AC 交BD 于点E ，已知∠COD ＝135°．（1）求∠AEB 的度数，（2）若CO ＝1，求OE 的长．【分析】（1）根据圆周角定理以及等腰直角三角形的性质可求出答案；（2）由相似三角形的判定和性质得出＝，进而得到＝，而OE+BE ＝OB ＝1，代入求解即可．【解答】解：（1）∵BD 是⊙O 的直径，点A 在⊙O 上，∴∠BAD ＝90°，∵AB ＝AD ，∴∠ABD ＝∠ADB ＝45°，∵∠COD ＝135°，∴∠BOC ＝180°﹣135°＝45°，∴∠BAC＝∠BOC＝22.5°，∴∠AEB＝180°﹣45°﹣22.5°＝112.5°；（2）在Rt△ABD中，AB＝AD，BD＝2OC＝2，∴AB＝×BD＝，∵∠ABC＝∠BOC＝45°，∴AB∥OC，∴△COE∽△ABE，∴＝，即＝，而OE+BE＝OB＝1，∴OE＝﹣1．【点评】本题考查圆心角、弦、弧之间的关系，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，掌握圆心角、弦、弧之间的关系，圆周角定理是正确解答的前提．8．（2023•玉环市二模）如图，点A、B、C、D是⊙O上的点，AD为直径，AB∥OC．（1）求证：点C平分弧BD．（2）利用无刻度的直尺和圆规作出AB的中点P（保留作图痕迹）．【分析】（1）连接OB，由平行线的性质，等腰三角形的性质，得到∠DOC＝∠COB，由此点C平分．（2）分别以A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，得到两弧的交点，从而得到点P．【解答】（1）证明：连接OB，∵OC∥AB，∴∠DOC＝∠OAB，∠COB＝∠OBA．∵OA＝OB，∴∠DOC＝∠COB，∴点C平分．（2）作法：①分别以A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于M，②连接OM交AB于P，∴点P即为所求作的点．【点评】本题考查平行线的性质，圆心角、弧、弦的关系，尺规作图，关键是掌握圆心角、弧、弦的关系，用尺规作线段垂直平分线的方法．9．（2023•婺城区模拟）如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F．（1）求证：CF＝BF；（2）若CD＝6，AC＝8，求⊙O的半径及CE的长．【分析】（1）要证明CF＝BF，可以证明∠ECB＝∠DBC；AB是⊙O的直径，则∠ACB＝90°，又知CE⊥AB，则∠CEB＝90°，则∠DBC＝90°﹣∠ACE＝∠A，∠ECB＝∠A，则∠ECB＝∠DBC；（2）在直角三角形ACB中，AB2＝AC2+BC2，又知，BC＝CD，所以可以求得AB的长，即可求得圆的半径；再利用面积法求得CE的长．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠A＝90°﹣∠ABC．∵CE⊥AB，∴∠ECB＝90°﹣∠ABC，∴∠ECB＝∠A．又∵C是的中点，∴＝，∴∠DBC＝∠A，∴∠ECB＝∠DBC，∴CF＝BF；（2）解：∵＝，∴BC＝CD＝6，∵∠ACB＝90°，∴AB＝＝＝10，∴⊙O的半径为5，∵S△ABC＝AB•CE＝BC•AC，∴CE＝＝＝．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理、等腰三角形的性质以及角平分线的性质等知识．此题综合性很强，难度适中，注意数形结合思想与方程思想的应用．二．圆周角定理（共11小题）10．（2023•鹿城区一模）如图，AC是⊙O的直径，B，D是⊙O上的两点，连结AB，BC，CD，BD，若∠A+∠D＝80°，则∠ACB的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．80°【分析】根据圆周角定理得出∠ABC＝90°，∠A＝∠D＝40°，根据直角三角形的性质求解即可．【解答】解：∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∴∠A+∠ACB＝90°，∵∠A+∠D＝80°，∠A＝∠D，∴∠A＝40°，∴∠ACB＝50°，故选：B．【点评】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．11．（2023•西湖区校级三模）如图，点A、B、C在圆O上，若∠A＝50°，则∠OBC的度数为（）A．40°B．45°C．50°D．55°【分析】根据圆周角定理求得∠BOC的度数，然后利用三角形内角和定理及等边对等角即可求得答案．【解答】解：∵∠A＝50°，∴∠BOC＝2∠A＝100°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝（180°﹣100°）÷2＝40°，故选：A．【点评】本题主要考查圆周角定理及等腰三角形性质，它们均为几何中重要知识点，必须熟练掌握．12．（2023•宁波模拟）如图，AB是⊙O的直径，C，D两点在圆上，连接AD，CD，且＝，∠CAB＝25°，P为上一动点，在运动过程中，DP与AC相交于点M，当△CDM为等腰三角形时，∠PDC的度数为．【分析】根据＝，∠CAB＝25°，得∠CAD＝∠CAB＝25°，由AB是⊙O的直径，得∠C＝40°，然后分三种情况讨论即可求出答案．【解答】解：∵＝，∠CAB＝25°，∴∠CAD＝∠CAB＝25°，∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝40°，当△CDM为等腰三角形时，①当MD＝MC时，∠PDC＝∠C＝40°，②当CD＝CM时，∠PDC＝＝70°，③当DM＝DC时，∠PDC＝180°﹣2×40°＝100°，故答案为：40°或70°或100°．【点评】本题主要考查了圆周角定理，关键是求出∠C的度数和分三种情况讨论求角．13．（2023AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，若∠ABD＝60°，∠AED＝100°，则∠ABC＝．【分析】连接AC，根据圆周角定理及三角形外角性质求解即可．【解答】解：连接AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠BCD+∠ACD＝90°，∵∠ACD＝∠ABD＝60°，∴∠BCD＝90°﹣60°＝30°，∵∠AED＝100°，∴∠BED＝∠BCD+∠ABC＝80°，∴∠ABC＝∠BED﹣∠BCD＝80°﹣30°＝50°，故答案为：50°．【点评】此题考查了圆周角定理，熟记“直径所对的圆周角等于90°”是解题的关键．14．（2023•杭州）如图，在⊙O中，半径OA，OB互相垂直，点C在劣弧AB上．若∠ABC＝19°，则∠BAC＝（）A．23°B．24°C．25°D．26°【分析】连接OC，根据圆周角定理可求解∠AOC的度数，结合垂直的定义可求解∠BOC 的度数，再利用圆周角定理可求解．【解答】解：连接OC，∵∠ABC＝19°，∴∠AOC＝2∠ABC＝38°，∵半径OA，OB互相垂直，∴∠AOB＝90°，∴∠BOC＝90°﹣38°＝52°，∴∠BAC＝∠BOC＝26°，故选：D．【点评】本题主要考查圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．15．（2023•余杭区模拟）如图，AB是半圆O的直径，点D是弧AC的中点，若∠DAC＝25°．则∠BAC等于（）A．40°B．42°C．44°D．46°【分析】利用圆周角定理和弧与圆心角的关系求解即可．【解答】解：连接OC，OD，∵点D是弧AC的中点，∴弧AD＝弧CD，又∠DAC＝25°，∴∠AOD＝∠COD＝2∠DAC＝50°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOD﹣∠COD＝80°，∴，故选：A．【点评】本题考查圆周角定理、弧与圆心角的关系，熟练掌握圆周角定理是解答的关键．16．（2023•杭州模拟）如图是以点O为圆心，AB为直径的圆形纸片，点C在⊙O上，将该圆形纸片沿直线CO对折，点B落在⊙O上的点D处（不与点A重合），连接CB，CD，AD．设CD与直径AB交于点E．若AD＝ED，则∠B＝度；的值等于．【分析】由等腰三角形的性质得出∠DAE＝∠DEA，证出∠BEC＝∠BCE，由折叠的性质得出∠ECO＝∠BCO，设∠ECO＝∠OCB＝∠B＝x，证出∠BCE＝∠ECO+∠BCO＝2x，∠CEB＝2x，由三角形内角和定理可得出答案；证明△CEO∽△BEC，由相似三角形的性质得出，设EO＝x，EC＝OC＝OB＝a，得出a2＝x（x+a），求出OE＝a，进而可得出答案．【解答】解：∵AD＝DE，∴∠DAE＝∠DEA，∵∠DEA＝∠BEC，∠DAE＝∠BCE，∴∠BEC＝∠BCE，∵将该圆形纸片沿直线CO对折，∴∠ECO＝∠BCO，又∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠B，设∠ECO＝∠OCB＝∠B＝x，∴∠BCE＝∠ECO+∠BCO＝2x，∴∠CEB＝2x，∵∠BEC+∠BCE+∠B＝180°，∴x+2x+2x＝180°，∴x＝36°，∴∠B＝36°；∵∠ECO＝∠B，∠CEO＝∠CEB，∴△CEO∽△BEC，∴，∴CE2＝EO•BE，设EO＝x，EC＝OC＝OB＝a，∴a2＝x（x+a），解得，x＝a（负值舍去），∴OE＝a，∴AE＝OA﹣OE＝a﹣a＝a，∴＝＝．故答案为：36，．理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．17．（2023•钱塘区三模）如图，AB是⊙O的直径，半径OD⊥AB，点E在OB上，连接DE并延长交⊙O于点C，连接BC．（1）求∠B﹣∠D的值．（2）当∠B＝75°时，求的值．（3）若BC＝CE，△DOE与△CBE的面积分别记为S1，S2，求的值．【分析】（1）由圆周角定理求出∠BCD＝∠BOD＝45°，由等腰三角形的性质推出∠OBC﹣∠ODC＝∠OCB ﹣∠OCD＝∠DCB＝45°；（2）由直角三角形的性质得到＝，由等腰三角形的性质得到CD＝OD，即可求出的值；（3）由OC∥BD，得到△CBD的面积＝△ODB的面积，因此△CBE的面积＝△OED的面积，即可解决问题．【解答】解：（1）连接OC，∵半径OD⊥AB，∴∠BOD＝90°，∴∠BCD＝∠BOD＝45°，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠OBC﹣∠ODC＝∠OCB﹣∠OCD＝∠DCB＝45°；（2）∵∠B＝75°，∠DCB＝45°，∴∠CEB＝60°，∴∠OED＝60°，∴＝，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝75°，∴∠BOC＝30°，∴∠COD＝∠BOD+∠BOC＝120°，∴CD＝OD，∴＝＝．（3）连接BD，∵BC＝CE，∴∠CBE＝∠CEB，∵∠BCE＝45°，∴∠CBE＝67.5°，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠CBE＝67.5°，∴∠OCE＝∠OCB﹣∠BCD＝22.5°，∵∠BOC＝180°﹣∠OCB﹣∠OBC＝45°，∴∠BDC＝∠BOC＝22.5°，∴∠OCE＝∠BDC，∴OC∥BD，∴△CBD的面积＝△ODB的面积，∴△CBE的面积＝△OED的面积，∴＝1．【点评】本题考查圆周角定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，三角形的面积，关键是由圆周角定理∠BCD＝45°，由等腰三角形的性质即可求出∠OBC﹣∠ODC＝45°；由直角三角形的性质，等腰三角形的性质求出OE、CD与OD的数量关系，即可求出的值；由OC∥BD，即可得到△CBE的面积＝△OED的面积．18．（2023•衢州二模）如图，在⊙O中，OA，OB是直径，C是劣弧上的一点．且∠AOB＝120°．（1）求∠ACB的度数；（2）若AC＝BC．求证：四边形ACBO是菱形．【分析】（1）由题意可得劣弧＝120°，从而可得优弧＝240°，再由圆周角定理即可求∠ACB的度数；（2）连接OC，利用SSS可证得△AOC≌△BOC，则有∠AOC＝∠BOC，可求得∠AOC＝∠BOC＝60°，可得△AOC是等边三角形，则有AO＝AC＝OC，同理得BO＝BC＝OC，故AO＝AC＝BC＝BO，即可判定四边形ACBO 是菱形．【解答】（1）解：∵C是劣弧上的一点，且∠AOB＝120°，∴劣弧的度数为：120°，∴优弧的度数为：240°，∴∠ACB＝×240°＝120°；（2）证明：连接OC，如图，∵OA，OB是半径，点C在⊙O上，∴OA＝OB＝OC，在△AOC与△BOC中，，∴△AOC≌△BOC（SSS），∴∠AOC＝∠BOC，∵∠AOB＝120°，∴∠AOC＝∠BOC＝60°，∴△AOC是等边三角形，∴AO＝AC＝OC，同理得：BO＝BC＝OC，∴AO＝AC＝BC＝BO，∴四边形ACBO是菱形．【点评】本题主要考查圆周角定理，菱形的判定，圆心角，弦，弧的关系，解答的关键是熟记相应的知识并灵活运用．19．（2023•金东区二模）如图，已知AB，CD是⊙O的直径，点E是CA延长线的一点，射线ED交⊙O点于F，连结AD，CF，∠CDA＝∠EDA，∠CAB＝30°，AB＝8．（1）求证：AB∥FE．（2）求∠FCA的度数．（3）求CE的长．【分析】（1）由OA＝OD，得到∠ODA＝∠OAD，而∠CDA＝∠EDA，因此∠OAD＝∠EDA，即可证明AB∥FE；（2）由AB∥FE，得到∠E＝∠CAB＝30°，由圆周角定理得到∠EFC＝90°，由直角三角形的性质，即可得到∠FCA的度数；（3）可以证明DC＝DE，由圆周角定理得到AD⊥CE，因此CE＝2CA，由cos∠DCA＝＝，CD＝AB＝8，求出AC的长，即可得到CE的长．【解答】（1）证明：∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∵∠CDA＝∠EDA，∴∠OAD＝∠EDA，∴AB∥FE；（2）解：∵AB∥FE，∴∠E＝∠CAB＝30°，∵CD是圆的直径，∴∠EFC＝90°，∴∠FCA＝90°﹣∠E＝60°；（3）解：∵OC＝OA，∴∠OCA＝∠OAC＝30°，∵∠E＝30°，∴∠OCA＝∠E＝30°，∴DC＝DE，∵DC是圆的直径，∴AD⊥CE，∴CA＝EA，∴CE＝2CA，∵cos∠DCA＝＝，CD＝AB＝8，∴AC＝4，∴CE＝2×4＝8．【点评】本题考查圆周角定理，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定，掌握以上知识点是解题的关键．20．（2023•滨江区一模）如图1，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，，BF与CD交于点G．（1）求证：CD＝BF．（2）若BE＝1，BF＝4，求GE的长．（3）连结GO，OF，如图2，求证：．【分析】（1）由AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E得，又由，得到，从而得到，即，即可得证；（2）连接BC，由（1）得：，CD＝BF＝4，从而得到∠FBC＝∠BCD，则BG＝CG，设EG＝x，则BG ＝CG＝2﹣x，在△BEG中，EG2+BE2＝BG2，即x2+12＝（2﹣x）2，即可得到答案；（3）连接OC交BF于I，则OC⊥BF，通过证明△OCG≌△OBG（SSS），得到∠IOB＝2∠EOG，再由等腰三角【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，∴，∵，∴，∴，即，∴BF＝CD；（2）解：如图所示：连接BC，由（1）得：，CD＝BF＝4，∴∠FBC＝∠BCD，∴BG＝CG，∵AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，∴，设EG＝x，则BG＝CG＝2﹣x，在△BEG中，EG2+BE2＝BG2，即x2+12＝（2﹣x）2，解得：，∴GE的长为；（3）解：如图所示：连接OC交BF于I，∴，在△OCG和△OBG中，，∴△OCG≌△OBG（SSS），∴∠COG＝∠BOG，∴∠IOB＝2∠EOG，∵OF＝OB，OC为半径，∴OC⊥BF，∴∠OIB＝90°，∵∠IOB+∠IBO＝90°，∴．【点评】本题主要考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，勾股定理，熟练掌握圆周角定理，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，添加恰当的辅助线是解题的关键．三．圆内接四边形的性质（共11小题）21．（2022秋•嘉兴期末）已知，在圆内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C＝1：2：5，则∠D的度数为（）A．30°B．60°C．120°D．150°【分析】先根据在圆内接四边形ABCD中∠A：∠B：∠C＝1：2：5，设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝5x，再根据圆内接四边形的对角互补求出x的值，进而可得出结论．【解答】解：∵圆内接四边形ABCD中∠A：∠B：∠C＝1：2：5，设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝5x，∵∠A+∠C＝180°，即x+5x＝180°，解得x＝30°，∴2x＝60°．即∠B＝60°，∵∠B+∠D＝180°，∴D＝120°．故选：C．22．（2023•宁波模拟）圆内接四边形ABCD，两组对边的延长线分别相交于点E、F，且∠E＝40°，∠F＝60°，求∠A＝°．【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠BCD＝180°﹣∠A，根据三角形的外角的性质计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠BCD＝180°﹣∠A，∵∠CBF＝∠A+∠E，∠DCB＝∠CBF+∠F，∴180°﹣∠A＝∠A+∠E+∠F，即180°﹣∠A＝∠A+40°+60°，解得∠A＝40°．故答案为：40．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补、圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键．23．（2023•龙港市一模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连结CE，若∠BAD ＝110°，则∠DCE＝度．【分析】由∠DAB+∠DCB＝180°，再结合圆周角定理，即可计算∠DCE的大小．【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BAD＝110°，∴∠DAB+∠DCB＝180°，∴∠DCB＝180°﹣110°＝70°，∵BE是⊙O的直径，∴∠DCE+∠DCB＝90°，【点评】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键．24．（2022秋•仙居县期末）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点C是弧BD的中点，连接BD，若∠CBD＝35°，求∠A的度数．【分析】根据圆的性质及等腰三角形的性质得出∠CBD＝∠CDB＝35°，根据三角形内角和推出∠C＝110°，再根据圆内接四边形的性质即可求解．【解答】解：∵点C是弧BD的中点，∴＝，∴BC＝CD，∴∠CBD＝∠CDB＝35°，∴∠C＝180°﹣35°﹣35°＝110°，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠C＝180°，∴∠A＝70°．【点评】此题考查了圆内接四边形的性质，熟记“圆内接四边形的对角互补”是解题的关键．25．（2023•绍兴）如图，四边形ABCD内接于圆O，若∠D＝100°，则∠B的度数是．【分析】由圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补，即可得到答案．【解答】解：∵四边形ABCD内接于圆O，∴∠B+∠D＝180°，∵∠D＝100°，【点评】本题考查圆内接四边形的性质，关键是掌握圆内接四边形的性质．26．（2023•萧山区二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点C是弧BD的中点，延长AB到点E，使得BE ＝AD，连结AC，CE．（1）求证：AC＝CE．（2）若，，∠BCD＝120°，求BC的长．【分析】（1）根据圆内接四边形性质易得∠D＝∠CBE，再根据圆心角、弧、弦的关系可得CD＝CB，再结合已知条件证得△ACD≌△ECB，从而证得结论；（2）作CM⊥AB交AB于点M，结合（1）中所求易得AE的长度，再根据圆内接四边形性质及圆心角、弧、弦的关系可得∠CBM＝30°，利用三线合一及三角函数可求得CM，BM的长度，最后利用勾股定理即可求得答案．【解答】解：（1）∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠D+∠ABC＝180°，∵∠ABC+∠CBE＝180°，∴∠D＝∠CBE，∵点C时的中点，∴CD＝CB，在△ACD与△ECB中，，∴△ACD≌△ECB（SAS），∴AC＝CE；（2）如图，作CM⊥AB交AB于点M，∵AD＝4，BE＝AD，∴BE＝4，∵AB＝6，∴AE＝AB+BE＝6+4＝10，∵AC＝CE，CM⊥AB，∴AM＝AE＝5，∴BM＝AB﹣AM＝6﹣5＝，∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠BCD+∠BAD＝180°，∵∠BCD＝120°，∴∠BAD＝60°，∵CD＝CB，∴∠CAM＝∠BAD＝30°，∵∠AMC＝90°，∴tan∠CAM＝tan30°＝＝，∴CM＝5×＝5，∴BC＝＝＝＝2．【点评】本题主要考查圆的相关性质及全等三角形的判定及性质，（2）中作CM⊥AB交AB于点M，构造直角三角形及利用三线合一求得线段长度是解题的关键．27．（2023•金华三模）在⊙O中，点A，B，C，D都在圆周上，OB∥DC，OD∥BC，则∠A的度数为（）A．45°B．50°C．55°D．60°【分析】根据圆内接四边形的性质得出∠C+∠A＝180°，根据平行线的性质得出∠C+∠OBC＝180°，∠BOD+∠OBC＝180°，求出∠C＝∠BOD，根据圆周角定理得出∠BOD＝2∠A，求出∠C＝2∠A，再求出∠A即可．【解答】解：∵点A，B，C，D都在圆周上，∴∠C+∠A＝180°，∵OB∥DC，OD∥BC，∴∠C+∠OBC＝180°，∠BOD+∠OBC＝180°，∴∠C＝∠BOD，∵∠BOD＝2∠A，∴∠C＝2∠A，即3∠A＝180°，∴∠A＝60°，故选：D．【点评】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，平行线的性质等知识点，能求出∠C+∠A＝180°和∠BOD＝2∠A是解此题的关键．28．（2023•萧山区校级模拟）如图，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD＝α，AO∥DC，∠B＝β，则α，β满足关系为（）A．2α﹣β＝90°B．α+β＝90°C．2β+α＝180°D．α+9β＝540°【分析】先根据平行线的性质得出∠ODC＝∠AOD＝α，再由等腰三角形的性质与三角形内角和定理求得∠即可．【解答】解：连接OC，∵AO∥DC，∴∠ODC＝∠AOD＝α，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD＝α，∴∠DOC＝180°﹣2α，∴∠AOC＝∠AOD+∠DOC＝180°﹣α，∴∠ABC＝∠AOC＝90°﹣α，即β＝90°﹣α，∴2β+α＝180°．故选：C．【点评】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．29．（2022秋•上城区期末）如图，四边形ABCD是半圆O的内接四边形，AB是直径，CD＝BC．若∠DCB ＝100°，则∠ADC的度数为（）A．100°B．110°C．120°D．130°【分析】连接BD，分别求出∠ADB，∠CDB，可得结论．【解答】解：连接BD．∵AB是直径，∵CD＝CB，∠C＝100°，∴∠CDB＝∠CBDD＝40°，∴∠ADC＝∠ADB+∠CDB＝90°+40°＝130°．故选：D．【点评】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，解题关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．30．（2022秋•嵊州市期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，分别延长BC，AD，使它们相交于点E，AB＝8，且DC＝DE．（1）求证：∠A＝∠AEB．（2）若∠EDC＝90°，点C为BE的中点，求⊙O的半径．【分析】（1）根据圆内接四边形的对角互补可得∠A+∠BCD＝180°，再由邻补角互补可得∠BCD+∠DCE＝180°，根据同角的补角相等可得∠A＝∠DCE，再根据等边对等角可得∠E＝∠DCE，再根据等量代换可得∠A＝∠AEB．（2）连接AC，根据直角所对的弦是直径得出AC为⊙O的直径，根据勾股定理求出AC，即可求解．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A+∠BCD＝180°，∵∠BCD+∠DCE＝180°，∴∠A＝∠DCE，∵DC＝DE∴∠E＝∠DCE，（2）解：如图，连接AC，∵∠EDC＝90°，∴AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∵∠A＝∠AEB∴AB＝BE∵AB＝8，∴BE＝8，∵点C为BE的中点，∴，在Rt△ABC中，，∴⊙O的半径为．31．（2023•杭州二模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点F是CD延长线上的一点，且AD平分∠BDF，AE⊥CD于点E．（1）求证：AB＝AC．（2）若BD＝11，DE＝2，求CD的长．【分析】（1）根据角平分线的定义、圆内接四边形的性质解答；（2）过点A作AG⊥BD，分别证明Rt△AED≌Rt△AGD和Rt△AEC≌Rt△AGB，根据全等三角形的性质计算．【解答】（1）证明：∵AD平分∠BDF，∴∠ADF＝∠ADB，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°，∴∠ADF＝∠ABC，∵∠ACB＝∠ADB，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC；（2）解：过点A作AG⊥BD，垂足为点G．∵AD平分∠BDF，AE⊥CF，AG⊥BD，∴AG＝AE，∠AGB＝∠AEC＝90°，在Rt△AED和Rt△AGD中，，∴Rt△AED≌Rt△AGD，∴GD＝ED＝2，在Rt△AEC和Rt△AGB中，，∴Rt△AEC≌Rt△AGB（HL），∴BG＝CE，∵BD＝11，∴BG＝BD﹣GD＝11﹣2＝9，∴CE＝BG＝9，∴CD＝CE﹣DE＝9﹣2＝7．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键．四．相交弦定理（共4小题）32．（2021秋•东阳市月考）已知四边形ABCD两条对角线相交于点E，AB＝AC＝AD，AE＝3，EC＝1，则BE•DE的值为（）A．6B．7C．12D．16【分析】由题意可知AB＝AC＝AD，点D、C、B在以点A为圆心的圆周上运动，由相交弦定理可得，BE•DE ＝CE•EF即可求出答案．【解答】解：∵AB＝AC＝AD，∴点D、C、B在以点A为圆心的圆周上运动，AE＝3，EC＝1，∴AC＝AF＝AE+CE＝3+1＝4，EF＝AE+AF＝3+4＝7，由相交弦定理可得，BE•DE＝CE•EF＝1×7＝7，故选：B．【点评】本题考查了相交弦定理，根据圆心和半径构建圆是解题的关键．33．（2021秋•余姚市期中）如图，⊙O的弦AB、CD相交于点P，若AP＝6，BP＝8，CP＝4，则CD长为（）A．16B．24C．12D．不能确定【分析】由相交线定理可得出AP•BP＝CP•DP，再根据AP＝6，BP＝8，CP＝4，可得出PD的长，从而得出CD即可．【解答】解：∵AP•BP＝CP•DP，∴PD＝，∵AP＝6，BP＝8，CP＝4，∴PD＝12，∴CD＝PC+PD＝12+4＝16．故选：A．【点评】本题考查了相交线定理，圆内两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等．34．（2022秋•温州期末）已知四边形ABCD两条对角线相交于点E，AB＝AC＝AD，AE＝3，EC＝1，则BE •DE的值为（）A．6B．7C．12D．16．【分析】由题意可知AB＝AC＝AD，点D、C、B在以点A为圆心的圆周上运动，由相交弦定理可得，BE•DE ＝CE•EF即可求出答案．【解答】解：∵AB＝AC＝AD，∴点D、C、B在以点A为圆心的圆周上运动，AE＝3，EC＝1，∴AC＝AF＝AE+CE＝3+1＝4，EF＝AE+AF＝3+4＝7，由相交弦定理可得，BE•DE＝CE•EF＝1×7＝7，故选：B．【点评】本题考查了相交弦定理，根据圆心和半径构建圆是解题的关键．35．（2022秋•嵊州市期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，若AE＝2，BE＝8，CE＝2DE，则O到CD的距离为．【分析】连接AD、BC、OC，过O作OH⊥CD交CD于H，先根据圆周角定理和相似三角形的判定证明△ADE∽△CBE，再利用相似三角形的性质求得进而求得，进而求得，然后利用垂径定理和勾股定理求得OH即可求解．【解答】解：如图，连接AD、BC，则∠ADE＝∠CBE，∠DAE＝∠BCE，∴△ADE∽△CBE，∴，∵AE＝2，BE＝8，CE＝2DE，∴2DE2＝AE•BE＝2×8＝16，AB＝10，∴，，∴， 过O 作OH ⊥CD 交CD 于H ，连接OC ，则， 在Rt △OHC 中，， ∴，即O 到CD 的距离为， 故答案为：．【点评】本题考查圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握圆周角定理和垂径定理，会利用相似三角形的判定与性质求线段长是解题的关键．【过关检测】一、单选题 1．（2022秋·浙江·九年级专题练习）如图，在O 中,45CD A AB OB =∠=︒，则COD ∠=（ ）A ．60︒B ．45︒C ．30︒D ．40︒【答案】B 【分析】根据同圆中等弧所对的圆心角相等，即可求解．【详解】解：∵,45CD A AB OB =∠=︒，∴COD ∠=45︒，故选：B ．【点睛】本题考查了同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等，掌握同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等是解题的关键． 2．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，点A ，B ，C ，D 在O 上，则图中一定与ABC ∠相等的角是（ ）A ．BAD ∠B ．ACD ∠C ．BCD ∠ D ．ADC ∠【答案】D 【分析】根据同弧所对等圆周角相等求解即可．【详解】∵ABC ∠所对应的弧为AC ，∴ADC ABC ∠=∠，故选：D ．【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．3．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 为直径，BC CD =，连接AC ．若40DAB ∠=︒，则B ∠的度数为（ ）A ．70°B ．60°C ．50°D ．40°【答案】A 【分析】连接AC ，根据等弧所对的圆周角相等可得1202DAC BAC DAB ∠=∠=∠=︒，再根据直径所对的圆周角为直角可得90ACB ∠=︒，最后根据三角形的内角和即可求解．【详解】解：连接AC ，∵点C 为BD 的中点 ∴1202DAC BAC DAB ∠=∠=∠=︒∵AB 为O 的直径∴90ACB ∠=︒∴180902070ABC ∠=︒−︒−︒=︒故选：A ．【点睛】本题主要考查了在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角，三角形的内角和，解题的关键是熟练掌握相关知识并灵活运用．4．（2023·浙江·模拟预测）已知弦AB 把圆周分成1:3两部分，则弦AB 所对圆心角的度数为（ ）【分析】分优弧，劣弧两种情况，求解即可．【详解】解：∵弦AB 把圆周分成1:3两部分，∴劣弧AB 的度数为：1360904°´=°，即：劣弧所对的圆心角的度数为90︒， 优弧AB 的度数为：33602704︒⨯=︒，即：优弧所对的圆心角的度数为270︒，∴弦AB 所对圆心角的度数为90︒或270︒；故选C ．【点睛】本题考查弦，弧，角之间的关系．注意弦分弧为优弧和劣弧两种情况． 5．（2023秋·浙江台州·九年级统考期末）如图，CD 是O 的直径，弦AB 垂直CD 于点E ，连接AC ，BC ，AD ，BD ，则下列结论不一定．．．成立的是（ ）。
华师大版数学九年级下第7讲 圆心角,圆周角定理
OABCCA EFDO B第7讲 圆心角，圆周角定理知识要点梳理：一、圆心角的定义：如图所示，∠AOB 的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．(∠AOB 是弧AB 所对的圆心角)二、圆心角定理及推论：（1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等（2）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等． （3）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．三、圆周角的定义：如图所示，∠ACB 的顶点在圆周上，像这样的角叫做圆周角(∠ACB 是弧AB 所对的圆周角)． 四、圆周角的定理及推论：(1)定理:在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弧所对的圆心角的一半． (2)推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90•°的圆周角所对的弦是直径． 五、圆的内接四边形对角互补，对角互补的四边形是圆的内接四边形 经典例题：例1．如图，AB 是⊙O 的直径，∠DCB=30°，则∠ACD= °， ∠ABD= °例2、如图，OA 、OB 、OC 都是圆O 的半径，∠AOB=2∠BOC ．求证：∠ACB=2∠BAC例3、如图，AB 、CD 是⊙O 的直径，DF 、BE 是弦，且DF=BE 。
求证：∠D=∠BODC BA例4.四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BC=b ，AB=AC=AD=a ，求BD 的长．例5.如图，以△ABC 的一边AB 为直径作⊙O ，⊙O 与BC 边的交点恰好为BC 的中点D ，过点D 作AC DE ⊥,交AC 于点E ．连接OD 、OE （1）求证：DE ⊥OD ；（2）若AB=3DE ，且48=∆ABC S ,求OE 的长。
经典练习：一．选择题1．如图1，A 、B 、C 三点在⊙O 上，∠AOC=100°，则∠ABC 等于（ ）．A ．140°B ．110°C ．120°D ．130°OBA C2143OB ACD(1) (2) (3) 2．如图2，∠1、∠2、∠3、∠4的大小关系是（ ） A ．∠4<∠1<∠2<∠3 B ．∠4<∠1=∠3<∠2C ．∠4<∠1<∠3<∠2D ．∠4<∠1<∠3=∠23．如图3，AD 是⊙O 的直径，AC 是弦，OB ⊥AD ，若OB=5，且∠CAD=30°，则BC 等于（ ）．A ．3B ．3C ．5-123 D ．54．如图，C 、D 是以线段AB 为直径的⊙O 上两点，若CA=CD ，且∠ACD=40°，则∠CAB=（ ） A ．10° B ．20° C ．30° D ．40°5．如图，⊙O中，弦AB与CD交于点M，∠A=45°，∠AMD=75°，则∠B的度数是（）A．15°B．25°C．30°D．75°6．如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P 是优弧上一点，则∠APB的度数为（）A．45°B．30°C．75°D．60°7．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AD平分∠BAC，交BC于点E，AB=6，AD=5，则AE的长为（）A．2.5 B．2.8 C．3 D．3.28．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，则EC的长为（）A．2 B．8 C ． D．29．△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是（）A．80°B．160°C．100°D．80°或100°二．填空题1．一条弦长恰好为半径长，则此弦所对的弧是半圆的_________．2．如图4，AB和DE是⊙O的直径，弦AC∥DE，若弦BE=3，则弦CE=________．3. 若圆的一条弦把圆分成度数的比为1：3的两条弧，则劣弧所对的圆周角等于．4．如图5，A、B是⊙O的直径，C、D、E都是圆上的点，则∠1+∠2=_______．•O BAE DOBC21EDOB C(4) (5) (6)5．如图6，已知△ABC为⊙O内接三角形，BC=•1，•∠A=•60•°，•则⊙O•半径为_______．OBA CD6．如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的两点，若∠BCD=28°，则∠ABD= °．7．如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 都在⊙O 上，∠ABC=50°，则∠BDC 的大小是 ．8．如图，一块直角三角板ABC 的斜边AB 与量角器的直径恰好重合，点D 对应的刻度是58°，则∠ACD 的度数为 ．9．如图，点O 为所在圆的圆心，∠BOC=112°，点D 在BA 的延长线上，AD=AC ，则∠D= ．10．如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O 在格点上，则∠AED 的正切值为 ．11．如图，圆内接四边形ABCD 两组对边的延长线分别相交于点E ，F ，且∠A=55°，∠E=30°，则∠F= ． 三．解答题1.如图，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，延长BD 到C ，使AC=AB ，BD 与CD 的大小有什么关系？为什么？O BA CP30°B ANOMP OBA C y xM2．如图，已知AB=AC ，∠APC=60°（1）求证：△ABC 是等边三角形． （2）若BC=4cm ，求⊙O 的面积．3．如图，⊙C 经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A 与点B ，点A 的坐标为（0，4），M 是圆上一点，∠BMO=120°． （1）求证：AB 为⊙C 直径． （2）求⊙C 的半径及圆心C 的坐标．4．已知△ABC ，以AB 为直径的⊙O 分别交AC 于D ，BC 于E ，连接ED ，若ED=EC ． （1）求证：AB=AC ； （2）若AB=4，BC=2，求CD 的长．能力拓展1.如图所示，MN 是半径为1的⊙O 的直径，点A 在⊙O 上， ∠AMN=30°，点B 为劣弧AN 的中点，点P 是直径MN 上一动点，则PA+PB 的最小值是（ ） A.2 B.1 C.2 D.222．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC=BC=DC．（1）若∠CBD=39°，求∠BAD的度数；（2）求证：∠1=∠2．3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠1=∠BCD．（1）求证：CB∥PD；（2）若BC=3，sin∠BPD=，求⊙O的直径．4．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，OD∥BC交⊙O于点D，交AC于点E，连接AD，BD，CD．（1）求证：AD=CD；（2）若AB=10，cos∠ABC=，求tan∠DBC的值．5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD （1）求证：BD平分∠ABC；（2）当∠ODB=30°时，求证：BC=OD．6．如图，在圆内接四边形ABCD中，CD为∠BCA的外角的平分线，F为上一点，BC=AF，延长DF与BA的延长线交于E．（1）求证：△ABD为等腰三角形．（2）求证：AC•AF=DF•FE．7．如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交CA的延长线于点E，连接AD、DE．（1）求证：D是BC的中点；（2）若DE=3，BD﹣AD=2，求⊙O的半径；（3）在（2）的条件下，求弦AE的长．课后巩固：1.如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠AOC=100°，则∠ABC的度数为（）A．30°B．45°C．50°D．60°AODBC2.如图所示，四边形ABCD内接于圆O，∠BCD=120°，则∠BOD=__________度。
九年级数学圆周角和圆心角的关系1
AC AD AE AB
△ADC∽ △ABE
或△ACE∽ △ADB
B E
O D
C
思考题
已知顶角∠A=500的等腰三角形ABC内接于 O，D是O上一点， 则∠ADB的度数是（ A. 500 C. 500或650 ） B. 650 D. 650或1150
作
业
1.课本P109习题3.5 1,2题
D C A O1 O B
1、本节课我们学习了哪些知识？
圆周角定理的两个推论
2、本节课我们学习了哪些方法？
引辅助线的方法： （1）构造直径上的圆周角。
（2）构造同弧所对的圆周角。
如图，AE⊙O的直径, △ABC的顶点都在 ⊙O上,AD是△ABC的高; 求证：AB · AC = AE · AD
分析：要证AB · AC = AE · AD A
A
∠DBC
D
.
B
C A
(2)如图所示,⊙O的直径AB=10cm, C为⊙O上一点,∠BAC=30°, 则BC= 5 cm
●
O C
B
3.如图,△ABC的顶点均在⊙O上, AB=4, ∠C=30°,求⊙O的直径.
B
●
A
O
C
E
如图，以⊙O的半径OA为直径作⊙O1, ⊙O的弦AD交⊙O1于C,则 OC垂直平分AD ; (1)OC与AD的位置关系是_____ 平 行 ; (2)OC与BD的位置关系是_____ 4 cm。 (3)若OC = 2cm,则BD = __
推论2
共同分析
1.如图,AB是⊙O的直径，BD是弦,延长BD 到C,使DC=BD,AC与AB的大小有什么关系? 为什么?
A
●
[初中教育][初三数学]圆心角和圆周角
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小班辅导教案知识点一圆心角定理1.概念填空：（1）把圆绕旋转任意一个角度，所得的图形都和原图形重合.圆是中心对称图形，就是它的对称中心.（2）顶点在的角叫做圆心角.（3）圆心角定理：在同圆会等圆中，相等的圆心角所对的相等，所对的也相等.（4）我们把1°圆心角所对的弧叫做，则n°的圆心角所对的弧就是 .2.把一个圆分成相等的6段弧，每段弧所对的圆心角的度数是 >3.如图，MN为⊙○的弦，∠M=50°，则圆心角∠MON等于（）A.50°B.55°C.65°D.80°̂= .4.如图，在⊙○中，∠AOB=∠COD，则AC= ，AĈ的度数5.如图，两个同心圆的圆心为O，大圆半径OA,OB分别交小圆于A′,B′两点，如果AB̂的度数是60°，那么A′B′为（）A.60°B.大于60°C.小于60°D.不能确定题型一利用圆心角定理证明角（弧）度、线段间的等量关系例1：如图，O为等腰三角形ABC的底边AB上的中点，以AB为直径的半圆分别交AC,BC于点D,E，连结OD,OE.求证：（1）∠AOE=∠BOD；̂=BÊ.（2）AD巩固练习1：如图，在⊙○中，弦AB=CD.求证：AC=BD.题型二利用圆心角定理计算弧的度数̂的度数为40°，例2：如图，AB,DF是⊙○的两条直径，C是⊙○的直径AB上一点，过点C作弦DE，使CD=CO.若AD̂的度数.求BE巩固练习2：如图，以Rt△ABC的直角顶点为圆心，以BA为半径的圆分别交AC于点D，交BC于点E.若∠C=31°，̂的度数.求AD知识点二圆心角定理的逆定理1.在同圆或等圆中，如果、、、中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等.2.下列命题中，真命题是（）A.相等的圆心角所对的弧相等B.相等的弦所对的弧相等C.度数相等的弧是等弧D.在同心圆中，同一圆心角所对的两条弧的度数相等3.在⊙○中，弦AB=2cm，圆心角∠AOB=60°，则⊙○的直径为 cm.4.已知AB,CD是⊙○的两条弦，且AB=CD,OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F.若OE=3，则OF= .̂=BĈ.若AB=3,则CD= .5.如图，在⊙○中，AD题型一：利用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系进行相关证明例1：如图，⊙○的弦AB,CD相交于点P，PO平分∠APD.求证：AB=CD.̂=BD̂.求巩固练习1：如图所示，⊙○的两条弦AB,CD互相垂直且相交于点P,OE⊥AB,OF⊥CD，垂足分别为E,F,AC证：四边形OEPF是正方形.例2：如图，P为⊙○的直径EF延长线上一点，PA交⊙○于点B，A,PC交⊙○于点D,C,∠1=∠2.求证：PB=PD.巩固练习2：如图，P为⊙○外一点，∠APC的两边分别交⊙○于点A,B和点C,D.如果PA=PC,求证：AB=CD.知识点三圆周角定理及其推论1.顶点在圆上，的角，叫做圆周角.2.圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的度数的一半.圆周角定理的推论1：半径（或直径）所对的圆周角是；90°的圆周角所对的弦是 .3.如图，A,C,B是⊙○上三点，若∠AOC=40°，则∠ABC的度数是 .4.已知一条弧的度数为80°，则这条弧所对的圆心角和圆周角分别是和 .5.在⊙○中，一条6cm长的弦所对的圆周角为90°，则⊙○的直径是 cm.6.已知Rt△ABC的两直角边的长分别为6cm和8cm，则它的外接圆的半径为 cm.题型一与圆周角定理有关的计算例1：如图，A,B,C,D四个点均在⊙○上，∠AOD=70°，AO//DC，求∠B的度数.巩固练习1：如图，A,B,C是⊙○上三点，AB=2,∠ACB=30°，求⊙○的半径.题型二利用圆周角定理的推理1进行计算与证明例2：如图AB,AC是⊙○的两条弦，且AB=AC.延长CA到点D，使AD=AC，连结DB并延长，交⊙○于点E.求证：CE是⊙○的直径.巩固练习2：如图，△ABC是⊙○的内接三角形，AD是⊙○的直径.若∠ABC=50°，求∠CAD的度数.知识点四圆周角定理的推理21.圆周角定理的推理2：在同圆或等圆中，所对的圆周角相等；的圆周角所对的弧也相等.2.如图，点A,B,C,D在⊙○上，若∠BDC=30°，则∠BAC= .3.如图，∠DBC=20°，∠APB=80°，则∠D= .4.若⊙○的弦AB所对的弧的度数是180°，则AB必是⊙○.5.如图，AB是⊙○的直径，∠CAB=60°，则∠D= .题型一：利用圆周角定理及其推论进行计算例1：如图，已知在⊙○中，直径AB=10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙○于点D，求BC,AD,BD的长.巩固练习1：如图，点A,B,C,D都在⊙○上，AD是⊙○的直径，且AD=6cm.若∠ABC=∠CAD，求弦AC的长.题型二：利用圆周角定理及其推论进行证明例2：如图，已知在△ABC中，∠BAC与∠ABC的平分线AE,BE交于点E，延长AE交△ABC的外接圆于点D，连结BD,CD,CE且∠BDA=60°.（1）求证：△BDE是等边三角形；（2）若∠BDC=120°，猜想四边形BDCE是怎样的四边形？并证明你的猜想.巩固练习2：如图，过圆内一点P作弦AB和CD，且AP=CP.求证：PB=PD.1.如图，点O 是两个同心圆的圆心，大圆半径OA,OB 交小圆于点C,D ，下列结论中正确的个数有（ ）①∠OCD=∠OAB ；②AB=CD;③AB̂=CD ̂. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个2.如图，BE 是半径为6的⊙D 的14圆周，C 点是BÊ上的任意一点，△ABD 是等边三角形，则四边形ABCD 的周长P 的取值范围是（ ）A.12<P ≤18B. 18<P ≤24C. 18<P ≤18+6√2D. 12<P ≤12+6√23.已知AB 是⊙○的直径，AC,AD 是弦，且AB=2，AC=√2，AD=1，则圆周角∠CAD 的度数是（ ）A.45°和60°B.60°C.105°D.15°或105°4.如图，AB 是⊙○的直径，点C 在⊙○上，弦BD 平分∠ABC ，则下列结论错误的是（ ）A.AD=DCB.AD̂=DC ̂ C.∠ADB=∠ACB D.∠DAB=∠CBA5.如图，已知AB 是⊙○的直径，PA=PB ，∠P=60°，则CD̂所对的圆心角等于 度.6.如图，AB,CD 是⊙○的两条互相垂直的弦，圆心角∠AOC=130°，AD,CB 的延长线相交于点P ，则∠P 的度数为 .7.如图，∠A 的两边交⊙○于点B,C,D,E ，若BD̂:BC ̂:CE ̂:DE ̂=1:3:4:4，则∠A 的度数为 .8.如图为⊙○的部分图形，OA,OB 是⊙○的两条互相垂直的半径，M 是弦AB 的中点，过点M 作MC//OA ，交AB̂于点C.求证：AC ̂=13AB ̂.9.已知：如图，A 点是半圆上一个三等分点，B 点是AN̂的中点，P 是直径MN 上一动点，⊙○的半径为1，则AP+BP 的最小值为多少？1.若⊙○内的一条弦与直径相交成30°的角，并把直径分成2cm 和6cm 两端，则这条弦的弦心距为（ ）A.1cmB. 2cmC. 3cmD. 4cm2.如图，用四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A,B,O是小正方形的顶点，⊙○的半径为1，P是⊙○上的一点，且位于右上方的小正方形内，则∠APB的度数为（）A.30°B.45°C.60°D.15°或105°3.如图，MN是半圆O的直径，点A是MN延长线上一点，AP交半圆于点Q,P.若∠A=20°，∠PMQ=40°，则∠MQP等于（）A.30°B.35°C.40°D.50°4.如图，AB为⊙○的一固定直径，它把⊙○分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙○于点P，当点C在上半圆（不包括A,B两点）上移动时，点P（）A.到CD的距离保持不变B.位置不变̂ D.随C点移动而移动C.等分BD（第4题）（第5题）（第7题）5.如图，已知A,B,C三点在⊙○上，AC⊥BO于点D，∠B=55°，则∠BOC的度数是 .6.圆内的一条弦把圆分成5:1两部分，如果圆的半径是2cm，那么这条弦的长是 cm.7.如图，CD是半圆的直径，点O是圆心，点A在CD的延长线上，点E在半圆上，EA与半圆相交于点B.若AB=OC,̂的度数为 .∠DAE=15°，则DE8.如图，在⊙○中，AB是直角，CD是弦，AB⊥CD.̂上一点（不与C,D重合）.求证：∠CPD=∠COB.（1）P是CAD̂上（不与C,D重合）时，∠C P′D与∠COD有什么数量关系？请证明你的结论.（2）点P′在CD9.如图，AB ̂是⊙○的14圆周，半径OA ⊥OB ，C,D 是AB ̂的三等分点，AB 分别交OC,OD 于点E,F.求证：AE=BF=CD.。
九年级数学圆心角和圆周角、过三点的圆冀教版知识精讲
初三数学圆心角和圆周角、过三点的圆冀教版【本讲教育信息】一、教学内容：圆心角和圆周角、过三点的圆1. 理解圆心角、圆周角等有关概念.2. 理解圆心角与圆周角的关系，直径所对圆周角的特征，并能灵活应用解决有关问题.3. 过不在同一直线的三点作圆，了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念.二. 知识要点：1. 顶点在圆心的角叫做圆心角. 顶点在圆上，两边与圆都相交的角叫做圆周角.2. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧也相等；相等的弦或相等的弧所对的圆心角相等.如图所示，（1）若∠AOB ＝∠COD ，则AB ＝CD ，︵AB ＝︵CD ；（2）若AB ＝CD （或︵AB ＝︵CD ），则∠AOB ＝∠COD.OABCD3. 圆周角的性质（1）同弧所对的圆周角相等.（2）同弧所对的圆周角等于圆心角的一半. （3）半圆（或直径）所对的圆周角是直角.对于性质（2）应分三种情况讨论：圆心在角的一边上；圆心在角的内部；圆心在角的外部，如图所示，后两种情况可以转化成第一种情况来说明.第一种情况：圆心O 在∠ACB 的一边上，如图①.∵OA ＝OC ，∴∠ACB ＝∠A.又∵∠AOB 是△OAC 的一个外角，∴∠AOB ＝∠ACB ＋∠A ，即∠AOB ＝2∠ACB.③②①第二种情况：圆心O 在∠ACB 的内部，如图②. 连结CO 并延长交⊙O 于点D ，由①的结论知∠1＝12∠AOD ，∠2＝12∠BOD ，∴∠1＋∠2＝12（∠AOD ＋∠BOD ），即∠ACB ＝12∠AOB.第三种情况：圆心在∠ACB 的外部，如图③.连结CO 并延长交⊙O 于点E ，由①的结论知∠BCE ＝12∠BOE ，∠ACE ＝12∠AOE ，∴∠BCE －∠ACE ＝12（∠BOE －∠AOE ），即∠ACB ＝12∠AOB.4. 过三点的圆（1）经过一点可以作无数个圆；经过两点可以作无数个圆，这些圆的圆心都在这两点间线段的垂直平分线上；不在同一直线上的三个点确定一个圆，过同一直线上的三个点不能作圆.（2）经过三角形三个顶点可以作一个圆. 这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心.三. 重点难点：本讲的重点内容是圆周角和圆心角的概念、性质. 难点是这些性质在推理论证和计算中的应用.四. 考点分析：由于本节知识建立了同弧所对的圆周角与圆心角之间的关系，从而与弧、弦等也联系起来了，应用广泛，因此今后的中考将更趋向于与其他知识点的综合考查，同时与本节有关的一些创新类试题也是今后中考的方向，应加以关注.【典型例题】例1. 完成下列各题：（1）如图所示，C 是︵AB 的中点，与∠ADC 相等的角的个数是（ ） A. 7个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 （2）如图所示，正方形ABCD 内接于⊙O ，P 是劣弧AD 上任意一点，则∠1＋∠2＝（ ） A. 90° B. 60° C. 45° D. 30°(1) 分析：（1）由同弧或等弧所对的圆周角相等知，∠ADC ＝∠ABC ＝∠CAB ＝∠CDB ，故与∠ADC 相等的角共有3个. （2）在正方形ABCD 中，∵AB ＝BC ＝CD ＝AD ，∴︵AB ＝︵BC ＝︵CD ＝︵AD. 又∵︵AB 的度数＋︵BC 的度数＋︵CD 的度数＋︵AD 的度数＝360°，∴4︵AD 的度数＝360°，︵AD 的度数＝90°. ∵︵AD 的度数＝︵AP 的度数＋︵PD 的度数＝2∠1＋2∠2，∴90°＝2（∠1＋∠2）＝45°，故选C.解：（1）B （2）C评析：同弧或等弧所对的圆周角相等常用来证明两角相等；或进行角的转换，将一个圆周角转换为同弧所对的其他圆周角，从而达到题目中的要求.例2. 如图所示，BC 为半圆O 的直径，G 是半圆上异于B 、C 的点，A 是︵BG 的中点，AD ⊥BC 于点D ，BG 交AD 于点E ，请说明AE ＝BE.分析：在圆中，有关直径的问题常常需要添加辅助线，以便利用直径所对的圆周角是直角的性质，因此，欲说明AE 与BE 相等，可转化为说明∠BAD ＝∠ABE ，圆周角∠ABE 所对的弧为︵AG ，连结AB 、AC 即可解决问题.C解：连结AB 、AC. ∵︵AB ＝︵AG ，∴∠ABE ＝∠ACB. 又∵AD ⊥BC ，∴∠ABD ＋∠BAE ＝90°.∵BC 为直径，∴∠BAC ＝90°，∴∠ABD ＋∠BCA ＝90°， ∴∠BCA ＝∠BAE. ∴∠BAE ＝∠ABG ， ∴AE ＝BE.例3. 如图所示，在⊙O 中，∠AOC ＝150°，求∠ABC 、∠ADC 、∠EBC 的度数，并判断∠ABC 和∠ADC 、∠EBC 和∠ADC 的度数关系.分析：解题的关键是分清同弧所对的圆心角和圆周角，如︵ADC 所对的圆心角是∠AOC ，所对的圆周角是∠ABC ，︵ABC 所对的圆心角是大于平角的∠α，所对的圆周角是∠ADC.解：∵∠AOC ＝150°，∴∠ABC ＝12∠AOC ＝75°.∵∠α＝360°－∠AOC ＝360°－150°＝210°，∴∠ADC ＝12∠α＝105°，∠EBC ＝180°－∠ABC ＝180°－75°＝105°.∵∠ABC ＋∠ADC ＝75°＋105°＝180°，∠EBC ＝∠ADC ＝105°， ∴∠ABC 和∠ADC 互补，∠EBC 和∠ADC 相等. 评析：（1）理解圆周角的概念，分清同弧所对的圆心角和圆周角是熟练运用圆周角性质解题的前提. （2）由上面的结论我们可以得到圆内接四边形的性质，即圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角.例4. 如图1所示，已知等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ＝5cm ，BC ＝6cm ，则△ABC 外接圆的面积是多少？分析：要求△ABC 的外接圆的面积，只需求出外接圆半径即可，连接AO 并延长，交BC 于D ，由垂径定理可知AD ⊥BC 于D ，连接BO ，构造R t △OBD ，最后利用勾股定理求出外接圆半径.图1图2解：连接AO 并延长，交BC 于D ，连接BO ，∵AB ＝AC ，∴⌒AB ＝⌒AC. 又∵AD 过点O ，∴AD ⊥BC.在等腰三角形ABC 中，BD ＝12BC ＝12×6＝3（cm ），AD ＝AB 2－BD 2＝52－32＝4（cm ）.在R t △BOD 中，BO ＝r ，OD ＝AD －AO ＝4－r ，BD ＝3. ∴BO 2＝OD 2＋BD 2，r 2＝(4－r )2＋32，∴r ＝258（cm ），∴S ⊙O ＝62564π（cm 2）.评析：这是一种类型题，求直角三角形、等腰三角形、等边三角形三种特殊三角形各边与它们的外接圆半径之间的关系. （1）直角三角形外接圆半径等于斜边的一半. （2）如图2所示，等腰三角形的腰长为a ，底边为b ，外接圆半径为r . 通常连接顶点A 与圆心O 并延长，即作出等腰三角形的高，再连接OB ，构造直角三角形. 利用勾股定理得r 2＝(h －r )2＋(b 2)2，其中h ＝a 2－(b2)2. （3）等边三角形的边长与它的外接圆的关系：通过等腰三角形的求法，可得a ＝3r .例5. 如图所示，AB 、CD 是⊙O 的弦，∠A ＝∠C. 求证：AB ＝CD.分析：此题的证明方法很多，由于AB 和CD 在圆中，且为弦，可证明AB 和CD 所对的圆心角相等或弧相等，也可直接或间接利用全等证明AB 和CD 相等. 等等.解法一：如图（1）所示，过点O 作OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分别为E 、F. ∴AB ＝2AE ，CD ＝2CF ，∠AEO ＝∠CFO ＝90°. 又∵∠A ＝∠C ，OA ＝OC ，∴△AOE ≌△COE ，∴AE ＝CF.∴AB ＝CD.(1)解法二：如图（2）所示，连结OB 、OD.∵OA ＝OB ＝OC ＝OD ，∴∠A ＝∠B ，∠C ＝∠D. ∵∠A ＝∠C ，∴∠B ＝∠D.∴△OAB ≌△OCD ，∴AB ＝CD.解法三：如图（3）所示，连结AC. ∵OA ＝OC ，∴∠1＝∠3.又∵∠BAO ＝∠DCO ，∴∠2＝∠4. ∴︵BC ＝︵AD.∴︵BC ＋︵BD ＝︵AD ＋︵BD ，即︵AB ＝︵CD ， ∴AB ＝CD.【方法总结】1. 用弧找角，由角找弧是证明弧相等、角相等的常用思维方法.2. “见直径，构造圆周角，必为直角”这也是圆中常见的辅助线作法.预习导学案（弧长和扇形面积）一. 预习前知1. 你知道计算圆的周长和面积的公式吗？2. 把一个圆锥形纸筒沿着侧面上的一条直线剪开展平得到一个什么样的图形？3. 田径场的跑道最里圈如图所示，这个图形中既有半圆，又有线段，如果两条直道部分的长分别是100米，若要画一条400米长的跑道，那么两条半圆弧的半径是多少米？二. 预习导学1. 一条__________和经过__________端点的两条__________所组成的图形叫做扇形.2. 弧长的计算公式：l 扇＝n πr180（n °为__________，r 为__________）.3. 扇形面积的计算公式：S扇＝（）360（n°为圆心角的度数，r为圆的半径）或S扇＝__________（l表示扇形的弧长）.4. 如图所示，__________是圆锥的母线，__________是高.AB CO5. 圆锥的底面半径为40cm，母线长是50cm，则这个圆锥的侧面展开图的面积是__________cm2，表面积是__________cm2（结果保留π）.反思：（1）确定弧长需要哪几个量，确定扇形面积需要哪几个量？（2）圆锥的全面积包括哪几部分？如何计算？【模拟试题】（答题时间：90分钟）一. 选择题1. 下列条件中，可以确定圆的是（）A. 已知圆心B. 已知半径C. 已知三个点D. 已知直径2. 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠B＝70°，则∠A的度数是（）A. 20°B. 25°C. 30°D. 35°B3. 下列说法正确的是（）A. 经过三点一定可以作圆B. 任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形C. 任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆D. 三角形的外心到三角形各边的距离都相等4. 如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠EOD＝40°，则∠DCF等于（）A. 80°B. 50°C. 40°D. 20°OCFGDE5. 已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是劣弧CD⌒上不同于点C的任意一点，则∠BPC的度数是（）A. 45°B. 60°C. 75°D. 90°P6. 如图所示，⊙O的弦AB、CD相交于点E，已知∠ECB＝60°，∠AED＝65°，那么，ADE的度数为（）A. 40°B. 45°C. 55°D. 65°7. 如图所示，AB为⊙O的直径，∠ACD＝15°，则∠BAD的度数为（）A. 75°B. 72°C. 70°D. 65°**8. 如图所示，A、B、C三点均在⊙O上，已知∠ACO＝30°，则∠B的度数为（）A. 45°B. 60°C. 75°D. 90°*9. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，OD⊥AB于点D，交⊙O于点E，∠C＝60°，如果⊙O的半径为2，则结论错误的是（）A. AD＝DBB. ︵AE＝︵EB C. OD＝1 D. AB＝3E**10. 如图所示，劣弧︵AE所对的圆心角为40°，则∠B＋∠D等于（）A. 320° B. 160° C. 300° D. 260°D二. 填空题1. 锐角三角形的外心位于三角形的__________，直角三角形的外心在__________，钝角三角形的外心位于三角形的__________，它到__________的距离相等.2. 若等腰直角三角形的外接圆半径为2，则这个三角形的三条边长分别为____________________.3. 如图所示，点A、B、C、E都在圆周上，AE平分∠BAC交BC于点D，则图中相等的圆周角是__________.*4. 如图所示，已知⊙O的半径为2，圆周角∠ABC＝30°，则弦AC的长是__________.**5. 如图所示，AB是半圆O的直径，∠BAC＝40°，D是︵AC上任意一点，那么∠D的度数是__________.A**6. 如果一条弦分圆周为1∶5两部分，那么这条弦所对的圆周角的度数是__________.三. 解答题1. 如图所示，已知AB是⊙O的直径，C、D两点在⊙O上，且AD＝CD，∠B＝50°. 求∠ACB、∠BAC、∠DAC和∠ADC的度数.A2. 如图所示，AB为⊙O的直径，AC为弦，P为AC延长线上一点，且AC＝PC. PB的延长线交⊙O于D. 求证：AC＝DC.P*3. 如图所示，已知A、B、C、F、G是⊙O上的五点，AF交BC于点D，AG交BC于点E，且BD＝CE，∠1＝∠2. 求证：AB＝AC.**4. 如图所示，要把破残的圆片复制完整，已知弧上的三点A、B、C.（1）用尺规作图法找出弧BAC所在圆的圆心O；（保留作图痕迹，不写作法）（2）设△ABC是等腰三角形，底边BC＝10cm，腰AB＝6cm，求圆片的半径R；（结果保留根号）（3）若（2）中的R的值满足n＜R＜m（m、n为整数），试估算m和n的值.AB C试题答案一. 选择题1. D2. A3. C4. D5. A6. C7. A8. B9. D 10. B二. 填空题1. 内部；斜边中点；外部；三角形三个顶点2. 22、22、43. ∠BAE＝∠CAE＝∠BCE＝∠CBE4. 2（提示：连结OA、OC，△OAC是等边三角形）5. 130°6. 30°、150°三. 解答题1. 连结OD、OC，∠ACB＝90°，∠BAC＝40°，∠DAC＝25°，∠ADC＝130°.A2. 连结AD ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADP ＝90°，∵AC ＝CP ，∴CD ＝12AP. ∴CD ＝AC ＝12AP. ∴AC ＝DC. （另解：连结BC ，证明△ABP 和△CDP 都是等腰三角形，且BC是△ABP 底边的中线）3. ∵∠1＝∠2，∴⌒BF ＝⌒CG ，∴BF ＝CG ，⌒BG ＝⌒CF ，∴∠FBC ＝∠GCE. 又BD ＝CE ，∴△BFD ≌△CGE （SAS ），∴∠F ＝∠G . ∴⌒AB ＝⌒AC ，∴AB ＝AC.4. （1）作图略（2）181111（3）m ＝6，n ＝5.。
初中数学知识点精讲精析 圆周角和圆心角的关系
3·3圆周角和圆心角的关系1.圆周角定义：圆周角(angle in a circular segment)：顶点在圆上，并且角的两边和圆相交的角．两个特征：(1)角的顶点在圆上；(2)两边在圆内的部分是圆的两条弦．2．圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，所对的圆周角都等于它所对的圆心角的一半．注意：(1)定理的条件是同一条弧所对的圆周角和圆心角，结论是圆周角等于圆心角的一半．(2)不能丢掉“一条弧所对的”而简单说成“圆周角等于圆心角的一半”．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．注意：(1)“同弧”指“同一个圆”．(2)“等弧”指“在同圆或等圆中”．(3)“同弧或等弧”不能改为“同弦或等弦”．3．直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．注意：这一推论应用非常广泛，一般地，如果题目的已知条件中有直径时，往往作出直径上的圆周角——直角：如果需要直角或证明垂直时，往往作出直径即可解决问题．4.反证法：注意：用反证法证明命题的一般步骤：(1)假设命题的结论不成立；(2)从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾．(3)山矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．5.圆内角与圆外角：我们把顶点在圆内(两边自然和圆相交)的角叫圆内角(如图1．顶点在圆外并且两边都和圆相交的角叫圆外角(如图2)．定理：圆内角的度数，等于它所对弧的度数与它的对顶角所对弧的度数之和的一半．圆外角的度数，等于它的两边所夹两条弧的度数的差的一半．1.已知：⊙O 中，所对的圆周角是∠ABC ，圆心角是∠AOC ．求证：∠ABC ＝12AOC ． 【解析】证明：∠AOC 是△ABO 的外角，∴∠AOC ＝∠ABO ＋∠BAO ．∵OA ＝OB ，∴∠ABO ＝∠BAO ． ∴∠AOC ＝2∠ABO ．即∠ABC ＝12∠AOC ．如果∠ABC 的两边都不经过圆心(如下图)，那么结果怎样？特殊情况会给我们什么启发吗？你能将下图中的两种情况分别转化成上图中的情况去解决吗？如图(1)，点O 在∠ABC 内部时，只要作出直径BD ，将这个角转化为上述情况的两个角的和即可证出．由刚才的结论可知：∠ABD ＝12∠AOD ，∠CBD ＝12∠COD ， ∴∠ABD ＋∠CBD ＝12(∠AOD ＋∠COD)，即∠ABC ＝12∠AOC ．在图(2)中，当点O 在∠ABC 外部时，仍然是作出直径BD ，将这个角转化成上述情形的两个角的差即可．由前面的结果，有 ∠ABD ＝12∠AOD ，∠CBD ＝12∠COD ．∴∠ABD －∠CBD ＝12(∠AOD －∠COD)，即∠ABC＝12∠AOC．2.如图示，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系?为什么?[分析]由于AB是⊙O的直径，故连接AD．由推论直径所对的圆周角是直角，便可得AD⊥BC，又因为△ABC中，AC＝AB，所以由等腰三角形的二线合一，可证得BD=CD．【解析】BD=CD．理由是：连结AD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°．即AD⊥BC．又∵AC＝AB,∴BD＝CD．3．为什么有些电影院的坐位排列(横排)呈圆弧形？说一说这种设计的合理性．【解析】有些电影院的坐位排列呈圆弧形，这样设计的理由是尽量保证同排的观众视角相等．4．如下图，哪个角与∠BAC相等?【解析】∠BDC＝∠BAC．5. 如下图，⊙O的直径AB＝10 cm，C为⊙O上的一点，∠ABC＝30°，求AC的长．【解析】∵AB为⊙O的直径．∴ACB=90°．又∵∠ABC=30°， ∴AC=21AB=21×10=5(cm)． 6．小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形，根据下图，你能判断哪个是半圆形?为什么?【解析】图(2)是半圆形、理由是：90°的圆周角所对的弦是直径．7.船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁，如下图，A 、B 表示灯塔，暗礁分布在经过A 、B 两点的一个圆形区域内，C 表示一个危险临界点，∠ACB 就是“危险角”．当船与两个灯塔的夹角大于“危险角”时，就有可能触礁；当船与两个灯塔的夹角小于“危险角”时，就能避免触礁．(1)当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角”时，船位于哪个区域?为什么? (2)当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”时，船位于哪个区域?为什么? 分析：这是一个有实际背景的问题，由题意可知：“危险角” ∠ACB 实际上就是圆周角，船P 与两个灯塔的夹角为∠α，P 有可能在⊙O 外，P 有可能在⊙O 内，当∠α＞∠C 时，船位于暗礁区域内；当∠α＜∠C 时，船位于暗礁区域外，我们可采用反证法进行论证． 【解析】(1)当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角” ∠C 时，船位于暗礁区域内(即⊙O 内)，理由是：连结BE ，假设船在(⊙O 上，则有∠α=∠C ，这与∠α＞∠C 矛盾，所以船不可能在⊙O 上；假设船在⊙O 外，则有∠α＜∠AEB ，即∠α＜∠C ，这与∠α＞∠C 矛盾，所以船不可能在⊙O 外．因此．船只能位于⊙O 内．(2)当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”∠C时，船位于暗礁区域外(即⊙O 外)．理由是：假设船在⊙O上，则有∠α＝∠C，这与∠α<∠C矛盾，所以船不可能在⊙O上；假设船在⊙O内，则有∠α>∠AEB，即∠α>∠C．这与∠α<∠C矛盾，所以船不可能在⊙O内，因此，船只能位于⊙O外．8.如图，已知在⊙O中，直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D．求BC、AD和BD的长．分析：由AB为直径，知∠ACB=90°，又AC、AB已知，可由勾股定理求BC．又∠ADB=90°，AD=DB，由勾股定理可求AD、BD．【解析】∵AB为直径，∴∠ACB=∠ADB=90°，又∵AB＝10cm，AC＝6cm，又∵CD是∠ACB的平分线，∠ACD=∠DCB，∴AD=DB．在 Rt∠ADB中，9.已知AB是⊙O的直径，AE是弦，C是的中点，CD⊥AB于D，交AE于F，CB交AE于G．求证：CF=FG．分析：如图7—107，要证CF=FG，只需证∠FCG=∠FGC．由已知，∠FCG与∠B互余．如果连结AC，∠ACB=90°．∠FGC与∠CAG互余．【解析】证明：连结AC，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∠FGC=90°-∠CAE．又∵CD⊥AB于D，∠FCG=90°-∠B，∴∠FGC=∠FCG．因此，CF=FG．10.如图，AB 是⊙O 的直径.(1)若OD ∥AC ，的大小有什么关系？为什么？(2)把(1)中的条件和结论交换一下，还能成立吗？说明理由. 【解析】(1)=延长DO 交⊙O 于E . ∵AC∥OD , ∴=. ∵∠1=∠2, ∴=. ∴=.(2)仍成立，延长DO 交⊙O 于点E ，连结AD . ∵=，=, ∴=. ∴∠3=∠D . ∴AC ∥OD .11.如图，⊙O 上三点A 、B 、C ，AB =AC ，∠ABC 的平分线交⊙O 于点E ，∠ACB 的平分线交⊙O 于点F ，BE 和CF 相交于点D ，四边形AFDE 是菱形吗？验证你的结论.【解析】四边形AFDE 是菱形.证明：∵∠ABC=∠ACB, ∠ABE=∠EBC=∠ACF=∠FCB. 又∠FAB ，∠FCB 是同弧上的圆周角, ∴∠FAB=∠FCB ，同理∠EAC=∠EBC. 有∠FAB=∠ABE=∠EAC=∠ACF.∴AF ∥ED ，AE ∥FD 且AF=AE. ∴四边形AFDE 是菱形.12.如图是一大型圆形工件被埋在土里而露出地表的部分.为推测它的半径，小亮同学谈了他的做法：先量取弦AB 的长，再量中点到AB 的距离CD 的长，就能求出这个圆形工件的半径.你认为他的做法合理吗？如不合理，说明理由；如合理，请你给出具体的数值，.BDCABD【解析】小亮的做法合理.取AB=8 m ，CD=2 m, 设圆形工件半径为r, ∴r 2=(r －2)2+42. 得r=5(m).13.如图，现需测量一井盖(圆形)的直径，但只有一把角尺(尺的两边互相垂直，一边有刻度，且两边长度都长于井盖的半径)，请配合图形，用文字说明测量方案，写出测量的步骤.(要求写出两种测量方案)【解析】方案1：使角尺顶点在圆上，角尺两边与圆两交点连接就是圆的直径，用刻度尺量出直径.方案2：任画圆的一条弦，用尺量出弦的中点，利用角尺过弦中点做弦的垂线，垂线与圆的两交点间的线段为圆的直径.14.如图，在⊙O 中，AB 是直径，CD 是弦，AB ⊥CD . (1)P 是上一点(不与C 、D 重合)，求证：∠CPD =∠COB .(2)点P ′在劣弧CD 上(不与C 、D 重合)时，∠CP′D 与∠COB 有什么数量关系？请证明你的结论.【解析】(1)证明：连结OD, ∵AB 是直径，AB ⊥CD, ∴=.∴∠COB=∠DOB=21∠COD. 又∵∠CPD=21∠COD, ∴∠CPD=∠COB. (2)∠CP ′D 与∠COB 的数量关系是：∠CP ′D+∠COB=180°.证明：∵∠CPD+∠CP ′D=180°，∠COB=∠CPD, ∴∠CP ′D+∠COB=180°15.(9分)已知，如图20，AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上一点,连接AC,过点C 作直线CD ⊥AB 于D(AD<DB),点E 是DB 上任意一点(点D 、B 除外)，直线CE 交⊙O 于点F,连接AF 与直线CD 交于点G.(1)求证：AC 2=AG ·AF ;(2)若点E 是AD (点A 除外)上任意一点，上述结论是否仍然成立？若成立，请画出图形并给予证明；若不成立，请说明理由.B【解析】(1)证明：连接CB ，∵AB 是直径，CD ⊥AB , ∴∠ACB =∠ADC =90°. ∴Rt △CAD ∽Rt △BAC . ∴得∠ACD =∠ABC . ∵∠ABC =∠AFC , ∴∠ACD =∠AFC . ∴△ACG ∽△ACF . ∴ACAF AG AC . ∴AC 2=AG ·AF . (2)当点E 是AD (点A 除外)上任意一点，上述结论仍成立 ①当点E 与点D 重合时，F 与G 重合, 有AG =AF ，∵CD ⊥AB ，∴=, AC =AF . ∴AC 2=AG ·AF .②当点E 与点D 不重合时(不含点A )时，证明类似①.。
新人教版九年级数学(上)——与圆有关的角(圆周角、圆心角)
OA BE FCD课前回顾1、垂径定理的概念及其推论：2、回顾练习：如图：AB 是的直径，CD 是弦，过A 、B 两点作CD 的垂线，垂足分别为E 、F ，若AB=10，AE=3，BF=5，求EC 的长。
知识点一、圆心角1、圆心角的定义：顶点在圆心的角叫做圆心角。
2、圆心角的度数与它所对的弧的度数之间的关系：圆心角的度数等于它所对弧的度数。
3、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
4、圆心角定理推论：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弦、两条弧、两条弦的弦心距中有一组量相等，其余各组量都相等。
例题讲练例题一、概念理解1．______________的______________叫做圆心角． 2．如图，若长为⊙O 周长的nm，则∠AOB =____________．与圆有关的角——圆心角、圆周角3．在同圆或等圆中，两个圆心角及它们所对的两条弧、两条弦中如果有一组量相等，那么_ _____________________．4．在圆中，圆心与弦的距离(即自圆心作弦的垂线段的长)叫做弦心距，不难证明，在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们的弦心距也______．反之，如果两条弦的弦心距相等，那么_____________________．5. 求证：在同圆或等圆中，两条弦相等，那么它们的弦心距也相等。
例题二、基础应用6．已知：如图，A、B、C、D在⊙O上，AB=CD．求证：∠AOC=∠DOB．7．已知：如图，P是∠AOB的角平分线OC上的一点，⊙P与OA相交于E，F点，与OB 相交于G，H点，试确定线段EF与GH之间的大小关系，并证明你的结论．8．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，且C为的中点，若∠BAD=20°，求∠ACO的度数．例题三：综合应用9．⊙O中，M为的中点，则下列结论正确的是( )．A．AB>2AM B．AB=2AMC．AB<2AM D．AB与2AM的大小不能确定10．如图，⊙O中，AB为直径，弦CD交AB于P，且OP=PC，试猜想与之间的关系，并证明你的猜想．11．如图，⊙O中，直径AB=15cm，有一条长为9cm的动弦CD在上滑动(点C与A，点D与B不重合)，CF⊥CD交AB于F，DE⊥CD交AB于E．(1)求证：AE=BF；(2)在动弦CD滑动的过程中，四边形CDEF的面积是否为定值?若是定值，请给出证明并求这个定值；若不是，请说明理由．CAB1、圆周角的定义：顶点在圆上，两条边与圆相交的角叫做圆周角．2、圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；都等于这条弧所对的圆心角的一半。
九年级数学上册《圆心角和圆周角的关系》教案、教学设计
4.应用举例：通过具体例题，展示圆心角和圆周角关系在实际问题中的应用，使学生认识到数学知识在实际生活中的价值。
（三）学生小组讨论
1.分组：将学生分成若干小组，确保每个小组内成员的数学水平相对均衡。
2.讨论主题：以圆心角和圆周角的关系为主题，让学生在小组内分享自己的发现，互相交流，共同完善圆心角和圆周角的关系。
二、学情分析
九年级的学生已经具备了一定的数学基础和逻辑思维能力，他们在之前的课程中学习了角度、三角形等基本概念，为本章节的学习奠定了基础。但在圆的相关知识方面，学生们的认识可能还不够深入，对圆心角和圆周角的关系理解可能存在困难。因此，在教学过程中，要注意以下几点：
1.充分发挥学生已有的知识经验，引导他们主动发现圆心角和圆周角的关系。
五、作业布置
为了巩固学生对圆心角和圆周角知识的掌握，提高他们的实际应用能力，特布置以下作业：
1.基础巩固题：根据课堂所学，完成课本相关练习题，加深对圆心角和圆周角概念的理解。
（1）画出一个圆，并在圆内画出两个圆心角相等、圆周角相等的两组角，比较它们之间的关系。
（2）画出一个圆，并在圆内画出两个圆心角相等、圆周角不相等的两组角，分析原因。
2.提高拓展题：结合圆心角和圆周角的关系，解决以下实际问题。
（1）一块圆形的披萨，被切成八等份，每份的圆心角是多少度？如果切成十二等份呢？
（2）一个圆形的花坛，要将其分割成若干个扇形区域，每个区域圆心角相等，且总面积为花坛面积的一半。请问需要分割成几个区域？
3.创新研究题：以小组为单位，选择以下课题进行研究，并将研究结果以报告形式提交。
c.组织小组讨论，让学生分享自己的发现，互相交流，共同完善圆心角和圆周角的关系。
3.4.1圆周角和圆心角的关系(教案)
在今天的教学中，我发现学生们对圆周角和圆心角的关系这一部分内容兴趣浓厚，但也存在一些理解上的难点。首先，他们对圆周角和圆心角的定义掌握得相对较好，但在应用到具体问题时，还是会出现一些困惑。我意识到，这主要是因为他们在将理论知识转化为实际应用时，缺乏足够的练习和经验。
在讲授过程中，我尽量用生动的例子和直观的图形来解释这两个概念，但效果似乎并不如预期。我反思，可能需要更多的互动和实际操作，让学生在动手实践中感受圆周角和圆心角的关系。比如，可以设计一些更具挑战性的题目，让学生分组讨论，通过合作解决问题，加深对知识点的理解。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“圆周角和圆心角在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
还有一个值得注意的问题是，在小组讨论过程中，部分学生表现出较强的依赖性，不够独立思考。针对这一问题，我将在后续教学中加强对学生的引导，培养他们独立思考的能力，鼓励他们大胆提出自己的观点和疑问。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解并掌握圆周角和圆心角的定义：这是本节课的基础，要求学生能够明确圆周角和圆心角的含义，并能够正确画出相应的图形。
-掌握圆周角和圆心角的关系：学生需要理解在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的圆心角相等，反之亦然。
-应用圆周角和圆心角的关系解决实际问题：学生应学会运用这一关系进行几何证明和计算，解决与圆相关的实际问题。
2.提高学生的逻辑推理能力：引导学生通过严密的逻辑推理证明圆周角和圆心角的关系，培养他们运用几何知识分析和解决问题的能力。
九年级数学圆周角和圆心角的关系
A
A O
O B C
B C
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
证明:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
A
O B C
证明:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
A O
B
C
பைடு நூலகம்
练习：
D
1.求圆中角X的度数
C O X
120°
O A
O
70° x
.
C
.
B
B C
A
B
A
2.如图，圆心角∠AOB=100°，则∠ACB=___。
O C
.
1.判别下列各图形中的角是不是圆周角。
A
⌒
有没有圆周角？ 有没有圆心角？ 它们有什么共同的特点？
O B C
它们都对着同一条弧
⌒
下列图形中，哪些图形中的圆心角∠BOC 和圆周角∠A是同对一条弧。
A
A D
O B
A O
O
C
A O
B
C
A O
D
B
C
B
C
B
C
自己动手量一量同一条弧所对的圆心角和 圆周角分别是多少度？
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
D B C
B O A O'
B' A'
O A
在同圆或等圆中， 如果两个圆心角、 两条弧、 两条弦 中有一组量相等， 中有一组量相等，那么它们所对应的 其余各组量都分别相等
在同圆或等圆中，
圆心角的度数和它所对的弧的度数的关系
我们把顶点在圆心的周角等 分成360份时，每一份的圆心角是 1°的角。 因为同圆中相等的圆心角所 对的弧相等，所以整个圆也被 等分成360份。我们把每一份这 样的弧叫做1°的弧。
初中数学知识点精讲精析-圆周角和圆心角的关系
3·3圆周角和圆心角的关系要点精讲1.圆周角定义：圆周角(angle in a circular segment)：顶点在圆上，并且角的两边和圆相交的角．两个特征：(1)角的顶点在圆上；(2)两边在圆内的部分是圆的两条弦．2．圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，所对的圆周角都等于它所对的圆心角的一半．注意：(1)定理的条件是同一条弧所对的圆周角和圆心角，结论是圆周角等于圆心角的一半．(2)不能丢掉“一条弧所对的”而简单说成“圆周角等于圆心角的一半”．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．注意：(1)“同弧”指“同一个圆”．(2)“等弧”指“在同圆或等圆中”．(3)“同弧或等弧”不能改为“同弦或等弦”．3．直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．注意：这一推论应用非常广泛，一般地，如果题目的已知条件中有直径时，往往作出直径上的圆周角——直角：如果需要直角或证明垂直时，往往作出直径即可解决问题．4.反证法：注意：用反证法证明命题的一般步骤：(1)假设命题的结论不成立；(2)从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾．(3)山矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．5.圆内角与圆外角：我们把顶点在圆内(两边自然和圆相交)的角叫圆内角(如图1．顶点在圆外并且两边都和圆相交的角叫圆外角(如图2)．定理：圆内角的度数，等于它所对弧的度数与它的对顶角所对弧的度数之和的一半．圆外角的度数，等于它的两边所夹两条弧的度数的差的一半．典型例题1.已知：⊙O中，所对的圆周角是∠ABC，圆心角是∠AOC．求证：∠ABC＝12 AOC．【解析】证明：∠AOC是△ABO的外角，∴∠AOC＝∠ABO＋∠BAO．∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO．∴∠AOC＝2∠ABO．即∠ABC＝12∠AOC．如果∠ABC的两边都不经过圆心(如下图)，那么结果怎样？特殊情况会给我们什么启发吗？你能将下图中的两种情况分别转化成上图中的情况去解决吗？如图(1)，点O在∠ABC内部时，只要作出直径BD，将这个角转化为上述情况的两个角的和即可证出．由刚才的结论可知：∠ABD＝12∠AOD，∠CBD＝12∠COD，∴∠ABD＋∠CBD＝12(∠AOD＋∠COD)，即∠ABC＝12∠AOC．在图(2)中，当点O在∠ABC外部时，仍然是作出直径BD，将这个角转化成上述情形的两个角的差即可．由前面的结果，有∠ABD＝12∠AOD，∠CBD＝12∠COD．∴∠ABD－∠CBD＝12(∠AOD－∠COD)，即∠ABC＝12∠AOC．2.如图示，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系?为什么?[分析]由于AB是⊙O的直径，故连接AD．由推论直径所对的圆周角是直角，便可得AD⊥BC，又因为△ABC中，AC＝AB，所以由等腰三角形的二线合一，可证得BD=CD．【解析】BD=CD．理由是：连结AD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°．即AD⊥BC．又∵AC＝AB,∴BD＝CD．3．为什么有些电影院的坐位排列(横排)呈圆弧形？说一说这种设计的合理性．【解析】有些电影院的坐位排列呈圆弧形，这样设计的理由是尽量保证同排的观众视角相等．4．如下图，哪个角与∠BAC相等?【解析】∠BDC＝∠BAC．5. 如下图，⊙O的直径AB＝10 cm，C为⊙O上的一点，∠ABC＝30°，求AC的长．【解析】∵AB为⊙O的直径．∴ACB=90°．又∵∠ABC=30°， ∴AC=21AB=21×10=5(cm)． 6．小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形，根据下图，你能判断哪个是半圆形?为什么?【解析】图(2)是半圆形、理由是：90°的圆周角所对的弦是直径．7.船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁，如下图，A 、B 表示灯塔，暗礁分布在经过A 、B 两点的一个圆形区域内，C 表示一个危险临界点，∠ACB 就是“危险角”．当船与两个灯塔的夹角大于“危险角”时，就有可能触礁；当船与两个灯塔的夹角小于“危险角”时，就能避免触礁．(1)当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角”时，船位于哪个区域?为什么? (2)当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”时，船位于哪个区域?为什么? 分析：这是一个有实际背景的问题，由题意可知：“危险角” ∠ACB 实际上就是圆周角，船P 与两个灯塔的夹角为∠α，P 有可能在⊙O 外，P 有可能在⊙O 内，当∠α＞∠C 时，船位于暗礁区域内；当∠α＜∠C 时，船位于暗礁区域外，我们可采用反证法进行论证． 【解析】(1)当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角” ∠C 时，船位于暗礁区域内(即⊙O 内)，理由是：连结BE ，假设船在(⊙O 上，则有∠α=∠C ，这与∠α＞∠C 矛盾，所以船不可能在⊙O 上；假设船在⊙O 外，则有∠α＜∠AEB ，即∠α＜∠C ，这与∠α＞∠C 矛盾，所以船不可能在⊙O 外．因此．船只能位于⊙O 内．(2)当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”∠C时，船位于暗礁区域外(即⊙O 外)．理由是：假设船在⊙O上，则有∠α＝∠C，这与∠α<∠C矛盾，所以船不可能在⊙O上；假设船在⊙O内，则有∠α>∠AEB，即∠α>∠C．这与∠α<∠C矛盾，所以船不可能在⊙O内，因此，船只能位于⊙O外．8.如图，已知在⊙O中，直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D．求BC、AD和BD的长．分析：由AB为直径，知∠ACB=90°，又AC、AB已知，可由勾股定理求BC．又∠ADB=90°，AD=DB，由勾股定理可求AD、BD．【解析】∵AB为直径，∴∠ACB=∠ADB=90°，又∵AB＝10cm，AC＝6cm，又∵CD是∠ACB的平分线，∠ACD=∠DCB，∴AD=DB．在 Rt∠ADB中，9.已知AB是⊙O的直径，AE是弦，C是的中点，CD⊥AB于D，交AE于F，CB交AE于G．求证：CF=FG．分析：如图7—107，要证CF=FG，只需证∠FCG=∠FGC．由已知，∠FCG与∠B互余．如果连结AC，∠ACB=90°．∠FGC与∠CAG互余．【解析】证明：连结AC，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∠FGC=90°-∠CAE．又∵CD⊥AB于D，∠FCG=90°-∠B，∴∠FGC=∠FCG．因此，CF=FG．10.如图，AB 是⊙O 的直径. ABCDO(1)若OD ∥AC ，与 的大小有什么关系？为什么？(2)把(1)中的条件和结论交换一下，还能成立吗？说明理由. 【解析】(1)=延长DO 交⊙O 于E . ∵AC ∥OD , ∴=. ∵∠1=∠2, ∴=. ∴=.(2)仍成立，延长DO 交⊙O 于点E ，连结AD . ∵=，=, ∴=. ∴∠3=∠D . ∴AC ∥OD .11.如图，⊙O 上三点A 、B 、C ，AB =AC ，∠ABC 的平分线交⊙O 于点E ，∠ACB 的平分线交⊙O 于点F ，BE 和CF 相交于点D ，四边形AFDE 是菱形吗？验证你的结论. AB CDEFO【解析】四边形AFDE 是菱形.证明：∵∠ABC=∠ACB, ∠ABE=∠EBC=∠ACF=∠FCB. 又∠FAB ，∠FCB 是同弧上的圆周角, ∴∠FAB=∠FCB ，同理∠EAC=∠EBC. 有∠FAB=∠ABE=∠EAC=∠ACF.∴AF ∥ED ，AE ∥FD 且AF=AE. ∴四边形AFDE 是菱形.12.如图是一大型圆形工件被埋在土里而露出地表的部分.为推测它的半径，小亮同学谈了他的做法：先量取弦AB 的长，再量中点到AB 的距离CD 的长，就能求出这个圆形工件的半径.你认为他的做法合理吗？如不合理，说明理由；如合理，请你给出具体的数值，求出半径，与同伴交流.BDCDEO1 23CABD【解析】小亮的做法合理.取AB=8 m ，CD=2 m, 设圆形工件半径为r, ∴r 2=(r －2)2+42. 得r=5(m).13.如图，现需测量一井盖(圆形)的直径，但只有一把角尺(尺的两边互相垂直，一边有刻度，且两边长度都长于井盖的半径)，请配合图形，用文字说明测量方案，写出测量的步骤.(要求写出两种测量方案)【解析】方案1：使角尺顶点在圆上，角尺两边与圆两交点连接就是圆的直径，用刻度尺量出直径.方案2：任画圆的一条弦，用尺量出弦的中点，利用角尺过弦中点做弦的垂线，垂线与圆的两交点间的线段为圆的直径.14.如图，在⊙O 中，AB 是直径，CD 是弦，AB ⊥CD . (1)P 是上一点(不与C 、D 重合)，求证：∠CPD =∠COB .(2)点P ′在劣弧CD 上(不与C 、D 重合)时，∠CP ′D 与∠COB 有什么数量关系？请证明你的结论.BA CDOP【解析】(1)证明：连结OD, ∵AB 是直径，AB ⊥CD, ∴=.∴∠COB=∠DOB=21∠COD. 又∵∠CPD=21∠COD, ∴∠CPD=∠COB. (2)∠CP ′D 与∠COB 的数量关系是：∠CP ′D+∠COB=180°.证明：∵∠CPD+∠CP ′D=180°，∠COB=∠CPD, ∴∠CP ′D+∠COB=180°15.(9分)已知，如图20，AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上一点,连接AC,过点C 作直线CD ⊥AB 于D(AD<DB),点E 是DB 上任意一点(点D 、B 除外)，直线CE 交⊙O 于点F,连接AF 与直线CD 交于点G.(1)求证：AC 2=AG ·AF ;(2)若点E 是AD (点A 除外)上任意一点，上述结论是否仍然成立？若成立，请画出图形并给予证明；若不成立，请说明理由.AB CD OEGF【解析】(1)证明：连接CB ，∵AB 是直径，CD ⊥AB , ∴∠ACB =∠ADC =90°. ∴Rt △CAD ∽Rt △BAC . ∴得∠ACD =∠ABC . ∵∠ABC =∠AFC , ∴∠ACD =∠AFC . ∴△ACG ∽△ACF . ∴ACAF AG AC. ∴AC 2=AG ·AF . (2)当点E 是AD (点A 除外)上任意一点，上述结论仍成立 ①当点E 与点D 重合时，F 与G 重合, 有AG =AF ，∵CD ⊥AB ，∴=, AC =AF . ∴AC 2=AG ·AF .②当点E 与点D 不重合时(不含点A )时，证明类似①.。
初中数学 圆心角和圆周角
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样? 2.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周角∠ABC与圆 心角∠AOC的大小关系会怎样?
提示:能否转化为1的情况?
过点B作直径BD.由1可得: ∠ABD = ∠AOD,
AD C
●O
∠CBD = ∠COD,
定理：圆的内接四边形的对角互补，且任何一个外角都 等于它的内对角.
1. 如图，AB、CD是⊙O的两条弦．
AE B
（1）如果AB=CD，那么__弧__A_B_=_弧__C_D_，
O
D
___A_O__B_____C_O_D___．
F C
（2）如果弧AB=弧CD，那么___A__B_=_C__D___，
O
A
根据旋转的性质，将圆心角∠AOB绕 B′
圆心O旋转到∠A′OB′的位置时，显然 ∠AOB＝∠A′OB′，射线OA与OA′重合， OB与OB′重合．而同圆的半径相等， OA=OA′，OB=OB′，从而点A与点A′重 合，点B与点B′重合．
A′ B
O
A
因此，弧AB与弧A′B′重合，弦AB与弦A′B′重合． 弧AB=弧A′B′，
B ∴∠ABC = ∠AOC.
A C
D
●
O
你能写出这个命题吗?
圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
4.圆周角定理及其推论
圆周角定理: 圆周角的度数等于它所对弧所得的圆心角度数的一半.
即∠ABC = ∠AOC.
圆心在角的边 上
A C
圆心在角 内 AD C
圆心在角 外 A C
●O
●O
●O D
们所对的圆心角__相__等__，所对的弧 __相__等_____．
初中数学 文档：圆心角和圆周角的知识梳理与应用
圆心角与圆周角复习一、知识梳理1、圆心角圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．1°圆心角所对的弧叫做1°的弧． n°的圆心角所对的弧就是n°的弧．2、圆心角的性质性质1：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；相等的弦或相等的弧所对的圆心角相等．性质2：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各组量都相等．如图所示，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，若下列四个等式：①∠AOB=∠COD；②AB=CD；③；④OE＝OF中有一个等式成立，则其他三个等式也成立，即：若①成立②，③，④成立；若②成立①，③，④成立；若③成立①，②，④成立；若④成立①，②，③成立．特别强调：(1)不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，若没有这一条件，虽然圆心角相等，但所对的弧、弦不一定相等．(2)若无特殊说明，性质中“弧”一般指劣弧．3、圆周角(1)圆周角：顶点在圆上，两边和圆相交的角叫做圆周角．(2)圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．推论1：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．推论2：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧相等．4、重要结论：圆的内接四边形对角互补二、习题库同弧（等弧）所对的圆周角相等； 同弧（等弧）所对的弦相等；同弧（等弧）所对的圆周角等于圆心角的一半；在处理角的问题时，除了要熟悉和圆相关的角的性质外，还要熟悉三角形角的性质、四边形角的性质，并能将这些性质进行综合应用。
(1)同弧与圆心角、圆周角的关系1.如图，点A 、B 、P 在⊙O 上，点P 为动点，要是△ABP 为等腰三角形，则所有符合条件的点P 有 个.2. 如图，ABC △内接于圆，50A =∠，60ABC =∠，是圆的直径， 交于点，连结，则AEB ∠= .3.如图，AB 是⊙O 的直径，弦DC 与AB 相交于点E ，若∠ACD=60°，∠ADC=50°，则∠ABD= ，∠CEB= .4．如图，△内接于⊙O ，点是上任意一点（不与C A 、重合），POC ABC ∠=∠则,55的取值范围是 ．(2)等弧与圆周角1．如图所示，AB 是⊙O 的直径，AD ＝DE ，AE 与BD 交于点C ，则图中与∠DBE 相等的角有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5 个2.如图，已知AB 是半圆O 的直径，∠BAC=32º，D 是弧AC 的中点，那么∠DAC 的度数是（ ）º º º °3.如图，点D 是弧AC 的中点，则图中与∠ABD 相等的角的个数是（ ）。
圆心角与圆周角(教案)
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解圆心角的概念，掌握圆心角的度数计算方法；
-掌握圆周角的概念，了解圆周角与圆心角的关系；
-学会运用圆心角与圆周角的性质解决实际问题。
举例解释：
(1)圆心角的度数计算：通过实例让学生明白圆心角的度数是以圆心为顶点的角所对的圆弧的度数，例如，一个圆心角所对的圆弧为1/4圆周长，则该圆心角为90°。
1.培养学生空间观念，理解圆心角与圆周角的概念，提高对图形的认识和分析能力；
2.培养学生逻辑推理能力，通过探索圆心角与圆周角之间的关系，掌握推理方法，增强解决问题的逻辑思维；
3.培养学生数学抽象素养，将实际问题抽象为数学模型，运用圆心角与圆周角知识解决具体问题；
4.培养学生数学运算能力，熟练运用圆心角与圆周角的性质进行计算，提高运算速度和准确性；
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调圆心角的度数计算和圆周角与圆心角的关系这两个重点。对于难点部分，我会通过实际例题和图形比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与圆心角与圆周角相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用量角器和圆形纸片来实际测量圆心角和圆周角。
圆心角与圆周角（教案）
一、教学内容
本节课选自八年级数学下册第五章“圆”，围绕“圆心角与圆周角”的相关概念进行深入探讨。主要内容如下：
1.圆心角的概念及其度数计算；
2.圆周角的概念及其与圆心角的关系；
3.探究在同圆或等圆中，圆心角、圆周角的大小关系；
4.应用圆心角与圆周角解决实际问题。
初二数学圆周角与圆心角关系详解
初二数学圆周角与圆心角关系详解圆周角和圆心角是初中数学中重要的概念，它们在几何图形的研究中起着非常关键的作用。
在本文中，我们将详细讨论圆周角与圆心角之间的关系。
一、圆周角的定义圆周角是指以圆心为顶点的角，其两边为相交于圆上任意两点的弧所对应的角。
通常用字母表示圆周角。
二、圆心角的定义圆心角是指以圆心为顶点的角，其两边分别与圆上某两点相交，且两边和两弧的夹角相等。
通常用字母表示圆心角。
三、圆周角与圆心角的关系1. 角的度量关系圆周角的度量单位是弧度，圆心角的度量单位是角度。
圆周角的度量值等于对应弧长的长度除以圆的半径，而圆心角则是直接使用角度来表示。
2. 圆周角的度数与弧度之间的关系圆周角的度数等于对应弧长的长度除以圆的半径，再乘以180°。
而圆周角的弧度数等于对应弧长的长度除以圆的半径。
例如，圆周角的度数为60°，则其弧度数为π/3弧度。
3. 圆周角与圆心角的夹角关系当一个圆周角所对应的弧等于另一个圆心角所对应的弧时，这两个角的夹角就是90°。
换句话说，这两个角是直角。
4. 圆周角与圆心角的相等关系当两个圆周角对应的弧相等时，这两个圆周角相等。
同理，当两个圆心角对应的弧相等时，这两个圆心角相等。
5. 圆心角平分弦的关系当圆心角平分一个弦时，该弦的两个端点与圆心所对应的圆心角的度数相等。
综上所述，圆周角和圆心角在几何图形中有着密切的关系。
通过对圆周角和圆心角的研究，我们可以更好地理解和应用于圆相关的数学概念和问题。
结论圆周角和圆心角是初中数学中重要的概念，它们在几何图形中具有重要的作用。
通过深入了解圆周角和圆心角的定义及其关系，我们可以更好地解决与圆相关的数学问题。
希望本文能够帮助初中生更好地理解和应用圆周角和圆心角的知识。
17-第三章4圆周角和圆心角的关系
栏目索引
8.(2019黑龙江哈尔滨道外一模)如图3-4-6,AB、BC为☉O的两条弦,∠AOC -∠ABC=60°,则∠ABC的度数为 ( )
A.120°
B.100°
C.160°
图3-4-6 D.150°
4 圆周角和圆心的关系
答案
B
如图,在优弧
︵
AC
上取点D,连接DA、DC,
温馨提示 任何一个四边形都最多只有一个外接圆,但是一个圆的内接四边形有无数个
4 圆周角和圆心的关系
2.圆内接四边形的性质
内容
性质
圆内接四边形的对角互补
详解
∵ ︵ 与 ︵ 所对的圆心角之
ABC ADC
和为360°,∴∠ABC+∠D= 1×36
2
0°=180°.同理,∠BCD+∠BAD=1
80°
拓展
∵∠ABC+∠D=180°,∠CBE+∠ ABC=180°,∴∠CBE=∠D. 结论:圆内接四边形的任何一个 外角等于它的内对角
2
栏目索引
③如图3-4-1(3)所示,圆心O在∠BAC的外部.连接AO并延长交☉O于点D,由
①得∠BAD= 1 ∠BOD,∠CAD= 1 ∠COD,∴∠CAD-∠BAD= 1(∠COD-∠
2
2
2
BOD),即∠BAC= 1 ∠BOC.
2
提示:不能把“一条弧所对的”去掉,而简单说成“圆周角等于圆心角的一
解析 因为四边形ADBC内接于☉O,所以∠2+∠D=180°,同理可得∠1+∠ E=180°,所以∠1+∠2+∠D+∠E=360°,又∠1+∠2=180°-∠BAC=130°,所以 ∠D+∠E=230°.
中考数学专题2 圆心角与圆周角
——圆心角与圆周角【知识要点】 一、圆心角：定义：顶点在圆心的角叫圆心角，圆心角的度数等于它所对的弧的度数。
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦心距相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦或两条弦的弦的弦心距中有一组量相等，那么它所对应的其余各组量都分别相等。
二、圆周角概念：顶点在圆上，两边和圆相交的角叫圆周角，两个条件缺一不可． 定理：一条弧所对的圆周角等于它所对弧所对的圆心角的一半． 推论：①同弧或等弧所对的圆周角相等，同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．②半圆（或直径）所对的圆周角是一直角，︒90的圆周角所对的弦是直径． ③如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．圆周角圆心角的概念、定理及其推论在推理论证和计算中应用比较广泛，这是本章的重点内容．本节的内容在每年全国各地中考试卷中经常性的、普遍性的出现，这是本章经常用到的知识，需学生加强练习． 重点：圆周角圆心角的概念，圆周角圆心角定理及其推论． 难点：圆周角圆心角定理的分类证明是本节的难点．考点：圆周角圆心角定理及其推论的应用，本节内容是中考重点内容，出现的频率约为40%，经常以综合题的形式命题．【经典例题】例1．（1）过已知⊙O 中一已知点P 的弦中，最短的弦是 ；最长的弦是 ．（2）已知⊙O 中，AB 是直径，长10cm ，点M 为⊙O 内的一点，OM=4cm ，则⊙O 中过点M 的弦中，最长的弦等于 ．（3）在⊙O 中，弦AB ∥弦CD ，且AB 、CD 的度数分别为︒120和︒60，⊙O 的半径为6cm ，则AB 与CD 之间的距离是 ．（4）如图1，⊙O 中，弦CD 与直径AB 交于E ，且∠AEC=︒30，AE=1cm ，BE=5cm ，则弦CD 的弦心距OF= cm ，弦CD 的长为 cm.例2．（1）如图2，在△ABC 中，︒=∠︒=∠25,90B BCA ，以C 为圆心，CA 为半径的圆交AB 于D ，则的度数是 ．（2）在⊙O 中，弦AB 与过B 点的半径夹角为︒55，那么弦AB 所对的优弧AMB 的度数为 。
九年级数学圆心角与圆周角的关系
切两种情况．
例2：已知△ABC 的三边分别是 a、b、c，两圆的半径 r1
＝a，r2＝b，圆心距 d＝c，则这两个圆的位置关系是__________．
解析：∵△ABC 的三边分别是a、b、c，∴a＋b＞c，即r1 ＋r2＞d，∴两圆相交．
专题三
求与圆有关的阴影部分的面积
求圆中不规则阴影图形的面积，通常用割补法，将其面积 用规则图形(如扇形、三角形、矩形等)的面积的和或差表示． 例 3：如图 24－2，将△ABC 绕点 B 逆时针旋转到A′BC′
又∵△ABC 是等边三角形，∴∠ADE＝∠C＝60°.
∴△ADE 是等边三角形．
(2)解：易知∠B＝60°， 又∵DO＝BO，∴△BDO 是等边三角形，∴∠DOB＝60°.
同理，∠EOC＝60°.即∠DOE＝60°.
∵等边△ABC 边长为 2，∴DO＝OE＝1.
nπr2 60·π·1 π π ∴扇形 ODE 的面积 S＝ 360 ＝ 360 ＝6， DC 的长度 l＝3. 1 且圆锥底面半径 r＝6.
图 24－7
D．y＝
8．(2010 年广东)如图 24－8，PA 与⊙O 相切于点 A，弦 AB
⊥OP，垂足为 C，OP 与⊙O 相交于 D 点，已知 OA＝2，OP＝4.
(1)求∠POA 的度数；
(2)计算弦 AB 的长．
图 24－8
解：(1)60° (2)AB＝ 2
3
9．(1)如图 24－9(1)，已知△ABC 是边长为 2 的等边三角形， 以 BC 为直径的⊙O 交 AB、AC 于 D、E.求证：△ADE 是等边三
O2 相切．
图 24－5
5．(2010 年广东湛江)已知两圆的半径分别为 3 cm 和 4 cm， 两个圆的圆心距为 8 cm，则两圆的位置关系是( C ) A．内切 B．相交 C．外离 D．外切
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圆心角和圆周角及之间的关系
二、看一看
A
B
C
O
有没有圆周角？∠BAC 有没有圆心角？∠BOC 它们有什么共同的特点？ 它们都对着同一条弧BC
三、猜想归纳：请画出弧BC 所对的圆周角. 若按圆心O 与这个圆周角的位置关系来分类,我们可以分成几类？圆周角的度数与什么有关系？动手量一量∠BOC 与∠BAC 有何数量关系？
A
B
C
O
A
B C
O
四、证明圆心角与圆周角之间的关系
1、首先考虑一种特殊情况：
当圆心(O)在圆周角(∠BAC)的一边(AB)上时,圆周角∠BAC 与圆心角∠BOC 的大小关系.
∵∠BOC 是△ACO 的外角 ∴∠BOC=∠C+∠A
∵OA=OC，
∴∠A=∠C
∴∠BOC=2∠A
即∠BAC = 1/2∠BOC
2、如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样?
当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?
思考：能否转化成1中的情况？
证明：过点A作直径AD.由1可得:
∵∠BAD = 1/2∠BOD,∠CAD = 1/2∠COD
∴∠BAC = 1/2∠BOC.
3、当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?
思考：同样是否能转化成1中的情况？
过点B作直径AD.由1可得:
∵∠BAD = 1/2∠BOD,∠CAD = 1/2∠COD
∴∠BAC = 1/2∠BOC.
综上所述,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系是:
圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半即∠BAC = 1/2∠BOC
知识点总结：圆周角与圆心角的关系
（1）．在同圆或等圆中，如果两条弦，两条弧，两个圆心角中有一组量相等，那么它们所对应的
其它各组量都分别相等。
（2）．一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半。
（3）．直径所对的圆周角是90度，90度的圆周角所对的弦是直径。
（4）．圆的内接四边形对角之和是180度。
（5）．弧的度数就是圆心角的度数。
练习题：（一）选择、填空题：
1．在⊙O中，同弦所对的圆周角（）
A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．都不对
3．下列说法正确的是（）
A．顶点在圆上的角是圆周角
B．两边都和圆相交的角是圆周角
C．圆心角是圆周角的2倍
D．圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半
4．下列说法错误的是（）
A．等弧所对圆周角相等 B．同弧所对圆周角相等
C．同圆中，相等的圆周角所对弧也相等． D．同圆中，等弦所对的圆周角相等
5．如图4，AB是⊙O的直径，∠AOD是圆心角，∠BCD是圆周角．若∠BCD=25°，则∠AOD= ．6．如图5，⊙O直径MN⊥AB于P，∠BMN=30°，则∠AON= ．
7.⊙O的弦AB等于半径，那么弦AB所对的圆周角一定是（）．
（A）30°（B）150°（C）30°或150°（D）)60°
8.△ABC中，∠B＝90°，以BC为直径作圆交AC于E，若BC=12，AB=12，则的度数为（）
（A）60°（B）80°（C）100°（D）)120°
9.如图，△ABC 是⊙O 的内接等边三角形，D 是AB 上一点，AB 与CD 交于E 点，则图中60°的角共有( )个．
（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6
10.如图，△ABC 内接于⊙O ，∠OBC=25°，则∠A 的度数为（ ） （A ）70° （B ）65° （C ）60° （D ）)50°
二、填空题：
1.如图4,A 、B 、C 为⊙O 上三点，若∠OAB=46°,则∠ACB=_______度.
C
B
A
O D
C
B
A
O
E
D C
B
A
O
(1) (2) (3)
2.如图5,AB 是⊙O 的直径, BC BD =,∠A=25°,则∠BOD 的度数为________.
3.如图6,AB 是半圆O 的直径,AC=AD,OC=2,∠CAB= 30 °, 则点O 到CD 的距离OE=______.
三、解答题：
1．如图，已知AB 是O 的直径，AC 是弦，过点O 作OD AC ⊥于D ，连结BC ． （1）求证：1
2
OD BC =
； （2）若40BAC =∠，求ABC 的度数．
2.如图,⊙O 的直径AB=8cm,∠CBD=30°,求弦DC 的长.
A
B
C
D O
（图1）
30
D
C
B
A
O
3.如图,A 、B 、C 、D 四点都在⊙O 上,AD 是⊙O 的直径,且AD=6cm,若∠ABC= ∠CAD,求弦AC 的长.
D
C
B
A O
四、能力提升：
如图1，AB 是半⊙O 的直径，过A 、B 两点作半⊙O 的弦，当两弦交点恰好落在半⊙O 上C 点时，则有AC ·AC ＋BC ·BC=AB 2．
（1）如图2，若两弦交于点P 在半⊙O 内，则AP ·AC ＋BP ·BD=AB 2是否成立？请说明理由． （2）如图3，若两弦AC 、BD 的延长线交于P 点，则AB 2= ．参照（1）填写相应结论，并
证明你填写结论的正确性．
学生对于本次课的评价：
○ 特别满意 ○ 满意 ○ 一般 ○ 差
学生签字：________ 教学总结：。