2020届海南省全国大联考高三第三次联考数学试题(解析版)

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】化简得， ，由已知函数 的图象与直线 相交，得 ，解得 ，…，由此即可得到本题答案.
【详解】
，
因为函数 图象与直线 相交，所以 ，解得 ，…，
由此可知 .
故选：B.
【点睛】
本题主要考查三角函数图象与性质的应用，考查学生的分析能力及运算能力.
二、填空题
13．不等式 的解集为________.
A．2B． C．1D．3
【答案】A
【解析】由 ， ，得 ，然后套用公式向量 在向量 方向上的投影 ，即可得到本题答案.
【详解】
因为点 为 的中点，所以 ，
又因为 ，
所以 ，
所以向量 在向量 方向上的投影为 .
故选：A.
【点睛】
本题主要考查向量的综合应用问题，其中涉及平面向量的线性运算及平面向量的数量积，主要考查学生的转化求解能力.
②由错位相减求和公式，得 的前n项和 ，然后通过求 的解，即可得到本题答案.
【详解】
（1）因为 ，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 ，即 ，
所以数列 是以2为公比和首项的等比数列，所以 ；
（2）①由（1）知， ，当 时， ，
又因为 也满足上式，所以数列 的通项公式为 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
即 ，
因为 ，所以数列 是以1为首项和公差的等差数列，所以 ，
【详解】
由 在区间 是单调增函数，得 ，
又因为 ，所以 .
故选：B.
【点睛】
本题主要考查指数、对数比较大小的问题，利用函数的单调性及中间值“1”是解决此题的关键.
4．数列 满足 ，且对任意的 ，有 ，则 （）
A．2021B．2035C．2037D．2041
【答案】C
【解析】由 ，即可得到本题答案.
【详解】
【答案】 或
【解析】不等式 的等价条件为 ，解不等式组的解，即可得到本题答案.
【详解】
不等式 的等价条件为 ，
解得 或 ，
所以不等式的解集为 或 .
故答案为： 或
【点睛】
本题主要考查分式不等式的求法，转化为求一元二次不等式是解决此题的关键.
14．曲线 在点 处的切线方程为________.
【答案】
【解析】对 求导后，代入 可得切线斜率k，由此即可得到本题答案.
（2）设 ，是否存在实数 ，对任意 ， ， ，有 恒成立？若存在，求出 的范围；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）见解析（2）存在， .
【解析】（1）先求导 ，再讨论 的取值范围，求出函数的单调区间即可；
（2）先假设存在实数 ， ，所以可设 ，由此能得到： ，根据单调性的定义，令 ，要使函数 在 上是增函数，只要函数在 上的导数值大于等于 即可，继而求出 的范围.
【详解】
因为 ，即 ，
所以， ，等式两边同时除以 得 ，且 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，所以 的最小值为 .
故选：C.
【点睛】
本题主要考查利用基本不等式求最值，其中涉及对数的运算，考查计算能力，属于中等题.
8．意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，即 ，此数列在物理、化学等领域都有广泛的应用，若此数列被2整除后的余数构成一个新数列 ，则数列 的前2020项的和为（）
所以
,
当且仅当 时，取等号，
所以 的最小值为 ，
故答案为：
【点睛】
本题主要考查利用基本不等式求最值，巧用 ，是解决此题的关键.
16．已知数列 满足 ，若对于任意的 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围为__________.
【答案】
【解析】由 ，得 ，所以 ，通过解不等式 ，即可得到本题答案.
【详解】
A．1347B．1348C．1349D．1346
【答案】A
【解析】由题，得数列 是周期为3的周期数列，前三项和为 ，又 ，由此即可得到本题答案.
【详解】
由数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，各项除以2的余数，可得数列 为1，1，0，1，1，0，1，1，0，…，所以数列 是周期为3的周期数列，前三项和为 ，又因为 ，所以数列 的前2020项的和为 .
【答案】A
【解析】由题，得 ，解方程组即可得到本题答案.
【详解】
在等差数列 中，设公差为d，
由 ，得 ，解得 .
故选：A.
【点睛】
本题主要考查利用等差数列的通项公式，求公差d，属基础题.
3．设 ，则 的大小关系是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由函数的单调性及与中间值“1”的大小关系，即可得到本题答案.
由 ，整理得 ，
等式两边同时除以 得 ，
所以 为等差数列，且首项为-5，公差为1，所以 ，
所以 ，
所以 ，解得 ，则实数 的取值范围 .
故答案为：
【点睛】
本题主要考查数列与不等式恒成立问题的综合应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，体现了转化和化归的数学思想.
三、解答题
17．已知关于 的不等式 的解集为 .
【答案】（1）等腰三角形；（2）
【解析】（1）结合诱导公式及和差公式化简，即可得到本题答案；
（2）由 ，得 ，结合 的周长为16，可求得 ，又由 ，求得 ，然后根据 ，即可得到本题答案.
【详解】
（1）因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
又因为 为 的内角，
所以 ，即 为等腰三角形；
（2）由（1）知， ，解得 ，
（1）令 ，求数列 的通项公式；
（2）若数列 满足： .
①求数列 的通项公式；
②是否存在正整数 ，使得 成立？若存在，求出所有 的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1） ；（2）① ；②存在，
【解析】（1）由题，得 ，即可得到本题答案；
（2）①由 ，得 ，所以 ，恒等变形得， ，由此即可得到本题答案；
当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减，在 及 上单调递增；
（2） ，
假设存在 ，对任意 ， ， ，有 恒成立，
不妨设 ，要使 恒成立，即必有 ，
令 ，即 ，
，
要使 在 上为增函数，
只要 在 上恒成立，须有 ， ，故存在 时，对任意 ， ， ，有 恒成立.
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查导数在恒成立求参问题中的应用，考查逻辑思维能力和运算能力，考查分类讨论思想，属于高考常见题型.
（2）因为 ，同理可得， ， ，三个式子相加，即可得到本题答案.
【详解】
（1）∵ ，∴ ，当且仅当 时等号成立，
同理可得， ，
∴ ，即 ；
（2）因为 ，所以 ，
当且仅当 时等号成立，
同理可得 ， ，
∴ ，
即 .
【点睛】
本题主要考查基本不等式的应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
21．设数列 的前 项和为 ，已知 .
2020届海南省全国大联考高三第三次联考数学试题
一、单选题
1．集合 ，则 （）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】直接根据集合的交集定义，即可得到本题答案.
【详解】
由题，知 ，所以 .
故选：C.
【点睛】
本题主要考查集合的交集运算，属基础题.
2．在等差数列 中， ，则数列 的公差为（）
A． B． C．1D．2
【详解】
由题，得 ，
所以切线的斜率 ，
故所求的切线方程为 ，即 .
故答案为：
【点睛】
本题主要考查利用导数求在曲线上一点的切线方程，考查计算能力，属于基础题.
15．若下实数 ，满足 ，则 的最小值为_________.
【答案】
【解析】由题,得 ，又由 展开后利用基本不等式，即可得到本题答案.
【详解】
由题,得 ，
故选：A
【点睛】
本题主要考查利用数列的周期性求和，考查学生的推理分析能力.
9．若数列 的前 项和为 ，则“ ”是“数列 是等差数列”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】必要性显然成立；由 ， ，得 ①，同理可得 ②，综合①，②，得 ，充分性得证，即可得到本题答案.
（1）当 时，求集合 ；
（2）当 且 时，求实数 的取值范围.
【答案】（1） 或 ；（2）
【解析】（1）利用穿根法，即可得到 的解集；
（2）由 ，得 ，又由 ，得 ，解不等式组即可得到本题答案.
【详解】
（1）当 时， ，
所以 或 ；
（2）因为 ，所以 ，得 或 ，
又因为 ，所以 不成立，
即 ，解得 ，
【详解】
必要性显然成立；下面来证明充分性，
若 ，所以当 时， ，
所以 ，化简得 ①，
所以当 时， ②，
① ②得 ，所以 ，即数列 是等差数列，充分性得证，所以“ ”是“数列 是等差数列”的充要条件.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查等差数列的判断与证明的问题，考查推理能力，属于中等题.
10．在 中， ，点 为 的中点，过点 作 交 所在的直线于点 ，则向量 在向量 方向上的投影为（）
【详解】
设数列 的公比为 ，由题知， ，解得 ，所以数列 是以8为首项， 为公比的等比数列，所以 .
故选：A.
【点睛】
本题主要考查等比数列的通项公式与求和公式的综合应用，考查计算能力，属于基础题.
7．若 ，则 的最小值为（）
A．6B． C． D．
【答案】C
【解析】由 ，得 ，且 ，又由 ，展开之后利用基本不等式，即可得到本题答案.
【详解】
（1）函数 的定义域为 ，
，
①若 ，则 ， ，且只在 时取等号，∴ 在 上单调递增；
②若 ，则 ，而 ，∴ ，当 时， ；当 及 时， ，所以 在 上单调递减，在 及 上单调递增；
③若 ，则 ，同理可得: 在 上单调递减，在 及 上单调递增；
综上，当 时， 在 上单调递减，在 及 上单调递增；
【点睛】
本题主要考查利用不等式的基本性质及特殊值判断大小关系，考查推理能力，属于基础题.
6．已知数列 为等比数列， ，数列 的前 项和为 ，则 等于（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 ，可得等比数列 的首项 和公比 ，进而可求得数列 的首项和公比，然后套用等比数列的求和公式，即可得到本题答案.
又因为 ，解得 ，
因为 ，所以 ，
设 外接圆的半径为 ，所以 ，解得 ，
故 外接圆的面积为 .
【点睛】
本题主要考查利用诱导公式及和差公式恒等变形判断三角形的形状，以及利用余弦定理解三角形.
20．已知 都是正数，求证：
（1） ；
（2） .
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】（1）因为 ，同理可得， ，三个式子相加，即可得到本题答案；
因为 ，
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故选：C.
【点睛】
本题主要考查根据数列的递推公式，求数列指定项的问题.
5．若 ，则一定有（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】利用不等式的基本性质及特殊值，即可得到本题答案.
【详解】
由 ，得 ，故A选项错误；
令 ，有 ，故B，C选项错误；
因为 ，所以 ，则有 ，故D选项正确.
故选：D.
【详解】
（1）当 时， ，所以 ；
当 时，由 ①，得 ②，
①-②得， ，
所以 ，因为 ，所以 ，所以 ，故数列 为常数列；
（2）由（1）知， ，所以 ，
所以 .
【点睛】
本题主要考查 的应用及用裂项相消法求和，考查计算能力，属于中等题.
19．在 中，角 所对的边分别为 ，且 .
（1）判断 的形状；
（2）若 ， 的周长为16，求 外接圆的面积.
11．已知数列 的前 项和为 ，且 ，则 等于（）
A． B．0C．2D．4
【答案】C
【解析】由 ， ，两式相减得， ，令 ，即可得到本题答案.
【详解】
因为 ，
所以当 时， ，
两式相减得 ，令 ，得 .
故选：C.
【点睛】
本题主要考查根据数列的递推公式求值，考查计算能力，属于中等题.
12．已知函数 图象与直线 相交，若在 轴右侧的交点自左向右依次记为 ，则 （）
故 ；
②设 ，则 ，
所以 ，
两式相减得 ，
所以 ，
∵ ，∴ ，
即： ，即 .
令 ，则 ，即 ，
所以，数列 单调递减，
，因此，存在唯一正整数 ，使得 成立.
【点睛】
本题主要考查通过构造法求数列的通项公式，以及利用错位相减法求和，考查学生的转化能力和运算能力，属于中等题.
22．已知函数 .
（1）若 ，讨论函数 的单调性；
综上可得，实数 的取值范围 .
【点睛】
本题主要考查高次不等式的求法，以及根据元素与集合的关系确定参数的取值范围.
18．已知数列 的前 项和为 ，且 .
（1）证明：数列 为常数列.
（2）求数列 的前 项和 .
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）由 ，得 ，即 ，又由 ，即可得到本题答案；
（2）由（1）得， ，即可得到本题答案.