2020届海南省全国大联考高三第三次联考数学试题(解析版)
海南中学2020届高三第三次月考数学试题(含解析)
海南中学2020届高三第三次月考数学试题一、单选题（每个小题只有一个正确选项，每小题4分，共10小题，满分40分）1.已知集合{}{}1log |,1|22<=<=x x B x x A ，则如图所示阴影部分表示的集合为 （ ）A 、{}11|<<-x xB 、{}10|<<x xC 、{}20|<<x xD 、{}21|<<-x x【解答】A ={x |−1<x <1}, B ={x |0<x <2}∴A ∩B =0<x <1, 【答案】选B.2. 【虚则实之，实则虚之；虚实相生，皆成妙境】若复数1iz i=-，其中是i 虚数单位，则Z = （ ） A ．1122i + B ．1122i - C ．1122i -+D ．1122i --【解答】解：由(1)111(1)(1)22i i i z i i i i +===-+--+， ∴1122z i =--． 【答案】选D ．3. 【世界上没有垃圾，只有放错位置的宝藏】2019年7月1日，《上海市生活垃圾管理条例》正式实施，生活垃圾要按照“可回收物”、“有害垃圾”、“湿垃圾”、“干垃圾”的分类标准进行分类，没有垃圾分类和未投放到指定垃圾桶内等会被罚款和行政处罚．若某上海居民提着厨房里产生的“湿垃圾”随意地投放到楼下的垃圾桶，若楼下分别放有“可回收物”、“有害垃圾”、 “湿垃圾”、“干垃圾”四个垃圾桶，则该居民会被罚款和行政处罚的概率为A ．13B ．23C ．14D ．34【解答】厨房里产生的“湿垃圾”只能丢到放“湿垃圾”的垃圾桶,该上海居民向四个垃圾桶内随意丢垃圾,有四种可能,投放错误有三种结果,故被罚款和行政处罚的概率为3/4. 【答案】选D ．4．【不必仰望别人，自己亦是风景。
生活中幸福的标准不是唯一的，而数学中的实数的大小是确定的,只要你找到了标准】已知3log 4a =，log 3b π=，0.55c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．a c b << C ．b c a << D ．b a c << 【解答】1<3log 4a =<2,0 <log 3b π=<1,2<0.55c =,∴b a c <<. 【答案】选D ．5. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若816S =，61a =，则数列{}n a 的公差为A ．32B ．32-C ．23D ．23-【解答】解：等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，816S =，61a =， ∴816187816251S a d a a d ⨯⎧=+=⎪⎨⎪=+=⎩， 解得1133a =，23d =-，数列{}n a 的公差为23-．【答案】选D ．6．【盛夏季节，我们曾经邂逅相遇；晚秋时分，你可记得我的倩影?】《算术书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典著，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一”。
2020届全国第三次(3月)在线大联考(新课标Ⅲ卷)数学(文)试题解析
绝密★启用前2020届全国第三次（3月）在线大联考（新课标Ⅲ卷）数学（文）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题1．已知集合2{|1}A x x =<，{|ln 1}B x x =<，则 A ．{|0e}A B x x =<<I B ．{|e}A B x x =<I C ．{|0e}A B x x =<<U D ．{|1e}A B x x =-<<U答案:D 解：因为2{|1}{|11}A x x x x =<=-<<，{|ln 1}{|0e}B x x x x =<=<<， 所以{|01}A B x x =<<I ，{|1e}A B x x =-<<U ，故选D ． 2．已知i 为虚数单位，若复数12i12iz +=+-，则z = A ．9i 5+B ．1i -C ．1i +D ．i -答案:B 解：因为212i (12i)(2i)2i 4i 2i 1111i 2i (2i)(2i)5z ++++++=+=+=+=+--+，所以1i z =-，故选B ． 3．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，若双曲线C 的一条渐近线的倾斜角为3π，且点F ，则双曲线C 的实轴的长为A ．1B ．2C ．4D 答案:B 解：双曲线C 的渐近线方程为by x a=±，由题可知tan 3b a π==．设点(c,0)F ，则点F 到直线3y x =的距离为22|3|3(3)(1)c =+-，解得2c =，所以222222344c a b a a a =+=+==，解得1a =，所以双曲线C 的实轴的长为22a =，故选B ．4．从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如下频率分布直方图：根据频率分布直方图，可知这部分男生的身高的中位数的估计值为 A ．171.25cm B ．172.75cm C ．173.75cm D ．175cm答案:C 解：由题可得0.00520.02020.040(1)10a ⨯++⨯+⨯=，解得0.010a =， 则(0.0050.0100.020)100.35++⨯=，0.350.040100.750.5+⨯=>， 所以这部分男生的身高的中位数的估计值为0.50.3517010173.75(cm)100.040-+⨯=⨯，故选C ．5．某几何体的三视图如图所示，若侧视图和俯视图均是边长为2的等边三角形，则该几何体的体积为A ．83B 43C ．1D ．2答案:C解：由三视图可知，该几何体是三棱锥，底面是边长为2的等边三角形，三棱锥的高为3，所以该几何体的体积1132231322V=⨯⨯⨯⨯⨯=，故选C．6．已知实数,x y满足约束条件11220220xyx yx y≥-⎧⎪≥-⎪⎨-+≥⎪⎪--≤⎩，则23x y-的最小值是A．2-B．72-C．1 D．4答案:B解：作出该不等式组表示的平面区域，如下图中阴影部分所示，设23z x y=-，则2133y x z=-，易知当直线2133y x z=-经过点D时，z取得最小值，由1220xx y=-⎧⎨-+=⎩，解得112xy=-⎧⎪⎨=⎪⎩，所以1(1,)2D-，所以min172(1)322z=⨯--⨯=-，故选B．7．函数52sin()([,0)(0,])33x xx xf x x-+=∈-ππ-U的大致图象为A．B．C ．D ．答案:A 解： 因为5()2sin()52sin ()()3333x x x xx x x xf x f x ---+-+-===--，所以函数()f x 是偶函数，排除B 、D ，又5()033f π-πππ=>-，排除C ，故选A ．8．如图，在三棱锥D ABC -中，DC ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，2AC BC CD ===，E ，F ，G 分别是棱AB ，AC ，AD 的中点，则异面直线BG 与EF 所成角的余弦值为A ．0B ．63C ．33D ．1答案:B 解：根据题意可得BC ⊥平面ACD ，EF BC ∥，则CBG ∠即异面直线BG 与EF 所成的角，连接CG ，在Rt CBG △中，cos BCCBG BG∠=，易得22BD AD AB ===6BG =cos CBG ∠=66=，故选B ． 9．历史上有不少数学家都对圆周率作过研究，第一个用科学方法寻求圆周率数值的人是阿基米德，他用圆内接和外切正多边形的周长确定圆周长的上下界，开创了圆周率计算的几何方法，而中国数学家刘徽只用圆内接正多边形就求得π的近似值，他的方法被后人称为割圆术．近代无穷乘积式、无穷连分数、无穷级数等各种π值的表达式纷纷出现，使得π值的计算精度也迅速增加．华理斯在1655年求出一个公式：π2244662133557⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯L L，根据该公式绘制出了估计圆周率π的近似值的程序框图，如下图所示，执行该程序框图，已知输出的 2.8T >，若判断框内填入的条件为?k m ≥，则正整数m 的最小值是A ．2B ．3C ．4D ．5答案:B 解：初始：1k =，2T =，第一次循环：2282 2.8133T =⨯⨯=<，2k =，继续循环；第二次循环：8441282.833545T =⨯⨯=>，3k =，此时 2.8T >，满足条件，结束循环， 所以判断框内填入的条件可以是3?k ≥，所以正整数m 的最小值是3，故选B ．10．已知函数()2sin()(0,0)3f x x A ωωπ=->>，将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 的图象的一条对称轴是6x π=，则ω的最小值为 A ．16B ．23C ．53D ．56答案:C 解：将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度，得到函数()2sin()33g x x ωωππ=+-的图象，因为函数()g x 的图象的一条对称轴是6x π=，所以sin()1633ωωπππ+-=±，即,6332k k ωωππππ+-=+π∈Z ，所以52,3k k ω=+∈Z ，又0>ω，所以ω的最小值为53．故选C ．11．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点（设点A 位于第一象限），过点A ，B 分别作抛物线C 的准线的垂线，垂足分别为点1A ，1B ，抛物线C 的准线交x 轴于点K ，若11||2||A KB K =，则直线l 的斜率为 A ．1 BC．D答案:C 解：根据抛物线定义，可得1||||AF AA =，1||||BF BB =， 又11AA FK BB ∥∥，所以11||||2||||A K AF B K BF ==，所以1111||||2||||A K AAB K BB ==， 设1||(0)BB m m =>，则1||2AA m =，则111||||21cos cos ||23AA BB m m AFx BAA AB m m --∠=∠===+，所以sin 3AFx ∠=，所以直线l的斜率tan k AFx =∠=C ． 12．在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知23C π=，1c =．当,a b 变化时，若z b a λ=+存在最大值，则正数λ的取值范围为 A ．(0,1) B ．(0,2) C ．1(,2)2D ．(1,3)答案:C 解： 因为23C π=，1c =，所以根据正弦定理可得sin sin sin a b c A B C ===，所以a A =，b B =，所以sin()])sin 32z b a B A B B B λλλπ=+==+-=-+])B B φ=+，其中tan φ=，03B π<<， 因为z b a λ=+存在最大值，所以由2,2B k k φπ+=+π∈Z ，可得22,62k k k φπππ+<<π+∈Z ，所以tan φ>>，解得122λ<<，所以正数λ的取值范围为1(,2)2，故选C ．二、填空题13．已知向量(2,1)a =-，(1,)m =b ，若向量+a b 与向量a 平行，则实数m =___________．。
海南中学2020届高三第三次月考数学试题(含解析)
海南中学2020届高三第三次月考数学试题一、单选题（每个小题只有一个正确选项，每小题4分，共10小题，满分40分）1.已知集合{}{}1log |,1|22<=<=x x B x x A ，则如图所示阴影部分表示的集合为 （ ）A 、{}11|<<-x xB 、{}10|<<x xC 、{}20|<<x xD 、{}21|<<-x x【解答】A ={x |−1<x <1}, B ={x |0<x <2}∴A ∩B =0<x <1, 【答案】选B.2. 【虚则实之，实则虚之；虚实相生，皆成妙境】若复数1iz i=-，其中是i 虚数单位，则Z = （ ） A ．1122i + B ．1122i - C ．1122i -+D ．1122i --【解答】解：由(1)111(1)(1)22i i i z i i i i +===-+--+， ∴1122z i =--．【答案】选D ．3. 【世界上没有垃圾，只有放错位置的宝藏】2019年7月1日，《上海市生活垃圾管理条例》正式实施，生活垃圾要按照“可回收物”、“有害垃圾”、“湿垃圾”、“干垃圾”的分类标准进行分类，没有垃圾分类和未投放到指定垃圾桶内等会被罚款和行政处罚．若某上海居民提着厨房里产生的“湿垃圾”随意地投放到楼下的垃圾桶，若楼下分别放有“可回收物”、“有害垃圾”、 “湿垃圾”、“干垃圾”四个垃圾桶，则该居民会被罚款和行政处罚的概率为A ．13B ．23C ．14D ．34【解答】厨房里产生的“湿垃圾”只能丢到放“湿垃圾”的垃圾桶,该上海居民向四个垃圾桶内随意丢垃圾,有四种可能,投放错误有三种结果,故被罚款和行政处罚的概率为3/4. 【答案】选D ．4．【不必仰望别人，自己亦是风景。
生活中幸福的标准不是唯一的，而数学中的实数的大小是确定的,只要你找到了标准】已知3log 4a =，log 3b π=，0.55c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．a c b << C ．b c a << D ．b a c << 【解答】1<3log 4a =<2,0 <log 3b π=<1,2<0.55c =,∴b a c <<. 【答案】选D ．5. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若816S =，61a =，则数列{}n a 的公差为A ．32B ．32-C ．23D ．23-【解答】解：等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，816S =，61a =， ∴816187816251S a d a a d ⨯⎧=+=⎪⎨⎪=+=⎩， 解得1133a =，23d =-，数列{}n a 的公差为23-．【答案】选D ．6．【盛夏季节，我们曾经邂逅相遇；晚秋时分，你可记得我的倩影?】《算术书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典著，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一”。
2020届天一大联考海南省高三第三次模拟考试数学试题(解析版)
1. C 【详解】{}|23A x x =-<<，{|2B x x =-或}2x ，[)2,3A B =.2. B 【详解】由()121i z i -=+，得()()()()121121311122i i i z i i i i ---===--++-，所以z ==. 3. D 【详解】令()262x k k Z πππ-=+∈，得23k x ππ=+，取1k =，得56x π=. 4. D 【详解】若()f x 单调递增，则0k >且()0022k k ++，解得01k <因为“1k <”与“01k <”没有包含的关系，所以充分性和必要性都不成立. 5. A 【详解】设第n 天织布的尺数为n a ，则{}n a 是公比为2的等比数列，所以()5112512512a a a a -++⋯+==-，解得1531a =，所以23120231a a =⨯=. 6. A 【详解】()211sin sin 11x xxe f x x x ee ⎛⎫-⎛⎫=-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，故()()f x f x -=则()f x 是偶函数，排除C 、D ，又当()0,0x f x →> 故选：A. 7. A 【详解】设2t x =，则()11491625115t =++++=，()12173693142585y =++++= 586118a =-⨯=-，所以2ˆ68yx =-.令4x =，得2444936485ˆe y y =-=-⨯+=.故选：A 8. B 【详解】根据题意知122F F c =，直线1PF 的斜率为34，则212123tan 4PF PF F F F ∠== 则有232PF c =，则152PF c ，则122a PF PF c =-=，又因为12PF F ∆的面积为132622S c c =⨯⨯=，解得2c =，即1a =.故选：B二、多选题9. BD 【详解】对于A ，若0a b >>，则11a b<，所以A 错误；对于B ，因为0a b ->，所以20201a b ->，故B 正确；对于C ，函数ln y x =的定义域为()0,+∞，而a ，b 不一定是正数，所以C 错误；对于D ，因为210c +>，所以()()2211a c b c +>+，所以D 正确.故选：BD10. AC 【详解】对于A ，2cos 1b α==，A 正确；对于B ，若//a b cos 0αα-=，tan α∴=，B 错误； 对于C ，3cos sin 2sin 3a b πααα⎛⎫⋅=+=+ ⎪⎝⎭，最大值为2，C 正确；对于D ，||(3a b -=-因为0,2απ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，所以5,336πππα⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则1sin ,132πα⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即max ||5a b -=-，D 错误.故选：AC 11. ABD 【详解】如图，连接MN ，易知//MN PB ，由线面平行的判定定理得//PB 面AMC ，A 正确.在菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，BAD ∴为等边三角形.设AD 的中点为O ，连接OB ，OP ，则OP AD ⊥，OB AD ⊥，由线面垂直的判定定理得出AD ⊥平面POB ，AD PB ∴⊥，B 正确. 平面PAD ⊥平面ABCD ，由面面垂直的性质可得POB 为直角三角形设4AD =，则OP OB ==，PB ∴=，12MN PB ==在MAN △中，AM AN ==MN =cos AMN ∠=,故异面直线PB 与AM ,在MAN △中222AM AN MN ≠+，则ANM ∠不是直角，则AMC ∆不是等腰三角形，即AM 与CM 长度不等，故C 错误，D 正确故选：ABD12. BD 【详解】由题知2()3f x x a '=+.对于A ，由()f x 是奇函数，知0b =，因为0a <，所以()f x 存在两个极值点，由(0)0f =知，()f x 有三个零点，A 错误；对于B ，因为211b +，所以0a ，()0f x '，所以()f x 单调递增，则()f x 仅有一个零点，B 正确；对于C ，若取2b =，2()33f x x '=-，则()f x 的极大值为()14f -=，极小值为(1)0f =，此时()f x 有两个零点，C 错误；对于D ，3()1f x x x =-+，2()31x f x '=-易得()f x 的极大值为10f ⎛= ⎭>⎝，极小值为10f =⎝>⎭.可知()f x 仅有一个零点，D 正确.故选：BD 三、填空题13. 16 【详解】设从学校A 和C 分别抽取的教师人数为x 和y ，由题意可知872144216x y ==，所以4x =，12y =，16x y +=.故答案为：16 14. 240【详解】636621661(2)()(1)2rrrr r r rr T C x C x x---+=-=-，令，得常数项为240，故答案为240. 15.323【详解】圆22280x x y -+-=即()2219x y -+=，圆心坐标为()1,0，则12p =抛物线方程为24y x =，所以2DF =.如图，3FA FB =-，所以:3:1AF FB = 又::DF BC AF AB =，所以2:3:4BC =，得83BC BF ==所以3243AB BF ==.故答案为：323四、双空题如图，设M 为AC 的中点，因为PA PC =，所以PM AC ⊥，又因为平面PAC ⊥平面ABC ，所以由面面垂直的性质定理得PM ⊥平面ABC ，所以PM MB ⊥=PM MB =从而可得PMAC =设1O ，2O 分别为对应面的内心，分别过1O ，2O 作MP ，MB 的平行线，交于点O 即O 为所求的球心，易知12OO MO 是正方形设Rt PAC △内切圆的半径为r ，球O 的半径为R，由图可知OM R ==，而22r -=，所以1R =.1五、解答题17.（1）给出的通项公式为24n a n =+.因为对任意*n N ∈()1214242n n a a n n +-=++--=， 所以{}n a 是公差为2的等差数列.对任意*,m n ∈N ，且m n ≠，()22424224m n m n a a m n m n a +++=+++=+++=，所以{}n a 是“Q 数列”.（2）因为{}n a 是等差数列，所以()()2*62452n n n S n n n N ++==+∈.因为n S 单调递增，且2775784100S =+⨯=<，28858104100S =+⨯=>，所以n 的最小值为8. 注：以下答案也正确，解答步骤参考上面内容：①33n a n =+，23922n S n n =+，n 的最小值为7；②6n a n =，233n S n n =+，n 的最小值为6.18. （1）43（2）(【详解】（1）因为A B C π++=，所以()sin sin A C B +=. 所以2sin 4sin2sin cos 222B B B B ==，因为0B π<<，所以022B π<<，所以sin 02B≠， 所以1tan 22B =.于是2212tan2422tan 311tan122B B B ⨯===⎛⎫-- ⎪⎝⎭.（2）由（1）知4tan 3B =，又()0,B π∈，根据同角三角函数关系可得4sin 5B =，3cos 5B =.根据余弦定理得()222261655b ac ac a c ac =+-=+-又()()()()22221641555a c ac a c a c a c +-+-+=+所以()2255a c b +=，即5a c+，当且仅当a c ==时取等号.又因为1a c b +>=，所以a c +的取值范围是(. 19. （1）1.2（2）9.3（3）0.1808【详解】（1）由题意得2100.4 2.2 2.2 5.2a b c ++=---=， 又2b a c =+，2c a =，解得0.8a =， 1.2b =， 1.6c =. 因为前四组的频率之和为()0.40.8 1.6 2.20.10.5+++⨯=， 所以估计样本中闪存芯片的数据传输速度的中位数为1.2 （2）估计样本中闪存芯片的使用寿命的平均数为 7.50.18.50.39.50.3510.50.211.50.059.3⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（3）样本中数据传输速度为优的产品有0.510050⨯=件 使用寿命为优的产品有()0.20.0510025+⨯=件至少有一项为优的产品有1004555-=件，所以S 级产品有50255520+-=件. 故任意一件产品为S 级产品的概率为15.则从这一批产品中任意抽取4件，其中S 级产品的数量服从二项分布14,5B ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故所求的概率为43014441411310.1808555625P C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯⨯== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.20. 【答案】（1）见解析（2）【详解】（1）连接1AC 1AA AC =，∴平行四边形11AA C C 为菱形，11AC AC ∴⊥. 平面11AAC C ⊥平面ABC ，平面11AAC C 平面ABC AC =，BC ⊂平面ABC ，BC AC ⊥BC ∴⊥平面11AA C C .11//BC B C ，11B C ∴⊥平面11AA C C ，111B C AC ∴⊥.又1111AC B C C =，111,AC B C ⊂平面11AB C 1AC ∴⊥平面11AB C . 1AB ⊂平面11AB C ，11AC AB ∴⊥.（2）取11A C 的中点为M ，连接CM .由160A AC ︒∠=，可知11CM AC ⊥，CM AC ⊥.又BC ⊥平面11AA C C ，故可知C 为坐标原点，CA ，CB ，CM 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图.则()0,0,0C，(1A ，()2,0,0A ，()0,1,0B，(1B -. 由（1）知，平面11AB C的一个法向量为(1CA =. 设平面1ABB 的法向量为(),,n x y z =，则10n AB n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩. ()2,1,0AB =-，(13,1AB =-，2030x y x y -+=⎧⎪∴⎨-++=⎪⎩.令1x =，得2y =，z =，即31,2,n ⎛= ⎝⎭.111cos ,162CA n CA n CA n ⋅∴===⋅⨯结合图可知，二面角11C AB B --为钝角，则二面角11C AB B --的余弦值为21. 【答案】（1）22143x y +=（2）存在，31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭或31,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 【详解】（1）设椭圆E 的半焦距为c 因为离心率12e =，所以2a c =，222243b c c c =-= 由222214320x y c c x y ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩解得x =.不妨设,A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，B ⎫⎪⎪⎭，则AB =所以1c =，从而2a =，23b =.所以椭圆E 的标准方程为22143x y +=. （2）假设存在点(),P x y ，设()11,A x y ，()22,B x y . 由2214320x y x y m ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩，消去y 得2242120x mx m ++-=.因为44m -<<，所以()22416120m m ∆=-->，且122m x x +=-，212124m x x -=.由APB ∠的平分线平行于y 轴，得0AP BP k k +=所以12120y y y y x x x x --+=--，即1212220x m x my y x x x x ++--+=--， 可得()()()()12121222220x x x x x m y x m y x x +-+---+=， 所以()()2212220222m m y mx m m y x ---+-+-=，整理得()321280x y m xy -+-=. 当m 变化时，上式恒成立，所以3201280x y xy -=⎧⎨-=⎩，解得132x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩或132x y =⎧⎪⎨=⎪⎩.故满足条件的P 点的坐标为31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭或31,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭.22. 【答案】（1）见解析（2）13a =-.【详解】 （1）当0a =时，()()21ln 12f x x x x =+-+，定义域为()1,-+∞.()21111x f x x x x =-+=++'.当1x >-时，()0f x '>，所以()f x 在()1,-+∞上单调递增.又因为()00f =，所以当10x -<<时()0f x <，当0x >时，()0f x >. （2）若0a ，由（1）知，当0x >时，()()()21ln 1002f x x x x f +-+>=.这与0x =是()f x 的极大值点矛盾.若0a <，()()32223311331131113ax a x ax a f x x ax x x x x a +++⎛⎫=-++==+ ⎪+++⎝⎭'，1x >-. 令()0f x '=，可得0x =或313a x a+=-. ①若13a <-，则3103a a+-<. 当3113a x a +-<<-时，()0f x '>，当313a x a+>-时，()0f x '. 所以()f x 在31,3a a +⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，与0x =是()f x 的极大值点矛盾. ②若103a -<<，则3103a a+->. 当3113a x a +-<<-时，()0f x '，当313a x a+>-时，()0f x '<. 所以()f x 在311,3a a +⎛⎫--⎪⎝⎭上单调递增，与0x =是()f x 的极大值点矛盾. ③若13a =-，则3103a a+-=. 当10x -<<时，()0f x '>，当0x >时，()0f x '<. 所以()f x 在()1,0-上单调递增，在()0,+∞上单调递减. 此时0x =是()f x 的极大值点.综上所述，若0x =是()f x 的极大值点，则13a =-.。
2020届天一大联考海南省高三第三次模拟考试数学试题(解析版)
【解析】设第 天织布的尺数为 ，根据等比数列的定义判断 为等比数列，再由求和公式求解即可.
【详解】
设第 天织布的尺数为 ，则 是公比为2的等比数列，所以 ，解得 ，所以 .
故选：A
【点睛】
本题主要考查了等比数列的概念以及性质，属于中档题.
6．函数 的图象的大致形状是（）
A． B．
C． D．
【解析】连接 ，利用线面平行的判定定理判断A；设 的中点为 ，连接 ， ，利用线面垂直的判定定理以及性质判断B；根据面面垂直的性质得出 为直角三角形，求出 的长度，利用余弦定理得出 与 所成角的余弦值，证明 不是直角，从而得出 不是等腰三角形，从而判断CD.
【详解】
如图，连接 ，易知 ，由线面平行的判定定理得 面 ， 正确.
【点睛】
本题考查回归分析的应用，属于中档题.
8．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，点 在双曲线上，且 垂直于 轴.若直线 的方程为 ， 的面积为6，则 （）
A． B．1C． D．
【答案】B
【解析】根据直线 的斜率以及勾股定理得出 ， ，由双曲线的定义得出 ，再由三角形面积公式得出 ，即可得出 的值.
4．已知函数， ，则“ ”是“ 单调递增”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】由分段函数的单调性结合充分条件，必要条件的定义，即可得出答案.
【详解】
若 单调递增，则 且 ，解得
因为“ ”与“ ”没有包含的关系，所以充分性和必要性都不成立.
【解析】由复数的运算化简 ，再由模长公式即可得出答案.
【详解】
由 ，得 ，所以 .
故选：B
2020年3月高三第三次在线大联考 理科数学-(新课标Ⅰ卷)(全解全析答案)
2020年3月高三第三次在线大联考（新课标Ⅰ卷）理科数学 全解全析1 2 3 4 5 6 7 89 10 11 12 CDBDBBABDBDC1．C 【解析】因为{|20}{|2}A x x x x =-≥=≤，{|ln(1)}{|1}B x y x x x =∈=+=∈>-Z Z ，所以{0,1,2}A B =I .故选C ．2．D 【解析】因为满足|i ||i |z z -=+的点Z 为复平面内到点(0,1)和(0,1)-的距离相等的点的集合，所以(,)Z x y 的轨迹为x 轴，其方程为0y =.故选D ．3．B 【解析】因为95593S a a ==，所以50a =，则5454S S a S =+=.故选B ．4．D 【解析】由统计图可知，各月同比全部上涨，平均涨幅为(1.7 1.5 2.3 2.5 2.7 2.7 2.8 2.8++++++++ 3.0 3.8 4.5 4.5 5.4)131% 3.09%++++÷⨯≈，超过3%，故A 正确；各月环比有涨有跌，平均涨幅为(0.5+ 1.00.40.10.00.10.40.70.90.90.40.0 1.4)131%0.446%-++-+++++++÷⨯≈，超过0.3%，故B 正确；同比涨幅最大的是2020年1月，环比涨幅最大的也是2020年1月，故C 正确；环比跌幅最大的是2019年3月，同比涨幅最小的是2019年2月，故D 错误，故选D ．5．B 【解析】初始：1k =，2T =，第一次循环：2282 2.8133T =⨯⨯=<，2k =，继续循环；第二次循环：8441282.833545T =⨯⨯=>，3k =，此时 2.8T >，满足条件，结束循环， 所以判断框内填入的条件可以是3?k ≥，所以正整数m 的最小值是3，故选B ．6．B 【解析】作出不等式组2202201,1x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥-≥-⎩表示的平面区域，如图中阴影部分所示，设2z x y =+，则2y x z =-+，平移该直线，当直线2y x z =-+经过点A 时，z 取到最大值，由220220x y x y -+=⎧⎨--=⎩得22x y =⎧⎨=⎩，即(2,2)A ，则max 426z =+=；当直线2y x z =-+经过点C 时，z 取到最小值，易得(1,1)C --，则min 213z =--=-，所以2x y +的取值范围是[3,6]-.故选B ．7．A 【解析】因为5()2sin()52sin ()()3333x x x xx x x xf x f x ---+-+-===--，所以)(x f 是偶函数，排除B,D ，因为ππ5π(π)033f -=>-，排除C ，故选A. 8．B 【解析】2222221112(1)32(1)31111y t t t t t t =-+=++-≥+⋅-=-+++，当且仅当22111t t +=+，即0t =时，取等号，y 取得最小值为1-，此时，(1,0),(2,1)=-=-a b ，则25cos ,||||15⋅===-⋅⨯a b a b a b .故选B ．9．D 【解析】当43n k =-或42n k =-时，1[]2(1)1n --=；当41n k =-或4n k =时，1[]2(1)1n --=-，所以4342k k a a --+2222414(43)(42)(41)(4)3212k k a a k k k k k -++=-+----=-+，所以数列{}n a 的前60项和60S =32123215121536602-+-⨯+⨯=-.故选D ．10．B 【解析】2261cos22π()6sin cos 2cos sin 222sin(2)26x f x x x x x x +=+-=+⋅-=+，将函数()f x 图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到π()2sin(4)6g x x =+的图象.对于①，π4ππ()2sin()2336g =+=-，故函数()g x 的图象不关于点π(,0)3成中心对称，所以①错误；对于②，由(π,π)x ∈-得π23π25π4(,)666x +∈-，结合函数图象可得()g x 在(π,π)-上有8个极值点，所以②正确；对于③，由ππ24x -≤≤-，得11ππ5π4666x -≤+≤-，则2()2g x -≤≤，所以()g x 的最大值为2，最小值为2-，所以③正确；对于④，当ππ44x -<<时，5ππ7π4666x -<+<，故函数()g x 在区间ππ(,)44-上不单调， 所以④错误.故选B ．11．D 【解析】连接,AC BD ，设AC BD H =I ，连接SH ，根据题意可得SH ⊥平面ABCD .设O 为四棱锥S ABCD -的外接球的球心，则O 在SH 上，连接OC ，设此四棱锥的外接球的半径为R ，则OS OC R ==，如图所示.因为正方形ABCD 21,2,1CH SC SH ===，所以,H O 重合，即四棱锥的外接球的半径为1R =，所以四棱锥的外接球的表面积为24π4πS R ==.故选D ．12．C 【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，直线AB 的方程为4x my =+，与24y x =联立得24160y my --=，则124y y m +=，1216y y =-，所以212121212(4)(4)(1)4()1616(1OA OB my my y y m y y m y y ⋅=+++=++++=-u u u r u u u r22)16160m m +++=，所以OA OB ⊥，则222||||||OA OB AB +=,所以||||OA OB +≤|AB =（当且仅当||||OA OB =时等号成立），所以||||||OA OB AB +.故选C ．13．120- 【解析】由题意，5(21)x y +-的展开式中含22x y 的项为2222122531C C (2)C (1)120x y x y ⨯⨯⨯-=-，所以所求系数为120-. 14．9【解析】因为(0,π)α∈，所以ππ7π(,)666α+∈，又因为π1sin()063α+=-<，所以π7π(π,)66α+∈，所以πcos()63α+=-.则πππ1sin(2)2sin()cos()2()(3663ααα+=++=⨯-⨯. 15．2 【解析】设12||,||MF m MF n ==，12F MF θ∠=，则22242cos c m n mn θ=+-.又2m n a -=，即22224m n mn a +-=，解得21cos mn θ=-，所以12122cos ||||cos cos 1cos MF MF MF MF mn θθθ=θ⋅=⋅⋅==-u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r211cos θ-，因为ππ[,]43θ∈，所以1cos 2θ≤12cos θ≤≤1111cos θ≤-≤，则2211cos θ≤≤-2=，所以12MF MF ⋅u u u u r u u u u r的最大值为2+. 16．【解析】设直线l 与函数()f x 及()g x 的图象分别相切于1(,)(0)A m m m <，2(,)B n n a +，因为21()f x x '=-，所以函数()f x 的图象在点A 处的切线方程为211()y x m m m -=--，即212y x m m=-+，因为()2g x x '=，所以函数()g x 的图象在点B 处的切线方程为22()y n a n x n --=-，即22y nx n a =-+，因为存在直线l 与函数()f x 及()g x 的图象都相切，所以22122n mn a m ⎧=-⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，所以4124a m m =+， 令1(0)t t m =<，设41()2(0)4h t t t t =+<，则3()2h t t '=+，当t <()0h t '<，函数()h t单调递减；当0t <时，()0h t '>，函数()h t 单调递增，所以min()(h t h ==，所以实数a的最小值为 17．（本小题满分12分）【解析】（1）在Rt ABD △中，由cos ABD ∠2sin 3ABD ∠，所以3sin ADBD ABD==∠.（3分）在BCD △中，由余弦定理得2222232cos 3423425123BC BD CD BD CD BDC =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=-，所以25123BC =-.（6分）（2）设CBD x ∠=，由C ADC ∠=∠，π6BDC ∠=可得5π6C x ∠=-，π6ABD x ∠=-， 在Rt ABD △中，因为2AD =，所以2πsin sin()6AD BD ABD x ==∠-，（8分）在BCD △中，由正弦定理得sin sin BD CDC CBD =∠，即45πsin sin()6BD x x =-， 所以24π5πsin sin()sin()66xx x =--，整理得24sin 2sin 10x x --=.（10分） 由sin 0x >得15sin x +=，所以15sin CBD +∠=.（12分） 18．（本小题满分12分）【解析】（1）因为正方形ABCD 所在平面与梯形ABMN 所在平面垂直，BC AB ⊥，所以BC ⊥平面ABMN ， 因为MN ⊂平面ABMN ，BN ⊂平面ABMN ，所以BC MN ⊥，BC BN ⊥，由2,23BC CN ==，得2222BN CN BC =-=，由2NA AB ==，可得AB AN ⊥，（3分） 在直角梯形ABMN 中, 可得22MN =，由4BM =，22BN MN ==，可得222BN MN BM +=，所以BN MN ⊥， 因为BC BN B =I ，所以MN ⊥平面BCN ，因为MN ⊂平面DMN ，所以平面DMN ⊥平面BCN .（6分）（2）如图，以B 为坐标原点，,,BA BM BC 所在直线分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系B-xyz ，则(0,0,0),(0,0,2),(2,0,2)B C D ,(0,4,0),(2,2,0)M N ,(2,2,0)MN =-u u u u r ,(2,2,2)CN =-u u u r ,(0,2,2)DN =-u u u r,设111(,,)x y z =n 是平面CMN 的法向量，则00MN CN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r u u u r n n ，即111112202220x y x y z -=⎧⎨+-=⎩， 取11x =，得(1,1,2)=n .（8分）设222(,,)x y z =m 是平面DMN 的法向量，则0MN DN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u ru u u r m m ，即2222220220x y y z -=⎧⎨-=⎩，取21z =，得(1,1,1)=m ，（10分）设二面角C MN D --的平面角为θ，则cos ||||θ⋅===n m n m由图可知二面角C MN D --.（12分） 19．（本小题满分12分）【解析】（1）设c =，由12,l lπ2sin 3c 1c =，（2分） 由椭圆C 的离心率为12，得12c a =，所以2a =，b 所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（5分）（2）当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为2x =±，点12,F F 到直线l 的距离之积为3；（6分） 当直线l 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+，联立y kx m =+及22143x y +=，消去y 得222(34)84120k x kmx m +++-=，（8分） 因为直线l 与椭圆C 只有一个公共点，所以22222(8)4(34)(412)48(43)0km k m m k ∆=-+-=---=， 所以2243m k =+.点1(1,0)F -到直线l ：y kx m =+的距离1d =点2(1,0)F 到直线l ：y kx m =+的距离2d =，所以22221222|||43|311m k k k d d k k -+-===++，（11分） 综上可得，若直线l 与椭圆C 只有一个公共点，则点12,F F 到直线l 的距离之积为3.（12分） 20．（本小题满分12分）【解析】（1）（ⅰ）样本的平均数为1(23212219221917192117)2010⨯+++++++++=，样本的标准2=，因此20μ=，2σ=.（2分）（ⅱ）学校7点30分上课，若该学生7点04分准时从家出发，则该学生到达教室所花时间最多为26分钟，若该学生7点06分准时从家出发，则该学生到达教室所花时间最多为24分钟，由于11(26)(3)1[(1(33)]1(10.9974)0.998722P X P X P X μσμσμσ<=<+=-⨯--<<+=-⨯-=，11(24)(2)1[(1(22)]1(10.9544)0.977222P X P X P X μσμσμσ<=<+=-⨯--<<+=-⨯-=.（4分）所以该学生上学不迟到的概率的范围是(0.9772,0.9987).（6分）（2）把该学生这10天早上从家出发到教室所花的时间从小到大排列为17，17，19，19，19，21，21，22，22，23.在这10天中任取2天，所花时间的差的绝对值为Y ，则Y 的可能值为0,1,2,3,4,5,6，且22222322210C C C C 62(0)C 4515P Y +++====，11112221210C C C C 62(1)C 4515P Y +====， 111111232321210C C C C C C 14(2)C 45P Y ++===，1132210C C 62(3)C 4515P Y ====，11112231210C C C C 7(4)C 45P Y +===， 1122210C C 4(5)C 45P Y ===，1121210C C 2(6)C 45P Y ===，（10分）所以Y 的分布列是Y 的数学期望是22142742112()01234561515451545454545E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（12分） 21．（本小题满分12分）【解析】（1）因为()cos(1)(1ln )f x x x x =-+-，所以()()sin(1)ln (0)g x f x x x x '==--->，（1分） 设1()ln (0)h x x x x =-->，则22111()xh x x x x-'=-+=，当(0,1)x ∈时，()0h x '>，()h x 是增函数；当(1,)x ∈+∞时，()0h x '<，()h x 是减函数, 所以()(1)1h x h ≤=-，即1ln 1x x --≤-，所以1ln 1x x-≤-，当1x =时取等号.（4分） 因为sin(1)1x --≤，所以1()sin(1)ln 1ln g x x x x x=---≤-≤，等号不同时成立， 所以1()g x x<.（6分） （2）因为()sin(1)ln g x x x =---，所以1()cos(1)g x x x'=---， 当(0,1]x ∈时，1cos(1)0,0x x->>，()0g x '<，所以()g x 在(0,1]上是减函数，当(0,1]x ∈时()(1)0g x g ≥=， 即(0,1]x ∈时()0f x '≥，所以()f x 在(0,1]上是增函数；（8分）(1,1π)x ∈+时，1(0,π)x -∈，所以sin(1)0,ln 0x x --<-<，所以()0g x <，当[1π,)x ∈++∞时,sin(1)1,ln 1x x --≤-<-，所以()0g x <，所以当(1,)x ∈+∞时()0g x <，即()0f x '<，所以()f x 在(1,)+∞上是减函数， 综上，可得()f x 在(0,1]上是增函数，在(1,)+∞上是减函数.（12分） 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程【解析】（1）由82x t=+可得0x ≠， 由8242x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，消去参数t ，可得直线l 的普通方程为40(0)x y x +-=≠．（2分）由2sin ρθ=可得22sin ρρθ=，将sin y ρθ=，222x y ρ=+代入上式，可得2220x y y +-=， 所以曲线C 的直角坐标方程为2220x y y +-=．（5分） （2）由（1）得，l 的普通方程为40(0)x y x +-=≠，将其化为极坐标方程可得cos sin 40()2ρθρθθπ+-=≠，（7分）当()04θρπ=>时，A ρ=B ρ=所以|||||A B AB ρρ=-==（10分） 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲【解析】（1）当2a =时，12,211()|21||21|4,2212,2x f x x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+--=-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩，（2分）当12x <-或12x >时，|()|2f x =，所以1()1f x -≤≤可转化为1124211x x -≤-≤≤⎧≤⎪⎨⎪⎩，解得1144x -≤≤，所以不等式1()1f x -≤≤的解集为11[,]44-．（5分）（2）因为1(,0)2x ∈-，所以|21|21x x +=+，所以()2f x x >，即21|1|2x ax x +-->，即|1|1ax -<．当0a ≥时，因为1(,0)2x ∈-，所以|1|1ax -≥，不符合题意．（7分）当0a <时，解|1|1ax -<可得20x a<<，（8分） 因为当1(,0)2x ∈-时，不等式()2f x x >恒成立，所以12(,0)(,0)2a-⊆，所以212a ≤-，解得40a -≤<，所以实数a 的取值范围为[4,0)-．（10分）。
2020届高三基地学校第三次大联考(数学参考答案)(1)
2020届高三基地学校第三次大联考数学参考答案与评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1． {}102−，， 2．3． 5 4．24 5． 236．必要不充分 7． 8 8． 1− 9．13 10． 45 11．9 12．1()2−∞−， 13． 14．2参考解析：12．【解】作出函数()f x 的图象，结合图象及1x x −<−可得， 当1x −≥，即1x −≤时，不等式成立； 当11x −≤，即0x ≥时，不等式不成立； 当10x −<<时，(01)x −∈，，1(12)x −∈，， 所以222(1)2(1)x x x x +<−−−，解得112x −<<−．综上，不等式()(1)f x f x −<−的解集为1()2−∞−，．13．【解】由0AB BC AD DC ⋅=⋅=，得90ABC ADC ∠=∠=，所以四边形ABCD 的外接圆是以AC 为直径的圆． 设AC ，BD 的中点分别为O ，E ，则OE BD ⊥，所以2AC BD AO BD ⋅=⋅2()AB BE EO BD =++⋅212()2AB BD BD =⋅+，结合4AC BD ⋅=1AC BD ⋅=，2AB BD ⋅=−32AB BD ⋅=−， 得2142(2)2BD =−+，所以28BD =，即22BD =BD 的长为14．【解】方程24()()ln(e 1)2x f x g x x a −=⇔+=+−242e1e 0x x a −+−⇔+−=． 令242()e 1e x x a h x x −+−=+−∈R ，，则显然()h x 为偶函数，所以方程()()f x g x =有四个实根⇔函数242()e 1e 0x x a h x x −+−=+−>，有2个零点． 令2e 0x t x −=>，，则关于t 的方程2e 10a t t −+=， 即1e a t t=+在2(e )−+∞，内有2个不相等的实根， 结合函数21e y t t t−=+>，的图象，得222<e e e a −<+，即4ln 2ln(e 1)2a <<+−．AB CDOE从而存在[1]()a n n n Z ∈+∈，，使得4ln 2ln(e 1)2a <<+−， 所以4ln(e 1)2ln 21n n ⎧<+−⎨<+⎩，，结合n ∈Z ，得max 2n =．二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．(本小题满分14分)【证】（1）因为EA ABC ⊥平面，AB AC ABC ⊂，平面，所以EA AB ⊥，EA AC ⊥． …… 2分又DC EA ∥，所以DC AB ⊥，DC AC ⊥． …… 4分 因为ABAC A =，AB AC ABC ⊂，平面， 所以DC ABC ⊥平面． …… 6分 （2）取AB 中点M ，连结CM ，FM ．在△ABE 中，F ，M 分别为EB ，AB 中点， FM ∥EA ，且2EA FM =． 又DC EA ∥且2EA DC =， 于是DC ∥FM ，且DC FM =．所以四边形DCMF 为平行四边形． …… 10分则DF CM ∥，CM ABC ⊂平面，DF ABC ⊄平面，所以DF ABC ∥平面． …… 14分16．(本小题满分14分)【证】（1）在△ABC 中，πA B C ++=，所以()3sin sin 5C A B =+=，即3sin cos cos sin 5A B A B +=，① …… 2分又()1sin 5A B −=，即1sin cos cos sin 5A B A B −=， ② …… 4分由①②得，21sin cos cos sin 55A B A B ==，.因为2A B π≠，，所以两式相除得，tan 2tan A B =． …… 6分【解】（2）由题意，22tan tan AB A B +=，得3tan AB B=． …… 8分在△ABC中，4cos 5C ==，所以sin 3tan cos 4C C C ==． …… 10分A DC BEFM又()()2tan tan 3tan 3tan tan tan 1tan tan 412tan A B B C A B A B A B B +=π−+=−+=−=−=⎡⎤⎣⎦−−，…… 12分即22tan 4tan 10B B −−=，解得tan 1B =+所以2)AB =． …… 14分17．(本小题满分14分)【解】（1）由题意知OM OA R ==，且060θ︒<︒≤． …… 2分在OMN △中，由正弦定理得sin 60sin(120)MN OM θ=︒−，于是)MN θ=︒−， …… 4分从而市民从点O 出发沿道路OM，MN 行走所经过的路径长 ())f OM MN R θθ=+=︒−，060θ︒<︒≤．当12090θ︒−=︒，即30θ=︒时，()f θ取最大值．即当30θ=︒时，市民从点O 出发沿道路OM ，MN 行走所经过的路径最长．6分 （2）市民从点A 出发沿道路AM ，MN 行走所经过的路径长())g AM MN R θθθ=+=+︒−1sin )2R θθθ=++，060θ︒<︒≤． ……8分1()cos )2g R θθθ'=++30)R θ=−−︒，当060θ︒<︒≤时，11sin(30)22θ−<−︒≤，从而()0g θ'>恒成立， 所以()g θ在区间(03π⎤⎥⎦，上单调递增，所以当60θ=︒时，()g θ取最大值． 即当60θ=︒时，市民从点A 出发沿道路AM ，MN 行走所经过的路径最长．14分 18．(本小题满分16分)【解】（1）设圆C 的方程为222()()(0)x a y b r r −+−=>，由题设，222222()))()a b r a b r r ⎧+−=⎪⎪+−=⎪⎨=，，，①②③ …… 3分①−②整理得a b =2r −=，结合①得222((2)a a ++=− 所以0a =，从而0b =，2r =，所以圆C 的方程为224x y +=． …… 5分 （2）（i ）设0(4)P y ，，因为PM ，PN 是圆C 的两条切线，所以PM MC ⊥，PN NC ⊥，所以P M N C ，，，在以PC 为直径的圆上，该圆方程为22040x y x y y +−−=． …… 7分设11()M x y ，，22()N x y ，，则221110140x y x y y +−−=④． 因为11()M x y ，在圆C 上，所以22114x y +=⑤， 由④⑤得101440x y y +−=，同理202440x y y +−=， 由此得直线MN 的方程为0440x y y +−=，所以直线MN 过定点(10)，． …… 10分 （ii ）由（i ），(10)Q ，，设直线PQ 的方程为(1)y k x =−，则(0)D k −，． 设3344()()A x y B x y ，，，，由22(1)4y k x x y =−⎧⎨+=⎩，，得2222(1)2(4)0k x k x k +−+−=， 所以23422342214.1k x x k k x x k ⎧=⎪⎪+⎨−⎪=⎪+⎩+，…… 12分 由DA QA λ=，DB QB μ=，得3344(1)(1)x x x x λμ=−⎧⎨=−⎩，，即334411x x x x λμ⎧=⎪−⎪⎨⎪=⎪−⎩，， …… 14分所以33443434342211()1x x x xx x x x x x λμ+−+=+=+−−−++22222222281223342111k k k k k k−+=+=+=−−+++． …… 16分 19．(本小题满分16分)【解】（1）当1b=−时，1()ln f x ax x x=++，所以222111()ax x f x a x x x+−'=−+=． …… 2分若函数()f x 有两个极值，则0102140a aa <⎧⎪⎪−>⎨⎪+>⎪⎩，，，解得104a −<<．故a 的取值范围是1(0)4−，． …… 4分（2）当1a b +=时，1()(1)ln f x ax a x x=+−−，所以2222(1)1(1)(1)11()ax a x x ax a f x a x x x x +−−+−−'=−+==． 当0a ≤时，()0f x '<，所以()f x 是(0)+∞，上的减函数，所以函数()f x 无最小值，舍去； …… 6分 当0a >时，由()0f x '>得，1x a>，所以()f x 在1(0)a ，上单调递减，在1()a+∞，上单调递增， 所以函数()f x 的最小值为1()1(1)ln f a a a a =++−．由1(1)ln 2a a a ++−=，得(1)(1ln )0a a −−=，解得1a =，或e a =． …… 9分 （3）对任意给定的正实数a b ，，有()1ln ln f x ax b x ax b x x=+−>−． …… 11分（方法一）设()ln g x ax b x =−，则()ax b g x x −'=，所以()g x 在(0)b a ，上单调递减，在(+)b a∞，)上单调递增， 所以min ()()(1ln )b b g x g b a a ==−． 当e b a≤时，()0g x ≥恒成立，所以存在0b x a=，当0x x >时，()0g x >，即当0x x >时，()0f x >． …… 13分当>e b a 时，()0b g a<， 以下证明e b a b a <，且(e )0bag >．令e bx a=>，2()e x h x x =−，则()e 2x h x x '=−， 因为(e 2)e 20x x x '−=−>，所以()e 2x h x x '=−是(e,)+∞上的增函数， 由()(e)0h x h ''>>，得2()e x h x x =−是(e,)+∞上的增函数， 所以()(e)0h x h >>，故当e x >时，2e x x x >>．故<e b a b a ，2(e )e ln e e ()0b b bb a a aa b g a b a a ⎡⎤=⋅−=−>⎢⎥⎣⎦， 由零点存在性定理知，存在0(e )ba b x a∈，，使0()0g x =，故当0x x >时，()0g x >，即当0x x >时，()0f x >． …… 16分（方法2）设()ln ln )g x ax b x ax b x =−=−+． …… 13分设ln y x =，0x >，则1y x'=−=，易知当4x =时，min 22ln 20y =−>，故ln 0y x >．又由0ax −，得2()b x a ≥，对于任意给定的正实数a b ，，取0x 为2()b a与4中的较大者，则当0x x >时，恒有()0g x >，即当0x x >时，()0f x >． …… 16分20．(本小题满分16分)【解】（1）因为12n n nS a a =+，所以221n n n S a a =+．当2n n *∈N ，≥时，2112()()1n n n n n S S S S S −−−=−+， 即2211n n S S −=+，2211(2)n n S S n n *−−=∈N ≥，． 又1n =时，11112S a a =+，得11a =（舍负）所以{}2n S 是以1为首项公差为1的等差数列． …… 4分（2）由（1）知，211n S n n =+−=．又{}n a 是各项都为正数，0n S >，所以n S =．当2n n *∈N ，≥时，1n n n a S S −=−又11a =，所以)n a n *=∈N ．于是(1)nn n b ==−+． …… 6分 当n 为奇数时，123n n T b b b b =++++1)(n =−−++−+=当n 为偶数时，123n n T b b b b =++++1)(n =−−++++=所以(1)n T =−． …… 8分（3）由22122p m m pT T −=得122m p p m −=，即222m pp m ⨯=． …… 10分 设2n n n c =，则11111222n n nn n n n n c c ++++−−=−=， 所以12345c c c c c =>>>>． …… 12分由222m ppm ⨯=，2p m m c c c =>，所以m p >，则1m p +≥． 当1m p =+时，222m ppm ⨯=显然不成立； 当1m p >+时，222m pp m ⨯=，则12m p m p −−=． 记1m p t −−=，则t *∈N ，12t p tp ++=，得121t t p +=−． …… 14分记121n n n d +=−，则1111112102121(21)(21)nn n n n n n n n n d d ++++++−⨯−−=−=<−−−−恒成立， 故数列{}n d 单调递减．又12342117d d d ===<，，，则3n ≥时，1n d <恒成立． 从而方程121t t p +=−的解为12t p ==，或21t p ==，． 所以满足条件的m p ，存在，4142m p m p ====，或，． 所以()(){}221()414222p m m p T T m p m p *−⎧⎫⎪⎪=∈=⎨⎬⎪⎪⎩⎭N ，，，，，，． …… 16分数学Ⅱ（附加题）21A ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）【解】设a b c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A （a b c d ∈R ，，，），则152103101a b c d −⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦AA ， …… 3分 所以5312053021a b a b c d c d +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，，，，解得1a =−，2b =，3c =，5d =−，所以1235−⎡⎤=⎢⎥−⎣⎦A ．… 7分 因为12133527−⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以点(12)P ，在矩阵A 对应的变换作用下得到点Q 的坐标为(37)−，． …… 10分 21B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）【解】将sin()13ρθπ+=20y +−=， …… 2分将2ρ=化为普通方程为224x y +=． …… 4分联立22204y x y +−=+=⎪⎩，，消y 得240x −=，所以0x =或x = 所以AB 的中点M 的直角坐标为1)2，， …… 8分 所以点M 的极坐标为(1)6π，． …… 10分 21C ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）【解】因为22262a b c −=+ …… 2分22222122(2)(1)()(3)3233b c b c a =+++=−≥， …… 6分即25120a a −≤，所以 1205a ≤≤． …… 10分22．（本小题满分10分）【解】三棱锥P ABC −中，因为PA ⊥平面ABC ，所以AP AB ⊥，AP AC ⊥，又AB AC ⊥，所以，可以以{}AB AC AP ，，建立如图所示空间直角坐标系A xyz −． 因为1PA =，2AB AC ==，所以(000)A ，，，(200)B ，，，(020)C ，，，(001)P ，，． 所以(020)AD AC λλ==，，，即(020)D λ，，．…… 2分 所以(201)PB =−，，，(021)PD λ=−，，． 设平面PBD 的法向量为1111()x y z =n ，，，则1111112020PB x z PD y z λ⎧⋅=−=⎪⎨⋅==⎪⎩n n ，-，取1(12)λλ=n ，，． …… 4分（1）当12λ=时，11(11)2=n ，，，又可取2(001)=n ，，为平面BDC 的一个法向量，所以1212122cos ||||3⋅<>===⋅n n n n n n ，，由图可知二面角P BD C −−的余弦值值为23−． …… 6分（2）(021)PC =−，，，平面PBD 的一个法向量为1(12)λλ=n ，，． 设直线PC 与平面PBD 所成角为θ，则111||sin cos ||||PC PC PC θ⋅=<>==⋅n nn ， …… 8分=22940λλ−+=， 解得12λ=或4λ=−， 因为01λ<<，所以12λ=． …… 10分 23．（本小题满分10分）【解】（1）因为每个服务区入口处设置宣传标语A 的概率为23， 所以每个服务区入口处设置宣传标语B 的概率为13，所以1~(2)3X B n ，，所以12()233E X n n =⨯=． …… 2分（2）长途司机在走该高速全程中，随机的选取3个服务区，共有32n C 种选取方法．长途司机在走该高速全程中，随机的选取3个服务区，记这3个服务区看到相同的宣传标语的事件数为M ，则其概率32nMP C =． …… 4分设该高速公路全程2(4)n n n *∈N ≥，个服务区中，入口处设置醒目的宣传标语A 的有 m (2)m m n ∈N ，≤个．①当323m n −≤≤时，332m n m M C C −=+．令332()m n m f m C C −=+，323m n −≤≤， 则当324m n −≤≤时，33331212(1)()m n m m n m f m f m C C C C +−−−+−=+−−33331221()()m m n m n m C C C C +−−−=−−−2221m n m C C −−=−212(1)()2n n m −=−− 所以当1m n −≤时，(1)()f m f m +<；当m n ≥时，(1)()f m f m +>，所以当m n =时，3min [()]()2n f m f n C ==，即3min ()2n M f n C ==． …… 6分②当3m <，m ∈N 时，32n m M C −=．显然33322122n n n C C C −−>>，所以33222n m n M C C −−=≥．因为4n ≥，所以23n n −>，所以322(22)(23)(24)4(1)(2)(23)66n n n n n n n C −−−−−−−==334(1)(2)426n n n n n C C −−>=>，即32n M C >． …… 8分③当232n m n −<≤，m ∈N 时，3m M C =．因为232n m n −<≤，m ∈N 时，22m n =−，或21m n =−，或2m n =，所以同②，32n M C >．综上，m n =时，3min ()2nM f n C ==，3min min33222242nn n C M n P n C C −===−， 即两种宣传标语1∶1设置时，符合题设的概率最小，其最小值为242n n −−．… 10分。
2020届全国第三次(3月)在线大联考(新课标Ⅲ卷)数学(文)试题(解析版)
2020届全国第三次（3月）在线大联考（新课标Ⅲ卷）数学（文）试题一、单选题1．已知集合2{|1}A x x =<，{|ln 1}B x x =<，则 A ．{|0e}A B x x =<<I B ．{|e}A B x x =<I C ．{|0e}A B x x =<<U D ．{|1e}A B x x =-<<U【答案】D 【解析】【详解】因为2{|1}{|11}A x x x x =<=-<<，{|ln 1}{|0e}B x x x x =<=<<， 所以{|01}A B x x =<<I ，{|1e}A B x x =-<<U ，故选D ． 2．已知i 为虚数单位，若复数12i12iz +=+-，则z = A ．9i 5+B ．1i -C ．1i +D ．i -【答案】B 【解析】【详解】因为212i (12i)(2i)2i 4i 2i 1111i 2i (2i)(2i)5z ++++++=+=+=+=+--+，所以1i z =-，故选B ． 3．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，若双曲线C 的一条渐近线的倾斜角为3π，且点F C 的实轴的长为A ．1B ．2C ．4D ．5【答案】B 【解析】【详解】双曲线C 的渐近线方程为by x a=±，由题可知tan 3b a π==．设点(c,0)F ，则点F 到直线y =，解得2c =，所以222222344c a b a a a =+=+==，解得1a =，所以双曲线C 的实轴的长为22a =，故选B ．4．从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如下频率分布直方图：根据频率分布直方图，可知这部分男生的身高的中位数的估计值为 A ．171.25cm B ．172.75cm C ．173.75cm D ．175cm【答案】C 【解析】【详解】由题可得0.00520.02020.040(1)10a ⨯++⨯+⨯=，解得0.010a =， 则(0.0050.0100.020)100.35++⨯=，0.350.040100.750.5+⨯=>， 所以这部分男生的身高的中位数的估计值为0.50.3517010173.75(cm)100.040-+⨯=⨯，故选C ．5．某几何体的三视图如图所示，若侧视图和俯视图均是边长为2的等边三角形，则该几何体的体积为A ．83B ．433C ．1D ．2【答案】C 【解析】【详解】由三视图可知，该几何体是三棱锥，底面是边长为2的等边三角形，3所以该几何体的体积1132231322V =⨯⨯⨯⨯⨯=，故选C ．6．已知实数,x y 满足约束条件11220220x y x y x y ≥-⎧⎪≥-⎪⎨-+≥⎪⎪--≤⎩，则23x y -的最小值是A ．2-B ．72-C ．1D ．4【答案】B 【解析】【详解】作出该不等式组表示的平面区域，如下图中阴影部分所示， 设23z x y =-，则2133y x z =-，易知当直线2133y x z =-经过点D 时，z 取得最小值，由1220x x y =-⎧⎨-+=⎩，解得112x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩，所以1(1,)2D -，所以min 172(1)322z =⨯--⨯=-，故选B ．7．函数52sin ()([,0)(0,])33x xx xf x x -+=∈-ππ-U 的大致图象为A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】【详解】因为5()2sin()52sin ()()3333x x x xx x x xf x f x ---+-+-===--，所以函数()f x 是偶函数，排除B 、D ， 又5()033f π-πππ=>-，排除C ，故选A ．8．如图，在三棱锥D ABC -中，DC ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，2AC BC CD ===，E ，F ，G 分别是棱AB ，AC ，AD 的中点，则异面直线BG 与EF 所成角的余弦值为A ．0B ．63C ．33D ．1【答案】B 【解析】【详解】根据题意可得BC ⊥平面ACD ，EF BC ∥，则CBG ∠即异面直线BG 与EF 所成的角，连接CG ，在Rt CBG △中，cos BCCBG BG∠=，易得22BD AD AB ===6BG =cos CBG ∠=66=，故选B ． 9．历史上有不少数学家都对圆周率作过研究，第一个用科学方法寻求圆周率数值的人是阿基米德，他用圆内接和外切正多边形的周长确定圆周长的上下界，开创了圆周率计算的几何方法，而中国数学家刘徽只用圆内接正多边形就求得π的近似值，他的方法被后人称为割圆术．近代无穷乘积式、无穷连分数、无穷级数等各种π值的表达式纷纷出现，使得π值的计算精度也迅速增加．华理斯在1655年求出一个公式：π2244662133557⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯L L，根据该公式绘制出了估计圆周率π的近似值的程序框图，如下图所示，执行该程序框图，已知输出的 2.8T >，若判断框内填入的条件为?k m ≥，则正整数m 的最小值是A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B 【解析】【详解】初始：1k =，2T =，第一次循环：2282 2.8133T =⨯⨯=<，2k =，继续循环；第二次循环：8441282.833545T =⨯⨯=>，3k =，此时 2.8T >，满足条件，结束循环， 所以判断框内填入的条件可以是3?k ≥，所以正整数m 的最小值是3，故选B ．10．已知函数()2sin()(0,0)3f x x A ωωπ=->>，将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 的图象的一条对称轴是6x π=，则ω的最小值为 A ．16B ．23C ．53D ．56【答案】C 【解析】【详解】将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度，得到函数()2sin()33g x x ωωππ=+-的图象，因为函数()g x 的图象的一条对称轴是6x π=，所以sin()1633ωωπππ+-=±，即,6332k k ωωππππ+-=+π∈Z ，所以52,3k k ω=+∈Z ，又0>ω，所以ω的最小值为53．故选C ．11．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点（设点A 位于第一象限），过点A ，B 分别作抛物线C 的准线的垂线，垂足分别为点1A ，1B ，抛物线C 的准线交x 轴于点K ，若11||2||A KB K =，则直线l 的斜率为 A ．1B 2C ．22D 3【答案】C 【解析】【详解】根据抛物线定义，可得1||||AF AA =，1||||BF BB =， 又11AA FK BB ∥∥，所以11||||2||||A K AF B K BF ==，所以1111||||2||||A K AAB K BB ==， 设1||(0)BB m m =>，则1||2AA m =，则111||||21cos cos ||23AA BB m m AFx BAA AB m m --∠=∠===+，所以sin AFx ∠，所以直线l的斜率tan k AFx =∠=C ． 12．在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知23C π=，1c =．当,a b 变化时，若z b a λ=+存在最大值，则正数λ的取值范围为 A ．(0,1) B ．(0,2) C ．1(,2)2D ．(1,3)【答案】C 【解析】【详解】 因为23C π=，1c =，所以根据正弦定理可得sin sin sin a b c A B C ===，所以a A =，b B =，所以sin()])sin 32z b a B A B B B λλλπ=+==+-=-+])B B φ=+，其中tan φ=，03B π<<， 因为z b a λ=+存在最大值，所以由2,2B k k φπ+=+π∈Z ，可得22,62k k k φπππ+<<π+∈Z ，所以tan φ>>，解得122λ<<，所以正数λ的取值范围为1(,2)2，故选C ．二、填空题13．已知向量(2,1)a =-，(1,)m =b ，若向量+a b 与向量a 平行，则实数m =___________．【答案】12-【解析】【详解】由题可得(1,1)m +=-+a b ，因为向量+a b 与向量a 平行，所以2(1)1(1)0m -⨯+-⨯-=，解得12m =-． 14．已知函数2|1|,0()4,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，若函数()y f x a =-有3个不同的零点123123,,()x x x x x x <<，则123ax x x ++的取值范围是___________． 【答案】(2,0]- 【解析】【详解】作出函数()y f x =的图象及直线y a =，如下图所示，因为函数()y f x a =-有3个不同的零点123123,,()x x x x x x <<，所以由图象可知122x x +=-，3102x <≤，233()4a f x x ==，所以123ax x x ++=324(2,0]x -+∈-．15．若1sin()63απ+=-，(0,)απ∈，则cos α=___________．【答案】261+【解析】【详解】因为(0,)απ∈，所以7(,)666απππ+∈，又1sin()063απ+=-<，所以7(,)66αππ+∈π，则2122cos()1()63απ+=--=，所以cos cos[()]cos()cos sin()sin 666666ααααππππππ=+-=+++=22311261()()32++-⨯=． 16．若存在直线l 与函数1()(0)f x x x =<及2()g x x a =+的图象都相切，则实数a 的最小值为___________． 【答案】332【解析】【详解】设直线l 与函数()f x 及()g x 的图象分别相切于1(,)(0)A m m m<，2(,)B n n a +，因为21()f x x'=-，所以函数()f x 的图象在点A 处的切线方程为211()y x m m m -=--，即212y x m m=-+，因为()2g x x '=，所以函数()g x 的图象在点B 处的切线方程为22()y n a n x n --=-，即22y nx n a =-+，因为存在直线l 与函数()f x 及()g x 的图象都相切，所以22122n m n a m ⎧=-⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，所以4124a m m =+， 令1(0)t t m =<，设41()2(0)4h t t t t =+<，则3()2h t t '=+，当t <()0h t '<，函数()h t单调递减；当0t <时，()0h t '>，函数()h t 单调递增，所以min()(h t h ==，所以实数a的最小值为三、解答题17．为增强学生的法治观念，营造“学宪法、知宪法、守宪法”的良好校园氛围，某学校开展了“宪法小卫士”活动，并组织全校学生进行法律知识竞赛．现从全校学生中随机抽取50名学生，统计他们的竞赛成绩，已知这50名学生的竞赛成绩均在[50，100]内，并得到如下的频数分布表：（1）将竞赛成绩在[70,100]内定义为“合格”，竞赛成绩在[50,70)内定义为“不合格”．请将下面的22⨯列联表补充完整，并判断是否有95%的把握认为“法律知识竞赛成绩是否合格”与“是否是高一新生”有关？（2）在（1）的前提下，按“竞赛成绩合格与否”进行分层抽样，从这50名学生中抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生，求这2名学生竞赛成绩都合格的概率．参考公式及数据：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．【答案】（1）见解析；（2）310P = 【解析】【详解】（1）补充完整的22⨯列联表如下：则2K的观测值250(1261418)225 4.327 3.8413020242652k⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，所以有95%的把握认为“法律知识竞赛成绩是否合格”与“是否是高一新生”有关． （2）抽取的5名学生中竞赛成绩合格的有530350⨯=名学生，记为,,a b c ， 竞赛成绩不合格的有520250⨯=名学生，记为,m n ， 从这5名学生中随机抽取2名学生的基本事件有：,,,,,,,,,ab ac bc am an bm bn cm cn mn ，共10种，这2名学生竞赛成绩都合格的基本事件有：,,ab ac bc ，共3种，所以这2名学生竞赛成绩都合格的概率为310P =． 18．已知数列{}n a 满足112(2)n n n n a a n a a +-+=≥，且12a a ≠，315a =，125,,a a a 成等比数列． （1）求证：数列1{}na 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）记数列1{}n a 的前n 项和为n S ，+114n n n n b a a S =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】（1）见解析；（2）84n nT n =+【解析】【详解】 （1）因为112(2)n n n n a an a a +-+=≥，所以0n a ≠，所以11112n n na a a +-+=，所以数列1{}na 是等差数列， 设数列1{}na 的公差为d ，由12a a ≠可得0d ≠， 因为125,,a a a 成等比数列，所以2125a a a =，所以2152111a a a ⋅=，所以2333111(2)(2)()d d d a a a -+=-， 因为315a =，所以2(52)(52)(5)d d d -+=-， 解得0d =（舍去）或2d =，所以311(3)21n n d n a a =+-=-，所以121n a n =-． （2）由（1）知121n a n =-，2(121)2n n n S n +-==， 所以2+1111111()4(21)(21)44(21)(21)82121n n n n n b a a S n n n n n n =-=-==--+-+-+， 所以11111111(1)(1)8335212182184n nT n n n n =⨯-+-++-=⨯-=-+++L ．19．如图，已知正方形ABCD 所在平面与梯形ABMN 所在平面垂直，BM ∥AN ，2NA AB ==，4BM =，CN =（1）证明：MN ⊥平面BCN ； （2）求点N 到平面CDM 的距离．【答案】（1）证明见解析 （2）25【解析】【详解】（1）因为正方形ABCD 所在平面与梯形ABMN 所在平面垂直，平面ABCD I 平面ABMN AB =，BC AB ⊥，所以BC ⊥平面ABMN ，因为MN ⊂平面ABMN ，BN ⊂平面ABMN ，所以BC MN ⊥，BC BN ⊥， 因为2,23BC CN ==，所以2222BN CN BC =-=， 因为2NA AB ==，所以222AB AN BN +=，所以AB AN ⊥， 因为在直角梯形ABMN 中，4BM =，所以22MN =，所以222BN MN BM +=，所以BN MN ⊥，因为BC BN B =I ，所以MN ⊥平面BCN ． （2）如图，取BM 的中点E ，则BE AN =，又BM ∥AN ，所以四边形ABEN 是平行四边形，所以NE ∥AB ，又AB ∥CD ，所以NE ∥CD ，因为NE ⊄平面CDM ，CD ⊂平面CDM ，所以NE ∥平面CDM ，所以点N 到平面CDM 的距离与点E 到平面CDM 的距离相等，设点N 到平面CDM 的距离为h ，由BE EM =可得点B 到平面CDM 的距离为2h ， 由题易得CD ⊥平面BCM ，所以CD CM ⊥，且22222425CM BC BM =+=+=， 所以111145222523232B CDM hV CD CM h h -=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=，又1111822432323M BCD V BC CD BM -=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=，所以由B CDM M BCD V V --=可得4583h =， 解得25h =，所以点N 到平面CDM 的距离为25．20．已知椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>过点2，设椭圆Γ的上顶点为B ，右顶点和右焦点分别为A ，F ，且56AFB π∠=． （1）求椭圆Γ的标准方程；（2）设直线:(1)l y kx n n =+≠±交椭圆Γ于P ，Q 两点，设直线BP 与直线BQ 的斜率分别为BP k ，BQ k ，若1BP BQ k k +=-，试判断直线l 是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．【答案】（1）2214x y += （2）直线l 过定点，该定点的坐标为(2,1)-．【解析】【详解】（1）因为椭圆Γ过点)2，所以222112a b += ①，设O 为坐标原点，因为56AFB π∠=，所以6BFO π∠=，又||BF a ==，所以12b a =②， 将①②联立解得21a b =⎧⎨=⎩（负值舍去），所以椭圆Γ的标准方程为2214x y +=．（2）由（1）可知(0,1)B ，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ．将y kx n =+代入2214x y +=，消去y 可得222(14)8440k x knx n +++-=，则22222(8)4(14)(44)16(41)0kn k n k n ∆=-+-=-+>，122814kn x x k -+=+，21224414n x x k -=+，所以122121************11()()2(1)()BP BQy y x kx n x x kx n x kx x n x x k k x x x x x x --+-++-+-++=+== 222224482(1)8(1)214141444(1)(1)114n knk n k n k k k n n n n k --⋅+-⋅-++====--+-++，所以21n k =--，此时2216[4(21)1]640k k k ∆=---+=->，所以k 0<， 此时直线l 的方程为21y kx k =--，即(2)1y k x =--，令2x =，可得1y =-，所以直线l 过定点，该定点的坐标为(2,1)-． 21．已知函数1()(1)ln f x ax a x x=-+-，a R ∈． （1）当1a ≤时，讨论函数()f x 的单调性； （2）若1a =，当[1,2]x ∈时，函数23412()()F x f x x x x=++-，求函数()F x 的最小值． 【答案】（1）见解析 （2）()F x 的最小值为7(2)2ln 22F =- 【解析】【详解】（1）由题可得函数()f x 的定义域为(0,)+∞，222211(1)1(1)(1)()(0)a ax a x x ax f x a x x x x x +-++--'=-+==>，当0a ≤时，10ax -<，令()0f x '<，可得1x >；令()0f x '>，可得01x <<， 所以函数()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减； 当01a <<时，令()0f x '<，可得11x a <<；令()0f x '>，可得01x <<或1x a>，所以函数()f x 在(0,1)，1(,)a+∞上单调递增，在1(1,)a上单调递减； 当1a =时，()0f x '≥恒成立，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增．综上，当0a ≤时，函数()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减；当01a <<时，函数()f x 在(0,1)，1(,)a +∞上单调递增，在1(1,)a上单调递减；当1a =时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增．（2）方法一：当1a =时，2323412312()()2ln F x f x x x x x x x x x=++-=-++-，[1,2]x ∈， 设()2ln g x x x =-，[1,2]x ∈，则22()10x g x x x-'=-=≤， 所以函数()g x 在[1,2]上单调递减，所以()(2)22ln 2g x g ≥=-，当且仅当2x =时取等号．当[1,2]x ∈时，设1t x=，则1[,1]2t ∈，所以232331232t t t x x x +-=+-，设23()32h t t t t =+-，1[,1]2t ∈，则22119()3266()66h t t t t '=+-=--+，所以函数()h t '在1[,1]2上单调递减，且15()022h '=>，(1)10h '=-<，所以存在01(,1)2t ∈，使得0()0h t '=，所以当012t t ≤<时，()0h t '>；当01t t <≤时，()0h t '<，所以函数()h t 在01(,)2t 上单调递增，在0(,1)t 上单调递减，因为13()22h =，(1)2h =，所以13()()22h t h ≥=，所以2331232x x x +-≥，当且仅当2x =时取等号．所以当2x =时，函数()F x 取得最小值，且min 37()22ln 22ln 222F x =-+=-， 故函数()F x 的最小值为72ln 22-．方法二：当1a =时，2323412312()()2ln F x f x x x x x x x x x=++-=-++-，[1,2]x ∈， 则3223442326(1)(46)()1x x x x F x x x x x x ----'=---+=，令32()46g x x x x =---，[1,2]x ∈，则22113()3243()33g x x x x '=--=--，所以函数()g x '在[1,2]上单调递增，又(1)3,(2)4g g ''=-=，所以存在0(1,2)x ∈，使得00()g x '=， 所以函数()g x 在0[1,)x 上单调递减，在0[,2]x 上单调递增，因为(1)100,(2)100g g =-<=-<，所以当[1,2]x ∈时，()0<g x 恒成立， 所以当[1,2]x ∈时，()0F x '≤恒成立，所以函数()F x 在[1,2]上单调递减， 所以函数()F x 的最小值为233127(2)22ln 22ln 22222F =-++-=-． 22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为8242x tt y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=． （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （2）若射线(0)4πθρ=>与l 和C 分别交于点,A B ，求||AB ．【答案】（1）l ： 40(0)x y x +-=≠;C : 2220x y y +-=．(2) ||AB =【解析】【详解】 （1）由82x t=+可得0x ≠， 由8242x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，消去参数t ，可得直线l 的普通方程为40(0)x y x +-=≠．由2sin ρθ=可得22sin ρρθ=，将sin y ρθ=，222x y ρ=+代入上式，可得2220x y y +-=，所以曲线C 的直角坐标方程为2220x y y +-=． （2）由（1）得，l 的普通方程为40(0)x y x +-=≠， 将其化为极坐标方程可得cos sin 40()2ρθρθθπ+-=≠，当()04θρπ=>时，A ρ=B ρ=所以|||||A B AB ρρ=-== 23．已知函数()|21||1|f x x ax =+--，a R ∈． （1）当2a =时，求不等式1()1f x -≤≤的解集；（2）当1(,0)2x ∈-时，不等式()2f x x >恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】(1) 11[,]44- (2) [4,0)-【解析】【详解】（1）当2a =时，12,211()|21||21|4,2212,2x f x x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+--=-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩，当21x <-或12x >时，|()|2f x =，所以1()1f x -≤≤可转化为1124211x x -≤-≤≤⎧≤⎪⎨⎪⎩，解得1144x -≤≤，所以不等式1()1f x -≤≤的解集为11[,]44-． （2）因为1(,0)2x ∈-，所以|21|21x x +=+，所以()2f x x >，即21|1|2x ax x +-->，即|1|1ax -<． 当0a ≥时，因为1(,0)2x ∈-，所以|1|1ax -≥，不符合题意． 当0a <时，解|1|1ax -<可得20x a<<， 因为当1(,0)2x ∈-时，不等式()2f x x >恒成立，所以12(,0)(,0)2a -⊆，所以212a ≤-，解得40a -≤<，所以实数a 的取值范围为[4,0)-．。
2020届海南省全国大联考高三第三次联考数学试题(附带详细解析)
A． B．0C．2D．4
12．已知函数 图象与直线 相交，若在 轴右侧的交点自左向右依次记为 ，则 （）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题)
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评卷人
得分
二、填空题
13．不等式 的解集为________.
14．曲线 在点 处的切线方程为________.
C． D．
2．在等差数列 中， ，则数列 的公差为（）
A． B． C．1D．2
3．设 ，则 的大小关系是（）
A． B． C． D．
4．数列 满足 ，且对任意的 ，有 ，则 （）
A．2021B．2035C．2037D．2041
5．若 ，则一定有（）
A． B． C． D．
6．已知数列 为等比数列， ，数列 的前 项和为 ，则 等于（）
①求数列 的通项公式；
②是否存在正整数 ，使得 成立？若存在，求出所有 的值；若不存在，请说明理由.
22．已知函数 .
（1）若 ，讨论函数 的单调性；
（2）设 ，是否存在实数 ，对任意 ， ， ，有 恒成立？若存在，求出 的范围；若不存在，请说明理由.
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
直接根据集合的交集定义，即可得到本题答案.
【分析】
必要性显然成立；由 ， ，得 ①，同理可得 ②，综合①，②，得 ，充分性得证，即可得到本题答案.
【详解】
必要性显然成立；下面来证明充分性，
若 ，所以当 时， ，
所以 ，化简得 ①，
所以当 时， ②，
① ②得 ，所以 ，即数列 是等差数列，充分性得证，所以“ ”是“数列 是等差数列”的充要条件.
2020届全国示范性名校高三第三次联考数学(理)试卷及参考答案
绝密★启用前（在此卷上答题无效）姓名：________________准考证号：________________2020届全国示范性名校高三三联数学（理科）试题（150分，120分钟）一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分)1.设集合A ＝{1,2,3,4,5,6}，B ＝{4,5,6,7}，则满足S A 且S ∩B ≠∅的集合S 的个数为( ) A ． 57 B ． 56 C ． 49 D ． 82.一个样本a,3,5,7的平均数是b ，且a ，b 是方程x 2－5x ＋4＝0的两根，则这个样本的方差是( )A ． 3B ． 4C ． 5D ． 63.在球O 内任取一点P ，使得点P 在球O 的内接正方体中的概率是( ) A ．π B ．π C ．π D ．π4.在某学校组织的数学竞赛中，学生的竞赛成绩ξ～N(95，σ2)，p(ξ＞120)＝a ，P(70＜ξ＜95)＝b ，则直线ax ＋by ＋＝0与圆x 2＋y 2＝2的位置关系是( ) A ． 相离 B ． 相交 C ． 相离或相切 D ． 相交或相切5.在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a ，b ，|a |＝|b |＝1，a ·b ＝0，点Q 满足＝ (a ＋b ).曲线C ＝{P|＝a cos θ＋b sin θ，0≤θ＜2π}，区域Ω＝{P|0＜r ≤| |≤R ，r ＜R}.若C ∩Ω为两段分离的曲线，则( )A ． 1＜r ＜R ＜3B ． 1＜r ＜3≤RC ．r ≤1＜R ＜3D ． 1＜r ＜3＜R6.已知二次函数f(x)＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f(x)在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f(x)>1的解集为( )A ． (－∞，－1)∪(0，＋∞)B ． (－∞，0)∪(1，＋∞)C ． (－1,0)D ． (0,1)7.如图所示，有三根柱子和套在一根柱子上的n 个盘子，按下列规则，把盘子从一根柱子上全部移到另一根柱子上.(1)每次只能移动一个盘子；(2)在每次移动过程中，每根柱子上较大的盘子不能放在较小的盘子上面.若将n 个盘子从1号柱子移到3号柱子最少需要移动的次数记为f(n)，则f(5)等于( )A ． 33B ． 31C ． 17D ． 15 8.已知z 1，z 2是复数，定义复数的一种运算“”为：z 1z 2＝若z 1＝2＋i 且z 1z 2＝3＋4i ，则复数z 2等于( )A ． 2＋iB ． 1＋3iC ． 2＋i 或1＋3iD ． 条件不够，无法求出9.已知函数f(x)＝ x 3＋ax 2－bx ＋1(a ，b ∈R ) 在区间[－1,3]上是减函数，则b 的最小值是( ) A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 410.由9个互不 相 等 的 正 数 组 成 的 数 阵中，每 行 中 的 三 个 数 成 等 差 数 列，且、、成等比数列，下列四个判断正确的有（ ） ①第2列必成等比数列 ②第1列不一定成等比数列-1-（20-GSSL-QGYB ） -24-52GH-③④若9个数之和等于9，则A． 4个 B． 3个 C． 2个 D． 1个11.tan(π－θ)＋tan(π＋θ)＋tan(π－θ)tan(π＋θ)的值是( )A． B． C． 2 D．12.已知偶函数f(x)：Z Z，且f(x)满足：f(1)＝1，f(2 015)≠1，对任意整数a，b都有f(a＋b)≤max{f(a)，f(b)}，其中max(x，y)＝则f(2 016)的值为( )A． 0 B． 1 C． 2 015 D． 2 016二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)13.已知正数a，b，c满足3a－b＋2c＝0，则的最大值为________．14.已知平面区域C1：x2＋y2≤4(＋|y|)，则平面区域C1的面积是________．15.已知(x＋2)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，|a1|＋|a2|＋…＋|a9|的值为________．16.在正整数数列中，由1开始依次按如下规则取它的项：第一次取1，第二次取2个连续偶数2、4；第三次取3个连续奇数5、7、9；第四次取4个连续偶数10、12、14、16；第五次取5个连续奇数17、19、21、23、25.按此规则一直取下去，得到一个子数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17，….则在这个子数列中，由1开始的第29个数是________；（2分）第2 014个数是________.（3分）三、解答题(共70分)（一）必考题（60分）17.（本小题满分12分）设f(x)＝cos2x＋asinx－－(0≤x≤π).(1)用a表示f(x)的最大值M(a)；(2)当M(a)＝2时，求a的值.18.（本小题满分12分）一种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球，已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球的概率都是，从按钮第二次按下起，若前次出现红球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，；若前次出现绿球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，，记第n(n∈Z，n≥1)次按下按钮后出现红球的概率为P n.(1)当n∈Z，n≥2时，用P n－1表示P n；(2)求P n关于n的表达式．19.（本小题满分12分）已知函数f(x)＝e x－ln (x＋m)．(1)设x＝0是f(x)的极值点，求函数f(x)在[1,2]上的最值．(2)若对任意x1，x2∈[0,2]且x1>x2，都有>－1，求m的取值范围．(3)当m≤2时，证明f(x)>0.-2-（20-GSSL-QGYB） -24-52GH-20.（本小题满分12分）已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的上顶点M与左、右焦点F1，F2构成△MF1F2的面积为，又椭圆C的离心率为.(1)若直线l与椭圆C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，且x1＋x2＝2，又直线l1：y＝k1x＋m是线段AB的垂直平分线，求实数m的取值范围；(2)椭圆C的下顶点为N，过点T(t,2)(t≠0)的直线TM，TN分别与椭圆C交于E，F两点．若△TMN的面积是△TEF的面积的k倍，求k的最大值．21.（本小题满分12分）已知Q2＝称为x，y的二维平方平均数，A2＝称为x，y的二维算术平均数，G2＝称为x，y的二维几何平均数，H2＝称为x，y的二维调和平均数，其中x，y均为正数.(1)试判断G2与H2的大小，并证明你的猜想；(2)令M＝A2－G2，N＝G2－H2，试判断M与N的大小，并证明你的猜想；(3)令M＝A2－G2，N＝G2－H2，P＝Q2－A2，试判断M，N，P三者之间的大小关系，并证明你的猜想. （二）选考题（10分）（请从22，23题中任选一题作答，如果多做，按22题记分）-3-（20-GSSL-QGYB） -24-52GH-23.（选修4-5：不等式选讲）伯努利不等式，又称贝努利不等式，是分析不等式中最常见的一种不等式，由数学家伯努利提出。
2020高三第三次联考数学试卷
xx 届高三第三次联考数学试卷本试卷分选择题和非选择题两部分,共4页,满分150,考试时间120分钟,答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班级、姓名、座位号填写在答题卷的密封线内.所有题目必须用黑色字迹的钢笔或签字笔答在答题卷上,否则答案无效.一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）．1、设集合{}1,2,3P =，集合{}23Q x R x =∈≤≤，那么下列结论正确的是： ( ) A ．P Q P ⋂= B. Q P Q ⊆⋂ C. P Q P ⋂⊆ D. P Q Q ⋂= 2、设(32()log f x x x =+，则对任意实数,a b ，0a b +≥是()()0f a f b +≥的（ ）A. 充分必要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件 3、方程2sin 2sin 0x x a ++=一定有解，则a 的取值范围是 （ ）A ．[3,1]-B ．(,1]-∞C ．[1,)+∞D ．4、如果执行下面的程序框图，那么输出的S = （ ）． Ａ．2450 Ｂ.2500 Ｃ．2550 Ｄ．26525、将函数sin(2)3y x π=-的图象先向左平移6π，然后将所得图象上所有的点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应的函数解析式为（ ）． A ．cos y x =- B ．sin 4y x = C ．sin y x =D ．sin()6y x π=-6、等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，且3457-+=n n T S n n ，则使得nn b a为整数的正整数n 的个数是（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．67、右图是一个正方体，它的展开图可能是下面四个展开图中的（ ）A ．B ．C ．D ．8、 如图，设P 、Q 为△ABC 内的两点，且2155AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ， AQ uuu r ＝23AB u u u r ＋14AC u u ur ，则△ABP 的面积与△ABQ 的面积之比为( ) A ．15 B ． 45 C ． 14 D ．13第8题第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二．填空题：（本大题共6小题，每小题5分，满分30分）．9、化简：2(1)i i+= ．10、 一物体在力F （x ）=4x+2（力的单位：N ）的作用下，沿着与力F 相同的方向，从x =0处运动到x =5处（单位：m ），则力F （x ）所作的功___________11、已知点(,)P x y 的坐标满足条件41x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，点O 为坐标原点，那么||PO 的最大值等于_______,最小值等于____________.12、从装有1n +个球（其中n 个白球，1个黑球）的口袋中取出m 个球()0,,m n m n N <≤∈,共有1mn C +种取法。
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学(海南卷)pdf版含答案
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2020年全国卷Ⅲ数学(理科)(解析版)
2020年全国卷Ⅲ数学(理科)（解析版）本试卷共23题(含选考题)．全卷满分150分．考试用时120分钟．一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈N *，y ≥x }，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝8}，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．6解析 选C.A ∩B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝8，x ，y ∈N *，y ≥x }＝{(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)}．故选C. 2．复数11－3i 的虚部是( )A ．－310B ．－110C.110D ．310解析 选D.z ＝11－3i＝1＋3i 10＝110＋310i ，虚部为310.故选D.3．在一组样本数据中，1,2,3,4出现的频率分别为p 1，p 2，p 3，p 4，且∑i ＝14p i ＝1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是( ) A ．p 1＝p 4＝0.1，p 2＝p 3＝0.4 B ．p 1＝p 4＝0.4，p 2＝p 3＝0.1 C ．p 1＝p 4＝0.2，p 2＝p 3＝0.3 D ．p 1＝p 4＝0.3，p 2＝p 3＝0.2解析 选B.X 的可能取值为1,2,3,4，四种情形的数学期望E (X )＝1×p 1＋2×p 2＋3×p 3＋4×p 4都为2.5，方差D (X )＝[1－E (X )]2×p 1＋[2－E (X )]2×p 2＋[3－E (X )]2×p 3＋[4－E (X )]2×p 4，标准差为D (X ).A 选项的方差D (X )＝0.65；B 选项的方差D (X )＝1.85；C 选项的方差D (X )＝1.05；D 选项的方差D (X )＝1.45.可知选项B 的情形对应样本的标准差最大．故选B.4．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：I (t )＝K1＋e－0.23(t －53)，其中K 为最大确诊病例数．当I (t *)＝0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为(ln 19≈3)( ) A ．60 B ．63 C ．66D ．69解析 选C.因为I (t )＝K 1＋e －0.23(t －53)，所以当I (t *)＝0.95K 时，K 1＋e －0.23(t *－53)＝0.95K ⇒11＋e －0.23(t *－53)＝0.95⇒1＋e －0.23(t *－53)＝10.95⇒e －0.23(t *－53)＝10.95－1⇒e0.23(t *－53)＝19⇒0.23(t *－53)＝ln 19⇒t *＝ln 190.23＋53≈30.23＋53≈66.故选C. 5．设O 为坐标原点，直线x ＝2与抛物线C ：y 2＝2px (p >0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫14，0 B ．⎝⎛⎭⎫12，0 C ．(1,0)D ．(2,0)解析 选B.方法1：∵抛物线C 关于x 轴对称，∴D ，E 两点关于x 轴对称．可得出直线x ＝2与抛物线的两交点的坐标分别为(2,2p )，(2，－2p )．不妨设D (2,2p )，E (2，－2p )，则OD →＝(2,2p )，OE →＝(2，－2p )．又∵OD ⊥OE ，∴OD →·OE →＝4－4p ＝0，解得p ＝1，∴C 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫12，0.故选B.方法2：∵抛物线C 关于x 轴对称，∴D ，E 两点关于x 轴对称．∵OD ⊥OE ，∴D ，E 两点横、纵坐标的绝对值相等．不妨设点D (2,2)，将点D 的坐标代入C ：y 2＝2px ，得4＝4p ，解得p ＝1，故C 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫12，0.故选B.6．已知向量a ，b 满足|a |＝5，|b |＝6，a ·b ＝－6，则cos 〈a ，a ＋b 〉＝( ) A ．－3135B ．－1935C.1735D ．1935解析 选D.∵|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝25－12＋36＝49，∴|a ＋b |＝7，∴cos 〈a ，a ＋b 〉＝a ·(a ＋b )|a ||a ＋b |＝a 2＋a ·b |a ||a ＋b |＝25－65×7＝1935.故选D.7．在△ABC 中，cos C ＝23，AC ＝4，BC ＝3，则cos B ＝( )A.19 B ．13C.12D ．23解析 选A.由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C ＝42＋32－2×4×3×23＝9，所以AB ＝3，所以cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝9＋9－162×3×3＝19.故选A.8．右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是( ) A ．6＋42 B ．4＋42 C ．6＋23 D ．4＋23解析 选C.如图，该几何体为其中三个面是腰长为2的等腰直角三角形、第四个面是边长为22的等边三角形的三棱锥，所以该几何体的表面积为3×12×2×2＋12×22×22×32＝6＋2 3.故选C.9．已知2tan θ－tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝7，则tan θ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．2解析 选D.2tan θ－tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2tan θ－1＋tan θ1－tan θ＝7， 解得tan θ＝2.故选D.10．若直线l 与曲线y ＝x 和圆x 2＋y 2＝15都相切，则l 的方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x ＋12C ．y ＝12x ＋1D ．y ＝12x ＋12解析 选D.圆x 2＋y 2＝15的圆心为原点，半径为55，经检验原点与选项A ，D 中的直线y ＝2x ＋1，y ＝12x ＋12的距离均为55，即两直线与圆x 2＋y 2＝15均相切，原点与选项B ，C 中的直线y ＝2x ＋12，y ＝12x ＋1的距离均不是55，即两直线与圆x 2＋y 2＝15均不相切，所以排除B ，C.将直线方程y ＝2x ＋1代入y ＝x ，得2(x )2－x ＋1＝0，判别式Δ<0，所以直线y ＝2x ＋1与曲线y ＝x 不相切，所以排除A.故选D.11．设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为 5.P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P .若△PF 1F 2的面积为4，则a ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析 选A.由⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝5，c 2＝a 2＋b 2，得⎩⎨⎧c ＝5a ，b ＝2a ，∴|F 1F 2|＝2c ＝2 5 a ．∵△PF 1F 2中，F 1P ⊥F 2P ，∴|F 1P |2＋|F 2P |2＝|F 1F 2|2＝4c 2＝20a 2.不妨设P 在C 的右支上，则|F 1P |－|F 2P |＝2a . ∵△PF 1F 2的面积为4，∴12|F 1P ||F 2P |＝4，即|F 1P |·|F 2P |＝8.∴(|F 1P |－|F 2P |)2＝|F 1P |2＋|F 2P |2－2|F 1P ||F 2P |＝20a 2－2×8＝4a 2，解得a ＝1.故选A.12．已知55<84,134<85.设a ＝log 53，b ＝log 85，c ＝log 138，则( ) A ．a <b <c B ．b <a <c C ．b <c <aD ．c <a <b解析 选A.∵log 53－log 85＝log 53－1log 58＝log 53·log 58－1log 58<⎝⎛⎭⎫log 53＋log 5822－1log 58＝⎝⎛⎭⎫log 52422－1log 58<⎝⎛⎭⎫log 52522－1log 58＝0，∴log 53<log 85.∵55<84,134<85，∴5log 85<4,4<5log 138，∴log 85<log 138，∴log 53<log 85<log 138，即a <b <c .故选A.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分) 13．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，2x －y ≥0，x ≤1，则z ＝3x ＋2y 的最大值为__________．解析 作出不等式组所表示的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示．z ＝3x ＋2y 可化为y ＝－32x ＋12z .作直线y ＝－32x ，并平移该直线，易知当直线经过点A (1,2)时，z 最大，z max ＝7. 答案 714.⎝⎛⎭⎫x 2＋2x 6的展开式中常数项是__________(用数字作答)． 解析 ⎝⎛⎭⎫x 2＋2x 6的展开式的通项为T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r ·⎝⎛⎭⎫2x r ＝C r 62r x 12－3r ，令12－3r ＝0，解得r ＝4，得常数项为C 4624＝240.答案 24015．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为__________．解析 圆锥内半径最大的球即为圆锥的内切球，设其半径为r .作出圆锥的轴截面P AB ，如图所示，则△P AB 的内切圆为圆锥的内切球的大圆．在△P AB 中，P A ＝PB ＝3，D 为AB 的中点，AB ＝2，E 为切点，则PD ＝22，△PEO ∽△PDB ，故PO PB ＝OE DB ，即22－r 3＝r 1，解得r ＝22，故内切球的体积为43π⎝⎛⎭⎫223＝23π. 答案23π 16．关于函数f (x )＝sin x ＋1sin x 有如下四个命题：①f (x )的图象关于y 轴对称． ②f (x )的图象关于原点对称． ③f (x )的图象关于直线x ＝π2对称．④f (x )的最小值为2.其中所有真命题的序号是__________．解析 ∵f (x )＝sin x ＋1sin x 的定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z }，f (－x )＝sin(－x )＋1sin (－x )＝－f (x )，而f (－x )≠f (x )，∴f (x )为奇函数，不是偶函数，①错误，②正确．∵f ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝cos x ＋1cos x ，f ⎝⎛⎭⎫π2＋x ＝cos x ＋1cos x ，∴f ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝f ⎝⎛⎭⎫π2＋x ，∴f (x )的图象关于直线x ＝π2对称，③正确． 当x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0时，f (x )<0，④错误．故选②③. 答案 ②③三、解答题(共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答) (一)必考题：共60分．17．(12分)设数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝3a n －4n . (1)计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式并加以证明； (2)求数列{2n a n }的前n 项和S n .解析 (1)解：a 2＝5，a 3＝7.猜想a n ＝2n ＋1. 证明：由已知可得a n ＋1－(2n ＋3)＝3[a n －(2n ＋1)]， a n －(2n ＋1)＝3[a n －1－(2n －1)]， …，a 2－5＝3(a 1－3)．因为a 1＝3，所以a n ＝2n ＋1. (2)解：由(1)得2n a n ＝(2n ＋1)2n ，所以S n＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n＋1)×2n.①从而2S n＝3×22＋5×23＋7×24＋…＋(2n＋1)×2n＋1.②①－②得－S n＝3×2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n－(2n＋1)×2n＋1，所以S n＝(2n－1)2n＋1＋2.18．(12分)某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表(单位：天)：(1)(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；(3)若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？附：K2＝n(ad－bc)(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，.解析(1)解：由所给数据，得该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率的估计值如下表：(2)1100(100×20＋300×35＋500×45)＝350.(3)解：根据所给数据，可得2×2列联表：人次≤400人次>400空气质量好 33 37 空气质量不好228根据列联表得 K 2的观测值k ＝100×(33×8－22×37)255×45×70×30≈5.820.由于5.820>3.841，故有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关．19.(12分)如图，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别在棱DD 1，BB 1上，且2DE ＝ED 1，BF ＝2FB 1. (1)证明：点C 1在平面AEF 内；(2)若AB ＝2，AD ＝1，AA 1＝3，求二面角A EF A 1的正弦值．解析 设AB ＝a ，AD ＝b ，AA 1＝c ，如图，以C 1为坐标原点，C 1D 1→的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系C 1xyz .(1)证明：连接C 1F .C 1(0,0,0)，A (a ，b ，c )，E ⎝⎛⎭⎫a ，0，23c ，F ⎝⎛⎭⎫0，b ，13c ，EA →＝⎝⎛⎭⎫0，b ，13c ，C 1F →＝⎝⎛⎭⎫0，b ，13c ，得EA →＝C 1F →，因为EA ∥C 1F ，即A ，E ，F ，C 1四点共面，所以点C 1在平面AEF 内．(2)解：由已知得A (2,1,3)，E (2,0,2)，F (0,1,1)，A 1(2,1,0)，AE →＝(0，－1，－1)，AF →＝(－2,0，－2)，A 1E →＝(0，－1,2)，A 1F →＝(－2,0,1)． 设n 1＝(x ，y ，z )为平面AEF 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AE →＝0，n 1·AF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－y －z ＝0，－2x －2z ＝0，可取n 1＝(－1，－1,1)．设n 2为平面A 1EF 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·A 1E →＝0，n 2·A 1F →＝0，同理可取n 2＝⎝⎛⎭⎫12，2，1. 因为cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝－77，所以二面角A EF A 1的正弦值为427. 20．(12分)已知椭圆C ：x 225＋y 2m 2＝1(0<m <5)的离心率为154，A ，B 分别为C 的左、右顶点．(1)求C 的方程；(2)若点P 在C 上，点Q 在直线x ＝6上，且|BP |＝|BQ |，BP ⊥BQ ，求△APQ 的面积． 解析 (1)解：由题设可得25－m 25＝154，得m 2＝2516，所以C 的方程为x 225＋y 22516＝1.(2)解：设P (x P ，y P )，Q (6，y Q )，根据对称性可设y Q >0， 由题意知y P >0.由已知可得B (5,0)，直线BP 的方程为y ＝－1y Q(x －5)，所以|BP |＝y P 1＋y 2Q ，|BQ |＝1＋y 2Q .因为|BP |＝|BQ |，所以y P ＝1.将y P ＝1代入C 的方程，解得x P ＝3或－3.由直线BP 的方程得y Q ＝2或8，所以点P ，Q 的坐标分别为P 1(3,1)，Q 1(6,2)；P 2(－3,1)，Q 2(6,8)．所以|P 1Q 1|＝10，直线P 1Q 1的方程为y ＝13x ，点A (－5,0)到直线P 1Q 1的距离为102， 故△AP 1Q 1的面积为12×102×10＝52；|P 2Q 2|＝130，直线P 2Q 2的方程为y ＝79x ＋103，点A 到直线P 2Q 2的距离为13026， 故△AP 2Q 2的面积为12×13026×130＝52.综上，△APQ 的面积为52.21．(12分)设函数f (x )＝x 3＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点⎝⎛⎭⎫12，f ⎝⎛⎭⎫12处的切线与y 轴垂直．(1)求b ；(2)若f (x )有一个绝对值不大于1的零点，证明：f (x )所有零点的绝对值都不大于1. 解析 (1)解：f ′(x )＝3x 2＋b .依题意得f ′⎝⎛⎭⎫12＝0，即34＋b ＝0，故b ＝－34. (2)证明：由(1)知f (x )＝x 3－34x ＋c ，f ′(x )＝3x 2－34.令f ′(x )＝0，解得x ＝－12或x ＝12.f ′(x )与f (x )的情况为：因为f (1)＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝c ＋14， 所以当c <－14时，f (x )只有大于1的零点．因为f (－1)＝f ⎝⎛⎭⎫12＝c －14， 所以当c >14时，f (x )只有小于－1的零点．由题设可知－14≤c ≤14.当c ＝－14时，f (x )只有两个零点－12和1.当c ＝14时，f (x )只有两个零点－1和12.当－14<c <14时，f (x )有三个零点x 1，x 2，x 3，且x 1∈⎝⎛⎭⎫－1，－12，x 2∈⎝⎛⎭⎫－12，12，x 3∈⎝⎛⎭⎫12，1. 综上，若f (x )有一个绝对值不大于1的零点，则f (x )所有零点的绝对值都不大于1.(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－t －t 2，y ＝2－3t ＋t 2(t 为参数且t ≠1)，C 与坐标轴交于A ，B 两点． (1)求|AB |；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程． 解析 (1)解：因为t ≠1，由2－t －t 2＝0得t ＝－2，所以C 与y 轴的交点为(0,12)．由2－3t ＋t 2＝0得t ＝2，所以C 与x 轴的交点为(－4,0)．故|AB |＝410.(2)解：由(1)可知，直线AB 的直角坐标方程为x －4＋y12＝1，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入，得直线AB 的极坐标方程为3ρcos θ－ρsin θ＋12＝0. 23．[选修4－5：不等式选讲](10分) 设a ，b ，c ∈R ，a ＋b ＋c ＝0，abc ＝1.(1)证明：ab ＋bc ＋ca <0；(2)用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 的最大值，证明：max{a ，b ，c }≥34. 解析 (1)证明：由题设可知a ，b ，c 均不为零，所以ab ＋bc ＋ca ＝12[(a ＋b ＋c )2－(a 2＋b 2＋c 2)]＝－12(a 2＋b 2＋c 2)<0.(2)证明：不妨设max{a ，b ，c }＝a .因为abc ＝1，a ＝－(b ＋c )，所以a >0，b <0，c <0. 由bc ≤(b ＋c )24，可得abc ≤a 34，当且仅当b ＝c ＝－a 2时取等号，故a ≥34，所以max{a ，b ，c }≥34.。
2020年全国三卷高考数学真题及答案（仅供参考）
2020年全国三卷高考数学真题及答案（仅供参考）（完整的真题图片，请看微头条内容）
2020年三卷数学，谈谈我最大的感受，这套数学题用了大量初中的平面几何知识，如5、7、10，乃至20题解析几何第二问，用割补法就可以求出面积，基本没用传统的设而不求法，着实有点意外。
我觉得出的比较好的两个题，第3题，考察方差的基本数学定义，肯定要考倒一片人，你要是挨着去算方差，恭喜你做了一个大题。
此外12题也还可以，用了类比思想，考察知识迁移，技巧性也还不错。
至于三卷的压轴题，导函数，其实就是分类讨论思想，画出每一类的大致图像，还是能很快的做出来的。
整体来说，今年的三卷还算基础，比去年难度有所降低，而且降得不算少。
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必要性显然成立；下面来证明充分性，
若 ，所以当 时， ，
所以 ，化简得 ①，
所以当 时， ②，
① ②得 ，所以 ，即数列 是等差数列，充分性得证，所以“ ”是“数列 是等差数列”的充要条件.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查等差数列的判断与证明的问题，考查推理能力，属于中等题.
10．在 中， ，点 为 的中点，过点 作 交 所在的直线于点 ，则向量 在向量 方向上的投影为（）
（1）令 ，求数列 的通项公式；
（2）若数列 满足： .
①求数列 的通项公式；
②是否存在正整数 ，使得 成立？若存在，求出所有 的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1） ；（2）① ；②存在，
【解析】（1）由题，得 ，即可得到本题答案；
（2）①由 ，得 ，所以 ，恒等变形得， ，由此即可得到本题答案；
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】化简得， ，由已知函数 的图象与直线 相交，得 ，解得 ，…，由此即可得到本题答案.
【详解】
，
因为函数 图象与直线 相交，所以 ，解得 ，…，
由此可知 .
故选：B.
【点睛】
本题主要考查三角函数图象与性质的应用，考查学生的分析能力及运算能力.
二、填空题
13．不等式 的解集为________.
【点睛】
本题主要考查利用不等式的基本性质及特殊值判断大小关系，考查推理能力，属于基础题.
6．已知数列 为等比数列， ，数列 的前 项和为 ，则 等于（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 ，可得等比数列 的首项 和公比 ，进而可求得数列 的首项和公比，然后套用等比数列的求和公式，即可得到本题答案.
【详解】
由 在区间 是单调增函数，得 ，
又因为 ，所以 .
故选：B.
【点睛】
本题主要考查指数、对数比较大小的问题，利用函数的单调性及中间值“1”是解决此题的关键.
4．数列 满足 ，且对任意的 ，有 ，则 （）
A．2021B．2035C．2037D．2041
【答案】C
【解析】由 ，即可得到本题答案.
【详解】
故选：A
【点睛】
本题主要考查利用数列的周期性求和，考查学生的推理分析能力.
9．若数列 的前 项和为 ，则“ ”是“数列 是等差数列”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】必要性显然成立；由 ， ，得 ①，同理可得 ②，综合①，②，得 ，充分性得证，即可得到本题答案.
因为 ，
所以 .
故选：C.
【点睛】
本题主要考查根据数列的递推公式，求数列指定项的问题.
5．若 ，则一定有（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】利用不等式的基本性质及特殊值，即可得到本题答案.
【详解】
由 ，得 ，故A选项错误；
令 ，有 ，故B，C选项错误；
因为 ，所以 ，则有 ，故D选项正确.
故选：D.
【详解】
（1）当 时， ，所以 ；
当 时，由 ①，得 ②，
①-②得， ，
所以 ，因为 ，所以 ，所以 ，故数列 为常数列；
（2）由（1）知， ，所以 ，
所以 .
【点睛】
本题主要考查 的应用及用裂项相消法求和，考查计算能力，属于中等题.
19．在 中，角 所对的边分别为 ，且 .
（1）判断 的形状；
（2）若 ， 的周长为16，求 外接圆的面积.
又因为 ，解得 ，
因为 ，所以 ，
设 外接圆的半径为 ，所以 ，解得 ，
故 外接圆的面积为 .
【点睛】
本题主要考查利用诱导公式及和差公式恒等变形判断三角形的形状，以及利用余弦定理解三角形.
20．已知 都是正数，求证：
（1） ；
（2） .
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】（1）因为 ，同理可得， ，三个式子相加，即可得到本题答案；
②由错位相减求和公式，得 的前n项和 ，然后通过求 的解，即可得到本题答案.
【详解】
（1）因为 ，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 ，即 ，
所以数列 是以2为公比和首项的等比数列，所以 ；
（2）①由（1）知， ，当 时， ，
又因为 也满足上式，所以数列 的通项公式为 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
即 ，
因为 ，所以数列 是以1为首项和公差的等差数列，所以 ，
A．2B． C．1D．3
【答案】A
【解析】由 ， ，得 ，然后套用公式向量 在向量 方向上的投影 ，即可得到本题答案.
【详解】
因为点 为 的中点，所以 ，
又因为 ，
所以 ，
所以向量 在向量 方向上的投影为 .
故选：A.
【点睛】
本题主要考查向量的综合应用问题，其中涉及平面向量的线性运算及平面向量的数量积，主要考查学生的转化求解能力.
综上可得，实数 的取值范围 .
【点睛】
本题主要考查高次不等式的求法，以及根据元素与集合的关系确定参数的取值范围.
18．已知数列 的前 项和为 ，且 .
（1）证明：数列 为常数列.
（2）求数列 的前 项和 .
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）由 ，得 ，即 ，又由 ，即可得到本题答案；
（2）由（1）得， ，即可得到本题答案.
（2）因为 ，同理可得， ， ，三个式子相加，即可得到本题答案.
【详解】
（1）∵ ，∴ ，当且仅当 时等号成立，
同理可得， ，
∴ ，即 ；
（2）因为 ，所以 ，
当且仅当 时等号成立，
同理可得 ， ，
∴ ，
即 .
【点睛】
本题主要考查基本不等式的应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
21．设数列 的前 项和为 ，已知 .
由 ，整理得 ，
等式两边同时除以 得 ，
所以 为等差数列，且首项为-5，公差为1，所以 ，
所以 ，
所以 ，解得 ，则实数 的取值范围 .
故答案为：
【点睛】
本题主要考查数列与不等式恒成立问题的综合应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，体现了转化和化归的数学思想.
三、解答题
17．已知关于 的不等式 的解集为 .
当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减，在 及 上单调递增；
（2） ，
假设存在 ，对任意 ， ， ，有 恒成立，
不妨设 ，要使 恒成立，即必有 ，
令 ，即 ，
，
要使 在 上为增函数，
只要 在 上恒成立，须有 ， ，故存在 时，对任意 ， ， ，有 恒成立.
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查导数在恒成立求参问题中的应用，考查逻辑思维能力和运算能力，考查分类讨论思想，属于高考常见题型.
【答案】（1）等腰三角形；（2）
【解析】（1）结合诱导公式及和差公式化简，即可得到本题答案；
（2）由 ，得 ，结合 的周长为16，可求得 ，又由 ，求得 ，然后根据 ，即可得到本题答案.
【详解】
（1）因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
又因为 为 的内角，
所以 ，即 为等腰三角形；
（2）由（1）知， ，解得 ，
A．1347B．1348C．1349D．1346
【答案】A
【解析】由题，得数列 是周期为3的周期数列，前三项和为 ，又 ，由此即可得到本题答案.
【详解】
由数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，各项除以2的余数，可得数列 为1，1，0，1，1，0，1，1，0，…，所以数列 是周期为3的周期数列，前三项和为 ，又因为 ，所以数列 的前2020项的和为 .
2020届海南省全国大联考高三第三次联考数学试题
一、单选题
1．集合 ，则 （）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】直接根据集合的交集定义，即可得到本题答案.
【详解】
由题，知 ，所以 .
故选：C.
【点睛】
本题主要考查集合的交集运算，属基础题.
2．在等差数列 中， ，则数列 的公差为（）
A． B． C．1D．2
【详解】
由题，得 ，
所以切线的斜率 ，
故所求的切线方程为 ，即 .
故答案为：
【点睛】
本题主要考查利用导数求在曲线上一点的切线方程，考查计算能力，属于基础题.
15．若下实数 ，满足 ，则 的最小值为_________.
【答案】
【解析】由题,得 ，又由 展开后利用基本不等式，即可得到本题答案.
【详解】
由题,得 ，
【详解】
设数列 的公比为 ，由题知， ，解得 ，所以数列 是以8为首项， 为公比的等比数列，所以 .
故选：A.
【点睛】
本题主要考查等比数列的通项公式与求和公式的综合应用，考查计算能力，属于基础题.
7．若 ，则 的最小值为（）
A．6B． C． D．
【答案】C
【解析】由 ，得 ，且 ，又由 ，展开之后利用基本不等式，即可得到本题答案.
【答案】A
【解析】由题，得 ，解方程组即可得到本题答案.
【详解】
在等差数列 中，设公差为d，
由 ，得 ，解得 .
故选：A.
【点睛】
本题主要考查利用等差数列的通项公式，求公差d，属基础题.
3．设 ，则 的大小关系是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由函数的单调性及与中间值“1”的大小关系，即可得到本题答案.
11．已知数列 的前 项和为 ，且 ，则 等于（）