高等数学期末复习资料整理
高等数学期末复习总结
一.函数与极限1.两个重要极限：()()11lim 1lim 111lim 0sin lim11lim 1sin lim1100=+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+==⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∞→→→∞→∞→→xx x x xx x xx x x ex x xxe x xx扩展极限：2.等价无穷小公式： 当x→0时，()xlna~121~1x 1x~1x ln x ~121~cosx -1x~arctanx x ~arcsinx x ~tanx x ~sinx 2--++-x xa xe x3.分析技巧:0重要极限,洛必达法则,化简∞∞洛必达法则,同除最高次幂项 ∞⋅0 取倒数 ∞-∞ 通分,0,1∞∞取对数 (∞=∞0)二．导数与微分熟悉函数的可导性与连续性的关系 求高阶导数会运用两边同取对数 隐函数的显化 会求由参数方程确定的函数的导数 ()()x f x F =' 则 ()()dx x f x F d ='导数公式：三.微分中值定理与导数的应用1. 洛必达法则解题中应注意：① 在着手求极限以前，首先要检查是否满足00或∞∞型. ② 洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止. 2. 曲线的凹凸性与拐点：()x f ''>0 上凹， ()x f ''<0 上凸， ()()0,0≠'''=''x f x f 拐点注意：首先看定义域然后判断函数的单调区间 求极值和最值 利用公式判断在 定区间内的凹凸性或者用函数的二阶导数判断（注意二阶导数的符号）四.不定积分1.基本积分公式：C x xdx C x xdx C a a dx a C x dx x x x+-=+=+=++=⎰⎰⎰⎰+cot csc tan sec ln 11221ααα Cx dx x C x dx xC x x xdx x dx C x x C xxdx x dx +=++=-++==+-=+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰arctan 11arcsin 11|tan sec |ln sec cos |cot csc |ln |2tan |ln csc sin 222.不定积分的性质⑴第一类换元法（凑微分法）xx xx n n da adx a de dx e xd dx x dx ndx x ln 1ln 111====-⑵分部积分法（反，对，幂，指，三）⑶第二类换元法（三角代换 无理代换 倒代换）f(x)中含有 ()()()ta x t a x dx a x x f t a x t a x dx x a x f ta x t a x dx x a x f csc sec ,,cot tan ,,cos sin ,,222222==-==+==-⎰⎰⎰或令或令或令f(x)中含有()xx a t dx a f =⎰令, 五.偏导数1.分段用乘，分叉用加，单路全导，叉路偏导. y x F F dx dy''-= 2.多元函数的极值 ①求驻点 0,0='='y xz z②求二阶偏导 ()0,0y x f A xx''=, ()0,0y x f B xy ''=, ()0,0y x f C yy ''=02B AC - 时,有极值,A>0时极小值,A<0时极大值02 BAC - 时,无极值 02=-BAC 时,不确定六.微分方程1.可分离变量的微分方程()()()()()()C dx x f y g dy dx x f y g dy y g x f dx dy +=−−→−⎰=−−→−⋅=⎰⎰两边分离类型1：⎪⎭⎫⎝⎛=x y f dx dy ①换元 ②分离 ③求∫令u xy= ()()()()()[]()⎰⎰=+⇒+=⇒+=⇒=+⇒=⇒dxxu u f du dxxu x f du u u f dx du x u f dx dux u u f dxxu d 11类型2：()c by ax f dxdy++= 令 0=++c by ax 2.一阶线性微分方程 标准式：()()x Q y x P y =+'齐次()0=+'y x P y()⎰=⇒-dxx P Ce y3.二阶微分方程()x f y ='' 求y y →'()y x f y '='', 令()()()()x p x f dxx dp x p y ,=⇒='()y y f y '='', 令()()()()()y p y f dyy dp y p y p y ,=⇒=' 4.二阶常系数线性其次微分方程特征方程02=++c br ar的根 微分方程0=+'+''cy y b y a 的通解相异实根1r 和2r x r x r e c e c y 2121+=重根21r r = ()x r e x c c y 121+=共轭复根βαβαi r i r -=+=21,()x c x c e y x ββαsin cos 21+=。
高数知识点复习资料
x 1
tan x s)
2 x 1 2 x 1 2 x1 2 2 lim 1 2 x 1 2 x 1
x3 x 3 x 2 9 【求解示例】解：因为 x 3 ，从而可得 x 3 ，所以原 x 3 x 3 1 1 式 lim 2 lim lim x 3 x 9 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 6
【题型示例】求值 lim （其中 x 3 为函数 f x
1 第二个重要极限： lim1 e x x
（一般地， lim f x lim f x 0 ）
g x
x
1．由 xn a 化简得 n g ， 2．即对 0 ， N g ，当 n N 时，始终 有不等式 xn a 成立， ∴ limxn a
e 2 x1 2 x 1 e1 e
第五节 函数的连续性 ○函数连续的定义
x x0 x x0
2 x2 lim
lim f x lim f x f x0
○间断点的分类
跳越间断点（不等） 第一类间断点（左右极 限存在） 可去间断点（相等） 第二类间断点 ） 无穷间断点（极限为 （特别地，可去间断点能在分式中约去相应公因式）
x2 a2 1
（或：过 y f x 图像上点 a, f a 处的切线与法线 方程） 【求解示例】 1． y f x ， y |x a f a 2．切线方程： y f a f a x a 法线方程： y f a
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例(P128) 3 ； (P130) 5、6
3、弹性函数 在点 x0 处的弹性为
Ey Ex x x0
f ( x0 )
x0 f ( x0 )
函数y=f(x)在点x0处的弹性反映了当自变量变化1%时， 函数y变化的百分数为 Ey %.
Ex x x0
例(P79) 3，2(思考题)
5、导数的计算 (1)(u v) u v;
(2)(u
(4)设
v) uv
y f (u),
uv;
u
(3) u
( x),v
uv uv v2
,(v
0).
y'x y'u u'x 或
例 ( P43) 2 (4) (5)
dy dy du dx du dx
6、高阶导数 y ( y), y ( y)
x1 x
y x x ( ln x 1 ) 2x x
9、微分 (1)点微分
dy x x0 y x x0 x或 df ( x0 ) f '( x0 )x
(2)函数微分 dy ydx或 df ( x) f ( x)dx
( P51) 例2 ( P54) 1、2
10、微分的应用
(1) y x x0 dy x x0 f ( x0 ) x.
0
(3) lim f ( x) A (或)， 则 lim f ( x) lim f ( x) A(或).
xa g( x)
xa g( x) xa g( x)
0 型
型
0 1 , 或 0 0 1.
0
转换求商的极限.
1 1 通分 0 0 .
00
00
00、1、0 型
00 1
3、积分上限函数及其导数
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高等数学复习第一讲函数、连续与极限一、理论要求1.函数概念与性质函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数）2.极限极限存在性与左右极限之间的关系夹逼定理和单调有界定理会用等价无穷小和罗必达法则求极限3.连续函数连续（左、右连续）与间断理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）二、题型与解法A.极限的求法（1）用定义求（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）（3）变量替换法（4）两个重要极限法（5）用夹逼定理和单调有界定理求（6）等价无穷小量替换法（7）洛必达法则与Taylor级数法（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）1.612arctan lim )21ln(arctan lim3030-=-=+->->-x x x x x x x x （等价小量与洛必达）2.已知2030)(6lim 0)(6sin limxx f x x xf x x x +=+>->-，求 解：20303')(6cos 6lim )(6sin limx xy x f x x x xf x x x ++=+>->- 72)0(''06)0(''32166'''''36cos 216lim6'''26sin 36lim 00=∴=+-=++-=++-=>->-y y xy y x x xy y x x x362722''lim 2'lim )(6lim0020====+>->->-y x y x x f x x x （洛必达）3.121)12(lim ->-+x xx x x （重要极限） 4.已知a 、b 为正常数，xx x x b a 30)2(lim +>-求 解：令]2ln )[ln(3ln ,)2(3-+=+=x x x x x b a xt b a t 2/300)()ln(23)ln ln (3limln lim ab t ab b b a a b a t xx x x x x =∴=++=>->-（变量替换） 5.)1ln(12)(cos lim x x x +>- 解：令)ln(cos )1ln(1ln ,)(cos 2)1ln(12x x t x t x +==+ 2/100212tan limln lim ->->-=∴-=-=e t x x t x x （变量替换）6.设)('x f 连续，0)0(',0)0(≠=f f ，求1)()(lim22=⎰⎰>-xx x dtt f xdtt f（洛必达与微积分性质）7.已知⎩⎨⎧=≠=-0,0,)ln(cos )(2x a x x x x f 在x=0连续，求a解：令2/1/)ln(cos lim 2-==>-x x a x （连续性的概念）三、补充习题（作业） 1.3cos 11lim-=---->-xx x e x x （洛必达）2.)1sin 1(lim 0xx ctgx x ->- （洛必达或Taylor ） 3.11lim 22=--->-⎰x xt x edte x （洛必达与微积分性质）第二讲 导数、微分及其应用一、理论要求 1.导数与微分导数与微分的概念、几何意义、物理意义会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导） 会求平面曲线的切线与法线方程2.微分中值定理 理解Roll 、Lagrange 、Cauchy 、Taylor 定理 会用定理证明相关问题3.应用会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图 会计算曲率（半径）二、题型与解法A.导数微分的计算 基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导1.⎩⎨⎧=+-==52arctan )(2te ty y t x x y y 由决定，求dx dy2.x y x y x x y y sin )ln()(32+=+=由决定，求1|0==x dxdy解：两边微分得x=0时y x y y ==cos '，将x=0代入等式得y=1 3.y x x y y xy+==2)(由决定，则dx dy x )12(ln |0-==B.曲线切法线问题4.求对数螺线)2/,2/πθρρπθe e （），在（==处切线的直角坐标方程。
(整理)高等数学期末考试复习资料
综合试卷一一. 单项选择题（每题3分，共30分）1．下列等式成立的是（）2．设在点的某邻域内存在，且是的极大值，则=（）3.下列各极限中能够用洛必达法则求出的是（）4．设，则=1是的（）A．可去间断点 B. 跳跃间断点 C.无穷间断点 D.连续点5.下列关系式正确的是( )6.下列广义积分收敛的是( )7.的待定特解形式为( )A.﹡=AsinB.﹡=AC. ﹡=﹡=8.平面的相关位置关系为( )A.相交且垂直B.相交不垂直C. 平行不重合D. 重合9.若发散,则( )10.设,则= …………..( )二.填空题(每题3分,共15分)1.2.3.的水平渐近线是,垂直渐近线是4.时,取得极值.5.平行于直线且与曲线相切的直线方程为.三.解答题(每题4分,共32分)1.设2.已知,求常数的值.3.4.5.6.7.8.求曲线与在点处的切线和Y轴所围图形的面积.四. 综合题(共23分)1. (8分)2.设产品的需求函数Q=125-5P (Q为需求量,P为价格),若生产该产品的固定成本为100(百元),多生产一个产品成本增加2(百元),且工厂自产自销,产销平衡.试问如何定价,才能使工厂获得最大利润?最大利润是多少? (8分)3.求曲线与在点(-1,0)和(1,0)处的法线所围成的平面图形的面积. (7分)综合试卷二一. 单项选择题（每题3分，共30分）1．下列等式成立的是（）2．若直线与X轴平行且与曲线相切，则切点坐标为（）3.设在上连续，，下面说法正确的是（）A．I是的一个原函数 B.I是一个确定常数,且与积分变量记号无关C. I是的全体原函数D. I是一个确定常数，且与积分变量记号有关4．设（）A． B. C. D.5.设为连续函数,则( )6.设,则点(1,2) ……( )7.要使直线落在平面上,则K=( )A. -2B. 2C.D. -8.若幂级数……( )9. 的待定特解形式为( )A.﹡=AB.﹡=(A+B)eC. ﹡=﹡=10.设(R>0),把表示为极坐标的二次积分是. ( )二.填空题(每题3分,共15分)1.= .2.若则3.4.则.5.以为通解的二阶线性常系数齐次微分方程为三.解答题(每题4分,共32分)1.确定常数，使在可导2.设，求.3.求4.计算5.6.7. (R>0)8.求方程的通解。
高等数学期末复习重点
当 x 0,
ax 1 ~ x lna arcsin x ~ x arctan x ~ x (1 x) 1 ~ x tan x sinx ~ x3
2
2
(1) 消去零因子法; (2) 同除最高次幂; (3) 通分;
(4) 同乘共轭因式; (5) 利用无穷小运算性质
函 (6) 复合函数求极限法则
数 极
(7) 利用左、右极限求分段函数极限;
限 (8) 利用夹逼定理;
的 求
(9) 利用两类重要极限;
法 (10) 利用等价无穷小代换;
(11) 利用连续函数的性质(代入法);
(12) 利用洛必达法则.
洛必达法则+等价无穷小代换
洛必达法则+变上限积分求导
3
例
1 tan x 1 sin x
lim
12
第二章 导数与微分
导数
定义导左数导存数在f的( x0充), 要右条导件数
f(
几何意义
切线斜率k
f ( x0 )
x0
)
可导性与连续性的关系 可导 连续
微分
求微分
dy
f ( x0 )dx
可导与微分的关系
可导 可微
13
按定义求导
求导数方法
复合函数求导
隐函数, 参数方程求导
对数法求导
分段函数在分段点求导
高
阶导数(sin
x,
cos
x,e
x
,
1
)
1 x
14
参数方程
x y
(t) (t)
求导数：
dy
dy dx
dt dx
(t) (t )
dt
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高等数学复习资料大全高等数学复习资料大全一、函数的极限1、函数极限的定义：当函数f(x)在x趋近于某一值时，函数值无限接近于某一确定的数值A，则称A为函数f(x)在x趋近于这一值时的极限。
2、函数极限的性质：（1）唯一性：若极限存在，则唯一。
（2）局部有界性：在极限附近的函数值有界。
（3）局部保号性：在极限附近，函数值的符号保持不变。
（4）归结原则：若在某一区间内，f(x)恒等于A，则A为f(x)在该区间内的极限。
3、极限的四则运算：设、存在，则、也存在，且、、、。
4、复合函数的极限：设、存在，且g(x)在u=a处连续，则、存在，且、。
5、无穷小与无穷大：（1）无穷小：若当x趋近于某一值时，函数f(x)的极限为0，则称f(x)为当x趋近于这一值时的无穷小。
（2）无穷大：若当x趋近于某一值时，函数f(x)的绝对值无限增大，则称f(x)为当x趋近于这一值时的无穷大。
6、两个重要极限：（1）sin x / x = 1 （x趋近于0）；（2）(1+k)^ x / kx = e^k （k为常数且k趋近于0）。
二、导数与微分1、导数的定义：设y=f(x)，若增量 / 趋于0时，之间的比值也趋于0，则称f(x)在处可导，称此比值为f(x)在处的导数。
2、导数的几何意义：函数在某一点处的导数就是曲线在该点处的切线的斜率。
3、微分的定义：设y=f(x)，若函数的增量可以表示为，其中A不依赖于，则称在处可微分，为f(x)在处的微分。
4、导数与微分的关系：若函数在某一点处可导，则在该点处必可微分；反之，若函数在某一点处可微分，则在该点处不一定可导。
5、导数的计算方法：（1）四则运算导数公式；（2）复合函数的导数；（3）隐函数求导法；（4）对数求导法；（5）高阶导数。
三、不定积分1、不定积分的定义：设f(x)是一个函数，是一个常数，则对f(x)进行积分所得的结果称为f(x)的不定积分，记为或。
2、不定积分的性质：（1）线性性质：和都存在，且；（2）恒等性质：都存在，且。
期末高数考点总结
期末高数考点总结1. 函数与极限函数与极限是高等数学的基础。
在这部分内容中，主要包括函数的概念、性质和常见类型，以及极限的概念、性质和计算方法。
其中，重点考查函数的性质和极限的计算方法。
需要掌握函数的奇偶性、周期性、单调性等基本性质；理解函数的极限定义，并能够应用极限的四则运算法则和夹逼定理等进行计算。
2. 一元函数微分学微分学是高等数学的重要内容之一。
在这部分内容中，主要包括导数的概念、计算方法和应用。
需要掌握函数的导数定义，了解导数的几何意义和物理意义；掌握导数的四则运算法则和链式法则，熟练掌握常见函数的导数计算方法，如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等；掌握导数的应用，如求函数的单调性、极值点、凹凸区间等。
3. 一元函数积分学积分学是高等数学的另一个重要内容。
在这部分内容中，主要包括不定积分和定积分。
需要掌握不定积分和定积分的定义；掌握常见函数的基本积分公式和换元积分法；掌握定积分的计算方法，如定积分的几何意义、定积分的性质、定积分的换元法和分部积分法等。
4. 无穷级数无穷级数是高等数学的重难点内容之一。
在这部分内容中，主要包括数项级数、幂级数和函数项级数等。
需要掌握数项级数的概念、判断级数是否收敛的常用方法，以及幂级数和函数项级数的收敛域判断方法。
5. 常微分方程常微分方程是高等数学的另一个重要内容。
在这部分内容中，主要包括一阶常微分方程、二阶常微分方程和变量可分离的方程等。
需要掌握一阶常微分方程和二阶常微分方程的基本概念，以及一阶常微分方程和二阶常微分方程的解法，包括变量可分离的方程、齐次线性方程、非齐次线性方程等。
6. 多元函数微分学多元函数微分学是高等数学的另一个重点和难点内容。
在这部分内容中，主要包括偏导数、全微分、梯度、方向导数和极值等。
需要掌握多元函数的偏导数定义和计算方法，了解全微分的概念和性质，掌握多元函数的梯度、方向导数的定义和计算方法，以及多元函数的极值点的判定方法。
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《高等数学复习》教程第一讲 函数、连续与极限一、理论要求 1.函数概念与性质 函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期） 几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数） 2.极限极限存在性与左右极限之间的关系 夹逼定理和单调有界定理会用等价无穷小和罗必达法则求极限 3.连续函数连续（左、右连续）与间断理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）二、题型与解法A.极限的求法 （1）用定义求（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子） （3）变量替换法 （4）两个重要极限法（5）用夹逼定理和单调有界定理求 （6）等价无穷小量替换法（7）洛必达法则与Taylor 级数法（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质） 1.612arctan lim )21ln(arctan lim3030-=-=+->->-xx x x x x x x （等价小量与洛必达） 2.已知2030)(6lim0)(6sin limx x f x x xf x x x +=+>->-，求 解：20303')(6cos 6lim )(6sin limx xy x f x x x xf x x x ++=+>->- 72)0(''06)0(''32166'''''36cos 216lim6'''26sin 36lim 00=∴=+-=++-=++-=>->-y y xy y x x xy y x x x362722''lim 2'lim )(6lim0020====+>->->-y x y x x f x x x （洛必达） 3.121)12(lim ->-+x xx x x （重要极限）4.已知a 、b 为正常数，xx x x b a 30)2(lim +>-求 解：令]2ln )[ln(3ln ,)2(3-+=+=x x x x x b a xt b a t 2/300)()ln(23)ln ln (3limln lim ab t ab b b a a b a t xx x x x x =∴=++=>->-（变量替换） 5.)1ln(12)(cos lim x x x +>-解：令)ln(cos )1ln(1ln ,)(cos 2)1ln(12x x t x t x +==+ 2/100212tan limln lim ->->-=∴-=-=e t x x t x x （变量替换）6.设)('x f 连续，0)0(',0)0(≠=f f ，求1)()(lim22=⎰⎰>-xx x dtt f xdtt f（洛必达与微积分性质）7.已知⎩⎨⎧=≠=-0,0,)ln(cos )(2x a x x x x f 在x=0连续，求a解：令2/1/)ln(cos lim 2-==>-x x a x （连续性的概念）三、补充习题（作业） 1.3cos 11lim-=---->-xx x e x x （洛必达）2.)1sin 1(lim 0xx ctgx x ->- （洛必达或Taylor ） 3.11lim 22=--->-⎰x xt x edte x （洛必达与微积分性质）第二讲 导数、微分及其应用一、理论要求1.导数与微分 导数与微分的概念、几何意义、物理意义会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导） 会求平面曲线的切线与法线方程2.微分中值定理 理解Roll 、Lagrange 、Cauchy 、Taylor 定理 会用定理证明相关问题3.应用 会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图 会计算曲率（半径）二、题型与解法A.导数微分的计算 基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导 1.⎩⎨⎧=+-==52arctan )(2te ty y t x x y y 由决定，求dx dy2.x y x y x x y y sin )ln()(32+=+=由决定，求1|0==x dxdy解：两边微分得x=0时y x y y ==cos '，将x=0代入等式得y=1 3.y x x y y xy+==2)(由决定，则dx dy x )12(ln |0-==B.曲线切法线问题 4.求对数螺线)2/,2/πθρρπθe e （），在（==处切线的直角坐标方程。
高数复习重点梳理
高数复习重点梳理
第一章：导数与微分
在高数复习中，导数与微分是非常重要的概念，它们是微积分的基础。
导数表
示函数在某一点上的变化率，微分则表示函数在该点附近的近似线性变化。
在学习导数与微分时，需要掌握的重点包括：
1.导数的定义与性质
2.基本导数的求法
3.高阶导数
4.微分的定义与性质
5.隐函数与参数方程的导数与微分
6.微分中值定理
第二章：不定积分与定积分
不定积分与定积分是微积分的另一个重要内容，它们是对函数积分的不同形式。
在学习不定积分与定积分时，需要注意以下内容：
1.不定积分的基本性质
2.基本的不定积分表
3.定积分的定义与性质
4.定积分的应用：计算面积、求解定积分方程等
5.变限积分与定积分的运算法则
6.定积分的几何应用
第三章：微分方程
微分方程是数学中一个重要的研究对象，它描述了函数的导数与自身之间的关系。
在学习微分方程时，需要了解以下内容：
1.微分方程的分类与基本概念
2.一阶微分方程的求解方法
3.高阶微分方程的求解方法
4.微分方程的初值问题
5.线性微分方程
6.微分方程的物理应用
第四章：级数
级数是数学分析中的一个重要概念，它描述了无穷序列之和的性质。
在学习级数时，需要牢记以下要点：
1.级数收敛与发散的判别法
2.正项级数收敛的性质
3.常用级数的收敛性质
4.级数的运算：加法、乘法、除法
5.幂级数及其收敛半径
6.泰勒级数与麦克劳林级数的应用
以上是高等数学复习中的重点内容梳理，希望对你的复习有所帮助。
祝你取得优异的成绩！。
高数期末知识总结
高数期末知识总结一、微积分部分：1. 函数的概念和性质：包括定义域、值域、奇偶性、周期性等。
2. 极限与连续：掌握函数趋于无穷时的极限和函数在某点处的极限计算方法。
了解连续函数的定义和性质。
3. 导数与微分：熟悉导数的定义、性质和计算方法，掌握基本的导数法则。
了解微分的概念和微分形式的变化。
4. 微分中值定理和泰勒公式：熟练掌握拉格朗日中值定理和柯西中值定理的条件和应用。
了解泰勒公式及其在函数逼近中的应用。
5. 一元函数的极值和最值：熟练掌握函数的极值和最值的判定方法，了解约束条件下的极值和最值问题。
6. 定积分和不定积分：掌握定积分的定义和计算方法，了解不定积分的概念和性质。
7. 微分方程：了解微分方程的基本概念和分类，熟悉一阶常微分方程的求解方法。
二、线性代数部分：1. 向量的概念和运算：熟练掌握向量的定义和运算法则，了解向量的数量积和向量积的定义和性质。
2. 矩阵的概念和运算：了解矩阵的定义和基本性质，熟练掌握矩阵的加法、数乘和乘法运算。
3. 行列式和矩阵的初等变换：熟练掌握行列式的定义、性质和计算方法，了解矩阵的初等行变换和初等列变换的基本法则。
4. 线性方程组：熟悉线性方程组的定义和基本性质，了解线性方程组的求解方法。
5. 特征值和特征向量：了解特征值和特征向量的定义和计算方法，掌握矩阵的对角化与相似对角化。
6. 线性空间和线性映射：了解线性空间和线性映射的基本概念，掌握线性映射的定义和性质。
以上是高等数学期末知识的基本总结。
在考试前，我们应该提前整理好复习资料，了解每个知识点的要点和考点，合理安排时间进行复习，并多做一些练习题来巩固所学知识。
希望以上总结对大家的期末考试有所帮助，祝大家取得好成绩！。
高等数学上期末复习资料大全
例17. 求圆柱螺旋线
在
的切线方程和法平面方程.
解:
由于
对应的切向量为
切线方程 x R
T
y
(R, 0, R z 0
k )2 k
,
k
故
即
k y
x Rz R0
2
R
k
0
法平面方程
即 Rx
R
x
k
z
k (2zk22k0)
0
M
0
(0
,
R
,
2
k
)
z
o
x
y
例18计算由椭圆
所围图形绕 x 轴旋转而
,
其中系数A1、B1、C1与A2、B2、C2不成比例.
考虑三元一次方程:
A1xB1yC1zD1(A2xB2 yC2zD2)0,
即
(A1A2)x(B1B2)y(C1C1)zD1D20,
其中为任意常数.
上述方程表示通过定直线L的所有平面的全体, 称为平面
束.
1. 函数的极值问题 第一步 利用必要条件在定义域内找驻点.
2 3
(极大)
(拐点）
(极小)
极大值；
极小值：
拐点：
例15 计算两条抛物线 所围图形的面积 .
解: 由
得交点 (0, 0) , (1, 1)
1
AdA0
x x2 dx
1 3
在第一象限所围
y y2 x (1,1) y x2
o x x d x1 x
平面图形的面积
平面直角坐标下图形的面积
y
z Fy
xz
.
导时，将方程 F(x,y,z)=0中x,y,z
高等数学复习资料
寄语：亲爱的学弟，学妹们。
期末将至，班主任助理小组为大家准备了一些关于高数的复习资料。
请大家做好考前准备，预祝大家取得优异的成绩。
亲~ 一定要看哦！ 考试内容、重点问题与方法（按照考试提纲总结的） 第一部分：函数极限的计算 （1） 函数值的计算 （2） 连续性的判断 （3） 未定式极限的求法 （4） 洛比达法则的应用 常用的极限公式non x x n n k x kn x x q q x n o=<===→-∞→∞→∞→lim )1|(|0lim 01lim 01lim1 )()(lim 1lim )0(1lim o n n x n n n n n x p x p n a a o==>=→∞→∞→)(0co lim sin lim )"1("1sin lim0为无穷小无穷小乘以有界函数仍极限===∞→∞→→x sx x x x x x x x e x e xen x x n =+=+=+→∞→∞→1x x n )1(lim )11(lim )11(lim 111sinlim 1sinlim 01sin lim 0===∞→∞→→xx x x x x x x x ∞=⋅==⋅=∞→∞→∞→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x lim 1sin lim 1sin lim 0lim 1sin lim 1sinlim 2020常见的等价无穷小xx xe x x x x x x x αα~1)1(~121~cos 1~tan ~sin 2-+-- x nx x x x x xx x x n1~1)1(~)1l n (21~1c o s~a r c t a n ~a r c s i n 12-++--第二部分：导数的计算 （1） 包括初等函数，隐函数及参数方程及抽象函数的一阶，二阶或高阶导数概念与求法；（2） 包括导数概念，几何意义以及连续、导数与微分的关系。
高数复习资料
高等数学期末复习资料第 1 页（共9 页）高等数学第一章函数与极限函数与极限函数与极限函数与极限第一节函数○函数基础（高中部分相关知识）（★）○邻域（去心邻域）（★）....,|Uaxxa.........,|0Uaxxa......第二节数列的极限数列的极限数列的极限数列的极限○数列极限的证明（★）【题型示例】已知数列..nx，证明..limnxxa...【证明示例】N..语言1．由nxa...化简得...gn.，∴..Ng......2．即对0...，..Ng.......，当Nn.时，始终有不等式nxa...成立，∴..axnx (i)第三节函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限○0xx.时函数极限的证明（★）【题型示例】已知函数..xf，证明..Axfxx..0lim【证明示例】...语言1．由..fxA...化简得..00xxg....，∴....g.2．即对.. . 0 ，....g..，当00xx....时，始终有不等式..fxA...成立，∴ f .x. Ax x.. 0lim○..x时函数极限的证明（★）【题型示例】已知函数 f .x. ，证明..Axfx (i)【证明示例】X..语言1．由..fxA...化简得..xg..，∴ (X)2．即对.. . 0 ，...gX..，当Xx.时，始终有不等式..fxA...成立，∴..Axfx (i)第四节无穷小与大无穷小与大无穷小与大无穷小与大无穷小与大○无穷小与大的本质（★）函数..xf无穷小...0lim.xf函数..xf无穷大.....xflim○无穷小与大的相关定理推论（★）（定理三）假设 f .x. 为有界函数，..xg为无穷小，则....lim0fxgx......（定理四）在自变量的某个化过程中，若在自变量的某个化过程中，若..xf为无穷大，则无穷大，则无穷大，则..1fx.为无穷小；反之，若为无穷小；反之，若为无穷小；反之，若为无穷小；反之，若为无穷小；反之，若为无穷小；反之，若..xf为无穷小，且..0fx.，则..xf1.为无穷大【题型示例】计算：....0limxxfxgx......（或..x）1．∵..fx≤M∴函数..fx在0xx.的任一去心邻域...,0xU.内是有界的；（∵..fx≤M ，∴函数..fx在Dx.上有界；）2．..0lim0..xgxx即函数..xg是0xx.时的无穷小；（..0lim...xgx即函数g.x. 是x . . 时的无穷小；）3．由定理可知....0lim0xxfxgx.......（....lim0xfxgx........）第五节极限运算法则极限运算法则极限运算法则极限运算法则极限运算法则○极限的四则运算法（★）（定理一）加减法则（定理二）乘除法则关于多项式..px、..xq商式的极限运算设：.....................nnnmmmbxbxbxqaxaxaxp110110则有...............0lim00baxqxpxmnmnmn...........000lim00xxfxgxfxgx......................0000000,00gxgxfxgxfx.....（特别地，当....00lim0xxfxgx..（不定型）时，通常分子分母约去公因式约去公因式约去公因式即约去可间断点便即约去可间断点便即约去可间断点便即约去可间断点便即约去可间断点便即约去可间断点便可求解出极可求解出极可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解）【题型示例】求值233lim9xxx...高等数学期末复习资料第 2 页（共9 页）【求解示例】解：因为3.x，从而可得3.x，所以原式....23333311limlimlim93336xxxxxxxxx.............其中3x.为函数..239xfxx...的可去间断点倘若运用罗比达法则求解（详见第三章二节）：解：....00233323311limlimlim9269xLxxxxxxx.............○连续函数穿越定理（复合函数的极限求解）（★）（定理五）若函数..xf是定义域上的连续函数，那么，....00limlimxxxxfxfx...............【题型示例】求值：93lim23 (xxx)【求解示例】22333316limlim9966xxxxxx.........第六节极限存在准则及两个重要极限存在准则及两个重要极限存在准则及两个重要极限存在准则及两个重要极限存在准则及两个重要极限存在准则及两个重要极限存在准则及两个重要极限存在准则及两个重要○夹迫准则（P53P53）（★）第一个重要极限：1sinlim0..xxx∵........2,0.x，xxxtansin..∴ 1sinlim.. xxx0000lim11limlim1sinsinsinlimxxxxxxxxxx.............（特别地，000sin()lim1xxxxxx....）○单调有界收敛准则（P57P57）（★）第二个重要极限：exxx..........11lim（一般地，（一般地，（一般地，（一般地，........limlimlimgxgxfxfx.........，其中..0lim.xf）【题型示例】求值：11232lim (xxxx)【求解示例】....211121212122121122122121lim21221232122limlimlim121212122lim1lim121212lim121xxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx...................................................................................................解：....12lim1212121212122lim121xxxxxxxxxeeee.......................................第七节无穷小量的阶（无穷小量的阶（无穷小量的阶（无穷小量的阶（无穷小量的阶（无穷小的比较无穷小的比较无穷小的比较）○等价无穷小（★）1．..~sin~tan~arcsin~arctan~ln(1)~1UUUUUUUe..2．UUcos1~212.（乘除可替，加减不行）【题型示例】求值：....xxxxxx31ln1lnlim20.....【求解示例】..............3131lim31lim31ln1lim31ln1lnlim,0,000020........................xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx所以原式即解：因为第八节函数的连续性函数的连续性函数的连续性函数的连续性函数的连续性○函数连续的定义（★）......000limlimxxxxfxfxfx......○间断点的分类（P67P67）（★）.........）无穷间断点（极限为第二类间断点可去间断点（相等）跳越间断点（不等）限存在）第一类间断点（左右极（特别地，可去间断点能在分式中约去相应公因式）【题型示例】设函数.......xaexfx2，00..xx应该怎样选择数a，使得..xf成为在R上的连续函数？【求解示例】1．∵......2010000feeefaafa...................2．由连续函数定义......efxfxfxx.......0limlim00∴ea.高等数学期末复习资料第 3 页（共9 页）第九节闭区间上连续函数的性质区间上连续函数的性质区间上连续函数的性质区间上连续函数的性质区间上连续函数的性质区间上连续函数的性质○零点定理（★）【题型示例】证明：方程】证明：方程】证明：方程】证明：方程....fxgxC..至少有一个根介于a与b之间【证明示例】1．（建立辅助函数）（建立辅助函数）（建立辅助函数）（建立辅助函数）（建立辅助函数）（建立辅助函数）......xfxgxC....在闭区间..,ab上连续；2．∵....0ab....（端点异号）3．∴由零点定理，在开区间∴由零点定理，在开区间∴由零点定理，在开区间∴由零点定理，在开区间∴由零点定理，在开区间∴由零点定理，在开区间..ba,内至少有一点.，使得..0...，即....0fgC.....（10...）4．这等式说明方程这等式说明方程这等式说明方程这等式说明方程....fxgxC..在开区间在开区间.a,b.内至少有一个根.第二章导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分第一节导数概念○高等数学中导的定义及几何意（P83P83）（★）【题型示例】已知函数】已知函数】已知函数........baxexfx1，00..xx在0.x处可导，求a，b【求解示例】1．∵....0010fefa............，......00001120012feefbfe...................2．由函数可导定义..........0010002ffafffb..................∴1,2ab..【题型示例】求..xfy.在ax.处的切线与法方程（或：过（或：过（或：过..xfy.图像上点..,afa....处的切线与法处的切线与法处的切线与法处的切线与法方程）【求解示例】1．..xfy...，..afyax....|2．切线方程：......yfafaxa....法线方程：......1yfaxafa.....第二节函数的和（差）、积与商求导法则函数的和（差）、积与商求导法则函数的和（差）、积与商求导法则函数的和（差）、积与商求导法则函数的和（差）、积与商求导法则函数的和（差）、积与商求导法则函数的和（差）、积与商求导法则函数的和（差）、积与商求导法则函数的和（差）、积与商求导法则函数的和（差）、积与商求导法则○函数和（差）、积与商的求导法则函数和（差）、积与商的求导法则函数和（差）、积与商的求导法则函数和（差）、积与商的求导法则函数和（差）、积与商的求导法则函数和（差）、积与商的求导法则函数和（差）、积与商的求导法则函数和（差）、积与商的求导法则★）1．线性组合（定理一）：线性组合（定理一）：()uvuv..........特别地，当1....时，有()uvuv......2．函数积的求导法则（定理二）：函数积的求导法则（定理二）：()uvuvuv.....3．函数商的求导法则（定理三）：函数商的求导法则（定理三）：2uuvuvvv...........第三节反函数和复合函数的求导法则复合函数的求导法则复合函数的求导法则复合函数的求导法则复合函数的求导法则○反函数的求导法则（★）【题型示例】求函数..xf1.的导数【求解示例】由题可得【求解示例】由题可得【求解示例】由题可得【求解示例】由题可得【求解示例】由题可得..xf为直接函数，其在定于域为直接函数，其在定于域为直接函数，其在定于域为直接函数，其在定于域为直接函数，其在定于域为直接函数，其在定于域D上单调、可导，且..0..xf；∴....11fxfx........○复合函数的求导法则（★）【题型示例】设..2arcsin122lnxyexa....，求y.【求解示例】................2222222arcsin122arcsin122222arcsin1222arcsin1222arcsin1222arcsin122arcsiarcsin12 211121*********xxxxxxxyexaexaxxaexaxexaxxxexxaeaeexa.......................................................... .......解：2n1222212xxxxxxa.............第四节高阶导数○........1nnfxfx.......（或....11nnnndydydxdx..........）（★）【题型示例】求函数..xy..1ln的n阶导数【求解示例】..1111yxx......，......12111yxx...............，..........2311121yxx....................……..1(1)(1)(1)nnnynx........！第五节隐函数及参方程型的导隐函数及参方程型的导隐函数及参方程型的导隐函数及参方程型的导隐函数及参方程型的导隐函数及参方程型的导隐函数及参方程型的导隐函数及参方程型的导隐函数及参方程型的导○隐函数的求导（等式两边对x求导）（★）【题型示例】试求：方程】试求：方程】试求：方程】试求：方程yexy..所给定的曲线所给定的曲线所给定的曲线所给定的曲线C：..xyy.在点..1,1e.的切线方程与法【求解示例】由y y . x . e 两边对x 求导即..yyxe.....化简得1yyey.....∴eey (11111)高等数学期末复习资料第 4 页（共9 页）∴切线方程：..exey (1111)法线方程：....exey (111)○参数方程型函数的求导【题型示例】设参数方程.........tytx..，求22dxyd【求解示例】1.....ttdxdy.....2...22dydydxdxt..........第六节变化率问题举例及相关变化率问题举例及相关变化率问题举例及相关变化率问题举例及相关变化率问题举例及相关变化率问题举例及相关变化率问题举例及相关变（不作要求）第七节函数的微分函数的微分函数的微分函数的微分○基本初等函数微分公式与运算法则（★★★）..dxxfdy...第三章中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用第一节中值定理○引理（费马）（○引理（费马）（★）○罗尔定理（★）【题型示例】现假设函数..fx在..0,.上连续，在上连续，在上连续，在..0,.上可导，试证明：..0,....，使得....cossin0ff.......成立【证明示例】1．（建立辅助函数）令．（建立辅助函数）令．（建立辅助函数）令．（建立辅助函数）令．（建立辅助函数）令．（建立辅助函数）令....sinxfxx..显然函数..x.在闭区间.0,. .上连续，在开区间开区间.0,. . 上可导；2．又∵....00sin00f.......sin0f......即....00.....3．∴由罗尔定理知....0,..，使得，使得. .c . . ossin0 f. f ... . . . 成立○拉格朗日中值定理（★）【题型示例】证明不等式：当1x.时，xeex..【证明示例】1．（建立辅助函数）令．（建立辅助函数）令．（建立辅助函数）令．（建立辅助函数）令．（建立辅助函数）令．（建立辅助函数）令函数..xfxe.，则对1x..，显然函数..fx在闭区间..1,x上连续，在开区间..1,x上可导，并且..xfxe..；2．由拉格朗日中值定理可得，..1,x...使得等式..11xeexe....成立，又∵1ee..，∴..111xeexeexe......，化简得xeex..，即证得：当x .1时，x e ex . .【题型示例】证明不等式：当0x.时，..ln1xx..【证明示例】1．（建立辅助函数）令．（建立辅助函数）令．（建立辅助函数）令．（建立辅助函数）令．（建立辅助函数）令．（建立辅助函数）令．（建立辅助函数）令．（建立辅助函数）令．（建立辅助函数）令....ln1fxx..，则对0x..，函数，函数 f .x. 在闭区间..0,x上连续，在开区上连续，在开区上连续，在开区上连续，在开区间.0,. . 上可导，并且..11fxx...；2．由拉格朗日中值定理可得，由拉格朗日中值定理可得，..0,x...使得等式......1ln1ln1001xx.......成立，化简得..1ln11xx....，又∵..0,x..，∴..111f......，∴..ln11xxx....，即证得：当x .1时，x e ex . .第二节罗比达法则罗比达法则罗比达法则罗比达法则○运用罗比达法则进行极限算的基本步骤（★）1．☆等价无穷小的替换（以简化运算）2．判断极限不定型的所属类及是否满足运用罗比及是否满足运用罗比及是否满足运用罗比及是否满足运用罗比及是否满足运用罗比达法则的三个前提条件A．属于两大基本不定型（0,0..）且满足条件，则进行运算：........limlimxaxafxfxgxgx.....（再进行1、2步骤，反复直到结果得出）B．☆不属于两大基本定型（转化为基本不定型）⑴0..型（转乘为除，构造分式）【题型示例】求值：0limlnxxx...【求解示例】..10000201lnlnlimlnlimlimlim111lim0xxLxxxxxxxxxxxxxa.................................解：（一般地，..0limln0xxx.....，其中,R...）⑵...型（通分构造式，观察母）【题型示例】求值：011limsinxxx........【求解示例】200011sinsinlimlimlimsinsinxxxxxxxxxxxx...........................解：........000000002sin1cos1cossinlimlimlimlim0222LxxLxxxxxxxxxx..................高等数学期末复习资料第 5 页（共9 页）⑶00型（对数求极限法）【题型示例】求值：0limxxx.【求解示例】....0000limlnln000002ln,lnlnln1lnln0limlnlimlim111limlim0limlim11xxxxxLxyyxxxxxyxyxxxxxx xyxxxxyeeex...................................解：设两边取对数得：对对数取时的极限：，从而有⑷1.型（对数求极限法）【题型示例】求值：..10limcossinxxxx..【求解示例】..........01000000limlnln100lncossincossin,ln,lncossinln0limlnlimlncossincossin10limlim1,cossin1 0lim=limxxxxLxxyyxxxxyxxyxxxyxyxxxxxxxxyeeee.................................解：令两边取对数得对求时的极限，从而可得⑸0.型（对数求极限法）【题型示例】求值：tan01limxxx.......【求解示例】....tan002000202200011,lntanln,1ln0limlnlimtanln1lnlnlimlimlim1sec1tantantansinsinlimlimlixxx xLxxxLxyyxxxyxyxxxxxxxxxxxxx...................................................................解：令两边取对数得对求时的极限，00limlnln0002sincosm0,1lim=lim1xxyyxxxxyeee.........从而可得○运用罗比达法则进行极限算的基本思路（★）0000001.......................(1)(2)(3)⑴通分获得分式（通常伴有等价无穷小的替换）⑵取倒数获得分式（将乘积形式转化为分）⑶取对数获得乘积式（通过对数运算将指提前）第三节泰勒中值定理泰勒中值定理泰勒中值定理泰勒中值定理泰勒中值定理（不作要求）（不作要求）（不作要求）（不作要求）第四节函数的单调性和曲线凹凸函数的单调性和曲线凹凸函数的单调性和曲线凹凸函数的单调性和曲线凹凸函数的单调性和曲线凹凸函数的单调性和曲线凹凸函数的单调性和曲线凹凸函数的单调性和曲线凹凸○连续函数单调性（单调区间）（★）【题型示例】试确定函数】试确定函数】试确定函数】试确定函数..3229123fxxxx....的单调区间【求解示例】1．∵函数..fx在其定义域R上连续，且可导∴..261812fxxx....2．令......6120fxxx.....，解得：，解得：，解得：121,2xx..3．（三行表）．（三行表）．（三行表）．（三行表）x..,1..1..1,22..2,....fx......fx极大值极小值4．∴函数 f .x. 的单调递增区间为....,1,2,....；单调递减区间为..1,2【题型示例】证明：当0x.时，1xex..【证明示例】1．（构建辅助函数）．（构建辅助函数）．（构建辅助函数）．（构建辅助函数）．（构建辅助函数）设..1xxex....，（0x.）2．..10xxe.....，（x . 0 ）∴....00x....3．既证：当x . 0 时，1 x e .x.【题型示例】证明：当x . 0 时，..ln1xx..【证明示例】1．（构建辅助函数）设．（构建辅助函数）设．（构建辅助函数）设．（构建辅助函数）设．（构建辅助函数）设．（构建辅助函数）设....ln1xxx....，（x . 0 ）2．..1101xx......，（x . 0 ）∴....00x....3．既证：当x . 0 时，l . . n1 .x .x○连续函数凹凸性（★）【题型示例】试讨论函数2313yxx...的单调性、极值的单调性、极值的单调性、极值的单调性、极值的单调性、极值凹凸性及拐点【证明示例】高等数学期末复习资料第 6 页（共9 页）1．....236326661yxxxxyxx........................320610yxxyx................120,21xxx......3．（四行表）x(,0)..(0,1)1(1,2)2(2,)..y.....y......y1(1,3)4．⑴函数 2 3 y 1 3xx . ..单调递增区间为(0,1), (1,2) 单调递增区间为( ,0) .. , (2,) .. ；⑵函数 2 3 y 1 3xx . ..的极小值在0x.时取到，为..01f.，极大值在2x.时取到，为..25f.；⑶函数 2 3 y 1 3xx . ..在区间( ,0) .. , (0,1)上凹，在区间(1,2), (2,) .. 上凸；⑷函数 2 3 y 1 3xx . ..的拐点坐标为..1,3第五节函数的极值和最大、小函数的极值和最大、小函数的极值和最大、小函数的极值和最大、小函数的极值和最大、小函数的极值和最大、小函数的极值和最大、小函数的极值和最大、小○函数的极值与最关系（★）⑴设函数..fx的定义域为的定义域为的定义域为D，如果Mx.的某个邻域..MUxD.，使得对..MxUx..，都适合不等式....Mfxfx.，我们则称函数 f .x. 在点..,MMxfx....处有极大值..Mfx；令..123,,,...,MMMMMnxxxxx.则函数 f .x. 在闭区间..,ab上的最大值M满足：......123max,,,,...,,MMMMnMfaxxxxfb.⑵设函数 f .x. 的定义域为D，如果，如果mx.的某个邻域..mUxD.，使得对，使得对，使得对..mxUx..，都适合不等，都适合不等，都适合不等，都适合不等，都适合不等式....mfxfx.，我们则称函数我们则称函数我们则称函数我们则称函数 f .x. 在点..,mmxfx....处有极小值..mfx；令..123,,,...,mmmmmnxxxxx.则函数 f .x. 在闭区间.a,b. 上的最小值m满足：......123min,,,,...,,mmmmnmfaxxxxfb.；【题型示例】求函数..33fxxx..在..1,3.上的最值【求解示例】1．∵函数 f .x. 在其定义域. 1 . ,3 . 上连续，且可导∴..233fxx....2．令......3110fxxx......，解得：121,1xx...3．（三行表）．（三行表）．（三行表）．（三行表）x1...1,1.1..1,3f. .x...f .x.极小值极大值4．又∵......12,12,318fff......∴........maxmin12,318fxffxf.....第六节函数图形的描绘函数图形的描绘函数图形的描绘函数图形的描绘函数图形的描绘（不作要求）（不作要求）（不作要求）第七节曲率（不作要求）（不作要求）（不作要求）（不作要求）第八节方程的近似解方程的近似解方程的近似解方程的近似解方程的近似解（不作要求）（不作要求）（不作要求）（不作要求）第四章不定积分第一节不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质○原函数与不定积分的概念（★）⑴原函数的概念：假设在定义区间I上，可导函数上，可导函数上，可导函数..Fx的导函数为..Fx.，即当自变量，即当自变量，即当自变量，即当自变量xI.时，有时，有....Fxfx..或....dFxfxdx..成立，则称成立，则称成立，则称成立，则称F.x. 为..fx的一个原函数⑵原函数存在定理：（★）如果函数..fx在定义区间I 上连续，则在I 上必存在可导函数..Fx使得 F . . . . xfx . . ，也就是说：连续函数一定存在原（可导必）⑶不定积分的概念（★）在定义区间I 上，函数上，函数f .x. 的带有任意常数项C的原函数称为 f .x. 在定义区间I 上的不定积分，即表示为：....fxdxFxC...（.称为积分号， f .x. 称为被积函数，..fxdx称为积分表达式，x则称为积分变量）○基本积分表（★）○不定积分的线性性质（分项积公式）（★）........1212kfxkgxdxkfxdxkgxdx..........第二节换元积分法换元积分法换元积分法换元积分法○第一类换元法（凑微分）（（凑微分）（（凑微分）（（凑微分）（★）（dy . f ..x.. dx 的逆向应用）........fxxdxfxdx......................高等数学期末复习资料第7 页（共9 页）【题型示例】求221dxax..【求解示例】222211111arctan11xxdxdxdCaxaaaaxxaa............................解：【题型示例】求121dxx..【求解示例】....111121************dxdxdxxxxxC.............解：○第二类换元法（去根式）（★）（dy . f ..x.. dx的正向应用）⑴对于一次根式（0,abR..）：axb.：令taxb..，于是2tbxa..，则原式可化为t⑵对于根号下平方和的形式（0a.）：22ax.：令tanxat.（22t.....），于是arctanxta.，则原式可化为secat；⑶对于根号下平方差的形式（ a . 0 ）：a．22ax.：令sinxat.（2 2t. .. ..），于是arcsinxta.，则原式可化为cosat；b．22xa.：令secxat.（02t...），于是arccosatx.，则原式可化为tanat；【题型示例】求12 1dxx . . （一次根式）【求解示例】2211122112121txxtdxtdtdxtdtdttCxCtx.....................解：【题型示例】求22axdx..（三角换元）【求解示例】....2sin()222222arcsincos22cos1cos221sin2sincos222xattxtadxataaxdxatdttdtaattCtttC.................... .............解：第三节分部积法分部积法分部积法分部积法○分部积法（★）⑴设函数..ufx.，..vgx.具有连续导数，则其具有连续导数，则其具有连续导数，则其具有连续导数，则其具有连续导数，则其分部积公式可表示为：udvuvvdu....⑵分部积法函数排序次：“反、对幂三指”排序次：“反、对幂三指”排序次：“反、对幂三指”排序次：“反、对幂三指”排序次：“反、对幂三指”排序次：“反、对幂三指”排序次：“反、对幂三指”排序次：“反、对幂三指”排序次：“反、对幂三指”○运用分部积法计算不定积分的基本步骤：⑴遵照分部积法函数排序次对被；⑵就近凑微分：（⑵就近凑微分：（⑵就近凑微分：（⑵就近凑微分：（⑵就近凑微分：（vdxdv...）⑶使用分部积公式：udvuvvdu . . ..⑷展开尾项vduvudx.....，判断a．若vudx...是容易求解的不定积分，则直接计，则直接计，则直接计算出答案（容易表示使用基本积分、换元法算出答案（容易表示使用基本积分、换元法与有理函数积分可以轻易求解出结果）；与有理函数积分可以轻易求解出结果）；b．若v udx . . . 依旧是相当复杂，无法通过a中方法求解的不定积分，则重复⑵、⑶，直至⑵、⑶，直至⑵、⑶，直至出现容易求解的不定积分；若重复过程中出现循环，则联立方程求解，但是最后要注意添上常数C【题型示例】求2xexdx..【求解示例】....222222222222222xxxxxxxxxxxxxxxexdxxedxxdexeedxxexedxxexdexexeedxxexeeC................ .........解：【题型示例】求sinxexdx..【求解示例】........sincoscoscoscoscoscossincossinsincossinsinxxxxxxxxxxxxxxexdxedxexxdeexexdxexedxexe xxdeexexexdx...........................解：..sincossinsinxxxxexdxexexxde.......即：∴..1sinsincos2xxexdxexxC.....第四节有理函数的不定积分有理函数的不定积分有理函数的不定积分有理函数的不定积分有理函数的不定积分有理函数的不定积分○有理函数（★）设：........101101mmmnnnPxpxaxaxaQxqxbxbxb.............对于有理函数....PxQx，当..Px的次数小于..Qx的次数时，有理函次数时，有理函次数时，有理函次数时，有理函. .. .P xQ x是真分式；当是真分式；当是真分式；当是真分式；当P.x. 的次数高等数学期末复习资料第8 页（共9 页）大于. . Q x 的次数时，有理函. .. .P xQ x是假分式○有理函数（真分式）不定积分的求解思路（★）⑴将有理函数将有理函数将有理函数将有理函数. .. .P xQ x的分母Q.x. 分拆成两个没有公因式的多项式的乘积：其中一个多项式可以表示：其中一个多项式可以表示：其中一个多项式可以表示：其中一个多项式可以表示：其中一个多项式可以表示：其中一个多项式可以表示：其中一个多项式可以表示为一次因式..kxa.；而另一个多项式可以表示为；而另一个多项式可以表示为；而另一个多项式可以表示为；而另一个多项式可以表示为；而另一个多项式可以表示为；而另一个多项式可以表示为；而另一个多项式可以表示为二次质因式..2lxpxq..，（240pq..）；即：......12QxQxQx..一般地：nmxnmxm.........，则参数nam..22bcaxbxcaxxaa...........则参数,bcpqaa..⑵则设有理函数. .. .P xQ x的分拆和式为：............122klPxPxPxQxxaxpxq.....其中........1122...kkkPxAAAxaxaxaxa................2112222222...llllPxMxNMxNxpxqxpxqxpxqMxNxpxq...............参数121212,,...,,,,...,lklMMMAAANNN.........由待定系数法（比较）求出⑶得到分拆式后项积即可求解【题型示例】求21xdxx..（构造法）【求解示例】......221111111111ln112xxxxdxdxxdxxxxxdxdxdxxxxCx................................第五节积分表的使用积分表的使用积分表的使用积分表的使用积分表的使用（不作要求）（不作要求）（不作要求）（不作要求）第五章定积分极其应用定积分极其应用定积分极其应用定积分极其应用定积分极其应用第一节定积分的概念与性质定积分的概念与性质定积分的概念与性质定积分的概念与性质定积分的概念与性质定积分的概念与性质○定积分的义（★）....01limnbiiaifxdxfxI.........（ f .x. 称为被积函数，f . . xdx称为被积表达式，x则称为积分变量，a称为积分下限，b称为积分上限，..,ab称为积分区间）○定积分的性质（★）⑴....bbaafxdxfudu...⑵..0aafxdx..⑶....bbaakfxdxkfxdx.......⑷（线性质）........1212bbbaaakfxkgxdxkfxdxkgxdx..........⑸（积分区间的可加性）......bcbaacfxdxfxdxfxdx.....⑹若函数..fx在积分区间.a,b. 上满足..0fx.，则..0bafxdx..；（推论一）若函数 f .x. 、函数、函数..gx在积分区间在积分区间在积分区间.a,b. 上满足....fxgx.，则....bbaafxdxgxdx...；（推论二）....bbaafxdxfxdx...○积分中值定理（不作要求）第二节微积分基本公式微积分基本公式微积分基本公式微积分基本公式微积分基本公式○牛顿-莱布尼兹公式（★）（定理三）若果函数..Fx是连续函数..fx在区间..,ab上的一个原函数，则......bafxdxFbFa...○变限积分的导数公式（★）（上导―下）..............xxdftdtfxxfxxdx...................【题型示例】求21cos20limtxxedtx...【求解示例】..221100coscos2002limlim解：ttxxxLxdedtedtdxxx.........高等数学期末复习资料第9 页（共9 页）........2222221coscos000cos00coscos0cos010sinsinlimlim22sinlim2cossin2sincoslim21limsincos2 sincos21122xxxxxLxxxxxxeexxexxdxedxxxexexxexxxee.......................................第三节定积分的换元法及部定积分的换元法及部定积分的换元法及部定积分的换元法及部定积分的换元法及部定积分的换元法及部定积分的换元法及部定积分的换元法及部○定积分的换元法（★）⑴（第一换元法）........bbaafxxdxfxdx......................【题型示例】求20121dxx..【求解示例】....222000111121ln212122121ln5ln5ln122解：dxdxxxx...............⑵（第二换元法）设函数....,fxCab.，函数..xt..满足：a．,...，使得....,ab......；b．在区间．在区间．在区间..,..或..,..上，....,ftt.......连续则：......bafxdxfttdt............【题型示例】求40221xdxx...【求解示例】..221210,43220,1014,332332311132222113111332223522933解：ttxxxtxttxdxdxtxttdttdttxt........................................⑶（分部积法）........................bbaabbbaaauxvxdxuxvxvxuxdxuxdvxuxvxvxdux..............○偶倍奇零（★）设....,fxCaa..，则有以下结论成立：⑴若....fxfx..，则....02aaafxdxfxdx....⑵若....fxfx...，则..0aafxdx...第四节定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用（不作要求）第五节定积分在物理上的应用定积分在物理上的应用定积分在物理上的应用定积分在物理上的应用定积分在物理上的应用定积分在物理上的应用定积分在物理上的应用（不作要求）第六节反常积分（不作要求）（不作要求）（不作要求）（不作要求）如：不定积分公式如：不定积分公式如：不定积分公式如：不定积分公式如：不定积分公式21arctan1dxxCx....的证明。
高数期末复习知识点
高数期末复习知识点
1. 函数的性质：
⑴单调性：f(x)在x上有定义，对x上的。
若f()f(),表示f(x)在x上单调递增。
⑵奇偶性：在定义域上
若f()=f(-x),表示f(x)为偶函数（关于y轴对称）。
若f()=-f(-x),称f(x)为奇函数（关于原点对称）。
⑶周期性：f(x)在x上加定义，t为非0常数，x及x+t为x上数。
若f()=f(x+t),称f(x)为周期为t的函数。
周期函数可以存有很多个周期，通常把最轻正周期称作周期。
18. 分段函数在分段点的连续性：计算分段点处的左右极限。
19. 连续函数运算的性质：
i、连续函数在定义域内的和差积商（分母不为0）仍是连续函数
ii、初等函数在其定义域内已连续。
iii、连续函数经有限次复合仍是连续函数。
iv、在定义域内已连续且单调的函数的反函数在对应定义域内已连续。
20. 闭区间上连续函数的性质：
i、存有界定理：闭区间上连续函数必有界。
ii、最值定理：闭区间上连续函数必有最大值m和最小值m。
iii、多值定理：设c介乎m，m之间，在闭区间内存有x使f(x)=c。
iv、零点定理：闭区间上连续函数在端点处异号，则在区间内至少存在一个x使得f(x)=0 。
高数期末复习总结
高数期末复习总结一、函数与极限1. 函数函数是一种特殊的关系，它将集合中的每个元素对应到另一个集合中的唯一元素上。
函数一般用f(x)或者y来表示，其中x是自变量，y是因变量。
2. 极限极限是研究函数收敛性与连续性的重要概念。
对于函数f(x)，当自变量x无限接近于某个值a时，因变量f(x)的值趋向于一个确定的值L，即lim(x->a)f(x)=L。
3. 极限的性质- 唯一性：如果极限存在，则极限值唯一。
- 有界性：有界数列必有收敛子数列。
- 保号性：如果数列收敛于非零数L，则数列的绝对值保持与L同号。
4. 极限的运算法则- 四则运算：函数的和、差、积、商的极限等于各个函数极限的和、差、积、商的极限。
- 复合函数：复合函数的极限等于函数的极限的复合。
- 函数与常数的乘积：函数与常数的乘积的极限等于函数的极限与常数的乘积的极限。
5. 无穷大与无穷小无穷大是指极限趋向于无穷大的函数，无穷小是指极限趋向于零的函数。
6. 连续性函数在某一点连续是指函数在该点的极限等于函数在该点的值。
如果函数在一个区间内的每个点都连续，则称函数在该区间上连续。
7. 中值定理中值定理是微积分中重要的定理，它包括了拉格朗日中值定理、柯西中值定理和罗尔中值定理。
这些定理揭示了函数在一定条件下存在某一点满足特殊性质。
二、导数与微分1. 导数导数描述了函数在某一点附近的变化率。
函数f(x)在点x=a处的导数用f'(a)表示，它等于函数在该点处的切线的斜率。
2. 导数的计算法则- 基本公式：导数的基本公式包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数的导数。
- 四则运算：两个函数的和、差、积、商的导数等于各个函数导数的和、差、积、商的导数。
- 复合函数：复合函数的导数等于外函数的导数乘上内函数的导数。
3. 高阶导数高阶导数是指导数的导数。
如果函数f(x)的导数存在，我们可以继续对导数求导，得到2阶导数、3阶导数等。
数学期末复习重点整理
数学期末复习重点整理一、代数1.1 一次函数与二次函数1.1.1 一次函数的性质和表示法1.1.2 二次函数的性质和表示法1.2 等差数列与等比数列1.2.1 等差数列的性质和通项公式1.2.2 等差数列的前n项和公式1.2.3 等比数列的性质和通项公式1.2.4 等比数列的前n项和公式1.3 指数与对数1.3.1 指数的运算性质和简化计算1.3.2 对数的运算性质和简化计算二、几何2.1 直线与曲线2.1.1 直线的性质和表示法2.1.2 曲线的性质和表示法2.2 三角形2.2.1 三角形的性质和分类2.2.2 三角形的内角和外角性质 2.3 平行线与比例2.3.1 平行线的判定和性质2.3.2 比例的性质和运用三、概率与统计3.1 概率3.1.1 事件与样本空间3.1.2 概率的基本原理和运算性质 3.1.3 条件概率和独立事件3.2 统计3.2.1 数据收集和整理3.2.2 数据的表示和分析3.2.3 抽样与推断四、函数与图像4.1 基本函数的性质与运算4.1.1 常数函数、线性函数、二次函数等基本函数 4.1.2 基本函数的图像特征4.2 反函数与复合函数4.2.1 反函数的定义与性质4.2.2 复合函数的定义与性质4.3 图像的平移、翻折与缩放4.3.1 图像的平移与翻折规律4.3.2 图像的缩放与比例关系五、解析几何5.1 点、直线与平面的位置关系5.1.1 平面与直线的相交关系5.1.2 点到直线的垂直距离和线段5.2 二次曲线与轨迹5.2.1 椭圆、双曲线、抛物线的定义和性质5.2.2 点的轨迹的求解5.3 空间几何体的性质与计算5.3.1 空间几何体的表面积和体积计算5.3.2 空间几何体的相似关系和比例计算六、微积分6.1 函数的极限与连续性6.1.1 极限的定义与性质6.1.2 无穷大与无穷小的概念6.2 函数的导数与微分6.2.1 导数的定义与性质6.2.2 高次函数的导数计算6.3 积分与定积分6.3.1 积分的定义与性质6.3.2 定积分的计算和应用以上为数学期末复习的重点整理，希望能帮助你复习和总结知识点。
高等数学期末复习---知识点归纳
微分方程知识点：微分方程的相关概念（常微分方程、微分方程的解、通解、特解、通解所含任意常数的个数、）1、下列方程中（ ）是常微分方程。
A. 222a y x =+ B. 0)(arctan =+x edx d y C. 02222=∂∂+∂∂yux u D. 22y x y +='' 2、下列方程中（ ）是二阶微分方程。
A.022=+'+''x y x yB.3223)(x y x y =+'C.03=+''+'''y y yD.x y y sin 2=-'3、微分方程()()250xyy x y y y ''''+-=的阶数是 。
4、微分方程20y y x '''+-=的通解所含任意常数的个数为 。
5、微分方程0)67(=+-dy dx y x 的阶数是__________。
知识点：一阶微分方程（通解、特解） 求下列微分方程的通解 6、22cos y y x x x'-= 7、ln 0xy y y '-=求一阶微分方程的特解（先求通解，再定常数）8、02,|1x y xy y ='==9、⎩⎨⎧=='=-002x yx y e y10、yxdx dy -=，1=x 时，3=y知识点：二阶常系数齐次线性微分方程（通解、特解）11、若方程0=+'+''qy y p y （q p ,均为实常数）有特解x x e y e y -==21,，则p 等于__________，q 等于 __________。
12、若某个二阶常系数线性齐次微分方程的通解为x x e C e C y -+=21，其中21,C C 为独立的任意常数，则该方程为 __________。
13、若方程0=+'+''qy y p y （q p ,均为实常数）有特解x x e y e y -==231,，则p 等于__________，q 等于 __________。
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定积分及其空间几何应用
§1.定积分的概念
一、曲边梯形的面积
由曲线、直线及围成的图形，称为曲边梯形。
分割、取近似、求和、取极限。
二、定积分的定义
，
其中叫做被积函数, 叫做被积表达式, 叫做积分变量, 叫做积分区间,叫做积分下、上限。
叫做积分和。
1.极限与分法和取法无关
2.。
3.。
4.。
三、定积分的几何意义
表示区间上轴上下方的曲边梯形面积之差.(上的曲边
梯形面积的代数和)
四、定积分存在定理
Th1设,则在上可积。
Th2设在上有界,且只有有限个间断点，则在上可积。
Th3(*)设在上单调有界,则在上可积。
§2.定积分的性质
P1：。
P2：, (为常数)。
P3(有限可加性)：。
P4：。
P5: 设则。
推论1设, 则,。
推论2。
推论3设,但不恒为0, 则
，。
P6(估值不等式):设M及m分别是函数在区间上的最大值及最小值,则。
P7(定积分中值定理)：设,则。
称为在区间上的平均值。
§3.微积分基本公式
一、引例
猜测
二、积分上限函数
设，则，于是在上可积.令，称为变上限积分
.变下限积分
变限积分
三、积分上限函数的导数
()(定积分中值定理)
.
Th1 设,则在上可导，且
.
推论
四、原函数存在定理
Th2 闭区间上的连续函数一定存在原函数.。