黄河小浪底调水调沙问题
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黄河小浪底调水调沙问题
一、问题的提出
2004年6月至7月黄河进行了第三次调水调沙实验，特别是首次由小浪底、三门峡和万家寨三大水库联合调度，采用接力式防洪预泄放水，形成人造洪峰进行调沙实验获得成功，整个试验期为20多天，小浪底从6月19日开始预泄放水，直到7月13日结束并恢复正常供水。小浪底水利工程按设计拦沙量为亿m3，在这之前，小浪底共积泥沙达亿t。这次调水调沙试验一个重要目的就是由小浪底上游的三门峡和万家寨水库泄洪，在小浪底形成人造洪峰，冲刷小浪底库区沉积的泥沙，在小浪底水库开闸泄洪以后，从6月27日开始三门峡水库和万家寨水库陆续开闸放水，人造洪峰于6月29日先后到达小浪底，7月3日达到最大流量2700m3/s，使小浪底水库的排沙量也不断增加。表1是由小浪底观测站从6月29日到7月10日检测到的试验数据。
现在，根据试验数据建立数学模型研究下面的问题：
（1）给出估计任意时刻的排沙量及总排沙量的方法；
（2）确定排沙量与水流量的关系。
二、模型的建立与求解
问题一的模型
1、观测时间（时刻）的确定
以6月29日0时开始计时，各观测时刻（离开始计时的时间）分别为：
24214123600,,,),( i i t i ，
其中，计时单位s 。
2、排沙量的确定
记第),,,(2421 i i 次观测时水流量为i v ，含沙量为i c ，则第i 次观测时的排沙量i i i v c y 。其数据如下表2。
表2 i t 时刻对应的排沙量 排沙量单位：102kg
3、模型建立
在上述已经知道24对数据的基础上，建立任意时刻的排沙量的函数，可以通过插值或拟合的方法来实现。考虑到实际中的排沙量应该是时间的连续函数，顾采用三次样条函数进行插值。
在求出三次样条函数)(t y y 的基础上，通过积分可以得到总的排沙量为：
24
1
t t dt t y z )(。
4、程序
wv=[1800 1900 2100 2200 2300 2400 2500 2600 2650 2700 2720 2650 ... 2600 2500 2300 2200 2000 1850 1820 1800 1750 1500 1000 900];
sth=[32 60 75 85 90 98 100 102 108 112 115 116 118 120 118 105 ...
80 60 50 30 26 20 8 5];
i=1:24;
t=(12*i-4)*3600;
y=wv.*sth;
t1=t(1);
t2=t(end);
pp=csape(t,y'); %或采用三次B样条插值：pp=spapi(4,t,y');两种结果一样xsh= %求得插值多项式的系数矩阵，每一行是一个区间上的多项式系数TL=quadl(@(tt)ppval(pp,tt),t1,t2)
5、结果：
xsh =[
+000 +004
+000 +005
+005
+005
+005
+005
+005
+005
+005
+005
+005
+005
+005
+005
+005
+000 +005 +000 +005 +005 +004 +004 +004 +004 +003]
TL =+011
即：当),(11t t x 时，其插值多项式为：
4-6-12105.76 )(1.446)(103.145-)(10-2.648 12131t t t t t t y ；
当),(32t t x 时，其插值多项式为：
5-6-12101.14 )(1.160)(103.488-)(10-1.152 22232t t t t t t y ；
……
当),(2423t t x 时，其插值多项式为：
3-6-1108.0 )(395.)(105.114)(104.986 232233230t t t t t t y ；
总排沙量为11108441 .TL kg 。 问题二的模型
1、分析：
对于排沙量与水流量的关系，只能从已有的24对数据对中找，从这些数据中，我们初步发现，开始时，排沙量是随着水流量的增加而增加的，而后又随着水流量的减少而减少，那么，这种关系是否一定是线性关系呢这需要我们进一步的研究，下面先画出他们二者之间的散点图。如下:
500
10001500200025003000
020
40
60
80
100
120
考虑到这并非是线性关系，于是，将整个时间段分成两段来考虑，第一段是从开始到水流量最大值2720m 3/s （这一段为增长过程），第二段为从水流量的最大值到结束。如下两图所示：
1800
2000
2200
2400
2600
2800
500
10001500200025003000
020
40
60
80
100
120
从散点图可以看出：第一阶段基本上满足线性关系，而第二阶段并没有明显的线性关系，准备采用高次多项式拟合来实现，可以分别取二次、三次、四次多项式拟合，然后比较各模型的剩余标准差的大小，采用标准差小的模型来作为第二阶段的拟合函数。
2、程序：
wv=[1800 1900 2100 2200 2300 2400 2500 2600 2650 2700 2720 2650 ... 2600 2500 2300 2200 2000 1850 1820 1800 1750 1500 1000 900]; sth=[32 60 75 85 90 98 100 102 108 112 115 116 118 120 118 105 ... 80 60 50 30 26 20 8 5]; i=1:24; t=(12*i-4)*3600; y=wv.*sth; subplot(1,2,1) plot(wv(1:11),y(1:11),'*') subplot(1,2,2)