工程力学—第十一章弯曲应力

即危险点。
二、强度条件及其工程应用
（2）强度校核
由式
max
M ymax IZ
得，a，b，c三点处的弯曲正应力分别为：
c，a
MD ya IZ
(5.56103 N m) (0.095m) 5.98107 Pa 59.8MPa 8.8410-6 m4
t，b
MD yb IZ
(5.56103 N m) (0.045m) 2.83107 Pa 28.3MPa 8.8410-6 m4
二、强度条件及其工程应用
应用实例1
一承受均布载荷的梁，其跨度为L＝200mm，梁截面的直径
为d=25mm，许用弯曲应力［ ］＝150MPa。试决定沿梁每
米长度上可能承受的最大载荷q为多少？
RA
A
q
l
解： 求最大弯矩
M max
1 8
ql2
RB
B
确定梁的抗弯截面模量
WZ
d 3 32
3.14 0.0253 32
截面B（最大负弯矩）两截面均为危险截面。
二、强度条件及其工程应用
由弯矩图及截面D、截面B的弯曲正应力分布图知截面D的 a点及截面B的d点处均受压；而截面D的b点及截面B的c点均 受拉。
B D
由于 MD MB ，ya yd ，
因此 a d
即 c，max a
概言之，a，b与c三点处为
可能最先发生破坏的部位，
荷集度q=1000kN/m，许用应力 ＝140 MPa ，试确定轴径。
解：画出轴的计算 简图及弯矩图
计算可知 FA=FD=700kN
Mmax=455kN.m
MB=MC=210kN.m
二、强度条件及其工程应用
根据式 max
M max Wz
及
d3
Wz 32
弯曲正应力强度条件为
32M
d3
➢脆性材料梁强度条件公式：
max
M ymax IZ
（11－22）
二、强度条件及其工程应用
工程应用方法（解决三类问题）
➢ 校核强度
已知梁（杆）截面尺寸、许用应力及所受外 力时，判断梁（杆）是否能安全工作。
即
max
M WZ
max
（塑性材料）
或
max
M ymax IZ
（脆性材料）
心轴，空心轴内外径比为0.6。求空心轴和实心轴的重量
比。
Ｄ1 解：（1）确定空心轴尺寸
Ｄ
ｄ1
由
32
maaxx
D13 (1
M Wz
0.64 )
7.9
104
D1 210 mm
（2）比较两种情况下的重量比(面积比)：
A空 A实
4
D12 (1 D2
2)
2102 (1 0.62 ) 2002
0.7
1.533106 m3
M
1 ql2 8
()
由强度条件知： M max WZ
即
1 q 0.22 150106 1.533106
8
解得 q 46.8 103 N / m 46.8kN / m
应用实例2
圆形截面简支梁，受力如图所示，已知许用应力 []=12Mpa，直径为d，若直径增加一倍，则载荷q最大
第二节 对称弯曲正应力
❖ 静力学平衡方面
横截面上内力系为垂直于 M 横截面的空间平行力系。
这一力系向坐标原点O简化， 得到三个内力分量。
N dA 0
A
M y zdA 0
A
M z ydA M
A
dN dA dM y zdA dM z ydA
zM
O
dA x
dA
y
z
y
第二节 对称弯曲正应力
二、强度条件及 其工程应用
二、强度条件及其工程应用
说 明
➢ 在一般情况下，梁内同时存在弯曲Fra Baidu bibliotek应力与弯曲 切应力，并沿截面高度非均匀分布；
➢ 对于一般细长的非薄壁截面梁， max max 故通
常只需按弯曲正应力强度条件进行分析即可。 （请同学课下参照书上例题加以证明）
二、强度条件及其工程应用
由此得
d
3
32M
可知，圆轴的
于是有 取
32(455103 N m)
d1 3 (140106 Pa) 0.321m
d2
3
32(210103 N m)
(140106 Pa)
0.248 m
d1 320 mm d 2 250 mm
二、强度条件及其工程应用
应用实例4
下图a所示外伸梁，用铸铁制成，横截面为倒T字形， 并承受集度为q的均布载荷作用。试校核梁的强度。
工程允许误差为小于或等于5％。
二、强度条件及其工程应用
➢ 选择截面形状及尺寸
已知梁（杆）所受外力及许用应力时，根据强 度条件确定梁（杆）所需截面形状及尺寸。
即
Wz
M max
二、强度条件及其工程应用
➢ 确定承载能力 已知梁（杆）截面尺寸和许用应力时，确定梁
（杆）所能承受的许可载荷：
M max Wz
d
d
dx
M
M
O1
O2
b1
b2
直梁纯弯曲时纵向线段的线应变与它到中性层的距离成正比。
第二节 对称弯曲正应力
❖ 物理方面 （ Hooke 定律）
E
由上推导 y
M
中性轴 z
O
x
故 E y
y
结论：直梁纯弯曲时横截面上任意一点的弯曲正应力，
与它到中性层的距离成正比。
即沿截面高度，弯曲正应力与正应变均沿截面高度线性变化， 在中性轴各点处为零，在梁截面最外边缘各点处取得最大值。
第二节 对称弯曲正应力
❖ 中性层：根据平面假设，当梁弯曲时，部分 “纤维”伸长，部分“纤维”缩短，由伸长到 缩短区，其间必存在一长度不变的过渡层称为 中性层。
❖中性轴： 中性层与横 截面的交线。
综上所述，纯弯曲时梁的所有横截面仍保持为平面，并绕中 性轴作相对转动，而所有纵向“纤维”则均处于单向受力状 态。
第一节 引言
对称弯曲：常见的梁往往至少具有一个对称面， 而外力则作用在该对称面内。梁的变形对称于 对称面的变形形式称为对称弯曲。
第二节 对称弯曲正应力
问题的提出：
P
➢如何简化出火车车轮轴的计算模型? ➢如何计算火车车轮轴内的应力? ➢如何设计车轮轴的横截面?
第二节 对称弯曲正应力
平面弯曲( Plane Bending)
P a
CA Q
C A P
M A
C
P a
BD P
B Dx
➢纯弯曲( Pure Bending) ： 弯矩为常量，剪力为零
（如图中AB 段 ）
P
BD x
Pa
第二节 对称弯曲正应力
实验现象— 纯弯曲时的 变形特征
（1）各纵向线段弯成弧线，且部分纵向线段伸长， 部分纵向线段缩短。
（2）各横向线相对转过了一个角度,仍保持为直线。 （3）变形后的横向线仍与纵向弧线垂直。
第二节 对称弯曲正应力
M
M
❖ 变形的几何关系
z x
y
中性轴(Neutral Axis)
中性层(Neutral Surface)
第二节 对称弯曲正应力
❖ 变形的几何关系
第二节 对称弯曲正应力
b1'b2' yd
b1b2 dx O1O2 O1'O2' d
( y)d d y
t，c
MB yc IZ
(3.13103 N m) (0.095m) 3.36107 Pa 33.6MPa 8.8410-6 m4
由此得
c，max a＝59.8MPa c t，max c＝33.6MPa t
可见，梁的弯曲强度符合要求。
二、强度条件及其工程应用
小 结
工程力学
彭雅轩 2020年4月3日
第十一章 弯曲应力
对称弯曲正应力 梁的强度条件 梁的合理强度设计
第一节 引言
弯曲切应力：梁弯曲时 横截面上的切应力。
弯曲正应力：梁弯曲时 横截面上的正应力。
组合变形:两种或两种以上的基本变形形式的组合。 常见的组合变形: ❖弯曲与轴向拉压组合， ❖弯曲与扭转组合， ❖以及弯曲、轴向拉压与扭转的组合。
➢了解强度失效的类型及失效的原因，使学生对变形 与材料的物性关系有更进一步的认识。
➢为充分发挥材料的力学性能，在弯曲变形中，对由 塑性材料构成的构件采用对称截面，对由脆性材料 构成的构件，采用非对称截面，以使最大拉应力与 最大压应力 同时达到许用 拉应力与许用压应力。
已知载荷集度q=25 N/mm，截面形心离底边与顶边的距
离分别为 y1=45mm与y2=95mm，惯性
矩
Iz 8.84 10 -6 m,4
许用拉应力 t 35 MPa ，许用压应力 c 140 MPa 。
二、强度条件及其工程应用
解（1）危险截面与危险点判断 梁的弯矩图如下所示，由图知截面D（最大正弯矩）、
可增加到多大？
q 0.5kN / m
解： 求最大弯矩
M max
1 8
ql 2
A
4m B
M max
1 8
0.5 42
1kN m
由强度条件知：Mmax WZ
WZ
d 3 32
1 103 12 106
d 3
32
解得
d 3
32 1 103 3.14 12 106
0.095m 95mm
若直径增加一倍，则：
第二节 对称弯曲正应力
纯弯曲时的基本假设
➢平截面假设( Plane Assumption )
(a) 变形前为平面的横截面 变形后仍为平面
(b) 仍垂直于变形后梁的轴线
横截面上无剪应力
➢ 单向受力假设：梁内各纵向“纤维”仅承受轴向拉
应力或压应力。纵向纤维间无正应力即纵向纤维无
挤压
横截面上只有轴向正应力
WZ
D3 32
2d 3
32
3.14 2 0.0953
32
0.673103 m3
1 8
ql 2
WZ
即
1 q 42 0.673103 12106 8
载荷q变为
q 4038N / m 4.038kN / m
二、强度条件及其工程应用
应用实例3
图 a 所示圆截面轴AD，中段BC承受均布载荷作用。已知载
y
代入式（3）
M
z
A
ydA
M得
M ydA E y2 dA
A
A
而 A y 2 dA I Z
故 1 M
E Iz
纯弯曲时横截面上弯曲正应力的计算公式为 My
Iz
➢公式应用条件： max P
第二节 对称弯曲正应力
[例1] 如图所示的悬臂梁，其横截面为直径等于200mm
的实心圆，试计算轴内横截面上最大正应力。
30 kN·m Ｄ
L
M
30 kN·m
分析：纯弯曲
max
M Wz
解：（1）计算Wz
Wz
D3
32
2003 109
32
7.9104
m3
（2）计算 max
max
M Wz
30 103 7.9 104
38.2 MPa
第二节 对称弯曲正应力
[例2] 在相同载荷下，将例1中实心轴改成max 相等的空
❖ 静力学平衡方面
N dA 0 （1）
A
M y zdA 0 （2） A
M z ydA M （3）
A
将应力表达式 E y 代入式（1），得
N
A
dA
E
A
ydA
0
则 Sz ydA 0
yc
Sz A
0
A
该式表明中性轴通过横截面形心
第二节 对称弯曲正应力
❖ 静力学平衡方面
将
E
二、强度条件及其工程应用
解题一般步骤
➢ 用静力学平衡条件求出外力；
➢
画们出的剪数力值图，和 以弯便矩确图定并可确能定危险FQ面m。ax、M
作用面以及它
max
➢ 根据危险面上内力的实际方向，确定应力分布以及 max 的作用点，综合考虑材料的力学性能，确定可能的危
险点。
➢ 根据危险点的应力状态，区分脆性材料与塑性材料， 选择合适的设计准则，解决不同类型的强度问题即强 度校核、截面形状与尺寸设计、确定许用荷载。
房屋毁坏
一、失效与许用应力相关概念
桥梁损坏 建筑物损坏 机械构件损坏
一、失效与许用应力相关概念
强度失效形式：
➢ 脆性断裂—对脆性材料，当其正应力达到强度极限
σb时，会引起断裂而失效；
➢ 塑性屈服—对塑性材料，当其正应力达到屈服极限
σs时，会产生显著的塑性变形而失效。
一、失效与许用应力相关概念
极限应力：通常将强度极限与屈服极限统称为极限
应力，并用σu表示；
工作应力：根据分析计算所得构件之应力；
许用应力：对于由一定材料制成的具体构件，工作
应力的最大容许值，并用［σ］表示；
许用应力值与极限应力的关系：
＝ u
n 式中，n为大于1的因数，称为安全系数。塑性材料的安 全系数通常为1.5－2.2；脆性材料的安全系数通常为3.0－ 5.0，甚至更大。
弯曲正应力强度条件
➢ 塑性材料梁强度条件一般公式：
max
M Wz
max
（11－20）
式中： max —梁内的最大弯曲正应力
—材料在单向受力时的许用应力
M —梁某截面弯矩最大值
Wz —抗弯截面系数
二、强度条件及其工程应用
➢塑性材料等截面直梁强度条件公式：
max
M max Wz
（11－21）
4
由此可见，载荷相同、 max相等的条件下，
采用空心轴节省材料。
第十一章 弯曲应力 第三节 梁的强度条件
重点要求：
➢ 失效的分类及相关概念
➢ 强度条件及其工程应用
一、失效与许用 应力相关概念
一、失效与许用应力相关概念
失效——
由于材料的力学行为而使构件 丧失正常功能的现象.
一、失效与许用应力相关概念