运动边界的电磁场边界条件
【精品】第八讲：麦克斯韦方程组、电磁场的边界条件
第八讲：麦克斯韦方程组、电磁场的边界条件2.6麦克斯韦方程组2.7电磁场的边值关系1、了解麦克斯韦方程组的建立过程，掌握它的基本性质；2、了解边界上场不连续的原因，能导出电磁场的边值关系；3、掌握电磁场方程微分形式和边界形式的联系与区别。
重点：1)麦克斯韦方程组的基本性质;2)电磁场的边值关系 难点：电磁场切向边值关系的推导 讲授法、讨论 2学时2.6麦克斯韦方程组（Maxwell ’sEquations ）一、麦克斯韦方程1865年发表了关于电磁场的第三篇论文：《电磁场的动力学理论》，在这篇论文中，麦克斯韦提出了电磁场的普遍方程组，共20个方程，包括20个变量。
直到1890 年，赫兹才给出简化的对称形式：00001(1)(2)0(3)(4)BE E tE B B J tρεμμε⎧∂∇⋅=∇⨯=-⎪∂⎪⎨∂⎪∇⋅=∇⨯=+⎪∂⎩实验定律3、法拉第电磁感应定律4、电荷守恒定律12314dq dq dF RR πε=S D dS q ⋅=⎰0l E dl ⋅=⎰34JdV R dB R μπ⨯=0SB dS ⋅=⎰()0=⋅∇B CH dl I ⋅=⎰()JH =⨯∇tB E ∂∂-=⨯∇ 0=∂∂+⋅∇tJ ρ 0J ∇⋅≡对矛盾的解决麦克斯韦理论稳恒况缓变情况2、毕奥－沙伐尔定律1、库仑定律()/ερ=⋅∇E()=⨯∇E t S d B dt d S ∂⎰⋅∂-=Φ-= ε0S QJ dS t ∂⋅+=∂⎰→上式即为真空中的麦克斯韦方程组，其中（2）（4）含有对时间的偏导数，对应 运动方程，（1）（3）为约束方程。
二、麦克斯韦方程组的基本性质 1、线性性麦克斯韦方程组是一组线性方程，表明场服从迭加原理。
2、自洽性方程组各个方程彼此协调，且与电荷守恒定律协调。
如（2）式和（3）式一致：由（2）式有：()0=∂⋅∂∇-=⨯∇⋅∇tBE⇒C B =⋅∇ ，考虑到静磁时0=⋅∇B,所以取0=C 。
电磁场的边界条件
1)理想介质是指电导率为无穷大的导体，2)电场强度和磁感应强度均为零。
3)表面上，一般存在自由电荷和自由电流。
设区域2为理想导体，区域1为介质，有 ,,均为零，得nD 2tE 2n B 2t H 2注意：理想介质和理想导体只是理论上存在。
在实际应用中，某些媒质的电导率极小或极大，则可视作理想介质或理想导体进行处理。
电磁场的边界条件可总结归纳如下：1)在两种媒质分界面上，如果存在面电流，使 H 切向分量不连续，其不连续量由式 确定若分界面上不存在面电流，则 H 的切向分量是连续的。
2)在两种媒质的分界面上，E 的切向分量是连续的。
3)在两种媒质的分界面上，B 的法向分量是连续的。
4)在两种媒质的分界面上，如果存在面电荷，使 D 的法向分量不连续，其不连续量由 确定。
若分界面上不存在面电荷，则D 的法向分量是连续的。
n B ⋅= 1Sn H J ⨯= t SH J =0n B =⇒1Sn D σ⋅=0t E =⇒⇒10n E ⨯=⇒n SD σ= 12()Sn H H J ⨯-=12()n D D σ⋅-=：积分形式：积分形式微分形式：微分形式：电磁场的基本方程和边界条件12()0n B B ⋅-=B ∇⋅= 积分形式：微分形式：积分形式：12()0n B B ⋅-=D ρ∇⋅= 0SB d S ⋅=⎰A SD d S q⋅=⎰A 微分形式：基本方程10n B ⋅= 12()n D D σ⋅-=12()0n D D ⋅-=10n D ⋅= 边界条件积分形式。
电磁场的源与边界条件
q 所趋近的极限值就定义为点 P 的电 V
(r ) lim
式中 r 是源点的位失。
V 0
q dq V dV
2、 电荷面密度 在实际问题中，常会遇到电荷分布在薄层内的情况，如果薄层的厚度趋近于零，可近似 认为电荷分布在曲面上， 可以用电荷面密度 S (r ) 来描述其分布。 设曲面 S 上任一面元 S 内所包围的电荷量为 q ，则 S (r ) 定义为
3、磁感应强度 B 的散度、旋度和边界条件 （1）磁感应强度 B 的散度 根据磁通连续性原理的微分形式可知恒定磁场为无散场，故
B0
磁通连续性原理表明自然界无孤立的磁荷存在。上式即为麦克斯韦第二方程的微分形式。 （2）磁感应强度 B 的旋度 根据安培环路定理可得恒定磁场的磁感应强度 B 的旋度为
二、
电流及电流分布
电荷做定向运动形成电流，通常以电流强度来描述其大小。在电磁理论研究中，常用到 体电流模型，面电流模型和线电流模型。 1、 体电流 电荷在某一体积内定向流动形成的电流成为体电流。体电 流在导体内某一截面的分布用电流密度矢量 J 来描述，其定义 为：空间任一点 J 的方向是该点正电荷运动的方向， J 的大小 等于通过该点与 J 垂直的单位面积的电流，即
Nqd dS P dS P endS
因此，穿出闭合面 S 的正电荷为 P dS 。与之对应，留在闭合面 S 内的极化电荷量为
S
q p P dS PdV
S V
又由于
qP P dV
V
故有
P P
（2）极化强度 P 的旋度 对于各向同性和线性介质，有 P e 0 E ，其中合成电场强度 E 为自由电荷产生的外 电场 E 0 和极化电荷产生的附加电场 E 的叠加，由于两种电场强度的旋度都为零，故
电磁场的源与边界条件
根据安培环路定理可得恒定磁场的磁感应强度 B 的旋度为
当有磁介质存在时，上式变为
B 0J B 0 (J JM )
式中 J 为传导电流密度， J M 为磁化电流密度。
（3）磁感应强度 B 的边界条件 将积分形式的麦克斯韦第三方程应用于如图 4 所示的圆
柱，易得
en (B1 B2 ) 0 上式表明磁感强度的法向分量是连续的。
球的极限当带电体的尺寸相对于观察点至带电体的距离可以忽略时，就可以认为电荷分布于
带电体中心上，即将带电体抽象为一个几何点。点电荷的电荷密度分布可以用数学上的 (r )
来描述。
二、 电流及电流分布
电荷做定向运动形成电流，通常以电流强度来描述其大小。在电磁理论研究中，常用到 体电流模型，面电流模型和线电流模型。 1、 体电流
移矢量的切向分量是不连续的（两种介质的 通常不等）。
3、磁感应强度 B 的散度、旋度和边界条件
（1）磁感应强度 B 的散度 根据磁通连续性原理的微分形式可知恒定磁场为无散场，故 B0
磁通连续性原理表明自然界无孤立的磁荷存在。上式即为麦克斯韦第二方程的微分形式。 （2）磁感应强度 B 的旋度
即
故有
(P1 P2 ) enS SPS
en (P1 P2 ) SP 上式表明极化强度的法向分量是不连续的。一般情况下，其切向分量也不连续。
7、磁化强度 M 的散度、旋度和边界条件
7/9
电磁场与电磁波
第二章 电磁场的基本规律
学习报告
（1）磁化强度 M 的散度
对于各向同性和线性磁介质， M m H ，由于 H 的散度为零，故
自然界中存在两种电荷：正电荷和负电荷。带电体上所带的电荷是以离散的方式分布的， 任何带电体的电荷量都是基元电荷的整数倍，但在研究宏观电磁现象时，人们关注的是大量 微观带电粒子的整体效应，因此可以认为电荷是以一定形式连续分布的，并用电荷密度来描 述电荷的分布。 1、 电荷体密度
电磁场理论中的边界条件与边值问题解析研究
电磁场理论中的边界条件与边值问题解析研究引言：电磁场理论是物理学中的重要分支，广泛应用于电磁波传播、电路分析等领域。
其中，边界条件和边值问题是电磁场理论中的核心概念，对于解析研究电磁场的性质和行为具有重要意义。
本文将就电磁场理论中的边界条件与边值问题进行探讨。
一、边界条件的概念与分类边界条件是指电磁场在两个不同介质的交界面上需要满足的条件。
根据边界条件的不同形式，可以将其分为电场边界条件和磁场边界条件。
1. 电场边界条件电场边界条件是指电场在介质交界面上满足的条件。
其中，最基本的电场边界条件是法向分量的连续性条件，即电场的法向分量在两个介质交界面上的值相等。
此外，还有切向分量的连续性条件和切向分量的不连续性条件等。
2. 磁场边界条件磁场边界条件是指磁场在介质交界面上满足的条件。
与电场边界条件类似，磁场的法向分量在两个介质交界面上的值相等，即磁场的法向分量是连续的。
此外，磁场的切向分量也需要满足一定的条件，如切向分量的连续性条件和切向分量的不连续性条件等。
二、边值问题的解析研究边值问题是指在给定边界条件的情况下，求解电磁场的数学模型。
在电磁场理论中，边值问题的解析研究是十分重要的，可以帮助我们深入理解电磁场的行为和性质。
1. 边值问题的数学模型边值问题的数学模型是由麦克斯韦方程组和边界条件共同构成的。
通过求解这个数学模型，我们可以得到电磁场的解析解，从而揭示电磁场的基本特性。
2. 边值问题的解析方法边值问题的解析方法主要有分离变量法、格林函数法和辐射条件法等。
其中，分离变量法是应用最广泛的一种方法，它将电磁场分解为多个独立的分量，并通过求解每个分量的方程来得到整个电磁场的解析解。
格林函数法则是通过引入格林函数，将边值问题转化为积分方程的形式，从而求解电磁场的解析解。
辐射条件法则是在边界条件已知的情况下，通过辐射条件来求解电磁场的解析解。
三、边界条件与边值问题的应用边界条件与边值问题在电磁场理论的应用中起着重要的作用，可以帮助我们研究电磁波的传播、电路的分析等问题。
理论整理-电磁场的源与边界条件
D E
（3） 电位移矢量 D 的边界条件 利用积分形式的麦克斯韦第四方程可得
B t
en ( D1 D2 ) S
上式表明分界面上存在自由电荷面分布时，电位移矢量的法向分量是不连续的。 对于各向同性的介质，由于 D E ，且由于电场强度 E 的切向分量是连续的，故电位 移矢量的切向分量是不连续的（两种介质的 通常不等） 。
当存在时变的位移电流时，上式变为
H J
上式即为麦克斯韦第一方程的微分形式，表明磁 场的旋度源是传导电流和时变的位移电流。 （3）磁场强度 H 的边界条件 将麦克斯韦第一方程的积分形式应用到如图 5 所示的环路，可得磁场强度的边界条件为
D t
en ( H1 H 2 ) J S
dq d dV dt dt V 此方程即为电流连续性方程的积分形式。假定闭合面 S 所限定的体积 V 不随时间变化，上
S
J dS
式变为
S V
S
J dS
dq dV V t dt
应用散度定理， J dS JdV ，上式变为
5/9
学习资料
J S en lim
l 0
i di en l dl
面电流可以看作是体电流在某一方向线度趋近于 0 的 结果。 3、 线电流 分布与横截面积可以忽略的细线上的电荷沿细线定向流动所形成的电流称为线电流， 线 电流没有线电流密度矢量。长度元 dl 中流过电流 I ，则将 Idl 成为电流元。
6/9
学习资料
2017-9-25 周报 （姬应科）
电磁场与电磁波学习报告
为 p qd ， d 由负电荷指向正电荷。以 dS 为底， d 为斜高构成一个体积元 V dS d ，如 图 6 所示。只有电偶极子中心在 V 内的正电荷才穿出面元 dS 。设电介质中单位体积的分 子数为 N ，则穿出面元 dS 的正电荷为
电磁场的边界条件
2.7 电磁场的边界条件
第二章 电磁场的基本规律
二、理想导体表面上的边界条件
理想导体 E、D、B、H=0
n×H1=JS n×E1=0 n•B1=0 n•D1=ρS
n×(H1-H2)=JS n×(E1-E2)=0 n•(B1-B2)=0 n•(D1-D2)=ρS
2.7 电磁场的边界条件
第二章 电磁场的基本规律
一、边界条件的一般形式
磁场强度H的边界条件 1 2
H C
dl H1
l H2
l JS
N l
l (N n)l
n H1 h
H2 Δl
n×(H1-H2)=JS
2.7 电磁场的边界条件
第二章 电磁场的基本规律
电场强度E的边界条件
n×(E1-E2)=0
磁感应强度B的边界条件
S B dS B1nS B2nS 0 1
n
B1
ΔS h
n•(B1-B2)=0
2
B2
2.7 电磁场的边界条件
第二章 电磁场的基本规律
电位移矢分界面两侧，电场强度的切向分 量和磁感应强度的法向分量总是连续的；若分 界面上不存在面电流和面电荷，则磁场强度的 切向分量和电位移矢量的法向分量是连续的
带电粒子在磁场中运动的边界问题三角形边界
带电粒子在磁场中运动的边界问题三角形边界带电粒子在磁场中运动的边界问题，这个问题听起来好像很复杂，但是其实很简单。
就像我们小时候玩的跳绳一样，只要找到节奏，就能轻松地跳过去。
今天，我就来给大家讲讲这个问题的解决方法。
我们要明确一点：带电粒子在磁场中运动，就像是在跳绳的过程中，绳子在不停地旋转。
那么，我们要解决的问题就是：当粒子在旋转的绳子上跳跃时，它会不会掉下来？1.1 问题背景这个问题最早是由英国物理学家麦克斯韦提出的。
他在研究电磁场的时候，发现了一个奇怪的现象：当导体中的电流发生变化时，周围的磁场也会随之变化。
这个现象被称为电磁感应。
而带电粒子在磁场中运动，其实就是一种特殊的电流变化。
1.2 解决问题的方法要解决这个问题，我们就要用到一个叫做洛伦兹力的神奇力量。
洛伦兹力是磁场对带电粒子施加的一种力，它的方向总是垂直于粒子的速度和磁场的方向。
简单来说，就是让粒子在跳跃的过程中始终保持在一个固定的方向上。
2.1 洛伦兹力的产生那么，洛伦兹力是怎么产生的呢？其实很简单，就像我们在跳绳的时候，绳子会在我们跳跃的过程中不断地旋转。
同样地，当带电粒子在磁场中运动时，磁场也会不断地旋转。
这样一来，洛伦兹力就会随着粒子的运动而产生。
2.2 洛伦兹力的性质洛伦兹力有很多有趣的性质。
比如说，它只与粒子的速度和磁场的方向有关，与粒子的质量和距离无关。
这就意味着，无论带电粒子的质量有多大，只要它的速度和磁场的方向不变，洛伦兹力的大小也不会改变。
3.1 边界条件的确定现在我们已经知道了洛伦兹力的产生和性质，接下来就要确定边界条件了。
边界条件是指在问题的不同阶段之间，需要确定哪些变量是不变的。
对于带电粒子在磁场中运动的问题来说，边界条件就是要确定粒子的速度和磁场的方向。
3.2 解题过程有了边界条件之后，我们就可以开始解题了。
我们要根据洛伦兹力的性质，列出一个关于速度和磁场方向的方程组。
然后，通过求解这个方程组，就可以得到带电粒子在磁场中运动的轨迹。
电磁场的边界条件
也可以表示为标量形式：
可见， 的切向分量在不同的媒质分界面上不连续， H 与分界面上的传导电流面密度有关。
②、E 的边界条件
en
(E1 E2 ) 0 E E 1t 2t
结论： E 切向连续。
③ D 的边界条件
1
dv
n
D2
D1 h 0
D dS
s
2
电磁场的边界条件
1 什么是边界条件？
2 为什么要研究边界条件？ 3 如何讨论边界条件？
在两种不同媒质的分界面上，场矢量E, D, B, H
各自满足的关系，称为电磁场的边界条件。
在实际的电磁场问题中，总会遇到两种不
同媒质的分界面（例如：空气与玻璃的分界面、 导体与空气的分界面等），边界条件在处理电 磁场问题中占据着十分重要的地位。
或
B 1n B 2n D 1n D 2n
2.理想导体与介质的分界面，电导率 ， 假设I为介质，II为理想导体。 此时
E 2 0 , B 2 0, D 2 0, H 2 0
en en en en
H1 Js E1 0 B1 0 D 1 ρ s
dS )
由于
D t
有限，故 lim S
h 0
D t
dS 0
而 lim
h 0
J dS
s
h 0
lim
(J S )
h 0
lim
( J e p l h ) J s e p l
en ( H 1
H2) Js
H 1t H 2t J s
数
, ,
电磁场边界条件分析
5、电磁场边界条件分析为了分析液态金属流场和电磁场的相互耦合作用，我们现在对计算边界条件进行分析，以截面为正方形的管道面为例进行分析流体和壁之间的感应电流和感应磁场的分布情况。
对于如图所示有一定壁厚的管道，我们可对管道壁为导电壁和完全电绝缘壁两种情况进行分析。
（1）如果壁为完全电绝缘壁，当流体以如图所示的方向流动时，这种的导电的液态金属中的载流子必然会在洛伦磁力的作用下向平行于磁场方向的两壁运动，而这种定向运动的载流子必然会形成电流。
而电流向水流一样只有在阻力小的地方流动才会畅通，因此当管道芯部产生的电流流向侧面管壁时，只能贴着壁向上下两端流动。
如下图所示;也就是说，在贴近管道壁的地方电流是与该壁平行的，而且这种电流只存在于壁面边界层内，壁上没有电流。
有电流存在就必然会产生磁场，下面分别对四个壁面边界层中的感应电流和感应磁场做分析。
侧面有J y≠0 该感应电流会产生感应磁场，根据右手螺旋定则贴近壁处的感应磁场应该是有两个方向。
对于管道的上半部，感应磁场方向与速度方向相同，管道下半部，感应磁场方向与速度方向相反。
也就是说在侧面壁上感应磁场有：bx≠0,by=0,bz≠0。
但是这里只考虑的是管道的一面截面，而管道应该是这样的很多个截面沿着x轴方向的组合，因此整体考虑的话，bz=0。
J z=0J x=0上下壁面有Jz≠0 分析同上，可知上下壁面的感应磁场为：bz≠0,bx=0,by=0Jx=0Jy=0(2)如果壁时导电的，当芯部流体产生的感应电流流经侧面面壁时必然会通过该壁，从而在管道壁中也有感应电流存在。
如下图所示：侧面壁有Jz≠0 导电壁不像完全电绝缘壁那样，在该侧面边界层内不存在平行于壁的电流，只存在与垂直于壁的电流。
分析可知bx≠0,by=0,bz=0且侧面上半部和下半部的感应磁场方向相反。
Jy=0 Jx=0上下壁面有，对于壁的电导率比流体的电导率高的情况，就相当于壁是良导体，因此芯部产生的感应电流不会存在于壁面边界层中，而只能在管道壁中。
电磁场边界条件
解：（1）磁场强度
r
Q
r E
0
H t
ex
E y z
ez
Ey x
0
H t
可求得
r
H t
E0
0
r [ex
d
cos(
d
z)
cos(t
kx)
r ez
k
sin(
d
z)sin(t kx)]
r H
r ex
0d
E0
cos(
d
z) sin(t
r kx) ez
k
0
E0
sin(
d
z) cos(t
kx)
2）两导体表面的面电流密度
D2 )
0
s
相应的标量形式为
H1t H2t B1n B2n
E1t E2t D1n D2n
2.7.2 两种特殊情况的边界条件
1、理想导体表面上的边界条件
理想导体是指σ→∞，所以在理想导体内部不存在电场
。此外，理想导体内部也不存在磁场。理想导体内部不存 在电磁场，即所有场量为零。设 e是n 理想导体的外法向矢
θ1=1.09°，B1 / B2=0.052。由此可见，铁磁材料内部的磁感应强 度远大于外部的磁感应强度，同时外部的磁感应线几乎与铁磁 材料表面垂直。
例1、在两导体平板（z=0和z=d）之间的空气中传播的
电磁波，已知其电场强度为
r E
ery E0
sin(
d
z) cos(t
kx)
式中k为常数，求：（1）磁场强度；（2）两导体表面的面电流 密度和面电荷密度。
s
en
D |zd
ez
D |zd
电磁场三类边界条件
电磁场三类边界条件电磁场三类边界条件电磁场的边界条件是指在介质边界处，电场和磁场的变化情况。
根据边界条件的不同，可以将其分为三类：第一类边界条件、第二类边界条件和第三类边界条件。
下面将详细介绍这三类边界条件。
一、第一类边界条件第一类边界条件也称为零法向电场和零切向磁场边界条件。
它是指在介质表面上，法向于表面的电场强度和切向于表面的磁感应强度均为零。
1. 零法向电场在介质表面上，由于介质内部和外部存在不同的电荷分布情况，因此会产生一个法向于表面方向的电场。
而当这个电场穿过介质表面时，就会发生反射和折射现象。
为了描述这种现象，我们需要引入一个重要的物理量——法向于表面方向上的电通量密度。
根据高斯定理可知，在任意一个闭合曲面内部，通过该曲面的总电通量等于该曲面所包围空间内部所有自由电荷之代数和。
因此，在介质表面附近，我们可以将其看作一个微小的闭合曲面。
则在该曲面上的电通量密度可以表示为：$$\vec{D_1}\cdot\vec{n}=\rho_s$$其中，$\vec{D_1}$表示介质1内部的电位移矢量，$\vec{n}$表示介质表面法向矢量，$\rho_s$表示表面自由电荷密度。
当我们将这个式子应用于介质表面时，可以得到：$$D_{1n}=\rho_s$$其中，$D_{1n}$表示介质1内部法向于表面方向上的电场强度。
由于介质表面上不存在自由电荷，因此$\rho_s=0$。
因此，在第一类边界条件下，法向于介质表面方向上的电场强度为零。
2. 零切向磁场在介质表面上，由于介质内部和外部存在不同的磁场分布情况，因此会产生一个切向于表面方向的磁感应强度。
而当这个磁场穿过介质表面时，就会发生反射和折射现象。
为了描述这种现象，我们需要引入一个重要的物理量——切向于表面方向上的磁通量密度。
根据安培环路定理可知，在任意一个闭合回路上，通过该回路的总磁通量等于该回路所包围空间内部所有电流之代数和。
因此，在介质表面附近，我们可以将其看作一个微小的闭合回路。
第3讲 电磁场的边界条件
kx x)]
第三讲 电磁场的边界条件
将上式对时间 t 积分，得
z
H (x, z,t) H (x, z,t) dt
t
y
ex
πE0
0d
cos( π d
z) sin(Ot
kx x)
en
d
x
ez
kx E0
0
sin( π d
z) cos(t
kx x)
(A/m)
（2） z = 0 处导体表面的电流密度为
JS
ez
H
z0
ey
πE0
0d
sin(t
kxx)
z = d 处导体表面的电流密度为
(A/m)
JS
(ez ) H
zd
ey
πE0
0d
sin(t
kxx)
(A/m)
第三讲 电磁场的边界条件
【例5】有一个平行板电容器，极板的面积为S，上下极板相
距为d 且分别带电±q，极板之间的下半部份充满介电常数为
的介质。如忽略边缘效应，求E、D及极化电荷分布。
D的法向分量连续
媒质1 媒质2
en
DB
媒质1 媒质2
en
EH
D、B的法向分量连续
E、H的切向分量连续
第三讲 电磁场的边界条件
二、两种特殊媒质的边界条件
2、理想导体表上的边界条件 理想导体：电导率为无限大的导电媒质 特点：电磁场不可能进入理想导体内 边界条件:
E
B
JS
理想导体
en D S
en B 0 en E 0 en H JS
媒质1
en 1
E1
1
媒质2 E2
2
电磁场边界条件的推导
电磁场边界条件的推导
电磁场边界条件的推导
一、电磁场传输方程的边界条件
1、定义
电磁场传输方程的边界条件，是指根据电磁场传播方程的数学形式，推导出它需要满足的边界条件的过程。
它是一个物理模型，用来描述电磁场在实际应用中的变化。
2、分析
电磁场传输方程是用来描述电磁场在介质中传播的实际方程，可表示为：
E/t = c~2 ~2E + u E
其中，E/t是电磁场强度变化的函数，c~2是介质的绝缘度，~2E 是位移电场的梯度，u是电荷的电位。
由于电磁场在介质内传播时，要满足以下几种边界条件：
（1）空气两侧的边界条件：空气电磁场的传播在两端要满足有限性条件，即对应的电场线不能漫出介质的边界；
（2）介质边界的边界条件：介质边界处电磁场的传播要满足平衡性条件，即电磁场在介质内外应当是平衡的，而且传播的电磁场线不应改变方向；
（3）源场点的边界条件：源场点的边界条件是指传播电磁场的源场的表示，即源场电磁场的两端均具有有限的电场和磁场强度。
三、总结
电磁场传输方程的边界条件是指，根据电磁场传播方程的数学形式，推导出所需满足的边界条件。
电磁场传输方程的边界条件主要有空气两侧的边界条件，介质边界的边界条件和源场点的边界条件。
电磁场三类边界条件
电磁场三类边界条件介绍在电磁学中，边界条件是解决电磁场问题时的重要问题之一。
电磁场三类边界条件指的是麦克斯韦方程组在不同介质之间的边界上的满足条件。
这些条件在电磁场问题的求解中起到了关键的作用。
在本文中，我们将详细探讨电磁场三类边界条件的定义和应用。
一、第一类边界条件第一类边界条件也称为电磁场的法向边界条件。
其主要定义了电场和磁场在边界上的法向分量之间的关系。
具体表达如下：1.在介质边界上，电场的法向分量E n1和E n2满足：E n1=E n2；2.在介质边界上，磁场的法向分量H n1和H n2满足：H n1=H n2。
第一类边界条件体现了介质边界上的电场和磁场的连续性。
二、第二类边界条件第二类边界条件也称为电磁场的切向边界条件。
其主要定义了电场和磁场在边界上的切向分量之间的关系。
具体表达如下：1.在介质边界上，电场的切向分量E t1和E t2满足：E t1ϵ1=E t2ϵ2；2.在介质边界上，磁场的切向分量H t1和H t2满足：H t1μ1=H t2μ2。
其中，ϵ1和ϵ2分别为两个介质的介电常数，μ1和μ2分别为两个介质的磁导率。
第二类边界条件体现了介质边界上的电场和磁场的连续性和切向分量之间的比例关系。
三、第三类边界条件第三类边界条件也称为电磁场的混合边界条件。
其主要定义了电场和磁场在边界上的法向分量和切向分量之间的关系。
具体表达如下：1.在介质边界上，电场的法向分量E n1和E n2满足：E n1=E n2；2.在介质边界上，磁场的法向分量H n1和H n2满足：H n1=H n2；3.在介质边界上，电场的切向分量E t1和E t2满足：E t1ϵ1=E t2ϵ2；4.在介质边界上，磁场的切向分量H t1和H t2满足：H t1μ1=H t2μ2。
第三类边界条件综合了第一类和第二类边界条件，体现了介质边界上的电场和磁场的连续性以及法向分量和切向分量之间的比例关系。
四、应用举例电磁场三类边界条件在电磁学中的应用非常广泛，下面我们以几个实际问题为例，说明其应用方法：例一：平行板电容器考虑一对平行金属板构成的电容器，两板之间填充了介电常数为ϵ的均匀介质。
运动薄壳体上电磁场平均边界条件
Ｕ ｉ ｒｔ， ｎ ｅ ｉ ＆ ｖ ｓｙ
１０８ ， ｈ ａ； ００ ４ Ｃ ｉ ｎ
１０８ Ｃ ｉ ００４， ｈｎ ａ；
， ｓ ｇ ｎ ｎｖ ｓｙ， Ｔｉ ｈ Ｕ ｅ ｉ ＆ ｎ ａ ｉ ｒ ｔ
１０ ８ ， ｈ ） ００４ Ｃ ｎ ｉ ａ
Ａｂ ｔ ｃ ： Ｃ ｎ ｉ ｅｉ ｇ ｔｅ ｃ ｍｐｅ ｉ ｆｓ ｌｔ ｎ ｆ ｒｔｅ ｐ ｏ ｌｍ ｆｅ ｅ ｔ ｍａ ｎ ｔ ｈｅｄ ｎ ｙ ｕ ｉｇ ｔ ｅ ｐ ｅ ｉ ｏ ｎ ａｙ ｓｒ ｔ ａ ｏ ｓｄ ｒ ｈ ｏ ｌｘｔ ｏ ｏｕ ｉ ｏ ｈ ｒ ｂｅ ｏ ｌｃｒ ｇ ｅ ｉ ｓ ｉｌｉｇ ｂ ｓ ｒｃｓ ｂ ｕ ｄ ｒ ｎ ｙ ｏ ｏ ｃ ｎ ｈ ｅ
中图 分 类 号 ： Ｔ １４３ Ｍ ５ ．
文献标 识码 ： Ａ
文章编号 ：
０７—１２（０ ２ ６０ ８－Байду номын сангаас ３２２ １ ２０ ）０－７ ００
Ａｖ ｒ ｇ ｄ Ｂ ｕ ｄ ｒ ｎ ｉｏ ｓ ｆ ｒＥｌｃ ｒ ｍａ ｎ ｔ ｉｌｓ ｅ ａ ｅ ｏ ｎ ａ ｙ Ｃｏ ｄｔ ｎ ｏ ｅ ｔ ｉ ｏ ｇ ｅ ｉ Ｆｅｄ ｃ ｏ ｖ ｎ ｉ ｎ ｕ ｔ ｇ Ｓｈ ｌ ｎ ａ Ｍｏ ｉｇ Ｔｈｎ Ｃｏ ｄ ｃ ｉ ｅ ｌ ｎ
１ 引 言
运动边界的电磁场边界条件3
neering ( Xi ’ an :Northwest Telecommunication Institute) (in Chinese)
[ 王一平 、 陈达章 、 刘鹏程 1985 工程电动力学 ( 西安 : 西北电
讯工程学院出版社) ]
© 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.
11 引
言
( D1 - D2 ) = 0 ≠ ρ 0 ,于是 , ^ n・ s ,与 ( 2d) 矛盾 .
在不同媒质的交界面上 Maxwell 方程组的微分 形式已不再成立 , 取而代之的是边界条件 , 因此 , 边 界条件实质上就是边界上电磁场的支配方程 . 静止 边界的边界条件在各类电磁理论专著和教材中都已 有了充分的讨论 . 但是 ,运动边界的边界条件却讨论 甚少 . 在文献 [ 1 — 3 ] 中 ,讨论了不同媒质交界面以速 度 v 整体运动时的边界条件 ,其出发点是根据包围 体积 v 的闭合面 s 以速度 v 运动时 , 对于任意矢量 场 A ,有
T ^ n4 HD1 - HD2
S 系中的 ～ n 4 与 S′ 系中的 ～ n′ 4 满足 Lorentz 变换
～
n′ 4 = L n4 ,
= ～
( 9)
式中
[1] [2] [3]
Costen R C and Adamson D 1965 Proc . IEEE 53 1181 K ong J A 1975 Theory of Electromagnetic Waves ( New Y ork :John Wiley & Sons) Wang Y P , Chen D Z and Liu P C 1985 Electrodynamics in Engi2
高频条件下运动边界的电磁场边界条件
物理 学报
ACTA PHYSICA SINICA
Vol. 58, No. 10, October , 2009 2009 Chin. Phys. Soc.
高频条件下运动边界的电磁场边界条件
( 7b)
其中( 7a) 式为相对静止系中媒质界面上的广义折射
定律, 其包括了折射和反射的情况; ( 7b) 式为恒等式.
对于 Minkovski 四维空间中的相对运动系 S , 根
据相对性原理并且考虑到光速 c 不变, 则应具有相
同的电磁规律. 当考虑运动系中的情况时, 需对相关
物理量做 Lorentz 变换. 则在 S 中, 运动媒质界面上
[ 4] Wang M G 1994 Geometrical Theory of Diff raction ( Xi# an: Xidian U niversity Press) Chap. 1( in Chinese) [ 汪茂光 1994 几何绕射理 论( 西安: 西安电子科技大学) 第 1 章]
的高频特性表示为
n~
T 4
(
~k
42
-
~k 41 ) =
0,
( 8)
其中,
E mail: kbtan@ mail. xidian. edu. cn
10 期
谭康伯等: 高频条件下运动边界的电磁场边界条件
6 771
n~ 4 =
n =
m
^ = n12
j !T
, n
( 9)
而 ~k4 则可通过其定义形式和如下量 k4 来方便确定:
( 包括反射) 特性进一步推广, 从而分析运动边界的
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( School of Electronics Engineering , Xidian University , Xi’an 710071 , China) ( Received 2 February 2002 ; revised manuscript received 28 March 2002)
[ 1 ] Costen R C and Adamson D 1965 Proc. IEEE 53 1181 [ 2 ] Kong J A 1975 Theory of Electromagnetic Waves ( New York :John
Wiley & Sons) [ 3 ] Wang Y P , Chen D Z and Liu P C 1985 Electrodynamics in Engi2
本文从 Einstein 相对性原理出发 ,导出了边界 整体运动时的边界条件.
21 运动边界的边界条件
设在惯性系 S′中有一静止的媒质交界面 s ,^n′ 为 s 面从媒质 2 指向媒质 1 的单位法向矢量. 惯性 系 S′相对于惯性系 S 以速度 v 运动 ,如图 1 所示.
图 1 运动的媒质交界面
～
n
′4
=
r′2 j ct′ -
r′1 j ct′ =
^n′ .
0
(4)
对于任意矢量 A = Ax^x + Ay^y + Az^z ,引入张量
0 - Az Ay
=
A = Az
0 - Ax ,
- Ay Ax
0
则有 ^n′×A = ^n′·A= . 于是 ,边界条件 (3a) , (3b) 的简 洁形式可以表示为
第 51 卷 第 10 期 2002 年 10 月 100023290Π2002Π51 (10)Π2202203
物 理 学 报
ACTA PHYSICA SINICA
Vol. 51 ,No. 10 ,October ,2002 ν 2002 Chin. Phys. Soc.
运动边界的电磁场边界条件 3
11 引 言
在不同媒质的交界面上 Maxwell 方程组的微分 形式已不再成立 ,取而代之的是边界条件 ,因此 ,边 界条件实质上就是边界上电磁场的支配方程. 静止 边界的边界条件在各类电磁理论专著和教材中都已
有了充分的讨论. 但是 ,运动边界的边界条件却讨论 甚少. 在文献[ 1 —3 ]中 ,讨论了不同媒质交界面以速 度 v 整体运动时的边界条件 ,其出发点是根据包围 体积 v 的闭合面 s 以速度 v 运动时 ,对于任意矢量 场 A ,有
在 S′系中 ,静止的媒质交界面 s 的边界条件为
^n′×( H′1 - H′2 ) = J ′s ,
(3a)
^n′×( E′2 - E′1 ) = 0 ,
(3b)
^n′·( B′1 - B′2 ) = 0 ,
(3c)
^n′·( D′2 - D′1 ) =ρ′s .
(3d)
如图 1 所示 ,单位法向矢量 ^n′可以用矢径 r′1 和
jγβ γ
, α= =
=
I+
(γ -
ββ 1) β2 ,
β=
v c
,γ
=
1
1-
| v|
2
, c 为光速.4
=
n
,则根据 (9) 式可以得到
m
～n = α= ·^n′,
(10)
m = jβT ·～n .
(11)
将 (10) 和 (11) 式代入 (5) 和 (6) 式 ,展开后便得到如
下形式的运动边界的边界条件 : ～n × H1 - H2 + v ·～n D1 - D2 = J s ,
梁昌洪 褚庆昕
(西安电子科技大学电子工程学院 ,西安 710071) (2002 年 2 月 2 日收到 ;2002 年 3 月 28 日收到修改稿)
基于 Einstein 相对论 ,给出了运动边界的电磁场边界条件 ,指出了以往运动边界条件存在的问题.
关键词 : 电磁场边界条件 , 运动边界 , Einstein 相对论 PACC : 0350D ,0420
∫ ∫ ∮ d
dt
Ad v
v
=
v
dA dt
+
A (^n ·v) d s.
s
(1)
将上式用于 Maxwell 方程组的积分形式 ,便可以得
到运动边界条件为
^n ×( H1 - H2 ) + ( v ·^n) ( D1 - D2 ) = J s ,
(2a) ^n ×( E1 - E2 ) - ( v ·^n) ( B1 - B2 ) = 0 ,
并不是静止边界的单位法向矢量 ,利用 (10) 式不难
证明
| ～n | 2 = | ^n′| 2 + γ2 ^n′·β 2 ≥| ^n′| 2 = 1.
因此 ,除非运动方向 v 与 ^n′垂直 ,否则 S 系中 的 ～n 不再是单位法向矢量 ,～n 的长度大于 1.
31 结 论
根据 Einstein 相对性原理给出了媒质交界面整 体运动时的电磁场边界条件 ,纠正了以往文献中关 于运动边界条件的错误. 本文的工作还仅限于经典 电动力学 ,在相对论量子条件下的相关内容是今后 进一步研究的工作.
(12a)
～
n
×
E1 -
E2
-
v ·～n
B1 - B2 = 0 ,
～n · B1 - B2 = 0 , ～n · D1 - D2 = ρs .
(12b) (12c) (12d)
比较 (2a) —(2c) 与式 (12a) —(12c) 式 ,可以看 出 ,两者有着相同的形式 ,但 (12a) —(12c) 式中的 ～n
(2b)
^n ·( B1 - B2 ) = 0 ,
(2c)
^n ·( D1 -
D2 )
=
ρ s
,
(2d)
式中下标 1 ,2 分别表示媒质 1 和媒质 2 ,^n为媒质交
界面从媒质 2 指向媒质 1 的单位法向矢量.
上述公式至少有两个方面的问题. 一是 (1) 式只
是在绝对时空观下导出的 ,没有考虑相对时空关系.
二是 (2a) 与 (2d) 式是矛盾的. 事实上 ,用 ^n点积 (2a)
式两边 ,得 ( v·^n) ^n·( D1 - D2 ) = ^n·J s ,因为 J s 为交
界面上表面电流密度 ,所以 ,^n与 J s 垂直 ,即 ^n·J s = 0 ,于是 ,^n·( D1 - D2 ) = 0 ≠ρs ,与 (2d) 矛盾.
Abstract The Boundary conditions of electromagnetic fields on moving interfaces is given based on Einstein’s Principle of Relativity.
Keywords : the boundary conditions of electromagnetic fields , moving interface , Einstein’s principle of relativity PACC : 0350D , 0420
根据 Einstein 相对性原理 ,在 S 系中边界条件
应具有相同的形式 ,即
～n 4T EB1 - EB2 = 0 ,
(7)
^n4T HD1 - HD2 = J s4 .
(8)
S
系中的
～
n4
与
S′系中的
～n ′4 满足 Lorentz
变换
～n ′4 =
=
L
～
n4
,
(9)
式中
=
L=
α= - jγβ
3 国家自然科学基金 (批准号 :60171011) 资助的课题.
10 期
梁昌洪等 : 运动边界的电磁场边界条件
2203
r′2 表示为 ^n′= r′2 - r′1 且| ^n′| = | r′2 - r′1 | = 1. 引
入 Minkovski 四维空间中静止边界的单位法向矢量 ～n ′4 :
3 Project supported by the National Natural Science Foundation of China ( Grant No. 60171011) .
^n′4 T EB′1 - EB′2 = 0 ,
(5)
^n′4 T HD′1 - HD′2 = J ′s4 ,
(6)
式中
EB′i =
=
E
′i
j cB′i T
- j cB′i , 0
HD′i =
=
H
′i
- j cD′i T
- j cD′i , 0
J ′4s =
J ′s j cρ′s , i = 1 ,2.
neering ( Xi’an :Northwest Telecommunication Institute) (in Chinese) [ 王一平 、陈达章 、刘鹏程 1985 工程电动力学 (西安 : 西北电 讯工程学院出版社) ]
2204
物 理 学 报
51 卷
Electro magnetic field bo undary co nditio ns o n moving interface s 3