人教课标版高中数学必修3《算法案例：秦九韶算法》教学课件
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新课标人教版高中数学必修三第一章 第三节《算法案例》第二课时秦九韶算法与进位制(共33张ppt)
所以 v0＝8， v1＝8×2＋5＝21，
v2＝21×2＋0＝42， v3＝42×2＋3＝87， v4＝87×2＋0＝174， v5＝174×2＋0＝348， v6＝348×2＋2＝698， v7＝698×2＋1＝1 397.
所以当 x＝2 时，f(x)＝1 397. 同理可求当 x＝－1 时，f(x)＝－1， 又因为 f(－1)f(2)＝－1 397<0， 则 f(x)在区间[－1，2]上有零点．
v0 1
v1 v0x 1 1 5 1 6
v2 v1x 1 6 5 1 31
v3 v2x 1 31 5 1 156 所以当x=5时， v4 v3x 1 156 5 1 781 多项式的值 v5 v4x 1 781 5 1 3906 为3906
a=rnrn-1…r1r0(2)
十进制化k进制的算法 思考1:根据上面的分析，将十进制数a化为二进制数的算 法步骤如何设计？
第一步，输入十进制数a的值.
第二步，求出a除以2所得的商q，余数r.
第三步，把所得的余数依次从右到左排列.
第四步，若q≠0，则a=q，返回第二步； 否则，输出全部余数r排列得到的二进制数.
求多项式 f (x) = 1+ 2x + 3x2 + 4x 3 + 5x 4 在x=a时的值.
3
例 3:利用秦九韶算法分别计算 f(x)＝8x7＋5x6＋3x4＋2x＋1 在 x＝2 与 x＝－1 时的值，并判断 f(x)在区间[－1，2]上有没有零
点．
【解】 因为 f(x)＝8x7＋5x6＋3x4＋2x＋1 ＝((((((8x＋5)x＋0)x＋3)x＋0)x＋0)x＋2)x＋1， 且 x＝2，
开始
v2＝21×2＋0＝42， v3＝42×2＋3＝87， v4＝87×2＋0＝174， v5＝174×2＋0＝348， v6＝348×2＋2＝698， v7＝698×2＋1＝1 397.
所以当 x＝2 时，f(x)＝1 397. 同理可求当 x＝－1 时，f(x)＝－1， 又因为 f(－1)f(2)＝－1 397<0， 则 f(x)在区间[－1，2]上有零点．
v0 1
v1 v0x 1 1 5 1 6
v2 v1x 1 6 5 1 31
v3 v2x 1 31 5 1 156 所以当x=5时， v4 v3x 1 156 5 1 781 多项式的值 v5 v4x 1 781 5 1 3906 为3906
a=rnrn-1…r1r0(2)
十进制化k进制的算法 思考1:根据上面的分析，将十进制数a化为二进制数的算 法步骤如何设计？
第一步，输入十进制数a的值.
第二步，求出a除以2所得的商q，余数r.
第三步，把所得的余数依次从右到左排列.
第四步，若q≠0，则a=q，返回第二步； 否则，输出全部余数r排列得到的二进制数.
求多项式 f (x) = 1+ 2x + 3x2 + 4x 3 + 5x 4 在x=a时的值.
3
例 3:利用秦九韶算法分别计算 f(x)＝8x7＋5x6＋3x4＋2x＋1 在 x＝2 与 x＝－1 时的值，并判断 f(x)在区间[－1，2]上有没有零
点．
【解】 因为 f(x)＝8x7＋5x6＋3x4＋2x＋1 ＝((((((8x＋5)x＋0)x＋3)x＋0)x＋0)x＋2)x＋1， 且 x＝2，
开始
高一数学秦九韶算法课件
这是怎样的
一种改写方 对该多项式按下面的方式进行改写： 式？最后的
结果是什么？
要求多项式的值，应该先算最内层的一次多项式的值，即 然后，由内到外逐层计算一次多项式的值，即
最后的一 项是什么？
这种将求一个n次多项式f(x)的值转化成求n个一 次多项式的值的方法，称为秦九韶算法。
秦九韶算法的特点：
通过一次式的反复计算，逐步得出高次多 项式的值，对于一个n次多项式，只需做n次乘 法和n次加法即可。
例： 已知一个五次多项式为
用秦九韶算法求这个多项式当x = 5的值。 解：将多项式变形：
按由里到外的顺序，依此计算一次多项式当x = 5时的值：
你从中看到了 怎样的规律？ 怎么用程序框 图来描述呢？
所以，当x = 5时，多项式的值等于17255.2
程序框图：
这是一个在秦九韶算法中 反复执行的步骤，因此可 用循环结构来实现。
例如133.59，它可用一个多项式来表示：
133.59=1×102+3×101+3×100 +5×10-1+9×10-2
式中1处在百位，第一个3所在十位，第二个3所在 个位，5和9分别处在十分位和百分位。十进制数是逢 十进一的。
其它进制：
实际上，十进制数只是计数法中的一种，但它不是唯一 记数法。除了十进制数，生产生活中还会遇到非十进制的 记数制。如时间：60秒为1分，60分为1小时，它是六十进 制的。两根筷子一双，两只手套为一副，它们是二进制的。
开始
输入f(x)的系数： a0,a1,a2,a3,a4a5
输入x0
n=1 v=a5
n≤5?
Y
输出v
结束
n=n+1 v=vx0+a5-n N
高中数学必修3公开课课件 1.3.2算法案例--秦九韶算法
次数，如果一个算法从理论上需要超出计算机允 许范围内的运算次数，那么这样的算法就只能是 一个理论算法.在多式求值的各种算法中，秦九 韶算法是一个优秀算法.
10
课后再做好复习巩固. 谢谢！
再见！
新疆 王新敞
奎屯
王新敞 特级教师 源头学子小屋 wxckt@ 新疆奎屯
再统计一下计算当时的值时需要的计算次数，可 以得出仅需4次乘法和5次加法运算即可得出结果。显 然少了6次乘法运算。
这种算法就叫秦九韶算法。
3
秦九韶算法
把一个多项式
f (x) an xn an1xn1 an2 xn2 a1x a0
改写为：
f (x) an xn an1xn1 an2 xn2 a1x a0 (an xn1 an1xn2 an2 xn3 a1)x a0 ((an xn2 an1xn3 a2 )x a1)x a0
·2007·
11
案例2 秦九韶算法
2019年5月6日星期一
1
问题提出
1.辗转相除法和更相减损术，是求两个正整数 的最大公约数的优秀算法，我们将算法转化为程序 后，就可以由计算机来执行运算，实现了古代数学 与现代信息技术的完美结合.
2.对于求n次多项式的值，在我国古代数学中 也有一个优秀算法，即秦九韶算法，本节对这个算 法作些了解和探究.
=……
( ((an x an1)x an2 )x a1) a0
4
秦九韶算法
对于f(x)=(…((anx+an-1)x+ an-2)x+…+a1)x+a0， 由内向外逐层计算一次多项式的值，其算法步骤：
第一步，计算v1=anx+an-1. 第二步，计算v2=v1x+an-2. 第三步，计算v3=v2x+an-3.
10
课后再做好复习巩固. 谢谢！
再见！
新疆 王新敞
奎屯
王新敞 特级教师 源头学子小屋 wxckt@ 新疆奎屯
再统计一下计算当时的值时需要的计算次数，可 以得出仅需4次乘法和5次加法运算即可得出结果。显 然少了6次乘法运算。
这种算法就叫秦九韶算法。
3
秦九韶算法
把一个多项式
f (x) an xn an1xn1 an2 xn2 a1x a0
改写为：
f (x) an xn an1xn1 an2 xn2 a1x a0 (an xn1 an1xn2 an2 xn3 a1)x a0 ((an xn2 an1xn3 a2 )x a1)x a0
·2007·
11
案例2 秦九韶算法
2019年5月6日星期一
1
问题提出
1.辗转相除法和更相减损术，是求两个正整数 的最大公约数的优秀算法，我们将算法转化为程序 后，就可以由计算机来执行运算，实现了古代数学 与现代信息技术的完美结合.
2.对于求n次多项式的值，在我国古代数学中 也有一个优秀算法，即秦九韶算法，本节对这个算 法作些了解和探究.
=……
( ((an x an1)x an2 )x a1) a0
4
秦九韶算法
对于f(x)=(…((anx+an-1)x+ an-2)x+…+a1)x+a0， 由内向外逐层计算一次多项式的值，其算法步骤：
第一步，计算v1=anx+an-1. 第二步，计算v2=v1x+an-2. 第三步，计算v3=v2x+an-3.
1.3.2《算法案例---秦九韶算法》课件(1)(新人教A版必修3) 公开课一等奖课件
5 4 3 2
思考：从内到外，如果把每一个括号都看 成一个常数，那么变形后的式子中有哪些 “一次式”？x的系数依次是什么？
（3）若将x的值代入变形后的式子中，那 么求值的计算过程是怎样的？ 将变形前x的系数乘以x的值，加上变形前 的第2个系数，得到一个新的系数；将此系数 继续乘以x的值，再加上变形前的第3个系数， 又得到一个新的系数；继续对新系数做上面的 变换，直到与变形前的最后一个系数相加，得 到一个新的系数为止。这个系数即为所求多项 式的值。这种算法即是“秦九韶算法”
班主任： 我觉得何旋今天取得这样的成绩， 我觉得，很重要的是，何旋是土生土长的北京 二中的学生，二中的教育理念是综合培养学生 的素质和能力。我觉得何旋，她取得今天这么 好的成绩，一个来源于她的扎实的学习上的基 础，还有一个非常重要的，我觉得特别想提的， 何旋是一个特别充满自信，充满阳光的这样一 个女孩子。在我印象当中，何旋是一个最爱笑 的，而且她的笑特别感染人的。所以我觉得她 很阳光，而且充满自信，这是她突出的这样一 个特点。所以我觉得，这是她今天取得好成绩 当中，心理素质 ) x an 2 ) x a1 ) x a0
f ( x) ( (an x an 1 ) x an 2 ) x a1 ) x a0
要求多项式的值，应该先算最内层的一次多项式的值，即 然后，由内到外逐层计算一次多项式的值，即
青 春 风 采
高考总分：
692分(含20分加分) 语文131分 数学145分 英语141分 文综255分
毕业学校：北京二中 报考高校： 北京大学光华管理学 院 北京市文科状元 阳光女孩--何旋
来自北京二中，高考成绩672分，还有20 分加分。“何旋给人最深的印象就是她 的笑声，远远的就能听见她的笑声。” 班主任吴京梅说，何旋是个阳光女孩。 “她是学校的摄影记者，非常外向，如 果加上20分的加分，她的成绩应该是 692。”吴老师说，何旋考出好成绩的秘 诀是心态好。“她很自信，也很有爱心。 考试结束后，她还问我怎么给边远地区 的学校捐书”。
思考：从内到外，如果把每一个括号都看 成一个常数，那么变形后的式子中有哪些 “一次式”？x的系数依次是什么？
（3）若将x的值代入变形后的式子中，那 么求值的计算过程是怎样的？ 将变形前x的系数乘以x的值，加上变形前 的第2个系数，得到一个新的系数；将此系数 继续乘以x的值，再加上变形前的第3个系数， 又得到一个新的系数；继续对新系数做上面的 变换，直到与变形前的最后一个系数相加，得 到一个新的系数为止。这个系数即为所求多项 式的值。这种算法即是“秦九韶算法”
班主任： 我觉得何旋今天取得这样的成绩， 我觉得，很重要的是，何旋是土生土长的北京 二中的学生，二中的教育理念是综合培养学生 的素质和能力。我觉得何旋，她取得今天这么 好的成绩，一个来源于她的扎实的学习上的基 础，还有一个非常重要的，我觉得特别想提的， 何旋是一个特别充满自信，充满阳光的这样一 个女孩子。在我印象当中，何旋是一个最爱笑 的，而且她的笑特别感染人的。所以我觉得她 很阳光，而且充满自信，这是她突出的这样一 个特点。所以我觉得，这是她今天取得好成绩 当中，心理素质 ) x an 2 ) x a1 ) x a0
f ( x) ( (an x an 1 ) x an 2 ) x a1 ) x a0
要求多项式的值，应该先算最内层的一次多项式的值，即 然后，由内到外逐层计算一次多项式的值，即
青 春 风 采
高考总分：
692分(含20分加分) 语文131分 数学145分 英语141分 文综255分
毕业学校：北京二中 报考高校： 北京大学光华管理学 院 北京市文科状元 阳光女孩--何旋
来自北京二中，高考成绩672分，还有20 分加分。“何旋给人最深的印象就是她 的笑声，远远的就能听见她的笑声。” 班主任吴京梅说，何旋是个阳光女孩。 “她是学校的摄影记者，非常外向，如 果加上20分的加分，她的成绩应该是 692。”吴老师说，何旋考出好成绩的秘 诀是心态好。“她很自信，也很有爱心。 考试结束后，她还问我怎么给边远地区 的学校捐书”。
数学：1.3.2《算法案例-秦九韶算法》课件(3)(新人教版a版必修3)
知识探究(一):秦九韶算法的基本思想
思考1:对于多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1， 求f(5)的值. 若先计算各项的值，然后 再相加，那么一共要做多少次乘法运算 和多少次加法运算？
4+3+2+1=10次乘法运算， 5次加法运算.
思考2:在上述问题中，若先计算x2的值， 然后依次计算x2·x，(x2·x)·x， ((x2·x)·x)·x的值，这样每次都可以 利用上一次计算的结果，再将这些数与x 和1相加，那么一共做了多少次乘法运算 和多少次加法运算？
例2 阅读 INPUT “x=”；a 下列程序，说 n=0 明它解决的实 y=0 际问题是什么？ WHLE n<5 y=y+(n+1)*a∧n n=n+1 WEND PRINT y END
求多项式 在x=a时的值.
f (x ) = 1 + 2x + 3x 2 + 4x 3 + 5x 4
小结作业
评价一个算法好坏的一个重要标志 是运算的次数，如果一个算法从理论上 需要超出计算机允许范围内的运算次数， 那么这样的算法就只能是一个理论算法. 在多项式求值的各种算法中，秦九韶算 法是一个优秀算法.
1.3
算法案例
第二课时
问题提出
1.辗转相除法和更相减损术，是求 两个正整数的最大公约数的优秀算法， 我们将算法转化为程序后，就可以由计 算机来执行运算，实现了古代数学与现 代信息技术的完美结合.
2.对于求n次多项式的值，在我国古 代数学中有一个优秀算法，即秦九韶算 法，我们将对这个算法作些了解和探究.
在孤独晓寂结业的那一天，莫艳艳终于下了最后通牒“晓寂妹子，你已经修成正果了，你赶紧的吧，明天你就要去师兄哪里报道了，你不 会还是要以这种别扭的方式出现在别人面前吧，你不着急，我都替你急死了！” 那一个晚上，孤独晓寂因为那样的一种事情都过得惴惴不安，睡不好觉，第二天一大早，莫艳艳便拿了一大堆衣服来到孤独晓寂的房间， 她十分悲壮的开口“我决定了，要亲自改造你，今天，你必须去跟你的师兄打招呼，然后跟他一起去单位报到！” 莫艳艳果断的催促着孤独晓寂抓紧时间洗漱，然后拿出她认为比较适合孤独晓寂的衣服一件件的给她试穿，直到她觉得很满意为止。换好 衣服，又将她的脸蛋涂抹了起来，尽管孤独晓寂小声的抗议“艳艳，我不喜欢化妆，而且我也不会化”。 莫艳艳直接无视她的抗议“妹子，这年头素颜就等于自杀，懂么，姐这是在拯救你！” 将她收拾利索之后硬是将她拽了出去，等在司空阳宇必经之路的转角处。虽然孤独晓寂仍是碎碎念“艳艳，要不今天就算了吧，我觉得这 样的自己好奇怪呀！” 莫艳艳不容置疑的瞪她一眼“到目前为止还没有人敢质疑姐姐我的化妆水平！”顺势对她举了举握紧的拳头、孤独晓寂便悄悄地闭了嘴。 等到司空阳宇快要走近的时候，莫艳艳不容分说的将孤独晓寂一把推向了司空阳宇的身上，孤独晓寂尴尬到脸颊红透，挠了挠头轻声的说 了句“真是不好意思”，便往后退了一步。 司空阳宇不在意的笑了笑“你今天又在跑步么？” 孤独晓寂没反应过来的“啊？”了声。 司空阳宇笑着提醒“我看你好像经常在这条路上跑步。”
人教版高中数学必修三课件：1.3 算法案例(共55张PPT)
解:用辗转相除法求最大公约数:612=468×1+144,468=144×3+36,144=36×4,即612
和468的最大公约数是36. 用更相减损术检验:612和468均为偶数,两次用2约简得153和117,153-117=36,11736=81,81-36=45,45-36=9,36-9=27,27-9=18,18-9=9,所以612和468的最大公约数为
转化为求n个一次多项式的值.
预习探究
知识点二 进位制
1.进位制:进位制是为了计数和运算方便而约定的记数系统,约定“满k进一”就 是 k进制 ,k进制的基数(大于1的整数)就是 k . 2.将k进制数化为十进制数的方法:先把k进制数写成各位上的数字与k的幂的乘积之和 的形式,再按照十进制数的运算规则计算出结果. 3.将十进制数化为k进制数的方法是 除k取余法 .即用k连续去除十进制数所得 的 商 ,直到商为零为止,然后把各步得到的余数 倒序 写出.所得到的就是相应的k 进制数. 4.k进制数之间的转化:首先转化为十进制数,再转化为 k进制数.
第一章 算法初步
1.3 算法案例 第2课时 秦九韶算法与进位制
预习探究
知识点一 秦九韶算法
1.秦九韶算法是我国南宋数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出的一 个用于计算多项式值的方法. 2.秦九韶算法的方法: 把一个n次多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 改写成下列的形式: f(x)=(anxn-1+an-1xn-2+…+a1)x+a0= ((anxn-2+an-1xn-3+…+a2)x+a1)x+a0 =…=
《秦九韶算法》课件
秦九韶பைடு நூலகம்法的代码示例
} ``` Java实现
秦九韶算法的代码示例
01
```java
02
import java.util.Scanner;
public class Main {
03
秦九韶算法的代码示例
01
02
03
public static void main(String[] args) {
Scanner scanner = new
秦九韶算法的步骤解析
01
确定多项式的最高次项 系数和次数。
02
根据秦九韶算法的公式 ，计算一次多项式的系 数。
03
利用一次多项式求值公 式，计算多项式的值。
04
重复以上步骤，直到求 出所有需要计算的多项 式的值。
秦九韶算法的公式推导
根据多项式求值原理，推导出秦九韶 算法的公式。
利用递归的思想，将高次多项式转化 为一次多项式，推导出秦九韶算法的 公式。
编写代码
按照秦九韶算法的步骤，编写相应的代码。需要注意代码 的健壮性和可读性，以便于后续的维护和调试。
测试代码
通过输入不同的多位数，测试代码的正确性和性能。
秦九韶算法的代码示例
C语言实现 ```c
int main() {
秦九韶算法的代码示例
int n, x = 0, i, d; printf("请输入一个多位数：");
05
秦九韶算法的优缺点
秦九韶算法的优点
01
02
03
高效性
秦九韶算法将多项式求值 问题转化为一系列一元运 算，减少了乘法的次数， 提高了运算效率。
易于编程实现
秦九韶算法的步骤明确， 易于转化为程序代码，便 于计算机实现。
秦九韶算法课堂教学PPT
秦九韶算法的数学证明
秦九韶算法的证明
秦九韶算法的正确性可以通过数 学证明来证实，证明的关键在于 利用多项式的递推关系和数学归
纳法。
递推关系的证明
证明秦九韶算法中的递推关系是正 确的，可以通过数学归纳法来证明。
算法复杂度的分析
秦九韶算法的时间复杂度为O(n)， 空间复杂度为O(1)，比直接法更高 效。
将多项式表示为 “v[0]+v[1]*x+v[2]*x^2+...+v[n]*x ^n”的形式，通过n次乘法和加法运 算得到多项式的值。
利用多项式的递推关系，通过迭代计 算多项式的值，可以减少计算量。
多项式系数与根的关系
多项式的根
多项式等于0的解称为多项式的根 。
系数与根的关系
多项式的系数与多项式的根之间 存在一定的关系，可以通过求解 方程组得到多项式的根。
详细描述
Java语言具有面向对象的特性，能够培养学生的面向对象编程思维。使用Java实 现秦九韶算法可以让学生体验到严谨的编程规范和代码组织方式，同时也能加深 对算法的理解和应用。
使用C实现秦九韶算法
总结词
底层操作，高效执行
详细描述
C语言具有底层操作的特性，能够让学生更加深入地了解计算机底层的工作原理。使用C实现秦九韶算法可以让学 生更加深入地理解算法的实现细节，同时也能提高他们的编程能力和执行效率。
03
秦九韶算法的编程实现
使用Python实现秦九韶算法
总结词
简洁明了，易于理解
详细描述
Python语言具有简洁的语法和易读性，适合初学者学习。使用Python实现秦九 韶算法可以让学生快速理解算法的基本思想，并通过简单的代码实现加深对算 法的理解。
高中数学人教A版必修三1.3【教学课件】《算法案例》人教版
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第一章 · 算法初步
第一课时
《 1.3 秦九韶算法与进位制》
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新课导入
设计求多项式 f ������ = 2������ 5 − 5������ 4 − 4������ 3 + 3������ 2 − 6������ + 7 当 x=5 时的值的算法程序。 x=5
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思考1：怎么用秦九韶算法求多项式的值。
通过
������0 = ������������ ������������ = ������������−1 ������ + ������������ −������
(k=1,2,……n)这是一个在秦九韶算
法中反复执行的步骤，因此可用循环结构来实现。
一般地,对于一个n次多项式 然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即
������2 = ������1 ������ + ������������−2 , ������3 = ������2 ������ + ������������−3 ,…������������ = ������������−1 ������ + ������0
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思考4：十进制数怎么转化成k进制数？ 其方法是除k取余法，用十进制数除以k进制 数，将各步所得的余数从下到上排列，就会 得到相应的k进制数。
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例题讲解
例1： 求多项式 ������ ������ = ������ 5 − ������ 3 + 2������ 2 − 3 在 ������ = 5 时的函数值。 解：原多项式先化为:
y=2*x^5-5*x^4-4*x^3+3*x^2-6*x+7
第一章 · 算法初步
第一课时
《 1.3 秦九韶算法与进位制》
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新课导入
设计求多项式 f ������ = 2������ 5 − 5������ 4 − 4������ 3 + 3������ 2 − 6������ + 7 当 x=5 时的值的算法程序。 x=5
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思考1：怎么用秦九韶算法求多项式的值。
通过
������0 = ������������ ������������ = ������������−1 ������ + ������������ −������
(k=1,2,……n)这是一个在秦九韶算
法中反复执行的步骤，因此可用循环结构来实现。
一般地,对于一个n次多项式 然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即
������2 = ������1 ������ + ������������−2 , ������3 = ������2 ������ + ������������−3 ,…������������ = ������������−1 ������ + ������0
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思考4：十进制数怎么转化成k进制数？ 其方法是除k取余法，用十进制数除以k进制 数，将各步所得的余数从下到上排列，就会 得到相应的k进制数。
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例题讲解
例1： 求多项式 ������ ������ = ������ 5 − ������ 3 + 2������ 2 − 3 在 ������ = 5 时的函数值。 解：原多项式先化为:
y=2*x^5-5*x^4-4*x^3+3*x^2-6*x+7
新人教A版必修三1.3《算法案例---秦九韶算法》ppt课件
共做了4次乘法运算，5次加法运算。
《数书九章》——秦九韶算法 设 f ( x) 是一个n 次的多项式
f ( x) an x an 1 x a1 x a0 对该多项式按下面的方式进行改写：
n
n 1
f ( x) an x n an 1 x n 1 a1 x a0
算 法 案 例
第二课时
复习引入:
1、求两个数的最大公约数的两种方法分别是 （ ）和（ ）。
2、两个数21672，8127的最大公约数是 （
）
A、2709
B、2606
C、2703
D、2706
新课讲解:
怎样求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值呢？
计算多项式ｆ(ｘ) =ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１ 当x = 5的值的算法： 算法1： 因为ｆ(ｘ) =ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１
v 0 a n v k v k 1 x a n k ( k 1,2, , n)
这是一个在秦九韶算法中 反复执行的步骤，因此可 用循环结构来实现。
n=1
v=a5
n=n+1 n≤5?
Y
v=vx0+a5-n
N
输出v
结束
例： 已知一个五次多项式为
5 4 3
f ( x) 5 x 2 x 3.5 x 2.6 x 1.7 x 0.8
f ( x) ( (an x an 1 ) x an 2 ) x a1 ) x a0
要求多项式的值，应该先算最内层的一次多项式的值，即 然后，由内到外逐层计算一次多项式的值，即
v1 an x an 1 v2 v1 x an 2
《数书九章》——秦九韶算法 设 f ( x) 是一个n 次的多项式
f ( x) an x an 1 x a1 x a0 对该多项式按下面的方式进行改写：
n
n 1
f ( x) an x n an 1 x n 1 a1 x a0
算 法 案 例
第二课时
复习引入:
1、求两个数的最大公约数的两种方法分别是 （ ）和（ ）。
2、两个数21672，8127的最大公约数是 （
）
A、2709
B、2606
C、2703
D、2706
新课讲解:
怎样求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值呢？
计算多项式ｆ(ｘ) =ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１ 当x = 5的值的算法： 算法1： 因为ｆ(ｘ) =ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１
v 0 a n v k v k 1 x a n k ( k 1,2, , n)
这是一个在秦九韶算法中 反复执行的步骤，因此可 用循环结构来实现。
n=1
v=a5
n=n+1 n≤5?
Y
v=vx0+a5-n
N
输出v
结束
例： 已知一个五次多项式为
5 4 3
f ( x) 5 x 2 x 3.5 x 2.6 x 1.7 x 0.8
f ( x) ( (an x an 1 ) x an 2 ) x a1 ) x a0
要求多项式的值，应该先算最内层的一次多项式的值，即 然后，由内到外逐层计算一次多项式的值，即
v1 an x an 1 v2 v1 x an 2
数学：1.3.2《算法案例-秦九韶算法》课件(3)(新人教版a版必修3)
知识探究(一):秦九韶算法的基本思想
思考1:对于多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1， 求f(5)的值. 若先计算各项的值，然后 再相加，那么一共要做多少次乘法运算 和多少次加法运算？
4+3+2+1=10次乘法运算， 5次加法运算.
思考2:在上述问题中，若先计算x2的值， 然后依次计算x2·x，(x2·x)·x， ((x2·x)·x)·x的值，这样每次都可以 利用上一次计算的结果，再将这些数与x 和1相加，那么一共做了多少次乘法运算 和多少次加法运算？
作业： P45练习：2. P48习题1.3A组：2.
; / 重庆农家乐 相对而言，林灵身边的女性对待这样的问题，态度都是要温和得多，大概身为同胞便仁慈得多。林灵的访谈对象中有一 位七十多岁的老太太，只要跟林灵谈及婚姻问题，必定肯定的劝诫她“你呀，以后挑对象可得擦亮眼睛，一定要挑一个 有钱的人，我们年轻那会儿的时候都傻、压根没想过这样的事儿，子女们结婚之前、也从来没想过这样的事，你都不知 道，我们家女儿一个个都找的是穷鬼！ ”她说这话的时候难免要唉声叹气几番“唉，你都不知道有多难过，虽说现在 条件好了，不比我们那个年代，连吃饭都是问题，但是，找个条件好点的，真的是很有必要的，你以后啊，就一定会明 白的！ ” 林灵听及老太太说得这般斩钉截铁的认真，却忍不住想笑“阿姨，自身条件不够高的时候，怎么能够去指望嫁个富有的 人来摆脱困局呢？有钱的人还想找个条件更好的人呢！ ”她因为老太太的言语而笑的不亦乐乎。 这年头虽说不再如古时候那般严苛的要求着门当户对，但绝大多数的事实证明，于无形中还是遵从了这样一种从来都不 曾流失的规律！ 林灵在这一点上向来认知得清明，她从来不觉得自己会走狗屎运而嫁给一个有钱人，不管是从家庭背景还是个人条件都 足以证明她会有这样的想法绝对是不会错的！ 老太太听及她这样的回答以为是她不够自信、于是很肯定的安慰似的说“你可不要觉得自己不行，你一定要觉得自己是 行的，你工作做得那么好，人也好，怎么就不行了？” 林灵听出老太太的话音笑、着解释道“这不是自不自信的问题，而是有没有自知自明的问题，我们这类的人，终究也只 会遇见我们这类圈子的人，跟其他圈子的人基本上就不会有交集，所以，我们终归只会遇上跟我们自身条件相差无几的 人！ ” 老太太听及此、撇撇嘴同意地点了点头“你说的好像就是那么回事儿！”又似回忆般的念叨“我们年轻那会儿家庭条件 也确实一般，所以也就只能遇上和我们条件相当的人！ ”
人教版数学必修三1.3 算法案例1 课件
规律方法 (1)利用辗转相除法求给定的两个数的 最大公约数，即利用带余除法，用数对中较大的 数除以较小的数，若余数不为零，则将余数和较 小的数构成新的数对，再利用带余除法，直到大 数被小数除尽，则这时的较小数就是原来两个数 的最大公约数． (2)利用更相减损术求两个正整数的最大公约数的 一般步骤是：首先判断两个正整数是否都是偶 数．若是，用2约简．也可以不除以2，直接求最 大公约数，这样不影响最后结果．
用辗转相除法求80与36的最大公约数，并用 【变式1】 更相减损术检验你的结果． 解：80＝36×2＋8， 36＝8×4＋4, 8＝ 4× 2＋ 0， 即80与36的最大公约数是4. 验证： 80÷2＝40，36÷2＝18 7－2＝5 40÷2＝20 ， 18÷2＝9 5－2＝3 3－ 2＝ 1 20—9＝11 2－ 1＝ 1 11－9＝2 1× 2× 2＝ 4 9－ 2＝ 7 所以80与36的最大公约数为 4.
联系
2. 秦九韶算法
(1)特点：通过一次式的反复计算，逐步得出高次多项式的值， 对于一个n次多项式，只需做n次乘法和n次加法即可． (2)算法步骤： 设Pn(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0，将其改写为 Pn(x)＝(anxn－1＋an－1xn－2＋…＋a1)x＋a0 ＝((anxn－2＋an－1xn－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0 ＝(…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0. 第一步：计算最内层anx＋an－1的值，将anx＋an－1的值赋给一 个变量v1(为方便将an赋予变量v0)； 第二步：计算(anx＋an－1)x＋an－2的值，可以改写为v1x＋an－2， 将v1x＋an－2的值赋给一个变量v2；
更相减损术 2． 第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否 偶数 ．若是，用_______ 2约简 ；若不是，执行 都是_____ _______ 第二步 ． 较小 的数，接着把 较大 的数减去_____ 第二步，以_____ 所得的差与_____ 较小 的数比较，并以大数减小数， 继续这个操作，直到所得的数_____ 相等 为止，则 这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是 所求的最大公约数．
人教版高中数学必修三1.3算法案例—秦九韶算法ppt课件
=((((2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7
问题1：怎样求多项式f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7当x=5时的值？
方法三：能否有更好的算法,解决任意多项式的求值问题?
f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7 =(2x4-5x3-4x2+3x-6)x+7 =((2x3-5x2-4x+3)x-6)x+7 =(((2x2-5x-4)x+3)x-6)x+7
学名著。
秦九韶
问题1：怎样求多项式f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7当x=5时的值？
方法一
x=5 f=2﹡x^5-5﹡x^4-4﹡x^3+3﹡x^2-6﹡x+7 PRINT f END 15次乘法运算,5次加法运算 此算的优点是简单,易懂；缺点是不通用,不能解决任意多项多求值问题,而且计 算效率不高.
问题1：怎样求多项式f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7当x=5时的值？
方法二:先计算x2的值，然后依次计算x2·x，(x2·x)·x，((x2·x)·x)·x的值，
这样每次都可以利用上一次计算的结果. 9次乘法运算,5次加法运算 与第一种做法相比,这种做法中，乘法的运算次数减少了,因而能提高运算效率. 而且对于计算机来说,做一次乘法所需的运算时间比做一次加法要长得多,因此第二 种做法能更快地得到结果.
v0=2
v1=v0x-5=2×5-5=5 v2=v1x-4=5×5-4=21
=((((2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7
① ② ③
④
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所以，当x = 5时，多项式的值等于17255.2
练习： 1、已知多项式f(x)=x5+5x4+10x3+10x2+5x+1 用秦九韶算法求这个多项式当x=-2时的值。
2、已知多项式f(x)=2x4-6x3-5x2+4x-6 用秦九韶算法求这个多项式当x=5时的值。
课堂小结：
1、秦九韶算法的方法和步骤 2、秦九韶算法的程序框图
程序框图：
开始
输入f(x)的系数： a0,a1,a2,a3,a4a5
输入x0
n=1
v v
0 k
a n
vx k 1
a (k nk
1,2,, n)
v=a5
这是一个在秦九韶算法中 反复执行的步骤，因此可 用循环结构来实现。
n≤5?
Y
输出v
n=n+1 v=vx0+a5-n N
结束
例： 已知一个五次多项式为
f (x) 5x5 2x4 3.5x3 2.6x2 1.7 x 0.8
用秦九韶算法求这个多项式当x = 5的值。 解：将多项式变形：
f (x) ((((5x 2)x 3.5)x 2.6)x 1.7)x 0.8
按由里到外的顺序，依此计算一次多项式当x =138.5 v3 138.5 5 2.6 689.9 v4 689.9 5 1.7 3451.2 v5 3451.2 5 0.8 17255.2
算法案例
复习引入:
1、求两个数的最大公约数的两种方法分别是 （ ）和（ ）。
2、两个数21672，8127的最大公约数是 （ ） A、2709 B、2606 C、2703 D、2706
新课讲解:
怎样求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值呢？
计算多项式ｆ(ｘ) =ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１
当x = 5的值的算法：
算法1：因为ｆ(ｘ) =ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１
所以ｆ(5)=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１
=3125＋625＋125＋25＋5＋１
算法2：
= 3906
ｆ(5)=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１
=5×(5４＋5３＋5２＋5＋１ ) ＋１
=5×(5×(5３＋5２＋5 ＋１ )＋１ ) ＋１
=5×(5×(5×(5２+5 +１) +１ ) +１ ) +１
=5×(5×(5×(5 ×(5 +１) +１ )+１)+１) +１
算法1：
因为ｆ(ｘ) =ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１ 所以ｆ(5)=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１
=3125＋625＋125＋25＋5＋１ = 3906
共做了1+2+3+4=10次乘法运算，5次加法运算。
然后，由内到外逐v层1 计a算n x一次an多1项式的值，即
v2 v1x an2
v3
v2
x
an
3
最后的一 项是什么？
vn vn1x a0
这种将求一个n次多项式f(x)的值转化成求n个一 次多项式的值的方法，称为秦九韶算法。
秦九韶算法的特点：
通过一次式的反复计算，逐步得出高次 多项式的值，对于一个n次多项式，只需做n 次乘法和n次加法即可。
算法2：
ｆ(5)=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１
=5×(5４＋5３＋5２＋5＋１ ) ＋１ =5×(5×(5３＋5２＋5 ＋１ )＋１ ) ＋１ =5×(5×(5×(5２+5 +１) +１ ) +１ ) +１ =5×(5×(5×(5 ×(5 +１) +１ )+１)+１) +１
共做了4次乘法运算，5次加法运算。
((an x n2 an1x n3 a2 ) x a1 ) x a0
( (an x an1 ) x an2 ) x a1 ) x a0
f ( x) ( (an x an1) x an2 ) x a1) x a0
要求多项式的值，应该先算最内层的一次多项式的值，即
《数书九章》——秦九韶算法
设f (x) 是一个n 次的多项式
f ( x) an x n an1x n1 a1x a0
这是怎样的 一种改写方
对该多项式按下面的方式进行改写： 式？最后的
f ( x) an x n an1x n1 a1x a0 结果是什么？
(an x n1 an1x n2 a1 ) x a0
练习： 1、已知多项式f(x)=x5+5x4+10x3+10x2+5x+1 用秦九韶算法求这个多项式当x=-2时的值。
2、已知多项式f(x)=2x4-6x3-5x2+4x-6 用秦九韶算法求这个多项式当x=5时的值。
课堂小结：
1、秦九韶算法的方法和步骤 2、秦九韶算法的程序框图
程序框图：
开始
输入f(x)的系数： a0,a1,a2,a3,a4a5
输入x0
n=1
v v
0 k
a n
vx k 1
a (k nk
1,2,, n)
v=a5
这是一个在秦九韶算法中 反复执行的步骤，因此可 用循环结构来实现。
n≤5?
Y
输出v
n=n+1 v=vx0+a5-n N
结束
例： 已知一个五次多项式为
f (x) 5x5 2x4 3.5x3 2.6x2 1.7 x 0.8
用秦九韶算法求这个多项式当x = 5的值。 解：将多项式变形：
f (x) ((((5x 2)x 3.5)x 2.6)x 1.7)x 0.8
按由里到外的顺序，依此计算一次多项式当x =138.5 v3 138.5 5 2.6 689.9 v4 689.9 5 1.7 3451.2 v5 3451.2 5 0.8 17255.2
算法案例
复习引入:
1、求两个数的最大公约数的两种方法分别是 （ ）和（ ）。
2、两个数21672，8127的最大公约数是 （ ） A、2709 B、2606 C、2703 D、2706
新课讲解:
怎样求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值呢？
计算多项式ｆ(ｘ) =ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１
当x = 5的值的算法：
算法1：因为ｆ(ｘ) =ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１
所以ｆ(5)=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１
=3125＋625＋125＋25＋5＋１
算法2：
= 3906
ｆ(5)=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１
=5×(5４＋5３＋5２＋5＋１ ) ＋１
=5×(5×(5３＋5２＋5 ＋１ )＋１ ) ＋１
=5×(5×(5×(5２+5 +１) +１ ) +１ ) +１
=5×(5×(5×(5 ×(5 +１) +１ )+１)+１) +１
算法1：
因为ｆ(ｘ) =ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１ 所以ｆ(5)=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１
=3125＋625＋125＋25＋5＋１ = 3906
共做了1+2+3+4=10次乘法运算，5次加法运算。
然后，由内到外逐v层1 计a算n x一次an多1项式的值，即
v2 v1x an2
v3
v2
x
an
3
最后的一 项是什么？
vn vn1x a0
这种将求一个n次多项式f(x)的值转化成求n个一 次多项式的值的方法，称为秦九韶算法。
秦九韶算法的特点：
通过一次式的反复计算，逐步得出高次 多项式的值，对于一个n次多项式，只需做n 次乘法和n次加法即可。
算法2：
ｆ(5)=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１
=5×(5４＋5３＋5２＋5＋１ ) ＋１ =5×(5×(5３＋5２＋5 ＋１ )＋１ ) ＋１ =5×(5×(5×(5２+5 +１) +１ ) +１ ) +１ =5×(5×(5×(5 ×(5 +１) +１ )+１)+１) +１
共做了4次乘法运算，5次加法运算。
((an x n2 an1x n3 a2 ) x a1 ) x a0
( (an x an1 ) x an2 ) x a1 ) x a0
f ( x) ( (an x an1) x an2 ) x a1) x a0
要求多项式的值，应该先算最内层的一次多项式的值，即
《数书九章》——秦九韶算法
设f (x) 是一个n 次的多项式
f ( x) an x n an1x n1 a1x a0
这是怎样的 一种改写方
对该多项式按下面的方式进行改写： 式？最后的
f ( x) an x n an1x n1 a1x a0 结果是什么？
(an x n1 an1x n2 a1 ) x a0