大学物理 静电场的能量和能量密度

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10.8
电场的能量和能量密度
2、电场中某点处单位体积内的电场能量 对任一电场，电场强度非均匀
W 1 w 0E 2 V 2
D 0 r E E
dWe we dV
1 1 2 W dW 0 E dV DEdV V V 2 V 2
若是均匀电场，则
W w V
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电场的能量和能量密度
例： 计算球形电容器的能量 已知RA、RB、q q 解：场强分布 E 4 0 r 2
q
RA
q
取体积元 dV 4r 2 dr 1 1 q 2 dW wdV 0 E dV 0 ( )2 4r 2 dr 2 4 0 r 2 2 RB 2 2 q 1 1 q 能量 W dW 8 0 r 2 dr 8 0 ( RA RB ) V RA
例2
圆柱形空气电容器中，空气 - + 的击穿场强是Eb=3106 V· -1 ，设 m - + R -2 m .求（1） 外导体的半径R2= 10 l + -3 m，在 若内导体的半径R1= 5×10 - + R 空气不被击穿的情况下，电容器 _ _ _ 所能承受的最大电压；（2）长圆 _ + ++ _ 柱导体的半径R1 取多大值可使电 + + _ +++ _ 容器存储能量最多？ _
1 Q 解 E 4 π ε r2 1 2 Q2 we εE 2 32 π 2 εr 4 2 Q dWe we dV dr 2 8 π εr dr 2 R 2 dr Q r We dWe 8 π ε R1 r 2 Q2 1 1 ( ) R2 8 π ε R1 R2
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电场的能量和能量密度
这说明当 q1 和 q2 相距 r 时，它们的相互作用能为 q1q2 W (10.8.1) 4 0 r 那么这一能量从何而来呢？设想：如果再把 q2 从 无限远处移到与 q1相距 r 的位置，显然，在这个 过程中外力要克服电场力做功 r q1 W q2 E1 dl r q2 E1 dl q2 4 0 r
-Q Q
R1
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电场的能量和能量密度
Q2 1 1 讨论 We ( ) 8 π ε R1 R2 Q2 （1） We 2 C R2 R1 C 4πε R2 R1 dr
（球形电容器）
r
R2
R1
Q2 （2） R2 We 8 π εR1
（孤立导体球）
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电场的能量和能量密度
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电场的能量和能量密度
10.8 静电场的能量
静电场能量的来源：
若有一带电体带有电量Q，可以设想这一带电 状态是这样建立的，即不断地把微小电量从无限 远处移到这一物体上，一直到带电体带有电量Q为 止。在这一过程中外力不断地克服电场力而做功。 当带电体带有电荷 q 、相应的电势为 U 时，再把 一个 dq 从无限远处移到这一物体上时，外力做的 功为 dW (U U )dq Udq
uA
uB
Q
终 了 时 刻
Q
UA
UB
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二、电场能量
对平行板电容器
电场的能量和能量密度 q q
0
1 1 0S 2 W CU ( )( Ed )2 2 2 d 1 1 2 0 E ( Sd ) 0 E 2V 2 2
S
d
电场存在 的空间体积
电场能量体密度——描述电场中能量分布状况
1
2
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电场的能量和能量密度
解 （ 1）
E 2 π ε0 r
( R1 r R2 )
l _
R1处E最大，最容易被击穿
Eb
U max
max
2π ε0 R1 max 2 π ε0
+ + + +
_
R1
R2

R2
R1
dr r
_
_
_
R2 ln R1 Eb ln 2 2 π ε0 R1
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10.8 10.8.2 电容器的储能
电场的能量和能量密度
q
任 一 时 刻
q
dq
q 外力做功 dW dA udq dq C Q q Q2 电容器的电能 A dq C 2C 0
Q2 1 1 W QU CU 2 2C 2 2
q u A uB u C dq B A
根据功能原理，外力做的功应等于两个点电荷形成 系统前后电能的增量，即等于点电荷系统的电能。
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10.8 电场的能量和能量密度 U为 q在 q1 2 所在点处的电势 1 式(10.8.1)可以改写为 1 q2 1 q1 1 1 W q1 q2 q1U 1 q2U 2 2 4 0 r 2 4 0 r 2 2 此结论可以推广：对于有n个点电荷的系统，其 系统的电场能为 n 1 W ( qi U i ) i 1 2 如果电荷连续分布，则采用微元法，对上边 的和式取极限，即可得到电荷连续分布的带电体 的电场能为 1 W q udq 2
1 2
RB
r
1 2 q2 q RA RB 2C 4 0 RB RA
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电场的能量和能量密度
例1 如图所示,球形电容器的内、外半径 分别为R1和R2 ，所带电荷为Q．若在两球 壳间充以电容率为 的电介质，问此电容器 贮存的电场能量为多少？ -Q
Q
R1
R2
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电场的能量和能量密度
1
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电场的能量和能量密度
Q
所以带电体的电量从0增加到Q时，外力做的总功
W dW 0 Udq
按能量守恒，外力所做功转化为带电体的电势能。 10.8.1 点电荷系的电势能 先讨论两个点电荷组成的系统： 设有两个点电荷 q1和 q2相距 r ，令 q1不动， 将 q2从它所在的位置移动到无限远。在这个Leabharlann Baidu程 中， q1的电场力对 q2做的功为 q1 Wr r q2 E1 dl q2 (U r U ) q2 4 0 r 2
max
+ ++ _ + + +++ _
_
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电场的能量和能量密度
R2 （ 2 ）U ln 2 π ε0 R1