大学物理 静电场的能量和能量密度
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-静电场的能量和能量密度
2 b 2 1
l
-+ - + R1 - + R2 -+
_
_ _ _
++ + _ + + _ + ++ _
_
R2 Eb R2 U max Eb R1 ln 9.10103 V R1 2 e
9 – 5 静电场的能量 能量密度
C, U, q, E 的变化。 （ 1 ） 充电后切断电源 （2）充电后不切断电源
9 – 静电场的能量 5 静电场的能量 能量密度 第九章静电场中的导体和电介质 例9-9 求半径为R 带电量为Q 的均匀带电球的静电能。 解一：计算定域在电场中的能量 球内 r 处电场
Qr E ， 3 4 0 R (r R)
1 2 0 R Qr 2 4r dr W 0 E dV 0 3 2 2 4 0 R
第九章静电场中的导体和电介质
例 1.平行板电容器，其间充满介质 r , 求下列情况充入介质前后的
A
K 300V
E0
d
B
r
U Ed U0
（1）q不变 解 : 提示： （1）q不变
（2）U不变
C r C0 E
r
U （2）U不变 C r C0 E 不变 q CU r CU d S U 基本公式： C E d d q C C r C0 U
Q2 We 8π R1
（孤立导体球贮存的能量）
9 – 5 静电场的能量 能量密度
第九章静电场中的导体和电介质
例2 如图圆柱形电容器，中间是空气，空气的击 2 6 -1 穿场强是 Eb 310 V m，电容器外半径 R2 10 m. 在空气不被击穿的情况下，内半径 R1 ? 可使电容器 存储能量最多. （ 空气 r 1 ）43; ++ _
l
-+ - + R1 - + R2 -+
_
_ _ _
++ + _ + + _ + ++ _
_
R2 Eb R2 U max Eb R1 ln 9.10103 V R1 2 e
9 – 5 静电场的能量 能量密度
C, U, q, E 的变化。 （ 1 ） 充电后切断电源 （2）充电后不切断电源
9 – 静电场的能量 5 静电场的能量 能量密度 第九章静电场中的导体和电介质 例9-9 求半径为R 带电量为Q 的均匀带电球的静电能。 解一：计算定域在电场中的能量 球内 r 处电场
Qr E ， 3 4 0 R (r R)
1 2 0 R Qr 2 4r dr W 0 E dV 0 3 2 2 4 0 R
第九章静电场中的导体和电介质
例 1.平行板电容器，其间充满介质 r , 求下列情况充入介质前后的
A
K 300V
E0
d
B
r
U Ed U0
（1）q不变 解 : 提示： （1）q不变
（2）U不变
C r C0 E
r
U （2）U不变 C r C0 E 不变 q CU r CU d S U 基本公式： C E d d q C C r C0 U
Q2 We 8π R1
（孤立导体球贮存的能量）
9 – 5 静电场的能量 能量密度
第九章静电场中的导体和电介质
例2 如图圆柱形电容器，中间是空气，空气的击 2 6 -1 穿场强是 Eb 310 V m，电容器外半径 R2 10 m. 在空气不被击穿的情况下，内半径 R1 ? 可使电容器 存储能量最多. （ 空气 r 1 ）43; ++ _
6-5 静电场的能量和能量密度
14
物理学
第五版
6-5 静电场的能量和能量密度
故静电能量为
1 v v 1 2 We = ∫ D • EdV = ε ∫ EV dV 2 2 V 1 = ε∫ 2 a
∞
q q 2 4π r dr = 2 8πε a 4πε r
2
2
15
物理学
第五版
6-5 静电场的能量和能量密度
1 = 2
当均匀电介质充满电场时 当均匀电介质充满电场时 电介质充满
∫∫∫
V
εE
2
dV
电场能是整个电场的总能量。 电场能是整个电场的总能量。
19
Q2 1 1 2 W= = CU = QU 2C 2 2
18
物理学
第五版
6-5 静电场的能量和能量密度
静电场的能量 电场能量的体密度： 电场能量的体密度：
1 uv uv we = D ⋅ E 2
电场能: 电场能:
uv uv 1 W = ∫∫∫ we d V = ∫∫∫ E ⋅ Dd V 2 V q
B
17
物理学
第五版
总结：电容器 电容 总结：
电容器的电容
6-5 静电场的能量和能量密度
C = q −U
U
A
B
三种常见的电容器 平行板电容器 圆柱形电容器的电容 球形电容器的电容 电容器的能量
C =
C
q U AB
=
=
ε0S
d
0
2 πε ln R R
l
2 1
4πε 0 R B R A C = (R B − R A )
R r
Q
12
物理学
第五版
6-5 静电场的能量和能量密度
物理学
第五版
6-5 静电场的能量和能量密度
故静电能量为
1 v v 1 2 We = ∫ D • EdV = ε ∫ EV dV 2 2 V 1 = ε∫ 2 a
∞
q q 2 4π r dr = 2 8πε a 4πε r
2
2
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物理学
第五版
6-5 静电场的能量和能量密度
1 = 2
当均匀电介质充满电场时 当均匀电介质充满电场时 电介质充满
∫∫∫
V
εE
2
dV
电场能是整个电场的总能量。 电场能是整个电场的总能量。
19
Q2 1 1 2 W= = CU = QU 2C 2 2
18
物理学
第五版
6-5 静电场的能量和能量密度
静电场的能量 电场能量的体密度： 电场能量的体密度：
1 uv uv we = D ⋅ E 2
电场能: 电场能:
uv uv 1 W = ∫∫∫ we d V = ∫∫∫ E ⋅ Dd V 2 V q
B
17
物理学
第五版
总结：电容器 电容 总结：
电容器的电容
6-5 静电场的能量和能量密度
C = q −U
U
A
B
三种常见的电容器 平行板电容器 圆柱形电容器的电容 球形电容器的电容 电容器的能量
C =
C
q U AB
=
=
ε0S
d
0
2 πε ln R R
l
2 1
4πε 0 R B R A C = (R B − R A )
R r
Q
12
物理学
第五版
6-5 静电场的能量和能量密度
...必修三第十章静电场中的能量微公式版知识点总结归纳
千里之行，始于足下。
...必修三第十章静电场中的能量微公式版知识
点总结归纳
必修三第十章静电场中的能量微公式版知识点总结归纳：
1. 静电场中的电势能：电场中的电荷在电场力作用下移动时会做功，其功可以转化为电势能。
电势能的表达式为 U = qV ，其中 q 是电荷量，V 是电势。
2. 静电场中的电场能量：静电场在存在电荷时具有能量，称为电场能量。
电场能量的表达式为 W = (1/2)ε₀E²，其中ε₀是真空电容率，E 是电
场强度。
3. 静电场的能量密度：静电场中的能量分布在空间中，单位体积内的能量称为能量密度。
能量密度的表达式为 u = (1/2)ε₀E²，其中ε₀是真空
电容率，E 是电场强度。
4. 静电场的能量守恒定律：静电场中的能量不会产生或消失，只会转化形式，遵循能量守恒定律。
5. 点电荷系的电势能：点电荷系的总电势能可以看作是各个电荷之间相互作用电势能的总和。
6. 电场的能量密度的积分表达式：电场的能量密度可以通过对空间中所有点的能量密度进行积分，得到电场的总能量。
7. 惯性负荷的移动：当惯性负荷从一个电势较高的位置移动到一个电势较低的位置时，它会释放出一部分能量。
第1页/共2页
锲而不舍，金石可镂。
8. 静电势能的应用：静电势能可以用于描述电场的储能特性，例如电容器的电荷和电势能的关系、电容器的能量和电势差的关系。
以上是必修三第十章静电场中的能量微公式版的知识点总结归纳。
静电场的能量与能量密度
静电场是由带电粒子的分布和运动引起的一种电力学现象。
它的能量
与能量密度是电力学中的重要概念，可以用来描述静电场的强弱和能
量分布。
静电场的能量是指静电场中带电粒子所携带的能量。
这些能量可以在
静电场中传递和转化，但是总能量是不变的。
静画场的能量密度是指单位体积内静电场的能量。
在静电场中，能量
密度越大，静电场就越强。
反之，能量密度越小，静电场就越弱。
举个例子，假设有两个电荷相互作用，一个带正电荷，一个带负电荷。
如果电荷的电量越大，那么静电场的能量就越大，能量密度也就越大。
如果电荷的电量越小，那么静电场的能量就越小，能量密度也就越小。
静电场的能量和能量密度是相互影响的，因此在研究静电场时，通常
要同时考虑这两个概念。
静电场的能量
q
连接后, 腔内电场消失, 腔外电场不变, 所以 静电场能量减少.
答案(B)
太原理工大学大学物理
例3 为电容器充电. 在电源保持连接的情况下, 把电介质插入, 则静电能 . (填增大、减小、不变)
解：电源保持连接时，两极板间的电 压一定，插入介质后，C增大 由 得静电能增加
思考： 若将“电源保持连接”改为“电源断开”, 结果如何？
We 1 2 e 0 r E V 2
对于电容器中充有各向同性的电介质
1 2 1 e 0 r E DE 2 2
说明： 1）公式对任意电场成立。 2）电场的能量密度与场强的平方成正比， 场强越大，能量密度越大。 太原理工大学大学物理
3.一般电场的能量 对于非均匀电场，电场能量密度应为空间 坐标的函数，任何带电系统的电场中所储存的 总能量为：
dr
q E2 2 4 πr
r
o
R
取半径为r-r+dr 的球壳, 体积 dV= 4πr2dr 体积元中电场能为 dW dV 1 E 2 dV e e 2 太原理工大学大学物理
整个电场中能量 1 We E 2 dV V 2
0dV
0 R R
R
0
0dV
2
R
1 2 E2 4 r 2 dr 2
1 q 2 4 r dr 2 2 4 r
q2 8 R
2 2 2
解二 看成电容器（孤立导体球）
1q q q We 2 C 2 4 R 8 R
太原理工大学大学物理
例2 如图，一带电量为q的球形导体置 于一任意形状的空腔导体中. 若用导 线将两者连接，则系统静电场能将 (A)增加. (B)减少. (C)不变. (D)无 法确定. 解：连接前, 腔内外均有电场.
大学物理8-5 静电场的能量
E ( R1 r R2 ) 2π 0 r
r R1
max Eb 2π 0 R1
l
max 2 0 R1 Eb
-+ - + R1 - + R2 -+
8 – 5
静电场的能量
第八章 静电场中的导体和电介 质
（2）电场的能量
E ( R1 r R2 ) 2π 0 r
( R1 r R2 )
1 1 R12 Eb2 2 wm 0 Em 0 2 2 2 r
R2
沿轴线单位长度的最大电场能量
Wm wm dV
2 1 2 b
R1
1 R E 0 2 1 2rdr 2 r
2 1
2 b
R2 4 1 0R E ln 5.76 10 J m R1
8 – 5
静电场的能量
第八章 静电场中的导体和电介 质
作业:
Q2 6 8 0 R
2
R
0
Q 2 dr 4 r dr R r 2 8 0
2 2
Q Q 3Q 40 0 R 8 0 R 20 0 R
8 – 5
静电场的能量
例8-6 如图所示,球形电容器的内、外半径分别为 R1和 所带电荷为 Q．若在两球壳间充以相对介电常数为 的电介质，求此电容器贮存的电场能量.
8 – 5 一
静电场的能量 电容器的电能
第八章 静电场中的导体和电介 质
q d W udq d q C
1 W C
Q
0
1 1 W QU CU 2 2 2
Q2 1 1 电容器贮存的电能 We QU CU 2 2C 2 2
6-5 静电场的能量和能量密度
2
+++++++++
+Q +q(t)
-q(t) -Q
---------
E
A
U
B
第六章 静电场中的导体和电介质
3
物理学
第五版
6-5 静电场的能量和能量密度
二
静电场的能量
能量密度
平行板电容器内的电场总能量：
d
---------
S
+++++++++
1 1 S 1 2 2 ε0 ( Ed ) ε0 E 2 Sd We CU 2 2 d 2
第六章 静电场中的导体和电介质
1
物理学
第五版
6-5 静电场的能量和能量密度
电容器电能公式的证明：
设t时刻，两极板上电荷分 别为+q(t)和q(t)， A、B间电势差为：
把电量dq 从B移到A，外力做的功为:
+++++++++
q (t ) U C
q (t ) dW Udq dq C
当A、B上电量达到+Q和-Q时，外力做的总 功为:
We we dV
V V
1 we εE 2 2
1 ε0 E 2 dV 2
5
第六章 静电场中的导体和电介质
物理学
第五版
6-5 静电场的能量和能量密度
例：有一个均匀带电荷为Q，半径 为R，均匀带电球面，试求空间中 的电场总能量。
注意：空间的分割和dWe表达式建 立。
§6.5 静电场能量与能量密度
R2 R 1
Q 一定,We ∝ C -1 ; 一定, C 一定,We ∝ Q 2 ; 一定,
( 解毕 )
o
+Q
Q
Chapter 9. 静电场中的导体与电介质 作者: 作者:杨茂田
§9. 4 静电场能量与能量密度
P. 14
课堂练习 已知:R1 ,R2 ,Q ,εr .求球形电容器内部 已知: 求球形电容器内部 电场的电场能量. 电场的电场能量. 提示: 电容器内部电场强度为: 提示: 电容器内部电场强度为: E = 内部电场强度为
Q2 2εrε0S
2
Sdx
εrε0S Q2d , W= , C= e d 2ε rε0S
∴
Q2 W = e 2C
Chapter 9. 静电场中的导体与电介质 作者: 作者:杨茂田
§9. 4 静电场能量与能量密度
P. 18
二,电容器的能量
电容为 C ,带电为 Q 的电容器电场能量为: 的电容器电场能量为:
单位长度电量: 单位长度电量:Q =1×λ = λ 电量
∴
Q λ2 ln R2 = W= e 2C 4π εrε0 R 1
2
R 1 R2
( 解毕 )
Chapter 9. 静电场中的导体与电介质 作者: 作者:杨茂田
§9. 4 静电场能量与能量密度
P. 21
课堂练习 保持平板电容器的电量 Q 不变,将板间距由 不变, d 缓慢地增至 2d ,则外力做功为多少?板面积为 S . 缓慢地增至 则外力做功为多少? 提示: 外力功= 提示: 外力功=电容器能量的增量 !
Q2 之前: 之前: W 1 = e 2C1
单位长度电量: 单位长度电量:Q =1×λ = λ 电量
Q 一定,We ∝ C -1 ; 一定, C 一定,We ∝ Q 2 ; 一定,
( 解毕 )
o
+Q
Q
Chapter 9. 静电场中的导体与电介质 作者: 作者:杨茂田
§9. 4 静电场能量与能量密度
P. 14
课堂练习 已知:R1 ,R2 ,Q ,εr .求球形电容器内部 已知: 求球形电容器内部 电场的电场能量. 电场的电场能量. 提示: 电容器内部电场强度为: 提示: 电容器内部电场强度为: E = 内部电场强度为
Q2 2εrε0S
2
Sdx
εrε0S Q2d , W= , C= e d 2ε rε0S
∴
Q2 W = e 2C
Chapter 9. 静电场中的导体与电介质 作者: 作者:杨茂田
§9. 4 静电场能量与能量密度
P. 18
二,电容器的能量
电容为 C ,带电为 Q 的电容器电场能量为: 的电容器电场能量为:
单位长度电量: 单位长度电量:Q =1×λ = λ 电量
∴
Q λ2 ln R2 = W= e 2C 4π εrε0 R 1
2
R 1 R2
( 解毕 )
Chapter 9. 静电场中的导体与电介质 作者: 作者:杨茂田
§9. 4 静电场能量与能量密度
P. 21
课堂练习 保持平板电容器的电量 Q 不变,将板间距由 不变, d 缓慢地增至 2d ,则外力做功为多少?板面积为 S . 缓慢地增至 则外力做功为多少? 提示: 外力功= 提示: 外力功=电容器能量的增量 !
Q2 之前: 之前: W 1 = e 2C1
单位长度电量: 单位长度电量:Q =1×λ = λ 电量
大学物理电学第六节
E = EBC
+
+
dl +
+
Y
+ + +
A
a
O B dE
θ
a
θ
+
C dE
a
D
X
取电荷元 dl ， dq 所以
= λdl dq λdl dE = = 2 2 4πε0a 4πε0a
E x = ∫ dE x = 0
由对称性分析： 由对称性分析：
+ + + +
Y
+ + +
a
A
a
λdl E = E y = ∫ dE y = ∫ dE sin θ = ∫ sin θ 2 4πε 0 a
2
+ dq
外力作功
把微小电荷 + dq 移到另一个极板外力克服电场力作功
dA = (V1 − V2 )dq
' '
q 电容器电容为C，此时带电量为q， V1′ − V2′ = C q dA = dq 所以
C 当电容器由 q = 0 到 q = Q 外力作功
A = ∫ dA = ∫
Q
0
这个功应等于电容器的静电能。 这个功应等于电容器的静电能。 Q = C (V1 − V2 ) 电容器的静电能
解： D =
q 4π r 2
dr
E=
D
ε
=
q 4πε r
2
2
r R2
R1
dV = 4π r dr
1 q 2 we = ε E = 2 2 8πε r
2
dWe = we dV
1 q 1 − We = ∫ wedV =∫ dr = 2 R R R 8 1 8πε 1 πε r 2
18-5 静电场的能量和能量密度
2
We外
18– 5 静电场的能量 能量密度
第十八章静电场中的导体和电介质
例2 球形电容器带电荷量q，内外半径分别为R1和R2，极 板间充满介电常数为 的电介质。计算电场的能量。 解：
q D 4π r 2
E
D
q 4π r
2
2
dr r R2
R1
dV 4π r dr
2 1 q we E 2 2 4 2 32π r
4 π R1 R2 C R2 R1
18– 5 静电场的能量 能量密度
第十八章静电场中的导体和电介质
例3 空气平行板电容器，面积为S，间距为d。现在把一块 厚度为t的铜板插入其中。1、计算电容器的电容改变量； 2、电容器充电后断开电源，再抽出铜板需做多少功？ 解：插入前： C0
0S d 插入后： V d t 0 S 0S C V d t
dWe we dV
18– 5 静电场的能量 能量密度
第十八章静电场中的导体和电介质
2
We we dV
R2
R1
q q dr 2 8π r 8π
2
1 1 R R 2 1
计算电容量：
1 q2 1 q2 We 2 4π R1 R2 2C R2 R1
18– 5 静电场的能量 能量密度
第十八章静电场中的导体和电介质
一、电容器的能量
对于平板电容器充电过程 设任意时刻，极板间的电势为u,极 板上的电量为q，将dq从B板移至A 板，则电源作功为 dW udq q dq C 平板电容器充电完毕,两极板间的电势差为V，极板上的电 A B 量为Q + + 极板带电Q的过程中,电源作的的总功为: + Vq 1Q + W dW dq -q +q C 2 C
大学物理 静电场的能量和能量密度讲解
1 2
0
E
2
D 0r E E
dWe wedV
W
dW
V
V
1 2
0
E
2dV
V
1 2
DEdV
若是均匀电场，则 W w V
7
10.8 电场的能量和能量密度
例： 计算球形电容器的能量
已知RA、RB、q
解：场强分布
E
q
4 0r 2
取体积元dV 4r 2dr
例1 如图所示,球形电容器的内、外半径 分别为R1和R2 ，所带电荷为Q．若在两球
壳间充以电容率为 的电介质，问此电容器
贮存的电场能量为多少？
-Q Q
R1
R2
9
10.8 电场的能量和能量密度
解
E
1 4π
ε
Q r2
we
1 2
εE 2
32
Q2 π2 εr 4
dWe
wedV
Q2 8 π εr 2
r R1
（2） R2
We
Q2 8 π εR1
（孤立导体球）
R2
11
10.8 电场的能量和能量密度
例2
圆柱形空气电容器中，空气
的击穿场强是Eb=3106 V·m-1 ，设 - +
外导体的半径R2= 10-2 m .求（1） 若内导体的半径R1= 5×10-3 m，在
l
-
+ +
-+
R1 R2
dr
We
dWe
Q2 8πε
2-3静电场的能量和能量密度(1).ppt
例1 如图所示,球形电容器的内、外半径分别为 R 1 和 R 2 ，所带电荷为 Q ．若在两球壳间充以空气，问 此电容器贮存的电场能量为多少？
解
1 Q 2 w E e 0 2 4 2 3 2 π r 0 2 Q d W d V d r e w e 2 8π 0r
2 R 2
1 Q E e 2 r 4 π 0 r 2
R1
dr
r
R2
2
Q d r Q 1 1 W d W ( ) e e 2 R 1r 8 π 8 π 0 0 R 1 R 2
2 2 Q 1 1 1 Q W ( ) e RR 8 π R 24 2 1 0 R 1 2 π 0 R R 2 1
讨论
Q （ 1） W e 2 C
++ + _ + + _ + ++ _
_
max R2 Eb W ln e 2π 0 R1 4π 0 R 1 2 π E R m ax 0 b 1 R 2 2 2 W π E R ln e 0 b 1 R 1
2
l
_ d W R 2 _ e 2 _ π E R ( 2 ln 1 ) 0 0 b 1 d R R _ ++ + _ 1 1 2 + + R 10 3 2 _ + ++ _ R m 6 . 07 10 m 1 _ e e R R 3 b 2 2 E U E R ln 9 . 10 10 V maxb 1 R 2 e 1
E ( R r R ) 1 2 2 π r 0
max Eb 2 π 0R 1
大学物理静电场的能量教案
一、教学目标1. 理解静电场能量的概念及其在物理现象中的应用。
2. 掌握静电场能量密度的计算方法。
3. 能够运用静电场能量密度求解静电场中的能量问题。
二、教学重点1. 静电场能量的概念。
2. 静电场能量密度的计算。
3. 静电场能量在实际问题中的应用。
三、教学难点1. 静电场能量密度的理解。
2. 静电场能量在实际问题中的求解。
四、教学过程（一）导入1. 提问：什么是静电场？静电场有哪些性质？2. 引导学生回顾静电场的基本概念，如电场强度、电势等。
3. 提出本节课要学习的内容：静电场的能量。
（二）静电场能量的概念1. 介绍静电场能量的概念：静电场中，电荷所具有的能量。
2. 解释静电场能量的来源：电荷之间的相互作用。
3. 强调静电场能量与电场强度、电势的关系。
（三）静电场能量密度的计算1. 介绍静电场能量密度的概念：单位体积静电场中储存的能量。
2. 计算静电场能量密度的公式：W = 1/2 ε0 E^2，其中W为能量密度，ε0为真空介电常数，E为电场强度。
3. 通过实例说明静电场能量密度的计算方法。
（四）静电场能量在实际问题中的应用1. 讨论静电场能量在电容器储能中的应用。
2. 分析静电场能量在电荷运动过程中的变化。
3. 通过实例说明静电场能量在实际问题中的求解。
（五）课堂小结1. 总结静电场能量的概念、计算方法及其在实际问题中的应用。
2. 强调静电场能量密度与电场强度的关系。
（六）课后作业1. 完成课后习题，巩固所学知识。
2. 查阅相关资料，了解静电场能量在其他物理现象中的应用。
五、教学反思1. 本节课通过引入实际问题，引导学生理解静电场能量的概念及其在物理现象中的应用。
2. 通过实例讲解静电场能量密度的计算方法，帮助学生掌握计算技巧。
3. 在课后作业中，要求学生查阅资料，拓展知识面，提高学生的自主学习能力。
10-5静电场的能量, 能量密度
Q2 qdq 2C C
d
2 1 1 1 Q We QU CU 2 2 2 2 C
这就是平行平板电容器储存的静电能的计
算公式。
这一公式也适用于球形、柱形电容器等；
是计算电容器储存静电能的普遍公式。
由上讨论可知，电容器是一个储能元件。
上式似乎表明电容器的极板是电能的携带者。
那么，静电能量到底储存在什么地方呢？
10-5 静电场的能量 能量密度 以平行板电容器充电过程为例，讨论通过外力 做功把其他形式的能量转化为静电能的机理，从而 导出电场能量计算公式。 一. 电容器的静电能 设电容为C的电容器两个极板A和B在某一时刻 分别带电 +q 和 -q ，其两极板电势差为U， 要把正电荷dq从负极板上移 +q -q 到正极板，必须借助于外力克服 A B 静电场力而做功：dWe Udq
1 2 0 r E dV 2
例. 球形电容器的内外半径分别为R1和 R2，所带电荷 电介质。问此电容器的储存的电场能为多少？ 解: 如图：取一半径为r的球面高斯面
为 Q 和-Q，在两球壳间充以相对介电常数为 r的
2 D d S D 4 r Q
E D
0 r
1 2 We 0 E V 2
二. 静电场能 场能密度 由于平行平板之间的电场是均匀的， 所储存的静电能也应该均匀分布的，
+Q A
S
-Q
r
d
B
根据上式可以得到单位体积中的电场能， 即电场能量密度 真空中
We 1 2 we 0E V 2
D 0 r E
各向同性均匀电介质的电场中
电场能量密度
1 2 1 we E DE 2 2
2-3静电场的能量和能量密度
（2）设两极板之间的相互吸引力为F ，拉开两极板 时所加外力应等于F ，外力所作的功A=Fd ，所以
A Q F d 2 0 S
2
例题8. 物理学家开尔文第一个把大气层构建为一个 电容器模型，地球表面是这个电容器的一个极板，带 有5×105C的电荷，大气等效为5km的另一块极板，带 正电荷。如下页图所示。（1）试求这个球形电容器的 电容；（2）求地球表面的能量密度以及球形电容器的 能量；（3）已知空气的电阻率为3×1013Ω ，求球形电 容器间大气层的电阻是多少？（4）大气电容器的电容 和电阻构成一个RC放电回路，这个放电回路的时间常 数是多少？（5）经研究，大气电容器上的电荷并没有 由于RC回路放电而消失是因为大气中不断有雷电补充 的结果，如果平均一个雷电向地面补充25C的电荷， 那么每天要发生多少雷电？
该处的能量密度为
1 2 q we E 2 4 2 32 r
在半径为 r 与 r+dr 之间的球壳的能量为
d We we 4 r d r
2
q
2 2
q
R
8 r
dr
r
dr
dq
空间的总能量为
q q dr We dWe 2 8 R r 8 R
2
2
例3 如图所示,球形电容器的内、外半径 分别为R1和R2 ，所带电荷为Q．若在两球 壳间充以电容率为 的电介质，问此电容器 贮存的电场能量为多少？ -Q
Q
R1
R2
1 Q 解 E 4 π ε r2 1 2 Q2 we εE dV 4 r 2 dr 2 32 π 2 εr 4 2 Q -Q dWe we dV dr 8 π εr 2 Q dr Q 2 R 2 dr r R1 We dWe 8 π ε R1 r 2 2 Q 1 1 ( ) R2 8 π ε R1 R2
大学物理(上册) 6.5静电场的能量 能量密度(4)
对于平行板电容器电能0ruedcsd????22e21212cuqucqw???220r2ewsedd????物理意义
6.5 静电场的能量 能量密度
1.电容器的电能
---------
+ ƻ + E
以平行板电容器为例：得到平行板电容器的电能， 最后推广到一般，得到静电场能量的一般表达式。 分析：电容器的充电等效于不断将正电荷从负极 板移动到正极板的过程。电荷迁移过程中外界克 服场力做功，外界能源所供能量转化为电容器的 电能。
(2)
讨论: 对于平行板电容器电能
Q2 1 1 We QU CU 2 2C 2 2
(2)
U Ed , C 0 r S / d ,
We 0 r S (Ed ) / 2d
2
2. 静电场的能量及能量密度
1 2 1 S 1 2 2 ( Ed ) E ( Sd ) We CU 2 2 d 2
(1) (2) (3)
1 1 2 电场能量密度: we E E D 2 2
1 电场空间的能量: We we dV E DdV V V 2
物理意义:
电场是一种物质；电场具有能量.
q dW U ' dq dq C 故总功为： Q2 1 Q W qdq 2C C 0 1 1 QU CU 2 2 2 Q 其中： C
U
+++++++++
U
- - - - - - - - - dq
(1)
E
+
故电容器贮存的电能:
Q2 1 1 We QU CU 2 2C 2 2
6.5 静电场的能量 能量密度
1.电容器的电能
---------
+ ƻ + E
以平行板电容器为例：得到平行板电容器的电能， 最后推广到一般，得到静电场能量的一般表达式。 分析：电容器的充电等效于不断将正电荷从负极 板移动到正极板的过程。电荷迁移过程中外界克 服场力做功，外界能源所供能量转化为电容器的 电能。
(2)
讨论: 对于平行板电容器电能
Q2 1 1 We QU CU 2 2C 2 2
(2)
U Ed , C 0 r S / d ,
We 0 r S (Ed ) / 2d
2
2. 静电场的能量及能量密度
1 2 1 S 1 2 2 ( Ed ) E ( Sd ) We CU 2 2 d 2
(1) (2) (3)
1 1 2 电场能量密度: we E E D 2 2
1 电场空间的能量: We we dV E DdV V V 2
物理意义:
电场是一种物质；电场具有能量.
q dW U ' dq dq C 故总功为： Q2 1 Q W qdq 2C C 0 1 1 QU CU 2 2 2 Q 其中： C
U
+++++++++
U
- - - - - - - - - dq
(1)
E
+
故电容器贮存的电能:
Q2 1 1 We QU CU 2 2C 2 2
静电场的能量与能量密度
The Energy and Energy Density of Electrostatic Field 作者： 蒋学华
作者机构： 临沂师范学院物理系，山东临沂276006
出版物刊名： 通化师范学院学报
页码： 17-20页
主题词： 静电场 电势能 静电能 电场能 能量密度 电磁学教材
摘要：导出了静电场在真空和电介质中的能量与能量密度公式,并讨论了电场能与能量密度的物理涵义,同时阐明了电势能、静电能、电场能的区别和联系,分析了电介质对静电场能量密度的影响,确定了静电场能量的分布规律,表明静电场的能量定域在电场中,电场是电场能量的承载者.。
10.05 静电场的能量及能量密度、静电的应用
2）能量密度公式： 1 1 2 1 1 2 we E DE D 或 w e E D 2 2 2 2 1 对所有线性极化介质（包括各向 we E D 异性的线性极化介质）都成立。 2 在空间任意体积V内的电场能：
1 W w e dV D dV V V 2R r
Q
21
1 1 1 2 2 We ( DE )dV ε0 E1 dV ε0 E2 dV V 2 V1 2 V2 2 2 2 R1 1 Qr Q 2 2 ε0 4πr dr ε0 4πr dr 3 2 0 2 R 2 4πε0 R 4πε0 r
χ -
E -
C -
-
-
设此电容器是一个平行平板电容器则有： 1 1 S 1 1 2 2 2 We CU ( Ed ) E ( Sd ) E 2V
2 2 d 2 2
上述分析表明：电场具有能量。它是静电场本身 所具有的能量，而不是相互作用的势能。静电场 能量的存在还进一步说明了静电场的物质特性。
Q Q 40πε0 R 8πε0 R 3Q 2 20πε0 R
r
2
2
R
Q
22
C1C2 C C1 C 2
1 2 S d1 2 d 21
1 2
d1 d2
14
4 如图，一平行板电容器极板面积为S， 厚度为d1 ，中间一半体积内充有电容率为1 的介质，另一半体积内充有电容率为2的介 质，求该电容器的电容. S/2 S/2
1
2
d
15
解 此题可看成两个电容器的串联 1S 2S
s
D 4r q
2
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max
+ ++ _ + + +++ _
_
13
10.8
电场的能量和能量密度
R2 （ 2 ）U ln 2 π ε0 R1
根据功能原理，外力做的功应等于两个点电荷形成 系统前后电能的增量，即等于点电荷系统的电能。
3
10.8 电场的能量和能量密度 U为 q在 q1 2 所在点处的电势 1 式(10.8.1)可以改写为 1 q2 1 q1 1 1 W q1 q2 q1U 1 q2U 2 2 4 0 r 2 4 0 r 2 2 此结论可以推广：对于有n个点电荷的系统，其 系统的电场能为 n 1 W ( qi U i ) i 1 2 如果电荷连续分布，则采用微元法，对上边 的和式取极限，即可得到电荷连续分布的带电体 的电场能为 1 W q udq 2
10.8
电场的能量和能量密度
10.8 静电场的能量
静电场能量的来源：
若有一带电体带有电量Q，可以设想这一带电 状态是这样建立的，即不断地把微小电量从无限 远处移到这一物体上，一直到带电体带有电量Q为 止。在这一过程中外力不断地克服电场力而做功。 当带电体带有电荷 q 、相应的电势为 U 时，再把 一个 dq 从无限远处移到这一物体上时，外力做的 功为 dW (U U )dq Udq
-Q Q
R1
10
10.8
电场的能量和能量密度
Q2 1 1 讨论 We ( ) 8 π ε R1 R2 Q2 （1） We 2 C R2 R1 C 4πε R2 R1 dr
（球形电容器）
r
R2
R1
Q2 （2） R2 We 8 π εR1
（孤立导体球）
11
10.8
电场的能量和能量密度
W w V
7
10.8
电场的能量和能量密度
例： 计算球形电容器的能量 已知RA、RB、q q 解：场强分布 E 4 0 r 2
q
RA
q
取体积元 dV 4r 2 dr 1 1 q 2 dW wdV 0 E dV 0 ( )2 4r 2 dr 2 4 0 r 2 2 RB 2 2 q 1 1 q 能量 W dW 8 0 r 2 dr 8 0 ( RA RB ) V RA
1
10.8
电场的能量和能量密度
Q
所以带电体的电量从0增加到Q时，外力做的总功
W dW 0 Udq
按能量守恒，外力所做功转化为带电体的电势能。 10.8.1 点电荷系的电势能 先讨论两个点电荷组成的系统： 设有两个点电荷 q1和 q2相距 r ，令 q1不动， 将 q2从它所在的位置移动到无限远。在这个过程 中， q1的电场力对 q2做的功为 q1 Wr r q2 E1 dl q2 (U r U ) q2 4 0 r 2
6
10.8
电场的能量和能量密度
2、电场中某点处单位体积内的电场能量 对任一电场，电场强度非均匀
W 1 w 0E 2 V 2
D 0 r E E
dWe we dV
1 1 2 W dW 0 E dV DEdV V V 2 V 2
若是均匀电场，则
uA
uB
Q
终 了 时 刻
Q
UA
UB
5
10.8
二、电场能量
对平行板电容器
电场的能量和能量密度 q q
0
1 1 0S 2 W CU ( )( Ed )2 2 2 d 1 1 2 0 E ( Sd ) 0 E 2V 2 2
S
d
电场存在 的空间体积
电场能量体密度——描述电场中能量分布状况
1 2
RB
r
1 2 q2 q RA RB 2C 4 0 RB RA
8
10.8
电场的能量和能量密度
例1 如图所示,球形电容器的内、外半径 分别为R1和R2 ，所带电荷为Q．若在两球 壳间充以电容率为 的电介质，问此电容器 贮存的电场能量为多少？ -Q
Q
R1
R2
9
10.8
电场的能量和能量密度
1 Q 解 E 4 π ε r2 1 2 Q2 we εE 2 32 π 2 εr 4 2 Q dWe we dV dr 2 8 π εr dr 2 R 2 dr Q r We dWe 8 π ε R1 r 2 Q2 1 1 ( ) R2 8 π ε R1 R2
例2
圆柱形空气电容器中，空气 - + 的击穿场强是Eb=3106 V· -1 ，设 m - + R -2 m .求（1） 外导体的半径R2= 10 l + -3 m，在 若内导体的半径R1= 5×10 - + R 空气不被击穿的情况下，电容器 _ _ _ 所能承受的最大电压；（2）长圆 _ + ++ _ 柱导体的半径R1 取多大值可使电 + + _ +++ _ 容器存储能量最多？ _
1
2
12
10.8
电场的能量和能量密度
解 （ 1）
E 2 π ε0 r
( R1 r R2 )
l _
R1处E最大，最容易被击穿
Eb
U max
max
2π ε0 R1 max 2 π ε0
+ + + +
_
R1
R2
R2
R1
dr r
_
_
_
R2 ln R1 Eb ln 2 2 π ε0 R1
4
10.8 10.8.2 电容器的储能
电场的能量பைடு நூலகம்能量密度
q
任 一 时 刻
q
dq
q 外力做功 dW dA udq dq C Q q Q2 电容器的电能 A dq C 2C 0
Q2 1 1 W QU CU 2 2C 2 2
q u A uB u C dq B A
10.8
电场的能量和能量密度
这说明当 q1 和 q2 相距 r 时，它们的相互作用能为 q1q2 W (10.8.1) 4 0 r 那么这一能量从何而来呢？设想：如果再把 q2 从 无限远处移到与 q1相距 r 的位置，显然，在这个 过程中外力要克服电场力做功 r q1 W q2 E1 dl r q2 E1 dl q2 4 0 r