人教版八年级数学讲义乘法公式(含解析)(2020年最新)
八年级上册数学人教版乘法公式讲解
八年级上册数学人教版乘法公式讲解
乘法公式是整式乘法的一个重要内容，它是指将一些特殊的多项式相乘，得到的结果用一个公式表达出来，这样可以简化计算过程，提高计算效率。
在乘法公式的教学中，首先需要了解什么是乘法公式。
乘法公式是形如（a+b）（a-b）的式子，它可以用来计算两个数的和与差的积。
接下来，需要掌握乘法公式的两种形式。
一种是平方差公式，即（a+b）（a-b）=a²-b²，该公式可以通过多项式乘法的法则进行验证；另一种是完全平方公式，即（a+b）²=a²+2ab+b²，（a-b）²=a²-2ab+b²，该公式可以通过多项式乘法的法则进行推导。
在应用乘法公式时，需要注意以下几点：
1. 掌握公式的结构特征，知道公式的左边是两个二项式相乘，右边是三个单项式的积。
2. 正确理解公式的意义，知道左边是两个数的和与差的积，右边是这两个数的
平方和与平方差的积。
3. 正确运用公式的条件，知道只有当左边是两个二项式相乘，右边是三个单项式的积时才能使用该公式。
4. 正确运用公式的逆用，知道将一些特殊的多项式相乘时，可以使用公式的逆用简化计算。
最后，为了巩固所学知识，可以进行适量的习题练习，以加深对乘法公式的理解和掌握。
同时，在做题时应该认真审题，注意观察公式的结构特征，以便能够正确运用公式进行计算。
【精品讲义】人教版 八年级上册数学 乘法公式与因数分解 知识点讲解+练习题
讲 义(a+b)(a-b)=a 2-b 2 (a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2 归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：① 位置变化，(x +y )(-y +x )=x 2-y 2② 符号变化，(-x +y )(-x -y )=(-x )2-y 2= x 2-y 2 ③ 指数变化，(x 2+y 2)(x 2-y 2)=x 4-y 4④ 系数变化，(2a +b )(2a -b )=4a 2-b 2 ⑤ 换式变化，[xy +(z +m )][xy -(z +m )]=(xy )2-(z +m )2=x 2y 2-(z +m )(z +m )=x 2y 2-(z 2+zm +zm +m 2)=x 2y 2-z 2-2zm -m 2⑥ 连用公式变化，(x +y )(x -y )(x 2+y 2)=(x 2-y 2)(x 2+y 2)=x 4-y 4 1、计算下列各式：(1)[(x ＋y)3]4 ； (2) (a 4n )n －1 ；(3) (－a 3)2＋(－a 2)3－(－a 2)·(－a)4 ；(4) x 3·x 2·x 4＋(－x 4)2＋4(－x 2)4例. 计算：()()53532222x y x y +-(二)、连用:连续使用同一公式或连用两个以上公式解题。
例. 计算：()()()()111124-+++a a a a例. 计算：()()57857822a b c a b c +---+例.（1）已知a b ab -==45，，求a b 22+的值。
(2) 已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。
(3) 已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。
(4) 已知x-y=2，y-z=2，x+z=14。
求x 2-z 2的值。
例：计算19992-2000×1998 例.已知13x x-=，求441x x +的值。
【精品讲义】人教版八年级上册数学乘法公式讲义知识点讲解+练习题
1、同底数幕的乘法法则：同底数幕相乘，底数不变，指数相加。
即（疋（咏n都是正整数）注：底数可以是单项式，也可以是多项式：底数不同的幕相乘，不能用该法则：不要忽视指数为1的因数:三个或三个以上同底数幕相乘时，也具有这一性质；该法则可以逆用，即严=屮 7（m、n都是正整数）2、幕的乘方法则：幕的乘方，底数不变，指数相乘。
即__________________________注：不要将幕的乘方与同底数幕的乘法混淆，幕的乘方运算转化为指数的乘法壳牌（底数不变）.同底数幕的乘法运算转化为指数的加法运算（底数不变九在形式上，底数本身就是一个幕，底数为多项式时，应视为一个整体，切忌分开；幕的乘方法则可进一步推广为：= ______________________ （M、N、P都是正整数）该法则可逆用，即______________________3、积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幕相乘。
即（ab）n = a tl b n（N 为正整数）。
注：法则中的字母可以表示数，也可以表示单项式或多项式：运用该法则时，注意系数为-1时的号的确左：三个或三个以上因式的乘方，也具有这一性质：该法则可逆用，即_________________ ,逆向运用可将算式灵活性变形或简化讣算。
单项式的乘法1、单项式乘单项式法则：把它们的系数、同底数分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为枳的因式。
积的系数等于各因式系数的积，注意相乘时积的符号；相同字母相乘，要运用同底数幫的乘法，即底数不变，指数相加：2、单项式乘多项式法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
单位项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同；积的符号由单项式的符号与多项式的符号同时决定的；对于混合运算，应注意运算顺序，先算积的乘方与幕的乘方，再算乘法，最后有同类项要合并，使所得的结果是要最简。
多项式的乘法：多项式乘多项式法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
八年级乘法公式知识点归纳
八年级乘法公式知识点归纳八年级是数学学科中非常重要的一年，因为这个年级的学生在学习数学的过程中，开始接触到乘法公式这个庞大而重要的领域。
乘法公式是数学中的一个非常基本的概念，它的学习对于数学知识的掌握具有非常重要的意义。
在这里，我们将对八年级学生需要掌握的乘法公式进行简要的归纳和总结。
一、分配律分配律是乘法公式中非常基础的一个概念。
它的表达式为a(b+c)=ab+ac。
这个公式的意思是，对于任意的一个数a以及两个数b和c，它们之间都具有一定的关系。
具体来说，当a与b+c相乘时，可以分别对b和c进行乘法运算，然后将两个结果加起来，得到的结果就是a与b+c的乘积。
这个公式的应用非常广泛，它不仅可以用来解决各种数学问题，在日常生活中也经常用到。
二、结合律结合律是乘法公式中比较重要的一个概念。
它的表达式为(a*b)*c=a*(b*c)。
这个公式的意思是，对于任意三个数a、b和c，它们可以按照不同的顺序进行乘法运算，但是最终的结果永远是一样的。
具体来说，这个公式可以帮助我们简化复杂的乘法运算，提高计算的效率。
三、乘幂乘幂是乘法公式中比较深奥的一个概念。
它通常用来表示一个数除以另一个数的指数次方。
表达式为a^n=a*a*a...*a^n次方。
这个公式的应用非常广泛，它可以用来求解各种数学问题，例如计算八次方、九次方等等。
四、基本定理基本定理是乘法公式中非常重要的定理之一。
这个定理可以用来分解因数，表达式为a*b=c，其中a和b是c的因数。
这个定理的意思是，任意一个数都可以被分解成两个因数相乘的形式。
这个定理虽然看似简单，但是它对于数学知识的掌握有着非常深远的影响。
五、乘数乘数是乘法公式中非常基础的概念之一。
乘数通常用来表示一个数与另一个数相乘的结果。
这个概念对于数学知识的掌握非常重要，因为在乘法运算中，乘数是非常基础的一部分。
六、倍数倍数是乘法公式中非常基础的概念之一。
倍数通常用来表示一个数是另一个数的几倍。
人教版八年级数学上册整式的乘法和因式分解《乘法公式(第1课时)》示范教学课件
＝802－(__)2
＝135；
＝6 384．
2
2
3
2
3
3
4
4
4
你能口算出18×22的值吗？
18×22＝396．
利用平方差公式，可以使一些计算变得简单！
例1 计算：（1）(3x＋2)(3x－2)； （2）(－x＋2y)(－x－2y)．
（2）(－x＋2y)(－x－2y) ＝(－x)2－(2y)2 ＝x2－4y2．
．
你能对发现的规律进行推导吗？
所以，对于具有与此式相同形式的多项式相乘，我们可以 直接写出运算结果．
．
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．
这个公式叫做（乘法的）平方差公式．
．
两个数的和
两个数的差
另一个数的平方
一个数的平方
×
＝
－
．
①
②
a
b
a－b
你能根据下面图形的面积说明平方差公式吗？
79×81＝_____；80×80＝_____．
63
64பைடு நூலகம்
143
144
6 399
6 400
7×9
＝(8－1)(8＋1)
＝82－12
＝64－1
11×13
＝(12－1)(12＋1)
＝122－12
＝144－1
＝63；
79×81
＝(80－1)(80＋1)
＝802－12
＝6 400－1
＝143；
＝6 399．
计算下列各组算式，并观察它们的共同特点．
②
S①＋②＝a2－b2；
S①＋②＝(a＋b)(a－b)；
八年级乘法公式的知识点
八年级乘法公式的知识点八年级数学学科的学习，重点是学习乘法公式的知识点。
乘法公式包括分配律、结合律、交换律和消去律四个方面，本篇文章将会针对乘法公式的知识点进行详细介绍。
一、分配律分配律是指乘法在加法之间分配的法则。
具体来说，乘法运算的结果可以用两个加法运算代替，即a×(b+c)=a×b+a×c，或(a+b)×c=a×c+b×c。
例如：5×(3+4)=5×3+5×4=15+20=35，或(3+2)×6=6×3+6×2=18+12=30。
二、结合律结合律是指乘法可以按任意顺序进行结合的属性，也就是说，a×(b×c)=(a×b)×c或(a×b)×c=a×(b×c)。
例如：4×(3×5)=(4×3)×5=12×5=60，或者(2×5)×6=2×(5×6)=60。
三、交换律交换律是指乘法可以改变它们的顺序，也就是说:a×b=b×a。
例如：4×5=5×4。
四、消去律消去律是指在等式两边同时乘以同一非零数后，结果不变，即a×b=a×c，则b=c；或者b×a=c×a，则b=c。
例如：3×10=4×7，则10/4=7/3。
本篇文章介绍了八年级乘法公式的知识点，包括分配律、结合律、交换律和消去律四个方面，掌握这些知识点对于学习数学来说非常重要。
希望本文能够给你带来帮助。
人教版初中数学八年级上册14.2乘法公式(教案)示例
此外，我发现学生们在解决具体问题时，对于何时使用平方差公式和立方和差公式还不够自信。这可能是因为他们在公式选择和应用上缺乏足够的练习。因此，我计划在下一节课中增加更多针对性的练习，特别是那些涉及公式选择和综合应用的题目。
2.培养学生的数学运算能力，使学生能够熟练运用乘法公式进行简便计算，解决实际问题，增强数学运算的准确性。
3.培养学生的空间想象力和抽象思维能力，通过乘法公式的学习，引导学生从具体实例中提炼出数学规律，提升对数学概念的理解。
4.培养学生的团队协作和交流表达能力，课堂上鼓励学生进行小组讨论，分享乘法公式的发现与应用，提高学生的沟通能力。
-灵活运用乘法公式：学生在解决问题时，可能难以判断何时使用哪个乘法公式，需要通过大量练习和讲解，让学生掌握乘法公式的应用场景。
-识别并分解问题中的乘法结构：学生在面对复杂问题时，可能难以识别其中的乘法结构，需要教师指导如何分解问题，找到适用的乘法公式。
举例：
-难点突破：通过展开(a+b)²和(a-b)²，让学生观察并发现完全平方公式的规律，理解平方差公式的来源。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了乘法公式的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对乘法公式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
在小组讨论环节，我观察到学生们在讨论乘法公式在日常生活中的应用时，能够提出一些很有创意的想法。这表明他们能够将学到的知识应用到实际问题中。然而，我也发现有些小组在讨论时，成员之间的交流并不充分，导致部分学生的参与度不高。在未来的教学中，我需要更加注重引导学生之间的互动，确保每个学生都能积极参与讨论。
(初二数学课件)人教版初中八年级数学上册第14章整式的乘法与因式分解14.2.1 平方差公式教学课件
探究新知
归纳总结 对于平方差中的a和b可以是具体的数， 也可以是单项式或多项式.在探究整除性或 倍数问题时，一般先将代数式化为最简， 然后根据结果的特征，判断其是否具有整 除性或倍数关系．
巩固练习
4. 如果两个连续奇数分别是2n–1，2n+1(其中n为 正整数)，证明两个连续整数的平方差是8的倍数.
不符合平方差公式运
=10000 – 4
= y2–4–y2–4y+算5 条件的乘法，按乘法法
则进行运算.
=9996；利用通平过方合差理公变式形，，可= – 4y + 1.
以简化运算.
巩固练习
2. 计算:
(1) 51×49; 解: (1) 原式=(50＋1)(50–1)
= 502–12 =2500 – 1 =2499；
(2)(3x+4)(3x–4)–(2x+3)(3x–2) . (2) 原式=(3x)2–42–(6x2+5x–6)
= 9x2–16–6x2–5x+6 = 3x2–5x–10.
探究新知
素养考点 3 利用平方差公式进行化简求值
例3 先化简，再求值：(2x–y)(y＋2x)–(2y＋x)(2y–x)， 其中x＝1，y＝2.
人教版 数学 八年级 上册
14.2 乘法公式
14.2.1 平方差公式
导入新知
观察与思考
某同学在计算97×103时将其变成(100–3)(100+3) 并很快得出结果，你知道他运用了什么知识吗？这 节课，我们就来一起探讨上述计算的规律.
素养目标
2. 了解平方差公式的几何意义，体会数 形结合的思想方法. 1. 掌握平方差公式的推导及应用.
1.(a – b ) ( a + b) = a2 – b2 2.(b + a )( –b + a ) = a2 – b2
2023年人教版八年级上册数学必背公式(含解析)
2023年人教版八年级上册数学必背公式(含解析)1. 平方公式- 两个相同数的平方差公式：$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$2. 乘法公式- 平方差求积公式：$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$- 二次完全平方公式：$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$- 二次不完全平方公式：$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$3. 分式运算- 分式相乘公式：$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}$- 分式相除公式：$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b}\times \frac{d}{c} = \frac{a \times d}{b \times c}$4. 代数运算- 求和公式：$a + b + c = c + b + a$- 求差公式：$a - b \neq b - a$- 求积公式：$a \times b = b \times a$- 求商公式：$\frac{a}{b} \neq \frac{b}{a}$5. 几何公式- 直角三角形斜边长度公式（勾股定理）：$c^2 = a^2 + b^2$- 三角形内角和公式：$a + b + c = 180^\circ$- 相似三角形边长比例公式：$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$- 三角形周长公式：$P = a + b + c$6. 统计与概率公式- 平均数计算公式：$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n}$- 可能性计算公式：$P(A) = \frac{\text{有利事件的个数}}{\text{总事件的个数}}$以上是2023年人教版八年级上册数学必背公式的完整版及相应解析。
人教版八年级数学乘法公式
人教版八年级数学乘法公式同底数幂的乘法：1、n个相同因式（或因数）a相乘，记作an，读作a的n次方（幂），其中a为底数，n为指数，an的结果叫做幂。
2、底数相同的幂叫做同底数幂。
3、同底数幂乘法的运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
即：am﹒an=am+n。
4、此法则也可以逆用，即：am+n = am﹒an。
5、开始底数不相同的幂的乘法，如果可以化成底数相同的幂的乘法，先化成同底数幂再运用法则。
同底数幂的除法：1、同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即：am÷an=am-n（a≠0）。
2、此法则也可以逆用，即：am-n = am÷an（a≠0）。
负指数幂：1、任何不等于零的数的―p次幂，等于这个数的p次幂的倒数。
注：在同底数幂的除法、零指数幂、负指数幂中底数不为0。
整式的乘法：（一）单项式与单项式相乘1、单项式乘法法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。
2、系数相乘时，注意符号。
3、相同字母的幂相乘时，底数不变，指数相加。
5、单项式乘以单项式的结果仍是单项式。
6、单项式的乘法法则对于三个或三个以上的单项式相乘同样适用。
（二）单项式与多项式相乘1、单项式与多项式乘法法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配率用单项式去乘多项式中的每一项，再把所得的积相加。
即：m(a+b+c)=ma+mb+mc。
2、运算时注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。
3、积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。
4、混合运算中，注意运算顺序，结果有同类项时要合并同类项，从而得到最简结果。
（三）多项式与多项式相乘1、多项式与多项式乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
即：(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb。
2、多项式与多项式相乘，必须做到不重不漏。
人教版八年级数学课件-乘法公式
(1)(x 7)(x 7) x2 7 (2)(2a 5)(2a 5) 2a2 25 (3)(1 3m)(1 3m) 1 9m2
（ ×）
（ ×） （ ×）
(4)(ab 1)(ab 1) a2b2 1 (5)(a b)(b a) a2 b2
（ ×） （ ×）
(6)(1 4xy)(1 4xy) 1 16x2 y2 （ √）
解: (1) 可 以
(2) 不可以
(3) 可 以
(4) 可 以
(1)(a+3)(a-3) (3)(a2+5b)(a2-5b) (4)(- -14x)(4x - )
3
(2)(2a+3b)(2a-3b)
1 3
解:(1)原式=a2-32 =a2-9
(3)原式=(a2)2-(5b)2
=a4-25b2
(2)原式=(2a)2-(3b)2
3
3
9
(7)(4x 3b)(4x 3b) 16x2 9 （ ×）
(8)(3a bc)(bc 3a) 9a2 b2c2（ √）
思考題： （1）(x4+y4)(x2+y2)(x+y)(x-y)
（2）(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1
作業設計
１、計算：
(1)(a+2b)(a-2b) (2)( a2+5b)( a2-5b) (3)(-2a-3b)(-2a+3b) (4) ( 1 a 1 b)(1 a 1 b)
乘法公式
分別用代數式表示a與b的和 、差、平方差。
解：a與b的和：a+b a與b的差 ：a-b a與b的平方差：a2-b2
計算：
人教版八年级数学课件-乘法公式
去括弧法則： 去括弧時，如果括弧前是正號，去掉括弧後，
括弧裏各項不變號；如果括弧前是負號，去掉括 弧後，括弧裏的各項都變號.也Βιβλιοθήκη 是說，遇“加”不變，遇“減”都變．
*
∵4+5+2與4+（5+2）的值相等；4-5-2與4-（5+2） 的值相等．所以可以寫出下列兩個等式：
（1）4+5+2=4+（5+2） （2）4-5-2=4-（5+2）
(1) ( x +2y-3) (x- 2y +3) ; (2) (a + b +c ) 2.
解: (1) ( x +2y-3) (x- 2y +3)
= [ x+ (2y – 3 )] [ x- (2y-3) ] = x2- (2y- 3)2 = x2- ( 4y2-12y+9) = x2-4y2+12y-9. (2)(a + b +c ) 2
左邊沒括弧，右邊有括弧，也就是添了括弧， 同 學們可不可以總結出添括弧法則來呢？ 添括弧其實就是把去括弧反過來，所以添括弧法則是：
添括弧時，如果括弧前面是正號，括到括弧裏的各項 都不變符號； 如果括弧前面是負號，括到括弧裏的各 項都改變符號．
也是：遇“加”不變，遇“減”都變． *
例5 運用乘法公式計算:
2、我體會到了轉化思想的重要作用， 學數學 其實是不斷地利用轉化得到新知識，比如由繁 到簡的轉化，由難到易的轉化，由已知解決未 知的轉化等等
同學們總結得很好．在今後的學習中希望大家 繼續勇敢探索，一定會有更多發現
*
= [ (a+b) +c ]2 = (a+b)2 +2 (a+b)c +c2 = a2+2ab +b2 +2ac +2bc +c2 = a2+b2+c2 +2ab+2bc +2ac.
人教版八年级数学上册课件 14.2 乘法公式(付,156)
（1）在运用平方差公式之前，一定要看是否具备公式 的结构特征；
（2）一定要找准哪个数或式相当于公式中的a，哪个 数或式相当于公式中的b；
（3）总结规律：一般地，“第一个数”a 的符号相同， “第二个数”b 的符号相反；
总结经验
从例题1和练习1中，你认为运用公式解决问题时应 注意什么？
（3） 51×49；
（4）（3x+ 4）（3 x- 4）-（2 x+3）（2 x-3）．
课堂小结
（1）本节课学习了哪些主要内容？ （2）平方差公式的结构特征是什么？ （3）应用平方差公式时要注意什么？
布置作业
教科书习题14.2第1题．
八年级 上册
14.2 乘法公式 （第2课时）
课件说明
• 本课是在学生已经学习了平方差公式的基础上，研 究第二个乘法公式，它是具有特殊形式的两个多项 式相乘得到的一种特殊形式，也是后续学习因式分 解、分式运算的重要基础．
判定正误
练习 下面各式的计算是否正确？如果不正确，应 当怎样改正？ （1）（x+y）2 =x2+y2； （2）（x-y）2 =x2 -y2； （3）（x-y）2 =x2+2xy+y2； （4）（x+y）2 =x2+xy+y2.
课件说明
• 学习目标： 1．理解完全平方公式，能用公式进行计算． 2．经历探索完全平方公式的过程，进而感受特殊 到一般、数形结合思想，发展符号意识和几何 直观观念．
• 学习重点： 完全平方公式．
导入新知
问题1 计算下列各式: （1）（p+1）2 =______；（m+2）2 =______； （2）（p-1）2 =______；（m-2）2 =______.
部编数学八年级上册专题06乘法公式压轴题的四种考法(解析版)(人教版)含答案
专题06 乘法公式压轴题的四种考法类型一、平方差公式与几何图形综合例1．【探究】如图①，从边长为a 的大正方形中剪掉一个边长为b 的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形．（1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：图① 图② ；（2）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： (用字母a 、b 表示)；【应用】请应用这个公式完成下列各题：①已知2m ﹣n =3，2m +n =4，则4m 2﹣n 2的值为 ；②计算：(x ﹣3)(x +3)(x 2+9)．【拓展】计算()()()()()248322121212121+++++L 的结果为 ．【答案】探究：（1）22a b -，()()a b a b +-；（2）22()()a b a b a b +-=-；应用：①12；②481x -；拓展：6421-．【详解】探究：（1）图①阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即22a b -，图②的阴影部分为长为()a b +，宽为()-a b 的矩形，则其面积为()()a b a b +-，故答案为：22a b -，()()a b a b +-；（2）由图①与图②的面积相等可得到乘法公式：22()()a b a b a b +-=-，故答案为：22()()a b a b a b +-=-；应用：①22()(422342)1m n m n m n -+=´=-=，故答案为：12；②原式22(9)(9)x x =-+，222()9x =-，481x =-；拓展：原式()()()()()()24832212121212211+++=-++L ，()()()()()2248322121212121++=-++L ，()()()()4348221212121=++-+L ，()()()8328212121=-++L ，()()32322121=-+，6421=-．故答案是：6421-．【变式训练1】如图，在边长为a 的正方形中，剪去一个边长为b 的小正方形（a b >），将余下的部分拼成一个梯形，根据两个图形中阴影部分面积关系，解决下列问题：（1）如图①所示，阴影部分的面积为 （写成平方差形式）．（2）如图②所示，梯形的上底是，下底是 ，高是 ，根据梯形面积公式可以算出面积是 （写成多项式乘法的形式）．（3）根据前面两问，可以得到公式 ．（4）运用你所得到的公式计算：22252248- ．【答案】（1）22a b -；（2）()()a b a b +-；（3）22()()a b a b a b -=+-；（4）2000．【详解】解：（1）大正方形的面积为：2a ，小正方形的面积为：2b ，∴阴影部分的面积为：22a b -；故答案为：22a b -；（2）由梯形的定义可知：上底是：2b ，下底是：2a ，高是：-a b ，∴梯形的面积为：1(22)()()()2a b a b a b a b ´+-=+-；故答案为：()()a b a b +-；（3）由（1）（2）可知，22()()a b a b a b -=+-；故答案为：22()()a b a b a b -=+-；（4）22252248-=(252248)(252248)+-=5004´=2000；【变式训练2】从边长为a 的正方形剪掉一个边长为b 的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是______（请选择正确的一个）．A ．()2222a ab b a b -+=-B ．()()22a b a b a b -=+-C ．()2a ab a a b +=+（2）若22912x y -=，34x y +=，求3x y -的值；（3）计算：22222111111111123420202021⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⋅⋅⋅-- ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【答案】（1）B ；（2）33x y -=；（3）10112021【详解】解：（1）根据阴影部分面积相等可得：()()22a b a b a b -=+-，上述操作能验证的等式是B ，故答案为：B ；（2）∵()()2293312x y x y x y -=+-=，∵34x y +=∴33x y -=（3）22222111111111123420202021⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⋅⋅⋅-- ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111111111111223320212021⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-⋅⋅⋅+- ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭3142532022202022334420212021=´´´´´´⋅⋅⋅´´1202222021=´10112021=【变式训练3】工厂接到订单，需要边长为（a +3）和3的两种正方形卡纸．（1）仓库只有边长为（a+3）的正方形卡纸，现决定将部分边长为（a+3）的正方形纸片，按图甲所示裁剪得边长为3的正方形．①如图乙，求裁剪正方形后剩余部分的面积（用含a代数式来表示）；②剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图丙所示长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的边长多少？（用含a代数式来表示）；（2）若将裁得正方形与原有正方形卡纸放入长方体盒子底部，按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），盒子底部中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2测得盒子底部长方形长比宽多3，则S2﹣S1的值为 ．【答案】（1）①裁剪正方形后剩余部分的面积＝a2+6a；②拼成的长方形的边长分别为a和a+6；（2）9.【详解】（1）①裁剪正方形后剩余部分的面积=（a+3）2﹣32=（a+3﹣3）（a+3+3）=a（a+6）=a2+6a；②拼成的长方形的宽是：a+3﹣3=a，∴长为a+6，则拼成的长方形的边长分别为a和a+6；（2）设AB=x，则BC=x+3，∴图1中阴影部分的面积为S1=x（x+3）﹣（a+3）2﹣32+3（a+6﹣x﹣3），图2中阴影部分的面积为S2=x（x+3）﹣（a+3）2﹣32+3（a+6﹣x），∴S2﹣S1的值=3（a+6﹣x）﹣3（a+6﹣x﹣3）=3×3=9．故答案为9．【变式训练4】（1）如图1所示，若大正方形的边长为a ，小正方形的边长为b ，则阴影部分的面积是______；若将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成如图2所示的一个长方形，则它的面积是_________；（2）由（1）可以得到一个乘法公式是________；（3）利用你得到的公式计算：2202120222020-´．【答案】（1）a 2-b 2，（a +b ）（a -b ）；（2）（a +b ）（a -b ）=a 2-b 2；（3）1【详解】解：（1）图①阴影部分的面积为：a 2-b 2，图②长方形的长为a +b ，宽为a -b ，所以面积为：（a +b ）（a -b ），故答案为：a 2-b 2，（a +b ）（a -b ）；（2）由（1）可得：（a +b ）（a -b ）=a 2-b 2，故答案为：（a +b ）（a -b ）=a 2-b 2；（3）20212-2022×2020=20212-（2021+1）（2021-1）=20212-20212+1=1．类型二、完全平方公式变形例1．已知22()25,()9x y x y +=-=，求xy 与22x y +的值．【答案】224,17xy x y =+=【详解】Q 22()25,()9x y x y +=-=，()()22425916x y x y xy \+--==-=,4xy \=，()()22222()25934x y x y x y ++-=+=+=Q ,2217x y \+=．例2已知222462140x y z x y z ++-+++=，则xyz =________.【答案】6【详解】解：∵x 2+y 2+z 2-4x +6y+2z +14=0，∴x 2-4x +4+y 2+6y +9+z 2+2z +1=0，∴(x -2)2+(y +3)2+(z +1)2=0，∴x -2=0，y +3=0，z+1=0，∴x =2，y =-3，z =-1，∴xyz =2×（-3）×（-1）=6．故答案为：6【变式训练1】已知2|5|(7)0xy x y -++-=，求22x x y y +-的值．【答案】34【详解】解：根据非负性，得：50xy -=，70x y +-=，5xy \=，7x y +=，222()3491534x y xy x y xy \+-=+-=-=，22y x y x +-\的值是34．【变式训练2】已知（x +2021）2+（x +2022）2=49，则（x +2021）（x +2022）的值为（）A ．20B ．24C ．994D ．532【答案】B【详解】解：[]222(2021)(2022)(2021)(2022)2(2021)(2022)x x x x x x +-+=+++-++Q 且[]22(2021)(2022)(1)1x x +-+=-=221(2021)(2022)2(2021)(2022)x x x x \=+++-++22(2021)(2022)49x x +++=Q (2021)(2022)24x x \++=故选：B【变式训练3】已知：2()34x y +=，2()14x y -=，分别求22x y +和xy 的值．【答案】24，5【详解】解：222()234x y x xy y +=++=Q ①，222()214x y x xy y -=-+=②，\①+②得222248x y +=，即2224x y +=；①-②得420xy =，即5xy =．【变式训练4】已知13x x+=，求下列各式的值：(1)221x x +；(2)21(x x -.【答案】(1)7；(2)5【解析】(1)解：∵13x x +=，∴21()9x x +=，即22129x x ++=，∴2217x x +=．(2)解：∵2217x x +=，∴22125x x +-=，∴21()5x x-=．【变式训练5】当x =______时，代数式8x 2-12x +5有最小值，最小值为______.【答案】 34 12【详解】解：28125x x -+2328()5x x -=+2998()5131626x x +--=+238()9452x --+=238(412x =-+23(04x -Q …，\当34x =时，28125x x -+有最小值，最小值为12．故答案为：34；12．类型三、完全平方公式字母的值例1．当k 取何值时，2210049x kxy y -+是一个完全平方式？【答案】140k =±【详解】解：∵100x 2﹣kxy +49y 2是一个完全平方式，∴﹣k ＝±2×10×7，∴k ＝±140，即当k ＝±140时，100x 2﹣kxy +49y 2是一个完全平方式．【变式训练1】如果226x x k ++是一个完全平方公式，求k 的值．【答案】3k =±．【详解】由题意得：222(63)x x k x =+++，即222669x x k x x =++++，则29k =解得3k =±．【变式训练2】若把代数式222x x --化成()2x m k ++的形式，其中m ，k 为常数，则m k +=______．【答案】4-【详解】解：∵222x x --＝x 2−2x ＋1−3＝（x −1）2−3，∴m ＝−1，k ＝−3，∴m ＋k ＝−4．故答案为：−4．【变式训练3】（1）设22351,257M x x N x x =--=--，则__________．A ． M N >B ． M N <C ． M N ³D ． M N£（2）当=a ________时，多项式2418a a -+有最小值___________．【答案】（1）A ；（2）2，14【详解】解：（1）∵22222(351)(257)3512576M N x x x x x x x x x -=-----=---++=+，20x ³ ，∴260M N x -=+>，∴M >N ，故选A ．（2）∵2224184414(2)14a a a a a -+=-++=-+，2(2)0a -³，∴当a =2时，2(2)14a -+有最小值为14，故答案为：2，14．【变式训练4】若一个数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个数为完全平方数，完全平方数是非负数．例如：0＝02，1＝12，4＝22，9＝32，16＝42，25＝52，36＝62，121＝112…．（1）若28+210+2n 是完全平方数，求n 的值．（2）若一个正整数，它加上61是一个完全平方数，当减去11是另一个完全平方数，写所有符合的正整数．【答案】（1）n ＝4或n ＝10；（2）所有符合的正整数是20、60或300．【详解】（1）解：∵a 2+b 2+2ab ＝（a +b ）2，∴若28＝a 2，210＝b 2，则a ＝24，b ＝25，2n ＝2ab ＝210，解得：n ＝10若28＝a 2，210＝2ab ，所以b ＝25，则2n ＝b 2＝210，解得：n ＝10，若210＝a 2，28＝2ab ，所以b ＝22，则2n ＝b 2＝24，解得：n ＝4，所以n ＝4或n ＝10；（2）解：设正整数为x ，则x +61＝a 2，x ﹣11＝b 2（a ＞b ，且a ，b 是正整数），则a 2﹣b 2＝x +61﹣x +11＝72，故（a +b ）（a ﹣b ）＝72，由于a +b 与a ﹣b 同奇偶，故184a b a b +=ìí-=î或362a b a b +=ìí-=î或者126a b a b +=ìí-=î，当184a b a b +=ìí-=î时,解得：117a b =ìí=î，∴x ＝b 2+11＝60；当362a b a b +=ìí-=î时，解得：1917a b =ìí=î，∴x ＝b 2+11＝300；当126a b a b +=ìí-=î时，解得：93a b =ìí=î，∴x ＝b 2+11＝20．所以所有符合的正整数是20、60或300．类型四、完全平方公式与几何图形例.乘法公式的探究及应用：数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A 种纸片是边长为a 的正方形，B 种纸片是边长为b 的正方形，C 种纸片是长为b 、宽为a 的长方形．并用A 种纸片一张，B 种纸片一张，C 种纸片两张拼成如图2的大正方形．(1)请用两种不同的方法表示图2大正方形的面积．方法1：________；方法2：________；(2)观察图2，请你写出下列三个代数式：()2a b +，22+a b ，ab 之间的数量关系：_______；(3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：①已知：+5a b =，22+21=a b ，求ab 的值；②已知()()222022202010-+-=a a ，求()()20222020--a a 的值．【答案】(1)（a +b ）2；a 2+2ab +b 2 (2)（a +b ）2＝a 2+b 2+2ab (3)①ab ＝2；②-3【解析】(1)方法1：大正方形的边长为（a +b ），∴S ＝（a +b ）（a +b ）＝a 2+2ab +b 2．方法2：大正方形的面积＝各个部分面积之和，∴S ＝a 2+2ab +b 2．故答案为：a 2+2ab +b 2．(2)由图2可得总面积减掉两个小矩形面积等于两个正方形面积之和，即（a +b ）2﹣2ab ＝a 2+b 2．故答案为：（a +b ）2﹣2ab ＝a 2+b 2．(3)①∵a +b ＝5，∴（a +b ）2＝25，a 2+b 2＝21，∴2ab ＝（a +b ）2﹣（a 2+b 2）＝25﹣21＝4，∴ab ＝2；②令2022,2020x a y a =-=-，∴2x y +=，由()()222022202010-+-=a a 可得2210x y +=，2xy ＝（x +y ）2﹣（x 2+y 2）＝4﹣10＝－6，∴()()20222020--a a ＝xy ＝-3.【变式训练1】如图1是一个长为4a 、宽为b 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）（1）观察图2请你写出（a +b ）2、（a -b ）2、ab 之间的等量关系是 ；（2）根据（1）中的结论，若x +y =5，xy =94，则x -y = ；（3）拓展应用：若（2021-m ）2+（m -2020）2=7，求（2021-m ）（m -2020）的值【答案】（1）()22()4+=-+a b a b ab ；（2）4或4-；（3）3-【详解】解：（1）由图知：()22()4+=-+a b a b ab（2）∵()22()4x y x y xy +=-+，∴()22()4x y x y xy-=+-∵9=5,4x y xy +=，∴()225916x y -=-=，∴=4x y -或=4x y --，故答案为：4或4-（3）∵()222(2021)+(2020)202120202(2021)(2020)m m m m m m --=-+---+且()222021(2020)7m m -+-=，∴(2021)(2020)=3m m -+-【变式训练2】如图1是一个长为4a 、宽为b 的长方形，沿图1中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．(1)图2中的阴影部分的面积为：____________（用a 、b 的代数式表示）；(2)观察图2，请你写出()2a b +、()2a b -、ab 之间的等量关系是____________；(3)利用（2）中的结论，若5x y +=，94x y ⋅=，求()2x y -的值____________；(4)实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式．如图3，请你写出这个等式____________．(5)如图4，点C 是线段AB 上的一点，分别以AC 、BC 为边在AB 的同侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，连接EG 、BG 、BE ，当1BC =时，BEG D 的面积记为1S ，当2BC =时，BEG D 的面积记为2S ，…，以此类推，当BC n =时，BEG D 的面积记为n S ，计算202020192018201721S S S S S S -+-+⋅⋅⋅+-的值．【答案】(1)()2b a -；(2)()()224a b a b ab +--=；(3)16(4)()()22334a b a b a ab b ++=++；(5)1020605【解析】(1)()2b a -(2)()()224a b a b ab +--=(3)5x y +=，94x y ⋅=时，22()()425916x y x y xy -=+-=-=，故答案为：16(4)()()22334a b a b a ab b++=++(5)如图，连接EC ，在正方形ACDE 和正方形BCGF 中45ECD CGB Ð=Ð=°∴EC BG∥∴BGE BGCS S =△△当1BC =时，2112S =；当2BC =时，2222S =；……当BC n =时，22n n S =；∴202020192018201721S S S S S S -+-+⋅⋅⋅+-222222202020192018201721222222⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪⎝⎭()2020201920182017212+++⋅⋅⋅++=1020605=．【变式训练3】如图，将边长为()a b +的正方形剪出两个边长分别为a ，b 的正方形（阴影部分）．观察图形，解答下列问题：（1）根据题意，用两种不同的方法表示阴影部分的面积，即用两个不同的代数式表示阴影部分的面积．方法1：______，方法2：________；（2）从中你发现什么结论呢？_________；（3）运用你发现的结论，解决下列问题：①已知6x y +=，122xy =，求22x y +的值；②已知()()22202120209-+-=x x ，求()()20212020--x x 的值．【答案】（1）22a b +，2()2a b ab +-；（2）222()2a b a b ab +=+-；（3）①28；②4-．【详解】解：（1）方法1，阴影部分的面积是两个正方形的面积和，即22a b +，方法2，从边长为()a b +的大正方形面积减去两个长为a ，宽为b 的长方形面积，即2()2a b ab +-，故答案为：22a b +，2()2a b ab +-；（2）在（1）两种方法表示面积相等可得，222()2a b a b ab +=+-，故答案为：222()2a b a b ab +=+-；（3）①Q 122xy =，4xy \=，又6x y +=Q ，222()2x y x y xy\+=+-2624=-´368=-28=；②设2021a x =-，2020b x =-，则229a b +=，1a b +=，222()()(2021)(2020)2a b a b x x ab +-+\--==192-=4=-，答：(2021)(2020)x x --的值为4-．【变式训练4】阅读理解，解答下列问题：利用平面图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．（1）例如，根据下图①，我们可以得到两数和的平方公式：（a ＋b ）2＝a 2＋2ab ＋b 2根据图②能得到的数学公式是__________．（2）如图③，请写出（a ＋b ）、（a ﹣b ）、ab 之间的等量关系是__________（3）利用（2）的结论，解决问题：已知x ＋y ＝8，xy ＝2，求（x ﹣y ）2的值．（4）根据图④，写出一个等式：__________．（5）小明同学用图⑤中x 张边长为a 的正方形，y 张边长为b 的正方形，z 张宽、长分别为a 、b 的长方形纸片，用这些纸片恰好拼出一个面积为（3a ＋b ）（a ＋3b ）长方形，请画出图形，并指出x ＋y ＋z 的值．类似地，利用立体图形中体积的等量关系也可以得到某些数学公式．（6）根据图⑥，写出一个等式：___________．【答案】（1）（a ﹣b ）2＝a 2﹣2ab ＋b 2；（2）（a ＋b ）2＝（a ﹣b ）2＋4ab ；（3）56；（4）（a ＋b ＋c ）2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ；（5）画图见解析，16；（6）（a ＋b ）3＝a 2＋b 2＋3a 2b ＋3ab 2【详解】（1）根据图②各个部分面积之间的关系可得：（a ﹣b ）2＝a 2﹣2ab ＋b 2，故答案为：（a ﹣b ）2＝a 2﹣2ab ＋b 2；（2）Q 图③中，大正方形的面积为（a ＋b ）2，小正方形的面积为（a ﹣b ）2，每个长方形的面积为ab ，()()224a b a b ab \+=-+，故答案为：()()224a b a b ab +=-+；（3）利用（2）的结论，可知()()224x y x y xy -=+-，Q x ＋y ＝8，xy ＝2，\（x ﹣y ）2＝（x ＋y ）2﹣4xy ＝64﹣8＝56；（4）根据图④，大正方形的面积可表示为（a ＋b ＋c ）2，Q 内部9块的面积分别为：222,,,,,,,,a b c ab ab ac ac bc bc ，\（a ＋b ＋c ）2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc故答案为：（a ＋b ＋c ）2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ；（5）Q （3a ＋b ）（a ＋3b ）＝3a 2＋3b 2＋10ab ，3,3,10x y z \===，即需要3张边长为a 的正方形，3张边长为b 的正方形，10张宽、长分别为a 、b 的长方形纸片，画图如下：∴x ＋y ＋z ＝16；（6）根据图⑥，大正方体的体积为（a ＋b ）3，分割成8个“小块”的体积分别为：33222222,,,,,,,a b a b a b a b ab ab ab ，\（a ＋b ）3＝a 2＋b 2＋3a 2b ＋3ab 2故答案为：（a ＋b ）3＝a 2＋b 2＋3a 2b ＋3ab 2．【变式训练5】用几个小的长方形、正方形拼成一个大的正方形，然后利用两种不同的方法计算这个大的正方形的面积，可以得到一个等式，利用这些等式也可以求一些不规则图形的面积．（1）由图1可得乘法公式________；（2）如图2，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为()a b c ++的正方形，从中你能发现什么结论？该结论用等式表示为________；（3）利用（2）中的结论解决以下问题：已知13a b c ++=，52ab bc ac ++=，求222a b c ++的值；（4）如图3，由两个边长分别为m ，n 的正方形拼在一起，点B ，C ，E 在同一直线上，连接BD ，BF ，若12m n +=，24mn =，求图3中阴影部分的面积．【答案】（1）（a +b 2）=a 2+2ab +b 2；（2）（a +b +c ）2=a 2+b 2+c 2+2ab +2ac +2bc ；（3）65；（4）36【详解】解：（1）图1正方形的面积可以表示为：a 2+2ab +b 2．又可以表示为：（a +b ）2．∴（a +b 2）=a 2+2ab +b 2．故答案为：（a +b 2）=a 2+2ab +b 2．（2）图2中正方形的面积可以表示为：（a +b +c ）2．还可以表示为：a 2+b 2+c 2+2ab +2ac +2b c ．∴（a +b +c ）2=a 2+b 2+c 2+2ab +2ac +2b c ．故答案为：（a +b +c ）2=a 2+b 2+c 2+2ab +2ac +2b c ．（3）由（2）知：a 2+b 2+c 2=（a +b +c ）2-2ab -2ac -2bc=169-2（ab +ac +bc ）=169-104=65．（4）()221122S m n n m n =+-+阴影22111222m n mn =+-21[()3]2m n mn =+-21(1272)2=-36=．。
八年级数学人教版上册第14章整式的乘除与因式分解14.1.4整式的乘法(第1课时图文详解)
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
1.下列计算中，正确的是（ B ）
A.2a3·3a2=6a6
B.4x3·2x5=8x8
C.2x·2x5=4x5
D.5x3·4x4=9x7
2.下列运算正确的是（ D ）
A.x2·x3=x6
B.x2+x2=2x4
C.(-2x)2=-4x2
D.(-2x2)(-3x3)=6x5
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
第14章 整式的乘除与因式分解
八年级上册
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
14.1.4 整式的乘法
第1课时
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
1.探索并了解单项式与单项式、单项式与多项式相乘的法则， 并运用它们进行运算． 2.让学生主动参与到探索过程中去，逐步形成独立思考、主 动探索的习惯，培养思维的批判性、严密性和初步解决问题 的能力.
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
2.填空：
a4 26
(1)6 2
a9 28
9 x2 y4 4
1
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
光的速度约为3×105千米/秒，太阳光照射到地球上需 要的时间大约是5×102秒，你知道地球与太阳的距离约是 多少千米吗？ 分析：距离=速度×时间，即（3×105）×（5×102）； 怎样计算（3×105）×（5×102）? 地球与太阳的距离约是： （3×105）×（5×102）=(3 ×5)×(105×102) =15×10７=1.5×108（千米）
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
2.单项式与多项式相乘的法则: 单项式与多项式相乘，只要将单项式分别乘以多 项式的每一项，再将所得的积相加即可.
八年级数学上册同步精品讲义(人教版)：乘法公式(教师版)
s2= a ba b ， 故答案为： a2 b2 ，； a ba b
（2）
解：由题意，得 a ba b a2 b2 ，
专题 14.2 乘法公式 目标导航
1、掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义； 2、学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算；了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算； 3、能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算。
知识精讲
知识点 01 平方差公式
知识点 平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2 平方差公式：两个式子的和与两个式子的差的乘积，等于这两个数的平方差。 注：①字母 a、b 仅是一个表达式，即可以表示一个数字、一个字母，也可以表示单项式、多项式。 ②在套用平方差公式时，要依据公式的形式，将原式变形成符合公式的形式，在利用公式。特别需要注意“-” 的处理。 【知识拓展 1】平方差公式的几何背景 例 1．（2022·山东·昌乐七年级期末）下列选项中，能利用图形的面积关系不能解释平方差公式的是（ ）
【即学即练】 3．（2022·辽宁·朝阳市第八中学七年级期中）利用乘法公式计算： 20222 2021 2023 ____________． 【答案】1 【分析】根据平方差公式计算即可． 【详解】解： 20222 2021 2023 = 20222 (2022 1) (2022 1) = 20222 (20222 1) = 20222 20222 1 =1 故答案为：1 【点睛】本题主要考查了平方差公式，掌握 (a b)(a b) a2 b2 是解题的关键．
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第7讲乘法公式知识定位讲解用时：5分钟A、适用范围：人教版初二，基础较好；B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习乘法公式。
乘法公式是很好的解题工具，初中阶段我们学习平方差公式、完全平方公式，灵活运用乘法公式能解答许多问题，乘法公式同时也是中考考查的重点，对今后数学的影响也很大，因此本节课要好好学习并掌握。
知识梳理讲解用时：20分钟整式的乘法一、单项式乘单项式：单项式乘单项式，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式.例如：3a·4b=12ab二、单项式乘多项式：单项式乘以多项式，是通过乘法对加法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.例如：m（a+b+c）=ma+mb+mc三、多项式乘多项式：多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.例如：（a+b）·（c+d）=ac+bc+ad+bd1、同底数幂的乘法：底数不变，指数相加(m,n 都是整数)2、幂的乘方：底数不变，指数相乘(m,n 都是整数)3、积的乘方：积中每个因式分别乘方nn naba b (n 是整数)4、同底数幂的除法：底数不变，指数相减mnm naaa（m 、n 都是整数且a ≠0）引申：01a 1nnaa(n 是正整数)一个数的负指数幂等于正指数幂的倒数.nm nmaaamnnm aa )(平方差公式用多项式乘多项式法则，计算下面各题，你能发现什么规律？（x+1）（x-1）=x2-1 （a+2）（a-2）=a2-4 （3-x ）（3+x ）=9-x 2（2x+1）（2x-1）=4x2-1 平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.平方差公式巧记：用符号相同的平方减符号不同的平方.22))((bab a b a注意：a 符号前后没有改变，b 的符号前后改变了，所以等号右边是a 的平方减去b 的平方（平方差公式展开只有两项）课堂精讲精练【例题1】（﹣p ）2?（﹣p ）3=．【答案】﹣p5【解析】同底数幂的乘法：底数不变，指数相加．解：（﹣p ）2?（﹣p ）3=（﹣p ）2+3=（﹣p ）5=﹣p 5；完全平方公式用多项式乘多项式法则，计算下面各题，你能发现什么规律？（a+b ）２=a2+2ab+b2（a-2）２=a2-4a+4=a2-2·a ·2+22（2a+b ）２=4a 2+4ab+b2=（2a ）２+2·2a ·b+b2完全平方公式：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.巧记：首平方，尾平方，乘积2倍放中央.拓展：a2+b2=（a+b ）２-2ab a 2+b2=（a-b ）２+2ab（a+b ）２=（a-b ）２+4ab2222)(bab ab a 注意：完全平方公式展开有三项，a 的平方加上b 的平方，加上（或减去）a 乘以b 的两倍故答案是：﹣p5．讲解用时：2分钟解题思路：本题主要考查同底数幂的乘法，解题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法法则：底数不变，指数相加．教学建议：熟练掌握同底数幂的乘法计算法则.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：河东区一模年份：2018【练习1.1】计算：﹣x2?x4= ．【答案】﹣x6【解析】根据同底数幂的乘法底数不变指数相加，可得答案．解：﹣x2?x4=﹣x6，故答案为：﹣x6．讲解用时：2分钟解题思路：本题考查了同底数幂的乘法，底数不变指数相加是解题关键．教学建议：熟练掌握同底数幂的乘法计算法则，注意负号要照写.难度：2 适应场景：当堂练习例题来源：榆社县期中年份：2018【练习1.2】计算﹣a3?（﹣a）2= ．【答案】﹣a5【解析】直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．解：﹣a3?（﹣a）2=﹣a3?a2=﹣a5．故答案为：﹣a5．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键．教学建议：熟练掌握同底数幂的乘法计算法则，注意符号的变化.难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：苏州期中年份：2018【例题2】计算（﹣a2b）3的结果是（）A．﹣a6b3B．a6b C．3a6b3D．﹣3a6b3【答案】A【解析】利用积的乘方性质：（ab）n=a n?b n，幂的乘方性质：（a m）n=a mn，直接计算．解：（﹣a2b）3=﹣a6b3．故选：A．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了幂运算的性质，注意结果的符号确定，比较简单，需要熟练掌握．教学建议：熟练掌握积的乘方公式和幂的乘方公式.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习2.1】计算：（2m2n﹣2）2?3m﹣3n3．【答案】12mn﹣1【解析】先根据积的乘方，把每一个因式分别乘方，再把所得幂相乘和同底数幂相乘：底数不变指数相加的性质计算．解：（2m2n﹣2）2?3m﹣3n3，=4m4n﹣4?3m﹣3n3，=12m4﹣3n﹣4+3，=12mn﹣1．讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查幂的运算性质，熟练掌握性质是解题的关键，是基础题．教学建议：熟练掌握积的乘方公式和同底数幂的乘法计算.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【练习2.2】计算（1）（﹣3a）?（2ab）（2）（﹣2x2）3+4x3?x3．【答案】（1）﹣6a2b；（2）﹣4x6【解析】（1）直接利用单项式乘以单项式运算法则求出答案；（2）直接利用积的乘方运算法则以及同底数幂的乘法运算法则化简，进而合并同类项即可得出答案．解：（1）（﹣3a）?（2ab）=﹣6a2b；（2）（﹣2x2）3+4x3?x3=﹣8x6+4x6=﹣4x6．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查了单项式乘以单项式运算以及积的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．教学建议：熟练掌握单项式乘单项式、积的乘方、幂的乘方运算法则.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题3】计算：【答案】﹣8a4b3﹣a3b3+a2b4【解析】首先进行积的乘方运算，再利用单项式乘以多项式得出答案．解：原式=a2b2（﹣a2b﹣12ab+b2）=﹣8a4b3﹣a3b3+a2b4．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查了单项式乘以多项式，正确掌握运算法则是解题关键．教学建议：熟练掌握单项式乘以多项式、积的乘方、同底数幂的乘法计算法则. 难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习3.1】如图，某市有一块长为（3a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像，则绿化的面积是多少平方米？并求出当a=3，b=2时的绿化面积．【答案】5a2+3ab 63【解析】根据多项式乘多项式的法则求出阴影部分的面积，代入计算即可．解：阴影部分的面积=（3a+b）（2a+b）﹣（a+b）2=6a2+5ab+b2﹣a2﹣2ab﹣b2=5a2+3ab，当a=3，b=2时，原式=5×32+3×3×2=63．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查的是多项式乘多项式，多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．教学建议：学会观察图形并掌握多项式乘多项式的运算法则.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【练习3.2】（1）已知2x=3，2y=5，求2x+y的值；（2）x﹣2y+1=0，求：2x÷4y×8的值．【答案】（1）15；（2）4【解析】（1）直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案；（2）直接利用同底数幂的乘除运算法则将原式变形得出答案．解：（1）∵2x=3，2y=5，∴2x+y=2x×2y=3×5=15；（2）∵x﹣2y+1=0，∴x﹣2y=﹣1，∴2x÷4y×8=2x﹣2y+3=22=4．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查了同底数幂的乘除运算，正确将原式变形是解题关键．教学建议：熟练掌握同底数幂的乘除法计算.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题4】计算：（1）（x+2y）（2x﹣y）（2）（2a﹣3b）（﹣2a﹣3b）【答案】（1）2x2+3xy﹣2y2；（2）9b2﹣4a2【解析】（1）根据多项式乘以多项式，即可解答；（2）根据平方差公式，即可解答．解：（1）（x+2y）（2x﹣y）=2x2+3xy﹣2y2；（2）（2a﹣3b）（﹣2a﹣3b）=（﹣3b）2﹣（2a）2=9b2﹣4a2．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了平方差公式，解决本题的关键是熟记平方差公式．教学建议：熟练掌握平方差公式的运算法则.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习4.1】计算（x+2）?（x﹣2）?（x2+4）【答案】x4﹣16【解析】首先利用平方差公式求得（x+2）?（x﹣2）的值，继而再利用平方差公式求得答案．解：原式=（x2﹣4）（x2+4）=x4﹣16．讲解用时：3分钟解题思路：此题考查了平方差公式．此题难度不大，注意熟记平方差公式是解题的关键．教学建议：熟练掌握平方差公式的计算，本题2次运用平方差公式.难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【练习4.2】计算：（1）（2a+1）（﹣a﹣2）；（2）（x+y﹣3）（x﹣y+3）．【答案】（1）﹣2a2﹣5a﹣2；（2）=x2﹣y2+6y﹣9【解析】（1）直接利用多项式乘以多项式运算法则计算得出答案；（2）直接利用平方差公式再结合完全平方公式计算得出答案．解：（1）原式=﹣2a2﹣4a﹣a﹣2=﹣2a2﹣5a﹣2；（2）原式=[x+（y﹣3）][x﹣（y﹣3）]=x2﹣（y﹣3）2=x2﹣（y2﹣6y+9）=x2﹣y2+6y﹣9．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查了平方差公式以及完全平方公式，正确应用公式是解题关键．教学建议：熟练掌握平方差公式和完全平方公式的计算方法.难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题5】计算（2a﹣3b）2= ．计算：（2x+3）2= ．【答案】4a2﹣12ab+9b2 4x2+12x+9【解析】根据完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2分别进行计算，即可得出答案．解：（2a﹣3b）2=（2a）2﹣2?2a?3b﹣（3b）2=4a2﹣12ab+9b2；故答案为：4a2﹣12ab+9b2．（2x+3）2=4x2+12x+9．故答案为：4x2+12x+9．讲解用时：3分钟解题思路：此题考查了完全平方公式，熟记完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2是解题的关键，是一道基础题，注意符号的变化．教学建议：熟练掌握完全平方公式的计算.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习5.1】已知a+b=4，则= ．【答案】8【解析】利用完全平方和公式将所求的代数式转化为含有（a+b）的代数式，然后将a+b=4代入求值．解：=（a2+2ab+b2）=（a+b）2=×42=8．故答案是：8．讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查完全平方公式．解答该题时，需要牢记完全平方和公式（a+b）2=a2+2ab+b2及其变形的几种形式．教学建议：灵活运用完全平方公式进行解题.难度： 4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【练习5.2】已知x2﹣3x+1=0，则= ．【答案】7【解析】首先由x2﹣3x+1=0，求得x+的值，然后由（x+）2=x2++2，即可求得答案．解：∵x2﹣3x+1=0，∴x+=3，∴（x+）2=x2++2=9，∴x2+=7．故答案为：7．讲解用时：3分钟解题思路：此题考查了完全平方公式的应用．解题的关键是掌握（x+）2=x2++2与整体思想的应用．教学建议：灵活掌握完全平方公式的应用.难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题6】已知a x=﹣2，a y=3．求：（1）a x+y的值；（2）a3x的值；（3）a3x+2y的值．【答案】（1）-6；（2）-8；（3）-72【解析】（1）先根据同底数幂的乘法进行变形，再代入求出即可；（2）先根据幂的乘方进行变形，再代入求出即可；（3）先根据同底数幂的乘法进行变形，再根据幂的乘方进行变形，最后代入求出即可．解：（1）∵a x=﹣2，a y=3，∴a x+y=a x?a y=﹣2×3=﹣6；（2）∵a x=﹣2，a y=3，∴a3x=（a x）3=（﹣2）3=﹣8；（3）∵a x=﹣2，a y=3，∴a3x+2y=（a3x）?（a2y）=（a x）3?（a y）2=（﹣2）3×32=﹣8×9=﹣72．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方等知识点，能根据同底数幂的乘法、幂的乘方进行变形是解此题的关键．教学建议：灵活掌握幂的有关计算.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习6.1】若3x+1=27，2x=4y﹣1，求x﹣y．【答案】0【解析】首先化成同底数可得x+1=3，x=2y﹣2，解方程可得x、y的值，进而可得答案．解：由题意得：x+1=3，x=2y﹣2，解得：x=2，y=2，则x﹣y=0．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查了同底数幂的乘法，关键是掌握27=33，4=22．教学建议：灵活掌握幂的有关计算.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题7】已知a2+b2=5，ab=﹣1，则a+b= ．【答案】【解析】根据完全平方公式得到（a+b）2=a2+2ab+b2，再把ab=﹣1，a2+b2=5整体代入即可．解：∵（a+b）2=a2+2ab+b2，∴a+b=，故答案为讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．关键是整体思想的运用．教学建议：灵活掌握完全平方公式的应用.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习7.1】若a+b=，a﹣b=，则ab= ．【答案】1【解析】两式相加求出a的值，进而求出b的值，即可求出ab的值．解：将a+b=，a﹣b=两式相加得：2a=+，即a=，将a=5代入a﹣b=中，得：﹣b=，即b=，则ab==1．故答案为：1．讲解用时：3分钟解题思路：此题考查完全平方公式，关键是把原式完全平方后整体代入计算．教学建议：掌握完全平方公式的几种变形，灵活运用.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【练习7.2】已知a2+b2=12，a﹣b=4，则ab= ．【答案】﹣2【解析】将a﹣b=4两边同时平方，然后将a2+b2=12代入所得结果进行计算即可．解：∵a﹣b=4，∴a2﹣2ab+b2=16，∴12﹣2ab=16，解得：ab=﹣2．故答案为：﹣2．讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查的是完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．教学建议：掌握完全平方公式的几种变形，灵活运用.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018课后作业【作业1】若a3?a m=a9，则m= ．【答案】6【解析】根据同底数幂的运算即可求出答案．解：由题意可知：3+m=9，∴m=6，故答案为：6讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业2】计算题（1）（﹣x）3（﹣x）2（2）（﹣）2016×161008（3）7x4?x5?（﹣x）7+5（x4）4﹣（﹣5x8）2．【答案】（1）﹣x5 （2）1 （3）﹣27x16【解析】（1）直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案；（2）直接利用积的乘方运算法则将原式变形求出答案；（3）直接利用同底数幂的乘法运算法则以及积的乘方运算法则计算得出答案．解：（1）（﹣x）3（﹣x）2=﹣x5；（2）（﹣）2016×161008=（﹣）2016×42016=（﹣×4）2016=1；（3）7x4?x5?（﹣x）7+5（x4）4﹣（﹣5x8）2．=﹣7x16+5x16﹣25x16=﹣27x16．讲解用时：4分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业3】请你参考黑板中老师的讲解，用乘法公式简便计算；（1）6992（2）20192﹣2017×2021【答案】（1）488601；（2）4【解析】（1）根据完全平方公式即可求出答案．（2）根据平方差公式即可求出答案．解：（1）6992=（700﹣1）2=7002﹣2×700×1+1=490000﹣1400+1=488601（2）20192﹣2017×2021=20192﹣（2019﹣2）（2019+2）=20192﹣20192+22=4讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业4】已知：a+b=1，ab=﹣3，求下列代数式的值．（1）a2b+ab2；（2）（a﹣b）2．【答案】（1）-3；（2）13.【解析】（1）直接将原式分解因式，进而代入已知求出答案；（2）直接将原式变形，进而代入已知求出答案．解：（1）a2b+ab2=ab（a+b）∵a+b=1，ab=﹣3，∴原式=﹣3×1=﹣3；（2）（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2+4ab﹣4ab=（a+b）2﹣4ab把a+b=1，ab=﹣3代入上式可得：原式═1+12=13．讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业5】已知实数m，n满足m+n=6，mn=﹣3．（1）求（m﹣2）（n﹣2）的值；（2）求m2+n2的值．【答案】（1）-11；（2）42【解析】（1）将原式展开后，再将m+n，mn代入即可求出答案．（2）根据完全平方公式即可求出答案．解：（1）因为m+n=6，mn=﹣3，所以（m﹣2）（n﹣2）=mn﹣2m﹣2n+4=mn﹣2（m+n）+4=﹣3﹣2×6+4=﹣11．（2）m2+n2=（m+n）2﹣2mn=62﹣2×（﹣3）=36+6=42．讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018。