考研数学历年真题及解析

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考研数学三(线性代数)历年真题试卷汇编3(题后含答案及解析)

考研数学三（线性代数）历年真题试卷汇编3(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．(14年)行列式【】A．(ad－bc)2B．－(ad－bc)2C．a2d2－b2c2D．b2c2－a2d2正确答案：B解析：按第1列展开，得所求行列式D等于D＝＝－ad(ad－bc)＋bc(ad－bc)＝－(ad－bc)2 知识模块：线性代数2．(89年)设A和B都是n×n矩阵，则必有【】A．｜A＋B｜＝｜A｜＋｜B｜B．AB＝BAC．｜AB｜＝｜BA｜D．(A＋B)-1＝A-1＋B-1正确答案：C 涉及知识点：线性代数3．(94年)设A是m×n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r，矩阵B＝AC的秩为r1，则【】A．r＞r1．B．r＜r1．C．r＝r1．D．r与r1的关系依C而定．正确答案：C解析：因为，用可逆矩阵C右乘矩阵A相当于对A施行若干次初等列变换，而初等变换不改变矩阵的秩，故有r(AC)＝r(A)．知识模块：线性代数4．(96年)设n阶矩阵A非奇异(n≥2)，A*是矩阵A的伴随矩阵，则【】A．(A*)*＝｜A｜n-1AB．(A*)*＝｜A｜n+1AC．(A*)*＝｜A｜n-2AD．(A*)*＝｜A｜n+2A正确答案：C解析：由A*＝｜A｜A-1，得(A*)*＝｜A*｜(A*)-1，又｜A*｜＝｜A｜n-1，故(A*)*＝｜A｜n-1(｜A｜A-1)-1＝｜A｜n-1A＝｜A｜n-2A．故C正确．知识模块：线性代数5．(97年)设A、B为同阶可逆矩阵，则【】A．AB＝BA．B．存在可逆矩阵P，使P-1AP＝B．C．存在可逆矩阵C，使CTAC＝B．D．存在可逆矩阵P和Q，使PAQ＝B．正确答案：D解析：因为，方阵A可逆A与同阶单位阵E行等价，即存在可逆矩阵P，使PA＝E．同理，由于B可逆，存在可逆矩阵M，使MB＝E．故有PA＝MB，PAM-1＝B，记M-1＝Q，则P、Q可逆，使PAQ＝B．于是知D正确．知识模块：线性代数6．(98年)设n(n≥3)阶矩阵A＝的秩为n－1，则a必为【】A．1B．C．－1D．正确答案：B解析：因为r(A)＝n－1＜n，故必有｜A｜＝0，而因此，或者a＝，或者a＝1．显然，当a＝1时，有r(A)＝1＜n－1,所以，有a＝，而且当a＝时，A 的左上角的n－1阶子式等于，可知此时确有r(A)＝n一1，故选项B正确．知识模块：线性代数7．(01年) 其中A可逆，则B-1等于【】A．A-1P1P2B．P1A-1P2C．P1P2A-1D．P2A-1P1正确答案：C解析：矩阵B是经A的列重排后所得的矩阵，由初等列变换与初等方阵的关系，有B＝AP2P1，故B-1＝P1-1P2-1A-1，而P1-1＝P1，P2-1＝P2，故有B-1＝P1P2A-1．知识模块：线性代数8．(03年)设三阶矩阵A＝，若A的伴随矩阵的秩等于1，则必有【】A．a＝b或a＋2b＝0．B．a＝b或a＋2b≠0．C．a≠b且a＋2b＝0．D．a≠b且a＋2b≠0．正确答案：C 涉及知识点：线性代数9．(04年)设n阶矩阵A与B等价，则必有【】A．当｜A｜＝a(a≠0)时，｜B｜＝a．B．当｜A｜＝a(a≠0)时，｜B｜＝－a．C．当｜A｜≠0时，｜B｜＝0．D．当｜A｜＝0时，｜B｜＝0．正确答案：D解析：A与B等价是指A可经若干次初等变换化成B．如果对A分别施行一次第1、2、3种初等变换得到方阵B，则由行列式的性质知，依次有｜B｜＝－｜A｜，｜B｜＝k｜A｜(常数k≠0)，｜B｜＝｜A｜．可见，经初等变换后，方阵的行列式等于零或者不等于零的事实不会改变，但在不等于零时，行列式的值可能改变．因此，只有D正确．知识模块：线性代数10．(05年)设矩阵A＝(aij)3×3满足A*＝AT，其中A*为A的伴随矩阵，A*为A的转置矩阵．若a11，a12，a13为三个相等的正数，则a11为【】A．B．3C．D．正确答案：A解析：由题设条件A*＝AT，即其中Aij为｜A｜中元素aij的代数余子式(i，j＝1，2，3)，得aij＝Aij(i，j＝1，2，3)，故有再从AT＝A*两端取行列式，得｜A｜＝｜AT｜＝｜A*｜＝｜A｜2，即｜A｜(1－｜A｜)＝0 由此得｜A｜＝1．所以，有知识模块：线性代数11．(06年)设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的－1倍加到第2列得C，记P＝，则【】A．C＝p-1AP．B．C＝PAP-1．C．C＝PTAP．D．C＝PAPT．正确答案：B解析：将单位矩阵E的第2行加到第1行即得初等矩阵P，由初等变换与初等矩阵的关系，有B＝PA．令矩阵则将E的第1列的－1倍加到第2列即得矩阵Q，于是有C＝BQ，从而有C＝PAQ．由于所以，C＝PAQ＝PAP-1，只有选项B正确．知识模块：线性代数填空题12．(88年)＝_______．正确答案：－3解析：把行列式的各行都加到第1行，得知识模块：线性代数13．(16年)行列式＝_______．正确答案：λ4＋λ3＋2λ2＋3λ＋4解析：按第1列展开，得行列式为知识模块：线性代数14．(88年)设矩阵A＝，则A-1＝_______．正确答案：解析：利用初等行变换法：故A-1＝A．知识模块：线性代数15．(91年)设A和B为可逆矩阵，X＝为分块矩阵，则X-1＝_______．正确答案：解析：设A、B分别为m阶、n阶可逆方阵，设其中X12，X21分别为m阶、n阶方阵，则有XX-1＝Em+n，即由分块矩阵的乘法，得AX21＝Em，AX22＝0，BX11＝0，BX12＝En 因为A、B均为可逆矩阵，所以解得X21＝A-1，X22＝0，X11＝0，X12＝B-1 于是得知识模块：线性代数16．(92年)设A为m阶方阵，B为n阶方阵，且｜A｜＝a，｜B｜＝b，C ＝，则｜C｜＝_______．正确答案：(－1)mnab解析：从[O A]的第m行开始，依次将[O A]的每一行作，z次相邻两行的交换，把它移到[B O]的下边去，则经mn次相邻两行的交换，就将[O A]移到了[B O]的下边，因此有知识模块：线性代数17．(93年)设4阶方阵A的秩为2，则其伴随矩阵A*的秩为_______．正确答案：0解析：因为r(A4×4)＝2，即A中非零子式的最高阶数为2，故A的3阶子式全为0，即A的每个元素的余子式全为0，从而每个元素的代数余子式全为0，故A*＝O，从而有r(A*)＝0．知识模块：线性代数解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2000-2013年考研数学三历年真题及真题解析(世上最全收录)

研究生入学考试2000到2013年最新最全数学三考试试题2000年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题二、选择题2001年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题二、选择题2002年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题二、选择题2003年考研数学（三）真题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）设,0,0,0,1cos )(=≠⎪⎩⎪⎨⎧=x x xx x f 若若λ其导函数在x=0处连续，则λ的取值范围是_____. （2）已知曲线b x a x y +-=233与x 轴相切，则2b 可以通过a 表示为=2b ________.（3）设a>0，，x a x g x f 其他若,10,0,)()(≤≤⎩⎨⎧==而D 表示全平面，则⎰⎰-=Ddxdy x y g x f I )()(=_______.（4）设n 维向量0,),0,,0,(<=a a a TΛα；E 为n 阶单位矩阵，矩阵 TE A αα-=， T aE B αα1+=，其中A 的逆矩阵为B ，则a=______.（5）设随机变量X 和Y 的相关系数为0.9, 若4.0-=X Z ，则Y 与Z 的相关系数为________.（6）设总体X 服从参数为2的指数分布，n X X X ,,,21Λ为来自总体X 的简单随机样本，则当∞→n 时，∑==n i i n X n Y 121依概率收敛于______.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设f(x)为不恒等于零的奇函数，且)0(f '存在，则函数xx f x g )()(=(A) 在x=0处左极限不存在. (B) 有跳跃间断点x=0.(C) 在x=0处右极限不存在. (D) 有可去间断点x=0. [ ] （2）设可微函数f(x,y)在点),(00y x 取得极小值，则下列结论正确的是(A) ),(0y x f 在0y y =处的导数等于零. （B ）),(0y x f 在0y y =处的导数大于零. (C) ),(0y x f 在0y y =处的导数小于零. (D) ),(0y x f 在0y y =处的导数不存在. [ ] （3）设2nn n a a p +=，2nn n a a q -=，Λ,2,1=n ，则下列命题正确的是(A) 若∑∞=1n na条件收敛，则∑∞=1n np与∑∞=1n nq都收敛.(B) 若∑∞=1n na绝对收敛，则∑∞=1n np与∑∞=1n nq都收敛.(C) 若∑∞=1n na条件收敛，则∑∞=1n np与∑∞=1n nq敛散性都不定.(D) 若∑∞=1n na绝对收敛，则∑∞=1n np与∑∞=1n nq敛散性都不定. [ ]（4）设三阶矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a b b b a b b b a A ，若A 的伴随矩阵的秩为1，则必有 (A) a=b 或a+2b=0. (B) a=b 或a+2b ≠0.(C) a ≠b 且a+2b=0. (D) a ≠b 且a+2b ≠0. [ ] （5）设s ααα,,,21Λ均为n 维向量，下列结论不正确的是(A) 若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21Λ，都有02211≠+++s s k k k αααΛ，则s ααα,,,21Λ线性无关.(B) 若s ααα,,,21Λ线性相关，则对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21Λ，都有.02211=+++s s k k k αααΛ(C) s ααα,,,21Λ线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s.(D) s ααα,,,21Λ线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关. [ ] （6）将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：1A ={掷第一次出现正面}，2A ={掷第二次出现正面}，3A ={正、反面各出现一次}，4A ={正面出现两次}，则事件(A) 321,,A A A 相互独立. (B) 432,,A A A 相互独立.(C) 321,,A A A 两两独立. (D) 432,,A A A 两两独立. [ ] 三、（本题满分8分）设).1,21[,)1(1sin 11)(∈--+=x x x x x f πππ 试补充定义f(1)使得f(x)在]1,21[上连续.四、（本题满分8分）设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足12222=∂∂+∂∂v f u f ，又)](21,[),(22y x xy f y x g -=,求.2222ygx g ∂∂+∂∂ 五、（本题满分8分）计算二重积分 .)sin(22)(22dxdy y x e I Dy x +=⎰⎰-+-π其中积分区域D=}.),{(22π≤+y x y x六、（本题满分9分）求幂级数∑∞=<-+12)1(2)1(1n nnx n x 的和函数f(x)及其极值.七、（本题满分9分）设F(x)=f(x)g(x), 其中函数f(x),g(x)在),(+∞-∞内满足以下条件： )()(x g x f ='，)()(x f x g ='，且f(0)=0, .2)()(xe x g xf =+(1) 求F(x)所满足的一阶微分方程； (2) 求出F(x)的表达式. 八、（本题满分8分）设函数f(x)在[0，3]上连续，在（0，3）内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1.试证必存在)3,0(∈ξ，使.0)(='ξf九、（本题满分13分）已知齐次线性方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++++=+++++=+++++=+++++,0)(,0)(,0)(,0)(332211332211332211332211nn nn n n n n x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ 其中.01≠∑=ni ia试讨论n a a a ,,,21Λ和b 满足何种关系时，(1) 方程组仅有零解；(2) 方程组有非零解. 在有非零解时，求此方程组的一个基础解系. 十、（本题满分13分）设二次型)0(222),,(31232221321>+-+==b x bx x x ax AX X x x x f T ，中二次型的矩阵A 的特征值之和为1，特征值之积为-12. (1) 求a,b 的值；(2) 利用正交变换将二次型f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.十一、（本题满分13分）设随机变量X 的概率密度为;],8,1[,0,31)(32其他若∈⎪⎩⎪⎨⎧=x x x fF(x)是X 的分布函数. 求随机变量Y=F(X)的分布函数.十二、（本题满分13分）设随机变量X 与Y 独立，其中X 的概率分布为⎪⎪⎭⎫⎝⎛7.03.021~X ，而Y 的概率密度为f(y)，求随机变量U=X+Y 的概率密度g(u).2004年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题：本题共6小题，每小题4分，满分24分. 请将答案写在答题纸指定位置上.(1) 若()0sin limcos 5x x xx b e a→-=-，则a =______，b =______.(2) 函数(),f u v 由关系式()(),f xg y y x g y =+⎡⎤⎣⎦确定，其中函数()g y 可微，且()0g y ≠，则2fu v∂=∂∂______. (3) 设()211,,2211,,2x xe x f x x ⎧-≤<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩ 则()2121f x dx -=⎰_____.(4) 二次型()()()()222123122331,,f x x x x x x x x x =++-++的秩为______. (5) 设随机变量X 服从参数为λ的指数分布，则{P X >=______.(6) 设总体X 服从正态分布()21,N μσ，总体Y 服从正态分布()22,N μσ，112,,,n X X X L 和212,,,n Y Y Y L 分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本，则()()122211122n n i j i j X X Y Y E n n ==⎡⎤-+-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥+-⎢⎥⎣⎦∑∑______. 二、选择题：本题共8小题，每小题4分，满分24分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(7) 函数()()()()2sin 212x x f x x x x -=--在下列哪个区间内有界.（A ）()1,0- （B ）()0,1 （C ）()1,2 （D ）()2,3(8) 设()f x 在(),-∞+∞内有定义，且()lim x f x a →∞=，()1,0,0,0,fx g x x x ⎧⎛⎫≠⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪=⎩则（A ）0x =必是()g x 的第一类间断点（B ）0x =必是()g x 的第二类间断点（C ）0x =必是()g x 的连续点（D ）()g x 在点0x =处的连续性与a 的值有关.(9) 设()()1f x x x =-，则（A ）0x =是()f x 的极值点，但()0,0不是曲线()y f x =的拐点（B ）0x =不是()f x 的极值点，但()0,0是曲线()y f x =的拐点（C ）0x =是()f x 的极值点，且()0,0是曲线()y f x =的拐点（D ）0x =不是()f x 的极值点，()0,0也不是曲线()y f x =的拐点 (10) 设有以下命题： ① 若()2121n n n uu ∞-=+∑收敛，则1n n u ∞=∑收敛② 若1nn u∞=∑收敛，则10001n n u∞+=∑收敛③ 若1lim1n n nu u +→∞>，则1n n u ∞=∑发散 ④ 若()1nn n uv ∞=+∑收敛，则1n n a ∞=∑，1n n v ∞=∑都收敛则以上命题中正确的是（A ）①② （B ）②③ （C ）③④ （D ）①④(11) 设()f x '在[],a b 上连续，且()()0,0f a f b ''><，则下列结论中错误的是（A ）至少存在一点()0,x a b ∈，使得()()0f x f a > （B ）至少存在一点()0,x a b ∈，使得()()0f x f b > （C ）至少存在一点()0,x a b ∈，使得()00f x '= （D ）至少存在一点()0,x a b ∈，使得()00f x = (12) 设n 阶矩阵A 与B 等价，则必有（A ）当()0A a a =≠时，B a = （B ）当()0A a a =≠时，B a =- （C ）当0A ≠时，0B = （D ）当0A =时，0B =(13) 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵*0A ≠，若1234,,,ξξξξ是非齐次线性方程组Ax b =的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组0Ax =的基础解系（A ）不存在（B ）仅含一个非零解向量（C ）含有两个线性无关的解向量（D ）含有三个线性无关的解向量(14) 设随机变量X 服从正态分布()0,1N ，对给定的()0,1α∈，数n u 满足{}P X u αα>=，若{}P X x α<=，则x 等于（A ）2u α （B ）12uα-（C ）12u α- （D ）1u α-三、解答题：本题共9小题，满分94分. 请将解答写在答题纸指定的位置上. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分8分）求22201cos lim sin x x x x →⎛⎫-⎪⎝⎭.（16）（本题满分8分）求)Dy d σ⎰⎰，其中D 是由圆224x y +=和()2211x y ++=所围成的平面区域（如图）.（17）（本题满分8分）设()(),f x g x 在[],a b 上连续，且满足()()xxa a f t dt g t dt ≥⎰⎰，[),x ab ∈，()()bb aaf t dtg t dt =⎰⎰证明：()()bbaaxf x dx xg x dx ≤⎰⎰.（18）（本题满分9分）设某商品的需求函数为1005Q P =-，其中价格()0,20P ∈，Q 为需求量. （Ⅰ）求需求量对价格的弹性()0d d E E >；（Ⅱ）推导()1d dRQ E dP=-（其中R 为收益），并用弹性d E 说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加.（19）（本题满分9分）设级数()468242462468x x x x +++-∞<<+∞⋅⋅⋅⋅⋅⋅L 的和函数为()S x .求：（Ⅰ）()S x 所满足的一阶微分方程；（Ⅱ）()S x 的表达式.（20）（本题满分13分）设()()()1231,2,0,1,2,3,1,2,2TTTa ab a b ααα==+-=---+，()1,3,3Tβ=-. 试讨论当,a b 为何值时，（Ⅰ）β不能由123,,ααα线性表示；（Ⅱ）β可由123,,ααα唯一地线性表示，并求出表示式；（Ⅲ）β可由123,,ααα线性表示，但表示式不唯一，并求出表示式.（21）（本题满分13分）设n 阶矩阵111b b bb A bb ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L M M M L. （Ⅰ）求A 的特征值和特征向量；（Ⅱ）求可逆矩阵P ，使得1P AP -为对角矩阵.（22）（本题满分13分）设,A B 为两个随机事件，且()()()111,,432P A P B A P A B ===，令 1,0,.A X A ⎧=⎨⎩发生，不发生 1,0,.B Y B ⎧=⎨⎩发生，不发生求：（Ⅰ）二维随机变量(),X Y 的概率分布；（Ⅱ）X 与Y 的相关系数XY ρ；（Ⅲ）22Z X Y =+的概率分布.（23）（本题满分13分）设随机变量X 的分布函数为()1,,;,0,.x F x x x βαααβα⎧⎛⎫->⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪≤⎩其中参数0,1αβ>>. 设12,,,n X X X L 为来自总体X 的简单随机样本. （Ⅰ）当1α=时，求未知参数β的矩估计量；（Ⅱ）当1α=时，求未知参数β的最大似然估计量；（Ⅲ）当2β=时，求未知参数α的最大似然估计量.2005年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题：本题共6小题，每小题4分，满分24分. 请将答案写在答题纸指定位置上.(1) 极限22lim sin1x xx x →∞=+______. (2) 微分方程0xy y '+=满足初始条件()12y =的特解为______. (3) 设二元函数()()1ln 1x yz xex y +=+++，则()1,0dz =______.(4) 设行向量组()()()()2,1,1,1,2,1,,,3,2,1,,4,3,2,1a a a 线性相关，且1a ≠，则a =______.(5) 从数1,2,3,4中任取一个数，记为X ，再从1,,X L 中任取一个数，记为Y ，则{}2P Y ==______.(6) 设二维随机变量(),X Y 的概率分布为若随机事件{}0X =与{}1X Y +=相互独立，则a =______，b =______.二、选择题：本题共8小题，每小题4分，满分24分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(7) 当a 取下列哪个值时，函数()322912f x x x x a =-+-恰有两个不同的零点.（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8(8) 设()()22222123,cos ,cos DDDI I x y d I x y d σσσ==+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰，其中(){}22,1D x y xy =+≤，则（A ）321I I I >> （B ）123I I I >> （C ）213I I I >> （D ）312I I I >> (9) 设0,1,2,,n a n >=L 若1nn a∞=∑发散，()111n n n a ∞-=-∑收敛，则下列结论正确的是（A ）211n n a∞-=∑收敛，21nn a∞=∑发散（B ）21nn a∞=∑收敛，211n n a∞-=∑发散（C ）()2121n n n aa ∞-=+∑收敛（D ）()2121n n n a a ∞-=-∑收敛(10) 设()sin cos f x x x x =+，下列命题中正确的是（A ）()0f 是极大值，2f π⎛⎫⎪⎝⎭是极小值（B ）()0f 是极小值，2f π⎛⎫⎪⎝⎭是极大值（C ）()0f 是极大值，2f π⎛⎫⎪⎝⎭也是极大值（D ）()0f 是极小值，2f π⎛⎫⎪⎝⎭也是极小值 (11) 以下四个命题中，正确的是（A ）若()f x '在()0,1内连续，则()f x 在()0,1内有界（B ）若()f x 在()0,1内连续，则()f x 在()0,1内有界（C ）若()f x '在()0,1内有界，则()f x 在()0,1内有界（D ）若()f x 在()0,1内有界，则()f x '在()0,1内有界 (12) 设矩阵()33ijA a ⨯=满足*T A A =，其中*A 为A 的伴随矩阵，TA 为A 的转置矩阵.若111213,,a a a 为三个相等的正数，则11a 为（A ）3 （B ）3 （C ）13（D (13) 设12,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为12,αα，则()112,A ααα+线性无关的充分必要条件是（A ）10λ= （B ）20λ= （C ）10λ≠ （D ）20λ≠ (14)（注：该题已经不在数三考纲范围内）三、解答题：本题共9小题，满分94分. 请将解答写在答题纸指定的位置上. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分8分）求011lim 1x x x e x -→+⎛⎫- ⎪-⎝⎭.（16）（本题满分8分）设()f u 具有二阶连续导数，且(),y x g x y f yfx y ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求222222g g x y x y ∂∂-∂∂.（17）（本题满分9分）计算二重积分221Dx y d σ+-⎰⎰，其中(){},01,01D x y x y =≤≤≤≤.（18）（本题满分9分）求幂级数211121n n x n ∞=⎛⎫-⎪+⎝⎭∑在区间()1,1-内的和函数()S x .（19）（本题满分8分）设()(),f x g x 在[]0,1上的导数连续，且()()()00,0,0f f x g x ''=≥≥.证明：对任何[]0,1α∈，有()()()()()()11ag x f x dx f x g x dx f a g ''+≥⎰⎰（20）（本题满分13分）已知齐次线性方程组（ⅰ）123123123230,2350,0,x x x x x x x x ax ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 和（ⅱ）()12321230,210,x bx cx x b x c x ++=⎧⎪⎨+++=⎪⎩ 同解，求,,a b c 的值.（21）（本题满分13分）设T AC D C B ⎛⎫= ⎪⎝⎭为正定矩阵，其中,A B 分别为m 阶，n 阶对称矩阵，C 为m n ⨯阶矩阵.（Ⅰ）计算T P DP ，其中1mn E A C P OE -⎛⎫-=⎪⎝⎭；（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结果判断矩阵1T B C A C --是否为正定矩阵，并证明你的结论.（22）（本题满分13分）设二维随机变量(),X Y 的概率密度为()0,01,02,,1,x y x f x y <<<<⎧=⎨⎩其它. 求：（Ⅰ）(),X Y 的边缘概率密度()(),X Y f x f y ；（Ⅱ）2Z X Y =-的概率密度()Z f z ；（Ⅲ）1122P Y X ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭.（23）（本题满分13分）设()12,,,2n X X X n >L 为来自总体()20,N σ的简单随机样本，其样本均值为X ，记,1,2,,i i Y X X i n =-=L .（Ⅰ）求i Y 的方差,1,2,,i DY i n =L ；（Ⅱ）求1Y 与n Y 的协方差()1,n Cov Y Y ；（Ⅲ）若()21n c Y Y +是2σ的无偏估计量，求常数c .2006年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. (1) ()11lim ______.nn n n -→∞+⎛⎫=⎪⎝⎭(2) 设函数()f x 在2x =的某邻域内可导，且()()ef x f x '=，()21f =，则()2____.f '''=(3) 设函数()f u 可微，且()102f '=，则()224z f x y =-在点(1,2)处的全微分()1,2d _____.z=(4) 设矩阵2112A ⎛⎫=⎪-⎝⎭，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则=B . (5)设随机变量X Y 与相互独立，且均服从区间[]0,3上的均匀分布，则{}{}max ,1P X Y ≤=_______.(6) 设总体X 的概率密度为()()121,,,,2xn f x e x X X X -=-∞<<+∞L 为总体X 的简单随机样本，其样本方差为2S ，则2____.ES =二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.(7) 设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ∆为自变量x 在点0x 处的增量，d y y ∆与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ∆>，则（）(A) 0d y y <<∆. (B) 0d y y <∆<.(C) d 0y y ∆<<. (D) d 0y y <∆< .(8) 设函数()f x 在0x =处连续，且()22lim1h f h h →=，则（）(A) ()()000f f -'=且存在 (B) ()()010f f -'=且存在 (C) ()()000f f +'=且存在 (D)()()010f f +'=且存在 (9) 若级数1nn a∞=∑收敛，则级数（）(A)1nn a∞=∑收敛 . （B ）1(1)nn n a ∞=-∑收敛.(C)11n n n a a∞+=∑收敛. (D)112n n n a a ∞+=+∑收敛. (10) 设非齐次线性微分方程()()y P x y Q x '+=有两个不同的解12(),(),y x y x C 为任意常数，则该方程的通解是（）(A) []12()()C y x y x -. (B) []112()()()y x C y x y x +-. (C) []12()()C y x y x +. (D) []112()()()y x C y x y x ++ (11) 设(,)(,)f x y x y ϕ与均为可微函数，且(,)0y x y ϕ'≠，已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是（）(A) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '=. (B) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '≠. (C) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '=.(D) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠. (12) 设12,,,s αααL 均为n 维列向量，A 为m n ⨯矩阵，下列选项正确的是（） (A) 若12,,,s αααL 线性相关，则12,,,s A A A αααL 线性相关. (B) 若12,,,s αααL 线性相关，则12,,,s A A A αααL 线性无关. (C) 若12,,,s αααL 线性无关，则12,,,s A A A αααL 线性相关.(D) 若12,,,s αααL 线性无关，则12,,,s A A A αααL 线性无关.(13) 设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的1-倍加到第2列得C ，记110010001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则（）(A) 1C P AP -=. (B) 1C PAP -=.(C) T C P AP =. (D) T C PAP =.(14) 设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ，随机变量Y 服从正态分布222(,)N μσ，且{}{}1211P X P Y μμ-<>-<则必有（）(A) 12σσ< (B) 12σσ> (C) 12μμ< (D) 12μμ>三、解答题：15－23小题，共94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分7分）设()1sin,,0,01arctan xy y yf x y x y xy xπ-=->>+，求： (Ⅰ)()()lim ,y g x f x y →+∞=；(Ⅱ)()0lim x g x +→。

2021年至2023年全国考研数学真题(附解析答案)

2023年全国硕士研究生招生考试考研（数学三）真题及详解1．已知函数f 一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。

（x ，y ）＝ln （y ＋|xsiny|），则（）。

A ．∂∂x f0,1)(不存在，∂∂y f 0,1)(存在B ．∂∂x f0,1)(存在，∂∂y f 0,1)(不存在C ．∂∂x f0,1)(，∂∂y f 0,1)(均存在D ．∂∂x f0,1)(，∂∂yf 0,1)(均不存在2．函数x ≤0)⎩(x +1cos x ,x >0f (x )=的原函数为（）。

A． ⎪≤⎧F x x x 1cos sin ,0)⎩(x +x -x x >)()=⎨⎪ln ,0B．⎪+≤⎧F x x x 1cos sin ,0)⎩(x +x -x x >)()=⎨⎪ln 1,0C．⎪+≤⎧F x x x 1sin cos ,0)⎩(x +x +x x >)()=⎨⎪ln ,0D．⎪++≤⎧F x x x 1sin cos ,0)⎩(x +x +x x >)()=⎨⎪ln 1,0）。

3．已知微分方程式y ′′＋ay ′＋by ＝0的解在（－∞，＋∞）上有界，则（A ．a ＜0，b ＞0B ．a ＞0，b ＞0C ．a ＝0，b ＞0D ．a ＝0，b ＜0n ＝1，2，…），若级数∑∞n =1a n 与∑∞n =1bn均收敛，则“级数∑∞n =1an绝对收敛”是“∑∞bnn =14．已知a n ＜b n（绝对收敛”的（）。

A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件5．设A ，B 为n 阶可逆矩阵，E 为n 阶单位矩阵，M *为矩阵M 的伴随矩阵，则⎝⎭⎪⎛⎫O B A E *＝（）。

A ．⎝⎭⎪ ⎪-⎛⎫A B B A OB A ****B ．⎝⎭⎪⎪-⎛⎫B A A B O A B ****C ． ⎝⎭ ⎪ ⎪-⎛⎫B A B A OA B ****D ．⎝⎭⎪ ⎪-⎛⎫A BA B OB A ****x 1，x 2，x 3）＝（x 1＋x 2）2＋（x 1＋x 3）2－4（x 2－x 3）2的规范形为（）。

考研数学三(函数、极限、连续)历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)

考研数学三（函数、极限、连续）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．[2004年]函数在区间( )内有界．A．(－1，0)B．(0，1)C．(1，2)D．(2，3)正确答案：A解析：解一大家知道，若f(x)在有限闭区间[a，b]上连续，则f(x)一定在[a，b]上有界，但若f(x)在开区间(a，b)内连续，则f(x)在(a，b)内未必有界，而如果再附加条件和存在，则f(x)必在(a，b)内有界，这就是命题1．1．1．1(2)．由于下述极限存在，又f(x)在(－1，0)内连续，故由命题1．1．1．1(2)知f(x)在(－1，0)内有界．仅(A)入选．解二因可补充定义则补充定义后的函数f(x)成为有界闭区间[－1，0]上的连续函数．利用有界闭区间上连续函数的有界性可知f(x)在[－1，0)[－1，0]上有界．仅(A)入选．解三因由命题[1．1．1．1(1)：如果x∈(a,b)，或则f(x)在(a,b)内无界。

即知，f(x)在(0，1)及(1，2)，(2，3)内均无界．仅(A)入选．注：命题1．1．1．1 (1)如果x0(a，b)，或则f(x)在(a，b)内无界．(2)如果和存在，且f(x)在(a，b)内连续，则f(x)在(a，b)内有界．知识模块：函数、极限、连续2．[2014年]设且a≠0，则当n充分大时，有( )．A．B．C．D．正确答案：A解析：解一由可取从而有不等式即亦即当a＞0时有当a＜0时有由式①、式②可知仅(A)入选．解二因由极限的定义，对任意ε＞0，存在正整数N，使得n＞N时，有|an一a|＜ε，从而取时有即仅(A)入选．解三由得到取则存在N＞0，当n>N时有即亦即故仅(A)入选．知识模块：函数、极限、连续3．[2000年]设对任意的x，总有φ(x)≤f(x)≤g(x)，且则( ).A．存在且等于零B．存在但不一定为零C．一定不存在D．不一定存在正确答案：D解析：下面举反例说明(A)，(B)，(C)都不正确．仅(D)入选．令φ(x)=1-1／x2，f(x)=1，g(x)=1+1／x2，显然有φ(x)≤f(x)≤g(x)，且这时有这说明(A)、(C)都不正确．事实上，满足上述条件的f(x)，其极限不一定存在．因而(B)也不正确．例如，令φ(x)=x－1／x2，f(x)=x，g(x)=x+1／x2，显然它们均满足题设条件，但知识模块：函数、极限、连续4．[2015年]设{xn)是数列．下列命题中不正确的是( )．A．B．C．D．正确答案：D解析：由命题1．1．3．8的充分条件知选项(B)正确．由命题1．1．3．8的必要条件知选项(A)、(C)正确，因而仅(D)入选．注：命题1．1．3．8 如果与均存在且相等，则存在，且知识模块：函数、极限、连续5．[2009年]当x→0时，f(x)=x—sinax与g(x)=x2ln(1—bx)是等价无穷小量，则( )．A．a=1，b=－1／6B．a=1，b=1／6C．a=－1，b=－1／6D．a=－1，b=1／6正确答案：A解析：解一因故必存在，所以必有因而a=1．再由－a3／(6b)=1得－1／(6b)=1，故b=－1／6．仅(A)入选．解二反复利用洛必达法则求之．即a3=－6b(排除(B)、(C))．又因存在，而故必有即1－a=0，故a=1，从而b=－1／6．仅(A)入选．注：命题1．1．3．1 当x→0时，有(2)x－sinx～x3/6；1－cosλ～λx2(λ为常数). 知识模块：函数、极限、连续6．[2010年]若则a等于( )．A．0B．1C．2D．3正确答案：C解析：解一即a=2．仅(C)入选．解二由题设知，a－1=1，故a=2．仅(C)入选．知识模块：函数、极限、连续7．[2014年]设P(x)=a+bx+cx2+dx3，当x→0时，若P(x)=-tanx是比x3高阶的无穷小，则下列选项中错误的是( )．A．a=0B．b=1C．c=0D．正确答案：D解析：由题设得故a=0，b－1=0，c=0，即a=0，b=1，c=0，仅(D)入选．知识模块：函数、极限、连续填空题8．[2012年]设函数则正确答案：解析：当x=e时，y=lnx－1，故知识模块：函数、极限、连续9．[2012年]正确答案：解析：知识模块：函数、极限、连续10．[2009年]正确答案：3e/2解析：知识模块：函数、极限、连续11．[2015年]正确答案：解析：知识模块：函数、极限、连续12．[2002年]设常数则正确答案：解析：知识模块：函数、极限、连续13．[2005年]正确答案：2解析：解一当x→∞时，sin[2x／(x2+1)]～2x／(x2+1)，由命题1．1．4．1 [*]其中m,n为正整数.得到[*] 解二令[*]则[*]故[*] 知识模块：函数、极限、连续14．[2007年]正确答案：0解析：解一因|sinx+cosx|≤|cosx|+|sinx|≤2，故sinx+cosx为有界变量，又根据命题1．1．3．6即得所求极限为0．解二当x→∞时，2x是比xk(k 为正整数)高阶的无穷大量，因而显然|sinx+cosx|≤2，于是由命题1．1．3．6即得所求极限为0．注：命题1．1．3．6 有界变量与无穷小量的乘积为无穷小量. 知识模块：函数、极限、连续解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学三(概率论与数理统计)历年真题试卷汇编5(题后含答案及解析)

考研数学三（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编5(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．(03年)将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A1＝{掷第一次出现正面}，A2＝{掷第二次出现正面}，A3＝{正、反面各出现一次}，A4＝{正面出现两次}，则事件【】A．A1，A2，A3相互独立．B．A2，A3，A4相互独立．C．A1，A2，A3两两独立．D．A2，A3，A4两两独立．正确答案：C 涉及知识点：概率论与数理统计2．(07年)某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p(0＜P＜1)，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为【】A．3p(1－p)2．B．6p(1－p)2．C．3p2(1－p)2．D．6p2(1－p)2．正确答案：C解析：P{第4次射击恰好第2次命中目标}＝P{前3次射击恰中1枪，第4次射击命中目标} ＝P{前3次射击恰中1枪}.P{第4次射击命中目标}＝C31p(1－p)2.P＝3p2(1－p)2 知识模块：概率论与数理统计3．(09年)设事件A与事件B互不相容，则【】A．P()＝0．B．P(AB)＝P(A)P(B)．C．P(A)＝1－P(B)．D．P()－1．正确答案：D 涉及知识点：概率论与数理统计4．(14年)设随机事件A与B相互独立，且P(B)＝0．5，P(A－B)＝0．3，则P(B－A)＝【】A．0．1B．0．2C．0．3D．0．4正确答案：B解析：∵A与B独立，∴P(AB)＝P(A)P(B)．故0．3＝P(A－B)＝P(A)－P(AB)＝P(A)－P(A)P(B) ＝P(A)[1－P(B)]＝P(A)(1－0．5)＝0．5(P(A) 得P(A)＝＝06，P(B－A)＝P(B)－P(AB)＝P(B)－P(A)P(B)＝0．5－0．6×0．5＝0．2．知识模块：概率论与数理统计5．(15年)若A，B为任意两个随机事件，则【】A．P(AB)≤P(A)P(B)．B．P(AB)≥P(A)P(B)．C．P(AB)≤．D．P(AB)≥．正确答案：C解析：由ABA，ABB得P(AB)≤P(A)，P(AB)≤P(B)，两式相加即得：P(AB)≤．知识模块：概率论与数理统计6．(16年)设A，B为两个随机事件，且0＜P(A)＜1，0＜P(B)＜1，如果P(A｜B)＝1，则【】A．P()＝1．B．P(A｜)＝0．C．P(A∪B)＝1．D．P(B｜A)＝1．正确答案：A解析：由1＝P(A｜B)＝，有P(B)＝P(AB) 于是知识模块：概率论与数理统计7．(90年)设随机变量X和Y相互独立，其概率分布为则下列式子正确的是：【】A．X－YB．P{X－Y}＝0C．P{X－Y}＝D．P{X＝Y}＝1正确答案：C解析：P(X＝Y)＝P(X＝－1，Y＝－1)＋P(X＝1，Y＝1) ＝P(X＝－1)P(Y ＝－1)＋P(X＝1)P(Y＝1) ＝知识模块：概率论与数理统计8．(93年)设随机变量X的密度函数为φ(χ)，且φ(－χ)－φ(χ)，F(χ)为X的分布函数，则对任意实数a，有【】A．F(－a)＝1－∫0aφ(χ)dχB．F(－a)＝－∫0aφ(χ)dχC．F(－a)＝F(a)D．F(－a)＝2F(a)－1正确答案：B解析：由概率密度的性质和已知，可得故选B．知识模块：概率论与数理统计9．(95年)设随机变量X～N(μ，σ2)，则随着σ的增大，概率P(｜X－μ｜＜σ) 【】A．单调增大．B．单调减小．C．保持不变．D．增减不定．正确答案：C解析：由已知X～N(μ，σ)，得～N(0，1) 故P{｜X－μ｜＜σ}＝＝(1)Ф－Ф(－1) 故选C．知识模块：概率论与数理统计填空题10．(89年)设随机变量X的分布函数为则A＝_______，P{｜X｜＜}＝_______．正确答案：1；解析：∵分布函数是右连续的，故得1＝Asin ∴A＝1 这时，F(χ)在(－∞，＋∞)上都连续，于是知识模块：概率论与数理统计11．(91年)设随机变最X的分布函数为则X的概率分布为_______．正确答案：解析：F(χ)为一阶梯状函数，则X可能取的值为F(χ)的跳跃点：－1，1，3．P(X＝－1)＝F(－1)－F(－1－0)＝0．4 P(X＝1)＝F(1)－F(1－0)＝0．8－0．4＝0．4 P(X＝3)＝F(3)－F(3－0)＝1－0．8＝0．2 知识模块：概率论与数理统计12．(94年)设随机变量X的概率密度为以Y表示对X的三次独立重复观察中事件{X≤}出现的次数P{Y＝2}＝_______．正确答案：解析：由题意，Y～B(3，p)．其中p＝故知识模块：概率论与数理统计13．(00年)设随机变量X的概率密度为若k使得P{X≥k}＝，则k的取值范围是_______．正确答案：[1，3]解析：∵P(X≥k)＝∫k＋∞f(χ)dχ．可见：若k≤0，则P(X≥k)＝1 若0＜k＜1，则P(X≥k)＝若k＞6，则P(X≥k)＝0 若3＜k≤6，则P(X ≥k)＝若1≤k≤3，则P(X≥k)＝综上，可知K∈[1，3]．知识模块：概率论与数理统计14．(05年)从数1，2，3，4中任取一个数，记为X，再从1，…，X中任取一个数，记为Y，则P(Y＝2}＝_______．正确答案：解析：由题意，X的概率分布为而P(Y＝2｜X＝1)＝0，P(Y＝2｜X＝2)＝，P(Y＝2｜X＝3)＝，P(Y＝2｜X＝4)＝，故由全概率公式得知识模块：概率论与数理统计15．(05年)设二维随机变量(X，Y)的概率分布为若随机事件{X＝0}与{X＋Y＝1}相互独立，则a＝_______，b＝_______．正确答案：0．4；0．1．解析：由题意知0．4＋a＋b＋0．1＝1，∴a＋b＝0．5 而P{X＝0}＝0．4＋a，P{X＋Y＝1}＝P{X＝0，Y＝1}＋P{X＝1，Y＝0}＝a＋b＝0．5，P{X ＝0，X＋Y＝1}＝P{X＝0，Y＝1}＝a 由P{X＝0，X＋Y＝1)＝P{X＝0)P{X ＋Y＝1} ∴a＝(0．4＋a)0．5，得a＝0．4，从而b＝0．1．知识模块：概率论与数理统计16．(06年)设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间[0，3]上的均匀分布，则P{max(X，Y)≤1}＝_______．正确答案：解析：由题意知X与Y的概率密度均为：则P(X≤1}＝P{Y≤1}＝∫－∞1f(χ)dχ＝故P{max(X，Y)≤1}＝P{X≤1，y≤1}＝P{X≤1}P{y≤1}＝知识模块：概率论与数理统计17．(99年)设随机变量Xij(i＝1，2，…，n；n≥2)独立同分布，Eij＝2，则行列式Y＝的数学期望EY＝_______．正确答案：0解析：由n阶行列式的定义知Y＝，P1，…，Pn为(1，…，n)的排列，τ(p1p2…pn)为排列p1p2…pn的逆序数．而Xij(i，j＝1，2，…，n)独立同分布且EXij＝2，故知识模块：概率论与数理统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学一(线性代数)历年真题试卷汇编6(题后含答案及解析)

考研数学一（线性代数）历年真题试卷汇编6(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．行列式等于( )A．(ad－bc)2B．－(ad－bc)2C．a2d2－b2c2D．－a2d2+b2c2正确答案：B解析：由行列式的展开定理展开第一列=－ad(ad－bc)+bc(ad－bc)=－( ad－bc) 22．设A，B均为二阶矩阵，A*，B*分别为A，B的伴随矩阵，若｜A｜=2，｜B｜=3，则分块矩阵的伴随矩阵为( )A．B．C．D．正确答案：B解析：根据CC*=｜C｜E，则C*=｜C｜C－1，C－1=的行列式=(－1) 2×2｜A｜｜B｜=2×3=6，即分块矩阵可逆。

故故答案为B。

3．设A为三阶矩阵，将A的第二行加到第一行得B，再将B的第一列的－1倍加到第二列得C，记则( )A．C=P－1APB．C=PAP－1C．C=PTAPD．C=PAPT正确答案：B解析：由题设可得则有C=PAP－1。

故应选B。

4．设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则( )A．当m＞n时，必有行列式｜AB｜≠0B．当m＞n时，必有行列式｜AB｜=0C．当n＞m时，必有行列式｜AB｜≠0D．当n＞m时，必有行列式｜AB｜=0正确答案：B解析：B是n×m矩阵，当m＞n时，则r(B)=n(系数矩阵的秩小于未知数的个数)，方程组Bx=0必有非零解，即存在x0≠0，使得Bx0=0，两边左乘A，得ABx0=0，即ABx=0有非零解，从而｜AB｜=0，故选B。

5．设A，B，C均为n阶矩阵，若AB=C，且B可逆，则( )A．矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价B．矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价C．矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价D．矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价正确答案：B解析：把矩阵A，C列分块如下：A=(α1，α2，…，αn)，C=(γ1，γ2，…，γn)，由于AB=C，则可知得到矩阵C的列向量组可用矩阵A的列向量组线性表示。

考研数学一(一元函数微分学)历年真题试卷汇编3(题后含答案及解析)

考研数学一（一元函数微分学）历年真题试卷汇编3(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．(2004年)设函数f(x)连续，且f’(0)＞0，则存在δ＞0。

使得A．f(x)在(0，δ)内单调增加B．f(x)在(一δ，0)内单凋减少C．对任意的x∈(0，δ)有f(x)＞f(0)D．对任意的x∈(一δ，0)有f(x)＞f(0)正确答案：C解析：由于由极限的保号性知，存在δ＞0，当x∈(一δ，0)或x∈(0，δ)时，而当∈(0，δ)时x＞0，则此时f(x)一f(0)＞0，即f(x)＞f(0)，故应选(C)．知识模块：一元函数微分学2．(2005年)设函数则f(x)在(一∞，+∞)内A．处处可导B．恰有一个不可导点C．恰有两个不可导点D．至少有三个不可导点正确答案：C解析：当|x|≤1时，当|x|＞1时，则而f’+(一1)≠f’-(一1)，则f(x)在x=一1不可导．同理则f(x)在x=1处不可导，故应选(C)．知识模块：一元函数微分学3．(2006年)设函数y=f(x)具有二阶导数，且f’(x)＞0．f”(x)＞0，△x为自变量x在x11处的增量，△y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分，若△x＞0，则A．0＜dy＜△yB．0＜△y＜dyC．△y＜dy＜0D．dy＜△y＜0正确答案：A解析：解1 直接法：dy=f’(x0)△x，△y=f(x0+△x)一f(x0)=f’(ξ)△x，x0＜ξ＜x0+△x由于f”(x)＞0，则f’(x)单调增，从而有f(x0)＜f’(ξ)，故dy＜△y 由于f’(x)＞0，△x＞0，则0＜dy＜△y，故应选(A)．解2 排除法：取f(x)=x2，在(0，+∞)上，f’(x)=2x＞0，f”(x)一2＞0，取x0=1，则dy=f’(x0)△x=2△x △y=f(1+△x)一f(1)=(1+△x)2一1=2△x+(△x)2由于△x＞0，显然有0＜dy＜△y，由此可知，选项(B)，(C)，(D)均不正确，故应选(A)。

考研数学一(高等数学)历年真题试卷汇编18(题后含答案及解析)

考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编18(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．(94年)二元函数f(x，y)在点(x0，y0)处两个偏导数fx’(x0，y0)，fy’(x0，y0)存在是f(x，y)在该点连续的A．充分条件而非必要条件．B．必要条件而非充分条件．C．充分必要条件．D．既非充分条件又非必要条件．正确答案：D解析：多元函数在一点上连续性与偏导数存在之间没有直接关系，即“连续”未必“偏导数存在”；“偏导数存在”亦未必“连续”．所以D．知识模块：高等数学2．(96年)已知为某函数的全微分，则a等于A．一1．B．0．C．1．D．2．正确答案：D解析：令由于Pdx+Qdy为某个函数的全微分，则即(a一2)x-ay=一2y，(a一2)x=(a一2)y仅当a=2时，上式恒成立．知识模块：高等数学3．(97年)二元函数f(x，y)=在点(0，0)处A．连续，偏导数存在．B．连续，偏导数不存在．C．不连续，偏导数存在．D．不连续，偏导数不存在．正确答案：C解析：令y=kx，则当k不同时，不存在，因而f(x，y)在(0，0)点处不连续，但根据偏导数的定义知同理可得fy’(0，0)=0由此可见，在点(0，0)处f(x，y)的偏导数存在．知识模块：高等数学4．(01年)设函数f(x，y)在点(0，0)附近有定义，且fx’(0，0)=3，fy’(0，0)=1，则A．dz|(0,0)=3dx+dy．B．曲面z=f(x，y)在点(0，0，f(0，0))的法向量为{3．1，1}．C．曲线在点(0，0，f(0，0))的切向量为{1，0，3}．D．曲线在点(0，0，f(0，0))的切向量为{3，0，1}．正确答案：C解析：则该曲线在(0，0，f(0，0))的切向量为{1，0，fx’(0，0)}={1，0，3} 知识模块：高等数学5．(02年)考虑二元函数的下面4条性质：①f(x，y)在点(x0，y0)处连续；②f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数连续；③f(x，y)在点(x0，y0)处可微；④f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数存在．若用表示可由性质P推出性质Q，则有A．B．C．D．正确答案：A解析：由于f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数连续是f(x，y)在点(x0，y0)处可微的充分条件，而f(x，y)在点(x0，y0)可微是f(x，y)在点(x0，y0)处连续的充分条件，故A．知识模块：高等数学6．(03年)已知函数f(x，y)在点(0，0)的某个邻域内连续，且则A．点(0，0)不是f(x，y)的极值点．B．点(0，0)是f(x，y)的极大值点．C．点(0，0)是f(x，y)的极小值点．D．根据所给条件无法判断点(0，0)是否为f(x，y)的极值点．正确答案：A解析：由f(x，y)在点(0，0)的连续性及知f(0，0)=0．则f(x，y)一xy+(x2+y2)2+α(x2+y2)2令y=x，得f(x，x)=x2+4x4+4αx4=x2+o(x2)令y=一x,得f(x，一x)=一x2+4x4+4αx4=一x2+o(x2)从而f(x，y)在(0，0)点的邻域内始终可正可负，又f(0，0)=0，由极值定义可知f(x，y)在(0，0)点没有极值，故(A)．知识模块：高等数学7．(05年)设函数u(x，y)=φ(x+y)+φ(x-y)+∫x-yx+yφ(t)dt，其中函数φ具有二阶导数，ψ具有一阶导数，则必有A．B．C．D．正确答案：B解析：令φ(x)=x2，ψ(x)≡0，则u(x，y)=(x+y)2+(x—y)2=2x2+2y2从而则(A)(C)(D)均不正确，故(B)．知识模块：高等数学8．(05年)设有三元方程xy—zlny+exx=1，根据隐函数存在定理，存在点(0，1，1)的一个邻域，在此邻域内该方程A．只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z=z(x，y)．B．可确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(x，z)和z=z(x，y)．C．可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y，z)和z=z(x，y)．D．可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y，z)和y=y(x，z)．正确答案：D解析：令F(x，y，z)=xy—zlny+exz一1显然，F(x，y，z)在点(0，1，1)的邻域内有连续一阶偏导数，且F(0，1，1)=0，Fx’(0，1，1)=2≠0，Fy’(0,1，1)=一1≠0，由隐函数存在定理知方程xy—zlny+exz=1可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y，z)和y=(x，z)，故(D)．知识模块：高等数学9．(06年)若f(x，y)与φ(x，y)均为可微函数，且φy’(x，y)≠0。

考研数学一(高等数学)历年真题试卷汇编25(题后含答案及解析)

考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编25(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．(08年)在下列微分方程中，以y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x(C1，C2，C3为任意常数)为通解的是A．y”‘+y”一4y’一4y=0．B．y”‘+y”+4y’+4y=0．C．y”‘一y”一4y’+4y=0．D．y”‘一y”+4y’一4y=0．正确答案：D解析：由原题设知所求方程的特征方程的根为ρ1=1，ρ2，3=±2i则其特征方程为(ρ一1)(ρ2+4)=0，故所求方程应为y”‘一y”+4y’一4y=0故(D)．知识模块：高等数学2．(15年)设y=是二阶常系数非齐次线性微分方程y”+ay’+by=cex的一个特解，则A．a=一3，b=2，c=一1．B．a=3，b=2，c=一1．C．a=一3，b=2，c=1．D．a=3，b=2，c=1．正确答案：A解析：由是方程y”+ay’+by=cex的一个特解可知，y1=e2x，y2=ex是齐次方程的两个线性无关的解，y*=xex是非齐次方程的一个解．1和2是齐次方程的特征方程的两个根，特征方程为(ρ一1)(ρ一2)=0即ρ2—3ρ+2=0则a=一3，b=2将y=xex代入方程y”一3y’+2y=cex得c=一1．故(A)．知识模块：高等数学3．(16年)若y=(1+x2)2一是微分方程y’+p(x)y=q(x)的两个解，则q(x)= A．3x(1+x2)．B．一3x(1+x2)．C．D．正确答案：A解析：利用线性微分方程解的性质与结构．由是微分程y’+p(x)y=q(x)的两个解，知y1=y2是y’+p(x)y=0的解．故(y1—y2)’+p(x)(y1一y2)=0，即从而得p(x)=又是微分方程y’+p(x)y=q(x)的解，代入方程，有[(1+x2)2]’+p(x)(1+x2)2=q(x)，解得q(x)=3x(1+x2)．因此(A)．知识模块：高等数学4．(96年)4阶行列式的值等于A．a1a2a3a4一b1b2b3b4B．a1a2a3a4+b1b2b3b4C．(a1a2-b1b2)(a3a4-b3b4)D．(a2a3一b2b3)(a1a4一b1b4)正确答案：D解析：按第1行展开所求行列式D4，得=(a2a3一b2b3)(a1a4一b1b4)．知识模块：线性代数5．(14年)行列式A．(ad—bc)2B．一(ad—bc)2C．a2d2一b2c2D．b2c2一a2d2正确答案：B解析：按第1列展开，得所求行列式D等于=一ad(ad一bc)+be(ad一bc)=一(ad一bc)2 知识模块：线性代数6．(87年)设A为n阶方阵，且A的行列式|A|=a≠0，而A*是A的伴随矩阵，则|A*|等于A．aB．C．an+1D．an正确答案：C解析：由AA*=|A|E两端取行列式，得|A||A*|=|A|n，因|A|=a≠0，得|A*|=|A|n-1=an-1．知识模块：线性代数7．(91年)设n阶方程A、B、C满足关系式ABC=E，其中E是n阶单位阵，则必有A．ACB=EB．CBA=EC．BAC=ED．BCA=E正确答案：D解析：因为ABC=E，即A(BC)=E，故方阵A与BC互为逆矩阵，从而有(BC)A=E，即BCA=E．知识模块：线性代数填空题8．(06年)微分方程的通解是______．正确答案：y=Cxe-x．解析：ln|y|=ln|x|—x=ln|x|+lne-x=ln|x|e-x则y=Cxe-x．知识模块：高等数学9．(07年)二阶常系数非齐次线性微分方程y”一4y’+3y=2e2x的通解为y=________．正确答案：y=C1e2+C2e3x一2e2x．解析：齐次方程特征方程为ρ2—4ρ+3=0解得ρ1=1，ρ2=3，则齐次方程通解为y=C1ex+C2e3x设非齐方程特解为代入原方程得A=一2，则原方程通解为y=C1ex+C2e3x一2e2x 知识模块：高等数学10．(08年)微分方程xy’+y=0满足条件y(1)=1的解是y=______．正确答案：解析：方程xy’+y=0是一个变量可分离方程，原方程可改写为知识模块：高等数学11．(09年)若二阶常系数线性齐次微分方程y”+ay’+by=0的通解为y=(C1+C2x)ex，则非齐次方程y”+ay’+by=x满足条件y(0)=2，y’(0)=0的解为y=_______．正确答案：y=一xex+x+2．解析：由于y=(C1+C2x)ex是方程y”+ay’+by=0的通解，则该方程的两个特征根为λ1=λ2=1，故a=一2，b=1．设非齐次方程y”一2y’+y=x的特解为y’=Ax+B代入方程得A=1，B=2，则其通解为y=(C1+C2x)ex+x+2由y(0)=2，y’(0)=0得，C1=0，C2=一1．所以y=一xex+x+2 知识模块：高等数学12．(11年)微分方程y’+y=e-xcosx满足条件y(0)=0的解为y=______．正确答案：e-xsinx．解析：由一阶线性方程的通解公式得y=e-∫dx[∫e-xcosx.e∫dxdx+C]=e-x[∫cosxdx+C]=e-x[sinx+C]由y(0)=0知，C=0，则y=e-xsinx 知识模块：高等数学13．(12年)若函数f(x)满足方程f”(x)+f’(x)一2f(x)=0及f”(x)+f(x)=2ex，则f(x)=_______。

考研数学(一)历年真题(1990-2021)无水印

1990年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)2x t =-+(1)过点(1,21)M -且与直线34y t =-垂直的平面方程是_____________.1z t =-(2)设a 为非零常数,则lim(xx x a x a→∞+-=_____________.(3)设函数()f x =1011x x ≤>,则[()]f f x =_____________.(4)积分222e y xdx dy -⎰⎰的值等于_____________.(5)已知向量组1234(1,2,3,4),(2,3,4,5),(3,4,5,6),(4,5,6,7),====αααα则该向量组的秩是_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设()f x 是连续函数,且e ()(),xxF x f t dt -=⎰则()F x '等于(A)e (e )()xx f f x ----(B)e (e )()xx f f x ---+(C)e(e )()x x f f x ---(D)e(e )()xx f f x --+(2)已知函数()f x 具有任意阶导数,且2()[()],f x f x '=则当n 为大于2的正整数时,()f x 的n 阶导数()()n f x 是(A)1![()]n n f x +(B)1[()]n n f x +(C)2[()]nf x (D)2![()]nn f x (3)设a 为常数,则级数21sin()[n na n ∞=∑(A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)收敛性与a 的取值有关(4)已知()f x 在0x =的某个邻域内连续,且0()(0)0,lim2,1cos x f x f x→==-则在点0x =处()f x(A)不可导(B)可导,且(0)0f '≠(C)取得极大值(D)取得极小值(5)已知1β、2β是非齐次线性方程组=AX b 的两个不同的解1,α、2α是对应其次线性方程组=AX 0的基础解析1,k 、2k 为任意常数,则方程组=AX b 的通解(一般解)必是(A)1211212()2k k -+++ββααα(B)1211212()2k k ++-+ββααα(C)1211212()2k k -+++ββαββ(D)1211212()2k k ++-+ββαββ三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求120ln(1).(2)x dx x +-⎰(2)设(2,sin ),z f x y y x =-其中(,)f u v 具有连续的二阶偏导数,求2.zx y∂∂∂(3)求微分方程244e xy y y -'''++=的通解(一般解).四、(本题满分6分)求幂级数(21)nn n x∞=+∑的收敛域,并求其和函数.五、(本题满分8分)求曲面积分2SI yzdzdx dxdy =+⎰⎰其中S 是球面2224x y z ++=外侧在0z ≥的部分.六、（本题满分7分）设不恒为常数的函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,在开区间(,)a b 内可导,且()().f a f b =证明在(,)a b 内至少存在一点,ξ使得()0.f ξ'>七、（本题满分6分）设四阶矩阵1100213401100213,0011002100010002-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦B C 且矩阵A 满足关系式1()-''-=A E C B C E其中E 为四阶单位矩阵1,-C 表示C 的逆矩阵,'C 表示C 的转置矩阵.将上述关系式化简并求矩阵.A 八、（本题满分8分）求一个正交变换化二次型22212312132344448f x x x x x x x x x =++-+-成标准型.九、（本题满分8分）质点P 沿着以AB 为直径的半圆周,从点(1,2)A 运动到点(3,4)B 的过程中受变力F 作用(见图).F的大小等于点P 与原点O 之间的距离,其方向垂直于线段OP 且与y 轴正向的夹角小于.2π求变力F 对质点P 所作的功.十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)已知随机变量X 的概率密度函数1()e ,2xf x x -=-∞<<+∞则X 的概率分布函数()F x =____________.(2)设随机事件A 、B 及其和事件的概率分别是0.4、0.3和0.6,若B 表示B 的对立事件,那么积事件AB 的概率()P AB =____________.(3)已知离散型随机变量X 服从参数为2的泊松()Poisson 分布,即22e {},0,1,2,,!k P X k k k -=== 则随机变量32Z X =-的数学期望()E Z =____________.十一、（本题满分6分）设二维随机变量(,)X Y 在区域:01,D x y x <<<内服从均匀分布,求关于X 的边缘概率密度函数及随机变量21Z X =+的方差().D Z1991年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)设21cos x t y t=+=,则22d y dx =_____________.(2)由方程xyz +=所确定的函数(,)z z x y =在点(1,0,1)-处的全微分dz =_____________.(3)已知两条直线的方程是1212321:;:.101211x y z x y zl l ---+-====-则过1l 且平行于2l 的平面方程是_____________.(4)已知当0x →时123,(1)1ax +-与cos 1x -是等价无穷小,则常数a =_____________.(5)设4阶方阵52002100,00120011⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A 则A 的逆阵1-A =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)曲线221e 1e x xy --+=-(A)没有渐近线(B)仅有水平渐近线(C)仅有铅直渐近线(D)既有水平渐近线又有铅直渐近线(2)若连续函数()f x 满足关系式20()()ln 2,2tf x f dt π=+⎰则()f x 等于(A)e ln 2x(B)2e ln 2x(C)e ln 2x +(D)2e ln 2x +(3)已知级数12111(1)2,5,n n n n n a a ∞∞--==-==∑∑则级数1n n a ∞=∑等于(A)3(B)7(C)8(D)9(4)设D 是平面xoy 上以(1,1)、(1,1)-和(1,1)--为顶点的三角形区域1,D 是D 在第一象限的部分,则(cos sin )Dxy x y dxdy +⎰⎰等于(A)12cos sin D x ydxdy⎰⎰(B)12D xydxdy⎰⎰(C)14(cos sin )D xy x y dxdy+⎰⎰(D)0(5)设n 阶方阵A 、B 、C 满足关系式,=ABC E 其中E 是n 阶单位阵,则必有(A)=ACB E (B)=CBA E (C)=BAC E(D)=BCA E三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求2lim .x π+→(2)设n是曲面222236x y z ++=在点(1,1,1)P 处的指向外侧的法向量,求函数u =在点P 处沿方向n 的方向导数.(3)22(),x y z dv Ω++⎰⎰⎰其中Ω是由曲线220y zx ==绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面4z =所围城的立体.四、(本题满分6分)过点(0,0)O 和(,0)A π的曲线族sin (0)y a x a =>中,求一条曲线,L 使沿该曲线O 从到A 的积分3(1)(2)Ly dx x y dy +++⎰的值最小.五、(本题满分8分)将函数()2(11)f x x x =+-≤≤展开成以2为周期的傅里叶级数,并由此求级数211n n∞=∑的和.六、（本题满分7分）设函数()f x 在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且1233()(0),f x dx f =⎰证明在(0,1)内存在一点,c 使()0.f c '=七、（本题满分8分）已知1234(1,0,2,3),(1,1,3,5),(1,1,2,1),(1,2,4,8)a a ===-+=+αααα及(1,1,3,5).b =+β(1)a 、b 为何值时,β不能表示成1234,,,αααα的线性组合?(2)a 、b 为何值时,β有1234,,,αααα的唯一的线性表示式?写出该表示式.八、（本题满分6分）设A 是n 阶正定阵,E 是n 阶单位阵,证明+A E 的行列式大于1.九、（本题满分8分）在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点(,)P x y 处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ 长度的倒数(Q 是法线与x 轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与x 轴平行.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)若随机变量X 服从均值为2、方差为2σ的正态分布,且{24}0.3,P X <<=则{0}P X <=____________.(2)随机地向半圆0y a <<为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比,则原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4π的概率为____________.十一、（本题满分6分）设二维随机变量(,)X Y 的密度函数为(,)f x y =(2)2e 0,00 x y x y -+>>其它求随机变量2Z X Y =+的分布函数.1992年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)设函数()y y x =由方程e cos()0x yxy ++=确定,则dydx=_____________.(2)函数222ln()u x y z =++在点(1,2,2)M -处的梯度grad Mu=_____________.(3)设()f x =211x-+00x x ππ-<≤<≤,则其以2π为周期的傅里叶级数在点x π=处收敛于_____________.(4)微分方程tan cos y y x x '+=的通解为y =_____________.(5)设111212121212,n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 其中0,0,(1,2,,).i ia b i n ≠≠= 则矩阵A 的秩()r A =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)当1x →时,函数1211e 1x x x ---的极限(A)等于2(B)等于0(C)为∞(D)不存在但不为∞(2)级数1(1)(1cos nn a n ∞=--∑常数0)a >(A)发散(B)条件收敛(C)绝对收敛(D)收敛性与a 有关(3)在曲线23,,x t y t z t ==-=的所有切线中,与平面24x y z ++=平行的切线(A)只有1条(B)只有2条(C)至少有3条(D)不存在(4)设32()3,f x x x x =+则使()(0)n f 存在的最高阶数n 为(A)0(B)1(C)2(D)3(5)要使12100,121⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ξξ都是线性方程组=AX 0的解,只要系数矩阵A 为(A)[]212-(B)201011-⎡⎤⎢⎥⎣⎦(C)102011-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦(D)011422011-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求0x x →(2)设22(e sin ,),x z f y x y =+其中f 具有二阶连续偏导数,求2.z x y∂∂∂(3)设()f x =21ex x -+00x x ≤>,求31(2).f x dx -⎰四、(本题满分6分)求微分方程323e xy y y -'''+-=的通解.五、(本题满分8分)计算曲面积分323232()()(),x az dydz y ax dzdx z ay dxdy ∑+++++⎰⎰其中∑为上半球面z =的上侧.六、（本题满分7分）设()0,(0)0,f x f ''<=证明对任何120,0,x x >>有1212()()().f x x f x f x +<+七、（本题满分8分）在变力F yzi zxj xyk =++的作用下,质点由原点沿直线运动到椭球面2222221x y z a b c++=上第一卦限的点(,,),M ξηζ问当ξ、η、ζ取何值时,力F 所做的功W 最大?并求出W 的最大值.八、（本题满分7分）设向量组123,,ααα线性相关,向量组234,,ααα线性无关,问:(1)1α能否由23,αα线性表出?证明你的结论.(2)(2)4α能否由123,,ααα线性表出?证明你的结论.九、（本题满分7分）设3阶矩阵A 的特征值为1231,2,3,λλλ===对应的特征向量依次为1231111,2,3,149⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ξξξ又向量12.3⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭β(1)将β用123,,ξξξ线性表出.(2)求(nn A β为自然数).十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)已知11()()(),()0,()(),46P A P B P C P AB P AC P BC ======则事件A 、B 、C 全不发生的概率为____________.(2)设随机变量X 服从参数为1的指数分布,则数学期望2{e }XE X -+=____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X 与Y 独立,X 服从正态分布2(,),N Y μσ服从[,]ππ-上的均匀分布,试求Z X Y =+的概率分布密度(计算结果用标准正态分布函数Φ表示,其中22()e)t xx dt --∞Φ=.1993年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)函数1()(2(0)xF x dt x =->⎰的单调减少区间为_____________.(2)由曲线223212x y z +==绕y 轴旋转一周得到的旋转面在点处的指向外侧的单位法向量为_____________.(3)设函数2()()f x x x x πππ=+-<<的傅里叶级数展开式为01(cos sin ),2n n n a a nx b nx ∞=++∑则其中系数3b 的值为_____________.(4)设数量场u =则div(grad )u =_____________.(5)设n 阶矩阵A 的各行元素之和均为零,且A 的秩为1,n -则线性方程组=AX 0的通解为_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设sin 2340()sin(),(),xf x t dtg x x x ==+⎰则当0x →时,()f x 是()g x 的(A)等价无穷小(B)同价但非等价的无穷小(C)高阶无穷小(D)低价无穷小(2)双纽线22222()x y x y +=-所围成的区域面积可用定积分表示为(A)402cos 2d πθθ⎰(B)404cos 2d πθθ⎰(C)2θ(D)2401(cos 2)2d πθθ⎰(3)设有直线1158:121x y z l --+==-与2:l 623x y y z -=+=则1l 与2l 的夹角为(A)6π(B)4π(C)3π(D)2π(4)设曲线积分[()e ]sin ()cos x Lf t ydx f x ydy --⎰与路径无关,其中()f x 具有一阶连续导数,且(0)0,f =则()f x 等于(A)e e 2x x --(B)e e 2x x --(C)e e 12x x -+-(D)e e 12x x-+-(5)已知12324,369t ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦Q P 为三阶非零矩阵,且满足0,=PQ 则(A)6t =时P 的秩必为1(B)6t =时P 的秩必为2(C)6t ≠时P 的秩必为1(D)6t ≠时P 的秩必为2三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求21lim(sincos ).x x x x →∞+(2)求.x dx (3)求微分方程22,x y xy y '+=满足初始条件11x y==的特解.四、(本题满分6分)计算22,xzdydz yzdzdx z dxdy ∑+-⎰⎰ 其中∑是由曲面z =与z =所围立体的表面外侧.五、(本题满分7分)求级数20(1)(1)2n nn n n ∞=--+∑的和.六、(本题共2小题,每小题5分,满分10分)(1)设在[0,)+∞上函数()f x 有连续导数,且()0,(0)0,f x k f '≥><证明()f x 在(0,)+∞内有且仅有一个零点.(2)设,b a e >>证明.baa b >七、（本题满分8分）已知二次型22212312323(,,)2332(0)f x x x x x x ax x a =+++>通过正交变换化成标准形22212325,f y y y =++求参数a 及所用的正交变换矩阵.八、（本题满分6分）设A 是n m ⨯矩阵,B 是m n ⨯矩阵,其中,n m <I 是n 阶单位矩阵,若,=AB I 证明B 的列向量组线性无关.九、（本题满分6分）设物体A 从点(0,1)出发,以速度大小为常数v 沿y 轴正向运动.物体B 从点(1,0)-与A 同时出发,其速度大小为2,v 方向始终指向,A 试建立物体B 的运动轨迹所满足的微分方程,并写出初始条件.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)一批产品共有10个正品和2个次品,任意抽取两次,每次抽一个,抽出后不再放回,则第二次抽出的是次品的概率为____________.(2)设随机变量X 服从(0,2)上的均匀分布,则随机变量2Y X =在(0,4)内的概率分布密度()Y f y =____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X 的概率分布密度为1()e ,.2xf x x -=-∞<<+∞(1)求X 的数学期望EX 和方差.DX (2)求X 与X 的协方差,并问X 与X 是否不相关?(3)问X 与X 是否相互独立?为什么?1994年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)011lim cot ()sin x x xπ→-=_____________.(2)曲面e 23xz xy -+=在点(1,2,0)处的切平面方程为_____________.(3)设e sin ,xxu y-=则2u x y ∂∂∂在点1(2,π处的值为_____________.(4)设区域D 为222,x y R +≤则2222()Dx y dxdy a b +⎰⎰=_____________.(5)已知11[1,2,3],[1,,23==αβ设,'=A αβ其中'α是α的转置,则n A =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设4342342222222sin cos ,(sin cos ),(sin cos ),1x M xdx N x x dx P x x x dx x ππππππ---==+=-+⎰⎰⎰则有(A)N P M<<(B)M P N <<(C)N M P <<(D)P M N<<(2)二元函数(,)f x y 在点00(,)x y 处两个偏导数00(,)x f x y '、00(,)y f x y '存在是(,)f x y 在该点连续的(A)充分条件而非必要条件(B)必要条件而非充分条件(C)充分必要条件(D)既非充分条件又非必要条件(3)设常数0,λ>且级数21nn a ∞=∑收敛,则级数1(1)nn ∞=-∑(A)发散(B)条件收敛(C)绝对收敛(D)收敛性与λ有关(4)2tan (1cos )lim2,ln(12)(1)x x a x b x c x d e-→+-=-+-其中220,a c +≠则必有(A)4b d =(B)4b d =-(C)4a c=(D)4a c=-(5)已知向量组1234,,,αααα线性无关,则向量组(A)12233441,,,++++αααααααα线性无关(B)12233441,,,----αααααααα线性无关(C)12233441,,,+++-αααααααα线性无关(D)12233441,,,++--αααααααα线性无关三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)设2221cos()cos()t x t y t t udu ==-⎰,求dy dx 、22d y dx在t =的值.(2)将函数111()ln arctan 412x f x x x x +=+--展开成x 的幂级数.(3)求.sin(2)2sin dxx x +⎰四、(本题满分6分)计算曲面积分2222S xdydz z dxdyx y z +++⎰⎰其中S 是由曲面222x y R +=及,(0)z R z R R ==->两平面所围成立体表面的外侧.五、(本题满分9分)设()f x 具有二阶连续函数,(0)0,(0)1,f f '==且2[()()][()]0xy x y f x y dx f x x y dy '+-++=为一全微分方程,求()f x 及此全微分方程的通解.六、(本题满分8分)设()f x 在点0x =的某一邻域内具有二阶连续导数,且0()lim0,x f x x→=证明级数11()n f n∞=∑绝对收敛.七、（本题满分6分）已知点A 与B 的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1).线段AB 绕x 轴旋转一周所成的旋转曲面为.S 求由S 及两平面0,1z z ==所围成的立体体积.八、（本题满分8分）设四元线性齐次方程组(Ⅰ)为122400x x x x +=-=,又已知某线性齐次方程组(Ⅱ)的通解为12(0,1,1,0)(1,2,2,1).k k +-(1)求线性方程组(Ⅰ)的基础解析.(2)问线性方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)是否有非零公共解?若有,则求出所有的非零公共解.若没有,则说明理由.九、（本题满分6分）设A 为n 阶非零方阵*,A 是A 的伴随矩阵,'A 是A 的转置矩阵,当*'=A A 时,证明0.≠A 十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)已知A 、B 两个事件满足条件()(),P AB P AB =且(),P A p =则()P B =____________.(2)设相互独立的两个随机变量,X Y 具有同一分布率,且X 的分布率为X 01P1212则随机变量max{,}Z X Y =的分布率为____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X 和Y 分别服从正态分布2(1,3)N 和2(0,4),N 且X 与Y 的相关系数1,2xy ρ=-设,32X YZ =+(1)求Z 的数学期望EZ 和DZ 方差.(2)求X 与Z 的相关系数.xz ρ(3)问X 与Y 是否相互独立?为什么?1995年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)2sin 0lim(13)xx x →+=_____________.(2)202cos x d x t dt dx⎰=_____________.(3)设()2,⨯=a b c 则[()()]()+⨯++a b b c c a =_____________.(4)幂级数2112(3)n n nn n ∞-=+-∑的收敛半径R =_____________.(5)设三阶方阵,A B 满足关系式16,-=+A BA A BA 且100310,41007⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 则B =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设有直线:L 321021030x y z x y z +++=--+=,及平面:4220,x y z π-+-=则直线L(A)平行于π(B)在π上(C)垂直于π(D)与π斜交(2)设在[0,1]上()0,f x ''>则(0),(1),(1)(0)f f f f ''-或(0)(1)f f -的大小顺序是(A)(1)(0)(1)(0)f f f f ''>>-(B)(1)(1)(0)(0)f f f f ''>->(C)(1)(0)(1)(0)f f f f ''->>(D)(1)(0)(1)(0)f f f f ''>->(3)设()f x 可导,()()(1sin ),F x f x x =+则(0)0f =是()F x 在0x =处可导的(A)充分必要条件(B)充分条件但非必要条件(C)必要条件但非充分条件(D)既非充分条件又非必要条件(4)设(1)ln(1nn u =-+则级数(A)1nn u∞=∑与21nn u∞=∑都收敛(B)1nn u∞=∑与21nn u∞=∑都发散(C)1nn u∞=∑收敛,而21nn u∞=∑发散(D)1nn u∞=∑收敛,而21nn u∞=∑发散(5)设11121311121321222321222312313233313233010100,,100,010,001101a a a a a a a a a a a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦A B P P 则必有(A)12AP P =B (B)21AP P =B (C)12P P A =B(D)21P P A =B三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分)(1)设2(,,),(,e ,)0,sin ,yu f x y z x z y x ϕ===其中,f ϕ都具有一阶连续偏导数,且0.zϕ∂≠∂求.du dx (2)设函数()f x 在区间[0,1]上连续,并设1(),f x dx A =⎰求11()().xdx f x f y dy ⎰⎰四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分)(1)计算曲面积分,zdS ∑⎰⎰其中∑为锥面z =在柱体222x y x +≤内的部分.(2)将函数()1(02)f x x x =-≤≤展开成周期为4的余弦函数.五、(本题满分7分)设曲线L 位于平面xOy 的第一象限内,L 上任一点M 处的切线与y 轴总相交,交点记为.A 已知,MA OA =且L 过点33(,),22求L 的方程.六、(本题满分8分)设函数(,)Q x y 在平面xOy 上具有一阶连续偏导数,曲线积分2(,)Lxydx Q x y dy +⎰与路径无关,并且对任意t 恒有(,1)(1,)(0,0)(0,0)2(,)2(,),t t xydx Q x y dy xydx Q x y dy +=+⎰⎰求(,).Q x y 七、（本题满分8分）假设函数()f x 和()g x 在[,]a b 上存在二阶导数,并且()0,()()()()0,g x f a f b g a g b ''≠====试证:(1)在开区间(,)a b 内()0.g x ≠(2)在开区间(,)a b 内至少存在一点,ξ使()().()()f fg g ξξξξ''=''八、（本题满分7分）设三阶实对称矩阵A 的特征值为1231,1,λλλ=-==对应于1λ的特征向量为101,1⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ξ求.A 九、（本题满分6分）设A 为n 阶矩阵,满足('=AA I I 是n 阶单位矩阵,'A 是A 的转置矩阵),0,<A 求.+A I 十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数,每次射中目标的概率为0.4,则2X 的数学期望2()E X =____________.(2)设X 和Y 为两个随机变量,且34{0,0},{0}{0},77P X Y P X P Y ≥≥=≥=≥=则{max(,)0}P X Y ≥=____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X 的概率密度为()X f x =e 0x -00x x ≥<,求随机变量e XY =的概率密度().Y f y1996年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)设2lim()8,xx x a x a→∞+=-则a =_____________.(2)设一平面经过原点及点(6,3,2),-且与平面428x y z -+=垂直,则此平面方程为_____________.(3)微分方程22e xy y y '''-+=的通解为_____________.(4)函数ln(u x =在点(1,0,1)A 处沿点A 指向点(3,2,2)B -方向的方向导数为_____________.(5)设A 是43⨯矩阵,且A 的秩()2,r =A 而102020,103⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦B 则()r AB =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)已知2()()x ay dx ydyx y +++为某函数的全微分,a 则等于(A)-1(B)0(C)1(D)2(2)设()f x 具有二阶连续导数,且0()(0)0,lim1,x f x f x→'''==则(A)(0)f 是()f x 的极大值(B)(0)f 是()f x 的极小值(C)(0,(0))f 是曲线()y f x =的拐点(D)(0)f 不是()f x 的极值,(0,(0))f 也不是曲线()y f x =的拐点(3)设0(1,2,),n a n >= 且1n n a ∞=∑收敛,常数(0,2πλ∈则级数21(1)(tan nnn n a n λ∞=-∑(A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)散敛性与λ有关(4)设有()f x 连续的导数220,(0)0,(0)0,()()(),xf f F x x t f t dt '=≠=-⎰且当0x →时,()F x '与kx 是同阶无穷小,则k 等于(A)1(B)2(C)3(D)4(5)四阶行列式112233440000000a b a b a b b a 的值等于(A)12341234a a a ab b b b -(B)12341234a a a ab b b b +(C)12123434()()a ab b a a b b --(D)23231414()()a ab b a a b b --三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分)(1)求心形线(1cos )r a θ=+的全长,其中0a >是常数.(2)设1110,1,2,),n x x n +=== 试证数列{}n x 极限存在,并求此极限.四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分)(1)计算曲面积分(2),Sx z dydz zdxdy ++⎰⎰其中S 为有向曲面22(01),z xy x =+≤≤其法向量与z 轴正向的夹角为锐角.(2)设变换2u x y v x ay =-=+可把方程2222260z z z x x y y ∂∂∂+-=∂∂∂∂简化为20,zu v∂=∂∂求常数.a 五、(本题满分7分)求级数211(1)2n n n ∞=-∑的和.六、(本题满分7分)设对任意0,x >曲线()y f x =上点(,())x f x 处的切线在y 轴上的截距等于01(),xf t dt x⎰求()f x 的一般表达式.七、（本题满分8分）设()f x 在[0,1]上具有二阶导数,且满足条件(),(),f x a f x b ''≤≤其中,a b 都是非负常数,c 是(0,1)内任意一点.证明()2.2bf c a '≤+八、（本题满分6分）设,TA =-I ξξ其中I 是n 阶单位矩阵,ξ是n 维非零列向量,Tξ是ξ的转置.证明(1)2=A A 的充分条件是 1.T=ξξ(2)当1T=ξξ时,A 是不可逆矩阵.九、（本题满分8分）已知二次型222123123121323(,,)55266f x x x x x cx x x x x x x =++-+-的秩为2,(1)求参数c 及此二次型对应矩阵的特征值.(2)指出方程123(,,)1f x x x =表示何种二次曲面.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设工厂A 和工厂B 的产品的次品率分别为1%和2%,现从由A 和B 的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件,发现是次品,则该次品属A 生产的概率是____________.(2)设,ξη是两个相互独立且均服从正态分布2)N 的随机变量,则随机变量ξη-的数学期望()E ξη-=____________.十一、（本题满分6分）设,ξη是两个相互独立且服从同一分布的两个随机变量,已知ξ的分布率为1(),1,2,3.3P i i ξ===又设max(,),min(,).X Y ξηξη==(1)写出二维随机变量的分布率:XY123123(2)求随机变量X 的数学期望().E X1997年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)2013sin coslim(1cos )ln(1)x x x x x x →+++=_____________.(2)设幂级数1nnn a x∞=∑的收敛半径为3,则幂级数11(1)n nn na x ∞+=-∑的收敛区间为_____________.(3)对数螺线e θρ=在点2(,)(e ,)2ππρθ=处切线的直角坐标方程为_____________.(4)设12243,311t -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A B 为三阶非零矩阵,且,=AB O 则t =_____________.(5)袋中有50个乒乓球,其中20个是黄球,30个是白球,今有两人依次随机地从袋中各取一球,取后不放回,则第二个人取得黄球的概率是_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)二元函数(,)f x y =22(,)(0,0)0(,)(0,0)xyx y x y x y ≠+=,在点(0,0)处(A)连续,偏导数存在(B)连续,偏导数不存在(C)不连续,偏导数存在(D)连续,偏导数不存在(2)设在区间[,]a b 上()0,()0,()0.f x f x f x '''><>令1231(),()(),[()()](),2ba S f x dx S fb b a S f a f b b a ==-=+-⎰则(A)123S S S <<(B)213S S S <<(C)312S S S <<(D)231S S S <<(3)设2sin ()e sin ,x t xF x tdt π+=⎰则()F x (A)为正常数(B)为负常数(C)恒为零(D)不为常数(4)设111122232333,,,a b c a b c a b c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ααα则三条直线1112223330,0,0a x b y c a x b y c a x b y c ++=++=++=(其中220,1,2,3i i a b i +≠=)交于一点的充要条件是:(A)123,,ααα线性相关(B)123,,ααα线性无关(C)秩123(,,)r =ααα秩12(,)r αα(D)123,,ααα线性相关12,,αα线性无关(5)设两个相互独立的随机变量X 和Y 的方差分别为4和2,则随机变量32X Y -的方差是(A)8(B)16(C)28(D)44三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)计算22(),I xy dv Ω=+⎰⎰⎰其中Ω为平面曲线220y zx ==绕z 轴旋转一周所成的曲面与平面8z =所围成的区域.(2)计算曲线积分()()(),cz y dx x z dy x y dz -+-+-⎰ 其中c 是曲线2212x y x y z +=-+=从z轴正向往z 轴负向看c 的方向是顺时针的.(3)在某一人群中推广新技术是通过其中掌握新技术的人进行的,设该人群的总人数为,N 在0t =时刻已掌握新技术的人数为0,x 在任意时刻t 已掌握新技术的人数为()(x t 将()x t 视为连续可微变量),其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比,比例常数0,k >求().x t 四、(本题共2小题,第(1)小题6分,第(2)小题7分,满分13分)(1)设直线:l 030x y b x ay z ++=+--=在平面π上,而平面π与曲面22z x y =+相切于点(1,2,5),-求,a b 之值.(2)设函数()f u 具有二阶连续导数,而(e sin )xz f y =满足方程22222e ,xz z z x y∂∂+=∂∂求().f u五、(本题满分6分)设()f x 连续1,()(),x f xt dt ϕ=⎰且0()lim(x f x A A x→=为常数),求()x ϕ'并讨论()x ϕ'在0x =处的连续性.六、(本题满分8分)设11110,(1,2,),2n n na a a n a +==+= 证明(1)lim n x a →∞存在.(2)级数11(1)nn n a a ∞=+-∑收敛.七、(本题共2小题,第(1)小题5分,第(2)小题6分,满分11分)(1)设B 是秩为2的54⨯矩阵123,[1,1,2,3],[1,1,4,1],[5,1,8,9]TTT==--=--ααα是齐次线性方程组x =B 0的解向量,求x =B 0的解空间的一个标准正交基.(2)已知111⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ξ是矩阵2125312a b -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦A 的一个特征向量.1)试确定,a b 参数及特征向量ξ所对应的特征值.2)问A 能否相似于对角阵?说明理由.八、（本题满分5分）设A 是n 阶可逆方阵,将A 的第i 行和第j 行对换后得到的矩阵记为.B (1)证明B 可逆.(2)求1.-AB 九、（本题满分7分）从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗,假设再各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是2.5设X 为途中遇到红灯的次数,求随机变量X 的分布律、分布函数和数学期望.十、（本题满分5分）设总体X 的概率密度为()f x =(1)0x θθ+01x <<其它其中1θ>-是未知参数12,,,,n X X X 是来自总体X 的一个容量为n 的简单随机样本,分别用矩估计法和极大似然估计法求θ的估计量.1998年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)2112limx x→-=_____________.(2)设1()(),,z f xy y x y f x ϕϕ=++具有二阶连续导数,则2z x y ∂∂∂=_____________.(3)设l 为椭圆221,43x y +=其周长记为,a 则22(234)Lxy x y ds ++⎰ =_____________.(4)设A 为n 阶矩阵*,0,≠A A 为A 的伴随矩阵,E 为n 阶单位矩阵.若A 有特征值,λ则*2()+A E 必有特征值_____________.(5)设平面区域D 由曲线1y x=及直线20,1,e y x x ===所围成,二维随机变量(,)X Y 在区域D 上服从均匀分布,则(,)X Y 关于X 的边缘概率密度在2x =处的值为_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设()f x 连续,则220()x d tf x t dt dx-⎰=(A)2()xf x (B)2()xf x -(C)22()xf x (D)22()xf x -(2)函数23()(2)f x x x x x =---不可导点的个数是(A)3(B)2(C)1(D)0(3)已知函数()y y x =在任意点x 处的增量2,1y xy x α∆∆=++且当0x ∆→时,α是x ∆的高阶无穷小,(0)y π=,则(1)y 等于(A)2π(B)π(C)4eπ(D)4eππ(4)设矩阵111222333a b c a b c a b c ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦是满秩的,则直线333121212x a y b z c a a b b c c ---==---与直线111232323x a y b z c a a b b c c ---==---(A)相交于一点(B)重合(C)平行但不重合(D)异面(5)设,A B 是两个随机事件,且0()1,()0,(|)(|),P A P B P B A P B A <<>=则必有(A)(|)(|)P A B P A B =(B)(|)(|)P A B P A B ≠(C)()()()P AB P A P B =(D)()()()P AB P A P B ≠三、(本题满分5分)求直线11:111x y z l --==-在平面:210x y z π-+-=上的投影直线0l 的方程,并求0l 绕y 轴旋转一周所成曲面的方程.四、(本题满分6分)确定常数,λ使在右半平面0x >上的向量42242(,)2()()x y xy x y x x y λλ=+-+A i j 为某二元函数(,)u x y 的梯度,并求(,).u x y 五、(本题满分6分)从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度(y 从海平面算起)与下沉速度v 之间的函数关系.设仪器在重力作用下,从海平面由静止开始铅直下沉,在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为,m 体积为,B 海水密度为,ρ仪器所受的阻力与下沉速度成正比,比例系数为(0).k k >试建立y 与v 所满足的微分方程,并求出函数关系式().y y v =六、(本题满分7分)计算222212(),()axdydz z a dxdy x y z ∑++++⎰⎰其中∑为下半平面z =,a 为大于零的常数.七、(本题满分6分)求2sin sin sin lim .1112x n n n n n n πππ→∞⎡⎤⎢⎥+++⎢⎥+⎢⎥++⎣⎦ 八、（本题满分5分）设正向数列{}n a 单调减少,且1(1)nn n a ∞=-∑发散,试问级数11(1nn n a ∞=+∑是否收敛?并说明理由.九、（本题满分6分）设()y f x =是区间[0,1]上的任一非负连续函数.(1)试证存在0(0,1),x ∈使得在区间0[0,]x 上以0()f x 为高的矩形面积,等于在区间0[,1]x 上以()y f x =为曲边的曲边梯形面积.(2)又设()f x 在区间(0,1)内可导,且2()(),f x f x x'>-证明(1)中的0x 是唯一的.十、（本题满分6分）已知二次曲面方程2222224x ay z bxy xz yz +++++=可以经过正交变换x y z ξηζ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦P 化为椭圆柱面方程2244,ηξ+=求,a b 的值和正交矩阵.P 十一、（本题满分4分）设A 是n 阶矩阵,若存在正整数,k 使线性方程组kx =A 0有解向量,α且1.k -≠A α0证明:向量组1,,,k -αAαAα 是线性无关的.十二、（本题满分5分）已知方程组(Ⅰ)1111221,222112222,221122,22000n n n n n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=+++=+++=的一个基础解析为11121,221222,212,2(,,,),(,,,),,(,,,).TTTn n n n n n b b b b b b b b b 试写出线性方程组(Ⅱ)1111221,222112222,221122,22000n n n n n n n n nb y b y b y b y b y b y b y b y b y +++=+++=+++=的通解,并说明理由.十三、（本题满分6分）设两个随机变量,X Y 相互独立,且都服从均值为0、方差为12的正态分布,求随机变量X Y -的方差.十四、（本题满分4分）从正态总体2(3.4,6)N 中抽取容量为n 的样本,如果要求其样本均值位于区间(1.4,5.4)内的概率不小于0.95,问样本容量n 至少应取多大?附:标准正态分布表22()t zx dt -Φ=⎰z1.28 1.645 1.962.33()x Φ0.9000.9500.9750.990十五、（本题满分4分）设某次考试的学生成绩服从正态分布,从中随机地抽取36位考生地成绩,算得平均成绩为66.5分,标准差为15分.问在显著性水平0.05下,是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分?并给出检验过程.附:t 分布表{()()}p P t n t n p≤=0.950.97535 1.6896 2.0301361.68832.02811999年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)2011lim(tan x x x x→-=_____________.(2)20sin()x d x t dt dx-⎰=_____________.(3)24e xy y ''-=的通解为y =_____________.(4)设n 阶矩阵A 的元素全为1,则A 的n 个特征值是_____________.(5)设两两相互独立的三事件,A B和C满足条件:1,()()(),2ABC P A P B P C =∅==<且已知9(),16P A B C =则()P A =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设()f x 是连续函数,()F x 是()f x 的原函数,则(A)当()f x 是奇函数时,()F x 必是偶函数(B)当()f x 是偶函数时,()F x 必是奇函数(C)当()f x 是周期函数时,()F x 必是周期函数(D)当()f x 是单调增函数时,()F x 必是单调增函数(2)设20()() 0x f x x g x x >=≤⎩,其中()g x 是有界函数,则()f x 在0x =处(A)极限不存在(B)极限存在,但不连续(C)连续,但不可导(D)可导(3)设 01()122 12x x f x x x ≤≤⎧⎪=⎨-<<⎪⎩,01()cos ,,2n n a S x a n x x π∞==+-∞<<+∞∑其中102()cos n a f x n xdx π=⎰(0,1,2,)n = ,则5()2S -等于(A)12(B)12-(C)34(D)34-(4)设A 是m n ⨯矩阵,B 是n m ⨯矩阵,则(A)当m n >时,必有行列式||0≠AB (B)当m n >时,必有行列式||0=AB (C)当n m >时,必有行列式||0≠AB (D)当n m >时,必有行列式||0=AB (5)设两个相互独立的随机变量X 和Y 分别服从正态分布(0,1)N 和(1,1)N ,则(A)1{0}2P X Y +≤=(B)1{1}2P X Y +≤=(C)1{0}2P X Y -≤=(D)1{1}2P X Y -≤=三、(本题满分6分)设(),()y y x z z x ==是由方程()z xf x y =+和(,,)0F x y z =所确定的函数,其中f 和F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数,求.dz dx四、(本题满分5分)求(e sin ())(e cos ),x x LI y b x y dx y ax dy =-++-⎰其中,a b 为正的常数,L 为从点(2,0)A a 沿曲线y =到点(0,0)O 的弧.五、(本题满分6分)设函数()(0)y x x ≥二阶可导且()0,(0) 1.y x y '>=过曲线()y y x =上任意一点。

考研数学二(行列式、矩阵、向量)历年真题试卷汇编6(题后含答案及解析)

考研数学二（行列式、矩阵、向量）历年真题试卷汇编6(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．[2001年] 设A是n阶矩阵，α是n维列向量，若秩=秩(A)，则线性方程组( )．A．AX=α必有无穷多解B．AX=α必有唯一解C．=0仅有零解D．=0必有非零解正确答案：D解析：齐次线性方程组解的情况的判定关键是要弄清楚该方程组的未知数个数与系数矩阵秩之间的关系，对非齐次方程组解的情况判定的关键是要弄清楚该方程组的增广矩阵与系数矩阵A的秩的关系．若秩(A)=秩()，则该非齐次方程组必有在秩()=秩(A)=r的前提下考察r与未知数个数n之间的关系，进一步了解解的情况．解一因秩=秩(A)≤n＜n+1(n+1为未知数个数)，即系数矩阵非列满秩，由命题2．4．1．1(1)知，=0必有非零解．仅(D)入选．解二由秩=秩(A)知，α必为A的列向量组的线性组合，因而秩([A:α])=秩(A)．由命题4．1．1．2(2)知，Ax=α有解，但有多少个解尚不能确定．如秩(A)＜n，则由命题2．4．1．2(4)知，AX=α必有无穷多解，故(B)不对．但如果秩(A)=n，由命题2．4．1．2(3)知，AX=α必有唯一解，故(A)不对．因(C)中方程组的系数矩阵不是列满秩，由命题2．4．1．1(1)知，该方程组必有非零解，故(C)不成立．因而仅(D)入选．知识模块：线性方程组2．非齐次线性方程组AX=b 中未知量个数为n，方程个数为m，系数矩阵A的秩为r，则( )．A．r=m时，方程组AX=b有解B．r=n 时，方程组AX=b有唯一解C．m=n时，方程组AX=b有唯解D．r＜n时，方程组AX=b有无穷多解正确答案：A解析：非齐次线性方程组解的情况常用命题2．4．1．2判别，为此应首先考查秩(A)与秩(A)是否相等，但m=秩(A)=r时，可直接利用命题2．4．1．3判定．因A为m×n矩阵，若秩(A)=m，则m=秩(A)≤秩([A : b])≤m，于是秩(A)=秩([A : b])=m，故方程组AX=b当秩(A)=m时必有解．仅(A)入选．知识模块：线性方程组3．[2004年] 设n阶矩阵A的伴随矩阵A*≠O，若ξ1，ξ2，ξ3 ，ξ4是非齐次线性方程组AX=b的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组AX=0的基础解系( ).A．不存在B．仅含一个非零解向量C．含有两个线性无关的解向量D．含有三个线性无关的解向量正确答案：B解析：基础解系所含解向量个数等于n=秩(A)，因此先求秩(A)，进而确定选项．解一当A*≠O时，秩(A*)=0，因而秩(A*)=n或秩(A*)=1，于是秩(A)=n或秩(A)=n一1．由题设知AX=b有四个互不相等的解，因而解不唯一，于是秩(A)=n一1．因而n一秩(A)=n一(n－1)=1，即其基础解系仅含一个解向量．仅(B)入选．解二因A*≠O，故秩(A*)≥1，则秩(A)≥n－1．又因AX=0有解且不唯一，故秩(A)≤n一1，因而秩(A)=n一1，其基础解系仅含一个解向量．仅(B)入选．知识模块：线性方程组4．[2011年] 设A=[α1，α2，α3，α4]是四阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，若[1，0，1，0]T是方程组AX=0的一个基础解系，则A*X=0的基础解系可为( )．A．α1，α3B．α1，α2C．α1，α2，α3D．α2，α3，α4正确答案：D解析：先求A*X=0的一个基础解系所含解向量的个数．再由A*A=∣A∣E=0E=0得到A的列向量为A*X=0的解，且A的列向量组中含有A*X=0的基础解系，最后利用AX=0的基础解系求得A的列向量之间的线性关系，从而确定A*X=0的基础解系．因AX=0的基础解系只含一个解向量[1，0，1，0]T，故n 一秩(A)=4一秩(A)=1，即秩(A)=3．因而秩(A*)=1．于是A*X=0的一个基础解系必含n一秩(A*)=4一l=3个解向量，这就排除了(A)，(B)选项．因秩(A)=3，故∣A∣=0，所以A*A=∣A∣E=O．又因秩(A)=3，故A的列向量组中含有A*X=0的基础解系．又因[1，0，1，0]T为AX=[α1，α2，α3，α4]X=0的解向量，故[α1，α2，α3，α4][1，0，1，0]T=α1+α3=0，即α1与α3线性相关，从而排除(C)．仅(D)入选．知识模块：线性方程组5．已知β1，β2是非齐次线性方程组AX=b的两个不同的解，α1，α2是对应齐次线性方程组AX=0的基础解系，k1，k2为任意常数，则AX=b的通解必是( )．A．k1α1+k2(α1一α2)+(β1－β2)／2B．k1α1+k2(α1一α2)+(β1+β2)／2C．k1α1+k2(β1一β2)+(β1－β2)／2D．k1α1+k2(β1一β2)+(β1+β2)／2正确答案：B解析：利用解的结构定理即命题2．4．4．2求之．解一因α1，α2线性无关，由命题2．3．2．2知α1，α1+α2线性无关，α1，α1一α2也线性无关．又因1／2+1／2=1，由命题2．4．4．1知，(β1+β2)／2为AX=b的一特解，由命题2．4．4．2知，k1α1+k2(α2一α1)+(β1+β2)／2为AX=b 的通解．仅(B)入选．解二因(A)中(β1一β2)／2不是AX=b的特解，而(C)中既没有特解，且β1+β2也不是AX=0的解，(D)中虽有特解，且α1与β2一β1均为AX=0的解，但α1与β2一β1的线性相关性无法确定，故(A)，(C)，(D)均不正确．仅(B)入选．知识模块：线性方程组6．[2000年] 设α1，α2，α3是四元非齐次线性方程组AX=b的三个解向量，且秩(A)=3，α1=[1，2，3，4]T，α2+α3=[0，1，2，3]T，c表示任意常数，则线性方程组AX=b的通解X=( )．A．[1，2，3，4]T+c[1，1，1，1]TB．[1，2，3，4]T+c[0，1，2，3]TC．[1，2，3，4]T+c[2，3，4，5]TD．[1，2，3，4]T+c[3，4，5，6]T正确答案：C解析：关键在于构造出AX=0的一个非零特解，求得其基础解系．构造的方法需利用命题2．4．4．1．解一仅(C)入选．AX=b为四元非齐次方程组，秩(A)=3，AX=0的一个基础解系只含n一秩(A)=4—3=1个解向量．将特解的线性组合2α1，α2+α3写成特解之差的线性组合：2α1一(α2+α3)=(α1一α2)+(α1一α3)．因2一(1+1)=0，由命题2．4．4．1知，2α1一(α2+α3)=[2，3，4，5]T≠0仍为AX=0的一个解向量，且为其一个基础解系，故AX=b的通解为X=α1+c[2α1一(α2+α3)]=[1，2，3，4]T+c[2，3，4，5]T，c为任意常数．解二仅(C)入选．因秩(A)=3，故四元齐次方程组AX=0的基础解系所含向量的个数为4一秩(A)=1，所以AX=0的任一个非零解都是它的基础解系．由于α1及(α2+α3)／2都是AX=b的解(因1／2+1／2=1)，故α1一(α3+α2)／2=(1／2)[2α1一(α2+α3)]=(1／2)[2，3，4，5]T是AX=0的一个解，从而2×(1／2)[2，3，4，5]T=[2，3，4，5]T=η，也是AX=0的一个解，且因η≠0，故η为AX=0的一个基础解系，所以AX=b的通解为X=α1+cη=[1，2，3，4]T+c[2，3，4，5]T，其中C为任意常数．知识模块：线性方程组7．[2015年] 设矩阵．若集合Ω={1，2}，则线性方程组AX=b有无穷多解的充分必要条件为( )．A．aΩ，dΩB．aΩ，d∈ΩC．a∈Ω，dΩD．a∈Ω，d∈Ω正确答案：D解析：只需由AX=b有无穷多解的充分必要条件秩(A)=秩(A:b)＜3找出a，d所满足的条件即可．注意到A为3阶范德蒙行列式，由秩(A)＜3得∣A∣=(2一1)(a一1)(a－2)=0，故a=1或a=2，即a∈Ω．排除(A)、(B)．又由a=1时，=[A:b]=由秩=秩[A:b]＜3得到(d一1)(d一2)=0，即d=1，d=2，d∈Ω．当a=2时，由,故(d－1)(d－2)=0，即d=1，d=2，d∈Ω．因而当a=l，2时，d∈Ω，排除(C)．仅(D)入选．知识模块：线性方程组8．要使ξ1=[1，0，2]T，ξ2=[0，1，一1]T都是线性方程组AX=0的解，只要系数矩阵A为( )．A．[一2，1，1]B．C．D．正确答案：A解析：可用一般的方法求之，也可利用Ax一0的基础解系中解向量的个数求之．解一ξ1，ξ2线性无关，以ξ1T，ξ2T为行向量作矩阵B=，解BX=0，得基础解系β1=[一2，1，1]T，以β1T为行向量作矩阵A=[β1T]，则A即为所求的矩阵，因而仅(A)入选．解二因ξ1，ξ2线性无关，n=3，三元齐次线性方程组AX=0的基础解系中至少含2个解向量，故3一秩(A)≥2，即秩(A)≤1．(A)，(B)，(C)，(D)中矩阵只有(A)中矩阵的秩等于1．故仅(A)入选．知识模块：线性方程组9．[2000年] 设A为n阶实矩阵，AT是A的转置矩阵，则对于线性方程组(Ⅰ)：AX=0和(Ⅱ)：ATAX=0必有( )．A．(Ⅱ)的解必是(Ⅰ)的解，(Ⅰ)的解也是(Ⅱ)的解．B．(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，但(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解．C．(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也不是(Ⅰ)的解．D．(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解，但(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解．正确答案：A解析：本题的难点是在由ATAX=0得到A．这只有将ATAX=0化成只含AX 的式子才好研究，为此在ATAX=0两边同时左乘XT．解一由命题2．4．7．3(1)知，仅(A)入选．解二设a为组(Ⅰ)的任一解，则Aα=0，于是有ATAα=AT(Aα)=AT0=0,即α也是组(Ⅱ)的解．于是得到组(Ⅰ)的解必为组(Ⅱ)的解．反之，设β为组(Ⅱ)的任一解．下面证明它也是组(Ⅰ)的解．由ATAβ=0得到βT(ATAβ)=0，即(Aβ)T(Aβ)=(βTAT)(Aβ)=βT(ATA β)=0．设Aβ=[b1，b2，…，bn]T，则(Aβ)T(Aβ)=b12+b22+…+bn2=0bi=0 (i=1，2，…，n)，即Aβ=0，亦即β为AX=0的解向量．或用反证法证之．若Aβ=[b1，b2，…，bn]T≠0，不妨设b1≠0，则(Aβ)T(Aβ)一[b1，b2，…，bn][b1，b2，…，bn]T=b12+bi2＞0．这与(Aβ)T(Aβ)=0矛盾．因而Aβ=0，于是组(Ⅱ)的解也必为组(I)的解．因而组(I)与组(II)同解．仅(A)入选．知识模块：线性方程组10．设有齐次线性方程组AX=0和βX=0，其中A，B均为m×n矩阵，现有四个命题：①若AX=0的解均是BX=0的解，则秩(A)≥秩(B)；②若秩(A)≥秩(B)，则AX=0的解均是BX=0的解；③若AX=0与BX=0同解，则秩(A)=秩(B)；④若秩(A)=秩(B)，则AX=0与BX=0同解．以上命题中正确的是( )．A．①②B．①③C．②④D．③④正确答案：B解析：利用线性方程组同解的基本性质判别之．仅(B)入选．由命题2．4．7．2知，命题③正确．又命题①也正确，这是因为AX=0的解均是BX=0的解，则AX=0的基础解系是BX=0的基础解系的一部分，因此AX=0的基础解系所含向量个数小于等于BX=0的基础解系所含向量的个数，即n一秩(A)≤n一秩(B)，秩(A)≥秩(B)．知识模块：线性方程组解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学一(线性代数)历年真题试卷汇编16(题后含答案及解析)

考研数学一（线性代数）历年真题试卷汇编16(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设A为n阶实矩阵，AT是A的转置矩阵，则对于线性方程组(Ⅰ)：Ax=0和(Ⅱ)：ATAx=0，必有A．(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，(Ⅰ)的解也是(Ⅱ)的解．B．(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，但(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解．C．(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也不是(Ⅰ)的解．D．(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解，但(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解．正确答案：A解析：若x满足Ax=0，两端左乘AT，得ATAx=0，故Ax=0的解都是ATAx=0的解；若x满足ATAx=0，两端左乘xT，得(xTAT)(Ax)=0，即(Ax)T(Ax)=0，或‖Ax‖2=0，得Ax=0，所以ATAx=0的解也都是Ax=0的解．因此(Ⅰ)与(Ⅱ)同解，只有选项A正确．知识模块：线性方程组2．4个平面aix+biy+ciz=di(i=1，2，3，4)交于一条直线的充要条件是对应的联立线性方程组的系数矩阵A与增广矩阵=A．1B．2C．3D．4正确答案：B解析：记4个平面方程联立所得方程组为Ax=b，则4个平面交于一条直线→Ax=b的通解为x=(x0，y0，z0)…+c(l，m，n)’→r(A)=r(A┆b)且Ax=0的基础解系所含解向量个数为3一r(A)=1→r(A)=r(A)=2，只有选项B正确．知识模块：线性方程组3．设A是n阶矩阵，α是n维列向量，且则线性方程组A．Ax=α必有无穷多解．B．Ax=α必有唯一解．C．=0仅有零解．D．=0必有非零解．正确答案：D解析：因为方程组=0是n+1元齐次线性方程组，而它的系数矩阵的秩为：秩=秩(A)≤n＜n+1，故该齐次线性方程组必有非零解，即(D)正确．注意，在题设条件下，有秩(A)=秩[A┊α]．故方程组AX=α必有解，但不能肯定它是有无穷多解还是有唯一解，故(A)、(B)都不对．知识模块：线性方程组4．设n阶矩阵A的伴随矩阵A*≠0，若ξ1，ξ2，ξ3，ξ4是非齐次线性方程组Ax=b的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系A．不存在．B．仅含一个非零解向量．C．含有两个线性无关的解向量．D．含有3个线性无关的解向量．正确答案：B解析：由A*≠0知A*至少有一个元素Aij=(一1)i+jMij≠0，故A的余子式Mij≠0，而Mij为A的n一1阶子式，故r(A)≥n一1，又由Ax=b有解且不唯一知r(A)＜n，故r(A)=n一1．因此Ax=0的基础解系所含向量个数为n—r(A)=n 一(n一1)=1，只有B正确．知识模块：线性方程组5．设A为4×3矩阵，η1，η2，η3是非齐次线性方程组Ax=β的3个线性无关的解，k1，k2为任意常数，则Ax=β的通解为A．+k1(η2—η1)．B．+k1(η2—η1)．C．+k1(η2—η1)+k2(η3—η1)．D．+k1(η2—η1)+k2(η3—η1)．正确答案：C解析：首先，由A[(η2+η3)]=β，知(η2+η3)是Ax=β的一个特解；其次，由解的性质或直接验证，知η2—η1及η3—η1均为方程组Ax=0的解；再次，由η1，η2，η3线性无关，利用线性无关的定义，或由[η2—η1，η3—η1]=[η1，η2，η3]及矩阵的秩为2，知向量组η2—η1，η3—η1线性无关，因此，方程组Ax=0至少有2个线性无关的解，但它不可能有3个线性无关的解(否则，3一r(A)=3，→r(A)=0，→A=O，这与Aη1=β≠0矛盾)，于是η2—η1，η3—η1可作为Ax=0的基础解系，Ax=0的通解为k1(η2—η1)+k2(η3—η1)，再由非齐次线性方程组解的结构定理即知只有选项C正确．知识模块：线性方程组解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

1987-2008年考研数学真题解析及复习思路(数学一)

率等于
．已知取出的球是白球，此球属于第二个箱子的概率为
．
２
１９８７年真题
（３）已知连续型随机变量Ｘ的概率密度函数为ｆ（ｘ）＝１ｅ－ｘ２＋２ｘ－１，则Ｘ的数学期望为 π
方差为
．
，Ｘ的
十一、（本题满分６分）
设随机变量Ｘ，Ｙ相互独立，其概率密度函数分别为
{ { ｆＸ（ｘ）＝
九、（本题满分８分）
问ａ，ｂ为何值时，线性方程组
ìïｘ１＋ｘ２＋ｘ３＋ｘ４＝０，
íïｘ２＋２ｘ３＋２ｘ４＝１，
îïï３－ｘ１ｘ２＋＋２
（ａｘ２
－＋
３）ｘ３－ｘ３＋ａｘ４
２
ｘ４＝
＝－１
ｂ，
有唯一解，无解，有无穷多组解？并求出有无穷多组解时的通解．
十、填空题（本题共３小题，每小题２分，满分６分）
（２）设ｆ（ｘ）为已知连续函数，Ｉ＝ｔｆ（ｔｘ）ｄｘ，其中ｔ＞０，ｓ＞０，则Ｉ的值０
（Ａ）依赖于ｓ和ｔ．
（Ｂ）依赖于ｓ，ｔ，ｘ．
１
历年考研数学真题解析及复习思路（数学一）
（Ｃ）依赖于ｔ和ｘ，不依赖于ｓ．
（Ｄ）依赖于ｓ，不依赖于ｔ．
（３）设ｌｉｍｘ→ａ
（２）（本题满分８分）【同数学 Ⅰ 第二题】
三、（本题满分７分）设ｚ＝ｆ（ｕ，ｘ，ｙ），ｕ＝ｘｅｙ，其中ｆ具有二阶连续偏导数，求��ｘ��２��ｚｙ．
四、（本题满分８分）【同数学 Ⅰ 第四题】五、（本题满分１２分）【同数学 Ⅰ 第五题】

考研数学二(高等数学)历年真题试卷汇编9(题后含答案及解析)

考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编9(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设函数f(x)在x=0处可导，且f(0)=0，则A．一2f’(0).B．一f’(0).C．f’(0).D．0正确答案：B解析：2．函数f(x)=ln|(x一1)（x一2)(x一3)|的驻点个数为A．0B．1C．2D．3正确答案：C解析：令3x2—12x+11=0由于△= 122一12x+11＞0，则该方程有两个实根，f(x)有两个驻点．3．曲线y=渐近线的条数为A．0B．1C．2D．3正确答案：C解析：由于=1，则该曲线有水平渐近线y=1．又=∞，则x=1为该曲线的一条垂直渐近线，故应选(C)．4．设函数f(x)=(ex一1)(e2x一2)…（enx一n），其中n为正整数，则f’(0)= A．（一1)n一1（n一1）!．B．（一1）n（n一1）!．C．（一1）n1n!．D．（一1）nn!．正确答案：A解析：排除法：当n=2时，f(x)=(ex一1)(e2x一2)f’(x)=ex(e2x一2)+2e2x(ex一1)f’(0)=一1显然，(B)(C)(D)都不正确，故应选(A)．5．设函数y=f(x)由方程cos(xy)+lny一x=1确定，则A．2B．1C．一1D．一2正确答案：A解析：由方程cos(xy)+lny一x=1知，当x=0时，y=1，即f(0)=1，以上方程两端对x求导得将x=0，y=1代入上式得y’|x=0=1，即f’(0)=1，6．下列曲线中有渐近线的是A．y=x+sinxB．y=x2+sinxC．y=x+sinD．y=x2+sin正确答案：C解析：由于所以曲线y=x+有斜渐近线y=x，故应选(C)．7．设函数f(x)具有2阶导数，g(x)=f(0)(1一x)+f(1)x，则在区间[0，1]上A．当f’(x)≥0时，f(x)≥g(x)B．当f’(x)≥0时，f(x)≤g(x)C．当f”(x)≥0时，f(z)≥g(x)D．当f”(x)≥0时，f(x)≤g(x)正确答案：D解析：由于g(0)=f(0)，g(1)=f(1)，则直线y=f(0)(1一x)+f(1)x过点(0，f(0))和(1，f(1))，当f”(x)≥0时，曲线y=f(x)在区间[0，1]上是凹的，曲线y=f(x)应位于过两个端点(0，f(0))和(1，f(1))的弦y=f(0)(1一x)+f(1)x的下方，即f(x)≤g(x) 故应选(D)．8．曲线上对应于t=1的点处的曲率半径是A．B．C．D．正确答案：C解析：故应选(C)．9．设函数f(x)=arctanx，若f(x)=xf’(ξ)，则A．B．C．D．正确答案：D解析：由f(x)= arctanx，及f(x)=xf’(ξ)得故应选(D)．10．设函数f(x)=(α＞0，β＞0)．若f’(x)在x=0处连续，则A．α一β＞1．B．0＜α一β≤1．C．α一β＞2．D．0＜α一β≤2．正确答案：A解析：f一’(0)=0，f+’(0)=该极限存在当且仅当α一1＞0，即α＞1．此时，α＞1，f+’(0)=0，f’(0)=0．当x＞0时，f’(x)=axα一1+βxα一β一1cos要使上式的极限存在且为0，当且仅当α一β一1＞0．则α一β＞1．故应选(A)．11．设函数f(x)在(一∞，+∞)内连续，其2阶导函数f”(x)的图形如右图所示，则曲线y=f(x)的拐点个数为A．0B．1C．2D．3正确答案：C解析：由右图知f”(x1)=f”(x2)=0，f”(0)不存在，其余点上二阶导数f”(x)存在且非零，则曲线y=f(x)最多三个拐点，但在x=x1两侧的二阶导数不变号，因此不是拐点，而在x=0和x=x2两侧的二阶导数变号，则曲线y=f(x)有两个拐点，故应选(C)．12．设函数f(x)在(一∞，+∞)内连续，其导函数的图形如图所示，则A．函数f(x)有2个极值点，曲线y=f(x)有2个拐点．B．函数f(x)有2个极值点，曲线y=f(x)有3个拐点．C．函数f(x)有3个极值点，曲线y=f(x)有1个拐点．D．函数f(x)有3个极值点，曲线y=f(x)有2个拐点．正确答案：B解析：x1，x3，x5为驻点，而在x1和x3两侧一阶导数f’(x)变号，则为极值点，在x5两侧一阶导数f’(x)不变号，则不是极值点，在x2处一阶导数不存在，但在x2两侧f’(x)不变号，则不是极值点．在x2处二阶导数不存在，在x4和x5处二阶导数为零，在这三个点两侧一阶导函数的增减性发生变化，则都为拐点，故应选(B)．13．设函数fi(x)(i=1，2)具有二阶连续导数，且fi”(x0)＜0(i=1，2)．若两条曲线y=fi(x)(i=1，2)在点(x0，y0)处具有公切线y=g(x)，且在该点处曲线y=f1(x)的曲率大于曲线y=f2(x)的曲率，则在x0的某个邻域内，有A．f1(x)≤f2(x)≤g(x)．B．f2(x)≤f1(x)≤g(x)．C．f1(x)≤g(x)≤f2(x)．D．f2(x)≤g(x)≤f1(x)．正确答案：A解析：由函数fi(x)(i=1，2)具有二阶连续导数，且fi”(x0)＜0(i=1，2)可知，在x0某邻域内曲线y =fi(x)(i=1，2)是凸的，而两曲线y=fi(x)(i=1，2)在点(x0，y0)处有公共切线y=g(x)，且在该点处曲线y=f1(x)的曲率大于曲线y=f2(x)的曲率，则在x0的某邻域内三条曲线如图所示，故在x0点的该邻域内f1(x)≤f2(x)≤g(x)故应选(A)．填空题14．曲线y=的渐近线方程为________．正确答案：y=2x．解析：显然曲线y=无水平渐近线和垂直渐近线，则原曲线有斜渐近线y=2x．15．函数y=ln(1一2x)在x=0处的n阶导数y(n)(0)=________．正确答案：一2n(n一1)!.解析：利用ln(l+x)的麦克劳林展开式16．已知一个长方形的长l以2cm/s的速率增加，宽ω以3 cm/s的速率增加，则当l=12 cm，ω=5 cm时，它的对角线增加的速率为________．正确答案：3．解析：设l=x(t)，ω=y(t)，其对角线长为z(t)，则z2(t)=x2(t)+y2(t)，2z(t)z’(t)=2x(t)x’(t)+2y(t)y’(t)将x(t)=12，y(t)=5，x’(t)=2，y’(t)=3，z(t)==13代入上式得z’(t)=3．17．设y=y(x)是由方程x2一y+1=ey所确定的隐函数，则|x=0=________．正确答案：1．解析：在方程x2一y+1=ey中令x=0，得y=0，该方程两端对x求导得2x 一y’=eyy’将x=0，y=0代入上式得y’(0)=0，上式再对x求导2一y”=eyy’2+eyy”将x=0，y=0，y’(0)代入上式得y”(0)=1．18．曲线y=x2+x(x＜0)上曲率为的点的坐标是________．正确答案：(一1，0)．解析：由y=x2+x得，y’=2x+1，y”=2，代入曲率计算公式得由K=得(2x+1)2=1解得x=0或x=一1，又x＜0，则x=一1，这时y=0，故所求点的坐标为(一1，0)．19．曲线上对应于t=1的点处的法线方程为________．正确答案：y+x=解析：而t=1时，x=则t=1处的法线方程为20．设f(x)是周期为4的可导奇函数，且f’(x)=2(x 一1)，x∈[0，2]，则f(7)=________．正确答案：1．解析：由f’(x)=2(x一1)，x∈[0，2]知，f(x)=(x一1)2+C．又f(x)为奇函数，则f(0)=0，C=一1．f(x)=(x一1)2一1．由于f(x)以4为周期，则f(7)=f[8+(一1)]=f(一1)=一f(1)=1．21．曲线L的极坐标方程是r=θ，则L在点(r，θ)=处的切线的直角坐标方程是________．正确答案：解析：22．=________．正确答案：48．解析：23．函数f(x)=x22x在x=0处的竹阶导数f(n)(0)=________．正确答案：n(n一1)(ln2)n一2．解析：24．曲线y=+arctan(1+x2)的斜渐近线方程为________．正确答案：y=x+解析：则该曲线的斜渐近线方程为y=x+25．已知函数f(x)在(一∞，+∞)上连续，且f(x)=(x+1)2+2∫0xf(t) dt，则当n≥2时，f(n)(0)=________．正确答案：5．2n一1．解析：等式f(x)=(x+1)2+2∫0xf (t)dt两边对x求导得f’(x)=2(x+1)+2f(x)，f’(0)=2+2f(0)=4f”(x)=2+2f’(x)，f”(0)=2+2f’(0)=10f”‘(x)=2f”(x)f(n)(x)=2f(n一1)(x)=22f(n一2)(x)=…=2n一2f”(x) (n＞2)f(n)(0)=2n一22f”(0) (n＞2)= 2n一2．10=2n一1．5.26．已知动点P在曲线y=x3上运动，记坐标原点与点P间的距离为l．若点P的横坐标对时间的变化率为常数υ0，则当点P运动到点(1，1)时，l对时间的变化率是________．正确答案：解析：由题设知解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

(2013考研必备)考研数学一历年真题(1987-2012年)-文字版无水印免积分

2012年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）曲线221x x y x +=-渐近线的条数为（）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答案】：C【解析】：221lim 1x x x x ®+=¥-，所以1x =为垂直的22lim 11x x xx ®¥+=-，所以1y =为水平的，没有斜渐近线故两条选C（2）设函数2()(1)(2)()x x nx f x e e e n =---L ，其中n 为正整数，则'(0)f = （A ）1(1)(1)!n n ---（B ）(1)(1)!nn --（C ）1(1)!n n -- （D ）(1)!nn - 【答案】：C 【解析】：'222()(2)()(1)(22)()(1)(2)()x x nx x x nx x x nx f x e e e n e e e n e e ne n =--+---+---L L L L 所以'(0)f =1(1)!n n --（3）如果(,)f x y 在()0,0处连续，那么下列命题正确的是（）（A ）若极限00(,)lim x y f x y x y ®®+存在，则(,)f x y 在(0,0)处可微（B ）若极限2200(,)limx y f x y x y ®®+存在，则(,)f x y 在(0,0)处可微（C ）若(,)f x y 在(0,0)处可微，则极限0(,)limx y f x y x y ®®+存在（D ）若(,)f x y 在(0,0)处可微，则极限2200(,)limx y f x y x y®®+存在【答案】：【解析】：由于(,)f x y 在()0,0处连续，可知如果22(,)limx y f x y x y®®+存在，则必有00(0,0)lim (,)0x y f f x y ®®==这样，2200(,)limx y f x y x y ®®+就可以写成2200(,)(0,0)lim x y f x y f x y D ®D ®D D -D +D ，也即极限220(,)(0,0)limx y f x y f x y D ®D ®D D -D +D 存在，可知lim 0x y D ®D ®=，也即(,)(0,0)00f x y f x y oD D -=D +D +。

2024 考研数学(三)真题试卷及参考答案

试卷及解2024考研数学（三）真题析一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．设函数21()lim1nn xf x nx →∞+=+，则()f x A．在1x =，1x =-处都连续．B．在1x =处连续，在1x =-处不连续．C．在1x =，1x =-处都不连续．D．在1x =处不连续，在1x =-处连续．1．【答案】D【解析】当21 1lim11nn xx x nx →∞+<=++时,，当211lim01nn xx nx →∞+>=+时,，当21,lim01n x n →∞==+时，当01lim01n x n→∞=-=+时,，故()1,11,0,x x f x +-<<⎧=⎨⎩其他.故在1x =-时，连续；1x =时不连续．选D.2.设sin d a k aI x x π+=⎰，k 为整数，则I 的值A．只与a 有关B．只与k 有关C．与,a k 均有关D．与,a k 均无关2．【答案】B 【解析】π|sin |d a k a I x x+=⎰ππ0|sin |d sin d 2.k x x k x x k ===⎰⎰选B.3.设(,)f x y 是连续函数，则12sin 6d (,)d xx f x y y ππ=⎰⎰A.1arcsin 126d (,)d .yy f x y x π⎰⎰B.121arcsin 2d (,)d .yy f x y x π⎰⎰C.1arcsin 206d (,)d .yy f x y x π⎰⎰D.122arcsin d (,)d .yy f x y x π⎰⎰3．【答案】A【解析】11arcsin 21sin 266d (,)d d (,)d .yxx f x y y y f x y x πππ==⎰⎰⎰⎰选A.4.幂级数nnn a x∞=∑的和函数为ln(2)x +，则20nn na∞==∑A.16-B.13-C.16D.134．【答案】A【解析】()112ln 2ln 1ln 2ln 2(1)2nn n x x x n ∞-=⎛⎫⎪⎛⎫⎝⎭+=++=+- ⎪⎝⎭∑23462222ln 222346x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=+-+-+ ⎪⎝⎭224680246357320234111 2322242111 2221114182 .138361624nn naa a a a ∞==+++++⎛⎫=-+⋅--+ ⎪⋅⋅⎝⎭⎡⎤=-+++⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥=-=-=-⨯=-⎢⎢⎥-⎣⋅⎦∑ 5.设二次型()T123,,f x x x =x Ax 在正交变换下可化成22212323y y y -+，则二次型f 的矩阵A 的行列式与迹分别为.6,2A --.6,2B -.6,2C -.6,2D 5．【答案】C【解析】()T123,,f x x x =x Ax 正交变换下化为22212323y y y -+⇒A 的特征值为1,2,3-()()()1236,tr 1232⇒=⋅-⋅=-=+-+=A A .6.设A 为3阶矩阵，100010101⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，P 若T 2200020a c c b c c +⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，P AP 则=AA.0000.00c a b ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭ B.0000.00b c a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭C.0000.00a b c ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭D.0000.00c b a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭6.【答案】C【解析】()3T 212010000, 010120101a c c b c c +⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且AP B P E P 故()()()11112233T11T (1)(1)----⎡⎤==⎣⎦PA B P E B E 11131313131T3T131(1)(1)(1)(1)(1)(1)---⎡⎤==---⎣⎦E BE E E BE E 0 10120100100010001001000120101101a c c b c c -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎪= ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 0001001000000010010002010110100 a b b c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪== ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.7.设矩阵131,2112ij a b b aM +⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 表示A 的行j 列元素的余子式,若1||2=-A .且2122230M M M -+-=.则3.02A a a ==-或3.02B a a ==或1.12C b b ==-或1.12D b b =-=或7.【答案】B【解析】120101322211111222112121bba bbbba a a-+===A 1211(1)122a b +⎛⎫=-⋅- ⎪⎝⎭111(21)22b a ⎛⎫=-⋅--=-⎪⎝⎭11(21)22b a ⎛⎫⇒--=⎪⎝⎭12122b ab a ⇒--+=又2122232122230M M M A A A =-+-=++13131111111101111201a b a b a b a b +++====+-=，1b a ⇒=+代入(1)中,得11(1)2022a a a a ++--+=0a ⇒=或312ab =⇒=或52.8.设随机变量X 的概率密度为()()61,01,0,x x x f x ⎧-<<=⎨⎩其他，则X 的三阶中心矩()3E X EX -=A.132-B.0C.116D.128．【答案】B 【解析】1211116(1)d 6634122EX x x x ⎛⎫=-=⋅-=⨯= ⎪⎝⎭⎰3311321021211116(1)d 6d 022 22 x t E X x x x xt t t t --=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--+⋅-⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰令.9.随机变量,X Y 相互独立，且~(0,2),~(1,1)X N Y N -，设{}{}122,21p P X Y p P X Y =>=->，则121A.2p p >>211B.2p p >>121C.2p p <<211D.2p p <<9．【答案】B【解析】(2)2011E X Y EX EY -=-=+=，(2)44219D X Y DX DY -=+=⨯+=，所以2~(1,9)X Y N -；(2)2022E X Y EX EY -=-=+=，(2)4246D X Y DX DY -=+=+=，所以2~(2,6)X Y N -；121011113333X Y p P ΦΦ---⎧⎫⎛⎫⎛⎫=>=--=⎨⎬ ⎪ ⎪⎩⎭⎝⎭⎝⎭21p P ΦΦ⎛⎛=>=--= ⎝⎝，所以2112p p >>，故选B.10.设随机变量,X Y 相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，令Z X Y =-,则下列随机变量中与Z 同分布的是A.X Y + B.2X Y+C.2X D.X10．【答案】D【解析】X 与Y 的联合概率密度为2()e ,0,0(,)()()0,x y Y X x y f x y f x f y λλ-+⎧>>=⋅=⎨⎩其他设Z 的分布函数为()Z F z ，则{}{}()Z F z P Z z P X Y z=≤=-≤1当0z <时，()0Z F z =；2当0z ≥时，{}{}()20Z F z P z X Y z P X Y z =-≤-≤=≤-≤02e d e d y z y x yy x λλλλ+∞+--=⎰⎰.()()02202e e e d 2e d 2e e d 1e .y y y z y z y z y y yλλλλλλλλλλ+∞---++∞+∞----=-=-=-⎰⎰⎰所以()1Z E ，从而Z 与X 服从相同的分布，选D.二、填空题：11～16小题，每小题5分，共30分．11.当0x →时，()2221sin d 1cos xt tt t++⎰与k x 是同阶无穷小，则k =.11．【答案】3【解析】当0x →时，()22221sin ~1cos 2x xx x++，则()223201sin d ~1cos xt tt Ax t++⎰.从而3k =.12.4225d 34x x x +∞=+-⎰.12．【答案】1πln 328-【解析】()()42222255d d 3414x x x x x x +∞+∞=+--+⎰⎰222211d d 14x x x x +∞+∞=--+⎰⎰222111d d 114x x x x x +∞+∞⎛⎫=-- ⎪-++⎝⎭⎰⎰222111ln arctan 2122x x x +∞+∞⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭111ππ1π0ln ln 32322428⎛⎫⎛⎫=---=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.13.函数()324,2961224f x y x x y x y =--++的极值点是.13．【答案】()1,1【解析】23618120,24240,x y f x x f y ⎧'=-+=⎪⎨'=-+=⎪⎩解得(1,1) ，(2,1).1218xx A f x ''==-,0xy B f ''==,272yy C f y ''==-，代入(1,1)得24320,6AC B A -=>=-,故(1,1)是极大值点，(1,1)23f =.代入(2,1)得24320AC B -=-<,不是极值.14．某产品的价格函数是250.25,20,350.75,20Q Q p Q Q -≤⎧=⎨->⎩(p 为单价，单位：万元；Q 为产量，单位：件)，总成本函数为215050.25C Q Q =++（万元），则经营该产品可获得的最大利润为（万元）.14．【答案】50【解析】()()()22(250.25)15050.25,20,350.7515050.25,20.Q Q Q Q Q L PQ C Q Q Q Q Q ⎧--++≤⎪=-=⎨--++>⎪⎩整理得：220.5(20)50,20,(15)75,20.Q Q L Q Q ⎧--+≤=⎨--+>⎩所以20Q =时，50L =为最大利润.15.设A 为3阶矩阵，*A 为的A 伴随矩阵，E 为3阶单位矩阵，若(2)1,()2r r -==E A E +A ，则*A =.15．【答案】16【解析】() 132r <-=E A ，() 23r =<E +A ⇒A 有特征值2,1-.又()3222r λ-=-⇒=E A 有 2个线性无关的特征向量2λ⇒=至少有两重根.()311r λ-=⇒=-E +A 有1个线性无关特征向量1λ⇒=-至少有一重根.又A 为3阶⇒A 的特征值为22,1-，，故()*122214,||16n -=⋅⋅-=-===A A A A .16.设随机试验每次成功的概率为p ，现进行3次独立重复试验，在至少成功1次的条件下，3次试验全部成功的概率为413，则p =.16．【答案】23p =【解析】A ：全成功，B ：至少成功一次.()33()()4()()1(1)13P AB P A p P A B P B P B p ====--,331344(1)p p =--整理得(32)(3602)3p p p p -+=⇒=.三、解答题：17～22小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.设平面有界区域D 位于第一象限由曲线1,33xy xy ==与直线1,3y x =3y x =围成，计算()1d d Dx y x y +-⎰⎰.17.【解】令yu xy v x==，，（1）x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩（2）12x xuv J y y v uv∂∂∂∂==∂∂∂∂故3113331d 1d 2u v v⎛=+⋅ ⎝⎰⎰原式38ln 3=.18．设函数(,)z z x y =由方程2e ln(1)0xz y z +-+=确定，求22(0,0)22z z x y ⎛⎫∂∂+ ⎪∂∂⎝⎭.18．【解】将0y =代入得e xz =-，则22e xz x ∂=-∂，代()220,001z x x∂=⇒=-∂.将0x =代入得()21ln 1z y z+=+，得()222ln 11z yz zz y z y∂∂=++⋅∂+∂.代0,0,1x y z ===-得()0,0ln2zy ∂=∂.又22222122 211z z z y z z z z z y y z y z y y ⎡⎤⎛⎫∂∂⋅⎢⎥ ⎪+∂∂∂∂⎝⎭⎢=⋅+⋅+⋅⎢⎥∂+∂+∂∂⎢⎥⎣⎦，代0,0,1,ln2zx y z y∂===-=∂得()220,02ln2z y ∂=-∂.故原式为12ln2--.19.设0t >，平面有界区域D 由曲线-2e xy x =与直线x t =，2x t =及x 轴围成，D 的面积为()S t ，求()S t 的最大值.19．【解】()22ed txt S t x x -=⎰，()()42424e e e 4e t t t t S t t t t ---=-=-'则，42 4e e 0ln2.t t t ---=⇒=令()() 0ln20;ln20.t S t t S t <<'>><'当时,当时,故ln2t =时，()S t 取最大值，有()ln 4ln 4222ln 2ln 21113 ln2e d e ln2.221664x x x S x x x ---⎛⎫==-+=+ ⎪⎝⎭⎰20.设函数()f x 具有2阶导数，且()()()01, 1.f f f x ''''=≤证明：（1）当()0,1x ∈时，()()()()()1011;2x x f x f x f x ----≤（2）()()()1011d .212f f f x x +-≤⎰20.证明：（1）()12()(0)(0)2f f x f f x x ξ'''=++①()()22()(1)(1)1(1)2f f x f f x x ξ'''=+-+-②()1x x⋅-+⋅①②()()()()()12221()(0)(1)(1)(0)1(1)1(1)22f f f x f x f x f x x f x x x x x x ξξ''''''⇒=-++-+-+--+，21111()(0)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1).222 2f x f x f x x x x x x x x x x x ----+-=-+-=- （2）[]02111(1)1()(0)(1)(1)d ()d (0)(1)22x f x f x f x x f x x f f ----=-⋅-⋅⎰⎰1100(0)(1)(1)1()d d .22 12f f x x f x x x +-=-=⎰⎰ 21.设矩阵11011103,2126--⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭A 1012111,2322a a ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭B 向量023⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，α10.1⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭β（1）证明：方程组=Ax α的解均为方程组=Bx β的解；（2）若方程组=Ax α与方程组=Bx β不同解，求a 的值.21.证明：（1）(,)1⎛⎫⇒= ⎪-⎝⎭=0x x A A αα(,)1⎛⎫⇒= ⎪-⎝⎭=0x Bx βB β又11010110101103202042212630328310121011311110000232210121a a a a ----⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫=→⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭A αB β1101011010010210102100220001100011000000000000000022000000a a ----⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()3r r ⎛⎫== ⎪⎝⎭A αB βA ,α.即(,)1⎛⎫= ⎪-⎝⎭0x A α的解是(,)1⎛⎫= ⎪-⎝⎭0B βx 的解.即=Ax α的解是=Bx β的解(2)=Ax α与方程组=Bx β不同解,即=Ax α与=Bx β不等价又=Ax α的解是=Bx β的解，故=Bx β的解不是=Ax α的解.即(,)3r r ⎛⎫≠=⎪⎝⎭A αB βB β，故1012110121,1110011312322103063a a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→--→---- ⎪ ⎪⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭B β101211012101021010210113100110a a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭故10a -=即1a =.22.X 服从[]0,θ上的均匀分布，()0θ∈+∞，为未知参数，12,,,n X X X 为总体X 的简单随机样本，记为(){}()12max ,,,,.n c n n X X X X T cX == （1）求c 使得();c E T θ=（2）记()()2,c h c E T θ=-求c 使得()f c 最小.22．【解】（1）{}()()12max ,n n n E cX cEX cE X X X θ⎡⎤===⎣⎦ 10()0X x f x θθ⎧<<⎪⎨⎪⎩其他00(),01,X x x F x x x θθθ<⎧⎪⎪=<⎨⎪⎪⎩ {}()120,0max ~(),01,,n n n n X x xX X X F x x x θθθ<⎧⎪⎪=<⎨⎪⎪⎩ ()10()0. X n n n n xx f x θθ-⎧⋅<<⎪=⎨⎪⎩其他{}1110,1max ,d 1n n n n nnx n E X X x x n θθθθθθ-+==⋅+⎰1nn θ=+，所以1n c n+=.（2）()2222()22c c c ch c E T T ET E ET θθθθ=+-=++()()()()222n n E cX E cX θθ=+-()()2222n n c EX c EX θθ=+-因为()221201d 2n n n n n nx n EX x x x n θθθθ-+=⋅=+⎰22nn θ=⋅+()11001d 11n n n n n nxn nEX x x x n n θθθθθ-+=⋅⋅=⋅=++⎰所以22222 ()21221=21n n nc n h c c c c n n n n θθθθθ⎛⎫=+-⋅+-⋅ ⎪++++⎝⎭令2()1221n n f x x x n n =+-++，22()021n n f x x n n '=-=++解得21n x n +=+，即21n c n +=+时，()h c 取最小值.。

考研数学试题及答案详解

考研数学试题及答案详解一、选择题（每题4分，共40分）1. 设函数f(x) = x^2 - 6x + 8，求f(3)的值。

A. -1B. 1C. 3D. 5答案：B解析：将x=3代入函数f(x)中，得到f(3) = 3^2 - 6*3 + 8 = 9- 18 + 8 = 1。

2. 求极限lim(x→2) (x^2 - 4) / (x - 2)。

A. 0B. 2C. 4D. 8答案：D解析：原式可以化简为lim(x→2) (x^2 - 4) / (x - 2) =lim(x→2) (x + 2) = 2 + 2 = 4。

3. 设矩阵A = \[\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\]，求A的行列式。

A. 0C. 5D. 8答案：C解析：矩阵A的行列式为1*4 - 2*3 = 4 - 6 = -2，但选项中没有-2，因此需要检查题目是否有误。

4. 求不定积分∫x^2 dx。

A. (1/3)x^3 + CB. (1/2)x^2 + CC. x^3 + CD. 2x + C答案：A解析：根据积分公式，∫x^n dx = (1/(n+1))x^(n+1) + C，代入n=2，得到∫x^2 dx = (1/3)x^3 + C。

5. 设函数f(x) = sin(x)，求f'(x)。

A. cos(x)B. sin(x)C. -cos(x)D. -sin(x)答案：A解析：根据导数公式，f'(x) = cos(x)。

6. 若方程x^2 - 5x + 6 = 0的两个根为α和β，则α + β的值为。

B. 2C. 3D. 4答案：C解析：根据一元二次方程的根与系数的关系，α + β = -b/a = 5。

7. 设函数f(x) = e^x，求f'(x)。

A. e^xB. e^(-x)C. -e^xD. -e^(-x)答案：A解析：根据导数公式，f'(x) = e^x。

历年考研数学真题及答案

历年考研数学真题及答案【篇一：历年考研数学一真题及答案(1987-2014)】ss=txt>（经典珍藏版）1987年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)当x=_____________时,函数y?x?2x取得极小值.(2)由曲线y?lnx与两直线y?e?1?x及y?0所围成的平面图形的面积是_____________.1?x(3)与两直线y??1?tz?2?t及x?1y?1?2z?11?1都平行且过原点的平面方程为_____________.(4)设l为取正向的圆周x2?y2?9,则曲线积分??l(2xy?2y)dx?(x2?4x)dy= _____________.(5)已知三维向量空间的基底为坐标是_____________.二、(本题满分8分)求正的常数a与b,使等式lim1x2x?0bx?sinx?0?1成立.三、(本题满分7分)(1)设f、g为连续可微函数,u?f(x,xy),v?g(x?xy),求?u?x,?v?x. (2)设矩阵a和b满足关系式ab=a?2b,其中??301?a??110?,求矩阵b.?4??01??四、(本题满分8分)求微分方程y????6y???(9?a2)y??1的通解,其中常数a?0.五、选择题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设limf(x)?f(a)x?a(x?a)2??1,则在x?a处 (a)f(x)的导数存在,且f?(a)?0 (b)f(x)取得极大值(c)f(x)取得极小值 (d)f(x)的导数不存在 (2)设f(x)为已知连续函数s,i?t?t0f(tx)dx,其中t?0,s?0,则i的值(a)依赖于s和t (b)依赖于s、t和x(c)依赖于t、x,不依赖于s (d)依赖于s,不依赖于t(3)设常数?k?0,则级数?(?1)nk?nn2n?1(a)发散(b)绝对收敛(c)条件收敛(d)散敛性与k的取值有关(4)设a为n阶方阵，且a的行列式|a|?a?0,而a*是a的伴随矩阵，则|a*|等于(a)a (b)1a(c)an?1(d)an六、（本题满分10分）求幂级数??1n?1n?1n?2nx的收敛域，并求其和函数.七、（本题满分10分）求曲面积分i???x(8y?1)dydz?2(1?y2)dzdx?4yzdxdy,?其中?是由曲线f(x)???z?1?y?3?绕y轴旋转一周而成的曲面,其法向量与y轴正向的夹角恒大于?.2x?0??八、（本题满分10分）设函数f(x)在闭区间[0,1]上可微,对于[0,1]上的每一个x,函数f(x)的值都在开区间(0,1)内,且f?(x)?1,证明在(0,1)内有且仅有一个x,使得f(x)?x.九、（本题满分8分）问a,b为何值时,现线性方程组x1?x2?x3?x4?0x2?2x3?2x4?1?x2?(a?3)x3?2x4?b3x1?2x2?x3? ax4??1有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设在一次实验中,事件a发生的概率为p,现进行n次独立试验,则a至少发生一次的概率为____________;而事件a至多发生一次的概率为____________.(2)有两个箱子,第1个箱子有3个白球,2个红球, 第2个箱子有4个白球,4个红球.现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里,再从第2个箱子中取出1个球,此球是白球的概率为____________.已知上述从第2个箱子中取出的球是白球,则从第一个箱子中取出的球是白球的概率为____________. (3)已知连续随机变量x的概率密度函数为f(x)?十一、（本题满分6分）设随机变量x,y相互独立,其概率密度函数分别为fx(x)??x2?2x?1,则x的数学期望为____________,x的方差为____________.10?x?1其它,?yy?0,求zfy(y)?y?00?2x?y的概率密度函数.【篇二：历年考研数学一真题及答案(1987-2014)】ass=txt>数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)二、(本题满分8分)(1)当x=_____________时,函数y?x?2x取得极小值. (2)由曲线y?lnx与两直线y?e?1?x及y?0所围成的平面图形的面积是_____________.1?xx12求正的常数a与b,使等式lim?1成立. x?0bx?sinx?0(5)已知三维向量空间的基底为坐标是_____________.三、(本题满分7分)(1)设f、g为连续可微函数,u??u?v,. ?x?xf(x,xy),v?g(x?xy),(3)与两直线y??1?tz?2?t及x?1y?2z?1??111都平行且过原点的平面方程为_____________.(4)设l(2)设矩阵?3a???1??011a和b满足关系式ab=a?2b,其中l为取正向的圆周x2?y2?9,则曲线积分21??求矩阵0b. ?,?4???(2xy?2y)dx?(x?4x)dy= _____________.第 1 页共 1 页四、(本题满分8分)求微分方程y????6y???(9?a2)y??1的通解,其中常数a?0.五、选择题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设limx?at和x(c)依赖于t、x,不依赖于s (d)依赖于s,不依赖于t(3)设常数k?0,则级数?(?1)nk?2nn?1n(a)发散(b)绝对收敛(c)条件收敛(d)散敛性f(x)?f(a)??1,则在x?a处 2(x?a)f(x)(a)f(x)的导数存在,且f?(a)?0 (b)得极大值(c)f(x)取得极小值 (d)导数不存在(2)设f(x)为已知连续函数,i?t?ist0取与k的取值有关(4)设a为n阶方阵，且a的行列式|a|?a?0,而a是a的伴*f(x)(a)a (b)1af(tx)dx,其中t?0,s?0,则(c)a (d)an?1n的值(a)依赖于s和t (b)依赖于s、六、（本题满分10分）第 2 页共 2 页求幂级数?七、（本题满分10分）??z?1?y?3其中?是由曲线f(x)??绕y轴旋转一周而成的曲面,其法向量与y轴正向的夹角恒大于?.2x?0??1n?1的收敛域，并求其和函数. xn2n?1n??求曲面积分i???x(8y?1)dydz?2(1?y2)dzdx?4yzdxdy,八、（本题满分10分）设函数f(x)在闭区间[0,1]上可微,对于[0,1]上的每一个x,函数f(x)的值都在开区间(0,1)内,且f?(x)?1,证明在(0,1)内有且仅有一个x,使得f(x)?x.九、（本题满分8分）问a,b为何值时,现线性方程组x1?x2?x3?x4?0x2?2x3?2x4?1?x2?(a?3)x3?2x4?b3x1?2x2?x3? ax4??1第 3 页共 3 页有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设在一次实验中,事件a发生的概率为p,现进行n次独立试验,则a至少发生一次的概率为____________;而事件a至多发生一次的概率为____________.(2)有两个箱子,第1个箱子有3个白球,2个红球, 第2个箱子有4个白球,4个红球.现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里,再从第2个箱子中取出1个球,此球是白球的概率为____________.已知上述从第2个箱子中取出的球是白球,则从第一个箱子中取出的球是白球的概率为____________. (3)已知连续随机变量x的概率密度函数为f(x)?十一、（本题满分6分）设随机变量x,y相互独立,其概率密度函数分别为fx(x)?1?x2?2x?1,则x的数学期望为____________,x的方差为____________.0?x?1其它,fy(y)? y?0,求z?2x?y的概率密度函数.?yy?0第 4 页共 4 页第 5 页共 5 页【篇三：历年考研数学一真题及答案(1987-2013)】ss=txt>数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)?=_____________.(2)曲面x2?2y2?3z2?21在点(1,?2,?2)的法线方程为_____________.(3)微分方程xy???3y??0的通解为_____________.?121?(4)已知方程组??23a?2???x1??1?x???3??1a?2???2无解,则a= ???????x3????0??_____________.(5)设两个相互独立的事件a和b都不发生的概率为19,a发生b不发生的概率与b发生a不发生的概率相等,则p(a)=_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设f(x)、g(x)是恒大于零的可导函数,且f?(x)g(x)?f(x)g?(x)?0,则当a?x?b时,有(a)f(x)g(b)?f(b)g(x)(b)f(x)g(a)?f(a)g(x)(c)f(x)g(x)?f(b)g(b)(d)f(x)g(x)?f(a)g(a)(2)设s:x2?y2?z2?a2(z?0),s1为s在第一卦限中的部分,则有(a)??xds?4s??xdss1(b)??yds?4??xdsss1(c)??zds?4??xdsss1(d)??xyzds?4??xyzdsss1(3)设级数??un收敛,则必收敛的级数为n?1(a)??(?1)nun (b)??u2nn?1nn?1(c)??(u2n?1?u2n)n?1(d)??(un?un?1)n?1(a)e(x)?e(y)(b)e(x2)?[e(x)]2?e(y2)?[e(y)]2(c)e(x2)?e(y2) (d)e(x2)?[e(x)]2?e(y2)?[e(y)]2三、(本题满分6分) 1求lim(2?exx??4?sinx).1?exx四、(本题满分5分) 设z?f(xy,xy)?g(xy),其中f具有二阶连续偏导数,g具有二阶连续导数,求?2z?x?y.五、(本题满分6分) 计算曲线积分i??xdy?ydxl4x2?y2,其中l是以点(1,0)为中心,r为半径的圆周(r?1),取逆时针方向.六、(本题满分7分)设对于半空间x?0内任意的光滑有向封闭曲面s,都有??xf(x)dydz?xyf(x)dzdx?e2xzdxdy?0,其中函数f(x)在s(0,??)内具有连续的一阶导数,且xlim?0?f(x)?1,求f(x).七、(本题满分6分)求幂级数??1xnn?13n?(?2)nn的收敛区间,并讨论该区间端点处的收敛性.八、(本题满分7分)设有一半径为r的球体,p0是此球的表面上的一个定点,球体上任一点的密度与该点到p0距离的平方成正比(比例常数k?0),求球体的重心位置.九、(本题满分6分) 设函数f(x)在[0,?]上连续,且???f(x)dx?0,?0f(x)cosxdx?0.试证:在(0,?)内至少存在两个不同的点?1,?2,使f(?1)?f(?2)?0.十、(本题满分6分)??1000?000? 设矩阵a的伴随矩阵a*??1??1010??,且?0?308??aba?1?ba?1?3e,其中e为4阶单位矩阵,求矩阵b.十一、(本题满分8分)某适应性生产线每年1月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将16熟练工支援其他生产部门,其缺额由招收新的非熟练工补齐.新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有25成为熟练工.设第n年1月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为xn和yn,记成向量??xn?y??. ?n(1)求??xn?1?与??xn?的关系式并写成矩阵形?y?n?1??y?n?式:??xn?1??xn?y??a???. n?1??yn??1??是a的两个线性无关的特征向量,并求出相应的特征值.?1?(3)当??x1??2?时,求??y?????xn?1??. 1???1??yn?1??2??十二、(本题满分8分)某流水线上每个产品不合格的概率为p(0?p?1),各产品合格与否相对独立,当出现1个不合格产品时即停机检修.设开机后第1次停机时已生产了的产品个数为x,求x的数学期望e(x)和方差d(x).十三、(本题满分6分) 设某种元件的使用寿命x的概率密度为?2e?2(x??)x??f(x;?)??x???0x1,x2,,其中??0为未知参数.又设,xn是x的一组样本观测值,求参数?的最大似然估计值.2001年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)设y?ex(asinx?bcosx)(a,b为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为_____________. (2)r?x2?y2?z2,则div(gradr)(1,?2,2)=_____________.(3)交换二次积分的积分次序:?01?y?1dy?2f(x,y)dx＝_____________. (4)设a2?a?4e?o,则(a?2e)?1= _____________.(5)d(x)?2,则根据车贝晓夫不等式有估计p{x?e(x)?2}? _____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设函数f(x)在定义域内可导,y?f(x)的图形如右图所示,则y?f?(x)的图形为(a)(b)(c)。

考研数学考试题目及答案

考研数学考试题目及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=x^2-4x+c，若f(x)在区间[1,+∞)上单调递增，则c 的取值范围是：A. c≥-3B. c≤-3C. c≥3D. c≤3答案：C2. 已知矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}\]，矩阵B=\[\begin{bmatrix}-1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}\]，则A+B=：A. \[\begin{bmatrix}0 & 2 \\ 3 & 5\end{bmatrix}\]B. \[\begin{bmatrix}0 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}\]C. \[\begin{bmatrix}-1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}\]D. \[\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 5\end{bmatrix}\]答案：D3. 设数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=2a_n+1，则数列{a_n}的通项公式为：A. a_n=2^n-1B. a_n=2^(n-1)-1C. a_n=2^n+1D. a_n=2^(n-1)+1答案：A4. 设函数f(x)=x^3-3x+1，求f'(x)：A. f'(x)=3x^2-3B. f'(x)=x^2-3C. f'(x)=3x^2+3D. f'(x)=x^2+3答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6，求f'(x)=______。

答案：3x^2-12x+112. 已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_5=75，S_10=225，则a_6+a_7+a_8+a_9+a_10=______。