考研数学历年真题及解析

2001
2001 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
一、填空题(本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分，把答案填在题中横线上)
(1) 设 y ex (c1 sin x c2 cos x) ( c1, c2 为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通
解，则该方程为
(2) 设 r x2 y 2 z 2 , 则 div(gradr) |(1,2,2)
概率为 P(0 P 1) ，且途中下车与否相互独立，以 Y 表示在中途下车的人数，求： (1)在发车时有 n 个乘客的条件下，中途有 m 人下车的概率； (2)二维随机变量 ( X ,Y ) 的概率分布.
十二、(本题满分 7 分)
设 总 体 X 服 从 证 态 分 布 N (, 2 )( 0), 从 该 总 体 中 抽 取 简 单 随 机 样 本
(3) 交换二次积分的积分次序：
0
dy
1 y f (x, y)dx
1
2
(4) 设矩阵 A 满足 A2 A 4E 0 ,其中 E 为单位矩阵，则 A E 1 ＝
(5) 设随机变量 X 的方差为 2，则根据切比雪夫不等式有估计 P X E(X ) 2
二、选择题(本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)
f
(x)
1, x 0
展开成
x 的幂级数，并求级数
(1)n n1 1 4n2
的和.
六、(本题满分 7 分)
计 算 I ( y2 z 2 )dx (2z 2 x2 )dy (3x2 y2 )dz, 其 中 L 是 平 面 x y z 2 L
与柱面 x y 1的交线，从 z 轴正向看去， L 为逆时针方向.
X1, X 2,, X 2n(n
2) ，其样本均值为 X
1 2n
2n i 1
X i , 求统计量 Y
n i 1
X i X ni 2X
2
的数学期望 E(Y ) .
2001 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析
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2001
一、填空题
(1)【答案】 y 2y 2y 0 . 【 详 解 】 因 为 二 阶 常 系 数 线 性 齐 次 微 分 方 程 y py qy 0 的 通 解 为 y e x (c1 sin x c2 cos x) 时，则特征方程 r2 pr q 0 对应的两个根为一对共轭复 根： 1,2 i ，所以根据题设 y ex (c1 sin x c2 cos x) ( c1, c2 为任意常数)为某二阶常 系数线性齐次微分方程的通解，知： 1, 1 ，特征根为 1,2 i 1 i, 从而对应
十、(本题满分 8 分)
已知 3 阶矩阵 A 与三维向量 x , 使得向量组 x, Ax, A2x 线性无关，且满足 A3x 3Ax 2A2x
(1) 记 P x, Ax, A2x , 求 2 阶矩阵 B , 使 A PBP1;
(2) 计算行列式 A E .
十一、(本题满分 7 分)
设某班车起点站上客人数 X 服从参数 ( 0) 的泊松分布，每位乘客在中途下车的
f
(0, 0))
的切向量为
1, 0,
f
' x
(0,
0)
1, 0,3 .
故正确选项为(C).
(3)【答案】(B) 【详解】方法 1：因为
lim 1 f (1 eh) 1 eh x lim f ( x) lim f ( x) x
h0 h
x0 ln(1 x ) x0 x ln(1 x )
ln(1 x) x lim f (x) x lim f (x) f 0 lim f (x) f 0 f 0
x0 x x
x0 x
x0 x 0
可见，若 f (x) 在点 x 0 可导，则极限 lim 1 f (1 eh) 一定存在；反过来也成立. h0 h
方法 2：排除法：举反例说明(A)，(C)，(D)说明不成立.
八、(本题满分 8 分)
设 有 一 高 度 为 h(t) ( t 为 时 间 ) 的 雪 堆 在 融 化 过 程 中 ， 其 侧 面 满 足 方 程 z h(t) 2(x2 y2 ) (设长度单位为厘米，时间单位为小时)，已知体积减少的速率与侧面
h(t )
积成正比(比例系数 0.9)，问高度为 130 厘米的雪堆全部融化需多少小时？
(A)
lim
h0
1 h2
f (1 cosh) 存在.
(C)
lim
h0
1 h2
f (h sinh) 存在.
(B) lim 1 f (1 eh ) 存在. h0 h
(D) lim 1 f (2h) f (h)存在.
h0 h
1 1 1 1 4 0 0 0
(4)
设
A
1 1
1 1
1 1
1 1
,
B
0 0
0 0
0 0
0 0
,
则
(
)
1 1 1 1
0 0 0 0
(A)合同且相似 . (C)不合同但相似 .
(B)合同但不相似. (D)不合同且不相似.
(5) 将一枚硬币重复掷 n 次，以 X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数，则 X 和Y 的
相关系数等于
()
1
(A)-1
(B)0
(C)
(D)1
2
三、(本题满分 6 分)
比如， f (x) x , 在 x 0 处不可导，但
lim
h0
1 h2
f (1 cos h) lim h0
1 cos h h2
lim
h0
1
cos h2
h
lim
h0
2
sin
2
h2
1 2
h
sin
1 2
h
1 2
h
lim
h0
1 h2 2 h2
1 ，故排除(A) 2
lim
h0
1 h2
f (h sin h) lim h0
类似可得
r
Βιβλιοθήκη Baidu
y
2r
，
r2 y2
r
；
z 2r
，
r2 z2
y r y2
r3
z r z2
r3
根据定义有
div( gradr )
2r 2r 2r x2 y2 z2
r2 x2 r3
r2 y2 r3
r2 z2 r3
3r 2 x2 y2 z2 3r 2 r 2 2r 2 2
2
r3
求
arctan e2x
e
x
dx
四、(本题满分 6 分)
设函数 z
f (x, y) 在点(1,1)
处可微，且
f
(1,1)
1,
f x
(1,1) 3, (x)
f (x,
f (x, x)).
求 d 3(x) dx
x1 .
五、(本题满分 8 分)
设
f
(x)
1 x2 x
arctan x, x 0,试将
div( gradr )
2r x2
2r y 2
2r z 2
【详解】本题实际上是计算 2r 2r 2r x2 y2 z2
r x2 y2 z2
2x
x
x
x
x
2 x2 y2 z2
x2 y2 z2 r
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2r x2
x
x r
r x r x
r2
r
x
r
x
x r
x r r 2
r2 x2 r3
k
设 A x, y, z P x, y, z i Q x, y, z j R x, y, z k ，其中 P,Q, R 具有一阶连续偏
导数，散度 divA 在直角坐标中的计算公式为： divA P Q R x y z
若 r x, y, z 具有二阶连续偏导数，则在直角坐标中有计算公式：
r3
r3 r
x2 y2 z2
于是
div(gradr) |(1,2,2)
2
x2 y2 z 2 1,2,2
2
2
12 (2)2 22 3
2
1 x
(3)【答案】 dx f (x, y)dy.
1
0
【详解】由题设二次积分的限，画出对应的积分区域，
y x+y=1 x=2
如图阴影部分. 但在 1 y 0 内， 2 1 y ，
h sin h h2
lim h0
h
sin h3
h
h
其中，lim h0
h
sin h3
h
lim
h0
h
sin h3
h
洛
lim
h0
1
cos 3h2
h
lim
h0
2sin2
1 2
3h2
的特征方程为： (1 i) (1 i) 2 2 2 0, 于是所求二阶常系数线性齐次
微分方程为 y 2y 2y 0 .
(2)【答案】 2 . 3
【分析】若 r x, y, z 具有连续的一阶偏导数，梯度 gradr 在直角坐标中的计算公式为：
gradr
r x
i
r y
j
r z
z f (x, y)
(C)曲线
y
0
在点 (0, 0, f (0, 0)) 的切向量为{1, 0,3}.
z f (x, y)
(D)曲线
y
0
在点(0, 0, f (0,0))的切向量为{3,0,1}.
(3) 设 f (0) 0 ，则 f (x) 在点 x 0 可导的充要条件为 ( )
1
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(1) 设函数 f (x) 在定义域内可导， y f (x) 的图形如右图所示，
则导函数 y f (x) 的图形为 ( )
(2)
设函数
f (x, y) 在点 (0, 0) 附近有定义，且
f
' x
(0,
0)
3,
f
' y
(0,
0)
1,
则
(
)
(A) dz |(0,0) 3dx dy.
(B)曲面 z f (x, y) 在点 (0, 0, f (0, 0)) 的法向量为{3,1,1}.
七、(本题满分 7 分)
设 y f (x) 在 (1,1) 内具有二阶连续导数且 f "(x) 0, 试证：
(1) 对于(−1,1)内的任意 x 0 , 存在唯一的 (x) ∈(0,1) ，使 f (x) f (0) xf '(x)x成立；
(2) lim (x) 1 .
x0
2
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(2)【答案】(C)
【详解】题目仅设函数
f (x, y)
在 点 (0, 0)
附近有定义及
f
' x
(0,
0)
3,
f
' y
(0,
0)
1,
未设
f (x, y) 在点 (0, 0) 可微，也没设 z f (x, y) ，所以谈不上 dz ，因此可立即排除(A)；
令 F(x, y, z) z
f (x, y) ，则有 Fx'
由题设 A2 A 4E 0 A2 A 2E 2E A E A 2E 2E
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即
A E 1 A 2E E,
2
故
A E 1 1 A 2E .
2
(5)【答案】1 2
【分析】切比雪夫不等式： P
X E(X )
D(X ) 2
【详解】根据切比雪夫不等式有
九、(本题满分 6 分)
设1,2 ,, s 为线性方程组 Ax 0 的一个基础解系， 1 t11 t22 , 2 t12 t23 ,, s t1 s t21 , 其中 t1, t2 为实常数.试问 t1, t2 满足什 么关系时， 1, 2 ,, s 也为 Ax 0 的一个基础解系.
于是
0
dy
1 y
f (x, y)dx
0
dy
2
2
0
f (x, y)dx dx
f (x, y)dy
1
2
1 1 y
1
1 x
2
1 x
dx f (x, y)dy.
1
0
(4)【答案】 1 ( A 2E). 2
【详解】要求 ( A E) 的逆，应努力把题中所给条件化成 ( A E)B E 的形式.
P
X
E(X )
2
D(X ) 22
2 22
1 2
二、选择题 (1) 【答案】(D)
【详解】从题设图形可见，在 y 轴的左侧，曲线 y f (x) 是
严格单调增加的，因此当 x 0 时，一定有 f '(x) 0 ，对应
y f (x) 图形必在 x 轴的上方，由此可排除(A)，(C)；
又 y f (x) 的图形在 y 轴右侧靠近 y 轴部分是单调增，所以在这一段内一定有 f '(x) 0 ，对应 y f (x) 图形必在 x 轴的上方，进一步可排除(B)，故正确答案为(D).
f
' x
,
Fy'
f
' y
,
Fz'
1.
因此过点 (0, 0,
f (0, 0))
的法向量为
Fx' , Fy' , Fz'
f
' x
,
f
' y
,1
±{−3,−1,1}
，可排除(B)；
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曲线
z
y
f (x, 0
y)
x
可表示为参数形式：
y
z
x 0, f (x, 0)
点 (0, 0,
O
1
x
题设的二次积分并不是 f (x, y) 在某区域上的二重积分，
因此，应先将题设给的二次积分变形为：
0
dy
1y f (x, y)dx
0
dy
2
f (x, y)dx,
1
2
1 1 y
其中 D (x, y) 1 y 0,1 y x 2 , 再由图所示，又可将 D 改写为
D (x, y) 1 x 2,1 x y 0,