离散型随机变量均值(公开课)

所以随机变量Y的均值为 EY =3× 1/6+5× 1/6 +7×ห้องสมุดไป่ตู้/6+9× 1/6+11× 1/6+13× 1/6=8 =2EX+1
变式：将所得点数的2倍加1作为得分数， 即Y=2X+1，试求Y的均值？
设X为离散型随机变量，
a
若Y=aX+b,其中a,b为常数， 则EY= aEX+b ?
你能猜想出 结果吗?
(1)随机变量均值的线性性质
E ( aX b ) aEX b
例题2
篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分， 罚不中得0分．已知姚明目前罚球命中的 概率为0.85，求他罚球1次的得分ξ的均 值？
解:ξ的分布列为
ξ P 0 0.15 1 0.85
所以
Eξ＝0×P(ξ＝0)＋1×P(ξ＝1)
＝0×0.15＋1×0.85＝0.85．
ξ 0 1 … k … n P Cn0p0qn Cn1p1qn-1 … Cnkpkqn-k … Cnnpnq0 证明：∵P(ξ=k)= Cnkpkqn-k
/item.htm? 0p0qn+ 1×C 1p1qn-1+ 2×C 2p2qn-2 + ∴E ξ =0×Cnspm=a230r.1.14.142.Onahc6&id= n n 6251819624 k k n-k n n 0
(∵ k Cnk =n Cn-1k-1)
…+ k×Cn p q +…+ n×Cn p q
=np(Cn-10p0qn-1+ Cn-11p1qn-2+ … +
Cn-1k-1pk-1q(n-1)-(k-1) +…+ Cn-1n-1pn-1q0) = np(p+q)n-1=np
离散型随机变量均值的性质
(1)线性性质
1若E =3， =2 4,
10 则E =_______
2某篮球运动员3分球投篮命中的概率
2 是 , 在某次三分远投比赛中,共投篮 3
3次,设 是他投中的次数.
1) 求E ;
2)若投中1次得3分 ,求他得分的均值;
例4
• 根据气象预报,某地区近期有小洪水的概率 为0.25,有大洪水的概率为0.01.该地区某工地 上有一台大型设备,遇到大洪水时损失60000 元,遇到小洪水损失10000元.为保护设备,有 以下3种方案: 方案1:运走设备,搬运费为3800元; 方案2:建保护围墙,建设费为2000元, 但围墙只能防小洪水; 方案3:不采取任何措施,希望不发生洪水. 试比较哪一种方案好?
例题1
随机抛掷一个均匀的骰子，求所得骰 子的点数X的均值 你能归纳求离散型随机变量均值的步骤吗 ?
解：随机变量X的取值为1，2，3，4，5，6 其分布列为 X 1 2 3 4 5 6
P 1/6 1/6
所以随机变量X的均值为EX=1× 1/6+2× 1/6 +3×1/6+4× 1/6+5× 1/6+6× 1/6=3.5
糖果所属种类的单价（元
可以吗？
假如从这种混合糖果中随机选取一颗，记X为这颗 kg ）,你能写出X的分布列吗？
假如从这种混合糖果中随机选取一颗，记X为这颗 如果你买了1kg这种混合 糖果所属种类的单价（元 ）,你能写出X的分布列吗？ kg 糖果，你要付多少钱？
而你买的糖果的实际价值 解：随机变量X 可取值为 18 ， 24和36 刚好是 23 元吗？ 1 1
E (aX b) aE ( X ) b
若X~B(1，p)， 则E(X)= p 若X~B(n，p)， 则E(X)= np
(2)两点分布的均值
(3)二项分布的均值
例题3
一次英语单元测验由20个选择题构成，每 个选择题有4个选项，其中有且仅有一个 选项是正确答案，每题选择正确答案得5 分，不作出选择或选错不得分，满分100 分。学生甲选对任一题的概率为0.9，学生 乙则在测验中对每题都从4个选项中随机 地选择一个。求学生甲和学生乙在这次英 语单元测验中的成绩的均值。
例题2
篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分， 罚不中得0分．已知姚明目前罚球命中的概 率为0.85，求他罚球1次的得分ξ的均值？
若ξ～B(1，0.85), 则Eξ=0.85
变式：若姚明在某次比赛中罚球3次，
求他罚球的得分ξ的均值？你能猜想出
若ξ～B(10，0.85), 则Eξ=?
结果吗?
求证： 若ξ~B(n，p)， 则Eξ= np
你能理解3.5 的含义吗？
1/6
1/6
1/6
1/6
变式：将所得点数的2倍加1作为得分数， 即Y=2X+1，试求Y的均值？
例题1
随机抛掷一个均匀的骰子，求所得骰 子的点数X的期望
解：随机变量X的取值为1，2，3，4，5，6 其分布列为 Y 3 5 7 9 11 13 P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
若Y=aX+b,则EY=aEX+b
证：设离散型随机变量X的概率分布为
x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pn pi … 而P(Y axi b) P( X xi ), i 1, 2,3n
X 所以Y的分布列为 Y
ax1 b ax2 b …
axi b …
解： 设学生甲和学生乙在这次英语测验中 选择了正确答案的选择题个数分别是ξ 和η，则 ξ～B(20，0.9)， η～B(20，0.25)， Eξ＝20×0.9＝18， Eη＝20×0.25＝5． 由于答对每题得5分，学生甲和学生乙在这 次英语测验中的成绩分别是5ξ和5η。所以， 他们在测验中的成绩的均值分别是 E(5ξ)＝5Eξ＝5×18＝90， E(5η)＝5Eη＝5×5＝25．
1 而P( X 18) , P( X 24) , P( X 36) 样本平均值 2 3 6 所以X分布列为
X P 18 1/2 24 1/3 36 随机变量均值 （概率意义下的 1/6
均值）
18×1/2+24×1/3+36×1/6
=18×P(X=18)+24×P(X=24)+36×P(X=36)
1、离散型随机变量均值的定义
一般地,若离散型随机变量X的概率分布为 X
P
x1 p1
x2 … p2 …
xi pi
…
…
xn pn
则称 EX x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn 为随 机变量X的均值或数学期望,数学期望又简称为期 望。 它反映了离散型随机变量取值的平均水平。
例题2
篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分， 罚不中得0分．已知姚明目前罚球命中的概 率为0.85，求他罚球1次的得分ξ的均值？ 解:ξ的分布列为
ξ P 0 0.15 1-P 1 0.85 P
所以
Eξ＝0×P(ξ＝0)＋1×P(ξ＝1)
1-P ＋1×0.85 P ＝0.85 P ． ＝0×0.15
axn b
P
p1
p2
…
EY (ax1 b) p1 (ax2 b) p2 (axn b) pn a( x1 p1 x2 p2 xn pn ) b( p1 p2 pn ) aEX b
pi
…
pn
2、离散型随机变量均值的性质
滕州二中 刘强
某商场为满足市场需求要将单价分别为 18元/kg ，24元/kg ，36元/kg 的3种糖果 按3：2：1的 比例混合销售，其中混合糖 果中每一颗糖果的质量都相等，如何对 混合糖果定价才合理？ 定价为
18×1/2+24×1/3+36×1/6
18+24+36 26 3
=23元/kg