概周期函数的定义及其性质[开题报告]

毕业论文开题报告

数学与应用数学

概周期函数的定义及其性质

一、选题的背景、意义

函数在日常生活中扮演越来越重要的角色,而概周期函数正成为函数的一个重要组成部分.概周期函数是在20世纪20年代由丹麦著名数学家H.Bohr首先提出的,它为了解决周期函数对加法运算不封闭而创造的一类新函数.在二、三十年代有了进一步发展，包括概周期函数的调和分析理论以及1933年由S.Bochner所建立的Bannch空间向量值概周期函数的理论.往后的发展更密切的联系着常微分方程、稳定性理论和动力系统，其应用范围不仅限于常微分方程和古典动力系统，也涉及泛函数微分方程、Banach空间微分方程以及一类广泛的偏微分方程.

关于概周期函数,我们可以从两个不同角度去看待：一方面,概周期函数是一类具有独特结构性质的连续函数,是周期函的推广；另一方面,概周期函数可以看成是一致收敛的三角多项式序列的限.从而,概周期函数理论的建立,为我们开辟了一个道路,使我们能够究一类更广泛的三角级数,甚至指数级数.即使在现实生活中,概周期函数也是比周期函数更容易见到的一类函例如,天体力学,机械振动,生态学系统,经济领域以及工程技术中出振荡现象的许许多多的实际问题往往都可以转化为求解常微分方程、泛函分方程、差分方程以及偏微分方程等数学模型的周期解,其中有些问题诸如天体运转,生态环境,以及市场供需规律等）考查概周期解比考查周解更具有现实意义.在概周期函数的基础上,通过增加扰动项得到了渐进周期函数、弱概周期函数和伪概周期函数.同时,若将概周期型函数的函值从复数值推广到向量值,则得到向量值概周期型函数.微分方程是从实际问题中抽象出来的数学模型,它描述了系统变化率与状态之间的关系,研究方程解的性态是微分方程理论中一个重要而又基本问题,系统解的稳定性分析是这个理论体系很重要的方面,由于概周期函是周期函数的一个推广,是具有某种近似周期性的有界连续函数,使得概期系统的解的稳定性分析也受到了越来越多的学者的关注,它在常微分方稳定性理论和动力系统中有着重要的应用.

二、研究的基本内容与拟解决的主要问题

论文研究的基本内容主要是通过简单的分析周期函数，进一步理解周期函数，从而来引出概周期函数最基本的问题.然后，弄清楚概周期函数的定义，以及概周期型函数的等价定义的证明，以及概周期函数的性质.应用数学分析的方法，总结并证明概周期函数是否是连续的，是否是有界的，还有如何证明函数是概周期函数，明白在各种运算下是否封闭.拟解决主要问题如下：

1.主要解决的第一个问题是：若()f x 为概周期函数，a 为实数，那么是否()()()(),,,f x a f ax af x f x +也是概周期函数呢.？若()(),f x g x 为概周期函数, 那么是否()()()(),f x g x f x g x ±也为概周期函数; 又()inf 0g x m =>，那么()()/f x g x 也为概周期函数呢?

2．主要解决的第二个问题是: 若设()f t 是连续的周期函数，则()f t 是否一定是概周期函数.反之又怎么样呢? 又如概周期函数序(){}

n f x 在实轴上一致收敛于函数()f x ，则()f x 是否也是概周期函数呢？概周期函数到底存在怎么样的性质？

3．主要解决的第三个问题：主要利用概周期型函数在定义域上的一致连续性以及其ε-平移数集在¡上的相对稠密性证明了概周期函数、一致概周期函数及渐进概周期函数的几个等价定义，最后得证明函数f 在+¡

上可由三角多项式逼近当且仅当对于任意0ε>存在数s l ，使得+¡

上任意长度为s l 的区间上存在数τ使得f R f τε-<，即概周期函数的定义域限制在+¡上其相应的定义仍是等价的问题.

对于以上这些研究内容，我将在已有结论的理论基础上通过适当的假设得出结论，并尝试性的进行证明，以期能得到新的并具有一定应用价值的结论，在此基础上本人将进一步给出几个例子，总结得出几个重要公式以及需要注意的地方，相信会对读者有一定的帮助.

三、研究的方法与技术路线、研究难点,预期达到的目标

本人在大量阅读中文文献的基础上，培养了自己综合分析的能力，并查阅了多本关于此课题的著作和相关期刊，特别是由华东师范大学数学系编著的《数学分析》和由许多学者们对概周期函数的性质和判定定理的研究所得的理论对我的研究提供了很大的帮助，在此基础上我深入理解函数的概周期性的定义，研究这个课题的重要性以及实用性，并且运用所学知

识有效地对此进行总结研究，再通过对比、分析、归纳已有的结论，并在此基础上经过进一步思考，提出了自己的一些结论，并对此进行了证明，本课题的研究难点是对某些未知概周期定义及其性质的证明，以及根据已经结论设想出某些暂不清楚是否成立的结论，最后相信能总结出一整套完善的函数的概周期的性质和定义，以达到预期的目标．

四、论文详细工作进度和安排

（一）第七学期第9-10周：

确定论文题目；开始查阅文献资料，收集各种纸质、电子文件信息、材料并对其进行加工整理，形成系统材料；确定外文翻译资料；

（二）第七学期第11-12周：

仔细研读，分析资料，完成外文翻译；

（三）第七学期第13-17周：

认真阅读文献资料，加以归纳总结，完成文献综述及开题报告；

（四）第七学期第18周：

并完成网上确认；

（五）寒假期间：

完成论文初稿；

（六）第八学期第1-3周：

修改论文初稿，并确定进入实习阶段；

（七）第八学期第4-10周：

进入实习单位进行毕业实习，对论文进行修改.

（八）第八学期第11周：

完成毕业实习返校，并递交毕业实习报告；

（九）第八学期第12-14周：

对论文进一步修改，并定稿；

（十）第八学期第15-16周：

准备并完成毕业答辩

五、主要参考文献：

[1] 何崇佑.概周期微分方程[M].北京:高等教育出版社，1992.