19.2.2 菱形的判定 课件1
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19.2 .2 菱形的判定 课件课件
19.2.2 菱形的判定
1、什么是菱形？
一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
2、菱形有哪些特殊性质？主要体现在 哪些方面？
菱形是特殊的平行四边形，具有平行 四边形的所有性质.特殊性质主要体现 在边和对角线上。
D
A
C
B
试一
试
逆向思考：四条边都相等的四边形
命定题理：四条边都相等的四边形是菱形.
已知：四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA. 求证：四边形ABCD是菱形。
证明：在四边形ABCD中,AB=CD，BC=DA.
A
D
∴四边形ABCD是平行四边形。
B
C
∵AB=BC，
∴平行四边形ABCD是菱形。
如图，当平行四边形的对角线AC、BD转动时，什 么时候平行四边形变成菱形？
D
A
C
B
结论：对角线互相垂直的平行四边形是 菱形。
已知： □ABCD中，AC⊥BD
求证：□ ABCD是菱形
分析：已知四边形是平行四边形，只需证明有一组
邻边相等即可。
AБайду номын сангаас
D
O
自己会写
证明过程
吗？
B
C
下列条件中,不能判定四边形ＡＢＣＤ为菱形 的是（ C ）．
Ａ、AC⊥BD ，AC与BD互相平分
Ｂ、AB=BC=CD=DA
Ｃ、AB=BC，AD=CD，且AC ⊥BD Ｄ、AB=CD，AD=BC，AC ⊥BD
A
D
O
4.对角线相等且互相平分
5.对角线互相垂直
6.对角线垂直且互相平分
二：如图，已知AD平分∠BAC，DE//AC， DF//AB，AE=5. （1）判断四边形AEDF的形状？ （2）四边形AEDF的周长为多少？
1、什么是菱形？
一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
2、菱形有哪些特殊性质？主要体现在 哪些方面？
菱形是特殊的平行四边形，具有平行 四边形的所有性质.特殊性质主要体现 在边和对角线上。
D
A
C
B
试一
试
逆向思考：四条边都相等的四边形
命定题理：四条边都相等的四边形是菱形.
已知：四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA. 求证：四边形ABCD是菱形。
证明：在四边形ABCD中,AB=CD，BC=DA.
A
D
∴四边形ABCD是平行四边形。
B
C
∵AB=BC，
∴平行四边形ABCD是菱形。
如图，当平行四边形的对角线AC、BD转动时，什 么时候平行四边形变成菱形？
D
A
C
B
结论：对角线互相垂直的平行四边形是 菱形。
已知： □ABCD中，AC⊥BD
求证：□ ABCD是菱形
分析：已知四边形是平行四边形，只需证明有一组
邻边相等即可。
AБайду номын сангаас
D
O
自己会写
证明过程
吗？
B
C
下列条件中,不能判定四边形ＡＢＣＤ为菱形 的是（ C ）．
Ａ、AC⊥BD ，AC与BD互相平分
Ｂ、AB=BC=CD=DA
Ｃ、AB=BC，AD=CD，且AC ⊥BD Ｄ、AB=CD，AD=BC，AC ⊥BD
A
D
O
4.对角线相等且互相平分
5.对角线互相垂直
6.对角线垂直且互相平分
二：如图，已知AD平分∠BAC，DE//AC， DF//AB，AE=5. （1）判断四边形AEDF的形状？ （2）四边形AEDF的周长为多少？
菱形的判定(公开课)课件
详细描述
菱形的四条边长度相等，这是菱形的一个显著特征。这一性质使得菱形成为一 种对称的图形，具有高度的美感。
菱形的角度性 质
总结词
菱形的角度性质是其对角相等。
详细描述
除了边长相等外，菱形的对角也相等。这意味着在菱形中，相对的两个角大小相 等，这也是菱形的一个重要性质。
PART 02
菱形的判定方法
菱形在面积计算中的应用
总结词
菱形面积计算是几何问题中的重要应用 之一，可以通过计算边长和角度来求解。
VS
详细描述
菱形的面积可以通过边长和角度来计算， 具体公式为面积 = (边长 × 边长) × sin( 角度/2)。在计算过程中，需要先确定菱 形的边长和角度，可以通过测量或利用已 知条件推导得出。
性质
等腰菱形的两腰相等，且 相对的两个角相等，对角 线互相垂直平分。
判定方法
如果一个四边形两组对边 分别平行，且一组等长， 则这个四边形是等腰菱形。
正方形作为特殊情况的菱形
定义
正方形是一种特殊的菱形， 其特点是四边相等，四个 角都是直角。
性质
正方形具有菱形的所有性 质，同时还有四个角都是 直角的特性。
菱形在周长计算中的应用
总结词
周长计算是几何问题中的基础应用之一，可 以通过计算各边长度之和来求解。
详细描述
菱形的周长可以通过四条相等的边来计算， 具体公式为周长 = 4 × 边长。在计算过程 中，需要先确定菱形的边长，可以通过测量 或利用已知条件推导得出。
菱形在角度计算中的应用
总结词
角度计算是几何问题中的重要应用之一，可以通过计算角度和边长之间的关系来求解。
判定定理一：四边相等的四边形是菱形
总结词
菱形的四条边长度相等，这是菱形的一个显著特征。这一性质使得菱形成为一 种对称的图形，具有高度的美感。
菱形的角度性 质
总结词
菱形的角度性质是其对角相等。
详细描述
除了边长相等外，菱形的对角也相等。这意味着在菱形中，相对的两个角大小相 等，这也是菱形的一个重要性质。
PART 02
菱形的判定方法
菱形在面积计算中的应用
总结词
菱形面积计算是几何问题中的重要应用 之一，可以通过计算边长和角度来求解。
VS
详细描述
菱形的面积可以通过边长和角度来计算， 具体公式为面积 = (边长 × 边长) × sin( 角度/2)。在计算过程中，需要先确定菱 形的边长和角度，可以通过测量或利用已 知条件推导得出。
性质
等腰菱形的两腰相等，且 相对的两个角相等，对角 线互相垂直平分。
判定方法
如果一个四边形两组对边 分别平行，且一组等长， 则这个四边形是等腰菱形。
正方形作为特殊情况的菱形
定义
正方形是一种特殊的菱形， 其特点是四边相等，四个 角都是直角。
性质
正方形具有菱形的所有性 质，同时还有四个角都是 直角的特性。
菱形在周长计算中的应用
总结词
周长计算是几何问题中的基础应用之一，可 以通过计算各边长度之和来求解。
详细描述
菱形的周长可以通过四条相等的边来计算， 具体公式为周长 = 4 × 边长。在计算过程 中，需要先确定菱形的边长，可以通过测量 或利用已知条件推导得出。
菱形在角度计算中的应用
总结词
角度计算是几何问题中的重要应用之一，可以通过计算角度和边长之间的关系来求解。
判定定理一：四边相等的四边形是菱形
总结词
19.2.2菱形的判定_课件(1)
∴四边形ABCD是菱形 ∵在□ABCD中 AC⊥BD ∴四边形ABCD是菱形
对角线互相垂直的 判定 平行四边形是菱形
D
法二
B 四边相等的四边形 判定 是菱形
A B
C
D C ∵AB=BC=CD=DA
法三
∴四边形ABCD是菱形
1、老师说下列三个图形都是菱形,你能说明理 由吗? 5
5 4 3 3 4
3
3
D
A
┐
O
B
C
提示:
△AOD≌△COB（角边角）
AD=BC
7、如图， ABCD的两条对角线AC、BD相交于 点O，AB=5，AC=8，DB=6 求证:四边形ABCD是菱形. D
证明:∵ 四边形ABCD是平行四边形 A ∴OA=OC=4 OB=OD=3 又∵AB=5 ∴AB2=AO2+BO2 ∴∠AOB=90° ∴AC⊥BD 又∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴四边形ABCD是菱形. O B
A
∟
求证： ABCD 是菱形
B
O C
D
判定方法3 探究二：有四条边相等的四边形是菱形。 已知：在四边形ABCD中, AB=BC=CD=DA. 求证：四边形ABCD是菱形 D C
A
B
菱形的判定：
文字语言 判定 一组邻边相等的平 行四边形是菱形 法一
B
A O
图形语言
A
C D
符号语言
∵在□ABCD中 AB=AD
课前热身 矩形与菱形
矩形 菱形
定义
共性
有一角是直角的平行 有一组邻边相等的平行四 四边形叫做矩形. 边形叫做菱形. 1.具有平行四边形的一切性质，2.是中心对称图形， 也是轴对称图形 四条边都相等 四个角都是直角 相等 互相垂直且每一条对角线平分 每一组对角
对角线互相垂直的 判定 平行四边形是菱形
D
法二
B 四边相等的四边形 判定 是菱形
A B
C
D C ∵AB=BC=CD=DA
法三
∴四边形ABCD是菱形
1、老师说下列三个图形都是菱形,你能说明理 由吗? 5
5 4 3 3 4
3
3
D
A
┐
O
B
C
提示:
△AOD≌△COB（角边角）
AD=BC
7、如图， ABCD的两条对角线AC、BD相交于 点O，AB=5，AC=8，DB=6 求证:四边形ABCD是菱形. D
证明:∵ 四边形ABCD是平行四边形 A ∴OA=OC=4 OB=OD=3 又∵AB=5 ∴AB2=AO2+BO2 ∴∠AOB=90° ∴AC⊥BD 又∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴四边形ABCD是菱形. O B
A
∟
求证： ABCD 是菱形
B
O C
D
判定方法3 探究二：有四条边相等的四边形是菱形。 已知：在四边形ABCD中, AB=BC=CD=DA. 求证：四边形ABCD是菱形 D C
A
B
菱形的判定：
文字语言 判定 一组邻边相等的平 行四边形是菱形 法一
B
A O
图形语言
A
C D
符号语言
∵在□ABCD中 AB=AD
课前热身 矩形与菱形
矩形 菱形
定义
共性
有一角是直角的平行 有一组邻边相等的平行四 四边形叫做矩形. 边形叫做菱形. 1.具有平行四边形的一切性质，2.是中心对称图形， 也是轴对称图形 四条边都相等 四个角都是直角 相等 互相垂直且每一条对角线平分 每一组对角
人教版八年级下《菱形的判定》课件
18.2.2菱形的判定
复习与回顾：
想一想： 1.菱形具有哪些性质？ 2. 比平行四边形多了哪些性质？
边 菱形的两组对边平行且相等 A
菱形的四条边相等
D
O
C
B
菱形的两组对角分别相等
角 菱形的邻角互补
怎样判断一个四 边形是菱形？
菱形的 两条对角线互相平分 对角线 菱形的两条对角线互相垂直平分，
并且每一条对角线平分一组对角。
(2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形；（√）
(3)对角线互相垂直,且有一组邻边相等
的四边形是菱形；
（）
╳
(4)两条邻边相等，且一条对角线平分一
╳
组对角的四边形是菱形．
D
A
（）
C
A
∟
C
B
B
D
3、□ABCD的对角线AC与BD相交于点
O，
菱
（1）若AB=AD，则□ABCD是矩 形；
（2）若AC=BD，则□ABCD是 矩形；
命题：有四条边相等的四边形是菱形。
已知：在四边形ABCD
中,AB=BC=CD=DA.
求证证明：：四边形ABCD是菱形 D
C
∵AB=CD,AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形
又∵AB=AD,
A
B
∴四边形ABCD是菱形
判定定理：
四条边都相等的四边形是菱形.
A
D AB=B
2
2
∴EF=FG=GH=HE
∴四边形EFGH是菱形
四边形
四条边都相等
菱形
平行四边形
课本60页习题18.2第6、10题
6、如图在菱形ABCD中,CE⊥AB,CF⊥AD.
复习与回顾：
想一想： 1.菱形具有哪些性质？ 2. 比平行四边形多了哪些性质？
边 菱形的两组对边平行且相等 A
菱形的四条边相等
D
O
C
B
菱形的两组对角分别相等
角 菱形的邻角互补
怎样判断一个四 边形是菱形？
菱形的 两条对角线互相平分 对角线 菱形的两条对角线互相垂直平分，
并且每一条对角线平分一组对角。
(2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形；（√）
(3)对角线互相垂直,且有一组邻边相等
的四边形是菱形；
（）
╳
(4)两条邻边相等，且一条对角线平分一
╳
组对角的四边形是菱形．
D
A
（）
C
A
∟
C
B
B
D
3、□ABCD的对角线AC与BD相交于点
O，
菱
（1）若AB=AD，则□ABCD是矩 形；
（2）若AC=BD，则□ABCD是 矩形；
命题：有四条边相等的四边形是菱形。
已知：在四边形ABCD
中,AB=BC=CD=DA.
求证证明：：四边形ABCD是菱形 D
C
∵AB=CD,AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形
又∵AB=AD,
A
B
∴四边形ABCD是菱形
判定定理：
四条边都相等的四边形是菱形.
A
D AB=B
2
2
∴EF=FG=GH=HE
∴四边形EFGH是菱形
四边形
四条边都相等
菱形
平行四边形
课本60页习题18.2第6、10题
6、如图在菱形ABCD中,CE⊥AB,CF⊥AD.
华东师大版八年级数学下册19.菱形的判定课件
几何语言:∵ 四边形ABCD是平行四边形,AB=BC, A D ∴ 四边形ABCD是菱形.
B
C
方法二(判定定理1):四条边都相等的四边形是菱形.
几何语言：∵ AB=BC=CD=DA, ∴ 四边形ABCD是菱形.
方法三(判定定理2):对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
几何语言： ∵ 四边形ABCD是平行四边形, AC⊥BD, ∴ 四边形ABCD是菱形.
D
C
O
A
B
随堂练习
1.判断下列说法是否正确：
有一条对角线平分一组对角的四边形是菱形.
对角线互相垂直,且一条对角线平分一组对角的四边形是 菱形.
对角线相等且互相平分的四边形是菱形. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形.
矩形
2.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，要使它成为
菱形，那么需要添加的条件可以是（A ）.
几何语言： ∵ 四边形ABCD是平行四边形, AC⊥BD, ∴ 四边形ABCD是菱形.
例题精析
例1 如图,□ABCD的对角线AC与BD相交于点O: 若AB=AD，则□ABCD是 菱形； 若AC=BD，则□ABCD是 矩形； 若∠ABC是直角，则□ABCD是 矩形; 若∠BAO=∠DAO，则□ABCD是 菱形; 若AC⊥BD，则□ABCD是____菱_形.
∴ 四边形ABCD是菱形.
A
D
B
C
方法二(判定定理1):四条边都相等的四边形是菱形.
几何语言：∵ AB=BC=CD=DA,
∴ 四边形ABCD是菱形.
巩固练习
1.如图,要使□ ABCD成为菱形,需添加一个条件是( A ).
A. AB＝BC
B．AC＝BD
C. ∠ABC＝90°
B
C
方法二(判定定理1):四条边都相等的四边形是菱形.
几何语言：∵ AB=BC=CD=DA, ∴ 四边形ABCD是菱形.
方法三(判定定理2):对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
几何语言： ∵ 四边形ABCD是平行四边形, AC⊥BD, ∴ 四边形ABCD是菱形.
D
C
O
A
B
随堂练习
1.判断下列说法是否正确：
有一条对角线平分一组对角的四边形是菱形.
对角线互相垂直,且一条对角线平分一组对角的四边形是 菱形.
对角线相等且互相平分的四边形是菱形. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形.
矩形
2.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，要使它成为
菱形，那么需要添加的条件可以是（A ）.
几何语言： ∵ 四边形ABCD是平行四边形, AC⊥BD, ∴ 四边形ABCD是菱形.
例题精析
例1 如图,□ABCD的对角线AC与BD相交于点O: 若AB=AD，则□ABCD是 菱形； 若AC=BD，则□ABCD是 矩形； 若∠ABC是直角，则□ABCD是 矩形; 若∠BAO=∠DAO，则□ABCD是 菱形; 若AC⊥BD，则□ABCD是____菱_形.
∴ 四边形ABCD是菱形.
A
D
B
C
方法二(判定定理1):四条边都相等的四边形是菱形.
几何语言：∵ AB=BC=CD=DA,
∴ 四边形ABCD是菱形.
巩固练习
1.如图,要使□ ABCD成为菱形,需添加一个条件是( A ).
A. AB＝BC
B．AC＝BD
C. ∠ABC＝90°
18.2.2 菱形的判定 课件1
8、如图、已知 ABCD,
A
D
添加一个条件使平行四边形 B
C
为菱形，添加条件可以是＿＿＿＿
9、若 ABCD的对角线AC ⊥BD，AB=5cm,
则BC=__5_c_m__
例 如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且 AB=5，AO=4，BO=3，求证: ABCD是菱形.
D
证明： ∵ AB=5，AO=4，BO=3，
C
∴BA=BC ∴ □ ABCD是菱形
问题：对角线互相垂直 的四边形是菱形吗？ 请画图
菱形的一个判定定理：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
判 12、、断有有题一一，组组对邻邻打边边“相 相√”等 等，的 的错四 平打边 行“形 四×是 边”菱 形形是（菱×形）（√） 3、对角线互相垂直的四边形是菱形（×） 4、对角线互相垂直的平行四边形是菱形（√）
5、□ABCD的对角线AC与BD形；
（2）若AC ⊥BD ，
则□ABCD是 菱 形。
D A
C O
B
7、下列条件能使平行四边形ABCD为菱
形的是（A ）
①AC⊥BD ② ∠BAD=90°③AB=BC ④
AC=BD
A. ① ③ B .② ③ C. ③ ④ D. ② ③
猜想：
对角线互相垂直的 平行四边形是菱形.
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
几何语言：
已知：在 ABCD中， AC与BD相交于点o，且 AC ⊥ BD
求证： ABCD是菱形
A
思考：证两线段相等，除了证两三角形全等外，
还有其它方法吗？
证明： ∵四边形ABCD是平行四边形
B
O
D
∴OA=OC
又∵ AC ⊥ BD;
菱形的判定课件
2 误区：对角线相等即为菱形
解决办法：需要确认对角线是否互相垂直。
菱形判定的应用举例和总结
应用举例一
在建筑设计中，使用菱形图案可 以创建独特的视觉效果。
应用举例二
在纺织品制造中，使用菱形图案 可以增加产品的时尚感。
总结
菱形判定是解决几何问题的重要 工具，应用广泛且具有实际意义。
对边平行
菱形的相对边互相平行。
内角和
菱形的所有内角和等于360度。
如何在几何问题中运用菱形的判定
1
题目分析
确定问题涉及的图形和已知条件。
2
判定菱形
利用菱形的判定方法判断给定的图形是否为菱形。
3
应用相关性质
根据菱形的相关性质解决问题。
常见菱形判定的误区与解决办法
1 误区：边长相等即为菱形
解决办法：需要确认相邻边是否相互垂直。
菱形的判定ppt课件
在这个课件中，我们将学习菱形的定义和特点，并了解如何判定一个图形是 否为菱形。演示将包括实例和相关性质，以及如何在几何问题中运用菱形的 判定。
什么是菱形？
菱形是一个具有如下特点的图形：所有四条边相等，相邻边互相垂直。
菱形的判定方法
1 边长判定法
四条边长相等，则图形为菱形。
2 对角线判定法
两条对角线相等且互相垂直，则图形为菱形。
菱形判定的实例演示
实例一
图形ABCD的四条边长相等，所以 它是一个菱形。
实例二
图形EFGH的两条对角线相等，但 边长不相等，所以它不是一个菱 形。
实例三
图形IJKL的两条对角线相等且垂 直，所以它是一个菱形。
菱形判定的相关性质
对角线平分角
菱形的两条对角线平分菱形两个内角。
菱形的判定 公开课课件
B
C
A D 返回
老师说下列三个图形都是菱形,你相信吗?
5
35
44 3
3 44
3
┍
有一组邻边相等的平
对角线互相垂直的平行
行四边形叫做菱形
5 四边形是菱形
5
5
5
有四条边相等的四边形是菱形。
返回
如图，在等边三角形ABC中，D，E，F 分别是各边的中点。连结DE、EF、FD 图中有菱形吗？如果有，请你把它们找出来。
A
D
E
B FC
返回
历史ⅱ岳麓版第13课交通与通讯 的变化资料
精品课件欢迎使用
[自读教材·填要点]
一、铁路，更多的铁路 1．地位 铁路是 交通建运设输的重点，便于国计民生，成为国民经济 发展的动脉。 2．出现 1881年，中国自建的第一条铁路——唐山 至开胥平各庄铁 路建成通车。 1888年，宫廷专用铁路落成。
[合作探究·提认知] 电视剧《闯关东》讲述了济南章丘朱家峪人朱开山一家， 从清末到九一八事变爆发闯关东的前尘往事。下图是朱开山 一家从山东辗转逃亡到东北途中可能用到的四种交通工具。
依据材料概括晚清中国交通方式的特点，并分析其成因。 提示：特点：新旧交通工具并存(或：传统的帆船、独轮车， 近代的小火轮、火车同时使用)。 原因：近代西方列强的侵略加剧了中国的贫困，阻碍社会发 展；西方工业文明的冲击与示范；中国民族工业的兴起与发展； 政府及各阶层人士的提倡与推动。
1．李鸿章1872年在上海创办轮船招商局，“前10年盈和，成
[串点成面·握全局]
一、近代交通业发展的原因、特点及影响 1．原因 (1)先进的中国人为救国救民，积极兴办近代交通业，促 进中国社会发展。 (2)列强侵华的需要。为扩大在华利益，加强控制、镇压 中国人民的反抗，控制和操纵中国交通建设。 (3)工业革命的成果传入中国，为近代交通业的发展提供 了物质条件。
C
A D 返回
老师说下列三个图形都是菱形,你相信吗?
5
35
44 3
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┍
有一组邻边相等的平
对角线互相垂直的平行
行四边形叫做菱形
5 四边形是菱形
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有四条边相等的四边形是菱形。
返回
如图，在等边三角形ABC中，D，E，F 分别是各边的中点。连结DE、EF、FD 图中有菱形吗？如果有，请你把它们找出来。
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历史ⅱ岳麓版第13课交通与通讯 的变化资料
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[自读教材·填要点]
一、铁路，更多的铁路 1．地位 铁路是 交通建运设输的重点，便于国计民生，成为国民经济 发展的动脉。 2．出现 1881年，中国自建的第一条铁路——唐山 至开胥平各庄铁 路建成通车。 1888年，宫廷专用铁路落成。
[合作探究·提认知] 电视剧《闯关东》讲述了济南章丘朱家峪人朱开山一家， 从清末到九一八事变爆发闯关东的前尘往事。下图是朱开山 一家从山东辗转逃亡到东北途中可能用到的四种交通工具。
依据材料概括晚清中国交通方式的特点，并分析其成因。 提示：特点：新旧交通工具并存(或：传统的帆船、独轮车， 近代的小火轮、火车同时使用)。 原因：近代西方列强的侵略加剧了中国的贫困，阻碍社会发 展；西方工业文明的冲击与示范；中国民族工业的兴起与发展； 政府及各阶层人士的提倡与推动。
1．李鸿章1872年在上海创办轮船招商局，“前10年盈和，成
[串点成面·握全局]
一、近代交通业发展的原因、特点及影响 1．原因 (1)先进的中国人为救国救民，积极兴办近代交通业，促 进中国社会发展。 (2)列强侵华的需要。为扩大在华利益，加强控制、镇压 中国人民的反抗，控制和操纵中国交通建设。 (3)工业革命的成果传入中国，为近代交通业的发展提供 了物质条件。
华东师大版数学八年级下册19.菱形的判定课件
二.探究新知 （一）探究：菱形的判定1(四边相等的四边形是菱形)
已知：如图，四边形ABCD的边长，AB=BC=CD=AD
求证：四边形ABCD是菱形
A
证明： ∵AB=BC=CD=AD 即AB=DC,BC=AD
∴ 四边形ABCD是平行四边形
BБайду номын сангаас
D
∴四边形ABCD是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）
2
2
4
三.课堂小结
菱形的判定：间接判定
有一组邻边相等的平行四边形为菱形 对角线互相垂直的平行四边形为菱形
直接判定
四条边相等的四边形为矩形
对角线互相垂直、平分的四边形为菱形（简答题不能直接使用）
解: ∵AD的垂直平分线交AB于点E，交AC于点F
A
∴AE=DE ,AF=DF 即∠EAD= ∠EDA, ∠FAD =∠ FDA
又∵AD平分∠BAC
E
∴ ∠EAD= ∠FAD, ∠EDA =∠ FDA
F
∴△AED全等于△AFD(ASA)
∴AE=AF=DF=DE
B
D
C ∴四边形ABED为菱形（四条边相等的四边形为菱形）
∵AC+BD=q
O
∴ AO+DO=0.5q
C
A
∴ 有勾股定理得：（ AO DO）2 AO2 DO 2 2AO • DO AD2 2AO • DO p2 2AO • DO q2
4
4
即2 AO • DO q2 - p2
B
4
∴ S菱形 1 AC • BD 1 2AO 2DO 2AO • DO q2 - p2
第19章 矩形、菱形与正方形
19.2.2 菱形的判定
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4.对角线互相垂直且平分的四边形是（C ） 对角线互相垂直且平分的四边形是（ 对角线互相垂直且平分的四边形是 A.矩形 B.一般的平行四边形 矩形 一般的平行四边形 C.菱形 D.以上都不对 菱形 以上都不对 5.下列条件中，不能判定四边形ABCD为菱形的是（C） 下列条件中，不能判定四边形 为菱形的是（ 下列条件中 为菱形的是 A.AC⊥BD,AC与BD互相平分 ⊥ 与 互相平分 B.AB=BC=CD=DA C.AB=BC,AD=CD,且AC⊥BD 且 ⊥ D.AB=CD,AD=BC,AC⊥BD ⊥
2.如图，矩形ABCD的对角线相交于点 如图，矩形 如图 的对角线相交于点 O，DE∥AC,CE ∥BD. ， ∥ 求证：四边形OCED是菱形 求证：四边形 是菱形
A O B C D E
3.如图，△ABC中，AC的垂直平分线 如图， 的垂直平分线MN 如图 中 的垂直平分线 于点D， 于点O， ∥ 交 交AB于点 ，交AC于点 ，CE∥AB交MN 于点 于点 于点E，连接AE、CD. 于点 ，连接 、 求证：四边形ADCE是菱形 求证：四边形 是菱形 A
1.判断下列说法是否正确？为什么？ 判断下列说法是否正确？为什么？ 判断下列说法是否正确 (1)对角线互相垂直的四边形是菱形； ╳ 对角线互相垂直的四边形是菱形； 对角线互相垂直的四边形是菱形 (2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形； 对角线互相垂直平分的四边形是菱形； 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 √ (3)对角线互相垂直，且有一组邻边相等 对角线互相垂直， 对角线互相垂直 的四边形是菱形； 的四边形是菱形； (4)两条邻边相等，且一条对角线平分一 两条邻边相等， 两条邻边相等 组对角的四边形是菱形． 组对角的四边形是菱形．
思考:
请你动脑筋
把两张等宽的纸条交叉重叠在一起， 把两张等宽的纸条交叉重叠在一起，你 能判断重叠部分ABCD的形状吗？ 的形状吗？ 能判断重叠部分 的形状吗
A D B C
A
D
F
B
E
C
小结： 小结：
菱形的判定方法： 菱形的判定方法：
四条边相等
四边形 菱形
平行四边形
习题巩固： 习题巩固：
1.如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC 如图， 是 的角平分线， ∥ 如图 的角平分线 于点E,DF∥AB交AC于点 试问四边 于点F.试问四边 交AB于点 于点 ∥ 交 于点 形AEDF是菱形吗？说明你的理由。 A 是菱形吗？说明你的理由。 是菱形吗
D
C
已知如图， 是的角平分线 是的角平分线， 已知如图，AD是的角平分线，DE∥AC，DF∥AB. 证明：四边形AEDF是菱形。 是菱形。 证明：四边形 是菱形 对于这道，小林是这样证明的。 对于这道，小林是这样证明的。 证明： 平分， 证明：∵AD平分，∴∠1＝∠2, 平分 ∵DE∥AC，∴∠2＝∠3 ， ∵DF∥AB，∴∠1＝∠4 又有AD=AD,∴△AED≌△AFD. 又有 ∴ ≌ 四边形AEDF是菱形 是菱形. ∴AE＝AF,DE=DF. ∴四边形 是菱形 老师说小林的解题过程有错误，你能看出来吗？ 老师说小林的解题过程有错误，你能看出来吗？ 请你帮小林指出他的错误是什么？（ ？（先在解 ⑴请你帮小林指出他的错误是什么？（先在解 答过程中划出来，再说明他错误的原因） 答过程中划出来，再说明他错误的原因） 请你帮小林做出正确的解答。 ⑵请你帮小林做出正确的解答。
四边形AEDF是菱形 是菱形 四边形 理由：∵DE ∥AC DF∥AB 理由： ∥ 四边形AEDF是平行四边形 ∴四边形 是平行四边形 ∵ DE ∥AC B ∴∠2= ∴∠ ∠3 ∵ AD是△ABC的角平分线 是 的角平分线 ∴ ∠1= ∠2 ∴AE=DE ∴ □ AEDF是菱形 是菱形
E
3 12
F
M
D
O
E N
B
C
如图， △ 如图，Rt△ABC中，∠ACB=900， 中 垂直平分BC，垂足为D， ∠BAC=600，DE垂直平分 ，垂足为 ， 垂直平分 的延长线上， 交AB于E，又点 在DE的延长线上，且 于 ，又点F在 的延长线上 AF=CE，求证：四边形 是菱形。 ，求证：四边形ACEF是菱形。 是菱形
（4）若∠BAO=∠DAO，则□ABCD是 菱 形。 BAO=∠DAO， ABCD是
D O A B C
3.下列命题中正确的是（C） 下列命题中正确的是（ 下列命题中正确的是
A.一组邻边相等的四边形是菱形 一组邻边相等的四边形是菱形 B.三条边相等的四边形是菱形 三条边相等的四边形是菱形 C.四条边相等的四边形是菱形 四条边相等的四边形是菱形 D.四个角相等的四边形是菱形 四个角相等的四边形是菱形
欢 迎
复习与回顾： 复习与回顾：
想一想： 想一想： 1.菱形、矩形的定义？ 菱形、矩形的定义？ 菱形 2.它们分别比平行四边形多了哪些 它们分别比平行四边形多了哪些 性质？ 性质？ 3.怎样判定一个四边形是矩形？ 怎样判定一个四边形是矩形？ 怎样判定一个四边形是矩形
矩形与菱形
矩形 定义
性 质 有一角是直角的平行 有一角是直角的平行 直角 四边形叫做矩形. 四边形叫做矩形.
有四条边相等的四边形是菱形。 有四条边相等的四边形是菱形。 ∵在四边形ABCD中, 在四边形ABCD中 ABCD AB=BC=CD=DA
B C A O D
∴四边形ABCD是菱形. 四边形ABCD是菱形. ABCD是菱形
归纳
菱形常用的判定方法： 菱形常用的判定方法：
1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形 有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 对角线互相垂直 是菱形 3.有四条边相等的四边形是菱形. 有四条边相等的四边形是菱形 四边形是菱形
如图， 的两条对角线AC、 如图， ABCD的两条对角线 、BD 的两条对角线 相交于点O， 相交于点 ，AB= 5 ，AC=8，DB=6 ， 求证:四边形 四边形ABCD是菱形 是菱形. 求证 四边形 是菱形 ） 四边形ABCD是平行四边形 是平行四边形 证明: 证明 （1）∵ 四边形 ∴OA=OC=4 (平行四边形的对角线互相平分) (平行四边形的对角线互相平分 平行四边形的对角线互相平分) OB=OD=3 D ∵ AB=5 ∴ AB2 = OA2 + OB2 A C ∴ ∠AOB= 900 O ∴AC⊥BD ⊥ B 四边形ABCD是平行四边形 ∵ 四边形 是平行四边形 四边形ABCD是菱形 (对角线互相垂直的平行 是菱形. 对角线互相垂直的 ∴四边形 是菱形 对角线互相垂直 四边形是菱形 是菱形). 四边形是菱形).
B E D F
C
A
如下图在△ 如下图在△ABC中，∠BAC＝90°， 中 ＝ ° AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于G， 平分∠ ⊥ 于 ， 平分 ， 于 ， 交AB于C，EF⊥BC于F，四边形 于 ， ⊥ 于 ，四边形AEFG是菱 是菱 形吗? 形吗
习题巩固： 习题巩固：
2.如图，已知在□ABCD中，AD=2AB， 2.如图， ABCD中 AD=2AB， 如图 在直线AB AB上 AE=AB=BF， E、F在直线AB上，且AE=AB=BF， 证明:CE⊥DF. 证明:CE⊥DF.
根据定义得： 根据定义得： 一组邻边相等的平行四边形是菱形. 邻边相等的平行四边形是菱形 一组邻边相等的平行四边形是菱形. Q 在 ABCD中, AB = AD
∴ ABCD是菱形.
B C
D
还有什么方法吗? 还有什么方法吗
探究一
用一长一短两根细木条,在它们的中点处 用一长一短两根细木条 在它们的中点处 固定一个小钉,做成一个可以转动的十字 做成一个可以转动的十字,四周 固定一个小钉 做成一个可以转动的十字 四周 围上一根橡皮筋,做成一个四边形 转动木条,这 做成一个四边形.转动木条 围上一根橡皮筋 做成一个四边形 转动木条 这 个四边形什么时候变成菱形? 个四边形什么时候变成菱形
探究二
先画两条等长的线段AB、AD，然后分别以B 先画两条等长的线段AB、AD，然后分别以B、 AB 为圆心，AB为半径画弧 得到两弧的交点C 为半径画弧， D为圆心，AB为半径画弧，得到两弧的交点C， 连接BC CD，就得到了一个四边形，猜一猜， BC、 连接BC、CD，就得到了一个四边形，猜一猜， 这是什么四边形？ 这是什么四边形？ 你根据什么方法能判定是菱形吗？ 你根据什么方法能判定是菱形吗？
菱形
有一组邻边相等的平行四 有一组邻边相等的平行四 邻边相等 边形叫做菱形. 边形叫做菱形. 四 边 平 相等 一组 角
平行四边形的性质 边 角 角 判 定 四 角 相等
有一角是直角的平行四边形 角 相等的平行四边形
是直角 相 直
角 是直角的四边形
教者： 教者：王井昌
想一想
同学们想一想， 同学们想一想，我们在学习平行四 边形的判定和矩形的判定时， 边形的判定和矩形的判定时，我 们首先想到的第一种方法是什么？ 们首先想到的第一种方法是什么？ 那么类比着它们， 那么类比着它们，菱形的第一种 A 判定方法是什么？ 判定方法是什么？
D M C N F
E
A
B
猜想： 猜想：
对角线互相垂直的 平行四边形是菱形. 平行四边形是菱形
对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 对角线互相垂直的平行பைடு நூலகம்边形是菱形
已知： 已知：在 求证： 求证： ABCD 中，AC ⊥ BD ABCD 是菱形 B O C D A
证明： 四边形ABCD是 证明： ∵四边形 是
平行四边形 ∴OA=OC 又∵ AC ⊥ BD; ∴BA=BC ∴ ABCD是菱形 是菱形
╳
╳
2.□ABCD的对角线AC与BD相交于点O， 的对角线AC 相交于点O 2.□ABCD的对角线AC与BD相交于点 AB=AD， ABCD是 （1）若AB=AD，则□ABCD是 菱 形；