直线的参数方程(最全)
选修4-4 第五节几种常见的参数方程
x＝1＋2cos t， (0≤t≤π)，把它化为普通 y＝－2＋2sin t
方程，并判断该曲线表示什么图形．
所求的曲线的参数方程为 (x－1)2＋(y＋2)2＝4(－2≤y≤0)． 这是一个半圆，其圆心为(1，－2)，半径为 2.
例2
已知圆的普通方程为
x2＋y2＋2x－6y＋9＝0， 将它化为参
轴上，所以椭圆的标准方程为 ＋ ＝1， 25 16 x＝4cos θ ， 故参数方程为 (θ 为参数)． y＝5sin θ
y2
x2
（x－1）2 （y＋2）2 1． 写出圆锥曲线 ＋ ＝1 的 3 5
例1
x＝5＋3t， 设直线的参数方程为 y＝10－4t.
(1)求直线的普通方程； (2)化参数方程为标准形式．
解析：(1) 4x＋3y－50＝0.
3 4 4 k tan (2) 3 cos α ＝－ ，sin α ＝ . 5 5 3 x＝5－ u， 5 则参数方程的标准形式为： 4 y＝10＋ u. 5
例 3 已知直线 l 的方程为 3x－4y＋1＝0，点 P(1，1)在 直线 l 上，写出直线 l 的参数方程，并求点 P 到点 M(5，4)和 点 N(－2，6)的距离．
3 解析：由直线方程 3x－4y＋1＝0 可知，直线的斜率为 ，设直线的 4 3 3 4 则 tan α ＝ ，sin α ＝ ，cos α ＝ . 4 5 5
制作人：葛海泉
课前预习
1.பைடு நூலகம்线的参数方程
x＝x0＋tcosα ， 1． 经过点 M0(x0， y0)， 倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程为 y＝y0＋tsinα
(t 为参数)．
t0
直线的参数方程及应用
直线的参数方程及应用直线的参数方程及应用直线参数方程的标准式过点P(x,y)，倾斜角为α的直线l的参数方程是x = x + tcosαy = y + tsinα其中t为参数，表示有向线段PP的数量，P(x,y)为直线上的任意一点。
直线l上的点与对应的参数t是一一对应关系。
若P1、P2是直线上两点，所对应的参数分别为t1、t2，则P1P2 = t2 - t1，|P1P2| = |t2 - t1|。
若P1、P2、P3是直线上的点，所对应的参数分别为t1、t2、t3，则P1P2中点P3的参数为t3 = (t1 + t2)/2，|PP3| = |(t1 + t2)/2|。
若P为P1P2的中点，则t1 + t2 = 0，t1·t2 < 0.直线参数方程的一般式过点P(xb,y)，斜率为k = a的直线的参数方程是x = x + aty = y + bt其中t为参数，表示有向线段PP的数量，P(xb,y)为直线上的任意一点。
直线的参数方程给定点P(xl,y)，倾斜角为α，求经过该点的直线l的参数方程。
直线l的参数方程为x = x + tcosαy = y + tsinα其中t为参数，表示有向线段PP的数量，P(xl,y)为直线上的任意一点。
特别地，若直线l的倾斜角α = 90°，直线l的参数方程为x = x + ty = y其中t为参数，表示有向线段PP的数量，P(xl,y)为直线上的任意一点。
2、直线的参数方程与标准形式如果直线的方向已知，那么可以使用参数方程来表示直线。
对于倾斜角为 $\alpha$，过点 $M(x,y)$ 的直线 $l$，其参数方程一般式为：begin{cases}x=x_M+t\cos\alpha \\y=y_M+t\sin\alphaend{cases}其中 $t$ 是参数，表示从点 $M$ 沿着直线 $l$ 方向前进的距离。
如果要将参数方程转化为标准形式，可以通过以下步骤：1.消去参数 $t$，得到 $y-y_M=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}(x-x_M)$。
直线的参数方程
直线的参数方程（1）直线的标准参数方程：经过定点，倾斜角为的直线的参数方程为：（为参数）；性质：（2）直线的一般参数方程：过定点，且其斜率为的直线的参数方程为： 性质：（为参数，为为常数，）例1.把y=2x+3化为参数方程。
变式：直线l 的方程：1sin 252cos 25x t y t ì=-ïí=+ïî（t 为参数），那么直线l 的倾斜角( ) A 65° B 25° C 155° D 115°例2. 已知直线l：15x t y ì=+ïíï=-î (t 为参数)与直线m：0x y --=交于P 点， 求点M(1,－5)到点P 的距离.例3：已知直线L过点M（1，1），且倾斜角的余弦值为35，L与圆229x y+=交与A，B，且AB中点为C（1）求L的参数方程（2）求中点C所对应的参数t及C点坐标（3）求|CM|（4）求|AM|（5）求|AB|（6）求|MA|+|MB|（7）求|MA||MB|二、根据t的式子求解1．在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），直线经过点，倾斜角．（Ⅰ）写出圆的标准方程和直线的参数方程；（Ⅱ）设与圆相交于、两点，求的值．2．在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为（为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=2sinθ．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）设圆C与直线交于点．若点的坐标为（3，），求．3．在直角坐标系中，以原点为极点，以轴正半轴为极轴，圆的极坐标方程为（Ⅰ）将圆的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）过点作斜率为1直线与圆交于两点，试求的值．4．在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线，过点的直线的参数方程为 （为参数），与分别交于． （Ⅰ）写出的平面直角坐标系方程和的普通方程； （Ⅱ）若成等比数列，求的值．5．已知圆锥曲线（为参数）和定点，、是此圆锥曲线的左、右焦点，以原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线的直角坐标方程； （2）经过点且与直线垂直的直线交此圆锥曲线于、两点，求的值．6.在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(+6)+=25x y .（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的参数方程是（t 为参数），l 与C 交于A ，B 两点，AB =求l 的斜率.圆的参数方程已知圆心为，半径为的圆的参数方程为：（是参数，）；1.在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos r q =，0,2p q 轾Î犏臌. （Ⅰ）求C 的参数方程；（Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.椭圆的参数方程椭圆（）的参数方程（为参数）。
直线的参数方程(最全)
则 t 的几何意义：t=M0M
t>0
M 在 M0 的上方
t=0 M 与 M0 重合
t<0
M 在 M0 的下方
非标准形式 一般说来，t 不具有上述 几何意义
x x0 at
y
y0
bt
(t 为参数)
表示过定点（x0，y0），斜率
为 b 的直线的参数方程
a
例1
已知直线 L 过点 M0（4，0），倾为
(t为参数）
b （ a2 b2 t）
a2 b2
设: a = cos; b sin; a2 b2t t,则
a2 b2
a2 b2
x y
x0 y0
tcos（t为参数） tsin
当b 0时，t有上述的几何意义。
基础训练
1
直线
x y
2t 1
sin 200 t cos 200
直线的参数方程
2020/7/4
请同学们回忆:
直线的普通方程都有哪些?
点斜式: y y0 k(x x0) y kx b
两点式: y y1 x x1
y2 y1 x2 x1
x y 1 ab
一般式: Ax By C 0
法线式： Ax By C 0 （直线l的法向量（A,B））
t cos t sin
（t为参数）
思考
由M0M te,你能得到直线l的参数方程中
参数t的几何意义吗？
解: M0M te M0M te
y M
又 e是单位向量， e 1
M0M t e t
M0
所以,直线参数方程中
参数t的绝对值等于直
线上动点M到定点M0的 距离. |t|=|M0M|
直线的参数方程标准式
直线的参数方程标准式直线是几何学中最基本的概念，它是空间中所有点组成的连续一维线段，可以用参数方程表示。
什么是参数方程标准式?数方程标准式是用数学公式来表示空间直线的形状和特征，它是由平面直角坐标系上任意两点确定的，具有特定形状和方向。
以二维直角坐标系为例，参数方程标准式用如下公式表示：直线方程为 y=kx+b 其中，k 为斜率，b 为截距，结合两个坐标点的坐标值，就可以求出 k b值，当给定三点的坐标时，可以利用克莱姆法，把原始的三点坐标转换为两个一元二次方程，求解得到斜率 k截距b 。
如果以三维直角坐标系为例，参数方程标准式用如下公式表示：直线方程为 z=ax+by+c，其中， a单位向量 $vec{i}$系数，b单位向量 $vec{j}$系数，c截距，它们可以由三维坐标系下三点确定。
例如，如果有三点 $(x_1, y_1, z_1)$，$(x_2, y_2, z_2)$ $(x_3, y_3, z_3)$，那么可以使用下面的克莱姆法求出 a，b，c:$$begin{aligned}&vec{i}=(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)&vec{j}=(x_3-x_1,y_3-y_1,z_3-z_1)&vec{k}=vec{i}timesvec{j}&(a,b,c)=vec{k}/|vec{k}|end{aligned}$$根据以上参数方程标准式，当有任意两点或三点坐标值时，就可以求出直线上任意一点的坐标。
直线的参数方程标准式在几何学中有着重要的应用，可以帮助我们求解直线的各种性质，比如直线和其他特征的位置关系，如两直线的相交、平行和垂直等；可以用一阶和二阶微分求解直线的切线方程，可以用它绘制直线图，求解几何特征，如弧长、斜率等。
另外，参数方程标准式也可以用于求解非线性方程，此时可将非线性方程转换为一阶或二阶参数方程，然后根据参数方程标准式对参数进行求解。
直线的标准参数方程
直线的标准参数方程直线是平面几何中的基本图形之一，它具有许多重要的性质和应用。
在直角坐标系中，直线的方程有多种表示形式，其中标准参数方程是一种常用的形式。
本文将介绍直线的标准参数方程的定义、推导方法和应用示例。
一、定义。
直线的标准参数方程是指用参数形式表示直线的方程。
设直线L上有一点P(x, y)，则点P到直线L上某一固定点A的距离与点P到直线L的方向垂直的距离成比例。
这里引入参数t，点P的坐标可以表示为x=x0+mt，y=y0+nt，其中m和n是常数，称为参数。
二、推导方法。
1. 已知直线上的两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，求直线的标准参数方程。
设直线上任一点P(x, y)，则向量AP=(x-x1, y-y1)，向量AB=(x2-x1, y2-y1)。
由于向量AP与向量AB垂直，根据向量的垂直条件可得(x-x1, y-y1)·(x2-x1, y2-y1)=0，展开得到(x-x1)(x2-x1)+(y-y1)(y2-y1)=0，整理可得直线的标准参数方程。
2. 已知直线的斜率k和截距b，求直线的标准参数方程。
直线的斜率k定义为k=(y2-y1)/(x2-x1)，截距b定义为y=kx+b。
将y=kx+b代入直线方程中，整理可得x=(x1-kt)/(1-k)，y=(y1-kt)/(1-k)，即为直线的标准参数方程。
三、应用示例。
1. 求直线通过两点A(1, 2)和B(3, 4)的标准参数方程。
根据推导方法1，代入已知点的坐标得到(x-1)(3-1)+(y-2)(4-2)=0，整理得到直线的标准参数方程。
2. 求直线的斜率为2，截距为3的标准参数方程。
根据推导方法2，代入已知斜率和截距得到x=(1-2t)/(1-2)，y=(2-2t)/(1-2)，即为直线的标准参数方程。
综上所述，直线的标准参数方程是一种常用的表示形式，通过已知直线上的点或斜率和截距可以求得直线的标准参数方程。
在实际问题中，标准参数方程可以方便地描述直线的性质和运动规律，具有重要的应用价值。
直线的参数方程
3
直线参数方程可以用于解决一些与直线相关的 解析几何问题，如交点、距离等。
在物理中的应用
在力学中，直线参数方程可以用于描述物体的运 动轨迹。
在电磁学中，直线参数方程可以用于描述电流和 电压的关系。
在光学中，直线参数方程可以用于描述光的传播 路径。
在计算机图形学中的应用
在计算机图形学中 ，直线参数方程可 以用于绘制直线和 曲线。
在计算机图形学中，直线的参数方程可以用来描述物体的形状和轮廓。例如，在 绘制一条直线时，可以使用直线的参数方程来表示。这种方程形式可以方便地表 示出直线的方向和位置，并且可以方便地进行绘制和控制。
直线参数方程与三维建模
在三维建模中，直线的参数方程可以用来描述物体的表面和边缘。例如，在创建 一个立方体或球体时，可以使用直线的参数方程来表示。这种方程形式可以方便 地表示出物体的形状和轮廓，并且可以方便地进行修改和控制。
THANK YOU.
用点斜式推导直线参数方程
总结词
利用点斜式的直线方程，推导出直线参数方程的表达式 。
详细描述
已知直线通过点 $P_{1}(x_{1}, y_{1})$ 和斜率为 $k$， 则直线的点斜式方程为 $y - y_{1} = k(x - x_{1})$。为 了将其转化为参数方程形式，引入参数 $t$ 并令 $y y_{1} = t$，则 $x = x_{1} + \frac{t}{k}$
直线参数方程的特殊形式包括
当 θ = π/2 时，直线垂直于 y 轴 ，t 为任意实数；
直线参数方程的性质还包括：通 过改变 t 的值可以得到直线上不 同的点，t 的取值范围为全体实数 。
02
直线参数方程的应用
在解析几何中的应用
直线的参数方程(最全)
a2 b2
(t为参数）
b （ a2 b2t）
a2 b2
设: a = cos; b sin; a2 b2t t,则
a2 b2
a2 b2
x y
x0 y0
t cos tsin
（t为参数）
当b 0时，t有上述的几何意义。
8/16/2021
基础训练
1
直线
x y
2t 1
sin 200 t cos 200
k y2 y1 tan
8/16/2021
x2 x1
问题：已知一条直线过点M0(x0,y0 )，倾斜角，
求这条直线的方程.
解: 直线要的注普通意方: 程为y
把进它一x变步0数, y成整0,ty都理才数，是是y0得常参：csyoinsy0(
y0 tan x x0 ) x x0
(
x
x0
M 在 M0 的下方
非标准形式 一般说来，t 不具有上述 几何意义
x x0 at
y
y0
bt
(t 为参数)
表示过定点（x0，y0），斜率
为 b 的直线的参数方程
a
8/16/2021
例1
已知直线 L 过点 M0（4，0），倾为
6
(1)求直线 L 的参数方程
(2)若 L 上一点 M 满足M0M=2，求 M 的坐标 (3)若 L 与直线 y=x + 4 3 交与点 M，求M0M
当a、b满足什么条件，
可使t有上述的几何意义？
8/16/2021
重要结论:
直线的参数方程可以写成这样的形式:
x y
x0 y0
at bt
(t为参数）
当a 2 b2 1且b 0时，t=M 0M
浅谈直线的参数方程及其应用
浅谈直线的参数方程及其应用直线是平面上最简单和基本的几何图形之一，其参数方程是直线方程的一种表示方法。
直线的参数方程的一般形式为:x = x0 + aty = y0 + bt其中(x0,y0)是直线上一点的坐标，a和b是与直线方向有关的常数，而t是一个自变量。
这种表示方法的优势在于可以方便地描述直线上的所有点，而不仅仅是端点。
在直线的参数方程中，t的取值范围可以是实数集合中的任意一个数字，因而可以由t的变化来确定了直线上的所有点。
例如，当t取值为0时，参数方程中的x和y分别等于(x0,y0)，即直线上的一点；当t取值为1时，参数方程中的x和y分别等于(x0+a,y0+b)，即直线上的另一个点。
直线的参数方程有广泛的应用，下面我们来介绍其中的几个重要应用。
1.直线的插值和曲线绘制:直线的参数方程可以方便地实现直线的插值和曲线绘制。
通过选取不同的a和b值，可以确定直线上的一系列点，从而连接这些点可以得到平滑的曲线。
2.直线的运动轨迹:在物理学和运动学中，许多物体的运动轨迹可以用直线的参数方程来表示。
通过设定不同的初始位置和速度，可以得到物体在不同时刻的位置，从而得到物体的运动轨迹。
3.直线的几何关系:直线的参数方程可以方便地用来研究直线之间的几何关系。
通过比较直线的参数方程的系数a和b，可以得到它们的斜率和截距，从而判断直线是否平行或垂直，以及它们的相对位置。
4.直线的交点和相交角:直线的参数方程也可以用来求解直线的交点和计算直线的相交角。
通过将两条直线的参数方程联立方程组，可以求解得到它们的交点坐标。
而通过计算直线参数方程中斜率的差值，我们可以得到直线的相交角。
5.直线的最小二乘法拟合:最小二乘法是一种常用的数学方法，用于拟合一组散点数据。
直线的参数方程可以用来构建最小二乘法拟合的模型，通过调整参数a和b的值，可以找到最佳拟合直线，从而可以预测和估计其他点的位置。
总之，直线的参数方程在几何学、物理学、运动学等领域中都有广泛的应用。
直线的参数方程怎么写
直线的参数方程怎么写直线是几何学中最基础的图形之一，它由无数个点组成，且这些点都在同一条直线上。
直线的方程是用来表示直线上的所有点的数学表达式。
在解析几何中，我们通常使用直线的一般方程、斜截式、点斜式和参数方程来描述和研究直线的性质。
本文将着重介绍直线的参数方程的基本概念和应用。
一、直线的一般定义直线是由无数个点组成的无穷集合，它是经过两个不同点的最短路径。
直线还有一些重要的性质，如无宽度、无曲率和无限延伸等。
二、直线的一般方程直线的一般方程通常表示为Ax + By + C = 0，其中A、B和C是实数常数，且A和B不同时为0。
一般方程是直线的一种常用形式，它可以描述直线上的所有点。
然而，一般方程不够直观，不能直接得到直线的斜率和截距等重要信息。
三、直线的斜截式直线的斜截式是直线的另一种常见表达形式，它是以直线与y轴的交点和直线的斜率来表示的。
斜截式的一般形式是y = mx + b，其中m是直线的斜率，b是直线与y轴的交点的纵坐标。
斜截式可以更直观地反映直线的性质，如斜率和截距等。
四、直线的点斜式直线的点斜式是一种更加灵活和简洁的表达方式，它是以直线上的一个已知点和直线的斜率来表示的。
点斜式的一般形式是y - y₁ = m(x - x₁)，其中(x₁, y₁)是直线上的已知点，m是直线的斜率。
点斜式可以直接得到直线的方程，且适用于非垂直于坐标轴的直线。
五、直线的参数方程直线的参数方程是一种用参数表示直线上的点的表达形式。
参数方程的一般形式是x = x₁ + at，y= y₁ + bt，其中(x₁, y₁)是直线上的一个已知点，a和b是参数，t是参数的取值范围。
参数方程实际上是将直线上的每一个点转化成了一个参数化的形式，可以方便地进行计算和描述。
直线的参数方程可以通过以下步骤来确定：1. 选择任意两个不同的点来确定直线的斜率。
2. 使用斜率和一个已知点来确定直线的点斜式方程。
3. 将点斜式方程转化成参数方程形式。
直线的参数方程
t t ( t t ) 4t t
' 1 ' 2 ' 1 ' 2 2 ' ' 1 2
4 17
.
练习
2.动点M作匀速直线运动,它在x轴和y轴方向的 分速度分别是3m/s和4m/s,直角坐标系的长 度单位是1cm,点M的起始位置在点M0(2,1)处, 求点M的轨迹的参数方程.
y
B
A M（x，y）
0
(t是参数）
M0（x0，y0）
0
O
x •t表示有向线段M0P的数量。|t|=| M0M|
若M 0为中点, t 0 t1＋t 2 0
•t只有在标准式中才有上述几何意义 设A,B为直线上任意两点，它们所对应的参 数值分别为t1,t2. （1）|AB|＝ t1 t 2
直线的参数方程
直线的参数方程(标准式）
x x 0 t cos 直线的参数方程 ( t为参数) y y 0 t sin
其中(x 0 , y0 )时直线上的定点, 是倾斜角; 其对应的 普通方程为y y0 k ( x x0 )或x x0。 t表示几何意义： M（ （x, y )(不同于点M 0）的 0 x0 , y0 )到直线上的点M 有向线段M 0 P的数量.
（2）M是AB的中点，求M对应的参数
t1 t 2 2
1 x 1 t 2 5.一条直线的参数方程是 (t为参数）， y 5 3 t 2 另一条直线的方程是x-y-2 3 0, 则两直线的交点 与点（1，-5）间的距离是
4 3
6.动点M作等速直线运动,它在x轴和y轴方向分 速度分别为9,12,运动开始时,点M位于A(1,1), 求点M的轨迹的参数方程. x 1 9t (t为参数） y 1 12t
参数方程最全版
参数方程1.直线的参数方程(1)标准式 过点Po(x 0,y 0)，倾斜角为α的直线l(如图)的参数方程是(t 为参数) (2)一般式 ：过定点P 0(x 0,y 0)斜率k=tg α=的直线的参数方程是 (t 不参数) 2.圆的参数方程圆心在(a,b)，半径为r 的圆的参数方程是(φ是参数)a,b 是圆的圆心坐标，半径为r 的圆，标准方程为：3.椭圆椭圆(a ＞b ＞0)的参数方程是(φ为参数)得出圆的方程4.极坐标互化公式常用的公式：sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.⎩⎨⎧+=+=a t y y at x x sin cos 00ab⎩⎨⎧+=+=bt y y atx x 00⎩⎨⎧+=+=ϕϕsin cos r b y r a x ()()222r b y a x =-+-12222=+by a x ⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x 12222=+by a x ⎩⎨⎧=='sin cos θρθρy x ⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=)0(222x x ytg y x θρcos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β.1、已知直线的参数方程为，圆C 的参数方程为． (1)求直线和圆C 的普通方程； (2)若直线与圆C 有公共点，求实数的取值范围．2.. 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，直线l 与抛物线y2＝4x 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．3在平面直角坐标系xOy 中, 直线的参数方程为(t 为参数),曲线C 的参数方程为 (为参数).试求直线和曲线C 的普通方程, 并求出它们的公共点的坐标.4.在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点A 的极坐标为，直线的极坐标方程为，且点A 在直线上。
直线的参数方程
8 由根与系数的关系，t′1＋t′2＝－ ， 5 t′1· t′2＝－4. 根据参数 t′的几何意义． 12 5 |t′1－t2′|＝ t′1＋t′2 －4t′1t′2＝ 5 . 12 5 故直线被圆截得的弦长为 5 .
x x0 at (t为参数） y y0 bt
a 2 2 x x ( a b t) 0 2 2 a b b y y0 ( a 2 b 2 t) 2 2 a b
x 1 t y 3 3 t
1 2 2 x 1 ( 1 ( 3 ) t) 2 2 1 ( 3) 3 y 3 ( 12 ( 3 ) 2 t ) 2 2 1 ( 3 )
【自主解答】
x＝1＋2t， 将参数方程 y＝2＋t
(t 为参数)转化
为直线参数方程的标准形式为 x＝1＋ y＝2＋ 2 t′， 5 1 t′ 5
(t′为参数)
代入圆方程 x2＋y2＝9， 2 1 2 得(1＋ t′) ＋(2＋ t′)2＝9， 5 5 整理，有 5t′2＋8t′－4 5＝0.
(θ 为参数)交于 A，
B 两点，求|PA|· |PB|. 【解】 (1)直线 l 的参数方程为
5 3 x＝－3＋tcos6π＝－3－ 2 t， y＝3＋t sin5π＝3＋ t . 6 2
(t 为参数)
(2)把曲线 C 的参数方程中参数 θ 消去，得 4x2＋y2－16 ＝0. 把直线 l 的参数方程代入曲线 C 的普通方程中，得 3 2 1 2 4(－3－ t) ＋(3＋ t) －16＝0. 2 2 即 13t2＋4(3＋12 3)t＋116＝0. 由 t 的几何意义，知 |PA |· |PB |＝|t1· t2|， 116 故|PA |· |PB |＝ |t1· t2|＝ 13 .
直线的参数方程1-2(2014更新)
例2的解法对一般圆锥曲线适用吗？ 把“中点”改为“三等分点”，直 线l的方程怎样求？
若点M 是线段M1M 2的三等分点，则
t1 2t 2 t 0 3
M 为定点M 0 , 则t1 2t2 0。代入可求出t1，t2 －8 1 由t1t2＝ , 可得K＝ 2 2 3sin 1
3 变式：经过点M（2，1）作斜率为 4直
2 2
由r的几何意义知MA t1 , MB t 2 ,因为点 M在椭圆内，这个方程必 有两个实根，所以 4(cos 2 sin ) t1 t 2 2 3 sin 1
t1 t 2 因为点M为线段AB的中点，所以 0,即 2 cos 2 sin 0, 于是直线l的斜率为 1 k tan ，因此直线l的方程为 2 1 y 1 ( x 2)即x 2 y 4 0 2
求这条直线的方程. 解: 在直线上任取一点M(x,y),则 （x, y) ( x0 y0 ) ( x x0 , y y0 ) M0M y 设e是直线l的单位方向向量，则 M(x,y) e (cos ,sin ) 因为M 0 M // e, 所以存在实数t R, M0(x0,y0) 使M 0 M te,即 ( x x0 , y y0 ) t (cos ,sin ) e x x0 t cos , y y0 t sin 所以 即，x x0 t cos , y y0 t sin (cos ,sin ) 所以，该直线的参数方程为 O
(1) M 1 M 2 t1 t2 x1 x2 t1 t2 t1 t2 (2) x x0 cos , t 2 2 2
x=x0 t cos 1.直线 (t为参数）上有参数分别 y y0 t sin a 为t1和t2对应的两点A和B,则A,B两点的距离为
直线的参数方程
直线的参数方程1．直线的参数方程经过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．2．直线的参数方程中参数t 的几何意义(1)参数t 的绝对值表示参数t 所对应的点M 到定点M 0的距离．(2)当M 0M →与e (直线的单位方向向量)同向时，t 取正数．当M 0M →与e 反向时，t 取负数，当M 与M 0重合时，t ＝0．3．直线参数方程的其他形式对于同一条直线的普通方程，选取的参数不同，会得到不同的参数方程．我们把过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线，选取参数t ＝M 0M 得到的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α(t 为参数)称为直线参数方程的标准形式，此时的参数t 有明确的几何意义．一般地，过点M 0(x 0，y 0)，斜率k ＝ba (a ，b 为常数)的直线，参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at y ＝y 0＋bt (t为参数)，称为直线参数方程的一般形式，此时的参数t 不具有标准式中参数的几何意义．1．已知直线l 的方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t sin 25°，y ＝2＋t cos 25°(t 为参数)，则直线l 的倾斜角为( )A ．65°B ．25°C ．155°D ．115°解析：选D.方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t sin 25°，y ＝2＋t cos 25°(t 为参数)，化为标准形式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos 115°，y ＝2＋t sin 115°(t为参数)，倾斜角为115°.故选D.2．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，则直线l 的斜率为( )A ．1B ．－1 C.22D ．－22解析：选B.直线l 的普通方程为x ＋y －1＝0，斜率为－1.故选B.3．以t 为参数的方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－12t ，y ＝－2＋32t表示( )A ．过点(1，－2)且倾斜角为π3的直线B ．过点(－1，2)且倾斜角为π3的直线C ．过点(1，－2)且倾斜角为2π3的直线D ．过点(－1，2)且倾斜角为2π3的直线解析：选C.化参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－12t ，y ＝－2＋32t (t 为参数)为普通方程得y ＋2＝－3(x －1)．直线过定点(1，－2)，斜率为－3，倾斜角为2π3，故选C.4．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 作倾斜角为π3的弦AB ，则弦AB 的长是________．解析：由已知焦点F (1，0)，又倾斜角为π3，cos π3＝12，sin π3＝32.所以弦AB 所在直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t (t 为参数)，代入抛物线的方程y 2＝4x ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫32t 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12t .整理得3t 2－8t －16＝0.设方程两根分别为t 1，t 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝83，t 1·t 2＝－163.由参数t 的几何意义得|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫832＋643＝163.答案：163根据直线的参数方程求直线的倾斜角、斜率已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t sin αy ＝－2＋t cos α，(t 为参数)，其中实数α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π.求直线l 的倾斜角． [解] 设直线l 的倾斜角为θ，则由题意知tan θ＝cos αsin α＝1tan α＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α，所以θ＝3π2－α.所以直线l 的倾斜角为3π2－α.由直线的参数方程求倾斜角与斜率的方法已知直线l 的参数方程(1)若是标准式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，则可直接得出倾斜角即方程中的α，否则需化成标准式再求α.(2)若是一般式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at y ＝y 0＋bt ，则当a ≠0时，斜率k ＝b a ，再由tan α＝ba 及0≤α<π求出α，当a ＝0时，显然直线与x 轴垂直，倾斜角为α＝π2. (3)若是其他形式，则通过消参化成普通方程，再求斜率及倾斜角．1.若直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t y ＝3－32t，(t为参数)，则此直线的斜率为( )A. 3 B ．－ 3 C ．33D ．－33解析：选B.直线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t y ＝3－32t，(t为参数)可化为标准形式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12(－t )y ＝3＋32(－t )，(－t 为参数)． 所以直线的斜率为－ 3.2．若直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－3ty ＝1＋t ，(t 为参数)，求直线的斜率．解：法一：把直线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－3ty ＝1＋t ，消去参数t 得x ＋3y －5＝0， 所以其斜率k ＝－13.法二：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－3t y ＝1＋t ，得⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝－3ty －1＝t ，所以k ＝y －1x －2＝t －3t ＝－13. 直线参数方程中参数几何意义的应用已知过点M (2，－1)的直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－t2，y ＝－1＋t2(t 为参数)，与圆x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点，求|AB |及|AM |·|BM |.[解] l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－22⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2，y ＝－1＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2(t 为参数)．令t ′＝t2，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－22t ′，y ＝－1＋22t ′(t ′为参数)．其中t ′是点M (2，－1)到直线l 上的一点P (x ，y )的有向线段的数量，代入圆的方程x 2＋y 2＝4，化简得t ′2－32t ′＋1＝0.因为Δ>0，可设t 1′，t 2′是方程的两根，由根与系数的关系得t 1′＋t 2′＝32，t 1′t 2′＝1.由参数t ′的几何意义得|MA |＝|t 1′|，|MB |＝|t 2′|，所以|MA |·|MB |＝|t 1′·t 2′|＝1，|AB |＝|t 1′－t 2′|＝(t 1′＋t 2′)2－4t 1′t 2′＝14.(1)在直线参数方程的标准形式下，直线上两点之间的距离可用|t 1－t 2|来求．本题易错的地方是：将题目所给参数方程直接代入圆的方程求解，忽视了参数t 的几何意义．(2)根据直线的参数方程的标准式中t 的几何意义，有如下常用结论： ①直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为t 1，t 2，则弦长l ＝|t 1－t 2|； ②定点M 0是弦M 1M 2的中点⇒t 1＋t 2＝0；③设弦M 1M 2中点为M ，则点M 对应的参数值t M ＝t 1＋t 22(由此可求|M 1M 2|及中点坐标).在极坐标系中，已知圆心C ⎝⎛⎭⎪⎫3，π6，半径r ＝1.(1)求圆的直角坐标方程；(2)若直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋32t ，y ＝12t(t 为参数)与圆交于A ，B 两点，求弦AB 的长．解：(1)由已知得圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫332，32，半径为1，圆的方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －3322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝1，即x 2＋y 2－33x －3y ＋8＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋32t ，y ＝12t (t 为参数)得直线的直角坐标方程x －3y ＋1＝0，圆心到直线的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪332－332＋12＝12，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＋d 2＝1，解得|AB |＝ 3. 直线参数方程的综合应用已知直线l 过定点P (3，2)且与x 轴和y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，求|PA |·|PB |的值为最小时的直线l 的方程．[解] 设直线的倾斜角为α，则它的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)．由A ，B 是坐标轴上的点知y A ＝0，x B ＝0，所以0＝2＋t sin α， 即|PA |＝|t |＝2sin α，0＝3＋t cos α，即|PB |＝|t |＝－3cos α，故|PA |·|PB |＝2sin α·⎝ ⎛⎭⎪⎫－3cos α＝－12sin 2α. 因为90°<α<180°，所以当2α＝270°，即α＝135°时， |PA |·|PB |有最小值．所以直线方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，化为普通方程为x ＋y －5＝0.利用直线的参数方程，可以求一些距离问题，特别是求直线上某一定点与曲线交点距离时使用参数的几何意义更为方便．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－22t ，y ＝5＋22t (t 为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝25sin θ.(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B .若点P 的坐标为(3，5)，求|PA |＋|PB |. 解：(1)由ρ＝25sin θ，得ρ2＝25ρsin θ. 所以x 2＋y 2－25y ＝0，即x 2＋(y －5)2＝5. (2)法一：直线l 的普通方程为y ＝－x ＋3＋5，与圆C ：x 2＋(y －5)2＝5联立，消去y ，得x 2－3x ＋2＝0，解之得⎩⎨⎧x ＝1y ＝2＋5或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1＋ 5.不妨设A (1，2＋5)，B (2，1＋5)． 又点P 的坐标为(3，5)， 故|PA |＋|PB |＝8＋2＝3 2.法二：将l 的参数方程代入x 2＋(y －5)2＝5，得⎝⎛⎭⎪⎫3－22t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22t 2＝5，即t 2－32t ＋4＝0，① 由于Δ＝(32)2－4×4＝2>0. 故可设t 1，t 2是①式的两个实根． 所以t 1＋t 2＝32，且t 1t 2＝4. 所以t 1>0，t 2>0.又直线l 过点P (3，5)，所以由t 的几何意义，得|PA |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝3 2.1．对直线参数方程标准形式中参数t 的理解从参数方程推导的过程中可知参数t 应理解为直线l 上有向线段M 0M →的数量，它的几何意义可以与数轴上点A 的坐标的几何意义作类比，|t |＝|M 0M →|代表有向线段M 0M →的长度．另外，将直线的点斜式方程y －y 0＝k (x －x 0)改写成y －y 0sin α＝x －x 0cos α，其中k ＝tan α，α为直线倾斜角，则t ＝y －y 0sin α＝x －x 0cos α，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α，从中不难看出直线的普通方程(点斜式)与参数方程(标准式)的联系．2．化直线的参数方程一般式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at y ＝y 0＋bt (t 为参数)为标准式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋aty ＝y 0＋bt 变形为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋a a 2＋b 2·a 2＋b 2ty ＝y 0＋b a 2＋b2·a 2＋b 2t，令cos α＝aa 2＋b2，sin α＝b a 2＋b2，t ′＝a 2＋b 2 t ，则可得标准式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t ′cos αy ＝y 0＋t ′sin α(t ′为参数)，其中α为直线的倾斜角，k ＝tan α＝ba 为直线的斜率．1．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos αy ＝－2＋t sin α，(α为参数，0≤α<π)必过点( )A ．(1，－2)B ．(－1，2)C ．(－2，1)D ．(2，－1)解析：选A.由参数方程可知该直线是过定点(1，－2)，倾斜角为α的直线．2．已知直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3ty ＝2－4t ，(t 为参数)与直线l 2：2x －4y ＝5相交于点B ，且点A (1，2)，则|AB |＝________．解析：将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3t y ＝2－4t，代入2x －4y ＝5，得t ＝12，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0.而A (1，2)，得|AB |＝52.答案：523．已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋4ty ＝3t ，(t 为参数)，则直线l与曲线C 相交所截得的弦长为________．解析：曲线C 的直角坐标方程为x2＋y 2＝1，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋4ty ＝3t ，代入x 2＋y 2＝1中得25t 2－8t ＝0，解得t 1＝0，t 2＝825.故直线l 与曲线C 相交所截得的弦长l ＝42＋32·|t 2－t 1|＝5×825＝85. 答案：85[A 基础达标]1．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3ty ＝－1＋t ，(t 为参数)上对应t ＝0，t ＝1两点间的距离是( )A ．1B ．10C ．10D ．2 2解析：选B.将t ＝0，t ＝1代入参数方程可得两点坐标为(2，－1)和(5，0)， 所以d ＝(2－5)2＋(－1－0)2＝10.2．若⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0－3λ，y ＝y 0＋4λ(λ为参数)与⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)表示同一条直线，则λ与t 的关系是( )A ．λ＝5tB ．λ＝－5tC ．t ＝5λD ．t ＝－5λ解析：选C.由x －x 0，得－3λ＝t cos α，由y －y 0，得4λ＝t sin α，消去α的三角函数，得25λ2＝t 2，得t ＝±5λ，借助于直线的斜率，可排除t ＝－5λ，所以t ＝5λ.3．经过点M (1，5)且倾斜角为π3的直线，以定点M 到动点P 的位移t 为参数的参数方程是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝5－32t(t 为参数)B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－12t ，y ＝5＋32t (t 为参数)C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－12t ，y ＝5－32t(t 为参数)D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝5＋32t(t 为参数)解析：选D.该直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos π3，y ＝5＋t sin π3(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝5＋32t(t 为参数)，选D.4．若直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2t ，y ＝－12＋at (t 为参数)与直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－s ，y ＝1＋s (s 为参数)互相垂直，那么a 的值等于( )A ．1B ．－13C ．－23D ．－2解析：选D.直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2t ，y ＝－12＋at (t 为参数)的斜率为y ＋12x ＝－a2，直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－s ，y ＝1＋s (s 为参数)的斜率为y －1x －1＝－1，由两直线垂直得－a2×(－1)＝－1得a ＝－2.故选D. 5．对于参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t cos 30°y ＝2＋t sin 30°和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos 30°y ＝2－t sin 30°，下列结论正确的是( )A ．是倾斜角为30°的两平行直线B ．是倾斜角为150°的两重合直线C ．是两条垂直相交于点(1，2)的直线D ．是两条不垂直相交于点(1，2)的直线 解析：选B.因为参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t cos 30°，y ＝2＋t sin 30°可化为标准形式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos 150°，y ＝2＋t sin 150°，所以其倾斜角为150°.同理，参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos 30°，y ＝2－t sin 30°，可化为标准形式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋(－t )cos 150°，y ＝2＋(－t )sin 150°，所以其倾斜角也为150°.又因为两直线都过点(1，2)，故两直线重合．6．若直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2ty ＝2＋3t ，(t 为参数)与直线4x ＋ky ＝1垂直，则常数k ＝________．解析：由直线的参数方程可得直线的斜率为－32，由题意得直线4x ＋ky ＝1的斜率为－4k ，故－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k ＝－1，解得k ＝－6.答案：－67．已知直线l 的斜率k ＝－1，经过点M 0(2，－1)．点M 在直线上，以M 0M →的数量t 为参数，则直线l 的参数方程为____________．解析：因为直线的斜率为－1， 所以直线的倾斜角α＝135°. 所以cos α＝－22，sin α＝22. 所以直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－22t y ＝－1＋22t ，(t 为参数)．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－22t y ＝－1＋22t ，(t 为参数)8．已知直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t ，y ＝1＋t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＝4⎝⎛⎭⎪⎫ρ>0，3π4<θ<5π4，则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为________．解析：直线l 的普通方程为y ＝x ＋2，曲线C 的直角坐标方程为x 2－y 2＝4(x ≤－2)，故直线l 与曲线C 的交点为(－2，0)，对应极坐标为(2，π)．答案：(2，π)9．已知曲线C ：ρ＝2cos θ，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－t ，y ＝32＋34t ，(t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为45°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值．解：(1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α，(α是参数)．直线l 的普通方程为3x ＋4y －12＝0.(2)曲线C 上任意一点P (1＋cos α，sin α)到l 的距离为d ＝15|3cos α＋4sin α－9|，则|PA |＝d sin 45°＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin(α＋φ)－95，且tan φ＝34. 当sin(α＋φ)＝－1时，|PA |取得最大值1425； 当sin(α＋φ)＝1时，|PA |取得最小值425. 10．(2016·高考全国卷甲)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25.(1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率．解：(1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.|AB |＝|ρ1－ρ2|＝(ρ1＋ρ2)2－4ρ1ρ2＝144cos 2α－44. 由|AB |＝10得cos 2α＝38，tan α＝±153. 所以l 的斜率为153或－153. [B 能力提升]11．在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，则常数a 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 解析：选C.直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a 消去参数t 后得y ＝x －a .椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ消去参数φ后得x 29＋y 24＝1. 又椭圆C 的右顶点为(3，0)，代入y ＝x －a 得a ＝3.12．给出两条直线l 1和l 2，斜率存在且不为0，如果满足斜率互为相反数，且在y 轴上的截距相等，那么直线l 1和l 2叫做“孪生直线”．现在给出4条直线的参数方程如下：l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2t ，y ＝－4－2t (t 为参数)； l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－22t ，y ＝4－22t (t 为参数)； l 3：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝1－t (t 为参数)； l 4：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6＋22t ，y ＝8＋22t (t 为参数)． 其中能构成“孪生直线”的是________．解析：根据条件，两条直线构成“孪生直线”意味着它们的斜率存在且不为0，且互为相反数，且在y 轴上的截距相等，也就是在y 轴上交于同一点．对于本题，首先可以判断出其斜率分别为－1，1，－1，1，斜率互为相反数条件很明显．再判断在y 轴上的截距，令x ＝0得出相应的t 值，代入y 可得只有直线l 3和直线l 4在y 轴上的截距相等，而其斜率又恰好互为相反数，可以构成“孪生直线”．答案：直线l 3和直线l 413．在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：ρsin 2θ＝2a cos θ(a >0)，过点P (－2，－4)的直线l 的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t y ＝－4＋22t ，(t 为参数)，直线l 与曲线C 分别交于M ，N 两点．(1)写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；(2)若|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，求a 的值．解：(1)曲线的极坐标方程变为ρ2sin 2θ＝2aρcos θ，化为直角坐标方程为y 2＝2ax ；直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t y ＝－4＋22t ，(t 为参数)化为普通方程为y ＝x －2. (2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t y ＝－4＋22t ，代入y 2＝2ax 得 t 2－22(4＋a )t ＋8(4＋a )＝0.则有t 1＋t 2＝22(4＋a )，t 1t 2＝8(4＋a )，因为|MN |2＝|PM |·|PN |，所以(t 1－t 2)2＝t 1·t 2，即(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝t 1t 2，(t 1＋t 2)2－5t 1t 2＝0，故8(4＋a )2－40(4＋a )＝0，解得a ＝1或a ＝－4(舍去)．故所求a 的值为1.14．(选做题)以直角坐标系原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12＋t cos αy ＝t sin α，(t 为参数，0<α<π)，曲线C的极坐标方程ρ＝2cos θsin 2θ. (1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，当α变化时，求|AB |的最小值．解：(1)由ρ＝2cos θsin 2θ得ρ2sin 2θ＝2ρcos θ，所以曲线C 的直角坐标方程为y 2＝2x .(2)将直线l 的参数方程代入y 2＝2x ，得t 2sin 2α－2t cos α－1＝0，设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝2cos αsin 2α，t 1·t 2＝－1sin 2α， 所以|AB |＝|t 1－t 2| ＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2 ＝4cos 2αsin 4α＋4sin 2α＝2sin 2α， 当α＝π2时，|AB |取得最小值2.。
直线标准参数方程
直线标准参数方程直线是平面几何中最基本的几何图形之一，而直线标准参数方程是描述直线的一种常用方式。
在数学中，直线标准参数方程的形式为：x = x1 + at。
y = y1 + bt。
其中(x1, y1)是直线上的一点，a和b是实数参数，t是参数。
直线标准参数方程的优点之一是可以方便地表示直线在平面上的方向和位置。
在实际问题中，我们经常需要描述直线的位置和方向，直线标准参数方程可以直接给出直线的参数方程，而无需通过斜率和截距等方式来描述。
另一个优点是直线标准参数方程可以方便地表示直线上的任意一点。
通过参数t的变化，我们可以得到直线上的各个点的坐标，这对于直线上点的运动和轨迹的描述非常有用。
接下来，我们来看一个具体的例子。
假设有一条直线，过点A(1,2)，且与向量v(3,4)平行。
我们可以使用直线标准参数方程来描述这条直线。
首先，我们知道直线上的一点A(1,2)，可以将其坐标代入直线标准参数方程中，得到：x1 = 1。
y1 = 2。
然后，由于直线与向量v(3,4)平行，我们可以取直线的参数方向向量为v(3,4)，即a=3，b=4。
这样，直线的标准参数方程为：x = 1 + 3t。
y = 2 + 4t。
通过这个参数方程，我们可以方便地得到直线上任意一点的坐标，也可以直观地看出直线的方向和位置。
在实际问题中，直线标准参数方程可以帮助我们更方便地描述直线的性质和特点，也可以方便地进行直线上点的运动和轨迹的分析。
总之，直线标准参数方程是描述直线的一种常用方式，它可以方便地表示直线的方向和位置，也可以方便地表示直线上任意一点。
在实际问题中，直线标准参数方程有着广泛的应用价值，可以帮助我们更好地理解和应用直线的性质和特点。
直线的参数方程
例二：设直线 l1 过点 A(2, 4) ，倾斜角为 ,求直线 l1的参数方程,设直线
5 6
l1 与 l2 交点为B，求点B与点A的距离 . l2 : x y 1 0 ，
3 x 2 t 2 解： l1 的参数方程为 .把 l1 的参数方程代入 l2 的方程，得 y 4 1 t 2
(2 3 1 t ) (4 t ) 1 0 2 2
例二：设直线 l1 过点 A(2, 4) ，倾斜角为 ,求直线 l1的参数方程,设直线
5 6
l1 与 l2 交点为B，求点B与点A的距离 . l2 : x y 1 0 ，
3 x 2 t 2 解： l1 的参数方程为 .把 l1 的参数方程代入 l2 的方程，得 y 4 1 t 2
直线的参数方程
考点二：标准的直线参数方程 t 的几何意义。 理论基础：已知直线过点 M 0 ( x0 , y0 ),倾斜角
x x0 t cos M y y0 t sin x x0 t cos ' M y y0 t sin
x x0 t cos 所以，直线的参数方程为 y y0 t sin
直线的参数方程
考点二：标准的直线参数方程 t 的几何意义。
x x0 t cos y y0 t sin
t 的几何意义为：直线上某点到定点 M 0 的距离.
例二：设直线 l1 过点 A(2, 4) ，倾斜角为 ,求直线 l1的参数方程,设直线
5 6
l1 与 l2 交点为B，求点B与点A的距离 . l2 : x y 1 0 ，
x 1 ( 1)t 6 y 3 t 6
直线参数方程标准形式
直线参数方程标准形式直线是我们在数学中经常遇到的一个基本图形，它具有许多特殊的性质和形式。
在平面几何中，我们可以通过不同的方法来描述一条直线，其中之一就是参数方程标准形式。
本文将详细介绍直线参数方程标准形式的概念、推导方法和应用。
一、概念。
直线参数方程标准形式是描述平面上一条直线的一种方式。
它的一般形式为：x = x0 + at。
y = y0 + bt。
其中(x0, y0)是直线上的一点，而a和b是方向向量。
这种形式的参数方程可以清晰地表达直线的位置和方向，是描述直线的一种简洁而有效的方式。
二、推导方法。
我们可以通过直线的一般方程Ax + By + C = 0来推导直线的参数方程标准形式。
假设直线的斜率为k，那么我们可以得到方向向量为(a, b) = (1, k)。
接下来，我们需要找到直线上的一点(x0, y0)来确定参数方程的具体形式。
假设直线上的一点为P(x0, y0)，那么我们可以得到直线的一般方程为Ax0 + By0 + C = 0。
将直线的一般方程与参数方程的形式进行比较，可以得到x0 = -C/A，y0 = -C/B。
将这些信息代入参数方程的一般形式中，就可以得到直线的参数方程标准形式。
三、应用。
直线参数方程标准形式在实际问题中具有广泛的应用。
例如，在物理学中，描述质点在直线上运动的轨迹时，参数方程标准形式可以清晰地表达质点的位置随时间的变化规律。
在工程学中，描述直线运动的机械臂或者输送带的运动轨迹时，参数方程标准形式也可以提供简洁而有效的描述。
此外，在计算机图形学中，参数方程标准形式也被广泛应用于描述直线的绘制和计算。
总结。
直线参数方程标准形式是描述平面上一条直线的一种简洁而有效的方式。
通过本文的介绍，我们了解了直线参数方程标准形式的概念、推导方法和应用。
它不仅在数学理论中具有重要意义，而且在实际问题中也具有广泛的应用价值。
希望本文的介绍能够帮助读者更好地理解和运用直线参数方程标准形式。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
e (cuuousuuur,sirn )
M(x,y)
因为uuuMuuu0rM
// e,所以存在实数t r
R,
使M
(x
x0 M0 ,
te,即
y y0 )
t
(cos
,
sin
基础训练
3
已知直线
x
y
3 4
4t 3t
(t
为参数),下列命题中错．误．的是
（ D）
(A) 直线过点（7，1）
(B) 直线的斜率为 3/4 (C) 直线不过第二象限 (D) | t |是定点 M0（3，4）到该直线上对应点 M 的距离
4：将下列直线的参数方程化为标准形式
（1）
)
M0(x0,yr0) e
即所，以xxxx00
t
t
cos ,
cos ,
y
y
y0
y0
t sin
t sin
(cos , sin )
所以，该直线的参数方程的标准形O式为
x
x y
x0 y0
t cos t sin
（t为参数）
思考uuuuuur r
M0重合.
辨析:
x y
1 1
9t 12t
(t为参数）
没有
请思考:此时 的t有没有前 述的几何意义?
特征分析：
若把直线的参数方程的标准形式
x y
x0 y0
t cos t sin
（t为参数，
[0,）)
改写为： xy
x0 y0
at bt
直线的参数方程
请同学们回忆:
直线的普通方程都有哪些?
点斜式: y y0 k(x x0) y kx b
两点式: y y1 x x1
y2 y1 x2 x1
x y 1 ab
一般式: Ax By C 0
法线式： Ax By C 0 （直线l的法向量（A,B））
(t为参数）
x y
3-t cos 20o 2+t sin 20o
(t为参数）
（3）
x y
3t 2t
cos sin
20o 20o
(t为参数）
（4）
x y
3t 2t
O
x
???我们是否可以根据这t就的是值t来的确几何定意向量Muuu0uMuur
的方向呢?r
义,要牢记
我们知道e是直线l的单位方向向量，那
么它的方向应该是向上还是向下的？还
是有时向上有时向下呢？ 分析Q又 就 那:t总 么Q是eMrs会的直 i0n向终M线 上表点的MuMuu。uu示就此0u倾u0MuuMuuerr会时u斜 的 r 的都若若的,角 纵若在方tt， 坐 方=<t第>向标向0当 0一 0,,向，向0则则,<，则上下erM的二<;与;纵象时点坐限,标，s都iern的大方>于0向0
(
x
x0
)
sin cos
令该比例式的比值为t,即 y y0 x x0 t sin cos
整理，得到
x=x0
y
y0
t cos t sin
(t是参数）
问题：已知一条直线过点M0(x0,y0 )，倾斜角，
求这条直线的方程.
uu解uuu:ur 在直线上任取一点M(x,y),则
基础训练
1
直线
x y
2t 1
sin 200 t cos 200
(t
为参数),
经过定点
(2, - 1，)
倾斜角为 110°
2
直线
x
31t 2
(t 为参数)方程中，t 的几何意义是
（
y
1
3t 2
B）
（A） 一条有向线段的长度
（B） 定点 P0（ 3 ，1）到直线上动点 P(x，y)的有向线段的数量 （C） 动点 P(x，y) 到定点 P0（ 3 ，1）的线段的长 （D） 直线上动点 P(x，y) 到定点 P0（ 3 ，1）的有向线段的数量
k y2 y1 tan
x2 x1
问题：已知一条直线过点M0(x0 ,y0 )，倾斜角，
求这条直线的方程.
解: 直线要的注普通意方:程为y
把进它一x变步0数,y成整,0 ty都理才数，是是y0得常参：csyoinsy0(
y0 tan x x0 ) x x0
x
y
1 9t 112t
(t为参数）
（2）
x y
1 9t 1-12t
(t为参倾斜数角 ）
（3）
x y
1-9t 1-12t
(t为参数）
5：将下列直线的倾斜角
（1） （2）
x y
3 t cos 20o 2+t sin 20o
y
y0
a ( a2 b2 t）
a2 b2
(t为参数）
b （ a2 b2 t）
a2 b2
设: a = cos; b sin; a2 b2t t,则
a2 b2
a2 b2
x y
x0 y0
tcos（t为参数） tsin
当b 0时，t有上述的几何意义。
x y
x0 y0
at bt
(t为参数）
当a 2 b2 1时，t没有上述的几何意义，
我们称起为非标准形式。
x
x0
y
y0
如何将其化为
标准形式?
a ( a2 b2 t）
a2 b2
(t为参数）
b （ a2 b2 t）
a2 b2
x x0
由M0M te,你能得到直线l的参数方程中
解参: Q数Mutu的u0ruMu几ur 何 t意er 义吗Muuu0？uMuur
r
r te
y M
又Q e是单位向量， e 1
uuuuuur r
M0M t e t
M0
r
所以,直线参数方程中
e
参数t的绝对值等于直
线上动点M到定点M0的 距离. |t|=|M0M|
(t为参数）
当a、b满足什么条件，
可使t有上述的几何意义？
重要结论:
直线的参数方程可以写成这样的形式:
x y
x0 y0
at bt
(t为参数）
当a 2 b2 1且b 0时，t=M 0M
此时我们可以认为a cos,b sin;
若 [0,），则为倾斜角。