直线的参数方程(最全)

)
M0(x0,yr0) e
即所，以xxxx00


t
t
cos ,
cos ,
y
y


y0
y0
t sin
t sin

(cos , sin )
所以，该直线的参数方程的标准形O式为
x

x y

x0 y0
t cos t sin
（t为参数）
思考uuuuuur r
y

y0

a ( a2 b2 t）
a2 b2
(t为参数）
b （ a2 b2 t）
a2 b2
设: a = cos; b sin; a2 b2t t,则
a2 b2
a2 b2

x y

x0 y0
tcos（t为参数） tsin
当b 0时，t有上述的几何意义。
基础训练
3
已知直线
x

y

3 4
4t 3t
(t
为参数),下列命题中错．误．的是
（ D）
(A) 直线过点（7，1）
(B) 直线的斜率为 3/4 (C) 直线不过第二象限 (D) | t |是定点 M0（3，4）到该直线上对应点 M 的距离
4：将下列直线的参数方程化为标准形式
（1）

x y

x0 y0
at bt
(t为参数）
当a 2 b2 1时，t没有上述的几何意义，
我们称起为非标准形式。

x

x0


y

y0

如何将其化为
标准形式?
a ( a2 b2 t）
a2 b2
(t为参数）
b （ a2 b2 t）
a2 b2
x x0
直线的参数方程
请同学们回忆:
直线的普通方程都有哪些?
点斜式: y y0 k(x x0) y kx b
两点式: y y1 x x1
y2 y1 x2 x1
x y 1 ab
一般式: Ax By C 0
法线式： Ax By C 0 （直线l的法向量（A,B））
k y2 y1 tan
x2 x1
问题：已知一条直线过点M0(x0 ,y0 )，倾斜角，
求这条直线的方程.
解: 直线要的注普通意方:程为y
把进它一x变步0数,y成整,0 ty都理才数，是是y0得常参：csyoinsy0(
y0 tan x x0 ) x x0
(t为参数）

x y

3-t cos 20o 2+t sin 20o
(t为参数）
（3）

x y

3t 2t
cos sin
20o 20o
(t为参数）
（4）

x y

3t 2t
M0重合.
辨析:

x y
1 1
9t 12t
(t为参数）
没有
请思考:此时 的t有没有前 述的几何意义?
特征分析：
若把直线的参数方程的标准形式

x y

x0 y0
t cos t sin
（t为参数，
[0,）)
改写为： xy

x0 y0

at bt
(t为参数）
当a、b满足什么条件，
可使t有上述的几何意义？
重要结论:
直线的参数方程可以写成这样的形式:

x y

x0 y0

at bt
(t为参数）
当a 2 b2 1且b 0时，t=M 0M
此时我们可以认为a cos,b sin;
若 [0,），则为倾斜角。
由M0M te,你能得到直线l的参数方程中
解参: Q数Mutu的u0ruMu几ur 何 t意er 义吗Muuu0？uMuur

r
r te
y M
又Q e是单位向量， e 1
uuuuuur r
M0M t e t
M0
r
所以,直线参数方程中
e
参数t的绝对值等于直
线上动点M到定点M0的 距离. |t|=|M0M|
设Mr er0是M直（ 线x,ly的) 单(x位0 方y向0)向(量x ，x0则, y y0y)
e (cuuousuuur,sirn )
M(x,y)
因为uuuMuuu0rM
// e,所以存在实数t r

R,
使M
(x
x0 M0 ,
te,即
y y0 )

t
(cos

,
sin
x

y
1 9t 112t
(t为参数）
（2）

x y
1 9t 1-12t
(t为参倾斜数角 ）
（3）

x y

1-9t 1-12t
(t为参数）
5：将下列直线的倾斜角
（1） （2）

x y

3 t cos 20o 2+t sin 20o
(
x

x0
)
sin cos
令该比例式的比值为t,即 y y0 x x0 t sin cos
整理，得到
x=x0

y

y0
t cos t sin
(t是参数）
问题：已知一条直线过点M0(x0,y0 )，倾斜角，
求这条直线的方程.
uu解uuu:ur 在直线上任取一点M(x,y),则
基础训练
1
直线
百度文库
x y

2t 1
sin 200 t cos 200
(t
为参数),
经过定点
(2, - 1，)
倾斜角为 110°
2
直线

x

31t 2
(t 为参数)方程中，t 的几何意义是
（

y

1
3t 2
B）
（A） 一条有向线段的长度
（B） 定点 P0（ 3 ，1）到直线上动点 P(x，y)的有向线段的数量 （C） 动点 P(x，y) 到定点 P0（ 3 ，1）的线段的长 （D） 直线上动点 P(x，y) 到定点 P0（ 3 ，1）的有向线段的数量
O
x
???我们是否可以根据这t就的是值t来的确几何定意向量Muuu0uMuur
的方向呢?r
义,要牢记
我们知道e是直线l的单位方向向量，那
么它的方向应该是向上还是向下的？还
是有时向上有时向下呢？ 分析Q又 就 那:t总 么Q是eMrs会的直 i0n向终M线 上表点的MuMuu。uu示就此0u倾u0MuuMuuerr会时u斜 的 r 的都若若的,角 纵若在方tt， 坐 方=<t第>向标向0当 0一 0,,向，向0则则,<，则上下erM的二<;与;纵象时点坐限,标，s都iern的大方>于0向0