第四章 因式分解
北师大版八年级数学下册第四章 因式分解1 因式分解
其分解结果为 x2 + ax + b = (x + 2)(x + 4) = x2 + 6x + 8， ∴ a = 6. 同理，乙看错了 a，但 b 是正确的， 分解结果为 x2 + ax + b = (x + 1)(x + 9) = x2 + 10x + 9， ∴b = 9. ∴a + b = 15．
(4)(y-3)2 = y2-_6_y_+_9_
(4) y2-6y+9 = ( y-3 )( y-3 )
或 (y-3)2
2 因式分解与整式乘法的关系
想一想：由 a(a + 1)(a - 1) 得到 a3 - a 的变形是什么运算? 由 a3 - a 得到 a(a + 1)(a - 1) 的变形与它有什么不同?
项式化成了几个整式的积，他们的运算是相反的. 问题2：右边一栏表示的正是多项式的“因式分解”， 你能根据我们的分析说出什么是因式分解吗？
归纳总结 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种
变形叫做因式分解，也可称为分解因式.
其中，每个整式都叫做这个多项式的因式.
第四章 因式分解复习
第一步：先看多项式各项有无公因式，
如有公因式则要先提取公因式； 第二步：再看有几项，
如两项，则考虑用平方差公式；
如三项，则考虑用完全平方公式；
第三步：最后看各因式能否再分解，
如能分解，应分解到不能再分解为止。
公式法
用平方差公式分解因式的关键：多项式是否
能看成两个数的平方的差；
2 2 (x+y-2) (x+y) -4(x+y)+4=____________.
(x-2)(3x+1) 3x(x-2)-(2-x)=__________
选一选：
1. 下列多项式能分解因式的是( A. x2-y B. x2+1
x2+y+y 2
D
)
C. D. x2-4x+4 2. 下列多项式中,能用提取公因式分解因式的是( 2+2x 2-y x x A. B. C.
2
）
5, c 2
B、b
5, c 2
5, c 2
D、b
5, c 2
练一练：
1、把下列多项式分解因式：
a(a-b) a2-ab=_________. 3ab(a+3b) 3a2b+9ab2=__________. (a-2)2 a2-4a+4=__________.
2
(x+2y)(x-2y) x2-4y2=__________.
( x 3) x2-2 3x+3=__________.
( a b) 14( a b) 49
2
[(a b) 7]
2
2、将下列各式分解因式： （1）18a2c-8b2c
第四章因式分解—十字相乘(教案)
1.理论介绍：首先，我们要了解十字相乘的基本概念。十字相乘是一种因式分解的方法，通过将多项式的项按照一定规则排列，找到两个数使得它们的乘积等于常数项，而它们的和等于一次项的系数。这种方法是解决二次多项式分解问题的关键。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例，如分解x^2 + 5x + 6。这个案例将展示十字相乘在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
-难点突破方法：
-使用图表、动画或实物模型来形象化展示十字相乘的过程；
-通过多个例题，展示不同情况下十字相乘的应用，强调识别和选择合适数字的策略；
-分组讨论，让学生在小组内相互解释和交流，共同解决难点问题；
-设计具有挑战性的问题，鼓励学生独立思考和探索，如让学生尝试分解含有一个变量和常数的二次多项式；
五、教学反思
在今天的教学中，我发现学生们对十字相乘的概念接受度较高，但实际操作时仍有一些困难。在讲解理论部分时，我尽量用生动的语言和具体的例子来阐述，希望让学生能够更好地理解。从学生的反馈来看，这种方法是有效的。
然而，当我让学生们尝试自己分解一些多项式时，部分学生显得有些迷茫。他们对于如何选择合适的数进行十字相乘感到困惑。这时，我意识到需要在教学过程中加强对这一难点的讲解和练习。或许，我可以设计一些更具针对性的练习题，让学生们在课堂上即时巩固所学知识。
-理解并记忆十字相乘法的步骤，尤其是如何确定乘积和和；
-在应用十字相乘法时，如何灵活变通，处理各种不同类型的二次多项式；
-将实际问题转化为数学表达式，并运用十字相乘法进行因式分解。
举例：难点在于如何引导学生从简单的例子中总结出十字相乘的规律，如对于多项式x^2 + 5x + 6，学生需要找出两个数（2和3），使得它们的乘积等于6，和等于5。学生可能在这一过程中遇到困难，需要教师通过具体例子和图示来帮助学生理解。
八年级下数学《第四章因式分解》单元测试(含答案)
第四章因式分解一、选择题1.下列因式分解结果正确的是（）A. x2+3x+2=x（x+3）+2B. 4x2﹣9=（4x+3）（4x﹣3）C. x2﹣5x+6=（x﹣2）（x﹣3）D. a2﹣2a+1=（a+1）22.下列从左到右的变形，是因式分解的是（）A. （x+3）（x-2）=x2+x-6B. ax-ay-1=a（x-y）-1C. 8a2b3=2a2•4b3D. x2-4=（x+2）（x-2）3.若△ABC三边分别是a、b、c，且满足（b﹣c）（a2+b2）=bc2﹣c3，则△ABC是（）A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 等腰或直角三角形4.把多项式x2﹣x分解因式，得到的因式是（）A. 只有xB. x2和xC. x2和﹣xD. x和x﹣15.计算：22014﹣（﹣2）2015的结果是（）A. B. C. ﹣ D. 3×6.下列多项式能因式分解的是（）A. B. C. D.7.下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（）A. （x+1）（x﹣1）=x2﹣1B. x2﹣2x+1=x（x﹣2）+1C. x2﹣4y2=（x﹣2y）2D. 2x2+4x+2=2（x+1）28.在实数范围内分解因式x5﹣64x正确的是（）A. x（x4﹣64）B. x（x2+8）（x2﹣8）C. x（x2+8）（x+2）（x﹣2）D. x（x+2）3（x﹣2）9.分解因式得正确结果为（）A. a2b（a2﹣6a+9）B. a2b（a﹣3）（a+3）C. b(a2﹣3)2D. a2b（a﹣3)210.若多项式x4+mx3+nx﹣16含有因式（x﹣2）和（x﹣1），则mn的值是（）A. 100B. 0C. -100D. 50二、填空题11.分解因式：a3﹣ab2=________．12.分解因式：m2﹣16=________．13.分解因式x2-8x+16=________14. 分解因式：x2﹣9= ________.15.分解因式：a2﹣16=________.16.已知一个长方形的面积是a2﹣b2（a＞b），其中长边为a+b，则短边长是________ ．17.分解因式：x2y﹣4xy+4y=________．18. 分解因式：9x3﹣18x2+9x=________19.已知a=2，x+2y=3，则3ax+6ay=________20.分解因式：9a﹣a3=________ ．三、解答题21.因式分解：（1）2x（a﹣b）+3y（b﹣a）（2）x（x2﹣xy）﹣（4x2﹣4xy）22.化简求值：当a=2005时，求﹣3a2（a2﹣2a﹣3）+3a（a3﹣2a2﹣3a）+2005的值．23.阅读材料：分解因式：x2+2x﹣3解：原式=x2+2x+1﹣4=（x+1）2﹣4=（x+1+2）（x+1﹣2）=（x+3）（x﹣1）此种方法抓住了二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项成为完全平方式，我们把这种分解因式的方法叫配方法．请仔细体会配方法的特点，然后尝试用配方法解决下列问题：（1）分解因式x2﹣2x﹣3=________；a2﹣4ab﹣5b2=________；（2）无论m取何值，代数式m2+6m+13总有一个最小值，请你尝试用配方法求出它的最小值；（3）观察下面这个形式优美的等式：a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca= [（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2] 该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美．请你说明这个等式的正确性．参考答案一、选择题C D D D D C D C D C二、填空题11.a（a+b）（a﹣b）12.（m+4）（m-4）13.（x-4）214.（x+3）（x﹣3）15.（a+4）（a﹣4）16.解：（a2﹣b2）÷（a+b）=（a+b）（a﹣b）÷（a+b）=a﹣b．故答案为a﹣b．17.y（x﹣2）218.9x（x﹣1）219.1820.a（3+a）（3﹣a）三、解答题21.解：（1）原式=2x（a﹣b）﹣3y（a﹣b）=（a﹣b）（2x﹣3y）；（2）原式=x2（x﹣y）﹣4x（x﹣y）=x（x﹣y）（x﹣4）．22.解：﹣3a2（a2﹣2a﹣3）+3a（a3﹣2a2﹣3a）+2005=﹣3a2（a2﹣2a﹣3）+3a2（a2﹣2a﹣3）+2005=2005．23.（1）（x﹣3）（x+1）；（a+b）（a﹣5b）（2）解：m2+6m+13=m2+6m+9+4=（m+3）2+4，因为（m+3）2≥0，所以代数式m2+6m+13的最小值是4（3）解：a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca，= （2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca），= （a2﹣2b+b2+b2﹣2bc+c2+c2﹣2ca+a2），= [（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]。
近世代数第四章整环里的因式分解
第四章整环里的因式分解§1. 素元、唯一分解本讲中, 总假定为整环, 为的商域.1. 整除定义1 设D为整环, Db,, 如果存在Da∈c∈, 使得则称整除, 记作; 并称是的一个因子, 是的倍元.•整环中的整除概念是整数环中整除概念的推广, 因此有许多与整数的整除相类似的性质.•整除有下列常用的性质:(1) 如果, , 则;(2) 如果, , , 则.2.相伴定义2整环D的一个元叫做D的一个单位，假如是一个有逆元的元。
元叫做元的相伴元，假如是和一个单位的乘积：定理１两个单位的乘积也是一个单位.单位的逆元也是一个单位.例１因为整数环的单位仅有１与-１，故任一非零元有２个相伴元：与a-.例２有四个单位，１，-１，i,-i,所以任一非零元，有四个相伴元：定义3 单位以及元的相伴元叫做的平凡因子.若还有别的因子，则称为的真因子.３. 素元定义4 设D为整环，Dp∈，且既非零也非单位，如果只有平凡因子，则称为一个素元.定理２单位ε与素元的乘积也是一个素元.定理３整环中一个非零元有真因子的充分且必要条件是：，这里，都不是单位.推论设，并且有真因子：.则也是的真因子.定义5 我们称一个整环D的元在D中有唯一分解，如果以下条件被满足：(i) (为D的素元)(ii) 若同时有（为的素元）则有，并且可以调换的次序，使得（为的单位）整环的零元和单位不能有唯一的分解.所以唯一分解问题研究的对象只能是非零也非单位的元.例３给整环.那么有：(1)的单位只有.(2)适合条件的元一定是素元.首先，；又由(1),也不是单位.设为的因子：那么但不管，是何整数，或４若，则是单位.若，则而为单位.因而是的相伴元.从而只有平凡因子，故是素元.(3)没有唯一分解：我们有(A) ,,故由(2),2,都是的素元.由(1),都不是２的相伴元，因而给出了４的两种不同分解从而４没有唯一分解. 这说明并不是任意整环中的非零和非单位的元都有唯一分解.$2. 唯一分解环定理１一个唯一分解环有以下性质：若一个素元能够整除，则有整除或.定理２做定整环有如下性质：(i)的每一个非零非单位的元都有一个分解.（为的素元）(ii)的一个素元若能够整除，则有整除或，则一定是一个唯一分解环.定义6 元叫做的公因子，如果.定理３一个唯一分解环的两个元和在里一定有最大公因子.和的两个最大公因子和只能差一个单位因子：（是单位).推论一个唯一分解环的个元在里一定有最大公因子.的两个最大公因子只能差一个单位因子.定义一个唯一分解环的元称为互素的，如果它们的最大公因子是单位.$3. 主理想环引理１设是一个主理想环.若在序列里的每一个元是前一个元的真因子，那么这个序列一定是一个有限序列.引理２设是一个主理想环，那么的任一素元生成一个最大理想.定理一个主理想环是一个唯一分解环.证：我们证明是一个唯一分解环.设且不是零也不是单位.若不能写成有限个元的乘积，则不是一个素元，所以由$４.１的推论，都是的真因子.的这两个真因子中至少有一个不能写成素元的乘积，否则就是素元的乘积而与假设矛盾.于是有这样的结论；若没有分解，则一定有一个真因子也没有分解.这样，在没有分解的假设之下，就得到一个无穷序列在此序列中每一个元都是前一个元的真因子.依照引理１，这是不可能的，所以一定有分解.即满足$４.２定理２中的条件(i).又设的素元能整除的元乘积，那么这就是说在剩余类环里，所代表的类与o所代表的类相同：由引理２，是最大理想，因而由$３.９的定理，是一个域.因为域没有零因子，所有由上面等式有或即有或亦即或从而或，故也满足$４.２定理２的条件(iii).因而是一个唯一分解环.$4. 欧氏环定义一个整环叫做一个欧氏环，如果(i)有一个从的非零元所作成的集合－｛０｝到全体非负整数作成的集合的映射存在；(ii)任意给定的一个非零元，的任何元都可以写成的形式，这里有或例整数环是一个欧氏环.因为：定理１是一个适合条件(i)的映射并且任意给定整数，则任何整数都可写成这里或上面定义中的映射称为欧氏映射.定理１每一个欧几里德环都是主理想整环, 因而也是唯一分解环.证明设为欧几里德环的任一理想, 为欧氏映射.(1) 如果, 则.(2) 如果, 令则非空, 且. 设, 使得为中的最小数, 下证.任给, 因为, 所以存在, 使得. 于是, .如果, 则, 与的选取矛盾. 所以, , 则, 于是. 由的任意性可知.又, 所以, 从而.这就证明了, 的任一理想都是主理想, 故为主理想整环.定理２整数环是主理想，因而是唯一分解环.定理３一个域上的一元多项式是一个欧氏环.因而是一个唯一分解环.$５. 多项式环的因子分解本章讨论唯一分解环上的一元多项式环.我们称的素元即素多项式为不可约多项式，日有真因子的多项式叫做可约多项式.定义的一个元叫做一个本原多项式，如果的系数的最大公因子是单位.我们有如下结论：(A)的单位是的仅有的单位.(B)一个本原多项式不会等于零.(C)若本原多项式可约，那么且有（表示的次数）引理1 设，那么是本原多项式的充分且必要条件是和都是本原多项式.设是的商域，那么多项式环是唯一分解环.引理2 的每一个非零多项式都可以写成的形式，这里是的本原多项式.如果也有的性质，那么，（为的单位）引理3 的一个本原多项式在里可约的充分必要条件是在里可约.引理4 的次数大于零的本原多项式在里有唯一分解.有了以上的结论，我们就有定理如果是唯一分解环，，则也是唯一分解环.$６. 因子分解与多项式的根定义整环的元叫做的多项式的一个根，如果有定理１是的一个根的充分且必要条件是整除定理２的个不同的元都是的根的充分且必要条件是整除推论若的次数为，则在中至多有个根.定义的元叫做的一个重根，如果能被整除，这里是大于1的整数.定义由多项式唯一决定的多项式叫做的导数.导数适合如下计算规则：,定理３的一个根是一个重根的充分且必要条件是整除推论设是唯一分解环.的元是的一个重根的充分且必要条件是：能整除和的最大公因子.。
北师大版八年级数学下册第四章因式分解章末复习课件(共42张)
章末复习
母题2 (教材P104复习题第1题) 把下列各式因式分解： (1)7x2-63； (2)a3-a； (3)3a2-3b2； (4)y2-9(x+y)2； (5)a(x-y)-b(y-x)+c(x-y)； (6)x(m+n)-y(n+m)+(m+n)； (7)(x+y)2-16(x-y)2； (8)a2(a-b)2-b2(a-b)2； (9)(x+y+z)2-(x-y-z)2； (10)(x+y)2-14(x+y)+49.
章末复习
相关题1 把下列各式分解因式： (1)5x2-15xy+10xy2； (2)a(x-2)+(2-x)2； (3)2x2y-8xy+8y； (4)(m2+n2)2-4m2n2.
章末复习
解：(1)原式＝5x(x－3y＋2y2)． (2)原式＝(x－2)(a＋x－2)． (3)原式＝2y(x2－4x＋4)＝2y(x－2)2. (4)原式＝(m2＋n2＋2mn)(m2＋n2－2mn)＝(m＋n)2·(m－n)2.
相关题3 求证：不论x取何实数, 多项式-2x4-12x3-18x2的值都不会是 正数.
证明：原式＝－2x2(x2＋6x＋9)＝－2x2(x＋3)2. ∵－2x2≤0，(x＋3)2≥0， ∴－2x2(x＋3)2≤0， ∴不论 x 取何实数，原式的值都不会是正数．
章末复习
专题四 因式分解的应用
【要点指点】 因式分解不仅在数值计算、代数式的化简求值等方 面有广泛的应用, 在解决实际问题时也同样重要.通过学习和应用 因式分解, 能使我们的视察能力、运算能力、逻辑思维能力、探究 能力得到提高．
第4章 因式分解-开放与探究：因式分解的六种常见方法习题课件
分类训练 9．分解因式：x4＋14. 【点拨】本题直接分解因式很困难，考虑到添加辅助项使其符合 公式特征，因此将原式添上 x2 与－x2 两项后，便可通过分组使 其符合平方差公式的结构特征，从而将原多项式进行因式分解．
浙教版 七年级下
第四章 因式分解
开放与探究(四) 因式分解的六种常见方法
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1B 2C 3 见习题 4 见习题
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分类训练 6．分解因式：(x＋3)(x＋4)＋(x2－9)．
解：原式＝(x＋3)(x＋4)＋(x＋3)(x－3) ＝(x＋3)[(x＋4)＋(x－3)] ＝(x＋3)(2x＋1)．
【点拨】解此题时，表面上看不能分解因式，但通过局部分解后， 发现有公因式可以提取，从而将原多项式分解因式．
分类训练 7．把下列各式分解因式： (1)x(x＋4)＋4；
分类训练 13．分解因式：x2－y2－4x＋6y－5.
【点拨】这里巧妙地把－5 拆成 4－9.“凑”成(x2－4x＋4)和 (y2－6y＋9)两个整体，从而运用公式法分解因式．
解：原式＝(x2－4x＋4)－(y2－6y＋9) ＝(x－2)2－(y－3)2 ＝(x＋y－5)(x－y＋1)．
分类训练
解：原式＝(x＋y)2－4(x＋y)＋4＝(x＋y－2)2.
北师大版八年级数学下册第四章《4因式分解》优 课件(共19张PPT)
归纳概念
把一个多项式化为 几个整式的积的形式,这 种变形叫做把这个多项式 分解因式.
做一做,计算下列各式
(1) 3x(x-1)=__3_x__2____3_x_
(2) m(a+b+c)=_m__a____m__b___m_ c
(3) (m+4)(m-4)=___m__2____1_6_____
（1）x2m xn能分解成 (x2)(x5 )
-7 -10 则 m = ______, n = ______.
（2）某沿江风景带修建了三块长方形的绿化草坪， 他们的宽都是８㎝，长分别是５５．５㎝，２ ４．４㎝，２０．１㎝，那么这些绿化带的面积
800 之和是_____
20.1
颗粒归仓
通过本节课的研究, 你有哪些收获?还有什 么疑问?
作业 课后习题
•不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月3日星期日2022/4/32022/4/32022/4/3 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/32022/4/32022/4/34/3/2022 •正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/32022/4/3April 3, 2022 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
想一想
分解因式与整式乘法有什么关系?
分解因式
a2-b2
(a-b)(a+b)
整式乘法
二者是互逆的过程
下列代数式从左到右的变形是因式分解吗？
（1） a2aa(a1)是
北师大版八年级数学下册第四章因式分解4.3完全平方公式(教案)
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了完全平方公式的推导、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对完全平方公式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决数学问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
北师大版八年级数学下册第四章因式分解4.3完全平方公式（教案）
一、教学内容
北师大版八年级数学下册第四章因式分解4.3节，主要围绕完全平方公式展开教学。本节课内容如下：
1.探索完全平方公式的推导过程，掌握完全平方公式：（a±b）^2 = a^2 ± 2ab + b^2。
2.学会运用完全平方公式分解因式，解决实际问题。
其次，对于完全平方公式的应用，我发现学生们在解决具体问题时，有时会忽略符号的判断。在讲解过程中，我特别强调了“同号得正，异号得负”的规律，并通过大量练习帮助学生加深记忆。但在实际操作中，仍有个别学生会出现错误。为此，我考虑在今后的教学中，增加一些关于符号判断的专项训练，以提高学生们的准确率。
此外，在学生小组讨论环节，我发现学生们能够积极参与，主动提出自己的观点和想法。但在讨论过程中，部分学生可能会偏离主题，讨论一些与完全平方公式无关的内容。为了提高讨论效率，我计划在今后的教学中，明确讨论主题，并在讨论过程中适时引导，确保学生们围绕主题展开讨论。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调完全平方公式的推导和运用这两个重点。对于难点部分，如符号判断，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与完全平方公式相关的实际问题。
第四章 因式分解
第四章因式分解4.1 因式分解教学目标：知识与技能：使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念；通过对分解因式与整式的乘法的观察与比较，学习代数式的变形和转化与化归的能力，培养学生的分析问题能力与综合应用能力。
过程与方法：认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系（即相反变形），并能运用这种关系寻求因式分解的方法；通过解决实际问题，学会将实际应用问题转化为用所学到的数学知识解决问题，体验解决问题策略的多样性，发展实践应用意识。
情感与态度：培养学生接受矛盾的对立统一观点，独立思考，勇于探索的精神和实事求是的科学态度。
重点：因式分解的概念难点：难点是理解因式分解与整式乘法的相互关系，并运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法教学过程：第一环节复习回顾：下题简便运算怎样进行问题1：736×95+736×5问题2：-2.67× 132+25×2.67+7×2.67第二环节比较探究：问题3：(1)993-99能被99整除吗？为了回答这个问题，你该怎样做？把你的想法与同学交流。
993-99 = 99×992-99 = 99(992-1)∴993-99能被99整除(2)993-99能被100整除吗？为了回答这个问题，你该怎样做？把你的想法与同学交流。
小明是这样做的：993-99 = 99×992－99×1 = 99（992－1）= 99（99+1）（99-1）= 99×98×100所以993-99能被100整除想一想：（1）在回答993-99能否被100整除时，小明是怎么做的？（2）请你说明小明每一步的依据。
（3）993-99还能被哪些正整数整除？为了回答这个问题，你该怎做？（老师点拨：回答这个问题的关键是把993-99化成了怎样的形式？）小结：以上三个问题解决问题的关键是把一个数式化成了几个数的积的形式。
浙教版初中数学第四章 小结 (共13张PPT)
例：因式分解：
4x 2x 2 解:原式= 2 x( x 2 x 1) 2 2 x( x 1)
3 2
1.2x
点评:
1、因式分解前注意观察式子的特点。 2、能提公因式的必须先提公因式，否则题目不能分解。 3、因式分解必须彻底，括号内不能分解为止。 4、运用公式法时，关建是找出“a”和“b”。
D
)
1 1 2 1 D. 2a 2 - 1 （ 2 a - ） （ 2 a ） (a ) 2 4 2 2
2、已知：x2+y2+6x-4y+13=0, 求x,y的值；
3.计算
1、(-2)2014+(-2)2015
1 2009 1 2008 ( ) ( ) 2、 2 2
3、 2005+20052-20062 4、3992+399
±8 4、已知x2-8x+m2是完全平方式，则m=_____ 5、如果(2a+2b+1)(2a+2b-1)=63,那么 ±4 a+b=_____
1、计算(-2)2008+(-2)2009
1 2009 1 2008 ( ) ( ) 2、计算： 2 2
3、计算: 2005+20052-20062 4、计算: 3992+399
拓展延伸
4 、已知a+b=5 ，ab= -2， 求（1）a2+b2 （2）a-b
a2+b2=(a+b)2-2ab
(a-b)2=(a+b)2-4ab
第四章因式分解基础讲义(基础)
因式分解重点学习1.因式分解的定义2.提公因式法及公式法分解因式3.因式分解法综合运用（因式分解判断三角形、换元法常规、换元法平均数法）知识精讲1.因式分解的概念定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。
注意三原则1 分解要彻底2 最后结果只有小括号3 最后结果中多项式首项系数为正（例如：-32x +x=-x(3x-1)）2.提取公因式法公因式的定义：我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。
公因式的确定：（1）符号: 若第一项是负号则先把负号提出来（提出负号后括号里每一项都要变号）（2）系数：取系数的最大公约数；（3）字母：取字母（或多项式）的指数最低的；（4）所有这些因式的乘积即为公因式；提公因式法分解因式：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式的乘积，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
3.公式法平方差公式：完全平方公式： 一个多项式化成几个整式的积的形式8x 2y 3=2x 2·4y 3一个多项式化成几个整式积的形式x-1=x(1―1x )一个多项式化成整式积的形式X 2-x-2=x(x-1)-2 (x+1)(x-1)=x 2-1考点1：因式分解的概念例题1：下列各式从左到右的变式中，属于因式分解的是（） A. a (x +y )=ax +ay B. x 2−2x +1=x (x −2)+1C . 6ab=2a ·3b D. x 2−1=(x +1)(x −1) 定义易错点提取经典例题考点2：提公因式法例题2：因式分解（1）a2x2―ax (2)-6abc-14a2b3+12a3b(3)8ab(x-y)2―4a(y-x)4(4)m(m-n)3+n(n-m)5考点3 整体思想例题3：（x-y）2-（y-x）因式分解的结果是（）A.（y-x）（x-y）B.(x-y)(x-y-1)C.(y-x)(y-x-1)D.(x-y)（y-x-1）超长材料阅读题阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(1+x)[1+x+x(1+x)]=(1+x)2(1+x)=(1+x)3（1）上述分解因式的方法是（），共应用了（）次。
八年级数学第四章因式分解完全平方公式
完全平方公式【学习目标】1. 能运用完全平方公式把简单的多项式进行因式分解.2. 会综合运用提公因式法和公式法把多项式分解因式； 3．发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯. 【要点梳理】要点一、公式法——完全平方公式两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．即()2222a ab b a b ++=+，()2222a ab b a b -+=-. 形如222a ab b ++，222a ab b -+的式子叫做完全平方式.要点进阶：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方.（3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件.（4）套用公式时要注意字母a 和b 的广泛意义，a 、b 可以是字母，也可以是单项式或多项式.要点二、因式分解步骤（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）． 要点三、因式分解注意事项（1）因式分解的对象是多项式； （2）最终把多项式化成乘积形式；（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止． 【典型例题】类型一、公式法——完全平方公式 例1、分解因式：（1）22363ax axy ay -+-； （2）42242a a b b -+；（3）2222216(4)x y x y -+； （4）4224816a a b b -+．举一反三：【变式】分解因式：（1）224()12()()9()x a x a x b x b ++++++．（2）22224()4()()x y x y x y +--+-．例2、已知a+b=3，ab=2，求代数式a 3b+2a 2b 2+ab 3．举一反三：【变式】若x ，y 是整数，求证：()()()()4234x y x y x y x y y +++++是一个完全平方数.类型二、配方法分解因式例3、用配方法来解决一部分二次三项式因式分解的问题，如：()()()()()()222282118 19 1313 24x x x x x x x x x --=-+--=--=-+--=+-那该添什么项就可以配成完全平方公式呢？我们先考虑二次项系数为1的情况：如2x bx +添上什么就可以成为完全平方式？2222()2222b b b x bx x x x ⎛⎫⎛⎫++=+⋅⋅+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因此添加的项应为一次项系数的一半的平方.那么二次项系数不是1的呢？当然是转化为二次项系数为1了.分解因式：2352x x +-.类型三、完全平方公式的应用例4、先仔细阅读材料，再尝试解决问题：完全平方公式x 2±2xy+y 2=（x±y）2及（x±y）2的值恒为非负数的特点在数学学习中有着广泛的应用，比如探求多项式2x 2+12x ﹣4的最大（小）值时，我们可以这样处理：解：原式=2（x 2+6x ﹣2）=2（x 2+6x+9﹣9﹣2）=2[（x+3）2﹣11]=2（x+3）2﹣22因为无论x 取什么数，都有（x+3）2的值为非负数所以（x+3）2的最小值为0，此时x=﹣3进而2（x+3）2﹣22的最小值是2×0﹣22=﹣22所以当x=﹣3时，原多项式的最小值是﹣22. 解决问题：请根据上面的解题思路，探求多项式3x 2﹣6x+12的最小值是多少，并写出对应的x 的取值．举一反三：【变式1】若△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ,且满足222166100a b c ab bc --++=， 求证：2a c b +=.【变式2】若（2015﹣x ）（2013﹣x ）=2014，则（2015﹣x ）2+（2013﹣x ）2= ．【巩固练习】 一.选择题1. 若22(3)16x m x +-+是完全平方式，则m 的值为（ ）A ．－5B ．7C ．－1D ．7或－12．下列各式中，不能用完全平方公式分解的个数为（ ） ①x 2﹣10x +25；②4a 2+4a ﹣1；③x 2﹣2x ﹣1；④；⑤．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3. 如果24a ab m --是一个完全平方公式，那么m 是（ ） A.2116b B.2116b - C.218b D. 218b -4. 已知a=2005x+2004，b=2005x+2005，c=2005x+2006，则多项式a 2+b 2+c 2﹣ab ﹣bc ﹣ac 的值为（ ） A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 35. 若3a b +=，则222426a ab b ++-的值为（ ） A.12 B.6 C.3 D.06. 若x 为任意实数时，二次三项式26x x c -+的值都不小于0，则常数c 满足的条件是（ ） A.0c ≥ B. 9c ≥ C. 0c > D. 9c >二.填空题7．分解因式：4x 2﹣4xy +y 2= ．8. 因式分解:()222224m n m n +-＝_____________.9. 因式分解: 2221x x y ++-＝_____________.10. 若224250x y x y +-++=，x y +＝_____________.11. 当x 取__________时，多项式2610x x ++有最小值_____________.12.如果实数x 、y 满足2x 2﹣6xy+9y 2﹣4x+4=0，那么= ．三.解答题13.若44225a b a b ++=，2ab =，求22a b +的值.14.（2015春•怀集县期末）已知a+=，求下列各式的值：（1）（a+）2；（2）（a ﹣）2；（3）a ﹣．15. 若三角形的三边长是a b c 、、，且满足2222220a b c ab bc ++--=，试判断三角形的形状. 小明是这样做的：解：∵2222220a b c ab bc ++--=，∴2222(2)(2)0a ab b c bc b -++-+=.即()()220a b b c -+-= ∵()()22,0a b b c -≥-≥，∴,a b b c a b c ====即.∴该三角形是等边三角形. 仿照小明的解法解答问题：已知： a b c 、、为三角形的三条边，且2220a b c ab bc ac ++---=，试判断三角形的形状.。
北师大版八年级下册数学《提公因式法》因式分解PPT教学课件
(3)8a3b2－12ab3c＋ab；(4)－24x3＋12x2－28x.
(3)8a3b2－12ab3c＋ab
(4)－24x3＋12x2－28x
＝ab·8a2b－ab·12b2c＋ab·1
＝－( 24x3－12x2＋28x)
＝ab(8a2b－12b2c＋l)；
＝－(4x·6x2－4x·3x＋4x·7)
第四章 因式分解
提公因式法
知识回顾
1. 因式分解的概念
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这
个多项式分解因式 .
2. 整式乘法与分解因式之间的关系.
互为逆运算
获取新知
1.多项式ma+mb+mc有哪几项？
ma, mb, mc
2.每一项的因式都分别有哪些？
依次为m, a和m, b和m, c
－
1
2
时此式的值．
解：x(x＋y)(x－y)－x(x＋y)2
＝x(x＋y)[(x－y)－(x＋y)]
＝－2xy(x＋y)．
1
2
当x＋y＝1，xy＝－ 时，
1
原式＝－2×(－
2
)×1＝1.
随堂练习
1．多项式a(m－2)＋(m－2)分解因式等于( B
)
A．2(m－2)
B．(m－2)(a＋1)
C．(m－2)(a－1)
解：原式＝(a－1)(7＋x)．
(4)(2a＋b)(2a－3b)－3a(2a＋b)．
解：原式＝ (2a＋b)(2a－b－3a)
＝－(2a＋b)(a＋3b)．
请在下列各式等号右边填入“+”或“-”号,使等式成立.
(1) 2-a=____(
－ a-2)
北师大版八年级下册第四章因式分解之因式分解
B
D x²-5x+6 =(x+2)(x+3)
已知关于x的二次多项式2x²-ax+b因式分 解后的结果为(2x-1)(x+2),求a,b的值.
解 由题意知2x²-ax+b=(2x-1)(x+2) 又因为(2x-1)(x+2)=2x²+3x-2 所以2x²-ax+b= 2x²+3x-2 所以-a=3 b=-2 所以a=-3 b=-2
(1)x²-x =x(x-1） 因式分解
(2)x²-1=(x+1)(x-1) 因式分解
(3) x(x-1）=x²-x 整式乘法
(4) (x+1)(x-1) =x²-1 整式乘法
判断下列各式哪些是整式乘法,
哪些是因式分解。
(1)x²-4y²=(x+2y)(x-2y) 因式分解
(2)(5a-1)²=25a²-10a+1 整式乘法
已知关于x的二次多项式2x²-ax+b因式分 解后的结果为(2x-1)(x+2),求a,b的值.
解 由题意知2x²-ax+b=(2x-1)(x+2) 又因为(2x-1)(x+2)=2x²+3x-2 所以2x²-ax+b= 2x²+3x-2 所以-a=3 b=-2 所以a=-3 b=-2
解这类题的步骤:第一利用整式的乘法得到 多项式;第二令得到的多项式与所求的多项 式相等;第三使其对应项的系数相等.
所以原式能被11整除.
试说明 32020 - 4 32019 7 32018
能被11整除.
32 52018 - 4332018 7 32018 32018 (32 - 4 3 7) 32018 4
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第四章 因式分解
1.因式分解
一、基本知识点
1、因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫因式分解。
（1）.因式分解是恒等变形；（2）因式分解的对象是多项式；（3）结果是乘积形式；（4）分解后的每一个因式必须是整式；（5）分解到不能再分为止。
2、因式分解与整式乘法的关系：互逆过程。
（整式乘法可以验证因式分解的正确与否） 二、知识拓展与应用
1、下列由左到右的变形属于因式分解的是（ ）
22221
(a+3)(3)9;1(1)
();2x 3)(32)
A a a
B x x x
C a b a b
D y -=-+=++=++-、、、、6xy-4x+9y-6=（ 2、已知多项式x 4+2x 3－x+m 能因式分解，且有因式x+1. (1)当x=－1时，求多项式x 4+2x 3－x+m 的值。
(2)求m 的值。
3、如图4.1.1是由一个正方形和两个长方形组成的一个大矩形，
根据图形，写出一个因式分解的等式。
4、证明：一个三位数的百位上的数字与个位上的数字交换位置，
则原数与新数之差能被99整除。
5、多项式x 2－3x －10因式分解的结果是（ ） A 、（ｘ＋２）（ｘ－5） B 、（ｘ＋２）（ｘ+5）C 、（ｘ－２）（ｘ－5）D 、（ｘ－２）（ｘ+5）
6、已知关于x 的二次三项式3x 2+mx －n=(x+3)(3x －5),求：m 、n 的值。
7、关于x 的多项式6x 2－11x+m 因式分解后有一个因式2x －3，试求m 的值。
8、试说明817－279－９１３
能被４５整除。
２．提起公因式法
一、基本知识点
１、公因式：多项式各项中都含有的相同的因式（包括数）。
２、公因式的确定：（１）系数（第一项是负数时，提出负号）；确定数字因数；（２）找各项都有的字母；（３）各项都有的字母的最小指数。
３、提公因式法分解因式：（１）确定公因式；（２）用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式；（３）把多项式写成这两个因式的积的形式。
二、知识拓展与应用 １、把下列各式分解因式
（１）8x 3y 2－12xy 3z; (2) 9x n+1－27x n (3) 6(a －ｂ）３
－9b(a －b)2
(4) －4m 3+16m 2－26m （5）6a(b －a)2－3(a －b)3
2、利用因式分解简化计算
4111
(1)67923937191919⨯
⨯⨯⨯⨯、－－；（）、－133
20142014
20142015
2342014992015122⨯+-+-（）、；（）、（）
3、探讨32014－4×32013+8×32012 能被10以内的哪几个整数整除？
4、分解因式：1+x+x （x+1)+x(x+1)2+……x （x+1)2014
m n n
4.1.1图
3、公式法
一、基本知识点
1、平方差公式：a 2－b 2=(a －b)(a+b)
2、完全平方公式：a 2±2ab+b 2=(a ±b)2 二、知识巩固与拓展 1、分解因式
（1）－x 2+2x －1 (2) a 4－ｂ6 (3) 16x 2－25y 4 (4) 81m 4－１
（５）（ｘ２＋６ｘ）２
+18(x 2+6x)+81 (6) (x 2+y 2)2－４x 2y 2
（7）－3x 7+24x 5－48x 5 322
1
8x 2x y 2xy
2+（）、－
2、已知多项式4x 2+（m －1)xy+9y 2 是完全平方式，求m
22221111
3111234100⨯⨯⨯⨯ 、计算：（－）（1－）（－）（－）
4、用简单方法计算：20142
+196－28×2014
5、把4x 2+1加上一个单项式后，能成为完全平方式，加上的单项式可以是： 。
6、如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如：4=2
2
－０２
； 12=42－22 ；20=62－42；因此4,12,20,都是“神秘数”。
（1）28和2012这两个数是（神秘数“吗？
（2）设两个连续偶数为2k+2和2k （其中k 取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？
（3）两个连续奇数的平方差（取正整数）是神秘数吗？为什么？
章末总结
一、基本知识结构
22222
12()()()32()4am bm cm m a b c a b a b a b a ab b a b ⎧⎪
++=++⎪
⎪⎧-=+-⎪⎨⎨±+=±⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩
、定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做仪式分解。
、与整式乘法的关系：因式分解师整式乘法的逆过程。
提取公因式法：平方差公式：、因式分解的方法公式法完全平方式：试用类型：多项式的项数不少于项。
分组分解法：分组目的：分组后能套用公式或分别分解化应用⎧⎪
⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪
⎪⎪⎪⎪
⎧⎪
⎨⎪
⎩⎩
简计算整除问题
二、知识巩固提高 1、分解因式：
（1）a 2b －4b 3 (2)9m 2(x －y)+4n 2(y －x)
2、分解因式
（1）（x+2）（x －3）－3x+10 （2）（x －y)2－10(x －y)+25 (3)－3x 2+6xy －3y 2
32233
3,a 216b a b ab -+、已知a+b=1,ab=
求代数式
4、已知1+a+a 2=0，求：a 1980+a 1981+a 1982+……+a 2015
32322014220145201420142015⨯+－－2012
、计算：
－
6、求证：当n 为正整数时，（n+7）2－（n －5)2一定能被24整除。
7、分组分解
（1）a 2－ab+ac －bc; (2) m 2+5n －mn －5m
8、因式分解： x 4
+4
9、（1)计算：（x+a)(x+b)= .
（2）由上面的计算可知：x 2+(a+b)x+ab= .
(3)若设p=a+b,q=ab,那么多项式x 2+px+q= 。
利用上面的方法分解因式：
（1）x 2+4x+3 （2）x 2－5x+6 (3) x 2－２x －8
分解因式练习：
1、4x 3
－6x 2
＝ ； 2、m(a －b)－n （b －a ）＝ 3、m 4
－36 m 2
＝ ；4、（2x ＋y ）2
－（x ＋2y ）2
＝ 5、p 4
－1＝ 6、若x 2
－2（m ＋3）x ＋16是完全平方式，则m 的值为 7、a 2
－2a （b ＋c ）＋（b ＋c ）2
=
22
x y 8xy 22-+
、
=
9、xy 2
－2xy ＋x=
10、a 2 b 2 －a 2 －b 2 －1= ；11、（x ＋y ）2 －2（x 2 －y 2 ）＋（x －y ）2
12、x 2
－5x ＋6 13、x 2
－5x －6 14、x 2
＋5x －6 15、2x 2 －20x ＋50 16、（a ＋2）（a －8）＋25
17、a 2 ＋2ab ＋b 2 ＋4a ＋4b ＋4 18、已知a －b ＝3，ab ＝－1，求a 2 b －ab 2
的值。
19、证明：817
－279
－913
能被45整除。
20、已知：a 、b 为自然数且a 2
－b 2
＝45，求a 、b 的值。
21、若x2 ＋y2 ＋2x－8y＋17＝0，求y/x的值。
22、若一个三角形边长为a、b、c，且a2 ＋2b2 ＋c2 －2ab－2bc＝0，试判断该三角形的形状，并说明理由。
23、若非零实数a、b满足4a2 ＋b2 ＝4ab，求b/a的值。
24、若两个两位数的十位数字相同，而它们的个位数字之和为10，研究它们积的规律，并证明你的结论。
25.设y＝（x－1）（x－3）（x－4）（x－6）＋10证明：不论x取任何实数，y的值总大于0。
26.分解因式：x2＋4xy＋4y2－4x－8y＋3
27.若a2＋ba＋12能分解为两个一次因式的乘积，且b为整数，则b＝。
28、在实数范围内分解因式①x2－3 ②5x2－4
29、证明：两个相邻奇数的平方差是8的倍数。