第四章 因式分解

第四章 因式分解

1.因式分解

一、基本知识点

1、因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫因式分解。 （1）.因式分解是恒等变形；（2）因式分解的对象是多项式；（3）结果是乘积形式；（4）分解后的每一个因式必须是整式；（5）分解到不能再分为止。

2、因式分解与整式乘法的关系：互逆过程。（整式乘法可以验证因式分解的正确与否） 二、知识拓展与应用

1、下列由左到右的变形属于因式分解的是（ ）

22221

(a+3)(3)9;1(1)

();2x 3)(32)

A a a

B x x x

C a b a b

D y -=-+=++=++-、、、、6xy-4x+9y-6=（ 2、已知多项式x 4+2x 3－x+m 能因式分解，且有因式x+1. (1)当x=－1时，求多项式x 4+2x 3－x+m 的值。 (2)求m 的值。

3、如图4.1.1是由一个正方形和两个长方形组成的一个大矩形，

根据图形，写出一个因式分解的等式。

4、证明：一个三位数的百位上的数字与个位上的数字交换位置，

则原数与新数之差能被99整除。

5、多项式x 2－3x －10因式分解的结果是（ ） A 、（ｘ＋２）（ｘ－5） B 、（ｘ＋２）（ｘ+5）C 、（ｘ－２）（ｘ－5）D 、（ｘ－２）（ｘ+5）

6、已知关于x 的二次三项式3x 2+mx －n=(x+3)(3x －5),求：m 、n 的值。

7、关于x 的多项式6x 2－11x+m 因式分解后有一个因式2x －3，试求m 的值。

8、试说明817－279－９１３

能被４５整除。

２．提起公因式法

一、基本知识点

１、公因式：多项式各项中都含有的相同的因式（包括数）。 ２、公因式的确定：（１）系数（第一项是负数时，提出负号）；确定数字因数；（２）找各项都有的字母；（３）各项都有的字母的最小指数。 ３、提公因式法分解因式：（１）确定公因式；（２）用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式；（３）把多项式写成这两个因式的积的形式。 二、知识拓展与应用 １、把下列各式分解因式

（１）8x 3y 2－12xy 3z; (2) 9x n+1－27x n (3) 6(a －ｂ）３

－9b(a －b)2

(4) －4m 3+16m 2－26m （5）6a(b －a)2－3(a －b)3

2、利用因式分解简化计算

4111

(1)67923937191919⨯

⨯⨯⨯⨯、－－；（）、－133

20142014

20142015

2342014992015122⨯+-+-（）、；（）、（）

3、探讨32014－4×32013+8×32012 能被10以内的哪几个整数整除？

4、分解因式：1+x+x （x+1)+x(x+1)2+……x （x+1)2014

m n n

4.1.1图

3、公式法

一、基本知识点

1、平方差公式：a 2－b 2=(a －b)(a+b)

2、完全平方公式：a 2±2ab+b 2=(a ±b)2 二、知识巩固与拓展 1、分解因式

（1）－x 2+2x －1 (2) a 4－ｂ6 (3) 16x 2－25y 4 (4) 81m 4－１

（５）（ｘ２＋６ｘ）２

+18(x 2+6x)+81 (6) (x 2+y 2)2－４x 2y 2

（7）－3x 7+24x 5－48x 5 322

1

8x 2x y 2xy

2+（）、－

2、已知多项式4x 2+（m －1)xy+9y 2 是完全平方式，求m

22221111

3111234100⨯⨯⨯⨯ 、计算：（－）（1－）（－）（－）

4、用简单方法计算：20142

+196－28×2014

5、把4x 2+1加上一个单项式后，能成为完全平方式，加上的单项式可以是： 。

6、如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如：4=2

2

－０２

； 12=42－22 ；20=62－42；因此4,12,20,都是“神秘数”。 （1）28和2012这两个数是（神秘数“吗？

（2）设两个连续偶数为2k+2和2k （其中k 取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？

（3）两个连续奇数的平方差（取正整数）是神秘数吗？为什么？

章末总结

一、基本知识结构

22222

12()()()32()4am bm cm m a b c a b a b a b a ab b a b ⎧⎪

++=++⎪

⎪⎧-=+-⎪⎨⎨±+=±⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩

、定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做仪式分解。、与整式乘法的关系：因式分解师整式乘法的逆过程。提取公因式法：平方差公式：、因式分解的方法公式法完全平方式：试用类型：多项式的项数不少于项。分组分解法：分组目的：分组后能套用公式或分别分解化应用⎧⎪

⎪

⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪

⎪⎪⎪⎪

⎧⎪

⎨⎪

⎩⎩

简计算整除问题

二、知识巩固提高 1、分解因式：

（1）a 2b －4b 3 (2)9m 2(x －y)+4n 2(y －x)

2、分解因式

（1）（x+2）（x －3）－3x+10 （2）（x －y)2－10(x －y)+25 (3)－3x 2+6xy －3y 2