多柔体系统动力学中的间隙接触内碰撞

一、引言 机械系统是由多个刚体或柔性体通过活动铰连 接起来的。 由于相对运动要求和制造误差、 磨损和热 变形等因素， 实际铰连接中不可避免地存在间隙。 铰 中微小间隙及接触变形对高精度机构的几何精度和 动态特性的影响不可忽略。 考虑铰间接触变形、 间隙 及其引起的碰撞特性， 将间隙、 接触力和接触变形引 入到动力学方程中， 提高建模和数值仿真精度， 研究 相应的数值积分方法，已成为近年来多柔体系统动 力学的研究方向之一。本文主要介绍近年来出现的 各种铰变形接触模型、数值仿真方法和实验验证技 术。 二、系统动力学方程组 设机械系统位型可用 n 个广义坐标 q 描述， 受 到 M 个完整约束（无间隙理想铰约束）后的系统控 制方程一般可写成以下形式［１］
＊ 国家自然科学基金资助项目（５０２７５０８０）
三、铰接触模型 以转动铰为例，不少研究人员使用下述并联非 线性弹簧和非线性阻尼力模型， 如文献［１］， 来近似 表示接触力和变形的关系和动态接触碰撞过程中的 能量损失
F = kδ e + cδ δ （４）
（上接第６４页）
上测试系统和部件级的响应。
参考文献
［１］ 阎绍泽、 贾书惠、 吴德隆等． 含间隙的变拓扑多体系统动力 学建模分析．中国机械工程， ２０００， １１（６）： ６２４～６２６ ［２］ 刘书、 刘晶波、 方鄂华． 动接触问题及其数值模拟的研究进 展．工程力学， １９９９， １６（６）： １４～２８ ［３］ Ｊｏｈｎｓｏｎ Ｋ Ｌ． Ｃｏｎｔａｃｔ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ． Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ： Ｃａｍ－ ｂｒｉｄｇｅ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｐｒｅｓｓ， １９８５ ［４］ Ａｄａｍｓ Ｇ Ｇ， Ｎｏｓｏｎｏｖｓｋｙ Ｍ． Ｃｏｎｔａｃｔ ｍｏｄｅｌｉｎｇ－ｆｏｒｃｅｓ． Ｔｒｉｂｏｌｏｇｙ Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ ２０００， ３３： ４３１～４４２ ［５］ Ｂａｕｃｈａｕ Ｏ Ａ， Ｒｏｄｒｉｇｕｅｚ Ｊ． Ｍｏｄｅｌｉｎｇ ｏｆ Ｊｏｉｎｔｓ ｗｉｔｈ Ｃｌｅａｒａｎｃｅ ｉｎ Ｆｌｅｘｉｂｌｅ Ｍｕｌｔｉｂｏｄｙ ｓｙｓｔｅｍｓ． Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｊ． ｏｆ Ｓｏｌｉｄｓ ａｎｄ Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ， ２００２， ３９： ４１～６３ ［６］ Ｄｅｃｋ Ｊ Ｆ， Ｄｕｂｏｗｓｋｙ Ｓ． Ｏｎ ｔｈｅ Ｌｉｍｉｔａｔｉｏｎｓ ｏｆ Ｐｒｅｄｉｃ－ ｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ Ｄｙｎａｍｉｃ Ｒｅｓｐｏｎｓｅ ｏｆ Ｍａｃｈｉｎｅｓ ｗｉｔｈ Ｃｌｅａｒａｎｃｅ Ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎｓ． ＡＳＭＥ Ｊ．ｏｆ Ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ Ｄｅｓｉｇｎ， １９９４， １１６（３）：８３３－ ８４１
−1
L /mm
０．９５ ４．８４ １．３１ ０ ２．１９ ３．２７ ３．０３ ４．３６ ５．２４ ３．０３ ４．３６ ５．２４ １．８３
加 １００ｒ／ｍｉｎ 直至增至 ２５００ｒ／ｍｉｎ 为止，共取 ２６ 个 转速点。 ３、试验结果分析 表 ２ 列出了由低到高的 ２６个转速点进行切削时
表２ ２６个转速点测得的试验数据
测得的试验数据。 图５是根据表２列出的试验数据绘制的稳定性极 限切削宽度 b lim 随主轴转速 n 的变化图。 与图２所列稳定性极限预测结果相比较， 从最小 极限切削宽度 ( b lim ) min 看，预测结果为 ０．１９ｍｍ；试 验结果为 ０ ． ２ ８ ｍ ｍ ； 预测误差率为 ３ ２ ％ 。从与
机械动力学专集
２００３ 年增刊
实验证实了由含间隙转动副构成的航天桁架结 构振动频谱呈宽带分布， 出现了混沌现象， 桁架频率 远低于线性结构频率，通过给铰施加预应力和增大 摩擦力可以减轻混沌程度，使振动快速衰减。 六、发展趋势 为在实际工程中得到更多应用，含间隙多柔体 机械系统动力学在理论、计算和实验方面等方面尚 需进一步发展， 具体是 ： （１） 结合摩擦学和接触冲击 力学等有关学科的进展，探讨适合微小间隙铰的接 触力模型，研究适合动接触的部件模态和阻尼； （２） 进一步研究数值积分算法和对积分结果进行分析的 方法，以使长时间的数值仿真能反映原系统的物理 本质，进而从不同尺度上研究系统的动态特性； （３） 发展高精度测量技术，在宏动力学和微动力学尺度
对应于广义坐标 q 的广义力列阵。 求解上述动态接触 动力学方程组的方法很多， 文献［２］对此做了较为全 面的总结。 本文下面结合机械工程中的含间隙铰情况，对 采用罚函数类的接触力模型及其相应系统动力学方 程组的数值求解方法作简单介绍。 采用罚函数法时， 允许接触副有很小的穿透量，从而可以把接触力表 示为违约量的已知状态函数。 对非共形接触， 若允许 接触副有很小的变形量，则法向接触力可以表示为 接触变形量的函数。 在这两种情况下， 方程组（２）中 后面的四个约束方程自然满足或者近似满足，最终 得到下述形式的 ＤＡＥｓ 微分一代数方程组
机械动力学专集
２００３ 年增刊
多柔体系统动力学中的间隙接触内碰撞 ＊
清华大学精密仪器与机械学系 （１０００８４） 陈鹿民 阎绍泽 郭 峰 金德闻
摘要 工程实际中的活动铰连接均存在微小间隙和接触变形， 利用接触变形建模方法能求出铰中的接触碰撞力。 本文全面 总结了地面和航天机构中现有的含间隙铰接触变形模型、 数值积分方法、 铰参数辨识以及系统动态特性实验方法， 指出了 当前含间隙多柔体系统动力学研究中存在的问题及今后的研究方向。 关键词 多柔体系统动力学 间隙 接触变形
M q + φ 'T q λ = Q +F ' （３） φ '= 0
的Ｊａｃｏｂｉ矩阵； λ 为Ｌａｇｒａｎｇｅ乘子列阵； Q 为广义 力列阵。 若其中一部分铰间隙不可忽略，间隙中的间歇 接触碰撞现象使得系统整体特性呈现变拓扑结构形 式， 接触局部区域上呈现时变非线性边界条件。 令g 为接触点对间的距离列阵， g 值为正表示穿透， F 为法 向接触力列阵， 引入不可穿透的 F 值为正表示压力， 接触单边约束方程后，系统控制方程可写成
式中， e ≥ 1 ； δ 为两光滑接触面的法 e 为幂指数，
・ ６５ ・
来自百度文库
《精密制造与自动化》
向接触变形量（穿透深度）； δ 为变形速率（相对运动速 度）， 与接触处的变形量、 几何形状及 k 为等效刚度， 材料特性有关， c 为阻尼因子，是接触处几何形状、 材料特性、变形量和变形速度的非线性函数。 k 和c 通常由实验确定。 在不接触（自由）阶段， 接触力和阻 尼力均为零。 方程中考虑部件柔性后， 上述阻尼因子 不包括部件振动阻尼。 实际转动铰中间隙很小， 一般是直径的１／１００到 １／１００００， 具体数值视直径大小和精度而定。 所以尽 管接触变形可能很小， 但是接触区域较大， 是（近）共 形接触， Ｈｅｒｔｚ公式不再适用。 近年来发展了各种针 对动接触问题的数值方法，如罚函数解法和弹性基 础力学模型［３］等显式方法和增广Ｌａｇｒａｎｇｅ方法等半 显式方法，自由度多和计算量大的缺点阻碍了其中 大多数隐式方法在含间隙柔性多体机械系统动力学 中的直接应用。 实际接触表面上有众多的微凸峰。Ａ ｄ ａ ｍ ｓ 和 Ｎｏｓｏｎｏｖｓｋｙ［４］总结了粗糙表面间法向接触力和切向 干摩擦力与表面粗糙度关系的研究状况。由于存在 间隙， 在运动过程中， 铰中接触面将发生间歇接触碰 撞， 通过各种尺度上的表面变形阻尼耗散能量， 产生 振动和噪声， 降低系统动态精度。 另一方面， 当由微 凸峰组成的两表面相互接近时，接触仅仅发生在凸 峰的顶部， 法向施加的压力越大， 凸峰压缩变形量越 大，接触力越大。随着磨损加剧，微凸峰高度降低， 实际接触面增大，接触刚度也相应提高。 Ｂａｕｃｈａｕ［５］忽略端部泄漏， 研究了长转动铰中有 液体润滑时低转速和高转速下的接触力，建立了与 式（３）相似的多体系统动力学方程。与无润滑时的 动态响应相比较，有间隙情况下润滑对系统总体动 态响应影响很小， 但是对仿真效率影响较大， 能极大 地减小仿真时间（比无间隙情况仅长 ２０－４０％） ，原 因是系统无高频响应。 研究结果表明间隙、 柔性和阻 尼因素对系统动态特性的影响都不可忽视。 准确而便于使用的接触力模型是应用罚函数和 接触变形类建模方法的力学基础。间隙中的碰撞冲 击过程远小于机构运转过程，接触力呈现一定的非 光滑特征。 考虑到接触塑性变形和材料强度， 接触力 的峰值大小和接触的频繁程度对铰关节的几何精度 和寿命起着决定性的影响， 因此， 在设计阶段需要尽 量准确地了解接触力的变化规律。然而要在一次数 值仿真中同时追求特定时刻的接触力和机构长期的 运动趋势，面临着力学模型精度和数字积分积累误
Mq + φ T λ = Q q （１） = φ 0 ∂φ φq = 式中， 为约束方程 φ M 为系统惯性矩阵， ∂q
M q + φ 'T q λ = Q +F ' φ' = 0 gi ≤ 0 （２） Fi ≥ 0 Fi • gi = 0 dg Fi • i = 0 dt φ ' 为剩余的完整约束， 式中， F ' 为法向接触力 F
( b lim ) min 相 对 应 的 转 速 范 围 分 析 ， 试 验 结 果 为 １１６０ｒ／ｍｉｎ、１６５０ｒ／ｍｉｎ、２１００ｒ／ｍｉｎ 左右；预测结
n /r⋅min
１０００ １０５０ １１００ １１５０ １２００ １２５０ １３００ １３５０ １４００ １４５０ １５００ １５５０ １６００
・ ６６ ・
差的双重困难。 四、数值计算 采用罚函数和接触变形建模方法的关键本质是 确定接触刚度。 如果接触刚度过小， 则积分步长可以 取得较大， 计算效率高， 但是违约量（接触变形）大， 几何精度降低； 反之， 如果接触刚度过大， 则积分步 长必须取得很小， 计算效率低， 几何位移精度很高， 但是数值解存在高频振荡， 出现 ‘虚假’ 接触应力波 动现象。Ｄｕｂｏｗｓｋｙ［６］通过对柔性多体机构的计算和 实验指出，高频振荡响应对系统参数和初始条件敏 感， 造成了系统响应的混沌现象， 这是含间隙运动副 机构动力学的固有性质。 研究结果表明，对系统动力学微分方程进行数 值积分造成困难的原因是非线性、不可微的接触力 （高阶导数为零）模型所带来的刚性和奇异性， 而不是 对位移约束方程的二次微分。通过采取提高接触力 模型的阶数，降低接触开始和结束时积分方法的阶 数，减小积分步长等方法可以提高积分精度。 对于复杂几何形态的柔性体，有限元离散后的 自由度很大， 不适合直接用于多体系统动力学分析， 当前一般采取部件子结构模态综合方法。部件低阶 模态取的不当， 将使仿真结果严重偏离真实运动。 结 构阻尼将接触冲击引起的部件高频振动在接触阶段 及刚分离后的自由阶段迅速衰减， 同时也减小了 ‘虚 假’ 的接触力波动。 引入高阶模态虽然对整体状态响 应（速度、 位移）影响不大， 但是能加快数值积分结果 收敛。 在含间隙铰多柔体机构动力学中， 接触区域是 事先未知的，部件振动变形的非线性边界条件是时 变的， 而部件运动的惯性力， 接触碰撞力等因素都对 振动模态有影响。 因此， 严格地说， 各部件的变形模 态在机构运动过程中应是变化的。 五、实验研究 由于实际铰结构的复杂性，仅用数值方法研究 铰的接触力学特性难度很大，国内外许多研究人员 转向实验研究方法。 铰中接触力一般难以直接确定， 而接触变形量一般很小， 仅有几微米甚至更小， 普通 传感器分辨率不够， 测量误差较大。 多种转动铰实验 结果显示 ： （１） 摩擦力矩随预载荷呈非线性变化， 摩 擦力矩－负荷曲线存在最小值； （２） 滚珠表面不平度 对微米和纳米级的动力学特性没有影响， Ｈｅｒｔｚ接触 理论仍可使用； （３） 法向接触力和摩擦力均存在滞回 （ｈｙｓｔｅｒｅｓｉｓ）现象； （４） 瞬态载荷会引起铰中接触表面 产生残余静态变形（塑性变形）。