第十二章 无穷级数A同步测试卷教学文案
高等数学A1教学要求
《高等数学A1》、《高等数学A2》课程教学大纲一．课程基本信息开课单位：数理学院课程编号：05010013a/05010019a英文名称：Advanced mathematics学时：总计176学时，其中理论授课128学时，习题课36学时，复习、期中考试共12学时学分：11学分面向对象：理工类本科专业分级普通班先修课程：中学数学教材：《高等数学》，上、下册，同济大学应用数学系主编，高等教育出版社，2007年6月第6版主要教学参考书目或资料：1.《高等数学》上、下册上海交通大学编2．《高等数学辅导》清华大学编3．《高等数学例题与习题》西安交大编4.《高等数学解题方法研究》中国林业出版社5．《高等数学习题课教程》江苏科大编二．教学目的和任务江苏科技大学的培养目标是适应我国社会主义现代化建设需要、全面发展的高级工程技术人才。
《高等数学》是培养这些高质量专门人才不可缺少的一门重要的基础理论课。
通过本课程的学习，使学生掌握高等数学的基本理论、基本方法和基本运算技能，培养学生综合运用所学知识分析和解决实际问题的能力，从而为今后扩大深化数学知识及学习后续课程奠定基础，也为学生以后从事专业技术工作奠定数学基础。
本课程理论严谨，系统性、逻辑性强，对培养学生的辨证思维能力，树立理论联系实际的科学观点和提高学生分析问题、解决问题的能力有着重要的作用。
三．教学目标与要求本门课程通过授课、复习等教学环节，主要学习：函数与极限；一元函数微积分；向量代数和空间解析几何；多元函数微积分学；无穷级数（包括付立叶级数）；常微分方程，从而使学生系统获得高等数学的基本概念、基本理论、基本运算技能，养成工科学生的基本数学素养，为后继课程奠定必要的数学基础。
在传授知识的同时，需要通过各个教学环节加强：1．运算能力的培养①布置一定数量的习题，并补充一些一定难度和技巧的题目。
②要求熟记一些基本公式、法则、性质等。
③通过习题课启发学生多动脑筋，举出一定技巧的题目及一题多解题，让学生想多种方法解题。
无穷级数 测试题
1. 填空3分一道（1）若级数1n n u ∞=∑与1n n v ∞=∑都收敛，则()1 .n n n u v ∞=+∑必（2）若常数项级数1n n u ∞=∑收敛，则必有lim .n n u →∞=2.14分 下列级数中条件收敛的是（ ）绝对收敛的是（）(A)()11112n n n ∞=-+∑ (B)()11n ∞=-∑ (C)()111n n n ∞=-∑ (D)()2111nn n ∞=-∑ (E)()11n n ∞=-∑ （F ）()111n n ∞-=-∑ 下列题10分一道3.判定级数112n n n ∞=⋅∑的敛散性（收敛或者发散）4.判定级数13!n n n n n ∞=⋅∑的敛散性5.判定级数()111001n n n ∞=+∑的敛散性 6.判定级数211ln 1n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑的敛散性 7.求幂级数()131nnn n x n ∞=-∑的收敛半径及收敛区间（开） 8. 求幂级数11!n n x n ∞=∑的收敛区间 9.求幂级数112n n nx ∞-=∑的收敛区间及和函数10.将13x +展开成()1x -的幂级数，并求其收敛区间。
知识点归纳：一、正项级数：1.调和级数11n n ∞=∑发散。
2.11p n n∞=∑：当p>1时，收敛，p ≤1时发散（包括一系列等价无穷小） 3.比值审敛法（针对通项里出现了,!n a n ）：1lim n n n u u +→∞的值<1,收敛；>1则发散；等于1，方法用错了，该用第2条。
二.交错级数：()11nn n u ∞=-∑，判定lim 0n n u →∞≠则该级数发散；lim 0n n u →∞=， 1n n u u +≤，则该级数收敛，此时该级数分条件收敛和绝对收敛，就是将该级数加绝对值()111n n n n n u u ∞∞==-=∑∑，去掉麻烦的()1n-，此时判别法回到正项级数判别法：1）如果还收敛的话，则为绝对收敛，如果发散则为条件收敛。
第十二章 无穷级数
(D)
an bn 收敛
n1
解 由级数的性质知 D 正确。A、B、C 不正确，见例 an bn (1)n
1。 n
2. 若级数 an 发散， bn 收敛，则( A )。
n1
n1
(A)
an bn 发散
n1
(B)
anbn 发散
解 如图易得结论。
第十二章 无穷级数
17.
若级数
1
n1 n2
2 6
，则级数
n1
1n1
1 n2
的和等于 2
12 ， 1
n1 2n 12
的和等于 2
8。
解
2 6
1
1 22
1 32
1 n2
,
S1
1
1 22
1 32
1n1
1 n2
，则
Un
n1
收敛的充分必
要条件是 k, m 适合关系式 k m 1 。
解 Un
a0
b0
1 nkm
, 1
Un nkm
a0 b0
，即 Un
n1
与
1
n1 nk m
敛散性相同，从而得结论。
5.
若 lim Cn n Cn1
L,0 L , 则
Cn x 1n 的收敛区间(不考虑端点)是
n1
n1
n1
n
4. 若 an 0, Sn ak ，则数列Sn 有界是级数 an 收敛的( C )。
高等数学(复旦大学版)第十二章 无穷级数
第十二章 无穷级数无穷级数是数与函数的一种重要表达形式，也是微积分理论研究与实际应用中极其有力的工具. 无穷级数在表达函数、研究函数的性质、计算函数值以及求解微分方程等方面都有着重要的应用. 研究级数及其和，可以说是研究数列及其极限的另一种形式，但无论在研究极限的存在性还是在计算这种极限的时候，这种形式都显示出很大的优越性. 本章先讨论数项级数，介绍无穷级数的一些基本内容，然后讨论函数项级数，并着重讨论如何将函数展开成幂级数与三角级数的问题.第一节 常数项级数的概念和性质教学目的：1、理解无穷级数的概念；2、理解级数的收敛或发散的概念；3、掌握等比级数和p 级数等特殊级数的敛散性；4、了解无穷级数的基本性质。
教学重点：级数收敛或发散的判定 教学难点：级数收敛或发散的判定 教学内容：一、常数项级数的概念定义1 给定数列{}n u ，则称12n u u u ++++L L为常数项无穷级数，简称级数，记做1n n u ¥=å，即121n n n u u u u ¥==++++åL L式子中每一项都是常数，称作常数项级数，第n 项称为级数的一般项（或通项）。
级数1n n u ¥=å的前n 项和称为级数的部分和，记做n s ，即12n n s u u u =+++L级数的所有前n 项部分和n s 构成一个数列{}n s ，称此数列为级数1n n u ¥=å的部分和数列。
定义2 若级数1n n u ¥=å的部分和数列{}n s 收敛于s ，则称级数1n n u ¥=å收敛，或称1nn u ¥=å为收敛级数，称s 为这个级数的和，记作121n n n s u u u u ¥==++++=åL L而12n n n n r s s u u ++=-=++L称为级数的余项，显然有lim lim()0n n nnr s s =-=若{}n s 是发散数列，则称级数1n n u ¥=å发散，此时这个级数没有和。
高等数学无穷级数上课习题与答案
第一次作业1.写出级数√x2+x2?4+x√x2?4?6+x22?4?6?8+?的一般项。
解：一般项为u n=(x12)n (2n)!!2.已知级数∑2n n! n n∞n=1收敛，试求极限limn→∞2n n!n n。
解：由级数收敛必要条件可知lim n→∞2n n!n=03.根据级数性质，判定级数∑(15n+2n)∞n=1的敛散性。
解：因为级数∑(1 5n )∞n=1收敛，级数∑(2n)发散，∞n=1所以由性质可推导出级数∑(15n+2n)发散。
∞n=14.根据级数收敛与发散定义判定级数∑(√n−1−√n)的敛散性，∞n=1若收敛，求其和。
解：设u n=√n−1−√n ,S n=√2−1+√3−√2+√4−√3+?+√n−1−√n=√n+1−1=n1+√n+1因为limn→∞S n=limn1+√n+1=∞ ,所以所求级数发散。
5.判定级数∑√n +1n∞n=1的敛散性。
解：因为lim n→∞u n =lim n→∞√n +1n=1≠0 ， 所以由级数收敛的必要条件知级数∑√n +1n∞n=1发散 。
6.1√2−1−1√2+1+1√3−1−1√3+1的敛散性。
解：原式=(1√2−1−1√2+1)+(1√3−1−1√3+1)+?=12(1+12+13+?1n +?)=12∑1n∞n=1 第二次作业1.根据P—级数的敛散性，判定级数∑2n +1()2()2∞n=1 的敛散性。
解：因为2n +1(n +1)2(n +2)2<2n +2(n +1)2(n +2)2<2(n +1)3<2n 3由∑1n3∞n=1是收敛的，所以∑2n +1(n +1)2(n +2)2∞n=1收敛。
2.如果∑a n ∞n=1，∑b n ∞n=1为正项级数且收敛，试判定∑√a n b n ∞n=1的敛散性 。
解：因为√n b n ≤a n +b n2,所以由比较审敛法知∑√a n b n ∞n=1收敛。
3.根据极限审敛法，判别级数∑sin πn 的敛散性 。
高等数学习题册 第十二章 参考答案
1第十二章 无穷级数第一节 常数项级数的概念与性质1．填空： （1）1+1(-1)n n n -．（2）__0__．（3）111+-n ， _1_． （4）11+-n a a ，1a a -．（5） 收敛 ，12-s u ．（6） 发散_． 2．根据级数收敛与发散的定义判断下列级数的敛散性，如果收敛，则求级数的和：（1）解：级数的部分和为...n s +++1-．因为lim 1)n n n s →∞→∞=-=+∞，即部分和数列不存在极限，所以原级数发散． （2）解：将级数的一般项进行分解得211111()(1)(1)2111n u n n n n n ===-+--+-， 所以，级数的部分和为111111111[()+()()...()]213243511n s n n =--+-++--+1111(1)221n n =+--+． 因为11113lim lim (1)2214n n n s n n →∞→∞=+--=+， 即部分和数列存在极限，且极限值为34，根据定义可得，原级数收敛，且收敛于34．（3）解： 因为lim lim sin 6n n n n u π→∞→∞=不存在，根据收敛级数的必要性条件可知，级数的一般项极限不为零，则原级数必定发散．3．判断下列级数的敛散性，如果收敛，则求级数的和： （1）解：这是一个公比为34-的等比级数，因为314-<，所以收敛．其和为13343171()4u s q-===----． （2）解：这是公比为32-的等比级数，因为3>12-，所以发散．（3）解：因为1lim lim=0100+1100n n n n u n →∞→∞=≠，根据收敛级数的2必要性条件可知，原级数发散． （4）解：因为级数123nnn ∞=∑是公比为23的等比级数，所以收敛，而级数1131=3n n n n∞∞==∑∑是发散级数，根据收敛级数的性质可知，原级数发散．（5）解：原级数的一般项ln (1)-ln n u n n =+，所以原级数的部分和(ln 2-ln1)(ln 3-ln 2)...[(ln(1)-ln ]n s n n =++++ln(1)-ln1ln(1)n n =+=+，因为lim limln(1)n n n s n →∞→∞=+不存在，所以原级数发散．（6）解：原级数变形为111[()()]32n n n ∞=+∑，因为级数11()3nn ∞=∑和11()2n n ∞=∑均为公比1q <的等比级数，所以原级数收敛． 其和为113321121132s =+=--．（7）解：因为313lim =3lim()3lim011+(1+)(1+)n nn n n n nn n n e n n→∞→∞→∞==≠，根据收敛级数的必要条件可知，原级数发散．第二节 常数项级数的审敛法1．填空： （1） 收敛 ．（2） 发散 ； 收敛 ；可能收敛也可能发散 ． （3）1k <；1k >时，1k =．（4）1p >；1p ≤时．（5）发散 ． （6）可能发散也可能收敛 ． 2．选择：（1）D ．（2）C ．（3）B ．（4）C ．3．用比较审敛法及其极限形式判断下列级数的敛散性：（1）解：因为222+1++2lim lim 11+2n n n n n n n n→∞→∞==，而级数11n n∞=∑发散，根据比较审敛法的极限形式（或者极限审敛法），原级数一定发散．（2）解：因为2211(1)(21)limlim 1(1)(21)2n n n n n n n n →∞→∞++==++，而3 级数211n n∞=∑收敛，根据比较审敛的极限形式（或者极限审敛法），原级数一定收敛．（3）解：因为0sin 22n n ππ≤≤，而12n n π∞=∑是公比为12的等比级数，根据比较审敛法，原级数一定收敛．（4）解：当>1a 时，110<1n na a ≤+而11n n a∞=∑是公比为1<1a 的等比级数，根据比较审敛法，级数111nn a ∞=+∑一定收敛； 当0<1a <时，因为1lim=101nn a →∞≠+，根据级数收敛的必要性条件，级数111nn a ∞=+∑发散； 当=1a 时，原级数即112n ∞=∑，发散． （5*）解：因为ln (1+)(0,1)x x x x <≠-<<+∞，所以111ln =ln(1+)n n n n +<，即原级数为正项级数； 同时，111ln =ln ln(1)111n n n n n n +-=-->+++， 则：21111110<ln 1(1)n n n n n n n n+-<-=<++， 而211n n∞=∑收敛，所以原级数也收敛． 4．用比值审敛法判断下列级数的敛散性：（1）解：2+122(1)1113lim lim(1)1333n n n nn n n →∞→∞+=+=<，根据比值审敛法，原级数收敛．（2）解：135(2+1)2+1(+1)!limlim 2>1135(21)+1!n n n n n n n n →∞→∞⋅⋅⋅⋅⋅==⋅⋅⋅⋅⋅-，根据比值审敛法，原级数发散．4（3）解：+2+2+1+1(+1)tan+1122limlim 12tan 22n n n n n n n n n n ππππ→∞→∞=⋅=<，根据比值审敛法，原级数收敛．（4）解：1+12(1)!12(+1)lim 2lim()2lim <1112!(1+)n n n n n n n nnn n n n e n n n +→∞→∞→∞+===+， 根据比值审敛法，原级数收敛．5．用根值审敛法判别下列级数的敛散性：（1）解：1lim 12+12n n n n →∞=<，根据根值审敛法，原级数收敛． （2）解：1lim 01ln(+1)n n n →∞=<，根据根值审敛法，原级数收敛． （3）解：n b a， 当1ba<，即>a b 时，原级数收敛； 当>1ba ，即ab <时，原级数发散； 当1ba=，即=a b 时，原级数可能收敛也可能发散． 6．判别下列级数的敛散性： （1）解：10n n ==≠，根据收敛级数的必要条件可知，原级数发散．（2）解：原级数显然为正项级数，根据比较审敛法的极限形式，111lim =lim 1n n na b b aa n n→∞→∞+=+，所以原级数发散． （3）解：因为11lim 1>122nn n e n →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以原级数发散．7．判别级数的敛散性，若收敛，指出条件收敛还是绝对收敛： （1）解：因为11111(1)=33n n n n n n n ∞∞---==-∑∑，而1+11+113lim =lim <1333n n n n n n n n →∞→∞-=，所以级数113n n n ∞-=∑收敛，5因此原级数绝对收敛．（2）解：因为22(21)(21)cos 22n nn n n π++≤，又因为： 22+122(23)(23)12lim =lim 12(21)2(21)2n n n nn n n n →∞→∞++=<++，所以级数21(21)2nn n ∞=+∑收敛，因此原级数绝对收敛． （3）解：级数的一般项为：11(1)(1)10n n n u -=-+，因为1lim||lim(1)1010n n n n u →∞→∞=+=≠，所以原级数的一般项不趋近 于0，原级数发散． （4*）解：这是一个交错级数11(1)n n n u ∞-=-∑，因为级数1n ∞=-∑发散（见第一节习题2（1）），所以原级数不是绝对收敛，又因为：0n n =，1n n u u +-=---==-，根据莱布尼兹定理可知，原级数收敛且是条件收敛．8*．解：先讨论0x >的情形． 当=1x 时，级数为112n ∞=∑，显然发散；当0<<1x 时，级数为正项级数，利用比值审敛法，1221+122221lim =lim lim 111n n n n n n n n n n nu x x x x x u x x x ++++→∞→∞→∞++⋅==<++， 所以此时级数211+n nn x x ∞=∑收敛且是绝对收敛； 当1x >时，同样利用比值审敛法，2121+12222111lim =lim lim1111n n n n n n n nn u x x x x u x x x +++→∞→∞→∞+++==<++，6 所以此时级数211+nnn x x∞=∑收敛且是绝对收敛； 再看<0x 的情形．当1x =-，级数为1(1)2nn ∞=-∑，显然发散；当10x -<<和1x <-时，级数为21()(1)1nn n n x x ∞=--+∑，这是一个交错级数，对其一般项取绝对值得到正项级数21()1nnn x x ∞=-+∑，按照同样的方法可知21()1nnn x x∞=-+∑收敛，也即原级数绝对收敛； 而当0x =时，级数显然收敛且绝对收敛；综合得，原级数在1x =±时发散，其他均为绝对收敛． 9*．证明：设111(1)n n n a S ∞-=-=∑，若∑∞=-112n n a 收敛，设2121n n aS ∞-==∑，则122121111(1)n n n n n n n a a a S S ∞∞∞--====--=-∑∑∑，即21nn a∞=∑收敛，所以22-111(+)nn n n n aa a ∞∞===∑∑收敛，与11(1)n n n a ∞-=-∑条件收敛矛盾，所以∑∞=-112n n a 发散．因为11(1)n n n a ∞-=-∑条件收敛，所以∑∞=1n n a 发散．10*证明：因为222||0nnn n a b a b +≥≥，所以∑∞=1n nnba 收敛；因为2220()2||n n n nn n a b a b a b ≤+≤++，所以∑∞=+12)(n n nb a收敛；令1n b n =，因为∑∞=12n n b 收敛，所以∑∞=1n n n b a 收敛，即∑∞=1n n na 收敛．第三节 幂级数1．填空：（1）绝对收敛 ； 绝对收敛 ．（2）1ρ；+∞；_0_．（3）_1_，7 (-1,1)．（4）12=R R ；(5) (),R R -．2．选择：（1）B ．（2）B ． （3）A ． （4）C ． （5*）B （提示：令=1y x -，则1111(1)n n n n n n na x na y ∞∞++==-=∑∑21211=()n n n n n n yna yy a y ∞∞-=='=∑∑）．（6）B ．（7）D ．3． 求下列幂级数的收敛域：（1）解：因为+11=lim lim 02(1)n n n na a n ρ→∞→∞==+，收敛半径为R =+∞，收敛域为(,)-∞+∞．（2）解：因为12121(1)(1)limlim 11(1)n n n n n na n a nρ++→∞→∞-+===-， 所以收敛半径1R =，收敛区间为(1,1)-；当1x =时，级数为211(1)nn n ∞=-∑，这是一个绝对收敛级数； 当1x =-时，级数为211n n∞=∑，这是一个收敛的正项级数； 综合得原级数的收敛域为[1,1]-．（3）解：121limlim 121n n n n a n a n +→∞→∞-==+1R ⇒=， 故当231x -<，即12x <<时级数绝对收敛，当1x =时，11(1)(1)12121n n n n n n ∞∞==--=--∑∑，级数发散，当2x =时， 1(1)21nn n ∞=--∑为收敛的交错级数，所以原级数的收敛域为(1,2]．（4）解：这是一个缺奇次项的幂级数，直接使用比值审敛法得：1()lim ()n n n nu x u x +→∞=2222n x x =⋅=，8 所以当22<1x，即x <<时，级数绝对收敛；当22>1x时，即x >或<x -时，原级数发散；当x =时，级数为1n ∞=∑，发散；当x =时，级数为21(1)nn ∞=--∑，发散（见第一节习题2（1））；所以，级数的收敛域为(-．（5*）解：因为+111111+231=limlim 111123n n n na n n a nρ→∞→∞+++⋅⋅⋅++=+++⋅⋅⋅+11lim(1)111123n n n→∞+=++++⋅⋅⋅+，因为正项级数11n n ∞=∑发散，因此111lim(1)23n n →∞+++⋅⋅⋅+=+∞，所以上述的=1ρ，即级数的收敛半径为1，收敛区间为(1,1)-．当1x =±时，级数为∑∞=+⋅⋅⋅+++1)131211(n n x n，因为 111=1()23n u n n+++⋅⋅⋅+→∞→∞， 所以发散，综合得原级数的收敛域为(1,1)-． 4．求下列幂级数的收敛域与和函数：（1）解：先求收敛域：利用比值审敛法可得454141()45lim lim =()41n n n n n nx u x n x u x x n +++→∞→∞+=+， 因此，当41x <，即||1x <时，级数收敛； 当1x =时，级数为141n n ∞=+∑，发散；当1x =-时，级数为1()41n n ∞=-+∑，发散，所以级数的收敛域为(1,1)-．9为求和函数，令410()=41n n x s x n +∞=+∑，两端同时求导得：4141440001()==,(1,1)41411-n n n n n n x x s x x x n n x ++∞∞∞===''⎛⎫⎛⎫'==∈- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∑∑∑再两端同时积分得：400111+1()(0)=()==ln arctan 4121-xxx s x s s x dx dx x x x '-+-⎰⎰， 显然(0)=0s ，所以原级数的和函数为11+1()=ln arctan ,(1,1)412x s x x x x +∈--．（2）解：212121(22)lim lim 2n n n n n nu x n x u x n ++-→∞→∞+==， 故当211x x <⇒<时级数绝对收敛，当||1x >时，级数发散． 当1x =-时，21112(1)2n n n n n ∞∞-==-=-∑∑发散，当1x =时，12n n ∞=∑发散，⇒ 收敛域为(1,1)-．令211()2(0)0n n S x nxS ∞-==⇒=∑2212211()21xxn nn n x S t dt ntdt xx ∞∞-==⇒===-∑∑⎰⎰22222()(||1)1(1)x x S x x xx '⎛⎫⇒==< ⎪--⎝⎭． （3）解：先求收敛域：因为1(+1)(+2)limlim 1(+1)n n n n a n n a n n ρ+→∞→∞===， 所以收敛半径为1，明显当1x =±原级数发散，故级数的收敛域为(1,1)-；令1()(1)(0)0nn S x n n xS ∞==+⇒=∑，121111()(1)xx nn n n n n S t dt n n t dt nxxnx∞∞∞+-===⇒=+==∑∑∑⎰⎰222211(1)n n x x x x x x x ∞=''⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭∑ 2232()(||1)(1)(1)x x S x x x x '⎛⎫⇒==< ⎪--⎝⎭．10（4）解：212121(21)lim lim (21)n n n n n nu x n x u x n ++-→∞→∞-==+，故当211x x <⇒<时级数绝对收敛， 当||1x >时，级数发散．当1x =-时， 12111(1)(1)(1)2121n n n n n n n +∞∞-==---=--∑∑为收敛的交错级数，当1x =时， 11(1)21n n n +∞=--∑为收敛的交错级数，⇒ 收敛域为[1,1]-．令1211(1)()(0)021n n n x S x S n +-∞=-=⇒=-∑， 122211()(1)1n n n S x x x∞+-='⇒=-=+∑ 201()(0)arctan 1xS x S dt x t ⇒-==+⎰()arctan (11)S x x x ⇒=-≤≤．第四节 函数展开成幂级数1．将下列函数展开成x 的幂级数，并求展开式成立的区间：（1）解：利用间接展开法．因为=0=,(,)!nxn x e x n ∞∈-∞+∞∑，所以ln ln 00(ln )(ln ),(,)!!xn n xa x ann n x a a a eex x n n ∞∞======∈-∞+∞∑∑．（2）解：利用间接展开法．因为1(1)ln(1)=,(1,1]1n n n x x x n ∞+=-+∈-+∑，所以 ln()=ln[(1)]ln ln(1)x xa x a a a a++=++110(1)ln ,(,](1)nn n n a x x a a n a∞++=-=+∈-+∑． （3*）解：利用间接展开法．因为2(1)(1)...(1)(1)1...,||12!!m nm m m m m n x mx x x x n ---++=++++<122(1)x x -=⋅+11357113135...,(1,1]224246x x x x x ⋅⋅⋅=-+-+∈-⋅⋅⋅． 注：当1=2m -时，在右端点处收敛．（4）解：利用间接展开法．因为20(1)cos =,(,)(2)!n nn t t x n ∞=-∈-∞+∞∑，所以22100000(1)(1)cos d =[]d d (2)!(2)!n nxxx n n n n t t t t t t t t n n ∞∞+==--=∑∑⎰⎰⎰ 212200(1)(1)=d ,(,)(2)!(2)!(22)n nxn n n n t t t x n n n ∞∞++==--=∈-∞+∞+∑∑⎰． 2． 解：111(1)=,(,)!nx x x x x e ee e e x n ∞-+-=-=⋅=∈-∞+∞∑．3．解：011111(2),(0,4)2422212n n n x x x x ∞==⋅=-∈---∑． 4．解：将sin x 变形为：1sin sin[()])cos()662626x x x x ππππ=-+=-+-， 利用sin x 和cos x 的展开式可得2-121211sin ()()...221!622!6(1))(),(,)622n!6n n n x x x x x x ππππ-=+---++⋅⋅--+-∈-∞+∞⋅．5．解：211=()34154x x x x x x ----+5(5)111=()531(5)414x x x +--⋅-+-+111005111=(1)(1)(5)(1)(1)(5)3344n n nn n n n n x x ∞∞+++==---+---∑∑， 其中第一个展开式的收敛域为|5|<1x -，第二个展开式的收敛域为|5|<14x -，所以原函数的展开式的收敛域为|5|<1x -，即46x <<．第五节 函数的幂级数展开式的应用1．利用函数的幂级数的展开式求下列各数的近似值： （1）解：根据ln (1+)x 的展开式可得：35111ln2(...)(11)135x x x x x x +=+++-<<-（见教材）12令1=51x x +-，解得2(1,1)3x =∈-，带入上述展开式可得 35793579212121212ln 52(...)335793333=+⋅+⋅+⋅+⋅，如果取前五项作为其近似值，则1113151751113151712121212||=2(...)111315173333r ⋅+⋅+⋅+⋅+1123112312114114114=2(1...)111391517399⋅⋅+⋅+⋅+⋅+1123112322444(1...)119399<⋅++++ 111111112212290.00384111153319<⋅⋅=⋅⋅≈-，符合误差要求，因此取前五项作为其近似值，即35793579212121212ln 52() 1.61335793333≈+⋅+⋅+⋅+⋅≈．（2）解：根据cos x 的幂级数展开式可得246111cos18cos1()()() (10)2!104!106!10ππππ==-+-+， 6-61() 1.335106!10π≈⨯，所以取前四项作为近似值，即 246111cos181()()()0.950992!104!106!10πππ=-+-≈．（3）解：根据cos x 的幂级数展开式可得2621cos 111...2!4!6!x x x x -=-++， 于是可得0.50.5262001cos 111d =(...)d 2!4!6!x x x x x x--++⎰⎰ 3511111111=()()...0.123272!24!326!52⋅-⋅⋅+⋅⋅+≈． 2．解：因为sin arctan x x 、的展开式分为可以写为：33sin ()3!x x x o x =-+，33arctan ()3x x x o x =-+，所以3333001()sin arctan 16lim lim 6x x x o x x x x x→→+-==．第七节 傅里叶级数1．填空：（1）其中的任何两个不同函数的乘积在区间[,]ππ-上的积分为130，相同函数的乘积在此区间上积分不为0 ． （2）1()d f x x πππ-⎰，1()cos d (1,2,...)f x nx x n πππ-=⎰，1()sin d (1,2,...)f x nx x n πππ-=⎰． （3）02=0,()sin d n n a b f x nx x ππ=⎰．（4）1+π．（5）在一个周期内连续或者只有有限个第一类间断点 ， 在一个周期内至多有有限个极值点 ， 收敛 ，()f x ， 左右极限均值．2．下列函数以π2为周期，且在[,)ππ-上取值如下，试将其展开成傅里叶级数：（1）解：先利用系数公式得出傅里叶级数．2220111()d d ()2x xx a f x x e x e e πππππππ---===-⎰⎰， 22212()(1)()cos ,( 1.2 (4)n e ea f x nxdx n n ππππππ----==⋅=+⎰， 2-2121(1)()sin ,(n=1,2...)4n n e e nb f x nxdx nππππππ+---==⋅+⎰， 所以，函数的傅里叶级数为2-22221(1)()(2cos sin )44nn e e e e f x nx n nx nππππππ-∞=---+-+∑． 再考虑其收敛性．易知函数满足收敛性定理的条件，其不连续点为(21)(0,1,2,...)x k k π=+=±±，在这些点处，上述的傅里叶级数收敛于左右极限的均值，即22(0)(0)22f x f x e e ππ-++-+=，在连续点处，傅里叶级数收敛于函数2()=xf x e ，因此2-22221(1)()(2cos sin )44nn e e e e f x nx n nx nππππππ-∞=---=+-+∑(,),(21)(0,1,2,...)x x k k π∈-∞+∞≠+=±±．（2）解：先根据系数公式求傅里叶级数．40113()d sin d 4a f x x x x ππππππ--===⎰⎰， 41131sin cos (2cos2cos4)cos 422n a x nxdx x x nxdx ππππππ--==-+⎰⎰， 根据三角函数系的正交性，仅当=2,=4n n 时，0n a ≠，易得142411,28a a =-=，由于4()sin f x x =是[,]ππ-的偶函数，故0n b =； 又因为函数4()sin f x x =是连续函数，所以可得：311()cos 2cos 4,<<828f x x x x =-+-∞∞．3．解：(1) ()()f x x x ππ=-<<作周期延拓的图象如下：其分段光滑，故可展开为傅里叶级数． 由系数公式得．当时，，，所以 11sin ()2(1)()n n nxf x x xππ∞+==--<<∑，为所求． （2）()(02)f x x x π=<<作周期延拓的图象如下：其分段光滑，故可展开为傅里叶级数． 由系数公式得．当时，011()d d 0a f x x x x ππππππ--===⎰⎰1n ≥11cos d d(sin )n a x nx x x nx n ππππππ--==⎰⎰11sin sin d 0|x nx nx x n n ππππππ--=-=⎰11sin d d(cos )n b x nx x x nx n ππππππ---==⎰⎰1112cos cos d (1)|n x nx nx x n n n ππππππ+---=+=-⎰220011()d d 2a f x x x x πππππ===⎰⎰1n ≥22011cos d d(sin )n a x nx x x nx n ππππ==⎰⎰15 ，，所以1sin ()2(02)n nxf x x x ππ∞==-<<∑，为所求． 4．解：要展开为余弦级数，需对函数进行偶延拓，即定义函数1cos 02()cos ,02x x f x x x ππ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤≤⎪⎩，，并将1()f x 以2π周期延拓到整个数轴，得到偶函数()g x ． 对()g x 进行傅里叶展开，显然有0n b =，且0024cos d 2x a x πππ==⎰，2024(1)cos cos d ()(=1,2,...)241nn x a nx x n n πππ-==--⎰，根据上述系数即可得到()g x 在整个数轴上的傅里叶展开式，由于()g x 连续，所以其傅里叶均收敛于()g x ，最后将展开式限制在[0,]π，既得()cos2xf x =的傅里叶展开式 2124(1)()cos ,[0,]41nn f x nx x n πππ∞=-=--∈-∑．4．解：将函数进行奇延拓，并求傅里叶系数：0(0,1,2,...)n a n ==，021sin [(1)1](1,2,...)42n n b nxdx n nπππ==---=⎰，因此函数()4f x π=的正弦级数展开式为11sin +sin 3sin 5...(0,)435x x x x ππ=++∈， 根据收敛性定理，在端点=0,=x x π处傅里叶级数收敛于零．令上式中的=2x π，即可得到1111 (4357)π=-+-+．第八节 一般周期函数的傅里叶级数1．填空：220011sin sin d 0|x nx nx x n n ππππ=-=⎰220011sin d d(cos )n b x nx x x nx n ππππ-==⎰⎰2200112cos cos d |x nx nx x n n n ππππ--=+=⎰16（1）-1()cos (0,1,2...)l n l n xa f x dx n l lπ==⎰-1()sin (1,2...)l n l n x b f x dx n l l π==⎰．（2）02()sin(n=1,2...)l n xf x dx l lπ⎰． 2．解：为展开为正弦级数，先将函数()f x 做奇延拓，其傅里叶系数为0(0,1,2,...)n a n ==；20222sin +(-)sin ll l n n x n xb x dx l x dx l l l lππ=⎰⎰224=sin2l n n ππ， 所以1()=sinn n n xf x b lπ∞=∑ 22224131517=(sin sin +sin sin +...)357l x x x xl l l l πππππ--， 由于()f x 连续，上述展开式对于任意的[0,]x l ∈均成立． 3．解：()2+||f x x =为偶函数，所以展为余弦级数，其系数为0(1,2,...)n b n ==，1002(2)d 5a x x =+=⎰，1222(cos 1)2(2)cos()(1,2,...)n n a x n x dx n n πππ-=+==⎰， 因为函数()2+||f x x =满足狄氏收敛定理，所以22152(cos 1)2||cos 2n n x n x n πππ∞=-+=+∑ 2225411(cos cos3cos5...)()235x x x x ππππ=-+++-∞≤≤∞． 令上式中的=0x ，可得2222111 (8135)π+++=，又2222222=11111111(...)(...)135246n n ∞=+++++++∑ 2222221111111(...)(...)4135123=+++++++所以22222=114111=(...)=36135n nπ∞+++∑．第十二章 自测题1．填空：17 （1）仍收敛于原来的和s ．（2） 均收敛 ； 均发散 ． （3）_1_；_2__．（4）34， 12， 34． 2．选择：（1）C ．（2）A （提示：使用阿贝尔定理）．（3）D （提示：ln ln ln 2ln ln 2ln 22()n n n e e n λλλλ--⋅--===）． （4）B ．（5）A ． （6）C ．3．判别下列级数的敛散性，若收敛指出绝对收敛或条件收敛： （1）解：根据正项级数的根值审敛法，有(!)lim n n n n →∞=+∞， 所以，原级数发散．（2）解：因为2211sin 4n n n π≤，而211n n∞=∑收敛， 所以原级数收敛且绝对收敛．（3）解：这是一个交错级数，由于(1)11=-ln -ln n n n n n n-≥，所以不是绝对收敛．因为111ln(1)ln n n n n-+-+-1ln(1)10(ln )[1ln(1)]n n n n n +-=<-+-+，且1lim=0ln n n n→∞-，根据莱布尼兹定理，级数收敛，即原级数条件收敛．（4*）解：根据比值审敛法，有1(1)lim ||lim ||1n pp n n n pa n n a a n a n +→∞→∞+⎛⎫== ⎪+⎝⎭， 所以，当||<1a 时，即11a -<<时，级数绝对收敛； 当||1a >，根据罗比达法则可知212+++ln (ln )lim lim lim(1)x x x p p p x x x a a a a a x px p p x --→∞→∞→∞=-， 因为p 是常数，有限次使用罗比达法则，可求出上述极限为无穷，因此lim np n a n→∞=∞，所以原级数发散；当1a =时，级数既为11pn n∞=∑，此时若01p <≤时，原级数18 发散，若1p >原级数收敛且绝对收敛；当1a =-时，级数既为1(1)npn n∞=-∑，此时，若01p <≤时，根据莱布尼兹定理可知，原级数条件收敛，若1p >时，根据比较审敛法可知，原级数绝对收敛．4．解：因为11113+(2)[3+(2)]1lim lim 3+(2)(1)[3+(2)]n n n n n nn n n n n n n n++++→∞→∞--+=-+-12[1+()]3lim 3112(1)[1+()]33n n nn +→∞-==+⋅⋅-，所以，级数的收敛半径为13，收敛区间为42(,)33--；在端点4=3x -处，级数为12(1)+()3nnn n ∞=-∑，因为级数11(1)21,()3n n n n n n ∞∞==-⋅∑∑均收敛，所以在此点处，原级数收敛； 在端点2=3x -处，级数为121+()3nn n ∞=-∑，因为级数11,n n ∞=∑发散，而121()3nn n∞=-⋅∑收敛，所以在此端点处，原级数发散； 综合得，原级数的收敛域为42[,)33--． 5．解：先利用比值审敛法求幂级数的收敛域．因为2+222(2+2)!lim =lim (2+2)(2+1)(2)!n n n n x x n n n xn →∞→∞=+∞， 所以级数的收敛域为(,)-∞+∞；令22420()1......(2)!2!4!(2)!n nn x x x x s x n n ∞===+++++∑， 则3521()+......3!5!(21)!n x x x s x x n -'=++++-，所以 234()()1......2!3!4!!nx x x x x s x s x x e n '+=+++++++=，19 即()()x s x s x e '+=，这是一个一阶线性微分方程，解之得1()+2x x s x ce e -=．又因为(0)1s =，带入求得常数12c =，所以幂级数的和函数为11()(,)22x xs x e e x -=+∈-∞+∞，．6．解：因为2ln(12)ln(1)ln(12)x x x x +-=-++，而11(1)ln(1)(11)n nn x x x n -∞=-+=-<≤∑，所以，=1ln(1)(11)nn x x x n∞-=--≤<∑，1=1(1)211ln(12)()22n n n n x x x n -∞-+=-<≤∑，于是得出原函数的展开式为12=1(1)2111ln(12)=()22n n n n x x x x n -∞--+--<≤∑．7．解：为展开为正弦级数，先将函数()f x 在[,0)π-上做奇延拓,再延拓到整个数轴，并求傅里叶系数0(0,1,2...)n a n ==， 02()sin d n b f x nx x ππ=⎰202sin d x nx x ππ=⎰221sincos (1,2,...)22n n n n n πππ=-=， 因此可得函数()f x 在[0,)π的傅里叶级数2=121()(sincos )sin ([0,),)222n n n f x nx x x n n πππππ∞=-∈≠∑， 由于3=2x π-为函数的不连续点，根据狄氏收敛性定理，和函数在3=2x π-处的值3()2s π-为左右极限的均值，即31()=24s ππ-，而5=4x π是函数的连续点，在此点处，收敛于（延拓后的）函数()f x ，即5()=04s π．8．考研题练练看：（1）C ．解析：幂级数1(1)k kk ax ∞=-∑的收敛域中心为1x =，而20 =1(1,2,...)n n k k S a n ==∑无界表明1(1)k k k a x ∞=-∑在2x =发散，因此幂级数的收敛半径1R ≤，同时，根据莱布尼兹定理，数列{}n a 单减且收敛于0，表明1(1)kkk ax ∞=-∑在0x =收敛，因此幂级数的收敛半径1R ≥，综合得收敛半径为=1R ，因此选C ． （2）A ．解析：若1n n u ∞=∑收敛，则对其任意项加括号后仍收敛，其逆命题不一定成立，所以选A ． （3）D ．解析：=11(1)a n n ∞-∑绝对收敛，即1=121a n n∞-∑收敛，所以32α>，又由2=1(1)n a n n ∞--∑条件收敛可知12α≤<，所以选D ．（4）C ．解析：根据题意，将函数在[]1,1-展开成傅里叶级数（只含有正弦，不含余弦），因此将函数进行奇延拓：1,(0,1)2()1,(1,0)2x x f x x x ⎧-∈⎪⎪=⎨⎪-+∈-⎪⎩，其傅里叶级数以2为周期，则当()1,1x ∈-且()f x 在x 处连续时，()()S x f x =，所以 91111()()()()44444S S S f -=-=-=-=-．（5）D ．解析：因为1P >时，=11P n n ∞∑收敛，且lim =lim 1Pn n n n Pa n a n →∞→∞存在，所以=1nn a∞∑收敛．（6）解：先求收敛域．222212(1)212+1lim lim 12+1(1)21n n n n n nxn n x x n x n +-→∞→∞--==<--，即11x -<<时级数绝对收敛；当=1x ±时，级数为1=1(1)21n n n -∞--∑，根据莱布尼兹定理，可知21此级数收敛，因此原级数的收敛域为[1,1]-．为求和函数，设112211=1(1)(1)()2121n n n n n n s x x x xn n --∞∞-=--==--∑∑， 令1211=1(1)()21n n n s x xn -∞--=-∑，则 1212112=1=1(1)1()=() (11)211n n n n n s x x x x n x -∞∞--'⎛⎫-'=-=-<< ⎪-+⎝⎭∑∑， 两端同时积分，得11201()(0)d arctan (11)1xs x s x x x x -==-<<+⎰，明显1(0)0s =，所以1()arctan (11)s x x x =-<<，既得()arctan (11)s x x x x =-<<，又因为=1x ±时，()arctan s x x x ，都有定义，且连续，所以()arctan (11)s x x x x =-≤≤．（7）B.（8）解：先求收敛域．22224(+1)4(+1)321lim 12(1)1443n n n n x x n n n →∞+++⋅⋅=<++++， 即11x -<<时级数绝对收敛；当=1x ±时，级数为2=044321n n n n ∞+++∑，发散，因此幂级数的收敛域为11x -<<．为求和函数，设2222=0=0443(21)2()==2121n nn n n n n S x x x n n ∞∞++++++∑∑，所以22=0=02()=(21)21nn n n S x n xx n ∞∞+++∑∑，令2212=0=02()=(21)()21nn n n S x n x S x x n ∞∞+=+∑∑，，对1()S x 两端积分得210=0()d =(21)d xx nn S x x n x x ∞+∑⎰⎰212=0= (11)1n n xx x x∞+=-<<-∑， 两端求导得212221()= (11)1(1)xx S x x xx '+⎛⎫=-<< ⎪--⎝⎭；22因为212=02()21n n xS x x n ∞+=+∑，两边求导得 222=02[()]2 (11)1n n xS x x x x ∞'==-<<-∑， 再对两端积分得22021()0(0) ln (11)11xxxS x S dx x xx +-⋅==-<<--⎰，所以211()ln((1,0)(0,1))1xS x x x x+=∈-⋃-， 又因为=0x 时，12(0) 1.(0)2S S ==，综合可得和函数为222111ln ,(1,0)(0,1)()1(1)3, 0x xx S x x xx x ⎧+++∈-⋃⎪=--⎨⎪=⎩． （9）(i)证明：由题意得1=1()n nn S x na x∞-'=∑，22=2=0()(1)(1)(2)n nn n n n S x n n a xn n a x ∞∞-+''=-=++∑∑，2(1)0n n a n n a ---=，2=(1)(2)(0,1,2...)n n a n n a n +∴++=， ()=()S x S x ''∴，即()()0S x S x ''-=．(ii) 解：()()0S x S x ''-=为二阶常系数齐次线性微分方程，其特征方程为210λ-=,从而特征根为1λ=±，于是其通解为12()x xS x C e C e -=+，由0(0)3S a ==，1(0)1S a '==得1212123121C C C C C C +=⎧⇒==⎨-+=⎩，,所以()2x x S x e e -=+． （10）解：（1）证明：由cos cos n n n a a b -=，及0,022n n a b ππ<<<<可得0cos cos 2n n n a a b π<=-<，所以02n n a b π<<<，由于级数1nn b∞=∑收敛，所以级数1nn a∞=∑也收敛，由收敛的必要条件可得lim 0n n a →∞=．（2）证明：由于0,022n n a b ππ<<<<，23 所以sin ,sin 2222n n n n n n n na b a b b a b a ++--≤≤2222sin sin cos cos 22222222n n nnn n n n n nn n n nn n n nn n n a b b a a a b b b b a b b a b a b b b b b +--==+--≤=<=由于级数1nn b∞=∑收敛，由正项级数的比较审敛法可知级数1nn na b ∞=∑收敛． （11）解：由于1lim1n n na a +→∞=，所以得到收敛半径1R =． 当1x =±时，级数的一般项不趋于零，是发散的，所以收敛域为()1,1-．令和函数)(x S =0(1)(3)n n n n x ∞=++∑，则2111()(43)(2)(1)(1)nn n nn n S x n n x n n x n x ∞=∞∞===++=++++∑∑∑211123"'3"'11(1)n n n n x x x x x x x x ∞∞++==⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫-⎛⎫=+= ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭∑∑。
第十二章无穷级数自测题(含答案)
第十一章练习题一、 填空题1．级数)21)1(1(1nn n n -+∑∞=的和为（ ）． 2．若∑∞=1n n u 为正项级数，且其部分和数列为{}n s ，则∑∞=1n n u 收敛的充要条件是（ ）．3.级数∑∞=122sin2n nn π的敛散性为（ ）．4.幂级数n n x n )32(11-∑∞=的收敛区间为（）．5.幂级数∑∞=-122)1(n nnnx的收敛域为（ ）．6.将函数2)1(1x +展开成x 的幂级数为（ ）．7．)(x f 满足收敛的条件，其傅立叶级数的和函数为S(x)，已知f (x )在x=0处左连续，且)(lim ,2)0(,1)0(0x f S f x +→=-=则=（ ）． 8．设)(x f 是周期为２π的函数，在一个周期上可积．当)(x f 是奇函数时，它的傅里叶系数为 =n a （ ），=n b （ ）．二、 单项选择题1. 若级数∑∞=1n n a 条件收敛，则下列结论不正确的是（ ）.A. 交换律成立；B.结合律成立；C.分配律成立；D.以上都不成立。
2．在下面级数中，绝对收敛的级数是（ ）．A.∑∞=+1121n n ； Ｂ．nn n)23()1(1∑∞=-；Ｃ．311)1(nn n∑∞=-； Ｄ．nn n n1)1(1--∑∞=．3. 在下列级数中，条件收敛的级数是（ ）.A. ∑∞=+-11)1(n nn n ；Ｂ．∑∞=-11)1(n nn；Ｃ．∑∞=-121)1(n nn；Ｄ．∑∞=+-1)1(1)1(n nn n4. 已知级数∑∑∞=∞=--==-111215,2)1(n n n n n aa ，则级数∑∞==1n n a （ ）A. 3 ； Ｂ． 7 ； Ｃ． 8 ； Ｄ． 95．幂级数nxnn ∑∞=1的和函数是（ ）．Ａ．)1ln(x --； Ｂ． )1ln(x -； Ｃ．)1ln(x +; Ｄ． )1ln(x +- 6. 函数2)(x e x f -=展开成x 的幂级数为（ ）.A. ∑∞=02!n nn xＢ．∑∞=⋅-02!)1(n n n n xＣ．∑∞=0!n n n xＤ．∑∞=⋅-0!)1(n nn n x7. 若∑∞=-1)1(n nn x a 在1-=x 处收敛，则此级数在2=x 处（ ）.A.条件收敛；Ｂ．绝对收敛；Ｃ．发散；Ｄ．收敛性不能确定。
高等数学C主要教学内容
高等数学C主要教学内容第一章函数与极限第一节映射与函数理解函数的概念，掌握基本初等函数的性质及其图形，理解复合函数的概念，了解反函数、分段函数的概念。
会建立简单实际问题的函数关系。
第二节数列的极限了解数列极限（包括左极限与右极限）的概念，了解收敛数列的性质。
第三节函数的极限理解函数极限的概念,了解函数极限的性质。
第四节无穷小与无穷大理解无穷小的概念和基本性质，了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。
第五节极限运算法则掌握极限的四则运算法则。
第六节极限存在准则两个重要极限了解极限的性质与极限存在的两个准则，掌握利用两个重要极限求极限的方法。
第七节无穷小的比较掌握无穷小量的比较方法。
第八节函数的连续性与间断点理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。
第九节连续函数的运算与初等函数的连续性了解连续函数的性质和初等函数的连续性。
第十节闭区间上连续函数的性质理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并会应用这些性质。
第二章导数与微分第一节导数的概念理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，了解导数的几何意义与*经济意义（含边际与弹性的概念），会求平面曲线的切线方程和法线方程。
第二节函数的求导法则掌握基本初等函数的导数公式，导数的四则运算法则及复合函数的求导法则，会求分段函数的导数，会求反函数的导数。
第三节高阶导数了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数．第四节隐函数及由参数主程所确定的函数导数相关变化率会求隐函数和参数方程所确定的函数的一阶导数,了解求高阶导数的方法。
第五节函数的微分了解微分的概念，导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。
第三章微分中值定理与导数的应用第一节微分中值定理理解罗尔（Rolle）定理和拉格朗日( Lagrange)中值定理,简单了解柯西(Cauchy)中值定理。
第二节洛必达法则会用洛必达法则求极限。
第三节泰勤公式不要求(泰勒公式在下册中级数部分作简单介绍)。
高等数学无穷级数章节练习卷
一、选择题1．设级数∑∞=-1)3(n n n x a 在6=x 条件收敛，在5-=x （ C ）。
A ．条件收敛B ．绝对收敛C ．发散D ．敛2．当)(1n n n v u +∑∞=收敛时，则级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v （ ）。
A ．可能都发散B ．必定都收敛C ．必定都发散D ．必定都绝对收敛 3．若nn n x a )1(0-∑∞=在2-=x 处收敛，则n n n x a )1(0-∑∞=在3=x 处（ ）。
A ．一定发散B ．可能收敛可能发散C ．一定绝对收敛D ．一定条件收敛 4．级数11sin n n n∞=∑（ C ）A 绝对收敛B 条件收敛C 发散D 无法判别 5．当k >时，级数21(1)nn k n n ∞=+-∑（ B ）A 发散B 条件收敛C 绝对收敛D 无法判定二、填空题1． 设级数nn n x a ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+021，若31lim 1=+∞→n n n a a ，则级数收敛半径是_____23_______。
2． 将xe 展开成1-x 的泰勒级数是0(1)!n n ex n ∞=-∑。
3．()nnnn x n !3110⋅-∑∞=的收敛区间是(,)-∞+∞。
4．幂级数nn nx n ∑∞=131的收敛域是 。
[3,3)-5．级数=+-+-+-!111!91!71!51!3111sin6．2322222!3!!nn +++++ 的和为。
21e -三、计算1. 判断级数是否收敛，如果收敛是绝对收敛还是条件收敛（交错级数）（1）10(1)tan2nn n n π∞+=-∑（2）1(1)ln(1n n ∞=-+∑ （3）11(1)(1)nnn n e∞=--∑（4）1n n +∞=（5） 11(1)2n nn n -∞=-∑ 答案：（1）绝对收敛；（2）条件收敛；（3）发散；（4）条件收敛；（5）绝对收敛。
2. 求标准幂级数nn n a x∞=∑的收敛半径、收敛域。
新1第十二章 无穷级数答案
第十二章 无穷级数第一节 常数项级数的概念和性质1．写出下列级数的一般项：(1)⋅⋅⋅++++6141211； 解：2n1u n =(2)⋅⋅⋅+⋅++533x x x x ； 解：()!!12n xu 2n n +=2．求下列级数的和：*(1) 1n ∞=∑解：111nn k S ===-=+-∑故2- 1lim =∞→n n S(2)23111555+++ 解：5151-151-1n⎪⎭⎫ ⎝⎛=n S 故41lim =∞→nn S3．判定下列级数的敛散性： (1)()()11111661111165451n n +++++⋅⋅⋅-+ 解：()()⎪⎭⎫⎝⎛+-=+--=+-=∑∑==15115151)151451(1545111n k k k k S nk nk n51lim =∞→n n S 故原级数收敛.(2) ()23133222213333nn n--+-++- 解： ()1-n 11-32nn ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛为公比为32-=q 的等比级数,且1<q , 故原级数收敛.第二节 常数项级数的审敛法1．用比较审敛法判别下列级数的敛散性． (1)1πsin3n n ∞=∑；解： sin3lim 13n n nππ→∞= ， 而13n n π∞=∑收敛，故原级数收敛.(2)n ∞=；解： n 321u n<，而∑∞=1231n n收敛，故原级数收敛.(3)()1121nn ∞=-∑解：1nln21-2lim n 1=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→n 而∑∞=1nln2n 发散，故原级数发散。
2．用比值判别法判别下列级数的敛散性：(1) ∑∞=132n nn ；解：2n n u 3n =，∞=∞→n n u lim ，故原级数发散。
(2)1!31nn n ∞=+∑； 解：()()()3113131lim lim 1n n 1=+++=+∞→+∞→n u u n nn n ，故厡级数收敛.3．用根值判别法判别级数的敛散性： 1531nn n n ∞=⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑；解：()5n 5lim>13n 13n n →∞==+，故厡级数发散.4．判定级数是否收敛？若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？()11111123nn n n ∞=⎛⎫-++++ ⎪⎝⎭∑ ； 解：n 1111u 12n n n⎛⎫=++> ⎪⎝⎭ ， 而()()n 1n 2211111111u -u 1--<02n n 1n n 1n n 1n 1+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++<+ ⎪⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭++ 又()0dxx 11n 1lim n 1n 1211lim u lim n 1n =+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎰∞→∞→∞→n n n故厡级数条件收敛第六节 傅里叶级数1. 填空题（1）⎩⎨⎧<≤<≤--=.0,,0,)(2)(πππx a x a x f x f 周期函数，且是以设 则其傅里叶级数在处收敛于 0（2）)(,)(2)(2ππππ<<-+=x x x x f x f 周期函数，且是以设若)(x f 的傅里叶级数具有的形式，∑∞=++10)sin cos (21n n n nx b nx a a.______32________,32_320ππ==b a 则傅里叶系数2. 写出下列以2π为周期的周期函数的傅里叶级数，其中f(x)在[-π, π)上的表达式为：(1)()π0π,4ππ0;4x f x x ⎧≤<⎪⎪=⎨⎪--≤<⎪⎩解：(1)函数f (x )满足狄利克雷定理的条件，x =n π，n ∈z 是其间断点，在间断占处f (x )的傅里叶级数收敛于()()ππ0044022f f +-⎛⎫+- ⎪+⎝⎭==，在x ≠n π，有()π0π-ππ011π1πcos d cos d cos d 0ππ4π4n a f x nx x nx x nx x -⎛⎫==-+= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰()π0π-ππ011π1πsin d sin d sin d ππ4π40,2,4,6,,1,1,3,5,.n b f x nx x nx x nx xn n n-⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭=⎧⎪=⎨=⎪⎩⎰⎰⎰于是f (x )的傅里叶级数展开式为()()11sin 2121n f x n x n ∞==--∑(x ≠n π)（2）()()cosππ2=-≤≤xf x x解：因为()cos2xf x =作为以2π为周期的函数时，处处连续， 故其傅里叶级数收敛于f (x )，注意到f (x )为偶函数，有b n =0(n =1,2,…)，()()ππ-π0π0π1212cos cos d cos cos d π2π2111cos cos d π2211sin sin 12211π224110,1,2,π41n n x xa nx x nx xn x n x x n x n x n n n n +==⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢⎥=+⎢⎥+-⎢⎥⎣⎦⎛⎫=-= ⎪-⎝⎭⎰⎰⎰所以f (x )的傅里叶级数展开式为：()()12124cos 1ππ41n n nxf x n ∞+==+--∑ x ∈[-π,π]*3.将函数f(x)展开为傅里叶级数：()()πππ42x f x x =--<<解：(1) ()ππ0-ππ11ππcos d d ππ422x a f x nx x x -⎛⎫==-= ⎪⎝⎭⎰⎰[]()ππππ-π-πππ1π11cos d cos d x cos d π4242π1sin 001,2,4n x a nx x nx x nx x nx n n--⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭=-==⎰⎰⎰()ππππ-π-π1π11sin d sin d xsin d π4242π11n n x b nx x nx x nx x n-⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭=-⋅⎰⎰⎰故()()1πsin 14n n nxf x n∞==+-∑ (-π<x <π)。
无穷级数例题课件
∞
∞
1 ∑ n =1 n
∞
§1２－２常数项级数的审敛法 2．定理2（比较审敛法） （1）定理 设 ∑ u 和∑ v 都是正项级数，且
n n 1= n 1 = n ∞ ∞
un ≤ vn ( n = 1, 2,) 若级数 ∑ vn 收敛， n =1 ∞ un 则级数 ∑ u 收敛，反之，若级数 ∑ n =1
是周期为
2π
的周期
函数，它在 [ −π , π ) 上的表达式为
f ( x) = x
叶级数。
，将
f ( x)
展开成傅里
∑ n ( n + 1)x
n =1
∞
n
2n − 1 ∑ n 2 n =1
∞
§1２－4 函数展开成幂级数
例1．将函数 展开成
f ( x) = e
x
x 的幂级数。
f ( x ) = sin x
例2．将函数 展开成
x
的幂级数。
例３．将函数
a
x
展开成
x
的幂
级数 ( a > 0 ) 。 例４．将函数 的幂级数。
３．性质３ 幂级数
∑a x
n =0 n
∞
n
的和函
数 S ( x ) 在其收敛区间 ( − R, R ) 内可 导，且有逐项求导公式。
S′( x) n n n −1 = ∑ ( an x ) ∑ nan x ( x < R ) ∑ an x = n 1 n 0= n 0=
∞ ∞
1 − 1 a ( ) ∑ n 发散，试问 ∑ 且 n =1 n =1 an + 1
∞
第十二章无穷级数
1、下列说法正确的是（ A ） A∑∞=1n na和∑∞=1n nb收敛，∑∞=1n nn ba 也收敛B∑∞=1n na和∑∞=1n nb发散，∑∞=+1)(n n nb a发散C∑∞=1n na收敛和∑∞=1n nb发散，∑∞=+1)(n n nb a发散D∑∞=1n na收敛和∑∞=1n nb发散，∑∞=1n nn ba 发散2 级数∑∞=1n na收敛是∑∞=1n na部分和有界的（ B ）A 必要条件B 充分条件C 充分必要条件D 无关条件 3)(1x an n∑∞=在],[b a 收敛于)(x a ，且)(x a n 可导，则（ D ）A)()('1'x a x an n=∑∞= B )(x a 可导C⎰∑⎰=∞=ban b an dx x a dx x a )()(1D∑∞=1)(n nx a一致收敛，则)(x a 必连续5 0lim ≠∞→n n a ，则∑∞=1n na( B )A 必收敛B 必发散C 必条件收敛D 敛散性不定 6∑∞=-1)1(1n n x n的收敛域为（ C ） A (-1，1) B (0，2] C [0，2） D [-1，1）7 若级数∑∞=+111n n α收敛，则必有（ D ）A 0≤αB 0≥αC 0<αD 0>α 8、∑∞=--1)11()1(n n nx n的收敛域为（ A ）A (-1,1)B (-1,1]C [-1,1]D [-1,1）9 0lim ≠∞→n n a ，则∑∞=1n na( B )A 必收敛B 必发散C 必条件收敛D 敛散性不定 10设0≤n a <),2,1(1=n n，则下列级数中可断定收敛的是（ D ）. A ．∑∞=1n n a ； B ．∑∞=-1)1(n n na ； C ．∑∞=1n n a ； D ．∑∞=-12)1(n n n a10 求∑∞=+1)1(n nn n x 的收敛半径和收敛域，并求和解：设∑∞=+=1)1()(n nn n x x f ，1)1(1)2)(1(1lim=+++∞→n n n n n ，收敛半径为1，收敛域 [-1，1]（2分）),10(),1ln(11)1()(121'<<---=+=∑∞=-x x x x n x x f n n )10(),1ln(11)()(0'<<--+==⎰x x xxdt t f x f x(3分） x =0级数为0，x =1，级数为1，x =-1，级数为1-2ln2（3分）11求幂级数∑∞=+12)1(n nnx 的和 解 收敛域为（-3，1），级数的和为x-1112设正项级数∑∞=1n nx收敛，证明级数∑∞=12n nx也收敛证明：由于收敛∑∞=1n nx，故0l i m=∞→n n x （2分），于是，总存在0n ∃使得0n n ≥时，有10<≤n x ，从而，当0n n ≥时，有n nx x <≤20（5分），由于级数∑∞=1n nx收敛，当然∑∞=0n n nx收敛，故级数∑∞=02n n nx收敛，从而∑∞=12n nx也收敛（3分）13 求幂级数∑∞=+0!1n nx n n 的和函数.解法一 收敛域为) , (∞+∞-,设和函数为)(x S , 则有⎰⎰∑⎰∑∞=∞==+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=xxn x nn n dt t n n dt t n n dt t S 00000)1(!1!1)(∑∞=+=01!n x n xe n x . 因此, ∑∞=+0!1n n x n n =)(x S =x x x e x xe dt t S )1()()(0+='='⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰, ∈x ) , (∞+∞-.解法二 ∑∞=+0!1n n x n n =∑∞=+0!n nn nx ∑∞==0!n n n x ∑∞=+-1)!1(n x ne n x = ∑∞=+=+=+=0)1(!n x x x x ne x e xe e n x x , ∈x ) , (∞+∞-.14展开函数x e x x f )1()(+=解 =+=xxxe e x f )(∑∞=+0!n nn x ∑∞=+=01!n n n x ∑∑∞=∞=-+01)!1(!n n nn n x n x =+1∑∞=1!n n n x ∑∑∞=∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=++11)!1(1!11)!1(n n nn x n n n x ∑∞==++=1!11n n x n n∑∞=∞+<+0 || ,!1n nx x n n 15求幂级数++++74533234333231x x x x 的收敛域 . 解 ++++74533234333231x x x x ∑∞=++=02131n nn x n x 是缺项幂级数 .∞→n lim, 31||||1⇒=+n n a a 3=R . 收敛区间为) 3 , 3 (-. 3±=x 时, 通项0→/. 因此 , 该幂级数的收敛域为) 3 , 3 (- 16 用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判定下列级数的收 敛性:(1))12(1 51311⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+++n ;解 因为211121lim =-∞→nn n , 而级数∑∞=11n n 发散, 故所给级数发散.(2) 11 313121211222⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+++++++n n ; 解 因为n n n n n n u n 111122=++>++=, 而级数∑∞=11n n发散, 故所给级数发散. (3))4)(1(1 631521⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+⋅+⋅n n ;解 因为145lim 1)4)(1(1lim222=++=++∞→∞→n n n nn n n n , 而级数∑∞=121n n 收敛, 故所给级数收敛.17用比值审敛法判定下列级数的收敛性:(1)23 2332232133322⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅nn n ;解 级数的一般项为nn n u 23⋅=. 因为 123123lim322)1(3lim lim111>=+⋅=⋅⋅⋅+=∞→++∞→+∞→n n n n u u n n n n n n n n n ,所以级数发散.(2)∑∞=123n n n ; 解 因为131)1(31lim 33)1(lim lim 22121<=+⋅=⋅+=∞→+∞→+∞→nn n n u u n nn n n n n ,所以级数收敛.(3)∑∞=⋅1!2n n nnn ; 解 因为12)1(lim 2!2)1()!1(2lim lim 11<=+=⋅⋅++⋅=∞→+∞→+∞→e n n n n n n u u n n n n n n n n ,所以级数收敛. (3)∑∞=+112tann n n π.解 因为121221lim 2tan 2tan )1(lim lim 12121<=⋅+=+=++∞→++∞→+∞→n n n n n n n n n n n n n u u ππππ,所以级数收敛.18用根值审敛法判定下列级数的收敛性: (1)∑∞=+1)12(n n n n ; 解 因为12112lim lim <=+=∞→∞→n n u n n n n , 所以级数收敛. (2)∑∞=+1)]1[ln(1n n n ; 解 因为10)1ln(1lim lim <=+=∞→∞→n u n n n n , 所以级数收敛.(3)∑∞=--112)13(n n n n ; 解 因为nn nn n n n n nn n u 1212)13(1lim)13(lim lim -∞→-∞→∞→-=-= 131)311(31lim321212<⋅=-⋅=--∞→enn n n , 所以级数收敛. (4)∑∞=1)(n n na b , 其中a n →a (n →∞), a n, b , a 均为正数.解 因为a b a b u nn n n n ==∞→∞→limlim ,所以当b <a 时级数收敛, 当b >a 时级数发散.19 判断级数!!33!22!114444⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n n ; 的敛散性解 这里!4n nu n =, 因为10)1(1lim !)!1()1(lim lim 3441<=+⋅=⋅++=∞→∞→+∞→n n nn n n n u u n n n n n ,所以级数收敛. 20判断级数∑∞=++1)2(1n n n n 的敛散性解 因为121lim 1)2(1lim=++=++∞→∞→n n nn n n n n , 而级数∑∞=11n n 发散,故所给级数发散. 21判断级数∑∞=13sin2n nn π的敛散性 解 因为1323232lim3sin 23sin 2lim 1111<=⋅⋅=++∞→++∞→nn n n n n n n n n ππππ, 所以级数收敛. 22判断级数 1 232⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++nn 的敛散性 解 因为011limlim ≠=+=∞→∞→nn u n n n ,所以级数发散.23 求下列幂级数的收敛域: (1)x +2x 2+3x 3+ ⋅ ⋅ ⋅ +nx n + ⋅ ⋅ ⋅; 解 11lim ||lim 1=+=∞→+∞→nn a a n n n n , 故收敛半径为R =1. 因为当x =1时, 幂级数成为∑∞=1n n , 是发散的;当x =-1时, 幂级数成为∑∞=-1)1(n n n , 也是发散的,所以收敛域为(-1, 1).(2) )1( 21222⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅++-nx x x n n ; 解 1)1(lim 1)1(1lim ||lim 2221=+=+=∞→∞→+∞→n n n n a a n n n n n , 故收敛半径为R =1. 因为当x =1时, 幂级数成为∑∞=-221)1(n nn , 是收敛的; 当x =-1时, 幂级数成为∑∞=+1211n n,也是收敛的, 所以收敛域为[-1, 1].(3) )2( 42 64242232⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅+n x x x x n; 解 0)1(21lim )!1(2!2lim ||lim 11=+=⋅+⋅⋅=∞→+∞→+∞→n n n a a n n n n n n n , 故收敛半径为R =+∞, 收敛域为(-∞, +∞).(4)3 33323132⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅n n x x x x ;解 31131lim 3)1(3lim ||lim 11=+⋅=⋅+⋅=∞→+∞→+∞→n n n n a a n n n n n n n , 故收敛半径为R =3. 因为当x =3时, 幂级数成为∑∞=11n n, 是发散的; 当x =-3时, 幂级数成为∑∞=-11)1(n n n , 也是收敛的, 所以收敛域为[-3, 3). (5)12 102522223322⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+++n n x n x x x ;解 21)1(1lim 2211)1(2lim ||lim 222211=+++=+⋅++=∞→+∞→+∞→n n n n a a n n n n n n n , 故收敛半径为21=R .因为当21=x 时, 幂级数成为∑∞=+1211n n ,是收敛的; 当x =-1时, 幂级数成为∑∞=+-1211)1(n n n , 也是收敛的, 所以收敛域为]21 ,21[-. (6)∑∞=++-11212)1(n n nn x ; 解 这里级数的一般项为12)1(12+-=+n xu n nn .因为212321|1232|lim ||lim x x n n x u u n n n n n n =+⋅+=++∞→+∞→, 由比值审敛法, 当x 2<1, 即|x |<1时, 幂级数绝对收敛; 当x 2>1, 即|x |>1时, 幂级数发散, 故收敛半径为R =1. 因为当x =1时, 幂级数成为∑∞=+-1121)1(n n n , 是收敛的; 当x =-1时, 幂级数成为∑∞=++-11121)1(n n n , 也是收敛的, 所以收敛域为[-1, 1].(7)∑∞=--122212n n nx n ; 解 这里级数的一般项为22212--=n nn x n u . 因为22212121|)12(22)12(|lim ||lim x x n x n u u n n n n n n n n =-⋅+=-+∞→+∞→, 由比值审敛法, 当1212<x , 即2||<x 时, 幂级数绝对收敛; 当1212>x , 即2||>x 时, 幂级数发散, 故收敛半径为2=R .因为当2±=x 时, 幂级数成为∑∞=-1212n n , 是发散的, 所以收敛域为)2 ,2(-.24 利用逐项求导或逐项积分, 求下列级数的和函数: (1)∑∞=-11n n nx ;解 设和函数为S (x ), 即∑∞=-=11)(n n nx x S , 则][][])([)(1010110'='='=∑⎰⎰∑⎰∞=-∞=-n xn x n n xdx nx dx nx dx x S x S)11( )1(1]111[][21<<--='--='=∑∞=x x x x n n .(2)∑∞=++11414n n n x ;解 设和函数为S (x ), 即∑∞=++=11414)(n n n x x S , 则 dx x dx n x dx x S S x S x n n x n n x⎰∑⎰∑⎰∞=∞=+='+='+=01401140]14[)()0()( ⎰⎰-⋅++⋅+-=--=x xdx x x dx x 02204)112111211()111()11( arctan 2111ln41<<--+-+=x x x x x .提示: 由)0()()(0S x S dx x S x -='⎰得⎰'+=xdx x S S x S 0)()0()(.(3)⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+++- 12 531253n x x x x n . 解 设和函数为S (x ), 即⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+++=-=-∞=-∑12 5312)(1253112n x x x x n x x S n n n , 则 ⎰∑⎰∑⎰∞=-∞=-='-='+=x nn x n n xdx x dx n x dx x S S x S 012201120]12[)()0()()11( 11ln 211102<<--+=-=⎰x xx dx x x. 提示: 由)0()()(0S x S dx x S x -='⎰得⎰'+=x dx x S S x S 0)()0()(.25 求函数f (x )=cos x 的泰勒级数, 并验证它在整个数轴上收敛于这函数. 解 )2cos()()(π⋅+=n x x f n (n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),)2cos()(00)(π⋅+=n x x f n (n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),从而得f (x )在x 0处的泰勒公式)(!2)cos())(2cos(cos )(200000⋅⋅⋅+-++-++=x x x x x x x x f ππ)( )(!)2cos(00x R x x n n x n n +-++π. 因为)!1(|||)()!1(]21)(cos[||)(|101000+-≤-+++-+=++n x x x x n n x x x x R n n n πθ(0≤θ≤1), 而级数∑∞∞→++-n n n x x )!1(||10总是收敛的, 故0)!1(||lim10=+-+∞→n x x n n , 从而0|)(|lim =∞→x R n n . 因此 )(!2)cos())(2cos(cos )(200000⋅⋅⋅+-++-++=x x x x x x x x f ππ⋅⋅⋅+-++ )(!)2cos(00n x x n n x π, x ∈(-∞, +∞). 26 将a x 展开成x 的幂级数，并求展开式成立的区间: 解 因为∑∞==0!n n x n x e , x ∈(-∞, +∞), 所以 ∑∑∞=∞=====00ln !)(ln !)ln (n nn n n xax x x n a n a x e ea , x ∈(-∞, +∞),27 将sin 2x 展开成x 的幂级数, 并求展开式成立的区间: 解 因为x x 2cos 2121sin 2-=,∑∞=-=02)!2()1(cos n nnn x x , x ∈(-∞, +∞), 所以 ∑∑∞=-∞=⋅-=--=1212022)!2(2)1()!2()2()1(2121sin n nn n n n n n x n x x x ∈(-∞, +∞). 28 将(1+x )ln(1+x ) 展开成x 的幂级数, 并求展开式成立的区间:解 因为∑∞=++-=+011)1()1ln(n n n n x x (-1<x ≤1),所以 ∑∞=++-+=++011)1()1()1ln()1(n n nn x x x x ∑∑∞=+∞=++-++-=02011)1(1)1(n n n n n n n x n x ∑∑∞=++∞=+-++-+=11111)1(1)1(n n n n n n n x n x x 111])1(1)1([+∞=+∑-++-+=n n n n x n n x 111)1()1(+∞=-∑+-+=n n n x n n x (-1<x ≤1). 29 将函数xx f 1)(=展开成(x -3)的幂级数.解 ∑=<-<---=-+=-+=nn n n x x x x x 0)1331( )33()1(313311313311, 即 ∑=<<--=nn n n x x x 0)60( )33()1(31130将函数231)(2++=x x x f 展开成(x +4)的幂级数. 解 2111231)(2+-+=++=x x x x x f , 而 ∑∞=<++-=+--=++-=+0)1|34(| )34(31341131)4(3111n n x x x x x , 即)17( 3)4(1101-<<-+-=+∑∞=+x x x n n n; ∑∞=<++-=+--=++-=+0)1|24(| )24(21241121)4(2121n n x x x x x , 即)26( 2)4(210-<<-+-=+∑∞=x x x n n. 因此 ∑∑∞=∞=+++++-=++=001122)4(3)4(231)(n n n nn n x x x x x f )26( )4)(3121(11-<<-+-=∑∞=++x x n n n n 31 对级数∑∞=1n n u , 0lim =∞→n n u 是它收敛的________条件, 不是它收敛的________条件;解 必要; 充分.32 部分和数列{s n }有界是正项级数∑∞=1n n u 收敛的________条件; 解 充分必要. 33若级数∑∞=1n n u 绝对收敛, 则级数∑∞=1n n u 必定________; 若级数∑∞=1n n u 条件收敛, 则级数∑∞=1||n n u 必定________. 解 收敛; 发散. 34 讨论级数∑∞=11n n nn 的敛散性;解 因为11lim 11lim==∞→∞→n n nn nnn n , 而调和级数∑∞=11n n发散, 故由比较审敛法知, 级数发散. 35 讨论级数∑∞=1222)!(n nn 的敛散性解 因为∞==⋅++=∞→∞→+∞→2221lim )!(2)1(2])!1[(lim lim n n n n n u u n n n n n , 故由比值审敛法知, 级数发散.36 讨论级数∑∞=1223cos n n n n π讨论级数 解 因为n n n n n 223cos 2<π, 12121lim 2lim <==∞→∞→n n n n n n n 所以由根值审敛法, 级数∑∞=12n n n 收敛; 由比较审敛法, 级数∑∞=1223cos n nn n π收敛. 37 讨论级数∑∞=110ln 1n n讨论级数解 因为 ∞==∞→∞→nn nu n n n 10ln lim 1lim, 而调和级数∑∞=11n n发散, 故由比较审敛法知, 原级数发散. 38 设正项级数∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 都收敛, 证明级数∑∞=+12)(n n n v u 与收敛. 证明 因为∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 都收敛, 所以0lim =∞→n n u , 0lim =∞→n n v . 又因为0)2(lim 2lim 2=+=+∞→∞→n n n nn n n n v u u v u u , 0lim lim 2==∞→∞→n n n nn v v v ,所以级数∑∞=+12)2(n n n n v u u 和级数∑∞=12n n v 都收敛, 从而级数∑∑∞=∞=+=++12122)(])2[(n n n n n n n n v u v v u u也是收敛的.39 设级数∑∞=1n n u 收敛, 且1lim =∞→nnn u v , 问级数∑∞=1n n v 是否也收敛？试说明理由. 解 级数∑∞=1n n v 不一定收敛. 当∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 均为正项级数时, 级数∑∞=1n n v 收敛, 否则未必. 例如级数∑∞=-11)1(n n 收敛, 但级数∑∞=+-1]11)1[(n n n 发散, 并且有11)1(11)1(lim=-+-∞→nn n n .40 讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性: (1)∑∞=-11)1(n p n n ;解 ∑∑∞=∞==-111|1)1(|n p n p nnn 是p 级数. 故当p >1时级数∑∞=11n p n 是收敛的, 当p ≤1时级数∑∞=11n pn 发散. 因此当p >1时级数∑∞=-11)1(n p n n 绝对收敛.当0<p ≤1时, 级数∑∞=-11)1(n p n n 是交错级数, 且满足莱布尼茨定理的条件, 因而收敛, 这时是条件收敛的.当p ≤0时, 由于01)1(lim ≠-∞→p nn n , 所以级数∑∞=-11)1(n p n n 发散.综上所述, 级数∑∞=-11)1(n p n n 当p >1时绝对收敛, 当0<p ≤1时条件收敛, 当p ≤0时发散.(2)∑∞=+++-1111sin )1(n n n n ππ; 解 因为1111|1si n )1(|+++≤+-n n n n πππ, 而级数∑∞=+111n n π收敛, 故由比较审敛法知级数|1sin )1(|111∑∞=+++-n n n n ππ收敛, 从而原级数绝对收敛.(3)∑∞=+-11ln )1(n nn n ; 解 因为1ln )11ln(lim 1ln lim 1|1ln )1(|lim ==+=+=+-∞→∞→∞→e n n n n nn n n n n n n , 而级数∑∞=11n n发散,故由比较审敛法知级数|1ln )1(|1∑∞=+-n n n n 发散, 即原级数不是绝对收敛的. 另一方面, 级数∑∞=+-11ln )1(n n n n 是交错级数, 且满足莱布尼茨定理的条件, 所以该级数收敛, 从而原级数条件收敛.41 求下列幂级数的和函数: (1)∑∞=--1)1(2212n n n x n ;解 设幂级数的和函数为S (x ), 则])2(2[]21[])([)(1121120'='='=∑∑⎰∞=-∞=-n n n n n xx x x dx x S x S)12( )2(2]2112[22222<-+='-⋅=x x x x x , 即 )22( )2(2)(222<<--+=x x x x S . (2)∑∞=----112112)1(n n n xn ; 解 设幂级数的和函数为S (x ), 则 )1( arctan 11)1()()(20212210<=+=-='=⎰⎰∑⎰∞=--x x dx x x dx x S x S xx n n n x.因为当x =±1时, 幂级数收敛, 所以有 S (x )=arctan x (-1≤x ≤1). (3)∑∞=-1)1(n n x n ; 解 设幂级数的和函数为S (x ), 则 ])1()[1()1()1()1()(1111'--=--=-=∑∑∑∞=∞=-∞=n n n n n nx x x n x x n x S)1|1(| )2(1])1(11)[1(])1()1)[(1(211<---='----='---=∑∞=-x x x x x x x x x n n , 即 )20( )2(1)(2<<--=x x x x S . (4)∑∞=+1)1(n n n n x . 解 易知幂级数的收敛域为[-1, 1].设幂级数的和函数为S (x ), 则当x ≠0时∑∑∞=+∞=+=+=111)1(11)1(1)(n n n n x n n x x n n x Sdx dx x x dx x n x x x n n x n n][111001101⎰⎰∑⎰∑∞=-∞===dx x xdx dx x x x x x ⎰⎰⎰--=-=000)1ln(1]11[1)]1ln()1ln([1x x x x x-----= )1ln(11x xx --+=, x ∈[-1, 0)⋃(0, 1], 又显然S (0)=0, 因此⎪⎩⎪⎨⎧=⋃-∈--+=0 0]1 ,0()0 ,1[ )1ln(11)(x x x xx x S . 42 求下列数项级数的和:(1)∑∞=12!n n n ; 解 ∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=+-=+-=11112!!)1(!)1(!n n n n n n n n n n n n n n n . 因为n n xx n e ∑∞==1!1, 两边求导得11!-∞=∑=n n x x n n e , 再求导得22!)1(-∞=∑-=n n x x n n n e , 因此x x n n n n n n n n n n e e x x n n x n n n x x n n x n n n x n n +=+-=+-=∑∑∑∑∑∞=∞=-∞=∞=∞=221221112!!)1(!!)1(!,从而e S n n n 2)1(!12==∑∞=. (2)∑∞=++-0)!12(1)1(n n n n . 解 ∑∑∑∞=∞=∞=+-+++-=++-000)!12(1)1(21)!12(12)1(21)!12(1)1(n n n n n nn n n n n 1sin 211cos 21)!12(1)1(21)!2(1)1(2100+=+-+-=∑∑∞=∞=n n n n n n . 提示: ∑∞=++-=012)!12(1)1(sin n n nx n x , ∑∞=++-=02)!12(12)1(cos n n n x n n x 43 )(x f 是以2π为周期的函数，且在（ππ，-]上有表达式⎩⎨⎧≤<≤<-=ππx x x x f 0,,0,0)(， )(x S 是)(x f 的傅立叶级数的和函数，则)(πS = .44下列级数中，收敛的级数是 C（A ）∑∞=+1121n n （B ） 121n n n ∞=+∑ （C ） 1(3)2nn n ∞=-∑ （D ）1(1)nn n ∞=-∑45幂级数213nn n x n ∞=∑的收敛域为（ B ）。
第12章无穷级数单元自测题资料
第十二章 无穷级数单元自测题
一、选择题
1、
若
极
限lim n
un
0， 则 级 数
n1
u（n B）
(A)收敛；(B)发散； (C)条件收敛； (D)绝对收敛.
第十二章 无穷级数单元自测题
2、 下 列 级 数 发 散 的 是( D)
(A) (1)n1 1；
n1
n
(B) (1)n1( 1 1 )；
(2)
lim un v n
n
l(l
0为 确 定 常 数 ） , 则 un与 vn
n1
n1
具有相同敛散性
等 比 级 数 aqn , q 1时 收 敛 ，q 1时 发 散
n0
比
较
级
数调
和
级
数
n1
1 n
发
散
P
级数
n1
1 np
,
P
1时 收 敛 ，P
1时 发 散
第十二章 无穷级数单元自测题
第十二章 无穷级数单元自测题
第十二章 小结
一、常数项级数的概念与性质
1、概念
(1)定义
un u1 u2 u3 un
n1 n
级数的部分和 sn u1 u2 un ui
i 1
(2) 级数的收敛与发散
若
lim
n
sn
s, 则 称
n1
un收 敛, 且 级 数 的 和s
un .
( R, R)内可积,且对x ( R, R) 可逐项积分.
第十二章 无穷级数单元自测题
五、 函数展开成幂级数
1、 常见函数的幂级数展开式
e x 1 x 1 x2 1 xn x (,)
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第十二章无穷级数A 同步测试卷第十二章 无穷级数同步测试A 卷一、单项选择题(每小题3分，共15分)1．下列级数中，收敛的是（ ）2100111111()22223++++++++L L L A n 2111111()23100222++++++++L L L n B211111()(1)()()2222+++++++L L n C n2111111()(1)()23222++++++++++L L L L n D n2．设1∞=∑n n u 为数项级数，下列结论中正确的是（ ）1()lim,1+→∞=<n n n u A l l u ，级数绝对收敛.1()lim,1+→∞==n n nu B l l u ，级数发散.1()lim,1+→∞=<n n nu C l l u ，级数绝对收敛. 1()lim,1+→∞=<n n nu D l l u ，级数条件收敛. 3．已知幂级数1∞=∑nn n a x 的收敛半径2=R ，则对幂级数1(3)∞=-∑n n n a x 而言，下列的x 值不能确定收敛或发散的是（ ）()2()2()1()1==-=-=A x B x C x D x4. 设常数0>k ，则级数121(1)∞-=+-∑n n k nn（ ）. ()A 发散. ()B 条件收敛. ()C 绝对收敛. ()D 收敛性与k 有关.5. 周期为2π的函数()f x ，在一个周期上的表达式为(0)()2(2)πππππ≤≤⎧=⎨-≤≤⎩x f x x x ，设它的傅里叶级数的和函数是()S x ，则(2)π=S （ ）.()()()2()02πππA B C D二、填空题(每小题4分，共20分)6. 级数111()23∞=+∑n nn 的和为 . 7. 幂级数2112(3)∞-=+-∑n n nn n x 的收敛半径为 . 8. 已知级数12111(1)2,5∞∞--==-==∑∑n n n n n u u ，则级数1∞==∑n n u .9．将1()2=-f x x展开为x 的幂级数时，其收敛域为 . 10．将()1(0)π=+≤≤f x x x 展开为余弦级数时，0=a .三、解答题(共65分)11. （8分）判断下列运算过程是否正确，若不正确，指出错误所在. 因为11ln(1)(1)∞-=+=-∑n n n x x n ，因此取2=x 得112ln 3(1)∞-==-∑n n n n . 12. （8分）讨论级数2∞=n . 13. （8分）求级数2012!∞=+∑gnnn n x n 的和函数.14. （8分）将2125()65-=--xf x x x 展开为x 的幂级数.15. （8分）求极限212lim()(1)→∞+++>L n n na a a a .16. （8分）利用对展开式11(1)2sin +∞=-=∑n n x nx n 逐项积分，求2x 在(,)ππ-内的傅里叶级数.17. （8分）已知22116π∞==∑n n，求10ln 1+⎰x dx x .18. （9分）设有级数212(2)!∞=+∑nn x n ，验证此级数的和函数()y x 满足微分方程()()10''-+=y x y x ，并求幂级数212(2)!∞=+∑nn x n 的和函数.第九章 多元函数微分法及其应用同步测试A 答案及解析一、单项选择题答案详细解析1. 解 利用级数的性质.由于2100111222+++L 是常数，11123++++L L n 发散，因此()A 发散.由于11123100+++L 是常数，2111222++++L L n 收敛，因此()B 收敛.由于 211111(1)()()2222+++++++L L n n2111111(1)()23222=++++++++++L L L L n n这是一个发散级数与一个收敛级数的和，因此()C 发散.同理，()D 发散. 故选()B .『方法技巧』 本题考查无穷级数的性质.『特别提醒』 增加或去掉有限项，不影响级数的敛散性；一个收敛级数与一个发散级数的和发散.2. 解 比值审敛法只适用于正项级数，所以()A 不正确.事实上，令(1)=-nn u n ，11(1)(1)lim lim 11(1)++→∞→∞-+==-<-n n n n n nu n u n ，但级数1(1)∞=-∑nn n 发散. 令21=n u n ，2121(1)lim lim 11+→∞→∞+==n n n nu n u n，但级数211∞=∑n n 收敛，所以()B 不正确.若11lim lim 1++→∞→∞==<n n n n n nu u l u u ，则级数1∞=∑n n u 收敛，因此1∞=∑n n u 绝对收敛. 故()D 不正确，选()C .『方法技巧』 本题考查正项级数的比值审敛法及绝对收敛和条件收敛的概念.『特别提醒』 比值审敛法只限于正项级数使用.3. 解 由于1∞=∑nn n a x 的收敛半径2=R ，则幂级数1(3)∞=-∑n n n a x 在32-<x ，即15<<x 内绝对收敛，在5>x 或1<x 处发散，在1,5=x 不能确定，故选()D .『方法技巧』 本题考查幂级数的阿贝尔定理.『特别提醒』 阿贝尔定理经常出现在各类考试的选择题或填空题中，要求大家熟练掌握它.4. 解 由于 111221111(1)(1)(1)∞∞∞---===+-=-+-∑∑∑n n n n n n k n k n n n 由比较审敛法 22lim 01→∞=>n kn k n ，得121(1)∞-=-∑n n k n 绝对收敛；而111(1)∞-=-∑n n n 条件收敛，则级数 121(1)∞-=+-∑n n k nn条件收敛，故选()B . 『方法技巧』 本题考查正项级数的比较审敛法及绝对收敛、条件收敛的概念.5. 解 2π=x 是函数的间断点，则由狄利克雷收敛定理知，傅里叶级数收敛于(20)(20)0(2)222πππππ-+++===f f S故选()A .『方法技巧』 本题考查傅里叶级数的狄利克雷收敛定理.在函数的连续点0=x x ，级数收敛到0()f x ；在函数的间断点0=x x ，级数收敛到00(0)(0)2-++f x f x .『特别提醒』 首先要判断所求点是函数的间断点还是连续点（可以画出函数的图形），再应用狄利克雷收敛定理.二、填空题6. 328. 8 9. (2,2)- 10. 2π+答案详细解析6. 解 由于级数1111,23∞∞==∑∑n n n n 均为等比级数，且公比1<q ，因此两级数均收敛.又由收敛级数的和仍收敛，故111111111332()11232321123∞∞∞===+=+=+=--∑∑∑n n n n n n n 『方法技巧』 本题考查等比（几何）级数求和及级数的性质. 『特别提醒』 等比级数的和为1(1)1<-a q q，一定记住分子为第一项. 7. 解 211121112112(3)2(3)limlim lim 2(3)2(3)++++++→∞→∞→∞-++-+-==+-+-n n n n n n n n n n n n nn nn x u x n u x2212()113lim 233()13→∞+-+==-+n n n x x 由比值审敛法知：当213<x，即<x 213>x，即>x时，级数发散，因此级数的收敛半径为=R『方法技巧』 本题考查正项级数的比值审敛法及其特殊性.由比值审敛法判断级数1∞=∑n n u 收敛时，原级数1∞=∑n n u 绝对收敛；而级数1∞=∑n n u 发散时，原级数1∞=∑nn u也发散.这是由于比值审敛法判断级数发散是使用的必要条件，即lim 0→∞≠n n u ，此时lim 0→∞≠n n u ，故级数1∞=∑n n u 也发散.『特别提醒』 观察本题时，发现级数缺少偶数幂项，因此求收敛半径不可以直接应用公式，应使用比值审敛法或变量代换法（令2=t x ）.8. 解 由题设112342113511(1)2,5∞∞--==-=-+-+==+++=∑∑L L n n n n n u u u u u u u u u1234135123412()()∞==++++=+++--+-+∑L L L nn uu u u u u u u u u u u121112(1)2528∞∞--===--=⨯-=∑∑n n n n n u u『方法技巧』 本题考查收敛级数的性质——收敛级数的代数和仍收敛（此性质只适用于收敛级数）.『特别提醒』 一些同学不熟悉符号∑，可以将其写成普通和的形式，看起来会方便一些.9. 解 由于111()2212==--f x xx ，则当 12<x ，即2<x 时，函数可以展开为x 的幂级数，故收敛域为(2,2)-.『方法技巧』 本题考查形如1()1=-f x x的函数展开式及收敛域1<x .若函数不是标准形式，需先化为标准形式.10. 解 由傅里叶系数公式200221(1)(1)22πππππ=+=+=+⎰g a x dx x『方法技巧』 本题考查余弦级数的傅里叶展开式及系数公式：2()cos (0,1,2,)ππ==⎰L n a f x nxdx n则 01()cos 2∞==+∑n n a f x a nx （x 在连续点）三、解答题11. 解 运算过程是错误的.函数ln(1)+x 的幂级数展开式并不是在整个数轴上均为11(1)∞-=-∑nn n x n，而是在区间(1,1]-上，11ln(1)(1)∞-=+=-∑nn n x x n，故运算错误. 『方法技巧』 本题考查函数的幂级数展开式及幂级数的收敛域. 12. 解 当3≥n时，1<≤，又1=n ，由夹逼准则知10=≠n，故级数2∞=n . 『方法技巧』 本题考查级数收敛的必要条件： 1∞=∑n n u 收敛lim 0→∞⇒=n n u .即若lim 0→∞≠n n u ，则1∞=∑n n u 发散.『特别提醒』解题过程中用到了结论1=n ，证明如下：由于ln ln 1limlim0limlim 1→+∞→+∞→+∞=====x x xx xx x x x eeee故1=n一些数列的极限如果能够记住，会很方便，如1(0)=>n a；1=n 等.13. 解 222000111(1)1()()()2!!2!2(1)!2∞∞∞∞====+-+=+=+-∑∑∑∑g xn n n nnn n n n n n x x n x x e n n n n 22111()()(2)!2(1)!2∞∞===++--∑∑x n nn n x x e n n 22122111()()4(2)!22(1)!2∞∞--===++--∑∑x n n n n x x x x e n n 222242=++x x xx x e e e 『方法技巧』 本题考查函数xe 的展开式：0()!∞==-∞<<+∞∑nxn x e x n . 展开式 0!∞==∑nxn x e n 中，三处的n 要相同.『特别提醒』 若对∑符号不熟悉，可以将每一项直接写出. 在20()!2∞=∑nn n x n 中，n 从0开始取，但在1(1)1()(1)!2∞=-+-∑nn n x n 中，n 从1开始取.14. 解 21256(1)(6)6111()65(6)(1)6111()6---+===+=+--+-+----x x x f x x x x x x x x x01(1)()616∞==-+∑n n n xx （16<x 即6<x ） 011∞==-∑n n x x （1<x ） 故 2000125(1)()(1)()[1]6566∞∞∞===--==-+=+--∑∑∑n n n nn n n n n x x f x x x x x （1<x ） 『方法技巧』 本题考查形如1()1=-f x x的函数展开式及收敛域1<x .首先利用分式的性质，将2125()65-=--x f x x x 化为标准形式1111()6+---x x . 15. 解 所求极限实际上是级数1∞=∑n n na 的和，所以考虑幂级数1∞=∑n n nx .令 1211()[]()1(1)∞∞-==''====--∑∑n n n n x xS x x nxx x x x x （11-<<x ） 故 2221121lim()()1(1)(1)→∞+++===--L n n n a a S a a a a a a『方法技巧』 本题考查利用级数的和求其部分和的极限.关键是找到一个适当的幂级数，利用它求出常数项级数的和，再利用级数收敛的充要条件求极限.16. 解 由于当(,)ππ∈-x 时，有11(1)2sin +∞=-=∑n n x nx n ，而()=f x x 在(,)ππ-内连续，对展开式逐项积分得1001(1)2sin +∞=-=∑⎰⎰n xx n xdx nxdx n 1122011(1)(1)2cos 2(1cos )++∞∞==--=-=-∑∑n n x n n nx nx n n 故 112222111(1)(1)(1)4(1cos )44cos ++∞∞∞===---=-=+∑∑∑n n nn n n x nx nx n n n 021(1)4cos 2∞=-=+∑nn a nx n由傅里叶系数公式知 2200223πππ==⎰a x dx ，因此 3221(1)4cos ()3πππ∞=-=+-<<∑nn x nx x n 『方法技巧』 本题考查利用间接方法（对已知函数展开式逐项积分）将函数展开为傅里叶级数.省去了求傅里叶系数的过程（傅里叶系数中的,n n a b 计算比较复杂）.17. 解 11100000ln ln [(1)](1)ln 1∞∞===-=-+∑∑⎰⎰⎰n n n n n n x dx x x dx x xdx x 1112000(1)(1)ln 1(1)+∞∞+==--==++∑∑⎰nn n n n xdx n n 2200112(2)∞∞===-+∑∑n n n n 2222201116262612ππππ∞==-+=-+=-∑g n n 『方法技巧』 本题题型比较特殊，在被积函数中，需要将其中一个展开为x 的幂级数，逐项积分再求和.『特别提醒』 122220(1)1111(1)234+∞=-=-+-+-+∑L n n n 222221111112()23424=-----+++L L 222220000011111112(2)22∞∞∞∞∞======-+=-+=-∑∑∑∑∑n n n n n n n nn n18. 解 当(,)∈-∞+∞x 时，记21()2(2)!∞==+∑nn x y x n ，则 211()(21)!-∞='=-∑n n x y x n ，22211()1()1(22)!(2)!-∞∞==''==+=--∑∑n nn n x x y x y x n n 且(0)2,(0)0'==y y ，则 ()()1()1()10''-+=--+=y x y x y x y x ，故()y x 满足微分方程()()10''-+=y x y x . 由于幂级数212(2)!∞=+∑nn x n 的和函数为()y x ，因此所要求的是二阶常系数非齐次线性微分方程()()10''-+=y x y x 的满足条件(0)2,(0)0'==y y 的特解()y x . 其特征方程为210-=r ，特征根为1=±r ，对应的齐次方程的通解为12-=+x x Y C e C e ，观察知1*=y 是方程的一个特解，故其通解为121-=++x x y C e C e ，将(0)2,(0)0'==y y 代入得1212==C C ，即11()122-=++x x y x e e ，即幂级数 211121(2)!22∞-=+=++∑n x x n x e e n 『方法技巧』 本题考查幂级数逐项求导及二阶常系数非齐次线性微分方程求通解和通解.『特别提醒』 求二阶常系数非齐次线性微分方程的特解时，也可用一般方法，设特解形式为*=y A （0λ=不是特征根），代入原方程中，求出特解.。