复合函数的单调性例讲

复 合 函 数 的 单 调 性 例 讲山西忻州五寨一中 摄爱忠高考主要考查：①求复合函数的单调区间；②讨论含参复合函数的单调性或求参数范围问题．①“中间变量”是形成问题转化的桥梁. ②函数思想是解决问题的关键．复合函数定义：1. 设)(u f y =定义域为Ａ，)(x g u =的值域为Ｂ，若A B ⊆，则y 关于x 的函数)]([x g f y =叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间变量．外函数：)(u f y =； 内函数：)(x g u =复合函数的单调性：同增异减.2.若)(x g u = )(u f y =则)]([x g f y =增函数 增函数 增函数 减函数 减函数 增函数 增函数 减函数 减函数 减函数增函数减函数3.求解复合函数的单调性的步骤如下： (1)求复合函数定义域；(2)将复合函数分解为若干个常见函数(一次、二次、幂、指、对函数)； (3)判断每个常见函数的单调性；(4)将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围；(5)求出复合函数的单调性。

题型1：内外函数都只有一种单调性的复合型.例 题1：◇已知函数y=log a (2-ax)在[0,1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是( )(A).(0,1) (B).(1,2) (C).(0,2) (D).[2，+∞) 解：设y= log a u ，u=2-ax ，∵a 是底数，所以a>0，∵ 函数y=log a u 在u ∈[0,1]上是减函数，而u=2-ax 在区间x ∈[0,1]上是减函数， ∴ y= log a u 是u ∈(0, +∞)上的增函数，故a>1，还要使2-ax>0在区间上总成立， 令g(x)= 2-ax ，由{g(0)=2-a ·0>0g(1)=2-a ·1>0，解得a<2，∴1<a<2，故选(B).变式训练：◇ 已知函数)121ln(-=xy ，求其单调区间. 【分析】：由0121>-x ，得 0<x ，即)0,(-∞∈x . 而函数u y ln =在),0(∞+∈u 上是增函数，函数121-=x u 在)0,(-∞∈x 上是减函数， 故函数)121ln(-=xy 在)0,(-∞∈x 上是减函数. 题型2：外函数有一种单调性内函数有两种单调性的复合型.例 题2：◇求函数y=log 0.5(x 2+4x+3)的单调区间.解：令y= log 0.5u ，u= x 2+4x+3，由x 2+4x+3>0知函数的定义域为),1()3,(∞+-⋃--∞∈x ，因y= log 0.5u 在u ∈(0,+∞)上是减函数，而u= x 2+4x+4在x ∈(-∞，-3)上是减函数， 在(-1，+ ∞)上是增函数，根据复合规律知，函数y=log 0.5(x 2+4x+4) 在x ∈(-∞，-3)上是增函数；在x ∈(-1，+ ∞)上是减函数.变式训练：◇讨论函数34252+-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x y 的单调性。

解：函数定义域为R. 令u=x 2-4x+3，y=0.8u。

指数函数uy ⎪⎭⎫⎝⎛=52在u ∈(-∞，+∞)上是减函数，u=x 2-4x+3在(-∞，2]上是减函数，在[2，+∞)上是增函数，递 减单 调 递 增+∞22x复合函数：外 函 数：内 函 数：递 减单 调 递 增单 调 递 增0–2–1231∴ 函数34252+-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x y 在(-∞，2]上是增函数，在[2，+∞)上是减函数。

这里没有第四步，因为中间变量允许的取值范围是R ，无需转化为自变量的取值范围。

题型3：外函数有两种单调性内函数有一种单调性的复合型.例 题3：◇ 函数y=2sin(π4-2x)的单调递增区间是( )(A).⎥⎦⎤⎢⎣⎡8783ππ， (B).⎥⎦⎤⎢⎣⎡8785ππ， (C).⎥⎦⎤⎢⎣⎡830π， (D). ⎥⎦⎤⎢⎣⎡40π， 解：令y=sinu ，u=π4 -2x ，∵u=π4 -2x 是R 上的减函数，而y=sinu 在u ∈[2k π+ π2，2k π+3π2](k ∈Z)上单调递减，根据函数单调性的复合规律，令2k π+ π2≤π4 -2x ≤2k π+3π2得:885ππππ-≤≤-k x k 当k=0时， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈8783ππ，x ， 故选(A) . 例 题4：◇讨论函数y=(log 2x)2+log 2x 的单调性.解：显然函数定义域为(0，+∞). 令 u=log 2x ，y=u 2+u ∵ u=log 2x 在(0，+∞)上是增函数， y=u 2+u 在(-∞，21-]上是减函数，在[21-，+∞)上是增函数 【注意】:(-∞，21-]及[21-，+∞)是u 的取值范围. 令⎪⎩⎪⎨⎧>-≤021log 2x x ，则0＜x≤22， (u≥21- log 2x≥21- x≥22)所以y=(log 2x)2+log 2x 在(0，22]上是减函数，在[22，+∞)上是增函数。

用数轴标单调区间如下：①求复合函数的定义域；②求内函数在定义域内的单调区间；③求外函数的单调区间；④求外函数对内函数变量所对应的单调区间；⑤在数轴上标出②④按“同增异减”写出复合函数的单调区间.变式训练：◇求函数211222log 2log 1y x x =-+的单调区间．【解析】（1）此函数的定义域：()+∞0，；（2）此函数是由函数212221log y u u u x x =-+=，（）复合所得；（3）内层函数的单调区间：函数12log u x x =（）在()0,x ∈+∞单调递减； （4）外层函数的单调区间：函数2221y u u =-+在12u ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦，单调递减，12u ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，单调递增；（5）根据复合函数的单调性规律，写出复合函数的单调区间：函数211222log 2log 1y x x =-+在1222u x ⎡⎫⎛⎤∈-∞⇔∈+∞⎪⎢ ⎥⎪⎝⎦⎣⎭，，单调递增；在12022u x ⎛⎫⎡⎫∈+∞⇔∈ ⎪⎪⎢ ⎪⎣⎭⎝⎭，，单调递减． 【评注】：给出复合函数的单调区间，必须将外层函数中的12u ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦，调整为复合函数的自变量x 等价的范围22x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎪⎣⎭，，必须将外层函数中的12u ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，调整为复合函数的自变量x 等价的范围202x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，. ◇函数()19232xx f x +=-⨯+的单调递减区间是 ；单调递减区间是 .题型4：内外函数都有两种单调性的复合型.例 题5：◇已知函数()282,f x x x =+-则()()22g x f x =-单 调 递 增递 增单 调 递 减外 函 数：内 函 数：单 调 递 增递 减x0–123451（A ）在区间()1,0-上是减函数 （B ）在区间()0,1上是减函数 （C ）在区间()2,0-上是增函数 （D ）在区间()0,2上是增函数【解析】设228)(u u u f -+=， 22x u -=，外函数：增区间 ），（1-∞；减区间 ），（∞+1； 内函数：增区间 ），（0-∞；减区间 ），（∞+0 当()1,∞-∈u 时，∈-22x ()1,∞-，即22x -＜1，x ＞1或x ＜-1； 当),1[+∞∈u 时，∈-22x ),1[+∞即22x -≥1，-1≤x ≤1用数轴标出单调区间如下：递 减递 增单 调 递 减单 调 递 增单 调 递 增单调递减单 调 递 增单 调 递 减单 调 递 增复合函数：外 函 数：内 函 数：01+∞-∞-1x–2–3–4–123451显然，A 正确.变式训练：◇已知函数()282,f x x x =-+则()()10g x f x x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的递增区间是 .【解析】设28)(2+-=u u u f ，xx u 1+=； 外函数：减区间 )4,(-∞； 增区间 ),4(∞+内函数：减区间 )1,0(； 增区间 ),1(∞+令3232410+<<-⇒⎪⎩⎪⎨⎧<+>x x x x ；再令3232410+>-<⇒⎪⎩⎪⎨⎧>+>x x x x x 或. 用数轴标出单调区间如下：故 )(x g 的单调递增区间为()1,32- 和()∞++,32.①求复合函数的定义域；②求内函数在定义域内的单调区间；③求外函数的单调区间；④求外函数对内函数变量所对应的单调区间；⑤在数轴上标出②④按“同增异减”写出复合函数的单调区间.练习题组：◇函数)1,0()4(log )(≠>-=a a ax x f a 在0,1上单调递减，则a 的取值范围是（ ）.（A ）1,4 （B ）1,4 （C ）()∞+,4 （D ）[)∞+,4答案为B.【评注】：研究函数的单调区间必须遵循“定义域优先”的原则，不能忽视40ax 在0,1恒成立.◇函数)1,0()4(log )(≠>-=a a ax x f a 在6,8上单调递增，则a 的取值范围是( ).（A ）），（210 （B ）），（121（C ）），（∞+2 （D ）[)∞+，2 ◇（2013福建）函数2()ln 1f x x 的图象大致是A ．B ．C ．D ．◇（2014天津）函数212log 4f xx 的单调递增区间是（A ）()∞+，0 （B ）()0-，∞ （C ）()∞+，2 （D ）()2--，∞◇求函数()),3()(2322x x f x g x x x f -=+-=；的单调区间◇函数()2sin3log 65f x x x =-+的单调区间是 .◇函数()9log 8a f x x x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭在[)1,+∞上是增函数，求a 的取值范围． ◇函数()2cos cos 1f x x x =-+的单调性判断错误的是（A ）在,3ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦递减 （B ）在[],0π-递增 （C ）在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦递减（D ）在5,3ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦递增 ◇（2014年全国卷）若函数()cos2sin f x x a x =+在区间62ππ⎛⎫⎪⎝⎭，是减函数，则a 的取值范围是________． ◇函数()2sin 4sin 1f x x x =++的单调递增区间是 . ◇函数)2cos 2(sin log )(5.0x x x f +=的单调递减区间是（ ）.题型5：已知函数的单调性求参数范围型.例 题5：◇已知函数)3(log )(221a ax x x f +-=在区间[2，+∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是_______。

【解析】如下： 令u=x 2-ax+3a ，y=u ． 因为y=u 在(0，+∞)上是减函数 ∴ f(x)=(x 2-ax+3a)在[2，+∞)上是减函数u=x 2-ax+3a 在[2，+∞)上是增函数，且对任意x∈[2，+∞)，都有u ＞0。