复合函数的单调性例讲

复 合 函 数 的 单 调 性 例 讲

山西忻州五寨一中 摄爱忠

高考主要考查：①求复合函数的单调区

间；②讨论含参复合函数的单调性或求参数范围问题．

①“中间变量”是形成问题转化的桥梁. ②函数思想是解决问题的关键．

复合函数定义：

1. 设)(u f y =定义域为Ａ，)(x g u =的值域为Ｂ，若A B ⊆，则y 关于x 的函数)]([x g f y =叫做函

数f 与g 的复合函数，u 叫中间变量．

外函数：)(u f y =； 内函数：)(x g u =

复合函数的单调性：同增异减.

2.

若)(x g u = )(u f y =

则)]([x g f y =

增函数 增函数 增函数 减函数 减函数 增函数 增函数 减函数 减函数 减函数

增函数

减函数

3.求解复合函数的单调性的步骤如下： (1)求复合函数定义域；

(2)将复合函数分解为若干个常见函数(一次、二次、幂、指、对函数)； (3)判断每个常见函数的单调性；

(4)将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围；

(5)求出复合函数的单调性。

题型1：内外函数都只有一种单调性的复合型.

例 题1：

◇已知函数y=log a (2-ax)在[0,1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是( )

(A).(0,1) (B).(1,2) (C).(0,2) (D).[2，+∞) 解：设y= log a u ，u=2-ax ，∵a 是底数，所以a>0，

∵ 函数y=log a u 在u ∈[0,1]上是减函数，而u=2-ax 在区间x ∈[0,1]上是减函数， ∴ y= log a u 是u ∈(0, +∞)上的增函数，故a>1，还要使2-ax>0在区间上总成立， 令g(x)= 2-ax ，由{g(0)=2-a ·0>0

g(1)=2-a ·1>0

，解得a<2，∴1

变式训练：

◇ 已知函数)121

ln(

-=x

y ，求其单调区间. 【分析】：由

012

1

>-x ，得 0

1

-=

x u 在)0,(-∞∈x 上是减函数， 故函数)121

ln(

-=x

y 在)0,(-∞∈x 上是减函数. 题型2：外函数有一种单调性内函数有两种单调性的复合型.

例 题2：

◇求函数y=log 0.5(x 2

+4x+3)的单调区间.

解：令y= log 0.5u ，u= x 2

+4x+3，由x 2

+4x+3>0知函数的定义域为),1()3,

(∞+-⋃--∞∈x ，

因y= log 0.5u 在u ∈(0,+∞)上是减函数，而u= x 2

+4x+4在x ∈(-∞，-3)上是减函数， 在(-1，+ ∞)上是增函数，根据复合规律知，

函数y=log 0.5(x 2

+4x+4) 在x ∈(-∞，-3)上是增函数；在x ∈(-1，+ ∞)上是减函数.

变式训练：

◇讨论函数3

4252+-⎪

⎭

⎫ ⎝⎛=x x y 的单调性。

解：函数定义域为R. 令u=x 2

-4x+3，y=0.8u

。

指数函数u

y ⎪⎭

⎫

⎝⎛=52在u ∈(-∞，+∞)上是减函数，

u=x 2

-4x+3在(-∞，2]上是减函数，在[2，+∞)上是增函数，

递 减单 调 递 增

+∞

22

x

复合函数：

外 函 数：内 函 数：

递 减单 调 递 增单 调 递 增

0–2–1

231

∴ 函数3

4252+-⎪

⎭

⎫ ⎝⎛=x x y 在(-∞，2]上是增函数，在[2，+∞)上是减函数。

这里没有第四步，因为中间变量允许的取值范围是R ，无需转化为自变量的取值范围。

题型3：外函数有两种单调性内函数有一种单调性的复合型.

例 题3：

◇ 函数y=2sin(π

4

-2x)的单调递增区间是( )

(A).⎥⎦⎤⎢

⎣⎡8783ππ， (B).⎥⎦⎤⎢⎣⎡8785ππ， (C).⎥⎦⎤⎢⎣⎡830π， (D). ⎥⎦⎤⎢⎣

⎡40π， 解：令y=sinu ，u=π4 -2x ，∵u=π4 -2x 是R 上的减函数，而y=sinu 在u ∈[2k π+ π2，2k π+3π

2

]

(k ∈Z)上单调递减，

根据函数单调性的复合规律，令2k π+ π2≤π4 -2x ≤2k π+3π

2

得:

885ππππ-≤≤-

k x k 当k=0时， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈878

3ππ

，x ， 故选(A) . 例 题4：

◇讨论函数y=(log 2x)2+log 2x 的单调性.

解：显然函数定义域为(0，+∞). 令 u=log 2x ，y=u 2

+u ∵ u=log 2x 在(0，+∞)上是增函数， y=u 2

+u 在(-∞，21-

]上是减函数，在[2

1

-，+∞)上是增函数 【注意】:(-∞，21-

]及[2

1

-，+∞)是u 的取值范围. 令⎪⎩⎪⎨⎧

>-

≤0

21log 2x x ，则0＜x≤

22， (u≥21- log 2x≥2

1

- x≥22)

所以y=(log 2x)2

+log 2x 在(0，22]上是减函数，在[2

2，+∞)上是增函数。

用数轴标单调区间如下：