数学证明

由于 BD′是∠ABC 的平分线，故知 BD 也是∠ABC 的平分线。
从上面的例题可以看到，当要证明具有性 质p的对象x也具有性质q，而且知道具有 性质p的对象x是唯一存在时，可采用下列 步骤：
1）构造具有性质q的对象y；
2）证明y具有性质p；
3）由于具有性质p的对象是唯一存在的， 故x=y。即两个对象是同一事物；
若M是自然数集N的子集，即M N。如果
（1） 1∈M，
（2）当n∈M时，n+1∈M。那么M=N。
数学归纳公理的主要作用是它使无限的归纳 推理转化为有限的演绎推理，所以我们说数 学归纳法并非归纳推理而是演绎推理。
数学归纳法严格的推理过程可归结为如下 的一个三段论式的演绎推理形式：
凡N的子集M满足条件（1）、（2），都有 M=N（归纳原理）。
证明 如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么 这条直线也和另一条垂直。
已知 AB∥CD，EF⊥AB
求证 EF⊥CD
证明 ∵AB∥CD （已知）
∴∠1=∠2 （两直线平行，
E
同位角相等）
A 1B
∵EF⊥AB （已知）
∴∠1=90°（垂直定义）
C 2D
∴∠2=90°（等量代换）
F
∴EF⊥CD （垂直定义）
例 2 在平行四边形 ABCD 中，M、N 分别是 BC、AD 的中点，线段 AM、CN 分别交对角
线 BD 于 E、F，求证 BE=EF=FD。
A
N
D
F
我们用框图分别表示出综合法、分析
E
法证明这一问题的推理过程如下：
BM
C
我们用框图分别表示出综合法、分析法证 明这一问题的推理过程如下：
综合法
ABCD
例 6 用数学归纳法证明：凸 n 边形的 n 个内角和等于
（n-2）·180°
证明 依题意，n≥3。
1）当 n=3 时，三角形的三内角
A1
和显然等于（3-2）180°=180°这是 A2
Ak+1
正确的。
Ak
2）假设 n=k 时，k 边形的 k 个 A3
内角和等于（k-2）180°，则当
A
Ak-1
n=k+1 时，可以在 k+1 边形
（2）同一法
通过证明原命题的逆命题而间接证明原命题的方 法，叫做同一法。
但是要特别注意：只有命题的条件与结论确定的 对象是唯一存在的情况下，也就是一个命题的条 件和结论所指的概念具有同一关系的情况下，原 命题与逆命题才能等价，这时，我们称这一命题 符合同一原理，同一法证明才能有效。而在一般 情况下，原命题与逆命题不一定等价，同一法是 无效的。
以上推理又可简写成以下形式： AB∥CD ∠2=∠1
EF⊥AB
∠ 1=90°
∠2=90°EF⊥CD
由上面的推理不难看出，每个推理是 由命题排列而成的，而一个证明又是 由若干推理有序排列构成，因此，可 以把一个数学证明看成是由命题组成 的有限的逻辑链，而所谓要证明一个 命题，就是要由已知条件及已有的真 实命题出发，逐步进行推理，不断得 出互相联结的新命题，一直联结推出 所证命题的结论为止。
如果我们设命题R是已知条件或已知的 定义、公理、定理等，则R ∧R是矛盾 命题，且是一个恒假命题。而反证法的 “否定原命题从而导致矛盾”的逻辑命 题形式，即：
p→q →R∧R 以下我们说明上面的命题与原命题 p →q 逻辑等价。
→R∧ R ≡ →0≡ ∨0≡p→ q
上式说明反证法是通过证明与原命 题 p→q 等价的另一个命题 →R∧ R 为真，从而肯定原命题为真的证明方 法，这就是反证法的逻辑基础。
AD∥BC，AD=BC ↑
ABCD
综合法 ABCD
↓ BC∥AD AN=BN → ← BM=MC
MN∥AN，MN=AN
↓
ME∥FC← AMCN → NF∥AE
↓
↓
BE=EF
EF=FD
BE=EF=FD
分析法
BE=EF=FD
↑
BE=EF
EF=FD
↑
↑
BM=MC→
←AN=ND
ME∥CF
NF∥AE
AM∥CN ↑ AMCN 是 ↑ AN∥MC，AN=MC AN=ND →↑ ← BM=MC AD∥BC，AD=BC
A1A2A3……Ak-1AkAk+1 中，连结 A1Ak，这时就得到 k 边形 A1A2A3……Ak 和一个三角形 A1AkAk+1，而 且明显可见，k+1 边形内角和正好等于 k 边形内角和与三角形的内角和之和。即 k+1 边形
A1A2A3……Ak-1AkAk+1 等于：
（k-2）180°+180°=[（k+1）-2]180°
已知 在⊿ABC中，BE、CF分别是∠B、∠C 的平分线，且BE=CF。求证 AC=AB。
A
G
F
E
B1
2C
证明 如图，作平行四边形 BEGF，并连结 G GC。假设 AB≠AC，则可能 AB＞AC，
F
E
或 AB＜AC。
ⅰ) 如果 AB＞AC，则有∠ACB＞∠ABC，
B1
2 C ∴ ∠ACB=∠1＞∠2= ∠ABC。
因为M′={k|P（k）真}是N的子集，且条件 （1）、（2）都由数学归纳法证明中的1） 2）两步说明是满足的。
所以，M′=N，即M′={n|P（n）}。
数学归纳法是用于证明有关自然数的命题的可靠方 法。应当指出，数学归纳法证明中的前两步缺一不 可，证明中的结论一步也不能忽视。这是因为，缺 了第一步基础，第二步递推就没有基础，即使第二 步证明无误，由于命题真而前提假时，结论可真可 假，因而当P（k）假时P（k+1）可真可假，从而整 个命题P（n）的真假并未断定，这种证明当然无效 。缺了第二步，虽然第一步验证明为真，但由于无 法进行递推，就连P（2）是否为真都无法断定，因 而更谈不上对于一切自然数n，P（n）的真假的断定 了。此外，在第二步证明中，一定要用到归纳假设 ，否则，不是证明有误，就是整个证明只是徒有数 学归纳法的“空架”形式，实际上只是一种多余的 （n=1）演绎法证明。
二、证明方法
在中学数学中常用的证明方法是直接证 法、间接证法和数学归纳法。下面介绍 这些证明方法。
1．直接证法
（1）综合法 如果证明时的思考顺序是从题设到结论， 即从欲证命题的题设p出发，根据已知的定 义、公理和定理等，依推理规则逐步推得 欲证结论q。这种证明方法称为综合法。
综合法是一种“由因导果”的思考顺序， 它由已知出发，逐步推演寻找它的必要 条件，直到得出结论为止。用综合法证 明命题推理思路自然，表述简明。但在 一定条件下，由已知公理、定理等推出 的结论较多，从中寻找欲证结论，有时 好象大海捞针，容易误入岐途，这是综 合法的缺点。
例5 已知⊿ABC中，AB=AC， ∠A=36°，在AC上截取AD=BC。求 证 BD是∠ABC的平分线。
分析 本题是说如果射线BD是角
A
B的分角线，且与AC交于点D使AD=BC，
D′
则射线BD必是∠B 的平分线显然符合题设
D
的射线是唯一存在的。故可使用同一法。 B C
证明 作∠ABC 的平分线 BDˊ，下 面证明有题设中的性质。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
数学归纳法的一般步骤：
设数学命题A由A1、A2、A3、……无限个数 学命题构成，如果通过某种数学推理证明 有：
1）第一个命题A1已知为真； 2）对任一自然数n，如果命题An为真，则 命题An+1为真。 那么序列中所有的命题必都为真。从而A得 证。
数学归纳法证明的有效性是依靠数学中的一 条公理——归纳原理（皮亚诺公理）：
证明 假设 m+n＞2，则 n＞2-m， 从而有 n3＞8-12m+6m2-m3， ∴m3+n3＞6（m2-2m+4/3）=6（m-1）2+2 又∵（m-1）2≥0 ∴ m3+n3＞6（m-1）2+2≥2。 但已知 m3+n3≤2，这就产生了矛盾。 因此，m+n≯2，从而有 m+n≤2。
例4 如果三角形的两个角平分线相等，那 么，这两个角所对的边必定相等。
在⊿BCF 与⊿CBE 中，
∵CF=BE，BC 公用，且∠1＞∠2，
∴BF＞CE。
由于 EG∥BF，EG=BF，∴EG＞CE
∴在⊿EGC 中，有∠ECG＞∠EGC
∴ ∠ACB+∠ECG＞ ∠ABC+∠EGC
即 ∠FCG＞∠CGF。
在⊿FCG 中，由上即可得出 FG＞FC。
又由于 FG∥∴BE＞FC
这就与已知 BE=CF 矛盾，因此，AB≯AC。
分析法是一种“执果索因”的思考顺 序，它由未知的待证结论出发，逐步 寻找使结论成立的充分条件，直到追 溯到的充分条件是已知为止。分析法 的证明思路不如综合法自然，表述也 不如综合法简明，但是从结论出发反 求公理、定理和题设，往往容易获得 证明思路。
分析综合法
在证明比较复杂的问题时，往往把综合 法与分析法合起来使用，在分析的基础 上综合，在综合的指导下分析，再综合 。从而找到证题的途径。在证明过程中 常采用“两头凑”，即同时从已知和结 论出发，逐步分别进行推理和追溯，直 到推得的中间结论与追溯的条件相同时 为止。这种方法也叫分析综合法。
↓ BC∥AD
AN=BN → ↓ ← BM=MC
↓ MN∥AN，MN=AN
↓ ME∥FC← AMCN → NF∥AE
↓
↓
BE=EF
EF=FD
↓
BE=EF=FD
分析法
BE=EF=FD
↑
BE=EF EF=FD
↑
↑
BM=MC→
←AN=ND
ME∥CF NF∥AE
↑ AM∥CN
↑ AMCN是
↑ AN∥MC，AN=MC
若证命题A→D成立，其思考推理顺序如图（1）：
A
D
↙↓↘
↗↑↖
B1 B B2 ↙ ↙↓↙↘
C1 C C2 ↗↗↑↗↖
C1 C2 C C3 C4
B1 B2 B B3 B4
↓ ↓ ↓ ↓↓
↑↑ ↑↑↑
D
A
（1）
（2）
（2）分析法
如果证明时的思考顺序是从结论到题设， 即从欲证命题的结论出发，根据已知的定 义、公理和定理等，依推理规则，逐步追 溯到题设，这种证明方法称为分析法。 例如在证明A→D成立时的推理思考顺序如 图（2）。
由 1）2）得，对于 n≥3 的一切自然数 n，凸 n 边形的内角和等于（n-2）180°。
∵∠ABD′= ∠ABC= （180°-36°） =36° =∠A
∴AD′=BD′ 又∵∠BD′C=∠A+∠ABD′=72° 且∠C= （180°-36°）=72° ∴BD′=BC，因此有 AD′=BC 由已知 AD=BC，∴AD′=AD。 ∵点 D′和 D 均在射线 AC 上，故得 D′与 D 重 合。
↑
ABCD
2．间接证法
当直接证明一个数学命题有困难时，可 以使用间接证法。
间接证法就是不直接证明原命题为真， 而去证明与之逻辑等价的另一个命题为 真，由等价性间接地证明了原命题为真 的方法。
我们这里介绍间接证法中的反证法和同 一法。
（1）反证法
反证法是否定原命题（p→q），从而导 致矛盾的一种间接证明问题的方法。
推理1 ∵两直线平行则同位角相等， AB∥CD，∠1=∠2是同位角 ∴∠1=∠2
推理2 ∵两直线垂直则交角为90° EF⊥AB 且交角为∠1 ∴∠1=90°
推理3 ∵两个相等的量可以代换 ∠1=∠2 且∠1=90° ∴∠2=90°
推理4 ∵两条直线相交成90°则它们互相垂直 EF与CD相交成∠2=90° ∴EF⊥CD
4）从而断定x具有性质q。
以上就是同一法的证明步骤。
3．数学归纳法
前面我们用归纳法观察一类事物的个别对 象具有某一属性，从而得出一类事物的所 有对象都具有这一属性。这种归纳推理是 有说服力的，但它与用严格的逻辑或数学 证明定理在性质上却不同。而数学归纳法 采用了另外一种证明手段，使它能用来证 明有关无限序列的数学命题的正确性，当 之无愧的成为一种演绎方法。
§4·4 数学证明
一、证明的意义与结构 证明就是根据一些已经确定真实性 的命题来断定某一个命题的真实性 的思维过程。它是由论题、论据和 论证方式三个要素构成。
•论题就是需要确定其真实性的命题
•论据就是用来确立论题真实性所引 用的那些已知真实的命题；
•论证就是根据论据进行一系列推理 而确立论题真实性的过程。
又由于 ≡ ∨q ≡p∧ ，因而，反证 法的逻辑基础又可写为：
p∧ →R∧ ≡p∧ →0≡ ∨q ∨0 ≡ ∨q≡p→q
≡ ∨q≡p→q
反证法证明的一般程序是：肯定题 设否定结论，由此出发，进行一系 列的推理，一直推出矛盾R∧R，从 而断定为假，肯定p→q为真。
例3 已知m3+n3≤2，求证m+n≤2。