矩阵乘法ABBA成立的两个充要条件与一个充分条件

矩阵乘法AB=BA成立的两个充 要条件与一个充分条件
主讲：刘媛媛
我们知道，矩阵的乘法不满足交换律， 即在一般的情况下，AB≠BA,这就是说矩阵 乘法AB=BA成立是有条件的。比如，对于n 阶矩阵A,B中任意一个为n阶单位矩E时，矩 阵乘法AＩ=ＩA总是成立的。当A,B为一般 的n阶矩阵时，矩阵乘法AB=BA成立的条件 时什么呢？为此，我做了一些探讨，得到矩 阵乘法AB=BA成立的两个充要条件和一个充 分条件。
一 两个充要条件
▪ 定理1 若A,B都是n阶可逆矩阵，则矩阵乘法AB=BA 成立的充要条件是
( AB) 1 A 1 B 1
▪ 证 必要性 由已知条件AB=BA，两端分别取逆矩阵， 得
( AB)1 (BA)1
(BA)1 A1B1.
( AB) 1 A1 B 1
▪ 充分性 由已知条件，得
A1 , B 1与( AB) 1 , (BA) 1 存在且唯一。
( AB)T (BA)T
又 (BA)T AT BT , 故 ( AB)T AT BT
充分性 又矩阵运算性质
(BA)T AT BT , 及已知条件
( AB)T AT BT 即得 ( AB)T (BA)T
两端分别取它们的转置， 得AB=BA
二 一个充分条件ຫໍສະໝຸດ Baidu
定理3 若A,B都是n阶可逆矩阵，并且满足关系式
▪
B ( A I )1 A
(4)
▪ 根据矩阵运算性质,由（3),（4）两式.可得
AT BT [( A I )B]T [( A I ) 1 A]T
BT ( A I )T AT [( A I )1 ]
BT ( AT I ) AT [( A I )T ]1
BT ( AT AT AT )( AT I )1
A (A I )B
（3）
其中I为n阶单位矩阵， 为任意实数，则AB=BA.
▪ 证 当=0时，（3）式变为A=AB，从而有
▪ B IB (A1 A)B A1(AB) A1(AB) A1 A In ▪ 结论显然成立。
▪ 当 为任意非零实数时，因为已知A,B可逆，
所以A-I也是可逆的，由（3）式，得.
由矩阵运算性质，有
( BA) 1 A1 B 1.
又
( AB) 1 A1 B 1 于是 ( AB) 1 (BA) 1
两端取逆矩阵，即得AB=BA.
▪ 定理2 设A,B都是n阶矩阵，则矩阵乘法AB=BA成 立的充要条件是
( AB)T AT BT
(2)
证 必要性 由已知条件AB=BA，两端分别取它 们的转置，得
BT AT ( AT I )( AT I )1
BT AT I BT AT
又 ( AB)T BT AT 故 (AB)T AT BT 根据上述定理2，知AB=BA. 综上所述，对于任意的实数 ,定理3的结 论总是 成立的。