2016陕西省数学竞赛预赛试题及其答案

2

2

2 2

C.

π 6 D.

π 6 ab bc ca A

M

G ⎨

2016 年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题

（4 月 24 日上午 8:30—11:00）

第一试

一、选择题（每小题 6 分，共 48 分．给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、已知集合 M ={1,2,3， ，10}， A 是 M 的子集，且 A 中各元素的和为8 ，则满足条件的子集 A 共有（ ）

A. 8 个

B. 7 个

C. 6 个

D. 5 个

⎧ 3x - y ≤ 0 2、在平面直角坐标系中，不等式组⎪

x - 3y + 2 ≥ 0 表示的平面区域的面积是（

）

3 A.

B. 2

⎪ y ≥ 0 ⎩

C. 2

D. 2

3、设a , b , c 是同一平面内的三个单位向量，且a ⊥ b ，则(c - a ) ⋅(c - b ) 的最大值是（

）

A. 1+

B. 1-

C.

-1 D. 1

4、从1, 2, , 20 这20 个数中，任取3 个不同的数，则这3 个数构成等差数列的概率为（

）

1 1 3 3 A.

B.

C.

D.

5

10

19

38

5、 A , B 是抛物线 y = 3 - x 2

上关于直线 x + y = 0 对称的相异两点，则| AB | 等于（ ）

A. 3

B. 4

C. 3

D. 4 6、如图，在棱长为 1 的正四面体 ABCD 中，G 为∆BCD 的重心，M 是线段 AG 的中点，

则三棱锥 M - BCD 的外接球的表面积为（

） A. π

B.

3

π

2

4

8

B

D

7、设函数 f (x ) = x 3

+ ax 2

+ bx + c （ a , b , c 均为非零整数）. 若 f (a ) = a 3 ， f (b ) = b 3

，则c 的值是（

）

C

A. -16

B. -4

C. 4

D. 16

8、设非负实数 a , b , c 满足 ab + bc + ca = a + b + c > 0 ，则 + + 的最小值为

（

）

A. 2

B. 3

C.

D. 2 3 3

2

3 2

⎪

二、填空题（每小题 8 分，共 32 分）

9、在数列{a n }中，a 4 = 1, a 11 = 9 ，且任意连续三项的和都是15 ，则

a 2016 = .

10、设m , n 均为正整数，且满足24m = n 4 ，则m 的最小值是

.

11、设 f (x )、g (x ) 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，且 f (x )+g (x ) = 2x

，若对 x ∈[1, 2]， 不等式af (x )+g (2x ) ≥ 0 恒成立，则实数a 的取值范围是

.

12、设 x ∈R ，则函数 f (x ) =| 2x -1| + | 3x - 2 | + | 4x - 3 | + | 5x - 4 | 的最小值为

.

第二试

x sin π + y cos π

一、（本题满分 20 分）设 x , y 均为非零实数，且满足 5 5 x cos π - y sin π 5 5

9π = tan ．

20 （1）求 y 的值；（2）在∆ABC 中，若 tan C = y

，求sin 2A + 2cos B 的最大值．

x x

P

O ⋅ 1

⋅O

2

Q

⋅O

A

B

R

二、（本题满分 20 分）已知直线l : y = 3x + 4 ，动圆O : x 2 + y 2 = r 2

(1 < r < 2) ，菱形

ABCD 的一个内角为600 ，顶点 A , B 在直线l 上，顶点C , D 在圆O 上，当 r 变化时，求菱

形 ABCD 的面积 S 的取值范围．

三、（本题满分 20 分）如图，圆O 1 与圆O 2 相交于 P , Q 两点，圆O 1 的弦 PA 与圆O 2 相切， 圆O 2 的弦 PB 与圆O 1 相切，直线 PQ 与∆PAB 的外接圆O 交于另一点 R ．求证：PQ = QR ．

n

c + a

n

a +

b 3

n 2

四、（本题满分 30 分）设函数 f (x ) = ln x + a ( 1

-1), a ∈ R ，且 f (x ) 的最小值为0 ，

x

（ 1 ） 求 a 的值； （ 2 ） 已知数列{a n } 满足 a 1 = 1 ， a n +1 = f (a n ) + 2(n ∈ N + ) ， 设

S n = [a 1]+[a 2 ]+[a 3 ]+ +[a n ]，其中[m ] 表示不超过m 的最大整数．求 S n ．

五、（本题满分 30 分）设 a , b , c 为正实数，且满足 abc =1，对任意整数 n ≥ 2 ，证明：

+ + ≥ ． n

b + c