中山大学概论统计第2章习题解

合集下载

概论统计2-1讲解

P{X =k}≥0,
P{X k} 1
k
得：p p2 pk 1, 即： p 1, 整理得：p 1 p,
1 p 解得：p 1 .
2
例用随机变量X来表示掷一颗骰子可能出现的点数，求X的概率分布. 解 X的可能取值为：1，2，3，4，5，6.
X的概率分布表为：
X123 456
p 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
1
31
1 (x3 3
ln
x)
|12
1 3
2(ln x) x3dx
1
8 ln 2 1 2 x2dx
3
31
8 3
ln 2
1 9
x3
|12
8 3
ln 2
7 9
对分段函数求积分，要用“区间可加性”对积分进行拆分后，再进行积分计算。
x 0 x 1
f
(
x)
1
1 x2
0 其它
1.5
1
1.5
f ( x)dx f (x)dx f (x)dx
2)概率分布表：
X
x1
x2
…
xn
…
P
p1
p2
…
pn
…
3. 离散型随机变量X的概率分布的两条性质的应用.
4. 离散型随机变量X落在某个区间内概率的求法:
P{a X b} pk k:a k b
5. 对于离散型随机变量，如果知道了它的概率分布, 也就知道了该随机变量取值的概率规律. 在这个意义上，我们说
0
3
2
4
1 2
kx2 |03 (2x 得k 1 .
1 4
x2 ) |43
9 2

《统计学》教材各章参考答案

各章思考与练习参考答案第一章导论（一）单项选择题1．D 2．C 3．B 4．D 5．D 6．D 7．B 8．A 9．B 10．A （二）多项选择题：1．ABCD 2．CD 3．AD 4．BCDE 5．ABDE（三）判断题：1．×2．×3．×4．√5．×（四）简答题：答案略（五）综合题答案略第二章统计调查（一）单项选择题：1．C 2．C 3．B 4．C 5．C 6．A 7．B 8．C 9．C 10．B （二）多项选择题：1．ACD 2．ABC 3．ABCD 4．ABC 5．ACD6．ABCD 7．ABDE 8．BCE 9．ABE 10．CD（三）判断题：1．×2．×3．×4．√5．×（四）名词解释：答案略㈤（五）简答题：答案略第三章统计整理（一）单项选择题：1．C 2．B 3．C 4．B 5．B 6．A 7．B 8．C 9．B 10．B （二）多项选择题：1．AB 2．BD 3．ACD 4．AD 5．BCD6．BD 7．ABC 8．AC 9．ABC 10．CD（三）判断题：1．×2．√3．×4．×5．×（四）名词解释：答案略（五）简答题：答案略（六）计算题：1．解：2可见，组距1000元的分布数列，更为合理。

（2）对选中的分布数列，计算频率、较小制累计次数、较大制累计次数、组中值：（3）略第四章总量指标与相对指标（一）单项选择题：1．C 2．B 3．A 4．B 5．C 6．B 7．B 8．C 9．B 10．D（二）多项选择题：1．ABCD 2．CE 3．ABCDE 4．BCE 5．ABCD（三）判断题：1．X 2．X 3．X 4．√5．X（四）名词解释：答案略（五）简答题：答案略（六）计算题：1．解：该企业集团实现利润比去年增长百分比 =110%/（1+7%）-1=2.80%2.解：(1)2011年的进出口贸易差额=12178-9559=2619(亿元)（顺差）2011年进出口总额的发展速度=21737/17607×100%=123.46%(2)2011年进出口额比例相对数=9559/12178×100%=78.49%2011年出口额结构相对数=12178/21737×100%=56.02%(3)该地区进出口贸易发展速度较快,出现贸易顺差。

数理统计第二章课后习题参考答案

第二章参数估计2.4 设子样1.3，0.6，1.7，2.2，0.3，1.1是来自具有密度函数()1f x ββ=；，0x β<<的总体，试用矩法估计总体均值、总体方差及参数β. 解： 1.30.6 1.7 2.20.3 1.1 1.26X μ+++++===.()()()()()()()22222222111 1.3 1.20.6 1.2 1.7 1.2 2.2 1.20.3 1.2 1.1 1.26ni i X X n σ=⎡⎤=-=-+-+-+-+-+-⎣⎦∑ ()222222210.10.60.510.90.10.4076σ=+++++==. ()()0112E X x f x dx xdx ββββ+∞-∞===⎰⎰；.令()E X X =，则12X β=，即2X β=.参数β的矩估计量为ˆ22 1.2 2.4X β==⨯=.2.6 设总体X 的密度函数为()f x θ；，1X ，2X ，…，n X 为其样本，求下列情况下θ的MLE.（iii ）()()100x x e x f x ααθθαα--⎧>⎪=⎨⎪⎩，；，其它α已知解：当0i X >()12i n = ，，，时，似然函数为： ()()()()111111ni i i n n n x n x i i i i i i L f x x e x eαααθθαθθθαθα=----===∑⎛⎫=== ⎪⎝⎭∏∏∏；.()()11ln ln ln 1ln n ni i i i L n n x x αθθααθ===++--∑∑.由()1ln 0ni i L nx αθθθ=∂=-=∂∑，得θ的MLEˆθ，即1ˆnii nxαθ==∑.2.7 设总体X 的密度函数为()()1f x x ββ=+，01x <<，1X ，2X ，…，n X 为其子样，求参数β的MLE 及矩法估计。

今得子样观察值为0.3，0.8，0.27，0.35，0.62及0.55，求参数β的估计值。

高等职业教育“十一五”规划教材《统计学》第二章课后习题及答案

高等职业教育“十一五”规划教材《统计学》第二章课后习题及答案一．判断题1.在统计调查方案中，调查期限是指调查资料所属的时间，调查时间是指调查工作的起止时间。

错，正好相反。

2.全面调查是对调查对象的各方面都进行调查。

错，全面调查是对被调查对象中的所有单位全部进行调查。

3.经常性调查是指随着调查对象的不断变化，而随时将变化情况进行连续不断的登记。

错，不是随时，而是连续不断地登记。

4.抽样调查是所有调查方式中最有科学依据的方式方法，因此它适用于任何调查任务错，它是可以排除主观因素的影响，对总体的数量做出科学的估计，抽样误差可以事先计算和控制，但是任何一种统计调查方法都有优势和局限性，具体情况具体分析。

5.每月月初登记职工人数属经常性调查对。

二．单选1.重点调查中重点单位是按（B）选择的A.这些单位数量占总体全部单位总量的很大比例B.这些单位的标志总量占总体标志总量的很大比例C.这些单位有典型意义，是工作的重点D.这些单位能用以推算总体标志总量。

2.有意识地选择三个家村点调查农民收入情况，这种调查方式属于（A）A．典型调查B．重点调查C．抽样调查D．普查3. 2000年11月1日零点的第五次全国人口普查是（C）A．典型调查B．重点调查C．一次性调查D．经常性调查4.通过调查大庆、胜利等几个主要油田来了解我国石油生产的基本情况，这种调查方式属于（B）A.普查B.重点调查C.典型调查D.抽样调查5.工人对生产的一批零件进行检查，一般采用（D）A.普查B.重点调查C.典型调查D.抽样调查三、多项选择题1.重点调查是( BCDE)。

A. 全面调查 B. 非全面调查 C. 专门调查D. 可用于经常性调查E. 可用于一次性调查2. 工业普查是(ACE)。

A. 全面调查B. 非全面调查C. 专门调查D. 经常性调查E. 一次性调查3.下列表述中不正确的是(ACE)。

A. 经常性调查是定期调查，一次性调查都是不定期调查B. 调查单位与填报单位是两种根本不同的单位C. 调查期限是调查工作的时限，即调查时间D. 抽样调查与典型调查的根本区别在于选取调查单位的方法不同E. 全面调查是对调查对象的各方面都进行调查4.抽样调查（ABCD）A.是一种非全面调查B.按照随机原则选取调查单位C.永远存在抽样误差D.目的在于取得样本资料E.不存在登记误差5.典型调查是（ABCDE）A．深入细致的调查 B.可以补充全面调查的不足C.调查单位的选择具有主观性D.可提高资料的时效性E.专门组织的调查6.一个完整的统计调查方案，应钖下述哪些内容（ABCDE）A．调查任务和目的 B.调查对象C．调查单位 D.调查表E．调查时间7.对下列哪些情况的调查，应明确规定统一的标准调查时点（CE）A．产品产量 B.人口出生数C.人员出勤率 D.职工调出数E.在职职工人数8.统计报表按报表内容和实施范围不同可分为（ABC）A.国家统计报表B.部门统计报表C.地方统计报表D.全面统计报表E.非全面统计报表9.统计报表的特点是（）A.能够保正资料的准确性和及时性B.便于汇总资料和资料的积累C.填报范围明确D.报送程序灵活E.报送内容统一四简答题1.统计调查的意义统计调查是人们认识社会的基本方式。

概论统计2-2

k−1次
n−k−1次
n 得 A 在 n 次试验中发生 k 次的方式共有种, k 且两两互不相容. 且两两互不相容
因此 A在 n 次试验中发生 k 次的概率为
n k n− k 记 q = 1 − p p (1 − p ) k
得 X 的分布律为 X 0 1 n n −1 n pk q pq 1
(2) n 重伯努利试验
伯努利资料
设试验设试验 E 只有两个可能结果 : A 及 A, 则称 E 为伯努利试验 . 设设 P ( A) = p (0 < p < 1), 此时P ( A) = 1 − p.
将将 E 独立地重复地进行 n 次 , 则称这一串重复的独立试验为 n 重伯努利试验 .
它们都服从 (0 − 1) 分布并且相互独立 , 那末 X = X 1 + X 2 + L + X n 服从二项分布 , 参数为 ( n, p ).
以 n, p ( np = λ ) 为参数的二项分布 ,当 n → ∞ 时趋于以 λ 为参数的泊松分布 ,即
k n k ( np ) − np n− k P { X = k } = p (1 − p ) ≈ e , k! k
X
0
1
1
2
2
3
5 3 2 0.6 ⋅ 0.4 3
4
5
pk (0.4)5 50.6⋅ 0.44 50.62 ⋅ 0.43
5 4 0.6 ⋅ 0.4 0.65 4
二项分布随机数演示二项分布随机数演示
例2 某人进行射击 , 设每次射击的命中率为 0.02, 独立射击 400 次 , 试求至少击中两次的概率 . 解设击中的次数为 X ,

统计学概论课后答案统计指数习题解答

第八章对比分析与统计指数思考与练习一、选择题：1.某企业计划要求本月每万元产值能源消耗率指标比去年同期下降5%，实际降低了2.5%，则该项计划的计划完成百分比为< d ）。

b5E2RGbCAPa. 50.0%b. 97.4%c. 97.6%d. 102.6%2.下列指标中属于强度相对指标的是< b ）。

a..产值利润率b.基尼系数c. 恩格尔系数d.人均消费支出3．编制综合指数时，应固定的因素是<c）。

a．指数化指标 b.个体指数 c.同度量因素 d.被测定的因素4.指出下列哪一个数量加权算术平均数指数，恒等于综合指数形式的拉氏数量指标指数<c）。

a．；b.；c.； d.5.之所以称为同度量因素，是因为：<a）。

a.它可使得不同度量单位的现象总体转化为数量上可以加总；b.客观上体现它在实际经济现象或过程中的份额。

c.是我们所要测定的那个因素；d.它必须固定在相同的时期。

6.编制数量指标综合指数所采用的同度量因素是<a ）a．质量指标 b．数量指标 c．综合指标d．相对指标7.空间价格指数一般可以采用< c）指数形式来编制。

a．拉氏指数 b.帕氏指数 c.马埃公式 d.平均指数二、问答题：1．报告期与基期相比，某城市居民消费价格指数为110％，居民可支配收入增加了20％，试问居民的实际收入水平提高了多少？p1EanqFDPw解：<1+20%）/110%-100%=109.10%-100%=9.10%2．某公司报告期能源消耗总额为28.8万元，与去年同期相比，所耗能源的价格平均上升了20%，那么按去年同期的能源价格计算，该公司报告期能源消耗总额应为多少？DXDiTa9E3d解：28.8÷<1+20%）=24万元3．编制综合指数时，同度量因素的选择与指数化指标有什么关系？同度量因素为什么又称为权数？它与平均指数中的权数是否一致？RTCrpUDGiT解：<略）4．结构影响指数的数值越小，是否说明总体结构的变动程度越小？一般说来，当总体结构发生什么样的变动时，结构影响指数就会大于1。

数理统计第二章课后习题答案

第二章参数估计2.2 对容量为n 的子样，对密度函数其22(),0(;)0,0x x f x x x ααααα⎧-⎪=⎨⎪≤≥⎩ 中参数α的矩法估计。

解：1202()()a E x x x dx ααα==-⎰22022()x x dx ααα=-⎰2321221333ααααααα=-=-= 所以 133a x α∧== 其中121,21(),,,n n x x x x x x x n =+++ 为n 个样本的观察值。

2.6 设总体X 的密度函数为12(;),,,,n f x X X X θ 为其样本，求下列情况下θ∧的MLE 。

(ii)1,01(;)0,x x f x αθθ-⎧=⎨⎩ 其它 0θ （v ）1,0(;)0,x e x f x θθθ-⎧≥⎪=⎨⎪⎩其它 0θ 解：(ii)1111()n n n i i i i L x x θθθθθ--====∏∏1ln ()ln (1)ln n i i L n x θθθ==+-∑11111ln ()ln 01(ln )(ln )n i i n n i i i i d L n x d n x x n θθθθ=∧--===+==-=-∑∑∑ (v)111()n i i x n L e θθθ=-∑= 11ln ()ln()nii L n x θθθ==--∑211ln ()101,n i i n i i d L n X d x x X n θθθθθ=∧==-+===∑∑2.10 设总体123(,1),,,X N X X X μ 为一样本，试证明下述三个估计变量11232123312313151021153412111362X X X X X X X X X μμμ=++=++=++ 都是μ的无偏估计量，并求出每一估计量的方差，问哪一个最小？证：1123131()()()()5102E E X E X E X μ=++131()5102μμ=++= 同理：2123115()()()()3412E E X E X E X μ=++ 115()3412μμ=++= 3123111()()()()362E E X E X E X μ=++ 111()362μμ=++= ∴12,,μμμ是μ的无偏估计量。

《统计学概论》习题解答

（2）计算相关系数和可决系数，对变量的相关性和方程的拟合性进行评价；
（3）预计明年1月份销售额为800万元，对销售成本进行点估计；
（4）计算回归估计标准误差；
（5）置信度为95%，利用拟合的回归方程对一月份销售成本进行区间预测。
解：
（1）求回归方程：
（2）计算相关系数和可决系数：
（3）回归预测——点预测：
（2）以95.45%的概率保证，估计该厂工人的月平均工资和工资总额的区间。
解：
【2】从麦当劳餐厅连续三个星期抽查49名顾客，调查顾客的平均消费额，得样本平均消费额为25.5元。要求：
（1）假设总体标准差为10.5元，求抽样平均误差；
（2）以95 %的概率保证，抽样极限误差是多少？
（3）估计总体消费额的置信区间。
《统计学概论》习题解答
第二章统计数据的搜集、整理与显示
【9】某地区30家企业的固定资产资料如下（单位：万元）
285 340 286 415 495 500 562 630 612 648 675 690 721 743 795 841 840 878 925 930 953 1140 1201 1223 1240 1324 1332 1456 1541 1634
使用寿命(小时)
产品数量
（件）
使用时间
（小时）
分组
组中值
x
f
x f
3 000以下
2 500
2
5 000
6 771 200
3 000—4 000
3 500
30
105 000
21 168 000
4 000—5 000
4 500
50
225 000
1 280 000

统计学课后习题答案(全章节)(精品).docx

第二章、练习题及解答2.为了确定灯泡的使用寿命（小时），在一批灯泡中随机抽取100只进行测试，所得结果如下：700 716 728 719 685 709 691 684 705 718 706 715 712 722 691 708 690 692 707 701 708 729 694 681 695 685 706 661 735 665 668 710 693 697 674 658 698 666 696 698 706 692 691 747 699 682 698 700 710 722 694 690 736 689 696 651 673 749 708 727 688 689 683 685 702 741 698 713 676 702 701 671 718 707 683 717 733 712 683 692 693 697 664 681 721 720 677 679 695 691 713 699 725 726 704 729 703 696 717 688要求：（2）以组距为10进行等距分组，生成频数分布表，并绘制直方图。

3.某公司下属40个销售点2012年的商品销售收入数据如下：单位：万元152 124 129 116 100 103 92 95 127 104 105 119 114 115 87 103 118 142 135 125 117 108 105 110 107 137 120 136 117 10897 88 123 115 119 138 112 146 113 126要求：（1）根据上面的数据进行适当分组，编制频数分布表，绘制直方图。

（2）制作茎叶图，并与直方图进行比较。

1.已知下表资料:25 20 10 500 2.5 30 50 25 1500 7.5 35 80 40 2800 14 40 36 18 1440 7.2 4514 7 630 3. 15 合计200100687034. 35_y xf 6870根据频数计算工人平均日产量：〒=金^ =北* = 34.35 （件）£f 200结论：对同一资料，采用频数和频率资料计算的变量值的平均数是一致的。

统计学课后第二章习题答案

第2章练习题1、二手数据的特点是（）A。

采集数据的成本低，但搜集比较困难 B. 采集数据的成本低,但搜集比较容易C。

数据缺乏可靠性 D.不适合自己研究的需要2、从含有N个元素的总体中,抽取n个元素作为样本,使得总体中的每一个元素都有相同的机会（概率）被抽中,这样的抽样方式称为（）A。

简单随机抽样 B.分层抽样 C.系统抽样 D。

整群抽样3、从总体中抽取一个元素后，把这个元素放回到总体中再抽取第二个元素，直至抽取n个元素为止，这样的抽样方法称为（）A。

重复抽样 B.不重复抽样 C.分层抽样 D.整群抽样4、一个元素被抽中后不再放回总体,然后从所剩下的元素中抽取第二个元素，直至抽取n个元素为止，这样的抽样方法称为(）A.不重复抽样B。

重复抽样C.系统抽样D。

多阶段抽样5、在抽样之前先将总体的元素划分为若干类，然后从各个类中抽取一定数量的元素组成一个样本,这样的抽样方式称为（）A。

简单随机抽样B。

系统抽样C.分层抽样D.整群抽样6、先将总体各元素按某种顺序排列，并按某种规则确定一个随机起点，然后每隔一定的间隔抽取一个元素，直至抽取n个元素形成一个样本。

这样的抽样方式称为（)A. 分层抽样B. 简单随机抽样C。

系统抽样D。

整群抽样7、先将总体划分为若干群,然后以群作为抽样单位从中抽取部分群，再对抽中的各个群中所包含的所有元素进行观察,这样的抽样方式称为（）A. 系统抽样B。

多阶段抽样C。

分层抽样D。

整群抽样8、为了调查某校学生的购书费用支出，从男生中抽取60名学生调查，从女生中抽取40名学生调查，这种调查方是（) A。

简单随机抽样B. 整群抽样C.系统抽样D。

分层抽样9、为了调查某校学生的购书费用支出，从全校抽取4个班级的学生进行调查，这种调查方法是（)A. 系统抽样B. 简单随机抽样C.分层抽样D。

整群抽样10、为了调查某校学生的购书费用支出，将全校学生的名单按拼音顺序排列后，每隔50名学生抽取一名学生进行调查,这种调查方法是？(）A。

概率论与数理统计第二章课后习题及参考答案

概率论与数理统计第二章课后习题及参考答案1．离散型随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤--<=≤=．4,1,42,7.0,21,2.0,1,0)()(x x x x x X P x F 求X 的分布律．解：)0()()(000--==x F x F x X P ，∴2.002.0)01()1()1(=-=----=-=F F X P ，5.02.07.0)02()2()2(=-=--==F F X P ，3.07.01)04()4()4(=-=--==F F X P ，∴X 的分布律为2．设k a k X P 3()(==， ,2,1=k ，问a 取何值时才能成为随机变量X 的分布律．解：由规范性，a a a n n k k 2321]32(1[32lim )32(11=--=⋅=+∞→∞+=∑，∴21=a ，此时，k k X P 32(21)(⋅==， ,2,1=k ．3．设离散型随机变量X 的分布律为求：(1)X 的分布函数；(2)21(>X P ；(3))31(≤≤-X P ．解：(1)1-<x 时，0)()(=≤=x X P x F ，11<≤-x 时，2.0)1()()(=-==≤=X P x X P x F ，21<≤x 时，7.0)1()1()()(==+-==≤=X P X P x X P x F ，2≥x 时，1)2()1()1()()(==+=+-==≤=X P X P X P x X P x F ，∴X 的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤--<=．2,1,21,7.0,11,2.0,1,0)(x x x x x F ．(2)方法1：8.0)2()1()21(==+==>X P X P X P ．方法2：8.02.01)21(121(1)21(=-=-=≤-=>F X P X P ．(3)方法1：1)2()1()1()31(==+=+-==≤≤-X P X P X P X P ．方法2：101)01()3()31(=-=---=≤≤-F F X P ．4．一制药厂分别独立地组织两组技术人员试制不同类型的新药．若每组成功的概率都是0.4，而当第一组成功时，每年的销售额可达40000元；当第二组成功时，每年的销售额可达60000元，若失败则分文全无．以X 记这两种新药的年销售额，求X 的分布律．解：设=i A {第i 组取得成功}，2,1=i ，由题可知，1A ，2A 相互独立，且4.0)()(21==A P A P ．两组技术人员试制不同类型的新药，共有四种可能的情况：21A A ，21A A ，21A A ，21A A ，相对应的X 的值为100000、40000、60000、0，则16.0)()()()100000(2121====A P A P A A P X P ，24.0)()()()40000(2121====A P A P A A P X P ，24.0)()()()60000(2121====A P A P A A P X P ，36.0)()()()0(2121====A P A P A A P X P ，∴X 的分布律为5．对某目标进行独立射击，每次射中的概率为p ，直到射中为止，求：(1)射击次数X 的分布律；(2)脱靶次数Y 的分布律．解：(1)由题设，X 所有可能的取值为1，2，…，k ，…，设=k A {射击时在第k 次命中目标}，则k k A A A A k X 121}{-== ，于是1)1()(--==k p p k X P ，所以X 的分布律为1)1()(--==k p p k X P ， ,2,1=k ．(2)Y 的所有可能取值为0，1，2，…，k ，…，于是Y 的分布律为1)1()(--==k p p k Y P ， ,2,1,0=k ．6．抛掷一枚不均匀的硬币，正面出现的概率为p ，10<<p ，以X 表示直至两个面都出现时的试验次数，求X 的分布律．解：X 所有可能的取值为2，3，…，设=A {k 次试验中出现1-k 次正面，1次反面}，=B {k 次试验中出现1-k 次反面，1次正面}，由题知，B A k X ==}{，=AB ∅，则)1()(1p p A P k -=-，p p B P k 1)1()(--=，p p p p B P A P B A P k X P k k 11)1()1()()()()(---+-=+=== ，于是，X 的分布律为p p p p k X P k k 11)1()1()(---+-==， ,3,2=k ．7．随机变量X 服从泊松分布，且)2()1(===X P X P ，求)4(=X P 及)1(>X P ．解：∵)2()1(===X P X P ，X 100000060000400000P0.160.240.240.36∴2e e2λλλλ--=，∴2=λ或0=λ(舍去)，∴224e 32e !42)4(--===X P ．)1()0(1)1(1)1(=-=-=≤-=>X P X P X P X P 222e 31e 2e 1----=--=．8．设随机变量X 的分布函数为⎩⎨⎧<≥+-=-．0,0,0,e )1(1)(x x x x F x 求：(1)X 的概率密度；(2))2(≤X P ．解：(1)⎩⎨⎧<≥='=-．0,0,0,e )()(x x x x F x f x ；(2)2e 31)2()2(--==≤F X P ．9．设随机变量X 的概率密度为xx Ax f e e )(+=-，求：(1)常数A ；(2))3ln 210(<<X P ；(3)分布函数)(x F ．解：(1)⎰⎰+∞∞--+∞∞-+==xAx x f xx d e e d )(1A A x A x x x 2|e arctan d e 21e 2π==+=∞+∞-∞+∞-⎰，∴π2=A ．(2)61|e arctan 2d e e 12)3ln 210(3ln 213ln 210==+=<<⎰-x x x x X P ππ．(3)xxxx xx t t f x F e arctan 2d e e 12d )()(ππ=+==⎰⎰∞--∞-．10．设连续型随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤<-+-≤=．a x a x a a x B A a x x F ,1,,arctan ,,0)(其中0>a ，试求：(1)常数A ，B ；(2)概率密度)(x f ．解：(1)∵2arcsin (lim )0()(0)(π⋅-=+=+-=-=+-→B A a x B A a F a F a x ，1)(lim )0()(2==+==⋅++→x F a F a F B A a x π，∴21=A ，π1=B ．(2)⎪⎩⎪⎨⎧≥<-='=．a x a x x a x F x f ,0,,1)()(22π．11．设随机变量X 的概率密度曲线如图所示，其中0>a ．(1)写出密度函数的表达式，求出h ；(2)求分布函数)(x F ；(3)求)2(a X aP ≤<．解：(1)由题设知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其他．,0,0,)(a x x ah h x f ∵2d )(d )(10ah x x a h h x x f a=-==⎰⎰∞+∞-，∴ah 2=，从而⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其他．,0,0,22)(2a x x a a x f ．y hO a x(2)0<x 时，0d 0d )()(===⎰⎰∞-∞-xxt t t f x F ，a x <≤0时，220202d )22(d 0d )()(a x a x t t a a t t t f x F xx-=-+==⎰⎰⎰∞-∞-，a x ≥时，1)(=x F ，∴X 的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤-<=．a x a x axa x x x F ,1,0,2,0,0)(22．(3)41411(1)2()()2(=--=-=≤<a F a F a X a P ．12．设随机变量X 在]6,2[上服从均匀分布，现对X 进行三次独立观察，试求至少有两次观测值大于3的概率．解：由题意知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其他．,0,62,41)(x x f ，记3}{>=X A ，则43d 41)3()(63==>=⎰x X P A P ，设Y 为对X 进行三次独立观测事件}3{>X 出现的次数，则Y ～43,3(B ，所求概率为)3()2()2(=+==≥Y P Y P Y P )(()(333223A P C A P A P C +=3227)43(41)43(333223=+⋅=C C ．13．设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧<<=其他．,0,10,3)(2x x x f 以Y 表示对X 的三次独立重复观察中事件}21{≤X 出现的次数，求：(1)}21{≤X 至少出现一次的概率；(2)}21{≤X 恰好出现两次的概率．解：由题意知Y ～),3(p B ，其中81d 3)21(2102==≤=⎰x x X P p ，(1)}21{≤X 至少出现一次的概率为512169)811(1)1(1)0(1)1(33=--=--==-=≥p Y P Y P ．(2)}21{≤X 恰好出现两次的概率为51221811(81()1()2(223223=-=-==C p p C Y P ．14．在区间],0[a 上任意投掷一个质点，以X 表示这个质点的坐标．设这个质点落在],0[a 中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比例．试求X 的分布函数．解：0<x 时，事件}{x X ≤表示X 落在区间],0[a 之外，是不可能事件，此时0)()(=≤=x X P x F ；a x ≤≤0时，事件}{x X ≤发生的概率等于X 落在区间],0[x 内的概率，它与],0[x 的长度x 成正比，即x k x X P x F =≤=)()(，a x =时，1)(=≤x X P ，所以a k 1=，则此时ax x F =)(；a x ≥时，事件}{x X ≤是必然事件，有1)(=x F ，综上，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<=，a x a x a x x x F ,1,0,,0,0)(．15．设X ～),2(2σN ，又3.0)42(=<<X P ，求)0(>X P ．解：)24222()42(σσσ-<-<-=<<X P X P 3.0)0(2(=Φ-Φ=σ，∴8.03.0)0(2(=+Φ=Φσ，∴8.02(2(1)0(1)0(=Φ=-Φ-=≤-=>σσX P X P ．16．设X ～)4,10(N ，求a ，使得9.0)10(=<-a X P ．解：)10()10(a X a P a X P <-<-=<-)22102(a X a P <-<-=)2()2(a a -Φ-Φ=9.01)2(2=-Φ=a，∴95.02(=Φa，查标准正态分布表知645.12=a，∴290.3=a ．17．设X ～)9,60(N ，求分点1x ，2x ，使得X 分别落在),(1x -∞，),(21x x ，),(2∞x 的概率之比为3：4：5．解：由题知5:4:3)(:)(:)(2211=><<<x X P x X x P x X P ，又∵1)()()(2211=>+<<+<x X P x X x P x X P ，∴25.041)(1==<x X P ，33.031)(21==<<x X x P ，125)(2=>x X P ，则5833.0127)(1)(22==>-=≤x X P x X P ．∴25.0)360()360360()(111=-Φ=-<-=<x x X P x X P ，查标准正态分布表知03601<-x ，∴03601>--x ，则75.0)360(1)360(11=-Φ-=--Φx x 查标准正态分布表，有7486.0)67.0(=Φ，7517.0)68.0(=Φ，75.02)68.0()67.0(=Φ+Φ，∴675.0268.067.03601=+=--x ，即975.571=x ．∵5833.0)360(360360()(222=-Φ=-≤-=≤x x X P x X P ，查标准正态分布表知5833.0)21.0(=Φ，∴21.03602=-x ，即63.602=x ．18．某高校入学考试的数学成绩近似服从正态分布)100,65(N ，如果85分以上为“优秀”，问数学成绩为“优秀”的考生大致占总人数的百分之几？解：设X 为考生的数学成绩，则X ～)100,65(N ，于是)85(1)85(≤-=>X P X P )1065851065(1-≤--=X P 0228.09772.01)2(1=-=Φ-=，即数学成绩为“优秀”的考生大致占总人数的2.28%．19．设随机变量X 的分布律为求2X Y =的分布律．解：Y 所有可能的取值为0，1，4，9，则51)0()0(====X P Y P ，307)1()1()1(==+-===X P X P Y P ，51)2()4(=-===X P Y P ，3011)3()9(====X P Y P ，∴Y 的分布律为20．设随机变量X 在)1,0(上服从均匀分布，求：(1)X Y e =的概率密度；(2)X Y ln 2-=的概率密度．解：由题设可知⎩⎨⎧<<=其他．,0,10,1)(x x f ，(1)当0≤y 时，=≤}{y Y ∅，X 2-1-013P5161511513011Y 0149P51307513011∴0)()(=≤=y Y P y F Y ，0)(=y f Y ；e 0<<y 时，)e ()()(y P y Y P y F X Y ≤=≤=)(ln )ln (y F y X P X =≤=，此时，yy f y y y F y F y f X XY X 1)(ln 1)(ln )(ln )()(=='⋅'='=；e ≥y 时，1)()(=≤=y Y P y F Y ，0)(=y f Y ；∴⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他．,0,e 0,1)(y y y f Y ．(2)当0≤y 时，=≤}{y Y ∅，∴0)()(=≤=y Y P y F Y ，0)(=y f Y ；当0>y 时，)e ()ln 2()()(2y Y X P y X P y Y P y F -≥=≤-=≤=)e (1)e (122y X y F X P ---=<-=，此时，222e 21)e ()e ()()(yy yX Y X F y F y f ---='⋅'-='=；∴⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-．0,0,0,e 21)(2y y y f yY ．21．设X ～)1,0(N ，求：(1)X Y e =的概率密度；(2)122+=X Y 的概率密度；(3)X Y =的概率密度．解：由题知22e 21)(x X xf -=π，+∞<<∞-x ，(1)0≤y 时，=≤=}e {y Y X ∅，∴0)()(=≤=y Y P y F Y ，0)(=y f Y ；0>y 时，)(ln )ln ()e ()()(y F y X P y P y Y P y F X X Y =≤=≤=≤=，此时，2)(ln 2e 21)(ln 1)(ln )(ln )()(y X XY X y f y y y F y F y f -=='⋅'='=π；综上，⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-．0,0,0,e 21)(2)(ln 2y y y f y Y π．(2)1<y 时，=≤+=}12{2y X Y ∅，∴0)()(=≤=y Y P y F Y ；1≥y 时，21()12()()(22-≤=≤+=≤=y X P y X P y Y P y F Y )2121(-≤≤--=y X y P 当1=y 时，0)(=y F Y ，故1≤y 时，0)(=y F Y ，0)(=y f Y ；当1>y 时⎰⎰------==210221212d e22d e21)(22y x y y x Y x x y F ππ，此时，41e)1(21)()(---='=y Y Y y y F y f π，综上，⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=--．1,0,1,e )1(21)(41y y y y f y Y π．(3)0<y 时，=≤=}{y X Y ∅，∴0)()()(=≤=≤=y X P y Y P y F Y ，0≥y 时，)()()()(y X y P y X P y Y P y F Y ≤≤-=≤=≤=)()(y F y F X X --=，0=y 时，0)(=y F Y ，∴0≤y 时，有0)(=y F Y ，0)(=y f Y ；0>y 时，22e 22)()()()()(y X X Y Y Y yf y f y F y F y f -=-+=-'+'=π，综上，⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-．0,0,0,e 22)(22y y y f yY π．22．(1)设随机变量X 的概率密度为)(x f ，+∞<<∞-x ，求3X Y =的概率密度．(2)设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧>=-其他．,00,e )(x x f x 求2X Y =的概率密度．解：(1)0=y 时，0)()(=≤=y Y P y F Y ，0)(=y f Y ；0≠y 时，)()()()()(333y F y X P y X P y Y P y F X Y =≤=≤=≤=，3233331())(()()(-⋅=''='=y y f y y F y F y f XY Y ；∴⎪⎩⎪⎨⎧=≠=-．0,0,0),(31)(332y y y f y y f Y ．(2)由于02≥=X Y ，故当0<y 时，}{y Y ≤是不可能事件，有0)()(=≤=y Y P y F Y ；当0≥y 时，有)()(()()()(2y F y F y X y P y X P y Y P y F X X Y --=≤≤-=≤=≤=；因为当0=y 时，0)0()0()(=--=X X Y F F y F ，所以当0≤y 时，0)(=y F Y ．将)(y F Y 关于y 求导数，即得Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>-+=．0,0,0)],()([21)(y y y f y f y y f X X Y ，⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=-．0,0,0),e e (21y y y y y．23．设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他．,0,0,2)(2ππx xx f 求X Y sin =的概率密度．解：由于X 在),0(π内取值，所以X Y sin =的可能取值区间为)1,0(，在Y 的可能取值区间之外，0)(=y f Y ；当10<<y 时，使}{y Y ≤的x 取值范围是),arcsin []arcsin ,0(ππy y - ，于是}arcsin {}arcsin 0{}{ππ<≤-≤<=≤X y y X y Y ．故)arcsin ()arcsin 0()()(ππ<≤-+≤<=≤=X y P y X P y Y P y F Y ⎰⎰-+=ππyX y X x x f x x f arcsin arcsin 0d )(d )(⎰⎰-+=ππππyy x xx xarcsin 2arcsin 02d 2d 2，上式两边对y 求导，得22222121)arcsin (21arcsin 2)(yyy yyy f Y -=--+-=ππππ；综上，⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他．,0,10,12)(2y y y f Y π．。

中山大学概率统第2,第3章习题解

习题解习题二25. 设随机变量X 在(0,1)上服从均匀分布.1) 求X Y e =的概率密度. 2) 求2ln Y X =-的概率密度. 解 1)a) 当0y <时,()()()0X Y F y P Y y P e y =≤=≤=,()()0Y yp y F y '==. b) 当0y >时,()()()(ln )(ln )X Y X F y P Y y P e y P X y F y =≤=≤=≤=.(0,1)(1,)11()()(ln )(ln )(ln )()Y yX e p y F y F y y I y I y y y'''====. 由上面的a)和b)有(1,)1()()Y e p y I y y=. 2) /2/2()()(2ln )()()y y Y X F y P Y y P X y P X e F e --=≤=-≤=≥=./2/2/2/21()()()()()2y y y y Y yX X p y F y F e e e p e ----'''===- /2/2/2(0,1)(0,)11()()22y y y e I e e I y ---+∞=-=-.27. 设(0,1)X N 求||Y X =的概率密度.解 a) 当0y <时,()()(||)0Y F y P Y y P X y =≤=≤=,()()0Y y p y F y '==. 当0y >时,()()(||)()Y F y P Y y P X y P y X y =≤=≤=-≤≤()()()()X X P X y P X y F y F y =≤-≤=--.2/2()()()()()()()y Y yX X X X p y F y F y F y y p y p y -''''==---=+-=.由上有2/2[0,)()()yY p y I y -+∞=.28. 设随机变量X 的概率密度为(0,)22()()xp x I x ππ=,求sin Y X =的概率密度.解当(0,2)x π∈时,0sin 1x <<,故当0y <时,()()(sin )0Y F y P Y y P X y =≤=≤=,()()0Y Y p y F y '==当1y >时,()()(sin )1Y F y P Y y P X y =≤=≤=,()()0Y Y p y F y '==.当01y <<时,()()(sin )(0arcsin arcsin )Y F y P Y y P X y P X y X ππ=≤=≤=<≤-≤<或 (0arcsin )(arcsin )P X y P X ππ=<≤+-≤<(arcsin )1(arcsin)X X F y F π=+--. ()()((arcsin )1(arcsin ))Y Y X X p y F y F y F y π''==+-- (arcsin )(arcsin )(arcsin )(arcsin )X X p y y p y y ππ''=---222arcsin 2(rcsin )ya y πππ-=+=故(0,1)()()Y p y y .习题三3. 某射手每次射击打中目标的概率都是0.8,现连续向一目标射击,直到第一次击中为止.求“射击次数”X 的期望与方差. 解11()0.8(10.2)0.80.2k k P X k --==⨯-=⨯,1,2,k =L .11111()0.80.20.80.2k k k k k EX kP X k k k ∞∞∞--======⨯⨯=⨯∑∑∑.121111()()1(1)k k k k k k x kx x x x x ∞∞∞-==='⎛⎫''==== ⎪--⎝⎭∑∑∑Q. 2110.8 1.250.8(10.2)EX ∴=⨯==-.222121111()0.80.20.80.2k k k k k EX k P X k k k ∞∞∞--======⨯⨯=⨯∑∑∑.21111211111(1)()(1)k k k k k k k k k x k kx kx x x ∞∞∞∞---+====''=+-=--∑∑∑∑Q2232312111(1)(1)(1)(1)x xx x x x x ''⎛⎫+=-=-= ⎪ ⎪-----⎝⎭.23210.210.20.8(10.2)0.8EX ++∴=⨯=-.222210.210.25()0.8320.80.8DX EX EX +⎛⎫=-=-== ⎪⎝⎭.10. 设2(0,)X N σ ,求n EX . 解2222/(2)2/(2)()n nx n x EX x dx x σσσ+∞+∞----∞-∞==-⎰⎰22222/(2)2/(2)1()()n x n x n xx dx σσσσ+∞+∞-----∞-∞=---⎰222/(2)22(1)(1)n x n n x dx n EX σσσ+∞----∞=-=-⎰. 因为220/(2)1x EX dx σ+∞--∞==⎰, 22/(2)0x EX dx σ+∞--∞==⎰.故当n 为奇数时0n EX =,当n 为偶数时数时(1)(3)531n n EX n n σ=-⨯-⨯⨯⨯⨯⨯L .16. 对某一目标进行射击,直到击中r 次为止.如果每次射击的命中率为p ,求需要射击次数的期望与方差.解1 设1X 为直到击中第一次为止需要的射击次数，2X 为击中第一次后直到击中第二次为止需要的射击次数，……,r X 为击中第1r -次后直到击中第r 次为止需要的射击次数,1q p =-.则对1,,i r =L , 1()k i P X k pq -==,1,2,k =L ,11111()k k i i k k k EX kP X k kpq p kq ∞∞∞--=======∑∑∑. 121111()()1(1)k kkk k k x kx x x xx ∞∞∞-==='⎛⎫''====⎪--⎝⎭∑∑∑Q,211(1)i EX p pq ∴=⋅=-.222121111()k k i i k k k EX k P X k k pq p k q ∞∞∞--=======∑∑∑. 21111211111(1)()(1)k k k k k k k k k x k kx kx x x ∞∞∞∞---+====''=+-=--∑∑∑∑Q2232312111(1)(1)(1)(1)x xx x x x x ''⎛⎫+=-=-= ⎪ ⎪-----⎝⎭,23211(1)i q qEX p q p ++∴=⋅=-.故 2211()i i i q qDX EX EX p p p +=-=-=. 总共需要射击的次数为1r Y X X =++L ,11()r r rEY E X X EX EX p =++=++=L L , 112()r r rq DY D X X DX DX p=++=++=L L .解2 设需要射击Y 次,则11111()r r k r r r k rk k P Y k C p q p C p q-------==⋅=, ,1,2,k r r r =++L , 11(1)!()(1)!()!r r k rr k r k k r k r k r k EY kP Y k kC p qk p q r k r ∞∞∞----===-====--∑∑∑()()()!()(1)!()!(1)!(1)!r r r r k r k r k k r k r k rp k p p q q q r k r r r ∞∞∞-======----∑∑∑()()1()10111!!(1)!(1)!1(1)!1(1)!r r rr r r r kr k p p p p rq r r r r q r q r pp +∞+=⎛⎫⎛⎫====⋅=⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭∑. 22211()r r k rk k r k r EY k P Y k k C p q ∞∞---=====∑∑ 1111(1)r r k r r r k r k k k r k r k kC p q kC p q∞∞------===+-∑∑ 1(1)(1)!()(1)!()!(1)!r r k r k r k r k r p k r p r q q r k r p r p ∞∞-++==+=-=----∑∑ ()()(1)(1)111(1)!(1)!rrr r k k k rk p r p rq q r p r p++∞∞++==-=-=---∑∑(1)22111(1)!(1)!(1)!1(1)!1(1)!r r r r r r p r p r p rr r r q p r q p r pp +++⎛⎫⎛⎫=-=+-=⋅+-⎪⎪-----⎝⎭⎝⎭2(1)r r rp p+=-. 22222222(1)(1)()r r r r r r r p rqDY EY EY p p p p p p p+-=-==--=-==.19. 设(,)X Y 有联合密度22()40,0(,)0x y xye x y p x y -+⎧⎪>>=⎨⎪⎩其它.求Z (用两种方法).解1 当0z <时,()())0Z F z P Z z P z =≤==,当0z >时()())Z F z P Z z P z =≤=22222()(0,)(0,)4()()xy x y zxyeI x I y dxdy -++∞+∞+≤=⎰⎰2cos sin 200/24cos sin ||x r y r r r z r e J drd θθθπθθθ==-≤≤≤≤=⎰⎰300/24cos sin r z r drd θπθθθ≤≤≤≤=⎰⎰2/2302sin 2z r r e dr d πθθ-=⎰⎰()22/2330cos 22z z r r r e dr r e dr πθ--==⎰⎰.故 23(0,)()()2()z Z Zp z F z z e I z -+∞'==,243/202(5/2)(3/2)(1/2)(1/2)z z tEZ z e dz t e dt +∞+∞--==Γ=Γ=⎰. 解222(04xy EZ E xye +∞+∞-+==⎰⎰222cos sin (300,0/244cos sin ||x r y r xy r r xye r e J drd θθθπθθθ==+∞+∞-+-≥≤≤==⎰⎰⎰⎰22/2440000/24cos sin 2sin 2r r r z r e drd r e dr d πθπθθθθθ+∞--≤≤≤≤==⎰⎰⎰⎰()/23/200cos 2(5/2)(3/2)(1/2)(1/2)2r t t e dt πθ+∞-=Γ=Γ=⎰23. 已知25,36,0.4DX DY ρ===.求()D X Y +及()D X Y -. 解cov(,)12X Y ===,()2cov(,)253621285D X Y DX DY X Y +=++=++⨯=, ()2cov(,)253621237D X Y DX DY X Y +=+-=+-⨯=.28. 证明:如果X 和Y 独立,则22()()()D XY DX DY EX DY EY DX =⋅++. 证 22222()()[()]()[()()]D XY E XY E XY E X Y EX EY =-=- 2222()()()()EX EY EX EY =-,222222()()[()][()]DX DY EX DY EY DX EX EX EY EY ⋅++=--2222222222[()][()]()[()]()[()]EX EX EY EY EX EY EY EY EX EX =--+-+- 222222[()]()[()]EX EY EY EY EX EX =-+- 22222222()()()()EX EY EX EY EY EX EY EX =-+- 2222()()()()EX EY EX EY =-.故22()()()D XY DX DY EX DY EY DX =⋅++.31. 设,,X Y Z 独立同分布,服从(0,1)N ,. 解设U .则1) 当0u <时,()())0U F u P U u P u =≤==,()()0U U p u Fu '==. 2) 当0u <时,()())U F u P U u P u =≤=222()/23/21(2)x y z ue dxdydz π-++=. 作球坐标变换cos x r α=,sin cos y r αβ=,sin sin z r a β=,其中0θπ≤<,2βπ0≤<, 0r ≥.则Jocob 行列式为cos sin 0(,,)sin cos cos cos sin sin (,,)sin sin cos sin sin cos r x y z r r r r r αααβαβαβαβαβαβαβ-∂=-∂ 22222222cos (sin cos cos sin cos sin )sin (sin cos sin sin )r r αααβααβααβαβ=+++ 2222cos sin cos sin sin sin r r r αααααα=+=. 222/23/21()sin (2)u rU F u d d r e dr ππααβπ-=⎰⎰⎰222/22/23/200122(2)u u r r r e dr r e dr ππ--=⋅⋅=⎰. 22/2()()u U Up u F u e -'=.由上面的1)和2)得22/2(0,)()()()u U Up u F u e I u -+∞'==.34. 设(,)X Y 为随机向量,,,,,a b c αβ都是实数.证明:cov(,)cov(,)X a Y b X Y αβαβ++=, 22()2cov(,)D X Y c DX DY X Y αβαβαβ++=++.证 cov(,)[()][()]X a Y b E X a E X a Y b E Y b αβααββ++=+-++-+ ()()()()cov(,)E X EX Y EY E X EX Y EY X Y ααββαβαβ=--=--=. ()()()()2cov(,)D X Y c D X Y D X D Y X Y αβαβαβαβ++=+=++ 222cov(,)DX DY X Y αβαβ=++.。

统计学第二章课后题及答案解析

统计学第二章课后题及答案解析第一篇：统计学第二章课后题及答案解析第二章一、单项选择题1．对一批商品进行质量检查，最适合采用的调查方法是（）A．全面调查B.抽样调查 C．典型调查D.重点调查2．对某市全部商业企业职工的生活状况进行调查，调查对象是（）A.该市全部商业企业B.该市全部商业企业职工C.该市每一个商业企业D.该市商业企业的每一名职工3．调查单位数目不多，但其标志值占总体标志总量比重较大，此种调查属于（）A．抽样调查B.重点调查 C．典型调查D.全面调查4．需要不断对全国各铁路交通枢纽的货运量、货物种类等进行调查，以了解全国铁路货运情况。

这种调查属于（）A．连续性典型调查B.连续性全面调查 C．连续性重点调查D.一次性抽样调查 5.非抽样误差()A 仅在抽样调查中存在 B 仅在全面调查中存在C 在抽样调查和全面调查中都存在D 在抽样调查和全面调查中都不经常出现二、多项选择题1.统计调查按搜集资料的方法有（）A.采访法B.抽样调查法C.直接观察法D.典型调查法E.报告法2.下列情况的调查单位与填报单位不一致的是（）A．工业企业生产设备调查B.人口普查C.工业企业现状调查D.农作物亩产量调查E.城市零售商店情况调查3．抽样调查的优越性表现在（）A.经济性B.时效性C.准确性D.全面性E.灵活性4．全国工业企业普查中（）A．全国工业企业数是调查对象B．全国每个工业企业是调查单位C．全国每个工业企业是填报单位D．工业企业的所有制关系是变量E．每个工业企业的职工人数是调查项目 5.以下属于非抽样误差的有()A 调查员的调查误差B 被调查者的回答误差C 无回答误差D 随机误差E 抽样框误差三、填空题1．统计调查按其组织形式，可分为________和_________两种。

统计调查按其调查对象的范围不同，可分为_________和________两种。

统计调查按其调查登记的时间是否连续，可分为________和________。

概论概要统计第二章节答案

第二章课后习题参考答案P56 10 有甲乙两种味道和颜色都极为相似的名酒各4杯。

如果从中挑4杯，能将甲种酒全部挑出来，算是试验成功一次。

（1）某人随机地去猜，问他试验成功一次的概率是多少？（2）某人声称他通过品尝能区分两种酒。

他连续试验10次，成功3次。

试推断他是猜对的，还是他确有区分的能力。

（各次试验是相互独立的）解（1）某人随机去猜，从8杯中挑取4杯共有4870C =种取法，其中只有一种是正确的。

故若某人随机去猜，试验成功一次的概率是170p =（2）为判断某人是否有区分能力，先假设：“某人无区分能力”，由（1）他猜对一次的概率为1/70，连续试验10次，则猜对次数(10,1/70)Xb3741011{3}1 3.161037070P X -⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=⨯ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 不仅如此10224001011{3}1{}11 3.24107070kkk k P X P X k k --==⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥=-==--=⨯ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑即试验10次，他猜对的次数大于等于3的概率也仅为万分之三。

今事件{3}X ≥ 竟然发生了，按实际推断原理，应否定原假设“某人无区分能力”，而认为他确有区分能力。

P57 16 有一繁忙的汽车站, 每天有大量汽车通过,设每辆汽车,在一天的某段时间内出事故的概率为0.0001,在每天的该段时间内有1000 辆汽车通过,问出事故的次数不小于2的概率是多少?解设1000 辆车通过,出事故的次数为 X , 则~(1000,0.0001),X b 所求概率为1000999{2}1{0}{1}100010.99990.00010.99991P X P X P X ≥=-=-=⎛⎫=--⋅⋅ ⎪⎝⎭ 利用泊松定理，10000.00010.1,λ=⨯= 所以0.10.1e 0.1e {2}10.0047.0!1!P X --⋅≥≈--=X 的分布函数为0,0()1,011,1x F x p x x <⎧⎪=-≤<⎨⎪≥⎩()F x 的图像如下X 的分布函数为0,31,3410()4,45101,5x x F x x x <⎧⎪≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩ P57 20、解（1）(2)(2)ln 2,(03)(3)(0)(3)(0)15555(2)()(2)()(2)ln2224X X X X X P X F P X P X P XF F P X P X P X F F <==<≤=≤-≤=-=<<=<-≤=-=（2）概率密度函数为1,1()()0,X Xx e f x F x x others⎧≤<⎪'==⎨⎪⎩ 27、某地区18岁女青年的血压服从2(110,12)N 分布。

《统计学概论》习题及答案

第一章概论习题答案一、名词解释用规范性的语言解释统计学中的名词。

1. 总体和总体单位：凡是客观存在的并至少具有某一相同性质而结合起来的许多个别事物构成的整体，当它作为统计的研究对象时，就称为统计总体，简称总体。

构成总体的每一个事物，就称为总体单位。

2. 标志和标志表现：标志是与总体单位相对应的概念，它是说明总体单位特征的名称。

标志表现是标志的属性或数量在总体各单位的具体体现。

3. 品质标志和数量标志：品质标志是表明总体单位的质的特征的名称。

数量标志是表明总体单位的量的特征的名称。

4. 不变标志和可变标志：无论是品质标志还是数量标志，同一总体中各个总体单位上表现都一样的标志就称为不变标志。

同一总体中各个总体单位上表现不尽相同的标志就称为可变标志（或称变动标志）。

5. 指标和指标体系：指标是说明总体数量特征的概念及其综合数值，故又称为综合指标。

所谓统计指标体系，就是若干个反映社会经济现象数量特征的相对独立又相互联系的统计指标所组成的整体。

二、填空题根据下面提示的内容，将适宜的名词、词组或短语填入相应的空格之中。

1. 统计资料、统计学、统计学2. 总体性、社会性、数量关系、数量界限3. 数量性、具体性4. 数量、概率论、大量观察法5. 总体、方法论6. 信息、监督、信息7. 质量8. 统计数学模型、统计逻辑模型9. 静态统计推断、动态统计推断10. 同质、相对11. 离散变量、连续变量12. 品质标志、数量标志13. 数量、外延、质量、内涵14. 物质、模糊性15. 定性规范、指标数值三、判断改错对下列命题进行判断，在正确命题的括号内打“√”；在错误命题的括号内打“×”，并在错误的地方下划一横线，将改正后的内容写入题下空白处。

1. 统计研究事物的量是从对社会经济现象的定性认识开始的，必须以事物质的规定性为基础。

（√）2. 统计是研究现象总体的，个别事物对总体不一定有代表性，因此不需要对个别事物进行调查研究。

数理统计教程第二章课后习题答案

数理统计第二章习题解答1.设n ξξ,,1 是来自二点分布的一个子样,试求成功概率p 的矩法估计量.解: p E =ξ ξ=∴pˆ 2. 已知母体ξ均匀分布于()βα,之间,试求βα,的矩法估计量.解: 2βαξ+=E ，()122αβξ-=D 。

令()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+22122n S αβξβα得 n S 3ˆ-=ξα，.3ˆnS +=ξβ 3. 对容量为n 的子样,求密度函数 ()()⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,00,2;2ax x a a a x f 中参数a 的矩法估计量.解: ()322adx x a a x E a=-=⎰ξ 令ξ=3a 得ξ3ˆ=a . 4. 在密度函数 ()()10,1<<+=x x a x f a 中参数a 的极大似然估计量是什么? 矩法估计量是什么? 解: (1) ()()()∏∏==+=+=ni i ni nni x x L 111ααααα ()i ix∀<<1∴()().ln 1ln ln 1⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅++=∏=n i i x n L ααα 令()0ln 1ln 1=++=∂∂∑=i ni x nL ααα，得 ∑=--=ni iL xn1ln 1ˆα。

由于 ()01ln 222<+-=∂∂ααnL 故∑=--=ni iL xn1ln 1ˆα是α极大似然估计.(2) 由211+-=αξE 令ξα=+-211 得 .112ˆξξα--=5.用极大似然法估计几何分布 ()(),2,1,11=-==-k p p k P k ξ中的未知参数p .解:()()n x ni p p p L -∑-=1，令 ()01ln =---=∂∂∑pn x p n p p L i 得x p1ˆ=而01ln 2ˆ2<--=∂∂=x x n p Lpp ξ1ˆ=∴p是P 的极大似然估计. 6. 设随机变量ξ的密度函数为()0,,21>∞<<-∞=-σσσx e x f x，n ξξ,,1 是ξ的容量为n 的子样,试求σ的极大似然值. 解: ()()∑=--ix neL σσσ12，()01ln 2=+-=∂∂∑i x n L σσσσ。

统计学第二章课后作业参考答案

统计学第二章课后作业参考答案1、什么是统计调查？它在整个统计研究中占有什么地位？答：统计调查是按预定的统计任务，运用科学的统计调查方法，有计划有组织地向客观实际搜集资料的过程。

统计调查在整个统计研究中的地位：统计调查是搜集资料获得感性认识的阶段，也是进行资料整理和分析的基础环节2、统计调查有哪能些分类？答：统计调查有以下分类：一、根据被研究总体的范围的不同可分为：全面调查和非全面调查；二、按调查时间是否连续可分为：连续调查和非连续调查；三、调查所搜集资料方法可分为：直接调查、凭据调查、派员调查、问卷调查；四、按调查的组织形式可分为：专门调查和统计报表。

3、为什么搞好统计调查工作需要事先制定调查方案？它包括哪些内容？答：（1）因为统计调查是一项系统工程，是一项繁重复杂、高度统一和严格的科学工作，应该有计划、有组织地进行。

因此，在着手调查之前应该制定一个周密的调查方案，才使得调查过程有统一认识、统一方法、统一步骤，顺利完成任务。

所以搞好统计调查工作需要事先制定调查方案。

（2）统计调查应包括六方面内容：调查目的、调查对象、调查项目、调查表、调查时间、调查的组织工作。

4、调查对象、调查单位和报告单位的关系如何？答：1）调查对象和调查单位关系：A、调查对象和调查单位是总体和个体的关系：调查对象是调查目的所决定的是应搜集其资料的许多单位的总体。

调查单位：就是总体单位，是调查对象组成要素。

B、调查对象和调查单位的概念不是固定不变的，随着调查目的的变化二者可以互相转化。

2）调查单位和报告单位关系：A、调查单位和报告单位都是调查对象的组成要素调查单位是调查项目承担者，是调查对象所包含的具体单位；填报单位是负责向上提交调查资料的单位，B、和填报单位在一般情况下是不一致的：有时是一致的7、统计普查有哪些主要特点？答：统计普查有以下主要特点：！）普查是一种不连续调查；2）、普查是全面调查；它比任何其它调查方法都有更能掌握全面、系统的反映总体情况. 3）、普查能掌握全面统计报表不能解决的问题；4）、普查要耗费较大的人力、物力和时间，因而不可能经常进行8、抽样调查有哪些特点？有哪些优点？它在统计调查中发挥着什么作用？答：1、抽样调查的特点有1）抽样调查是一种非全面调查，但其目的是要通过对部分单位的调查结果来推断总体的数量特征，与其它非全面调查有明显区别；2）按照随机原则抽样；2、抽样调查的优点有：1）经济性2）时效性3）准确性4）灵活性3、抽样调查的作用：1）能够解决全面调查无法或难以解决的问题；2）可以补充和订正全面调查的结果；3）可以应用于生产过程中产品质量检查和控制；4）可以用于对总体的某种假设进行检验。

中山大学概论统计第2章习题解

习题二(解)1. 下列表中列出的是否为某个随机变量的概率分布？如果是,请写出它们的分布函数.1) 2)3)解 1) 因为表的第二列的各个数值都是非负的且不大于1,又0.50.30.21++=,所以满足命题2.1的条件,因而是某个随机变量的概率分布.分布函数是[1,3)[3,5)[5,)()0.5()0.8()()F x I x I x I x +∞=++.2) 因为0.70.10.10.91++=≠,所以不满足命题2.1的条件,因而不是某个随机变量的概率分布.3) 因为表的第二列的各个数值都是非负的且不大于1,又121k k +∞-==∑,所以满足命题 2.1的条件,因而是某个随机变量的概率分布.分布函数是[,1)1()(12)()k k k k F x I x +∞-+==-∑.2. 设随机变量X 只取正整数值1,2,,且()P X n =与(1)n n +成反比,求X 的概率分布.解设()(1)cP X n n n ==+,其中c 是待定常数.则根据命题2.1,1111111()lim lim 1(1)11l n n n l l c P X n c c c n n n n l ∞∞===→∞→∞⎛⎫⎛⎫====-=--= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭∑∑∑. 因此1c =,1()(1)P X n n n ==+, 1,2,n =.3. 自动生产线在调整以后出现废品的概率为p .设生产过程中出现废品立即重新进行调整,求在两次调整之间生产的合格品数的概率分布.解在每次调整后前k 个产品都是及格品而第1k +个产品是废品的概率是(1)k p p -, 1,2,k =.因而,设两次调整之间生产的合格品数为X ,则()(1)k P X k p p ==-, 1,2,k =.4. 掷一枚非均匀的硬币,出现正面的概率为(01)p p <<,若以X 表示直至掷到正、反面都出现为止所需投掷的次数,求X 的概率分布. 解对于2,3,k =,前1k -次出现正面,第k 次出现反面的概率是1(1)k p p --,前1k -次出现反面,第k 次出现正面的概率是1(1)k p p --,因而X 有概率分布11()(1)(1)k k P X k p p p p --==-+-,2,3,k =.5. 一个小班有8位学生,其中有5人能正确回答老师的一个问题.老师随意地逐个请学生回答,直到得到正确的回答为止,求在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数的概率分布.第1个能正确回答的概率是5/8,第1个不能正确回答,第2个能正确回答的概率是(3/8)(5/7)15/56=, 前2个不能正确回答,第3个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(5/6)5/56=, 前3个不能正确回答,第4个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(5/5)1/56=, 前4个都不能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(0/5)0=.设在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数为X ,则X 有分布6. 设某人有100位朋友都会向他发送电子邮件,在一天中每位朋友向他发出电子邮件的概率都是0.04,问一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是多少?试用二项分布公式和泊松近似律分别计算.解设一天中某人收到X 位朋友的电子邮件,则~(100,0.04)X B ,一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是(4)P X ≥. 1) 用二项分布公式计算31001000(4)1(4)10.04(10.04)0.5705kk k k P X P X C -=≥=-<=--=∑.2) 用泊松近似律计算331004100004(4)1(4)10.04(10.04)10.5665!kk k kk k P X P X C e k --==≥=-<=--≈-=∑∑.7. 设X 服从泊松分布,且已知(1)(2)P X P X ===,求(2)P X =和(2)P X ≥. 解设X 服从参数为λ泊松分布,则2(1)(2)2!eP X P X e λλλλ--=====,解得2λ=.因而2222(2)20.27072!P X e e --====,22(2)1(0)(1)120.5940P X P X P X e e --≥=-=-==--=.8. 设X 服从泊松分布,分布律为(),0,1,2,!kP X k e k k λλ-===.问当k 取何值时{}P X k =最大？解设()/(1)k a P X k P X k ===-,1,2,k =,则1/!/(1)!k k k e k a ke k λλλλλ+--==-,数列{}k a 是一个递减的数列. 若11a <,则(0)P X =最大.若11a ≥,则当1k a ≥且11k a +≤时,{}P X k =最大. 由此得1) 若1λ<,则(0)P X =最大.2) 若1λ≥,则{}/1/(1)11P X k k k k λλλλ=⇔≥+≤⇔-≤≤最大且. 由上面的1)和2)知,无论1λ<或1λ≥,都有[]{}1P X k k λλλλλ⎧=⇔=⎨-⎩不是整数最大或是整数.9. 设随机变量X 的概率密度为[0,1)[1,2]()()(2)()p x xI x x I x =+-.求X 的分布函数()F x ,并作出()p x 与()F x 的图形.解 ()(,0)[0,1)0()()()0()0xxxF x p v dv I x dv I x dv vdv -∞-∞-∞-∞==⋅+⋅+⎰⎰⎰⎰()01[1,2)1()0(2)x I x dv vdv x dv -∞-∞+⋅++-⎰⎰⎰()12[2,)12()0(2)0I x dv vdv v dv dv +∞+∞-∞+⋅++-+⋅⎰⎰⎰⎰()()112[0,1)[1,2)[2,)011()()(2)()(2)x xI x vdv I x vdv v dv I x vdv v dv +∞=++-++-⎰⎰⎰⎰⎰22[0,1)[1,2)[2,)(/2)()(2/21)()()x I x x x I x I x +∞=+--+.10. 设随机变量X 的概率密度为[0,10]()()p x cxI x =.求常数c 和X 的分布函数,并求概率(16/10)P X X +≤.解 1021001()502cx p x dx cxdx c +∞-∞====⎰⎰, 1/50c =.2[0,10)[10,)[0,10)[10,)0()()()()()()50100xxv x F x p v dv I x dv I x I x I x +∞+∞-∞==+=+⎰⎰. 2(16/10)(10160)(28)P X X P X X P X +≤=-+≤=≤≤8288222()3/550100x x p x dx dx ====⎰⎰.11. 地板由宽30厘米的木条铺成,在上面随机地放置一个直径40厘米的圆盘,求这个圆盘能接触到3条木条的概率.解园盘中心离木条的最近的边的距离X 服从[0,15]上的均匀分布,圆盘能接触到3条木条大的充分必要条件是1015X ≤≤,故这个圆盘能接触到3条木条的概率是1510(1015)(1/15)1/3P X dx ≤≤==⎰.12. 随机变量X 有密度(1,1)()()p x x -=.求常数c 和概率(1/21/2)P X -≤≤.解 sin 1/2/221/2/21()(sin )cos x tp x dx t c tdt ππππ=+∞-∞---====⎰⎰⎰⎰/2/2/2/21(1cos 2)(/2(sin 2)/4)/22c t dt c t t c πππππ--=+=+=⎰. 由上式得2/c π=.sin 1/21/2/61/21//2(1/21/2)()(sin )x tP X p x dx t πππ=----≤≤===⎰⎰⎰/6/6/62/6/6/62212cos (1cos 2)(/2(sin 2)/4)1/3)2tdt t dt t t ππππππππππ---==+=+=+⎰⎰. 13. 设随机变量X 的密度为2x xce -+.求常数c .解 2221/2(1/2)1/41/41/1x t xxx t ce dx c e dx ce e dt ce =++∞+∞+∞-+--+--∞-∞-∞====⎰⎰⎰.由上式得1/41/2c e π--=.14. 设~(1,4)X N ,求(0)P X >和(23)P X <<. 解1 2221(1)/8/21/(0)x t x t P X dx dt =++∞+∞---->==⎰⎰1(1/2)(1/2)0.6915=-Φ-=Φ=. 222131(1)/8/221/(23)x t x t P X dx dt =+---<<==⎰⎰(1)(1/2)0.84130.69150.1498=Φ-Φ=-=. 解2 设1~(0,1)2X Z N -=,则~(0,1)Z N . 101(0)(1/2)1(1/2)(1/2)0.691522X P X P P Z --⎛⎫>=>=>-=-Φ-=Φ= ⎪⎝⎭.21131(23)(0)(1/21)222X P X P X P P Z ---⎛⎫<<=>=<<=<< ⎪⎝⎭(1)(1/2)0.84130.69150.1498=Φ-Φ=-=.15. 设2~(,)X N μσ,分别找出i k ,使得()i i i P k X k μσμσα-<<+=.其中1,2,3i =,10.9α=,20.95α=,30.99α=.解1 22()/(2)()i i k x i i i k P k X k dx μσμσμσαμσμσ+---=-<<+=⎰2/2()()2()1iix t k t i i i kdt k k k σμ=+--==Φ-Φ-=Φ-⎰. ()(1)/2i i k αΦ=+.代入i α的值查得1 1.64α=,2 1.96α=,3 2.58α=. 解2 设1~(0,1)2X Z N -=,则~(0,1)Z N . ()i i i i i k k X P k X k P μσμμσμμαμσμσσσσ--+--⎛⎫=-<<+==<<⎪⎝⎭()()()2()1i i i i i P k Z k k k k =-<<=Φ-Φ-=Φ-. ()(1)/2i i k αΦ=+.代入i α的值查得1 1.64α=,2 1.96α=,3 2.58α=.16. 随机变量X 服从二项分布(3,1/3)B ,求X 的分布函数和2(1)Y X =-的分布. 解 X 有分布故X 有分布函数[0,1)[1,2)[2,3)[3,)82026()()()()()272727F x I x I x I x I x +∞=+++. Y 有分布17. 设X 服从自由度为k 的2χ分布,即X 有密度/21/2(0,)/21()()2(/2)k x X k p x x e I x k --+∞=Γ.求Y . 解1当0y <时,()())0Y F y P Y y P y =≤=≤=,()()0Y Y p y F y '==.当0y >时,22()())()()Y X F y P Y y P y P X ky F ky =≤==≤=, 222/21/22(0,)/21()()2()2()()2(/2)k ky Y Y X k p y F y kyp ky ky ky e I ky k --+∞'===⋅Γ ()()2/21/22/2/2k k ky k y e k --=Γ. 因而()()2/21/2(0,)2/2()()/2k k kyY k p y y e I y k --+∞=Γ.解2 设(0,)V =+∞,则()1P X V ∈=.设()y f x ==x V ∈,则f 有反函数12()f y ky ϕ-==, y G ∈,其中{():}(0,)G y f x x V ==∈=+∞.因而Y 有密度 ()|()|(()()Y X G p y y p y I y ϕϕ'=22/21/22(0,)/212()()2(/2)k ky k ky ky e I ky k --+∞=⋅Γ()()2/21/22/2/2k k ky k y e k --=Γ. 18. 由统计物理学知道分子运动的速率遵从麦克斯威尔(Maxwell )分布,即密度为222/(0,)()()xX p x I x α-+∞=.其中参数0α>.求分子的动能2/2Y mX =的密度. 解1当0y <时,2()()(/2)0Y F y P Y y P mX y =≤=≤=,()()0Y Y p y F y '==.当0y >时,2()()(/2)(Y X F y P Y y P mX y P X F =≤=≤=≤=,22/()(0,)()()y m Y Y X p y F y p I α-+∞'===222/()2/()y m y m αα--=. 因而22/()(0,)()()y m Y p y I y α-+∞=. 解2 设(0,)V =+∞,则()1P X V ∈=.设2()/2y f x mx ==, x V ∈,则f 有反函数1()f y ϕ-==y G ∈,其中{():}(0,)G y f x x V ==∈=+∞.因而Y 有密度 ()|()|(()()Y X G p y y p y I y ϕϕ'=22/()(0,)y m X p I α-+∞==22/()(0,)()y m I y α-+∞=. 19. 设X 服从[1,2]-上的均匀分布,2Y X =.求Y 的分布.解1 X 有密度[1,2}1()()3X P x I x -=.Y 有分布函数()()Y F y P Y y =≤ 2()P X y =≤[0,)()(I y P X +∞=≤[0,)()()XI y p x dx +∞=[0,)[1,2]()()I y x dx +∞-=[0,1)[1,4)[4,)11()()()3I y I y I y dy +∞--=++[0,1)[1,4)[4,)()()()y y I y +∞=+. 解2 X 有密度[1,2}1()()3X P x I x -=.Y 有分布函数2[0,)()()()(()Y F y P Y y P X y P X I y +∞=≤=≤=≤[0,)[(()X X F F I y +∞=-.[0,)[0,1)[1,4)()()(()()()Y Y X X p y F y p p I y y y +∞'=+=+.20. 质点随机地落在中心在原点,半径为R 的圆周上,并且对弧长是均匀地分布的.求落点的横坐标的概率密度.解设落点极坐标是(,)R Θ,则Θ服从[0,2]π上的均匀分布,有密度[0,2]1()()2p I πθθπΘ=. 设落点横坐标是X ,则cos X R =Θ,X 的分布函数为()()(cos )X F x P X x P R x =≤=Θ≤.当1x <-时,()0X F x =.当1x >时,()1X F x =.当11x -≤≤时1()(cos )arccos 2arccos arccos X x x x F x P R x P R R R πππ⎛⎫⎛⎫=Θ≤=≤Θ≤-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因而落点的横坐标X 有概率密度(1,1)()()()X Xp x F x x -'=.21. 设随机变量X 的概率密度为(0,1)()()p x I x =,求cos2Y R X π=的概率密度. 解()()(cos 2)Y F y P Y y P R X y π=≤=≤.当y R <-时,()0Y F y =.当y R >时,()1Y F y =.当R y R -≤≤时1()(cos 2)arccos arccos Y y y F y P R X y P X R R πππ⎛⎫⎛⎫=≤=≥=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因而落点的横坐标X 有概率密度(1,1)()()()Y Y p y F y y -'==.22. 某商品的每包重量2~(200,)X N σ.若要求{195205}0.98P X <<≥,则需要把σ控制在什么范围内. 解设200~(0,1)X Z N σ-=,则~(0,1)Z N .195200205200{195205}(5/)(5/)2(5/)1P X P Z σσσσσ--⎛⎫<<=≤≤=Φ-Φ-=Φ- ⎪⎝⎭.{195205}0.982(5/)10.98P X σ<<≥⇔Φ-≥15/(0.99) 2.335/2.33 2.15σσ-⇔≥Φ=⇔≤=. 23. 设Z 在[0,1]上服从均匀分布,随机变量,X Y 满足方程组4121X Y Z X Y Z +=+⎧⎨-=-⎩, 求X 和Y 的分布和它们各自落在[0,1]中的概率.解解方程组得3X Z =,1Y Z =+.Z 有密度[0,1]()()Z p z I z =,由推论6.1可得: X 有密度[0,1][0,3]111()(/3)(/3)()333X Z p x p x I x I x === (即X 服从[0,3]上的均匀分布). Y 有密度[0,1][1,2]()(1)(1)()Y Z p y p y I y I y =-=-=(即Y 服从[1,2]上的均匀分布).24. 设随机变量X 服从在[0,1]上的均匀分布,求ln Y X =-的分布. 解设(0,1)V =,则()1P X V ∈=.设()ln y f x x ==-, x V ∈,则f 有反函数1()y f y e ϕ--==, y G ∈,其中{():}(0,)G y f x x V ==∈=+∞.因而Y 有密度[0,1](0,)(0,)()|()|(())()()()()y y y Y X G p y y p y I y e I e I y e I y ϕϕ---+∞+∞'===.25. 设随机变量X 服从指数分布(1)Ex ,求X Y e -=的分布.解 X 有密度(0,)()()x X p x e I x -+∞=.设(0,)V =+∞,则()1P X V ∈=.设()x y f x e -==, x V ∈,则f 有反函数1()ln f y y ϕ-==-, y G ∈,其中{():}(0,1)G y f x x V ==∈=.因而Y 有密度 (ln )(0,)(0,1)(0,1)1()|()|(())()(ln )()()y Y X G p y y p y I y e I y I y I y yϕϕ--+∞'==-=.26. 离散型随机向量(,)X Y 有如下的概率分布:Y X 0 1 2 3 0 0.1 0.1 0.1 0.1 1 0 0.1 0.1 0.1 20.10.2求边缘分布.解 X 有分布k x0 1 2 ()k P X x =0.40.30.3Y 有分布k y 0 1 2 3 ()k P Y y =0.10.20.30.4因为0(2,0)(2)(0)0.30.1P X Y P X P Y ===≠===⨯,所以X ,Y 不独立.27. 根据历史纪录,某地5月份晴天,阴天和雨天的日子各占1/2,1/3和1/6.在5月中随意地选择6天,求这6天当中恰好有三天晴天,两天阴天和一天雨天的概率.解设这6天中有X 天晴天和Y 天阴天,则由例4.2,(,)X Y 服从三项分布,所求的概率是3216!(3,2)(1/2)(1/3)(1/6)5/363!2!1!P X Y ====.28．设随机向量(,)X Y 服从矩形{(,):12,02}D x y x y =-≤≤≤≤上的均匀分布,求条件概率(1|)P X X Y ≥≤.解 1()(622)/62/32P X Y ≤=-⨯⨯=,1(,1)(11)/61/122P X Y X ≤≥=⨯⨯=,(,1)1/12(1|)1/8()2/3P X Y X P X X Y P X Y ≤≥≥≤===≤.29. 设随机向量(,)X Y 有密度2(0,1)(0,2)(,)(3)()()f x y k x xy I x I y =+.求常数k ,边缘密度和条件概率(1/2|1)P X Y <>. 解 2(0,1)(0,2)1(,)(3)()()f x y dxdy k xxy I x I y dxdy +∞+∞+∞+∞-∞-∞-∞-∞==+⎰⎰⎰⎰()21212220(3)(3/2)k x xy dy dx k x y xy dx =+=+⎰⎰⎰112320(62)(2)3k x x dx x x k =+=+=⎰.由上得1/3k =.2(0,1)(0,2)1()(,)(3)()()3X p x f x y dy x xy I x I y dy +∞+∞-∞-∞==+⎰⎰222(0,1)(0,1)01()(3)(22/3)()3I x x xy dy x x I x =+=+⎰.2(0,1)(0,2)1()(,)(3)()()3Y p y f x y dx x xy I x I y dx +∞+∞-∞-∞==+⎰⎰12(0,2)(0,2)01()(3)(1/3/6)()3I y x xy dx y I y =+=+⎰.2(0,1)(0,2)1/211(1/2,1)(3)()()3X Y P X Y x xy I x I y dxdy <><>=+⎰⎰()21/221/22221111(3)(3/2)33x xy dy dx x y xy dx =+=+⎰⎰⎰1/2201(33/2)5/483x x dx =+=⎰, 211(1)()(1/3/6)7/12Y P Y p y dy y dy +∞>==+=⎰⎰,(1/2,1)5/48(1/2|1)5/28(1)7/12P X Y P X Y P Y <><>===>.30. 设X 和Y 独立,且分别有密度2(0,3)1()9x I x 和(0,2)1()2yI y ,求概率()P X Y ≥.解 (,)X Y 有联合密度22(0,3)(0,2)(0,3)(0,2)111(,)()()()()9218p x y x I x yI y x yI x I y =⋅=,2(),03,021()(,)18x y x y x y P X Y p x y dxdy x ydxdy ≥≥<<<<≥==⎰⎰⎰⎰ ()232230111119(27)18183135yx ydx dy y y dy ==-=⎰⎰⎰. 31.设X 和Y 独立,都服从[2,2]-上的均匀分布,求概率22(1)P X Y +≤. 解 (,)X Y 有联合密度 2(2,2)(2,2)(2,2)(2,2)111(,)()()()()4416p x y x I x yI y I x I y ----=⋅= ()232230111119(27)18183135yx ydx dy y y dy ==-=⎰⎰⎰. 32. 随机向量(,)X Y 有联合密度(,)(,)E p x y x y ,其中222{(,):0}E x y x y R =<+≤.求系数c 和(,)X Y 落在圆222{(,):}D x y x y r =+≤内的概率.解()222cossin2001(,)2x ry r Rx y Rp x y dxdy d cdr cRθθπθπ==+∞+∞-∞-∞<+≤====⎰⎰⎰⎰⎰⎰因而12cRπ=.而222{(,)}(,)D x y rP X Y D p x y dxdy+≤∈==⎰⎰⎰⎰()cossin2001/2x ry r rd dr r RRθθπθπ====⎰⎰.33.设随机向量(,)X Y的联合密度是[0,)2(,)()1xcp x y e I xy-+∞=+.求系数c和(,)X Y落在正方形{(,):11,11}D x y x y=-≤≤-≤≤内的概率.又问,X Y是否独立？解21(,)1xcp x y dxdy e dx dyy+∞+∞+∞+∞--∞-∞-∞⎛⎫== ⎪+⎝⎭⎰⎰⎰⎰21arctg21c dy c y cyπ+∞+∞-∞-∞===+⎰.因而1/(2)cπ=.而21[0,)222011,111111{(,)}()2211x xx yP X Y D e I x dxdy dy e dxy yππ--+∞--≤≤-≤≤∈==++⎰⎰⎰⎰11111210111111arctg()(1)2221x xdy e dx y e eyππ-----==⨯-=-+⎰⎰.34. 设(,)X Y的联合密度是(,)sin()(,)Dp x y c x y I x y=+,其中{(,):0/2,0/2}D x y x yππ=<<<<.求系数c和边缘密度.解()/2/2001(,)sin()p x y dxdy c x y dyππ+∞+∞-∞-∞==+⎰⎰⎰⎰/2[cos(/2)cos][sin sin(/2)][sin(/2)sin0]2c y y dy c c cπππππ=-+-=--+-=⎰.因而1/2c=.而/2(0,/2)(0,/2)11()(,)()sin()(sin cos)()22Xp x p x y dy I x x y dy x x I xπππ+∞-∞==+=+⎰⎰,/2(0,/2)(0,/2)11()(,)()sin()(sin cos)()22Yp y p x y dx I y x y dx y y I yπππ+∞-∞==+=+⎰⎰.35.设X和Y独立,密度分别为[0,1]()()Xp x I x=和(0,)()()yYp y e I y-+∞=,求Z X Y=+的密度.解 ()()()Z X Y p z p x p z x dx +∞-∞=-⎰()[0,1](0,)()()z x I x e I z x dx +∞--+∞-∞=-⎰ ()[0,1](,)()()z x z I x e I x dx +∞---∞-∞=⎰1()()[0,1)[1,)0()()zz x z x I z e dx I z e dx ----+∞=+⎰⎰ [0,1)[1,)()(1)(1)()z z I z e e e I z --+∞=-+-.36. 设系统L 由两个相互独立的子系统12,L L 联接而成,联接的方式分别为串联,并联和备用(当系统1L 损坏时,系统2L 开始工作),如图7.1所示.1L 和2L 的寿命为X 和Y ,分别有密度(0,)()()x X p x e I x αα-+∞=和(0,)()()y Y p y e I y ββ-+∞=,其中0,0αβ>>且αβ≠.请就这三种联接方式分别写出系统L 的寿命Z 的密度.解 X ,Y 独立,分别服从参数为α和β的指数分布,因此分别有分布函数(0,)()(1)()x X F x e I x α-+∞=-和(0,)()(1)()y Y F y e I y β-+∞=-.1) 联接的方式为串联时,min{.}Z X Y =, (){min(,)}1{min(,)}S F z P X Y z P X Y z =≤=->()(0,)1()()1[1()][1()](1)()z X Y P X z P Y z F z F z e I z αβ-++∞=->>=---=-,()(0,)()()()()zs Z Zp z F z e I z αβαβ-++∞'==+. 2) 联接的方式为并联时,max{.}Z X Y =,(){max(,)}()()()()Z X Y F z P X Y z P X z P Y z F z F z =≤=≤≤= (0,)(1)(1)()r b r e e I z αβ--+∞=--,()(0,)()()(())()z z z Z Zp z F z e e e I z αβαβαβαβ---++∞'==+-+. 3) 联接的方式为备用时,Z X Y =+, ()(0,)(0,)()()()()()x z x Z X Y p z p x p z x dx e I x e I z x dx αβαβ+∞+∞---+∞+∞-∞-∞=-=⋅-⎰⎰()()(0,)(0,)0()()zz x z x z x I z e e dx e I z e dx αββαβαβαβ------+∞+∞==⎰⎰.因此,(0,)2(0,)()()()()zz Z z ee I z p z ze Iz αβααβαββαααβ--+∞-+∞⎧-≠⎪-=⎨⎪=⎩.37. ,X Y 相互独立,1~(,)X αβΓ,2~(,)Y αβΓ.证明12~(,)Z X Y a αβ=+Γ+.(提示:称1110(,)(1)s t B s t u u dx --=-⎰为β函数,由微积分的知识知(,)()()/()B s t s t s t =ΓΓΓ+)解 (见命题A .2.1)38. ,X Y 相互独立,分别服从自由度为12,k k 的2χ分布,即11/21/2(0,)/211()()2(/2)k x X k p x x e I x k --+∞=⋅Γ,22/21/2(0,)/221()()2(/2)k y Y k p y y e I y k --+∞=⋅Γ.利用上题的结论证明X Y +也服从2χ分布,自由度为12k k +.证 1~(/2,1/2)X k Γ,2~(/2,1/2)Y k Γ,由上题知,12~(,1/2)X Y k k +Γ+,即X Y +服从自由度为12k k +2χ分布.39. 某种灯具的使用寿命T 是随机变量,有密度[0,)()()t p t e I t λλ-+∞=.每次使用一个灯具,如果损坏了则换上同种的新灯具,分别求两个灯具和三个灯具能够使用的时间的分布.解1 设三个灯具的使用寿命分别为1T ,2T 和3T ,两个灯具和三个灯具能够使用的时间分别为R 和S ,则12R T T =+,1233S T T T R T =++=+.R 有密度 ()[0,)[0,)()()()()()t r t R p r p t p r t dt e I t e I r t dt λλλλ+∞+∞---+∞+∞-∞-∞=-=⋅-⎰⎰()(0,)0()r t r t I r e e dt λλλλ---+∞=⋅⎰22(0,)(0,)0()()rr r e I r dt re I r λλλλ--+∞+∞==⎰.即~(2,)R λΓ.S 有密度 2()[0,)[0,)()()()()()r s r S R p s p r p s r dr re I r e I s r dt λλλλ+∞+∞---+∞+∞-∞-∞=-=⋅-⎰⎰2()332(0,)(0,)(0,)001()()()2s s r s r s s I s re e dr e I r rdr s e I s λλλλλλλλ-----+∞+∞+∞=⋅==⎰⎰.即~(3,)S λΓ.解2 设三个灯具的使用寿命分别为1T ,2T 和3T ,两个灯具和三个灯具能够使用的时间分别为R 和S ,则12R T T =+,123S T T T =++.由于~(1,)i T λΓ,1,2,3i =,由上面的习题37知~(2,)R λΓ,~(3,)S λΓ.40. 设22111222~(,),~(,)X N X N μσμσ,且12,X X 相互独立,证明 22121212~(,)X X N μμσσ+++.证1 由(6.5)式得22221212222212121()()()()222221()2x z x x z x Z p z dx edx μμμμσσσσπσσ------∞∞-----∞==⎰⎰.由于22122212()()22x z x μμσσ----- 2222222211122222121[(2)(222)]2x x z x xz z x σμμσμμμσσ=--++++--+22222222222221221112211211222121[()2()2]2x z x z z σσσμσσμσμσμσσμσσ=-++--++++- 2222222222222122111221121122222221212122()222z x z z x σσσμσσμσμσμσσμσσσσσσ⎡⎤+--+++-=-+-⎢⎥+⎣⎦2222221212112222212122z x σσσσμσμσσσσ⎛⎫++-=-- ⎪ ⎪+⎝⎭222222222222212121122112112222222*********z z z σσσσμσμσμσμσσμσσσσσσ⎛⎫++-++-+- ⎪ ⎪+⎝⎭ 2222222121211212222222121212()22()z z x σσσσμσμμμσσσσσσ⎛⎫++---=--- ⎪ ⎪++⎝⎭. 故122222221212112122222222121212()1()exp 222()Z z z p z x dx σσσσμσμμμπσσσσσσσσ∞-∞⎧⎫⎛⎫++---⎪⎪=--- ⎪⎨⎬ ⎪++⎝⎭⎪⎪⎩⎭⎰2122212()2222222()1212112222212122z z x dx μμσσσσσσμσμσσσσ--∞-+⎧⎫⎛⎫++-⎪⎪-- ⎪⎨⎬ ⎪+⎝⎭⎪⎪⎩⎭⎰. 上式的被积函数2222221212112222212122z x σσσσμσμσσσσ⎧⎫⎛⎫++-⎪⎪-- ⎪⎨⎬ ⎪+⎝⎭⎪⎪⎩⎭是正态分布22222121121222221212,z N σσμσμσσσσσσ⎛⎫+- ⎪ ⎪++⎝⎭的密度函数，故上式的定积分为1，因而2122212()2()()z Z p z μμσσ---+，由此知221212~(,)Z N μμσσ++. 证2 设111Y X μ=-,222Y X μ=-,由推论6.2知,211~(0,)Y N σ,222~(0,)Y N σ.设 12Z Y Y =+,则由(6.5)式得2222222212121()()222221()2z x z x x x Z p z dx e dx σσσσπσσ--∞∞-----∞==⎰⎰.由于22222222122221212()1[(2)]222x z x x z x xz σσσσσσ---=-++- 22222222222212111211222222221212121221[()2]222zx z x zx z x σσσσσσσσσσσσσσσσ⎡⎤+=-+-+=---⎢⎥+⎣⎦ 2222222222121121122222222221212121212222z z z x σσσσσσσσσσσσσσσσσ⎛⎫⎛⎫++=--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ 2222212122222212121222()z z x σσσσσσσσσ⎛⎫+=--- ⎪ ⎪++⎝⎭. 故12222212122222221212121()exp 222()Z z z p z x dx σσσπσσσσσσσσ∞-∞⎧⎫⎛⎫+⎪⎪=--- ⎪⎨⎬ ⎪++⎝⎭⎪⎪⎩⎭⎰2221222222()121222212122z z x dx σσσσσσσσσ∞-+⎧⎫⎛⎫+⎪⎪=-- ⎪⎨⎬ ⎪+⎝⎭⎪⎪⎩⎭⎰. 上式的被积函数2222121222212122z x σσσσσσσ⎧⎫⎛⎫+⎪⎪-- ⎪⎨⎬ ⎪+⎝⎭⎪⎪⎩⎭是正态分布22211222221212,z N σσσσσσσ⎛⎫ ⎪ ⎪++⎝⎭的密度函数，故上式的定积分为1，因而222122()()z Z p z σσ-+=，由此知2212~(0,)Z N σσ+.由推论6.2知, 22121212121212~(,)X X Y Y Z N μμμμμμσσ+=+++=++++.41. 设12,,,n X X X 相互独立,且2~(,)i X N μσ,1,2,,i n =,证明:212~(,/)nX X X N n nμσ+++.(提示:应用上题的结论.) 证有上题知,212~(2,2)X X N μσ+,2123123()~(3,3)X X X X X X N μσ++=++,2111()~(,)n n n X X X X X N n n μσ-++=+++.因而由推论6.2可得212~(,/)nX X X N n nμσ+++.42. 证明推论6.3. 证1) 由推论6.2有2211~(,)aX N a a μσ,2222~(,)bY c N b c b μσ+++.因而由命题6.1有 22221212~(,)aX bY c N a b c a b μμσσ++++++2) 上题已证212()/~(,/)n X X X n N n μσ+++.由推论6.2知2)/~(0,1)/n X n N nσ++.43. 设12,,,n X X X 独立,都服从参数为,m η的威布尔分布,即都有密度()/1(0,)()()mx m mmp x xeI x ηη--+∞=.证明12min(,,,)n X X X 仍服从威布尔分布.证 i X 1,i n =有分布函数()/1(0,)0()()mx v m mmF x I x v e dv ηη--+∞=⎰, ()()()///(0,)(0,)0()(1)()m mmv tx x t I x e dt e I x ηηη=--+∞+∞==-⎰.设12min(,,,)n Z X X X =,则Z 有分布函数11()()(min(,,))1(min(,,))Z n n F z P Z z P X X z P X X z =≤=≤=-≤11()()1[1()]n n P X z P X z F x =->>=--.()()//(,0](0,)(0,)1()()1()mmn nx x I x e I x e I x ηη---∞+∞+∞⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭,接下来的证明过程可以有两种。

[统计学课后答案]大二统计学课后题答案

[统计学课后答案]大二统计学课后题答案2. 统计有几种涵义？各种涵义的关系如何？统计的三种涵义是指统计工作、统计及统计学。

统计工作是统计的实践活动，统计资料是统计工作的成果，统计学是统计实践活动的科学，反过来又指导统计实践。

8. 什么是统计总体、总体单位？总体和单位的关系如何？统计总体是指客观存在的，在同一性质基础上结合起来的许多个别事物的整体。

构成统计总体的每个基本单位或元素称为总体单位。

总体和单位的关系：（1）总体是由单位构成的；（2）总体和总体单位不是固定不变的，而是随着统计任务的不同，可以变换位置；（3）统计总体与总体单位是互为存在条件地联结在一起的，没有总体单位，总体也就不存在了。

10. 什么是标志？标志有几种？分别举例说明。

标志是说明总体单位特征的名称。

标志有品质标志与数量标志之分。

品质标志表示事物的质的特征，是不能用数值表示的，如人的性别、工人的工种等。

数量标志表示事物的量的特征，是可以用数值表示的，如人的年龄、企业的产值等。

第二章统计调查1. 调查对象、调查单位以及填报单位的关系是什么？试举例说明。

调查对象是需要调查的那些社会经济现象的总体。

调查单位是调查对象中所要调查的具体单位，是调查项目的直接承担者，它可能是全部总体单位，也可能是其中的一部分。

填报单位是负责向上报告调查内容的单位，又称报告单位。

调查对象和调查单位在同一次调查中是包含和被包含的关系。

确定调查对象是要划清所要研究的总体界限，确定调查单位是要明确调查标志有谁来承担。

填报单位和调查单位有联系也有区别，二者有时一致，有时不一致。

如工业企业设备普查，调查对象是工业企业设备，调查单位是每台设备，填报单位是每个工业企业。

2. 什么是统计调查？它有哪些分类？统计调查是按照预定的统计任务，运用科学的调查方法，有计划有组织地向客观实际搜集统计资料的过程。

按调查对象包括范围的不同，可以分为全面调查和非全面调查；按调查登记时间的连续性，分为经常性调查和一次性调查；按调查组织方式分为统计报表制度和专门调查；按搜集资料的方法可分为直接观察法、报告法、采访法。