圆锥曲线起始课课件PPT课件
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圆锥曲线PPT优秀课件
3 5 并且椭圆经过点 ( , ) ； 2 2
y 2 x2 2 1（ a b 0 ） ， 2 a b
解析： （2）∵椭圆焦点在 y 轴上，故设椭圆的标准方程为
由椭圆的定义知，
3 5 3 5 3 1 2a ( )2 ( 2)2 ( )2 ( 2)2 10 10 2 10 ， 2 2 2 2 2 2
A1
.F . . O M . F
2
0
A2
x
F1
其中 a2 b2 c2 , a 0, b c 0 ， F0 , F1 , F2 是对应的焦点。 B1 （1）若三角形 F0 F1 F2 是边长为 1 的等边三角形，求“果圆”的方程；
b （2）若 A1 A B1 B ，求 的取值范围； a
焦点分别为 F1 , F2 ，点 P 在双曲线的右支上，且
| PF1 | 4 | PF2 | ，则此双曲线的离心率 e 的最大值为
8 解一：由定义知 | PF1 | | PF2 | 2a ，又已知 | PF1 | 4 | PF2 | ，解得 PF1 a ， 3 2 PF2 a ， 在 PF1F2 中 ， 由 余 弦 定 理 ， 得 3
1 1 1 1 a 2 16 将 2 和 2 看着整体，解得 ， a b 1 1 b2 9
2 a y 2 x2 16 ∴ 2 即双曲线的标准方程为 1 。 16 9 b 9
点评：本题只要解得 a 2 , b 2 即可得到双曲线的方程，没有 必要求出 a , b 的值；在求解的过程中也可以用换元思想， 可能会看的更清楚。
x2 y2 1 有共同渐近线， (4) 与双曲线 9 16
且过点 (3,2 3) 。
y 2 x2 2 1（ a b 0 ） ， 2 a b
解析： （2）∵椭圆焦点在 y 轴上，故设椭圆的标准方程为
由椭圆的定义知，
3 5 3 5 3 1 2a ( )2 ( 2)2 ( )2 ( 2)2 10 10 2 10 ， 2 2 2 2 2 2
A1
.F . . O M . F
2
0
A2
x
F1
其中 a2 b2 c2 , a 0, b c 0 ， F0 , F1 , F2 是对应的焦点。 B1 （1）若三角形 F0 F1 F2 是边长为 1 的等边三角形，求“果圆”的方程；
b （2）若 A1 A B1 B ，求 的取值范围； a
焦点分别为 F1 , F2 ，点 P 在双曲线的右支上，且
| PF1 | 4 | PF2 | ，则此双曲线的离心率 e 的最大值为
8 解一：由定义知 | PF1 | | PF2 | 2a ，又已知 | PF1 | 4 | PF2 | ，解得 PF1 a ， 3 2 PF2 a ， 在 PF1F2 中 ， 由 余 弦 定 理 ， 得 3
1 1 1 1 a 2 16 将 2 和 2 看着整体，解得 ， a b 1 1 b2 9
2 a y 2 x2 16 ∴ 2 即双曲线的标准方程为 1 。 16 9 b 9
点评：本题只要解得 a 2 , b 2 即可得到双曲线的方程，没有 必要求出 a , b 的值；在求解的过程中也可以用换元思想， 可能会看的更清楚。
x2 y2 1 有共同渐近线， (4) 与双曲线 9 16
且过点 (3,2 3) 。
人教版数学选修1-1《 圆锥曲线》课件
A. 椭圆 B.双曲线
C.线段 D.两条射线
3.平面内的点F是定直线L上的一个定点，则到 D ） 点F和直线L的距离相等的点的轨迹是 （ A. 一个点 B.一条线段 C. 一条射线 D.一条直线
4.平面内到点F（0，1）的距离与直线y=-1的距 以F(0,1)为焦点， 离相等的点的轨迹是____________________
Y p F1 0 F2 X
抛物线定义
平面内到一个定点F和一条定直线 l l(F不在l）的距离相等的点的轨迹 叫做抛物线。 N 定点F叫做抛物线的焦点。
M
· F ·
定直线l 叫做抛物线的准线。
︳ MF ︳ 即: 若 1, 则 点M的 轨 迹 是 抛 物 线 。 ︳ MN ︳
例1：已知B、C是两个定点，BC=4,且 ⊿ABC的周长等于10。求证：定点A在一个 椭圆上。 10 解：如图， BC 4, 且ABC的周长等于
V
O2
Q
F2
F1
M O1
在圆锥截面的两侧分别放置一球， 使它们都与截面相切（切点F1、 F2）， 且与圆锥面相切产生 圆 O 1、 O 2。 设M是平面与圆锥面的截线 上任意一点，过M点作圆锥 面的一条母线分别交两圆 于P、Q两点，则
P
MF1 MP, MF2 MQ
MF1 MF2 MP MQ PQ
椭圆的定义
平面内到两定 点F1 ，F2的距离之 和为常数(大于F1 F2距离）的点的轨 迹叫椭圆，两个定 点叫椭圆的焦点， 两焦点的距离叫做 椭圆的焦距
对于第二种情形平面与圆锥的截线由两支曲线 构成，交线上任意一点到平面内两个定点F1， F2的距离的差的绝对值等于常数．
一般的：
平面内到两个定点F1，F2的距 离的差的绝对值等于常数 （小于F1F2）的点的轨 迹叫做双曲线，两个定点 F1，F2叫做双曲线的叫焦点， 两焦点间的距离叫做双曲线 的焦距
圆锥曲线 课件
利用线性代数知识求解圆锥曲线问题
线性方程组
线性方程组是线性代数中的基础内容， 它可以用来求解与圆锥曲线相关的问题 。例如，通过解线性方程组，可以找到 满足特定条件的点的坐标。
VS
特征值与特征向量
特征值和特征向量在解析几何中也有广泛 应用。通过计算圆锥曲线的特征值和特征 向量，可以深入了解曲线的性质，从而更 好地解决相关问题。
椭圆离心率的范围是0<e<1，双曲线的离心率范围是e>1。
圆锥曲线的光学性质
01
光线经过圆锥曲线上的点时，其 方向会发生改变，这种现象叫做 圆锥曲线的光学性质。
02
光线经过椭圆时，会沿着椭圆的 主轴方向折射；经过双曲线时， 会沿着双曲线的副轴方向折射。
圆锥曲线的对称性
圆锥曲线具有对称性，即如果将圆锥 曲线沿其对称轴旋转180度，它仍然 与原来的曲线重合。
02 圆锥曲线的性质
焦点与准线
焦点
圆锥曲线上的点到曲线的两个焦 点的距离之和等于常数，这个常 数等于椭圆的长轴长，等于双曲 线的实轴长。
准线
与圆锥的母线平行的线，在平面 内与准线相交的直线与圆锥相切 于一点，这个点叫做切点。
离心率
离心率：是描述圆锥曲线形状的一个重要参数，它等于圆锥顶点到曲线的距离与 圆锥的半径之比。离心率越大，圆锥曲线越扁平，反之则越接近于球形。
双曲线的极坐标 方程
$frac{rho^2}{a^2} frac{rho^2}{b^2} = 1$
圆锥曲线在极坐 标下的表…
将圆锥曲线问题转化为极 坐标形式，便于理解和求 解。
利用极坐标求解圆锥曲线问题
利用极坐标求解圆锥曲线问题的步骤
首先将问题转化为极坐标形式，然后利用极坐标的性质和公式进行求解。
圆锥曲线课件
标准方程：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 (a > 0, b > 0)
1. 范围：双曲线在x轴上的范围是[±a, ±∞]，在y轴上 的范围是[0, b]。
3. 渐近线：双曲线有两条渐近线，斜率分别为y=±b/a 。
抛物线
定义：抛物线是指由平面内 与一个固定点F和一条直线l
的距离相等的点的轨迹。
极坐标系的基本概念
01
极坐标系是平面坐标系的一种形式，由极点、极轴和极径等构
成。
圆锥曲线在极坐标系中的表示
02
将圆锥曲线置于极坐标系中，探究其在极坐标系中的形式及其
性质。
极坐标与直角坐标的转换
03
掌握极坐标与直角坐标的转换公式，能够将极坐标方程转化为
直角坐标方程。
圆锥曲线在实际问题中的优化方案
实际问题的数学建模
折射定律
折射定律也是光学原理中的重要内容之一，它描述了 光线在不同介质之间传播时的偏转规律。在一些复杂 的光学系统中，如望远镜、显微镜等，需要对多个曲 面进行精确的设计和加工，而这些曲面常常是按照圆 锥曲线的形状进行设计和加工的。通过对这些曲面的 精确设计和加工，我们可以更好地控制光线的折射方 向和强度，从而制造出更好的光学器材和设备。
计算坐标
根据圆锥曲线的方程，计算出各个点的坐标 。
确定圆锥曲线的形状和大小
根据圆锥曲线的性质和特点，确定形状和大 小，选择合适的参数。
绘制图形
使用绘图软件或手绘，根据计算出的坐标绘 制圆锥曲线。
焦点半径法
01
02
03
确定焦点
根据圆锥曲线的类型和方 程，确定焦点位置。
计算半径
根据圆锥曲线的方程和焦 点的位置，计算出曲线的 半径。
圆锥曲线PPT优秀课件
b2 a2 c2 2c ， 显然有 PF2 F1F2 ，则 2c ，即 a a
即 e2 2e 1 0 ，解得 e 2 1
例 2．设椭圆的两个焦点分别为 F1、 、F2，过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P，若△F1PF2 为 等腰直角三角形，则椭圆的离心率是
x2 y 2 1。 所以，椭圆的标准方程为 8 2
2 2 y a b 5 ，且过点 ( 2,0) ； （4）焦点在 轴上，
y 2 x2 解析： （4）设椭圆方程为 2 2 1 ， a b
2 ∴ 2 1 ，∴ b2 2 ， b
又∵ a 2 b 2 5 ，∴ a 2 3 ，
y 2 x2 所以，椭圆方程为 1 ． 10 6
圆中一些几何要素 与椭圆方程间的关 系。
例 2．设椭圆的两个焦点分别为 F1、 、F2，过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P，若△F1PF2 为 等腰直角三角形，则椭圆的离心率是
x2 y 2 解一：设椭圆方程为 2 2 1 ，依题意， a b
焦点分别为 F1 , F2 ，点 P 在双曲线的右支上，且
| PF1 | 4 | PF2 | ，则此双曲线的离心率 e 的最大值为
8 解一：由定义知 | PF1 | | PF2 | 2a ，又已知 | PF1 | 4 | PF2 | ，解得 PF1 a ， 3 2 PF2 a ， 在 PF1F2 中 ， 由 余 弦 定 理 ， 得 3
MF1 a ex0
焦半径
MF1 a ey0 MF2 a ey0
MF2 a ex0
2．双曲线
3．抛物线
第三部份：典型例题
例1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
即 e2 2e 1 0 ，解得 e 2 1
例 2．设椭圆的两个焦点分别为 F1、 、F2，过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P，若△F1PF2 为 等腰直角三角形，则椭圆的离心率是
x2 y 2 1。 所以，椭圆的标准方程为 8 2
2 2 y a b 5 ，且过点 ( 2,0) ； （4）焦点在 轴上，
y 2 x2 解析： （4）设椭圆方程为 2 2 1 ， a b
2 ∴ 2 1 ，∴ b2 2 ， b
又∵ a 2 b 2 5 ，∴ a 2 3 ，
y 2 x2 所以，椭圆方程为 1 ． 10 6
圆中一些几何要素 与椭圆方程间的关 系。
例 2．设椭圆的两个焦点分别为 F1、 、F2，过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P，若△F1PF2 为 等腰直角三角形，则椭圆的离心率是
x2 y 2 解一：设椭圆方程为 2 2 1 ，依题意， a b
焦点分别为 F1 , F2 ，点 P 在双曲线的右支上，且
| PF1 | 4 | PF2 | ，则此双曲线的离心率 e 的最大值为
8 解一：由定义知 | PF1 | | PF2 | 2a ，又已知 | PF1 | 4 | PF2 | ，解得 PF1 a ， 3 2 PF2 a ， 在 PF1F2 中 ， 由 余 弦 定 理 ， 得 3
MF1 a ex0
焦半径
MF1 a ey0 MF2 a ey0
MF2 a ex0
2．双曲线
3．抛物线
第三部份：典型例题
例1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
圆锥曲线起始课 ppt课件
PPT课件
巍巍高塔
15
橄榄球
探照灯
旋转椭圆面 PPT课件
抛物面
16
光学性质
PPT课件
17
史海钩沉
杰尼西亚的耳朵
很久以前，叙拉古国暴君杰 尼西亚把一些囚犯关在西西里 的一个山洞里. 囚犯们多次密谋 越狱，但每次计划都被发现. 起 初大家认为有内奸，但始终未发 现告密者. 后来他们察觉到山洞 形状古怪，洞壁把囚犯们的话都 反射到狱卒耳朵里去了. 于是囚 犯们诅咒这个山洞为“杰尼西亚 的耳朵”.
生产、生活、建筑
中PPT课国件 国家大剧院
22
互动探究
1.绳子一端固定在平整的草地上，另一 端拴着一只羊，小羊活动的最大边界是什么 曲线?
2.绳子两端都固定在草地上(绳长大于两 固定点间的距离)，绳上套个小环，环上拴 一只羊，小羊活动的最大边界是什么曲线?
PPT课件
23
定义引出
平面内与两定点F1, F2的距离的和等于常数2a（大于 |F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。两个定点F1, F2叫做椭圆 的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距2c。
坐标系的基础上，用代数方法研究圆锥曲线．本章我
们继续采用必修课程《数学2》中研究直线与圆所用
的坐标法，在探索圆锥曲线几何特征的基础上，建立
它们的方程，通过方程研究它们的简单性质，并用坐
标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际
问题，进章引言
圆锥曲线具有怎样的几何特征？如何研究圆锥曲
笛卡尔
PPT课件
笛卡尔手稿
30
温故知新
1.直线及其方程
y
点斜式
y y1 k (x x1)
斜截式
o
x y kx b
圆锥曲线定义(适合公开课) PPT
•圆锥曲线与方程
第三章Biblioteka 2019/09/301 圆锥曲线 前世今生
•圆锥面
•定义
两直线相交，其中一条直线
以另外一条直线为旋转轴进
行旋转所形成的曲面，称为
圆锥面。
也可以理解为两个全等的圆 锥顶点重合，高线重合，相 对放置时，两个侧面所形成 的的整体。
母线和圆锥的夹角为半顶角α。
•圆锥曲线
平面截圆锥面所得到的曲线，叫做圆锥曲线。 根据平面与圆锥轴线所成的角θ不同，所截圆锥曲线也不同。
•圆
•椭圆
大家应该也有点累了，稍作休息
大家有疑问的，可以询问和交流
•抛物线
•双曲线
2 圆锥曲线 平面定义
•圆锥曲线
•圆
平面内，到一个定点的距离为定长的点构成的集
合.
椭圆 平面内，到两个定点的距离之和为定长（大于两 定点之间的距离）的点构成的集合.
抛物线 平面内，到一个定点的距离与到一条定直线（不 过定点）的距离相等的点构成的集合.
双曲线 平面内，到两个定点的距离之差为定长（小于两 定点之间的距离）的点构成的集合.
•椭圆
•抛物线
•双曲线
3 圆锥曲线 光学性质
•椭圆
一个焦点处出发的 光，经反射后汇聚 到另一个焦点。
•抛物线
焦点处出发的光， 经反射后变成平 行光。
•双曲线
一个焦点处出发的光， 经反射后看上去就好像 是从另一个焦点处出发 的光。
其实，这哪里是什么悲伤的双曲线？ •悲伤的双曲线 渐近线，越走越近，又给了彼此空间！
词、曲、唱：王渊超 如果我是双曲线，恩~你就是那渐近线 如果我是反比例函数，你就是那坐标轴 虽然我们有缘，能够生在同一个平面 然而我们又无缘，恩~慢慢长路无交点 为何看不见，等式成立要条件 难到正如书上说的，无限接近不能达到 如果我是双曲线，恩~你就是那渐近线
第三章Biblioteka 2019/09/301 圆锥曲线 前世今生
•圆锥面
•定义
两直线相交，其中一条直线
以另外一条直线为旋转轴进
行旋转所形成的曲面，称为
圆锥面。
也可以理解为两个全等的圆 锥顶点重合，高线重合，相 对放置时，两个侧面所形成 的的整体。
母线和圆锥的夹角为半顶角α。
•圆锥曲线
平面截圆锥面所得到的曲线，叫做圆锥曲线。 根据平面与圆锥轴线所成的角θ不同，所截圆锥曲线也不同。
•圆
•椭圆
大家应该也有点累了，稍作休息
大家有疑问的，可以询问和交流
•抛物线
•双曲线
2 圆锥曲线 平面定义
•圆锥曲线
•圆
平面内，到一个定点的距离为定长的点构成的集
合.
椭圆 平面内，到两个定点的距离之和为定长（大于两 定点之间的距离）的点构成的集合.
抛物线 平面内，到一个定点的距离与到一条定直线（不 过定点）的距离相等的点构成的集合.
双曲线 平面内，到两个定点的距离之差为定长（小于两 定点之间的距离）的点构成的集合.
•椭圆
•抛物线
•双曲线
3 圆锥曲线 光学性质
•椭圆
一个焦点处出发的 光，经反射后汇聚 到另一个焦点。
•抛物线
焦点处出发的光， 经反射后变成平 行光。
•双曲线
一个焦点处出发的光， 经反射后看上去就好像 是从另一个焦点处出发 的光。
其实，这哪里是什么悲伤的双曲线？ •悲伤的双曲线 渐近线，越走越近，又给了彼此空间！
词、曲、唱：王渊超 如果我是双曲线，恩~你就是那渐近线 如果我是反比例函数，你就是那坐标轴 虽然我们有缘，能够生在同一个平面 然而我们又无缘，恩~慢慢长路无交点 为何看不见，等式成立要条件 难到正如书上说的，无限接近不能达到 如果我是双曲线，恩~你就是那渐近线
圆锥曲线的发展历史ppt课件
外界光源常选用高压氙气灯。但如何把氙气发 出来的光，最大限度地集中到激光材料上去吗？
利用椭圆，用反光性能非常好的材料做成一个 椭圆形柱面的聚光器，然后把棒状激光材料和 氙灯，分别放在椭圆的两个焦点处，使氙灯发 出来的光，经过椭圆形柱面的反射，更好地集 中在激光材料上，从而得到更好的激发
23
2012/12/10
18
2012/12/10
卡塞格林 反射望远镜
1672年，卡塞格林发明了另一种天文望远镜，他的设计 方案极为巧妙
主镜仍是抛物面，但第二个反射镜换成了一个双曲面的凸 面镜，这两个反射镜的焦点重合，这样光线经抛物面反射 后汇聚到双曲面的一个焦点，在汇聚前右由双曲面反射到 双曲面的另一个焦点，在哪里聚焦成像。在成像处附近正 是镜筒底部的小窗口，在那里安置目镜。
21
2012/12/10
电影放映机
电影放映机的聚光灯有一个反射镜，它的形状是 旋转椭圆面（椭圆绕两焦点所在的线旋转一周所 得曲面，它具有与椭圆相同的光学性质），为了 使片门（电影胶片通过的地方）出获得最强的光 线，可将灯丝F2与片门F1置于椭圆的两个焦点处。
22
2012/12/10
高压氙气灯
各种激光材料需要在外界强光的刺激下，才能 发出激光。
1
2012/12/10
圆锥曲线的形成
用一个平面截圆锥面所得的曲线形成圆锥曲线
2
2012/12/10
圆锥曲线的历史
两千多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并获得了 大量的成果。
古希腊数学家阿波罗尼（Apollonius)(约公元前262-前190） 采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线。著有《圆锥曲线》 一书，全书共八卷，含487个命题，古希腊几何的登峰造极之 作.
利用椭圆，用反光性能非常好的材料做成一个 椭圆形柱面的聚光器，然后把棒状激光材料和 氙灯，分别放在椭圆的两个焦点处，使氙灯发 出来的光，经过椭圆形柱面的反射，更好地集 中在激光材料上，从而得到更好的激发
23
2012/12/10
18
2012/12/10
卡塞格林 反射望远镜
1672年，卡塞格林发明了另一种天文望远镜，他的设计 方案极为巧妙
主镜仍是抛物面，但第二个反射镜换成了一个双曲面的凸 面镜，这两个反射镜的焦点重合，这样光线经抛物面反射 后汇聚到双曲面的一个焦点，在汇聚前右由双曲面反射到 双曲面的另一个焦点，在哪里聚焦成像。在成像处附近正 是镜筒底部的小窗口，在那里安置目镜。
21
2012/12/10
电影放映机
电影放映机的聚光灯有一个反射镜，它的形状是 旋转椭圆面（椭圆绕两焦点所在的线旋转一周所 得曲面，它具有与椭圆相同的光学性质），为了 使片门（电影胶片通过的地方）出获得最强的光 线，可将灯丝F2与片门F1置于椭圆的两个焦点处。
22
2012/12/10
高压氙气灯
各种激光材料需要在外界强光的刺激下，才能 发出激光。
1
2012/12/10
圆锥曲线的形成
用一个平面截圆锥面所得的曲线形成圆锥曲线
2
2012/12/10
圆锥曲线的历史
两千多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并获得了 大量的成果。
古希腊数学家阿波罗尼（Apollonius)(约公元前262-前190） 采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线。著有《圆锥曲线》 一书，全书共八卷，含487个命题，古希腊几何的登峰造极之 作.
圆锥曲线PPT课件
2021/3/7
CHENLI
26
(1)若设动点M到F1，F2的距离之和为2a，则 当0<F1F2<2a时，动点M的轨迹是椭圆；当 F1F2＝2a>0时，动点M的轨迹是线段F1F2； 当0<2a<F1F2时，动点M的轨迹不存在．
(2)椭圆的定义可以表述为PF1＋PF2＝ 2a(0<F1F2<2a)，它是点P在椭圆上的充要条 件．
2021/3/7
CHENLI
19
抛物线的定义
根据抛物线的定义判断动点轨迹是否为抛物 线，关键看两点：
(1)定点是否在定直线l上； (2)到定Байду номын сангаас的距离和到定直线的距离是否相等 ．
2021/3/7
CHENLI
20
例3 若动圆与定圆(x－2)2＋y2＝1外切，又 与直线x＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹是 ________．
2021/3/7
CHENLI
16
例2 (本题满分14分)曲线上的点到两个定点 F1(－5,0)，F2(5,0)的距离之差的绝对值分别 等于(1)6，(2)10，(3)12.若满足条件的曲线 存在，则是什么样的曲线；若不存在，请说 明理由．
【思路点拨】 本题中已知条件与两定点距 离差的绝对值有关，因此可结合双曲线定义 求解．
2021/3/7
CHENLI
14
自我挑战1 平面内有定点A、B及动点P，命 题甲：|PA|＋|PB|是定值，命题乙：点P的轨 迹是以A、B为焦点的椭圆，那么甲是乙的 ________条件．
解析：由椭圆定义知，甲 乙且乙⇒甲．
答案：必要不充分
2021/3/7
CHENLI
15
双曲线的定义
圆锥曲线与方程 课件 (共59张PPT)
（2） 、已知点 M 到点 F(4,0)的距离比它到直线 l：x＋5＝0 的距离小 1，求点 M 的轨迹方程.
解析： 如图， 设点 M 的坐标为(x， y)， 由于点 M 到点 F(4,0) 的距离比它到直线 l：x＋5 ＝0 的距离小 1，则点 M 到点 F(4,0) 的距离与它到直线 l′：x＋4＝0 的距离相等，根据抛物线的定 义可知点 M 的轨迹是以 F 为焦点，直线 l′为准线的抛物线， p 且 ＝4，即 p＝8. ∴点 M 的轨迹方程为 y2＝16x. 2
归纳总结
求轨迹方程时，如果能够准确把握一些曲线的定义，先判断 曲线类型再求方程，往往对解题起到事半功倍的效果．
学以致用
x2 y2 P 是椭圆上任 F2 是椭圆 2＋ 2＝1(a>b>0)的两焦点， (1)F1、 a b 垂足为点 Q， 从任一焦点引∠F1PF2 的外角平分线的垂线， 一点， 则点 Q 的轨迹为( A．圆 C．双曲线 ) B．椭圆 D．抛物线
问题探究 探究2： 直线与圆锥曲线的位置关系
例 2、 （1）设直线 l ：y ＝kx ＋1，抛物线 C：y2＝4x，当 k 为何值时，l 与 C 相切、相交、相离.
y＝kx＋1 解析 联立方程组 2 y ＝4x 整理得 k2x2＋(2k－4)x＋1＝0. 当 k≠0 时，方程 k2x2＋(2k－4)x＋1＝0 为一元二次方程． ∴Δ＝(2k－4)2－4k2＝16(1－k)． ，消去 y，
∵|BC|＝6，∴|BM|＋|CM|＝6. 又∵动圆过点 A，∴|CM|＝|AM|，则|BM|＋|AM|＝6>4. 根据椭圆的定义知，点 M 的轨迹是以点 B(－2,0) 和点 A(2,0)为 焦点的椭圆，其中，2a＝6,2c＝4，∴a＝3，c＝2. ∴b2＝a2－c2＝5. x2 y2 故所求圆心的轨迹方程为 ＋ ＝1. 9 5
圆锥曲线方程PPT教学课件
课堂互动讲练
设点H(x，y)是椭圆上的一点，则 |HN|2＝x2＋(y－3)2 ＝(2b2－2y2)＋(y－3)2 ＝－(y＋3)2＋2b2＋18(－b≤y≤b)． ①若0<b<3，则－b>－3， 当y＝－b时，|HN|2有最大值b2＋6b＋9.
课堂互动讲练
由题意知：b2＋6b＋9＝50，b＝5 2 －3，这与 0<b<3 矛盾．
而本题易忽略y的范围而不对y的 取值进行讨论．
课堂互动讲练
互动探究
在例 3 中当离心率 e 取得最小值
时，点 N(0,3)到椭圆上的点的最远距离为
5 2，求此时椭圆的方程．
解：当离心率 e 取最小值 22时，
c＝ a
22⇒c＝
22a，a2－b2＝c2⇒a2－b2
＝12a2⇒a2＝2b2， ∴椭圆方程可表示为2xb22＋by22＝1，
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命题探究
2.预计今后高考命题有以下特点： （1）以选择或填空题考查圆锥曲线的 定义和性质，难度为中档题，（2）以解答 题形式重点考查圆锥曲线的综合问题，多与 直线结合进行命题，难度较大，文科多侧重 于椭圆，而理科侧重于椭圆和抛物线.
第1课时 椭圆
基础知识梳理
1．椭圆的定义 离的和平等面于内常动数点2Pa到，两当个2定a＞点|FF11F，2|F时2的，距动 点P的轨迹是椭圆；当 2a＝|F1F2| 时，轨 迹为线段F1F2；当2a＜|F1F2|时，轨迹不 存在．
课堂互动讲练
考点二
椭圆的定义
由椭圆的定义可知在平面内与两 个定点F1，F2的距离之和等于常数(大 于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．可以 将椭圆上的点到两个焦点的距离进行
转化，从而解决有关线段长度的问
圆锥曲线定义、共31页PPT
圆锥曲线定义、
16、自己选择的路、跪着也要把它走 完。 17、一般情况下)不想三年以后的事， 只想现 在的事 。现在 有成就 ，以后 才能更 辉煌。
18、敢于向黑暗宣战的人，心里必须 充满光 明。 19、学习的关键--重复。
20、懦弱的人只会裹足不前，莽撞的 人只能 引为烧 身，只 有真正 勇敢的 人才能 所向披 靡。
பைடு நூலகம் 谢谢你的阅读
❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
16、自己选择的路、跪着也要把它走 完。 17、一般情况下)不想三年以后的事， 只想现 在的事 。现在 有成就 ，以后 才能更 辉煌。
18、敢于向黑暗宣战的人，心里必须 充满光 明。 19、学习的关键--重复。
20、懦弱的人只会裹足不前，莽撞的 人只能 引为烧 身，只 有真正 勇敢的 人才能 所向披 靡。
பைடு நூலகம் 谢谢你的阅读
❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
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| MF1 MF2 | 2a (0 2a F1F2 )
圆锥曲线的发展史：
3．长期停滞
又经过了500年，到了3世纪，希腊数学家帕普 斯在他的著作《汇篇》中，才完善了关于圆锥曲线 的统一定义，并对这一定理进行了证明。这时，圆 锥曲线的定义和性质才比较完整地建立起来了.
在这之后的 13 个世纪里，整个数学界对圆锥 曲线的研究几乎没有什么进展.
圆锥曲线的发展史： 椭圆:
刘徽（约公元225—295, 魏晋期间伟大的数学家， 他的杰作《九章算术》和 《海岛算经》，是中国最 宝贵的数学遗产.）
动手实验
画椭圆
椭圆的定义:
一般地，平面内到两个定点F1 ，F2的பைடு நூலகம்离的和等
于常数（大于F1 F2）的点的轨迹叫做椭圆，两个定点
F1 ，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的
圆锥曲线的发展史：
4．有所突破
德国数学家开普勒继承了哥白尼 的日心说，揭示出行星按椭圆轨道绕 太阳运行，是圆锥曲线摆脱圆锥而成 为自然界中物体运动的普遍形式.
开普勒
(1571-1630,德国天文 学家、数学家 )
圆锥曲线的发展史：
4．有所突破
伽利略得出斜抛运动的轨道是抛物线， 突破了静态圆锥曲线的观念.人们开始感到古 希腊人的证明方法太缺乏一般性，几乎每个 定理都是要想出一个特殊的证明方法.于是，
且AB，BC，AC成等差数列.试问：点A在一个什
么样的圆锥曲线上运动？说明理由
解: 根据条件有AB+AC=2BC, 即AB+AC=12， 即动点A到定点B,C的距离之和为定值12， 且12>6＝BC， 所以点A在以B,C为焦点的一个椭圆上运动.
研究
思考:
当平面上的点M满足MF1 MF2 常数 （F1，F2为平面上的两个定点）时，
现构了成椭圆圆O的1和特圆性O. 2. 设点M是平面与圆锥面的截线上任一点，
Q O2
过M点作圆锥面的一条母线分别交圆O1和圆O2 于P，Q两点，
F1
F2
因为过球外一点所作球的切线的长相等，则 M O1
MF1=MP， MF2=MQ， 故 MF1+MF2=MP+MQ=PQ=常数
P
例.已知∆ABC中，B（-3，0），C（3，0），
0
< < 2
=
（1）椭圆
（2）双曲线
（3）抛物线
椭圆、双曲线及抛物线统称为圆锥曲线.
圆锥曲线的发展史： 椭圆:
阿波罗尼（约公元前 262～190年，古希腊数 学家，与欧几里得、阿 基米德齐名.）
椭圆上任意一点M有 | MF1 | | MF2 | 常数，（F1, F2为定点， 后人称为焦点，常数| F1F2 |）
用一个不过圆锥面顶点的平面去截一个 圆锥面，当平面与圆锥面的轴垂直时，截线 （平面与圆锥面的交线）是一个圆．
思考：当改变截面与圆锥面的轴的相对 位置时， 还能得到哪些不同的截线？
探讨 用一个不过圆锥面顶点的平面去截一个圆锥面，当平
面与圆锥面的所成角 与轴截面顶角的半角 大小关系不
同时，截线的不同情况如下：
当时，希腊人对平面曲线还缺乏认识， 上述三种曲线须以“圆锥曲面为媒介得 到，这就是圆锥曲线的“雏形”.
圆锥曲线的发展史：
2．奠基工作
阿波罗尼的著作《圆锥曲线论》与欧几 里得的《几何原本》同被誉为古希腊几 何登峰造极之作 ，它将圆锥曲线的性
质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余 地.
阿波罗尼（约公元前 262～190年，古希腊数 学家，与欧几里得、阿 基米德齐名.）
MF1 MF2 常数
双曲线的一支
MF2 MF1 常数
双曲线的另一支
双曲线的定义:
一般地，平面内到两个定点F1 ，F2的距离的差的绝 对值等于常数（小于F1 F2的正数）的点的轨迹叫做双曲 线，两个定点F1 ，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距 离叫做双曲线的焦距.
可以用数学表达式来体现:
欧几里得（公元前330-公 高斯（1777年-1855年， 元前275，古希腊数学家） 德国数学家，物理学家）
圆锥曲线的发展史：
1．最初发现
公元前4世纪古希腊数学家梅内克缪斯在在研 究“立方倍积”问题 ，用平面截不同的圆锥，发 现了圆锥曲线 .
梅内克缪斯（公元前 375-公元前325，古 希腊数学家）
焦距.
可以用数学表达式来体现:
MF1 MF2 2a (2a F1F2 )
研究
问题：如何解释或证明平面截出的椭圆
就是我们刚刚定义的椭圆呢？
Dandelin在截面的两侧分别放置一个球，
V
面使 且和它与1截9们圆世面都锥纪均与面初相截相，切面切法的相，国两切两数个（球学球切与家（点圆DDaa分锥nn别面ddeel为的liinn公F利双1 共用球，点与）F2分圆，）别锥发，
M将是什么样的轨迹呢？
例1.如图，取 一条拉链，打 开它的一部分， 在一边减掉一 段，然后把两 头分别固定在
点两点，随着
拉链逐渐拉开 或者闭拢，拉 链头所经过的 点就画出一条 曲线.
例1.如图，取一条拉链，打开它的一部分，在拉开 的两边上各选择一点，分别固定在点F1 ，F2处， 随着拉链逐渐拉开或者闭拢，M所经过的点就画出 一条曲线，试问：这条曲线是什么样的圆锥曲线？ 试说明理由.
总而言之，在古希腊对圆锥曲线的 研究就有一个十分清楚的轮廓，只是由 于没有坐标系统，所以在表达形式上存 在着不容忽视的缺陷.
实验及探讨
思考：灯光发出的光线在纸板留下的类似什么曲 线？试解释以上现象.
探讨
问题：用过顶点的平面截圆锥面， 可能得到哪些曲线？
问题：用不过顶点的平面截圆锥面， 可能得到哪些曲线？
圆锥曲线起始课课件
“嫦娥一号”探月变轨轨道图
火电厂及核电站的大型冷却塔
高中数学 选修2-1 第三章
conic section
南昌二中 高鹏 gaopeng83@
复习和准备知识
1.圆锥
2.圆锥面
母线
圆锥的母线一样长
圆锥曲线的发展史：
1．最初发现
早在公元前5世纪-公元前4世纪，古希腊巧辩学派的数 学家提出了“化圆为方”、“立方倍积”和“三等分任意角” 三大不可能尺规作图问题. 化圆为方问题——作一个正方形使其具有给定圆的面积． 立方倍积问题——作一个立方体使其具有给定立方体两倍体积． 三等分任意角问题——把一个给定的角分为三个相等的角．
圆锥曲线的发展史：
3．长期停滞
又经过了500年，到了3世纪，希腊数学家帕普 斯在他的著作《汇篇》中，才完善了关于圆锥曲线 的统一定义，并对这一定理进行了证明。这时，圆 锥曲线的定义和性质才比较完整地建立起来了.
在这之后的 13 个世纪里，整个数学界对圆锥 曲线的研究几乎没有什么进展.
圆锥曲线的发展史： 椭圆:
刘徽（约公元225—295, 魏晋期间伟大的数学家， 他的杰作《九章算术》和 《海岛算经》，是中国最 宝贵的数学遗产.）
动手实验
画椭圆
椭圆的定义:
一般地，平面内到两个定点F1 ，F2的பைடு நூலகம்离的和等
于常数（大于F1 F2）的点的轨迹叫做椭圆，两个定点
F1 ，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的
圆锥曲线的发展史：
4．有所突破
德国数学家开普勒继承了哥白尼 的日心说，揭示出行星按椭圆轨道绕 太阳运行，是圆锥曲线摆脱圆锥而成 为自然界中物体运动的普遍形式.
开普勒
(1571-1630,德国天文 学家、数学家 )
圆锥曲线的发展史：
4．有所突破
伽利略得出斜抛运动的轨道是抛物线， 突破了静态圆锥曲线的观念.人们开始感到古 希腊人的证明方法太缺乏一般性，几乎每个 定理都是要想出一个特殊的证明方法.于是，
且AB，BC，AC成等差数列.试问：点A在一个什
么样的圆锥曲线上运动？说明理由
解: 根据条件有AB+AC=2BC, 即AB+AC=12， 即动点A到定点B,C的距离之和为定值12， 且12>6＝BC， 所以点A在以B,C为焦点的一个椭圆上运动.
研究
思考:
当平面上的点M满足MF1 MF2 常数 （F1，F2为平面上的两个定点）时，
现构了成椭圆圆O的1和特圆性O. 2. 设点M是平面与圆锥面的截线上任一点，
Q O2
过M点作圆锥面的一条母线分别交圆O1和圆O2 于P，Q两点，
F1
F2
因为过球外一点所作球的切线的长相等，则 M O1
MF1=MP， MF2=MQ， 故 MF1+MF2=MP+MQ=PQ=常数
P
例.已知∆ABC中，B（-3，0），C（3，0），
0
< < 2
=
（1）椭圆
（2）双曲线
（3）抛物线
椭圆、双曲线及抛物线统称为圆锥曲线.
圆锥曲线的发展史： 椭圆:
阿波罗尼（约公元前 262～190年，古希腊数 学家，与欧几里得、阿 基米德齐名.）
椭圆上任意一点M有 | MF1 | | MF2 | 常数，（F1, F2为定点， 后人称为焦点，常数| F1F2 |）
用一个不过圆锥面顶点的平面去截一个 圆锥面，当平面与圆锥面的轴垂直时，截线 （平面与圆锥面的交线）是一个圆．
思考：当改变截面与圆锥面的轴的相对 位置时， 还能得到哪些不同的截线？
探讨 用一个不过圆锥面顶点的平面去截一个圆锥面，当平
面与圆锥面的所成角 与轴截面顶角的半角 大小关系不
同时，截线的不同情况如下：
当时，希腊人对平面曲线还缺乏认识， 上述三种曲线须以“圆锥曲面为媒介得 到，这就是圆锥曲线的“雏形”.
圆锥曲线的发展史：
2．奠基工作
阿波罗尼的著作《圆锥曲线论》与欧几 里得的《几何原本》同被誉为古希腊几 何登峰造极之作 ，它将圆锥曲线的性
质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余 地.
阿波罗尼（约公元前 262～190年，古希腊数 学家，与欧几里得、阿 基米德齐名.）
MF1 MF2 常数
双曲线的一支
MF2 MF1 常数
双曲线的另一支
双曲线的定义:
一般地，平面内到两个定点F1 ，F2的距离的差的绝 对值等于常数（小于F1 F2的正数）的点的轨迹叫做双曲 线，两个定点F1 ，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距 离叫做双曲线的焦距.
可以用数学表达式来体现:
欧几里得（公元前330-公 高斯（1777年-1855年， 元前275，古希腊数学家） 德国数学家，物理学家）
圆锥曲线的发展史：
1．最初发现
公元前4世纪古希腊数学家梅内克缪斯在在研 究“立方倍积”问题 ，用平面截不同的圆锥，发 现了圆锥曲线 .
梅内克缪斯（公元前 375-公元前325，古 希腊数学家）
焦距.
可以用数学表达式来体现:
MF1 MF2 2a (2a F1F2 )
研究
问题：如何解释或证明平面截出的椭圆
就是我们刚刚定义的椭圆呢？
Dandelin在截面的两侧分别放置一个球，
V
面使 且和它与1截9们圆世面都锥纪均与面初相截相，切面切法的相，国两切两数个（球学球切与家（点圆DDaa分锥nn别面ddeel为的liinn公F利双1 共用球，点与）F2分圆，）别锥发，
M将是什么样的轨迹呢？
例1.如图，取 一条拉链，打 开它的一部分， 在一边减掉一 段，然后把两 头分别固定在
点两点，随着
拉链逐渐拉开 或者闭拢，拉 链头所经过的 点就画出一条 曲线.
例1.如图，取一条拉链，打开它的一部分，在拉开 的两边上各选择一点，分别固定在点F1 ，F2处， 随着拉链逐渐拉开或者闭拢，M所经过的点就画出 一条曲线，试问：这条曲线是什么样的圆锥曲线？ 试说明理由.
总而言之，在古希腊对圆锥曲线的 研究就有一个十分清楚的轮廓，只是由 于没有坐标系统，所以在表达形式上存 在着不容忽视的缺陷.
实验及探讨
思考：灯光发出的光线在纸板留下的类似什么曲 线？试解释以上现象.
探讨
问题：用过顶点的平面截圆锥面， 可能得到哪些曲线？
问题：用不过顶点的平面截圆锥面， 可能得到哪些曲线？
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火电厂及核电站的大型冷却塔
高中数学 选修2-1 第三章
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1.圆锥
2.圆锥面
母线
圆锥的母线一样长
圆锥曲线的发展史：
1．最初发现
早在公元前5世纪-公元前4世纪，古希腊巧辩学派的数 学家提出了“化圆为方”、“立方倍积”和“三等分任意角” 三大不可能尺规作图问题. 化圆为方问题——作一个正方形使其具有给定圆的面积． 立方倍积问题——作一个立方体使其具有给定立方体两倍体积． 三等分任意角问题——把一个给定的角分为三个相等的角．