圆锥曲线的参数方程(有答案)

1．如果双曲线 (θ为参数)上一点P到它的右焦点的距离是8，那么P到它的左焦点距离是________．
解析：由双曲线参数方程可知a＝1，故P到它左焦点的距离|PF|＝10或|PF|＝6.答案：10或6
[例1]已知实数x，y满足 ＋ ＝1，求目标函数z＝x－2y的最大值与最小值．
[解]椭圆 ＋ ＝1的参数方程为 (φ为参数)．
代入目标函数得z＝5cosφ－8sinφ＝ cos(φ＋φ0)＝ cos(φ＋φ0)(tanφ0＝ )．
所以目标函数zmin＝－ ，zmax＝ .
1．已知椭圆 ＋ ＝1，点A的坐标为(3,0)．在椭圆上找一点P，使点P与点A的距离最大．
[证明]设M(2cosφ，sinφ)，φ为参数，B1(0，－1)，B2(0,1)．则MB1的方程：y＋1＝ ·x，
令y＝0，则x＝ ，即|OP|＝ .MB2的方程：y－1＝ x，
令y＝0，则x＝ .∴|OQ|＝ .∴|OP|·|OQ|＝ × ＝4.即|OP|·|OQ|＝4为定值．
练习：
1．椭圆 (θ为参数)，若θ∈[0,2π]，则椭圆上的点(－a,0)对应的θ＝()
2．已知椭圆方程是 ＋ ＝1，点A(6,6)，P是椭圆上一动点，求线段PA中点Q的轨迹方程．
解：设P(4cosθ，3sinθ)，Q(x，y)，则有
即 (θ为参数)∴9(x－3)2＋16(y－3)2＝36，即为所求．
3．设F1、F2分别为椭圆C： ＋ ＝1(a＞b＞0)的左、右两个焦点．
(1)若椭圆C上的点A(1， )到F1，F2的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；
x＝ ，y＝ ，所以x＋ ＝cosθ， ＝sinθ.消去θ，得(x＋ )2＋ ＝1.
即为线段F1P中点的轨迹方程.
题型三、椭圆参数方程的应用：证明定值
[例3]已知椭圆 ＋y2＝1上任一点M(除短轴端点外)与短轴两端点B1、B2的连线分别交x轴于P、Q两点，求证：|OP|·|OQ|为定值．
[思路点拨]利用参数方程，设出点M的坐标，并由此得到直线MB1，MB2的方程，从而得到P、Q两点坐标，求出|OP|，|OQ|，再求|OP|·|OQ|的值．
(2)中心在原点，焦点在y轴上的双曲线 － ＝1的参数方程是
2．抛物线的参数方程
(1)抛物线y2＝2px的参数方程为 t∈R.
(2)参数t的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．
题型一、双曲线、抛物线参数方程的基本问题
[例1](1)双曲线 (α为参数)的焦点坐标是________．
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ຫໍສະໝຸດ Baidu教师
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课题
24圆锥曲线的参数方程
一、椭圆的参数方程
(1)中心在原点，焦点在x轴上的椭圆 ＋ ＝1的参数方程是 (φ是参数)，规定参数φ的取值范围是__[0,2π)_____．
(2)中心在(h，k)的椭圆普通方程为 ＋ ＝1，则其参数方程为 (φ是参数)．
题型一、椭圆的参数方程的应用：求最值
[思路点拨]由条件可知，A，B两点坐标已知，点C在椭圆上，故可设出点P坐标的椭圆参数方程形式，由三角形重心坐标公式求解．
[解]由题意知A(6,0)、B(0,3)．由于动点C在椭圆上运动，故可设动点C的坐标为(6cosθ，3sinθ)，点G的坐标设为(x，y)，由三角形重心的坐标公式可得
即 消去参数θ得到 ＋(y－1)2＝1.
2x＋ y＝4cosα＋3sinα＝5sin(α＋φ)，其中sinφ＝ ，cosφ＝ .
当sin(α＋φ)＝1时，2x＋ y有最大值为5.答案：5
5．已知两曲线参数方程分别为 (0≤θ<π)和 (t∈R)，求它们的交点坐标．
解：将 (0≤θ＜π)化为普通方程得： ＋y2＝1(0≤y≤1，x≠－ )，
(2)设点P是(1)中所得椭圆上的动点，求线段F1P的中点的轨迹方程．
解：(1)由椭圆上点A到F1，F2的距离之和是4，得2a＝4，即a＝2.
又点A(1， )在椭圆上，因此 ＋ ＝1，得b2＝3，于是c2＝a2－b2＝1，
所以椭圆C的方程为 ＋ ＝1，焦点坐标为F1(－1,0)，F2(1,0)．
(2)设椭圆C上的动点P的坐标为(2cosθ， sinθ)，线段F1P的中点坐标为(x，y)，则
3．已知椭圆的参数方程 (t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t＝ ，点O为原点，则直线OM的斜率为()A. B．－ C．2 D．－2
解析：点M的坐标为(1,2 )，∴kOM＝2 .答案：C
4．实数x，y满足3x2＋4y2＝12，则2x＋ y的最大值是________．
解析：因为实数x，y满足3x2＋4y2＝12，所以设x＝2cosα，y＝ sinα，则
(2)将方程 化为普通方程是________．
[思路点拨](1)可先将方程化为普通方程求解；(2)利用代入法消去t.
[解析](1)将 化为 － ＝1，可知双曲线焦点在y轴，且c＝ ＝4 ，故焦点坐标是(0，±4 )．(2)由y＝ ＝ ＝tan2t，将tant＝x代入上式，得y＝x2，即为所求方程．
[答案](1)(0，±4 )；(2)y＝x2.
解：椭圆的参数方程为 (θ为参数)．设P(5cosθ，4sinθ)，则
|PA|＝ ＝ ＝ ＝|3cosθ－5|≤8，
当cosθ＝－1时，|PA|最大．此时，sinθ＝0，点P的坐标为(－5,0).
题型二、椭圆参数方程的应用：求轨迹方程
[例2]已知A，B分别是椭圆 ＋ ＝1的右顶点和上顶点，动点C在该椭圆上运动，求△ABC的重心G的轨迹方程．
A．πB. C．2πD. π
解析：∵点(－a,0)中x＝－a，∴－a＝acosθ，∴cosθ＝－1，∴θ＝π.答案：A
2．把椭圆的普通方程9x2＋4y2＝36化为参数方程是()
A. B. C. D. (φ为参数)
解析：把椭圆的普通方程9x2＋4y2＝36化为 ＋ ＝1，则b＝2，a＝3，其参数方程为 答案：B
将x＝ t2，y＝t代入得： t4＋t2－1＝0，
解得t2＝ ，∴t＝ (∵y＝t≥0)，x＝ t2＝ · ＝1，∴交点坐标为(1， )．
二、双曲线的参数方程 抛物线的参数方程
1．双曲线的参数方程
(1)中心在原点，焦点在x轴上的双曲线 － ＝1的参数方程是 规定参数φ的取值范围为φ∈[0,2π)且φ≠ ，φ≠ .