弧长和扇形面积优秀课件
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《弧长和扇形面积》课件
面积为______
3
解：∵△ABC中，∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°，
∵△OBD，△OCE是等腰三角形，
∴∠BDO+∠CEO=∠ABC+∠ACB=120°，
∴∠BOD+∠COE=360°-(∠BDO+∠CEO)-(∠ABC+∠ACB)
=360°-120°-120°=12DB= × 3 × 3
2
60×32
3−
360
=
9 3
3
− .
2
2
记作:扇形OCED
新知探究 知识点1
S =πR2
分别计算下图中各扇形的面积
R
180° O
2
180
R
R 2
360
2
R 90°
O
2
90
R
R 2
360
4
45°
R
O
2
45
R
R 2
360
8
n°R
O
2
n
n
R
R 2
360
360
扇形面积公式：
半径为R 的圆中，圆心角为n°的扇形的面积是
解得
135×4²
R=4，∴此扇形的面积为
=6π(cm2).
360
随堂练习
1.如图，实线部分是由两条等弧组成的游泳池，且这两条弧所在
的圆的半径均为15 m.若每条弧所在的圆都经过另一个圆的圆心，
则游泳池的周长是 40π m.
解：如图，连接O1O2，CO1，CO2，DO1，DO2，
∵O1O2= CO1 = CO2 =15m，
3
解：∵△ABC中，∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°，
∵△OBD，△OCE是等腰三角形，
∴∠BDO+∠CEO=∠ABC+∠ACB=120°，
∴∠BOD+∠COE=360°-(∠BDO+∠CEO)-(∠ABC+∠ACB)
=360°-120°-120°=12DB= × 3 × 3
2
60×32
3−
360
=
9 3
3
− .
2
2
记作:扇形OCED
新知探究 知识点1
S =πR2
分别计算下图中各扇形的面积
R
180° O
2
180
R
R 2
360
2
R 90°
O
2
90
R
R 2
360
4
45°
R
O
2
45
R
R 2
360
8
n°R
O
2
n
n
R
R 2
360
360
扇形面积公式：
半径为R 的圆中，圆心角为n°的扇形的面积是
解得
135×4²
R=4，∴此扇形的面积为
=6π(cm2).
360
随堂练习
1.如图，实线部分是由两条等弧组成的游泳池，且这两条弧所在
的圆的半径均为15 m.若每条弧所在的圆都经过另一个圆的圆心，
则游泳池的周长是 40π m.
解：如图，连接O1O2，CO1，CO2，DO1，DO2，
∵O1O2= CO1 = CO2 =15m，
弧长和扇形面积优秀课件
（2）弧长与圆周长、扇形面积与圆面积之间有什 么联系？
5．布置作业
教科书第 113 页 练习第 1，2，3 题． 教科书习题 24.4 第 4，6，8 题．
（5）半径为 R 的圆中，n°的圆心角所对的弧长？
l n 2R nR
360
180
思考：弧长的大小由哪些量决定？
1．探究并应用弧长公式
例1 制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长 度”，再下料，试计算图中所示的管道的展直长度 L （结果取整数）．
A C
B
100° R=900 mm
O
D
2．探究并应用扇形面积公式
4、已知扇形的半径是3cm，此扇形的弧长是 2πcm，则此扇形的圆心角等于_1_2_0_度，扇形 的面积是___3_π__cm²。（结果保留π）
5、一个扇形的半径为3cm，面积为πcm²，则 此扇形的圆心角为___4_0___度。
6、已知扇形的圆心角为120°，所对的弧长
为 8 ，则此扇形的面积是___1_6_____。
九年级 上册
24.4 弧长和扇形面积（第1课时）
教学目标
• 1．理解弧长与圆周长的关系，能用比例的方法 推导弧长公式，并能利用弧长公式进行相关计算 • 2．类比推导弧长公式的方法推导扇形面积公式 ，并能利用扇形面积公式进行相关计算．
1．探究并应用弧长公式
问题1 我们知道，弧是圆的一部分，弧长就是圆周 长的一部分．如何计算圆周长？如何计算弧长？
问题2：什么图形是扇形。
B
B
弧 圆圆心心角角
A
扇形
O A
2．探究并应用扇形面积公式
问题3：你能否类比刚才我们研究弧长公式的 方法推导出扇形面积的计算公式？
5．布置作业
教科书第 113 页 练习第 1，2，3 题． 教科书习题 24.4 第 4，6，8 题．
（5）半径为 R 的圆中，n°的圆心角所对的弧长？
l n 2R nR
360
180
思考：弧长的大小由哪些量决定？
1．探究并应用弧长公式
例1 制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长 度”，再下料，试计算图中所示的管道的展直长度 L （结果取整数）．
A C
B
100° R=900 mm
O
D
2．探究并应用扇形面积公式
4、已知扇形的半径是3cm，此扇形的弧长是 2πcm，则此扇形的圆心角等于_1_2_0_度，扇形 的面积是___3_π__cm²。（结果保留π）
5、一个扇形的半径为3cm，面积为πcm²，则 此扇形的圆心角为___4_0___度。
6、已知扇形的圆心角为120°，所对的弧长
为 8 ，则此扇形的面积是___1_6_____。
九年级 上册
24.4 弧长和扇形面积（第1课时）
教学目标
• 1．理解弧长与圆周长的关系，能用比例的方法 推导弧长公式，并能利用弧长公式进行相关计算 • 2．类比推导弧长公式的方法推导扇形面积公式 ，并能利用扇形面积公式进行相关计算．
1．探究并应用弧长公式
问题1 我们知道，弧是圆的一部分，弧长就是圆周 长的一部分．如何计算圆周长？如何计算弧长？
问题2：什么图形是扇形。
B
B
弧 圆圆心心角角
A
扇形
O A
2．探究并应用扇形面积公式
问题3：你能否类比刚才我们研究弧长公式的 方法推导出扇形面积的计算公式？
弧长和扇形面积公式 省优获奖课件ppt
班主任： 我觉得何旋今天取得这样的成绩， 我觉得，很重要的是，何旋是土生土长的北京 二中的学生，二中的教育理念是综合培养学生 的素质和能力。我觉得何旋，她取得今天这么 好的成绩，一个来源于她的扎实的学习上的基 础，还有一个非常重要的，我觉得特别想提的， 何旋是一个特别充满自信，充满阳光的这样一 个女孩子。在我印象当中，何旋是一个最爱笑 的，而且她的笑特别感染人的。所以我觉得她 很阳光，而且充满自信，这是她突出的这样一 个特点。所以我觉得，这是她今天取得好成绩 当中，心理素质非常好，是非常重要的。
活动3 达标检测1
1．学生运用公式计算活动1中的问题． 2．解决教材第111页的例1. 3．完成教材第113页的练习第1，2题． 4．在半径为12的⊙O中，60°圆心角所对的弧长是( A ．6 π 答案：4.B B．4π C．2π D．π )
活动4 自主探究 1．观察问题1中蚂蚁所围成的图形是什么？请学生独立阅读教材 第112页第1自然段． 2．我们知道弧是圆的一部分，所以我们把弧长的问题转化为圆周 长的问题来解决．那么扇形呢？你能类比弧长的推导方式求出扇形 的面积公式吗？ 3．比较弧长公式和扇形面积公式，请推导出扇形面积和对应弧长 的关系．
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附赠 中高考状元学习方法来自前言高考状元是一个特殊的群体，在许多 人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目 的星星那样遥不可及。但实际上他们和我 们每一个同学都一样平凡而普通，但他们 有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处 就是在学习方面有一些独到的个性，又有 着一些共性，而这些对在校的同学尤其是 将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。
孙老师说，杨蕙心学习效率很高，认真执行老师 的复习要求，往往一个小时能完成别人两三个小 时的作业量，而且计划性强，善于自我调节。此 外，学校还有一群与她实力相当的同学，他们经 常在一起切磋、交流，形成一种良性的竞争氛围。 谈起自己的高考心得，杨蕙心说出了“听话” 两个字。她认为在高三冲刺阶段一定要跟随老师 的脚步。“老师介绍的都是多年积累的学习方法， 肯定是最有益的。”高三紧张的学习中，她常做 的事情就是告诫自己要坚持，不能因为一次考试 成绩就否定自己。高三的几次模拟考试中，她的 成绩一直稳定在年级前5名左右。
弧长及扇形的面积 优质公开课课件
2.能够利用弧长计算公式和扇形面积计算 公式解决相关数学问题。
探究活动（一）
(1)半径为R的圆，其周长2πR可以看作__3_6_0__度的圆
心(2角)1所°对的的圆弧心．角所对的弧长是__3_6_10__×_2πR =
πR 180
2πR
πR
(3)2°的圆心角所对的弧长是___18_0___．= 90
北师大版九年级数学第三章第九节
3.9 弧长及扇形的面积
在一块空旷的草地上 有一根柱子,柱子上拴着 一条长3m的绳子,绳子 的另一端拴着一只狗.
问题：（1）这只狗的最大活动区域有多大?
（2）如果这只狗拴在夹角为120°的 墙角,那么它的最大活动区域有多大?如 何计算该区域的周长？
学习目标
1.经历探索弧长计算公式和扇形面积计算 公式的过程，体会类比思想在数学学习中的 重要性。
360
n （2）圆心角为 °的扇形面积为n R2 nR2 360 360 如果扇形的半径为R , 圆心角为n°，
那么扇形面积的计算公式为
对比联系
A
B
O
O
l nR
180
S扇形
nR 2
360
比较扇形面积与弧长公式, 用弧长表示扇形面积:
1
S扇形
lR 2
在一块空旷的草地上 有一根柱子,柱子上拴着 一条长3m的绳子,绳子 的另一端拴着一只狗.
问题：（1）这只狗的最大活动区域有多大?
（2）如果这只狗拴在夹角为120°的 墙角,那么它的最大活动区域有多大?如 何计算该区域的周长？
随堂检测
1.已知弧所对的圆心角为900，半径是4m，则弧长为_2_π____m
2. 已知一条弧的半径为9，弧长为8 ，那么这条弧所对的圆心 角为——160°
探究活动（一）
(1)半径为R的圆，其周长2πR可以看作__3_6_0__度的圆
心(2角)1所°对的的圆弧心．角所对的弧长是__3_6_10__×_2πR =
πR 180
2πR
πR
(3)2°的圆心角所对的弧长是___18_0___．= 90
北师大版九年级数学第三章第九节
3.9 弧长及扇形的面积
在一块空旷的草地上 有一根柱子,柱子上拴着 一条长3m的绳子,绳子 的另一端拴着一只狗.
问题：（1）这只狗的最大活动区域有多大?
（2）如果这只狗拴在夹角为120°的 墙角,那么它的最大活动区域有多大?如 何计算该区域的周长？
学习目标
1.经历探索弧长计算公式和扇形面积计算 公式的过程，体会类比思想在数学学习中的 重要性。
360
n （2）圆心角为 °的扇形面积为n R2 nR2 360 360 如果扇形的半径为R , 圆心角为n°，
那么扇形面积的计算公式为
对比联系
A
B
O
O
l nR
180
S扇形
nR 2
360
比较扇形面积与弧长公式, 用弧长表示扇形面积:
1
S扇形
lR 2
在一块空旷的草地上 有一根柱子,柱子上拴着 一条长3m的绳子,绳子 的另一端拴着一只狗.
问题：（1）这只狗的最大活动区域有多大?
（2）如果这只狗拴在夹角为120°的 墙角,那么它的最大活动区域有多大?如 何计算该区域的周长？
随堂检测
1.已知弧所对的圆心角为900，半径是4m，则弧长为_2_π____m
2. 已知一条弧的半径为9，弧长为8 ，那么这条弧所对的圆心 角为——160°
弧长及扇形的面积ppt课件
如图所示,扇形OAB的圆心角为60°,半径为1,将它向右 滚动到扇形O′A′B′的位置,点O到O′所经过的路线长
A.π B .4/3π C.5/3π D.2π
B' A
B
C' D
A
C
扇形的定义 如图，一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成 的图形叫做扇形.
弧
A B
O
探究二
1.如图，圆的半径为R，圆心角为90°， 怎样计算扇形的面积呢？
∠BAC＝60°．设⊙O的半径为2，求 B⌒C 的
长．
例2、 如图：在△AOC中，∠AOC=90°， ∠C=15°,以O为圆心，AO为半径的圆交AC于B 点，若OA=6, 求弧AB的长。
C
B
O
A
试一试：
如图：AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O 于点C，连接BC，若∠ABC=120°，OC=3，求 弧BC的长.
B●
B
B2
B1
F'
U
A
BCD的边AB=8，AD=6，现将矩形ABCD 放在直线l上且沿着l向右作无滑动地翻滚，当它 翻滚至类似开始的位置时（如图所示），则顶点 A所经过的路线长是_________．
如图，半径为5的半圆的初始状态是直径平行于桌 面上的直线b，然后把半圆沿直线b进行无滑动滚动 ，使半圆的直径与直线b重合为止，则圆心O运动路 径的长度等于______．
1 4
π×(652－152)＝1000π(cm2)
例题解析
例2 如图，正三角形ABC的边长为2，分别以A、B、C为 圆心,1为半径的圆两两相切于点O1、O2、O3，求弧O1O2、 弧O2O3、弧O3O1围成的图形的面积S（图中阴影部分）.
弧长和扇形面积公式ppt课件
形的面积为___4____.
3
2、已知扇形的圆心角为300，面积为 3 cm2，则这 个扇形的半径R=_6_c__m．
3、已知扇形的圆心角为1500，弧长为 20 cm，则扇形
的面积为___2_4__0____c．m2
小结： 扇形面积公式涉及三个量 扇形面积 ,圆心角的度数 ,弧所在
的半径，知道其中两个量，就可以求第三个量。
360
2
=
0.24
1 2
0.6
3 0.3
≈0.91 m2
12
• 通过这两道题你有什么收获？
1.学会几何建模，既把实际问题转化为几何问题 2.转化思想
3.S弓=S扇—S△
0
0
S弓=S扇+S△ A
B
13
议一议：
1、本节课你学到了那些知识？ 2、本节课你学到了那些数学思想和方法？
14
15
360 180
n (4)n°圆心角所对弧长是多少？ ×π R 180
若设⊙O半径为R， n°的圆心角所对的弧长
l为 ，则
l nR
180
A
B
n°
O
3
1.已知弧所对的圆心角为900，半径是4，则弧
2 长为______
2. 已知一条弧的半径为9，弧长为8π ，那么
这条弧所对的圆心角为16_0_°__。
3. 钟表的轴心到分针针端的长为5cm,那么经过
40分钟,分针针端转过的弧长是( B )
A.
10 cm B.
3
20 cm C.
3
小结： 弧长公式涉及三个量
弧253长cm,D圆.心角5的03度c数m ,
弧所在的半径，知道其中两个量，就可以求第
3
2、已知扇形的圆心角为300，面积为 3 cm2，则这 个扇形的半径R=_6_c__m．
3、已知扇形的圆心角为1500，弧长为 20 cm，则扇形
的面积为___2_4__0____c．m2
小结： 扇形面积公式涉及三个量 扇形面积 ,圆心角的度数 ,弧所在
的半径，知道其中两个量，就可以求第三个量。
360
2
=
0.24
1 2
0.6
3 0.3
≈0.91 m2
12
• 通过这两道题你有什么收获？
1.学会几何建模，既把实际问题转化为几何问题 2.转化思想
3.S弓=S扇—S△
0
0
S弓=S扇+S△ A
B
13
议一议：
1、本节课你学到了那些知识？ 2、本节课你学到了那些数学思想和方法？
14
15
360 180
n (4)n°圆心角所对弧长是多少？ ×π R 180
若设⊙O半径为R， n°的圆心角所对的弧长
l为 ，则
l nR
180
A
B
n°
O
3
1.已知弧所对的圆心角为900，半径是4，则弧
2 长为______
2. 已知一条弧的半径为9，弧长为8π ，那么
这条弧所对的圆心角为16_0_°__。
3. 钟表的轴心到分针针端的长为5cm,那么经过
40分钟,分针针端转过的弧长是( B )
A.
10 cm B.
3
20 cm C.
3
小结： 弧长公式涉及三个量
弧253长cm,D圆.心角5的03度c数m ,
弧所在的半径，知道其中两个量，就可以求第
弧长和扇形面积的计算ppt课件
式 S扇形=
lr，与三角形的面积公式有些类似，可以把扇形
看作一个曲边三角形，把弧长看作底，r 看作高；（4）注
意区分扇形面积公式和弧长公式，其存在两方面不同：一是
分母不同，二是半径的指数不同.
28.5 弧长和扇形面积的计算
对点典例剖析
考
点
典例2 某摆盘的形状是扇形的一部分，如图所示是其几
清
单 何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到 AC=BD=12 cm
∠BAB′=n°，根据题意，得 2π×2=
××
，解得
，∴∠BAB′=120°，∵ 点 C′为 BB′ 的中点，
n=120
28.5 弧长和扇形面积的计算
重
∴∠BAC′= ∠BAB′=60°，∴△BAC′为等边三角形
难
题 ，∵ 点 D 为 AC 的中点，∴ 点 D′为 AC′的中点，
型
［解析］如解析图，连接 OD，∵AC=4，AB=2，∴AC=2AB
重
难
题 ，∵∠ABC=90°，∴∠C=30°，∴∠DOB=2∠C=60°，∵BC
型
突 = − =2 ，∴OC=OD=OB= BC= ，过点 O 作
破
OM⊥CD 于点 M，在 Rt△OCM 中，∠C=30°，∴OM= OC=
π+ π
2
3
突
破
28.5 弧长和扇形面积的计算
重 ■题型二 求阴影部分的面积
难
例 2 如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，AB=2，AC=4，
题
型 点 O为 BC 的中点，以点 O 为圆心，OB 长为半径作半圆
突
lr，与三角形的面积公式有些类似，可以把扇形
看作一个曲边三角形，把弧长看作底，r 看作高；（4）注
意区分扇形面积公式和弧长公式，其存在两方面不同：一是
分母不同，二是半径的指数不同.
28.5 弧长和扇形面积的计算
对点典例剖析
考
点
典例2 某摆盘的形状是扇形的一部分，如图所示是其几
清
单 何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到 AC=BD=12 cm
∠BAB′=n°，根据题意，得 2π×2=
××
，解得
，∴∠BAB′=120°，∵ 点 C′为 BB′ 的中点，
n=120
28.5 弧长和扇形面积的计算
重
∴∠BAC′= ∠BAB′=60°，∴△BAC′为等边三角形
难
题 ，∵ 点 D 为 AC 的中点，∴ 点 D′为 AC′的中点，
型
［解析］如解析图，连接 OD，∵AC=4，AB=2，∴AC=2AB
重
难
题 ，∵∠ABC=90°，∴∠C=30°，∴∠DOB=2∠C=60°，∵BC
型
突 = − =2 ，∴OC=OD=OB= BC= ，过点 O 作
破
OM⊥CD 于点 M，在 Rt△OCM 中，∠C=30°，∴OM= OC=
π+ π
2
3
突
破
28.5 弧长和扇形面积的计算
重 ■题型二 求阴影部分的面积
难
例 2 如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，AB=2，AC=4，
题
型 点 O为 BC 的中点，以点 O 为圆心，OB 长为半径作半圆
突
人教版九年级数学上册课件：24.4弧长和扇形面积(共19张PPT)
－
1353π6×0 152＝375π(cm2)．
9
能力提升
11．如图，图1是由若干个相同的图形(图2)组成的美丽图案的一部分．图2中， 图形的相关数据：半径OA＝2 cm，∠AOB＝120°，则图2的周长为 83π ________cm.(结果保留π)
10
12．如图，在△ABC中，AC＝4，将△ABC绕点C逆时针旋 转30°得到△FGC，则图43中π 阴影部分的面积为________.
第二十四章 圆
弧长和扇形面积
第一课时
知识展示
知识点 1 弧长公式 n°的圆心角所对的弧长 l 的计算公式为 l＝n1π8R0 ，其中 R 为半径． 核心提示：在弧长公式中，已知 l、n、R 中的任意两个量，都可以求出第三个 量． 知识点 2 扇形的定义 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形．
分析：先用扇形OAB的面积－三角形OAB的面积求出上面空白部分面积，再用扇形OCD的面积－三角形OCD的面积－上面空白部分的面
积7．，如即图可，求5分出．别阴以影【五部边分黑形的A龙面BC积D江．E的顶哈点尔为圆滨心，中以1考为半】径作一五个个圆，扇则图形中的阴影弧部分长的面是积之1和1为π__c___m___.，半径是18
2
知识点 3 扇形面积公式 (1)n°圆心角的扇形面积公式：S 扇形＝n3π6R02 ，其中 R 为半径． (2)弧长为 l 的扇形面积公式：S 扇形＝12lR，其中 R 为半径． 【典例】如图，半径为 12 的圆中，两圆心角∠AOB＝60°、∠COD＝120°，连接 AB、CD，求图中阴影部分的面积．
cm，则此扇形的圆心角是__________度． 71．2．如如图图，，分在别△以AB五C中边，形AACB＝CD4E，的将顶△点AB为C圆绕心点，C逆以时11为针1半旋0 径转作30五°得个到圆△，FG则C，图则中图阴中影阴部影分部的分面的积面之积和为为________________.. 一列火车以6每．小时【28 江km的苏速度泰经州过10中秒通考过弯】道．如那么图弯，道所分对的别圆心以角为正___三_____角__度形．(π的取3.3个顶点为圆心， 98．．一已段知铁扇边路形弯所长道在成圆为圆半弧 径半形为，4径，圆弧弧画长的为弧半6径π，，是则2三扇km形.段面积弧为_围_____成____.的图形称为莱洛三角形．若正三角 分 积析，：即先 可用 求形扇 出形 阴边影OA部长B的分面为的积面6－积三．c角m形，OAB则的面该积求莱出上洛面三空白角部分形6面π积的，再周用扇长形为OCD_的_面__积_－__三_角c形mOC. D的面积－上面空白部分的面
弧长和扇形面积公式通用课件
弧长公式的几何意义
几何意义
弧长是圆的一部分，与圆的大小和形状有关。圆心角越大，弧长越长；圆的大小 越大，弧长也越长。
公式变形
当圆心角为弧度制时，弧长公式可以写成$L = |\alpha| \times r$；当圆心角为 角度制时，弧长公式可以写成$L = |\alpha| \times r \times \frac{180}{\pi}$。
弧长和扇形面积公式 通用课件
目录
• 弧长公式及其推导 • 扇形面积公式及其推导 • 弧长和扇形面积公式的应用 • 弧长和扇形面积公式的扩展形式 • 总结与回顾
01
弧长公式及其推导
弧长公式的定义
弧长公式
$L = |\alpha| \times r$
定义解释
其中$L$表示弧长，$|\alpha|$表示圆心角的大小，$r$表示圆的半径
1. 将圆分成若干个小的扇形，每个扇形的弧长近似等 于该扇形的中心角的大小乘以半径。
3. 通过角度的几何定义，将圆心角分解成若干个小的 角度，每个小的角度对应一个小扇形的中心角。
5. 将所有小扇形的弧长相加，得到整个圆的周长。通 过比较圆的周长和直径的关系，可以得到圆的周长公式 $C = 2\pi r$。
03
弧长和扇形面积公式的 应用
弧长公式的应用范围
弧长公式适用于计算任意曲线或曲线的任意部分的长度。
在物理学和工程学中，弧长公式被广泛应用于计算和研究各种不同物体的长度和尺 寸。
在地理学中，弧长公式被用来计算和研究地球上不同地区之间的距离和位置关系。
扇形面积公式的应用范围
扇形面积公式适用于计算由一 个圆心和两个半径所定义的扇 形面积。
弧长和扇形面积公式在物理学中的应用
【课件】24.4弧长和扇形面积
∴AF＝ AB2＋BF2＝ 22＋12＝ 5.由平行四边形的性质，△FEC≌
△CGF，∴S△FEC＝S△CGF，∴S 阴影＝S 扇形 BAC＋S△ABF＋S△FGC－S 扇形 FAG
＝90×3π60×22＋12×2×1＋12×(1＋2)×1－90×π
×（ 360
5）2＝52－π4
16．(2014·昆明)如图，在△ABC 中，∠ABC＝90°，D 是边 AC 上的一点，连接 BD，使∠A＝2∠1，E 是 BC 上的一点，以 BE 为直径的⊙O 经过点 D.
(1)求证：AC 是⊙O 的切线； (2)若∠A＝60°，⊙O 的半径为 2，求阴影部分的面积．(结果
保留根号和π)
解：(1)连接 OD，∵OB＝OD，∴∠1＝∠BDO，∴∠DOC＝2 ∠1＝∠A.在 Rt△ABC 中，∠A＋∠C＝90°，即∠DOC＋∠C＝90 °，∴∠ODC＝90°，即 OD⊥DC，∴AC 为圆 O 的切线
3．已知扇形的圆心角为 45°，弧长等于π2 ，则该扇形的半径是 ___2__．
4．(2014·兰州)如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30
°，AB＝2.将△ABC 绕直角顶点 C 逆时针旋转 60°得△A′B′C，则点
B 转过的路径长为(B )
π A. 3
3π B. 3
2π C. 3
∠FAB＝90°.∵线段 AF 绕点 F 顺时针旋转 90°得线段 FG，∴∠
AFB＋∠CFG＝∠AFG＝90°，∴∠CFG＝∠FAB＝∠ECB，∴EC
∥FG.∵AF＝EC，AF＝FG，∴EC＝FG，∴四边形 EFGC 是平行四
边形，∴EF∥CG
(2)∵AB＝2，E 是 AB 的中点，∴FB＝BE＝12AB＝12×2＝1，
弧长与扇形面积公式ppt课件
90求截面上有水部分的面积。
有水部分的面积 = S扇- S△
有水部分的面积 A = S扇+ S△
0
AD
B
D
C
E
B
0
12
C
1.如图,⊙A、⊙B、⊙C、⊙D相互外离,它们的半径 都是1,顺次连接四个圆心得到四边形ABCD,则图形
中四个扇形(空白部分)的面积之和是___________.
B A
D
C
13
n°
B
O
示
若设⊙O半径为R， n°的圆心角所对的 扇形面积为S，则
S扇形
nR 2
360
8
1.已知扇形的圆心角为120°，
半径为2，则这个扇形的面积
S扇形=
4
3
.
2.已知扇形面积为 1 ，圆心
3
角为60°，则这个扇形的半
径R=___2_．
9
比较扇形面积与弧长公式,用弧长表示扇形面积:
交
B
A.10 cm B.
3
20 cm
3
C.
25 cm
3
D. 50 cm
3
15
中考链接
5.如果一个扇形面积是它所
在圆的面积的 1 ，则此扇 8
形的圆心角是（ C ）
0
16
6.已知半径为2cm的扇形，其弧为 ，
则这4 个扇形的面积是
。
3
7.如图，这是中央电视台“曲苑杂谈”
22
那么这条弧所对的圆心角为 1600 .
4
实 制造弯形管道时，要先按中心 际 线计算“展直长度”，再下料，
应 试计算图所示管道的展直长度L.
用
( 500 +1400 )mm
有水部分的面积 = S扇- S△
有水部分的面积 A = S扇+ S△
0
AD
B
D
C
E
B
0
12
C
1.如图,⊙A、⊙B、⊙C、⊙D相互外离,它们的半径 都是1,顺次连接四个圆心得到四边形ABCD,则图形
中四个扇形(空白部分)的面积之和是___________.
B A
D
C
13
n°
B
O
示
若设⊙O半径为R， n°的圆心角所对的 扇形面积为S，则
S扇形
nR 2
360
8
1.已知扇形的圆心角为120°，
半径为2，则这个扇形的面积
S扇形=
4
3
.
2.已知扇形面积为 1 ，圆心
3
角为60°，则这个扇形的半
径R=___2_．
9
比较扇形面积与弧长公式,用弧长表示扇形面积:
交
B
A.10 cm B.
3
20 cm
3
C.
25 cm
3
D. 50 cm
3
15
中考链接
5.如果一个扇形面积是它所
在圆的面积的 1 ，则此扇 8
形的圆心角是（ C ）
0
16
6.已知半径为2cm的扇形，其弧为 ，
则这4 个扇形的面积是
。
3
7.如图，这是中央电视台“曲苑杂谈”
22
那么这条弧所对的圆心角为 1600 .
4
实 制造弯形管道时，要先按中心 际 线计算“展直长度”，再下料，
应 试计算图所示管道的展直长度L.
用
( 500 +1400 )mm
弧长和扇形面积(公开课)课件
电磁学
在电磁学中，弧长和扇形面积可以用 于计算带电粒子在磁场中运动的轨迹 长度和角度，进而研究电磁场的变化 。
在日常生活中的应用
建筑学
在建筑学中，弧长和扇形面积可以用 于计算各种形状的建筑物的表面积、 体积等参数，进而进行建筑设计、施 工和预算等工作。
艺术
在艺术领域中，弧长和扇形面积可以 用于设计各种形状的艺术作品，例如 雕塑、绘画等，使作品更加美观、协 调。
圆心角与弧长的关系
通过弧长公式可以看出，圆心角越大 ，弧长越长。
弧长计算的实例
实例1
一个圆的半径为5cm，圆 心角为60°，求弧长。
实例2
一个圆的半径为8cm，圆 心角为90°，求弧长。
实例3
一个圆的半径为10cm，圆 心角为120°，求弧长。
03
扇形面积的计算方法
扇形面积公式
总结词
扇形面积公式是计算扇形面积的关键公式，它基于圆的面积 和圆心角。
02
弧长的计算公式：对于半径为r的 圆，其对应的圆心角为θ（以弧度 为单位），弧长l可以通过公式 l=rθ计算得出。
扇形面积的定义
扇形面积是指由圆心角和半径确定的 扇形区域的面积，通常用字母"A"表 示。
扇形面积的计算公式：对于半径为r的 圆，其对应的圆心角为θ（以弧度为单 位），扇形面积A可以通过公式 A=(θ/2π)×πr²计算得出。
详细描述
扇形面积公式为 (S = frac{1}{2} r^2 (θ))，其中 (S) 是扇形面 积，(r) 是半径，(θ) 是圆心角（以弧度为单位）。这个公式 是计算扇形面积的基础，通过它可以将扇形的面积与半径和 圆心角联系起来。
扇形面积公式的应用
总结词
在电磁学中，弧长和扇形面积可以用 于计算带电粒子在磁场中运动的轨迹 长度和角度，进而研究电磁场的变化 。
在日常生活中的应用
建筑学
在建筑学中，弧长和扇形面积可以用 于计算各种形状的建筑物的表面积、 体积等参数，进而进行建筑设计、施 工和预算等工作。
艺术
在艺术领域中，弧长和扇形面积可以 用于设计各种形状的艺术作品，例如 雕塑、绘画等，使作品更加美观、协 调。
圆心角与弧长的关系
通过弧长公式可以看出，圆心角越大 ，弧长越长。
弧长计算的实例
实例1
一个圆的半径为5cm，圆 心角为60°，求弧长。
实例2
一个圆的半径为8cm，圆 心角为90°，求弧长。
实例3
一个圆的半径为10cm，圆 心角为120°，求弧长。
03
扇形面积的计算方法
扇形面积公式
总结词
扇形面积公式是计算扇形面积的关键公式，它基于圆的面积 和圆心角。
02
弧长的计算公式：对于半径为r的 圆，其对应的圆心角为θ（以弧度 为单位），弧长l可以通过公式 l=rθ计算得出。
扇形面积的定义
扇形面积是指由圆心角和半径确定的 扇形区域的面积，通常用字母"A"表 示。
扇形面积的计算公式：对于半径为r的 圆，其对应的圆心角为θ（以弧度为单 位），扇形面积A可以通过公式 A=(θ/2π)×πr²计算得出。
详细描述
扇形面积公式为 (S = frac{1}{2} r^2 (θ))，其中 (S) 是扇形面 积，(r) 是半径，(θ) 是圆心角（以弧度为单位）。这个公式 是计算扇形面积的基础，通过它可以将扇形的面积与半径和 圆心角联系起来。
扇形面积公式的应用
总结词
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B
线段DC.过点O作ODAB并延长交圆O于点C.
(3)要求图中阴影部分面积，应该怎么办？
B 阴影部分面积=扇形OAB的面积- △OAB的面积
三、运用新知
解：如图，连接OA，OB，过点O作弦AB的垂线，垂足为D，交AB于 点C,连接AC.
∵ OC＝0.6, DC＝0.3, ∴ OD＝OC-垂直平分线，
4
3
.
三、运用新知
例1 制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计 算图所示管道的展直长度l.(单位：mm，精确到1mm)
解：由弧长公式，可得弧AB的长
l 100 900 500 1570 (mm), 180
因此所要求的展直长度l = 2×700+1570=2970（mm）.
第二十四章 圆
24.4 弧长和扇形面积
情境引入
一、创设情境，引入新知
问题1：如图，在运动会的 4×100 米比赛中，甲和乙分别在第 1 跑道
和第 2 跑道，为什么他们的起跑线不在同一处？
因为要保证这些弯道的“展直长度”是一样的.
问题2：怎样来计算弯道的“展直长度”？
二、合作交流，探究新知
与弧长相关的计算
问题5 n的圆心角所对的弧长是多少？
O
1的圆心角所对弧长的n倍
二、合作交流，探究新知
知识要点 弧长公式
l 2 R n n R
360
180
注意 用弧长公式进行计算时，要注意公式中 n 的意义．n 表示 1° 圆心角的倍数，它是不带单位的.
问题6 弧长的大小由哪些量决定？
算一算 已知弧所对的圆心角为 60°，半径是 4，则弧长为
A
3
360
2
0.24 0.09 3
0.91cm2 .
D
E
B
O
C
五、归纳小结
弧长 扇形 弓形
计算公式： l n R
180
定义 公式
S扇形
n R2
360
S扇形
1 lR 2
公式
S弓形=S扇形S三角形
割补法
六、作业
1.书上113页练习题； 2.书上115-116页4,6,7,8题.
二、合作交流，探究新知
知识要点 半径为R的圆中，圆心角为 n°的扇形的面积
n R2
S扇形 = 360
二、合作交流，探究新知
问题4：扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？
l n R
180
n R2
S扇形 = 360
S扇形
n R
180
R 2
1 n R
2 180
R
1 lR 2
想一想 扇形的面积公式与什么公式类似？
O.
A
D
B
C (3)
∴AC＝AO＝OC.
从而 ∠AOD＝60˚, ∠AOB=120˚.
三、运用新知
有水部分的面积：
S＝S扇形OAB - SΔOAB
120π 0.62 1 AB • OD
360
2
0.12π 1 0.6 3 0.3 2
0.22(m2 )
O
AD
B
C (3)
二、合作交流，探究新知
答：管道的展直长度为2970mm．
概念学习
二、合作交流，探究新知
由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫作扇形.
下列图形是扇形吗？
×
×
√
×
√
二、合作交流，探究新知
合作探究 r
问题1 半径为 R 的圆,面积是多少？
O
问题2 圆面积可以看作是多少度的圆心角所对的扇形的面积？
问题3 1°的圆心角所对的扇形面积是多少？n°的圆心角呢？
三、运用新知
例2 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其中水面高 0.3cm，求截面上有水部分的面积.（精确到0.01cm）
O.
A
B
讨论：(1)截面上有水部分的面积是指图上哪一部分？
C
阴影部分
三、运用新知
O A D.
C
O. AD
C
(2)水面高0.3 m是指哪一条线段的长？这条线段应该怎样 画出来？
R
O
问题1 半径为R的圆,周长是多少？ C=2 R
问题2 圆的周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧长？ 360
问题3 下图中各圆心角所对的弧长分别是圆周长的几分之几?
R
O 180
°
R 90°
O
45°
R
O
二、合作交流，探究新知
与弧长相关的计算
问题4 1的圆心角所对的弧长是多少？
圆周长的 1
360
n° R
弓形的面积公式
O
O
• S弓形=S扇形-S三角形
• S弓形=S扇形+S三角形
弓形的面积=扇形的面积±三角形的面积
四、巩固新知
（例题变式题）如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是 0.6cm，其中水面高0.9cm，求截面上有水部分的面积.
解：S弓形 =S扇形 S△OAB
240 0.62 1 0.3 0.6
线段DC.过点O作ODAB并延长交圆O于点C.
(3)要求图中阴影部分面积，应该怎么办？
B 阴影部分面积=扇形OAB的面积- △OAB的面积
三、运用新知
解：如图，连接OA，OB，过点O作弦AB的垂线，垂足为D，交AB于 点C,连接AC.
∵ OC＝0.6, DC＝0.3, ∴ OD＝OC-垂直平分线，
4
3
.
三、运用新知
例1 制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计 算图所示管道的展直长度l.(单位：mm，精确到1mm)
解：由弧长公式，可得弧AB的长
l 100 900 500 1570 (mm), 180
因此所要求的展直长度l = 2×700+1570=2970（mm）.
第二十四章 圆
24.4 弧长和扇形面积
情境引入
一、创设情境，引入新知
问题1：如图，在运动会的 4×100 米比赛中，甲和乙分别在第 1 跑道
和第 2 跑道，为什么他们的起跑线不在同一处？
因为要保证这些弯道的“展直长度”是一样的.
问题2：怎样来计算弯道的“展直长度”？
二、合作交流，探究新知
与弧长相关的计算
问题5 n的圆心角所对的弧长是多少？
O
1的圆心角所对弧长的n倍
二、合作交流，探究新知
知识要点 弧长公式
l 2 R n n R
360
180
注意 用弧长公式进行计算时，要注意公式中 n 的意义．n 表示 1° 圆心角的倍数，它是不带单位的.
问题6 弧长的大小由哪些量决定？
算一算 已知弧所对的圆心角为 60°，半径是 4，则弧长为
A
3
360
2
0.24 0.09 3
0.91cm2 .
D
E
B
O
C
五、归纳小结
弧长 扇形 弓形
计算公式： l n R
180
定义 公式
S扇形
n R2
360
S扇形
1 lR 2
公式
S弓形=S扇形S三角形
割补法
六、作业
1.书上113页练习题； 2.书上115-116页4,6,7,8题.
二、合作交流，探究新知
知识要点 半径为R的圆中，圆心角为 n°的扇形的面积
n R2
S扇形 = 360
二、合作交流，探究新知
问题4：扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？
l n R
180
n R2
S扇形 = 360
S扇形
n R
180
R 2
1 n R
2 180
R
1 lR 2
想一想 扇形的面积公式与什么公式类似？
O.
A
D
B
C (3)
∴AC＝AO＝OC.
从而 ∠AOD＝60˚, ∠AOB=120˚.
三、运用新知
有水部分的面积：
S＝S扇形OAB - SΔOAB
120π 0.62 1 AB • OD
360
2
0.12π 1 0.6 3 0.3 2
0.22(m2 )
O
AD
B
C (3)
二、合作交流，探究新知
答：管道的展直长度为2970mm．
概念学习
二、合作交流，探究新知
由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫作扇形.
下列图形是扇形吗？
×
×
√
×
√
二、合作交流，探究新知
合作探究 r
问题1 半径为 R 的圆,面积是多少？
O
问题2 圆面积可以看作是多少度的圆心角所对的扇形的面积？
问题3 1°的圆心角所对的扇形面积是多少？n°的圆心角呢？
三、运用新知
例2 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其中水面高 0.3cm，求截面上有水部分的面积.（精确到0.01cm）
O.
A
B
讨论：(1)截面上有水部分的面积是指图上哪一部分？
C
阴影部分
三、运用新知
O A D.
C
O. AD
C
(2)水面高0.3 m是指哪一条线段的长？这条线段应该怎样 画出来？
R
O
问题1 半径为R的圆,周长是多少？ C=2 R
问题2 圆的周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧长？ 360
问题3 下图中各圆心角所对的弧长分别是圆周长的几分之几?
R
O 180
°
R 90°
O
45°
R
O
二、合作交流，探究新知
与弧长相关的计算
问题4 1的圆心角所对的弧长是多少？
圆周长的 1
360
n° R
弓形的面积公式
O
O
• S弓形=S扇形-S三角形
• S弓形=S扇形+S三角形
弓形的面积=扇形的面积±三角形的面积
四、巩固新知
（例题变式题）如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是 0.6cm，其中水面高0.9cm，求截面上有水部分的面积.
解：S弓形 =S扇形 S△OAB
240 0.62 1 0.3 0.6