线性代数课件：5-3实对称矩阵的相似对角化

Aα= λ0α两边取共轭复数得, 由于A 是实对称矩阵，有 A 0 ，由于A是实对 称矩阵，有 AT A, A A 从而
A A A 0
又对Aα= λ0α两边取转置得
T AT T A 0 T
于是0T T A T (0) 0 T
即
(0 0)T 0
由于
a1
T
a1,
a2,, an
§5.3 实对称矩阵的相似对角化 5.3.1 向量的内积与施密特正交化方法
建立n维实向量空间中的直角坐标系 长度？夹角？垂直？
设
i,
j,
k
是三维向量空间中互相垂直的单位向量,若
a1i b1 j c1k , a2i b2 j c2k ,
则α与β的数量积 a1a2 b1b2 c1c2
用α1与上式两边作内积运算，得
k1 1,1 k2 1,2 km 1,m 1,0 0
由于α1,α2,…,αm两两正交，则当j≠1时, <α1,αj>=0. 于是得到,k1<α1,α1>=0,
即k1|α1|2=0.由于α1是非零向量，故|α1|≠0， 因此k1=0.
用αi替代 α1重复以上论证，可得ki=0， i=2,…, m，这就证明了α1,α2, …, αm线性无关. 证毕.
设α1,α2,…,αm是Rn中的向量组
若一条直线与平面中的两条相交直线 垂直，则与该平面的任一直线垂直。推而 广之：
(1) 若β与α1,α2,…,αm的每一个向量 正交，则β必与α1,α2,…,αm的任一线性组
合正交.
其中α1,α2,…,αm是Rn中的向量组
互相垂直的两直线必不共线或平行。
(2) 若α1,α2,…,αm是正交组，它们必 线性无关.
证 (1) 若<β,αi >=0 ，i=1,2,…,m,任给 α1,α2,…,αm的线性组合γ=k1α1+k2α2 +…+kmαm, 由内积的线性性，
, , k11 k22 kmm k1 ,1 k2 ,2 km ,m
0,
故β与γ正交. (2) 设γ=k1α1+k2α2 +…+kmαm=0,
1 1,
2
2
2, 1,
1 1
1,
m
m
m1 j 1
m, j j,j
j
则β1,β2,…,βm是正交向量组，且与向量组 α1,α2,…,αm等价.
如何由正交组得到标准正交组？ 将正交组中每个向量单位化即得标准正交组！
例5.3.2 设 1 (1, 1, 1) 2 (0, 1, 2) 3 (2, 0, 3) 是R3中的向量组，用施密特
定义5.3.1 设 (a1, a2 ,, an )T (b1, b2 ,, bn )T是实n维向量空间Rn中任二 向量，令
, a1b1 a2b2 anbn
称实数<α,β>为向量α与β的内积.
易见 , T
向量的内积具有以下性质： 1. 对称性<α,β>=<β, α > 2.线性性<α+β, γ>= <α, γ>+ <β, γ>
全为实数时，称为n阶实对称矩阵.
定理5.3.3 设A是实对称矩阵，则A 的特征值全为实数.
证 设λ0是A的特征值，则有非零向量
α使Aα= λ0α.记
A aij nn
a1
a2
,
an
a1
a2
,
an
其中ai 表示ai的共轭复数(注意现在并不
知道λ0是否实数，也不知道α是否为实向 量).
<kα,β>=k<α, β>
3.恒正性 <α,α>>0, 当α≠0.
内积为零的两个向量称为正交向量. 零向量与任何向量正交.
定义5.3.3 设α是n维向量，称 , 为α的长，记为 |α|. 若 |α|=1， 称α为单位向量.
|α|=0 IFF α为零向量.
k k, k k2 , k
2 1 1 0 1 3, 3 1 1 9 4 15
从而α1,α2,α3都不是单位向量. 把它们单位 化，令
1
1 7
1
1, 7
2 , 1 , 77
1 7
2
1 3
2
Байду номын сангаас
1 , 1 ,0, 33
1 3
3
1 3
15
1 , 15
1, 15
3, 15
2 15
则β1,β2,β3是标准正交组.
定理5.3.1表明，在Rn中正交向量组至 多含有n个向量，这是因为在Rn中至多有n 个线性无关的向量.
怎样得到一个正交向量组？
危房改造：将无关向量组改造成正交向量 组！ 如何改造：先考察平面情形。
施密特(Schmidt)免费拨款危房改造：
定理5.3.2 (施密特正交化定理) 设
α1,α2,…,αm(m≤n)是Rn中线性无关向量组，令
以下向量组是正交向量组吗？是标准 正交组吗？
1 (1,2,1,1) 2 (1,1,0,1) 3 (1,1,3,2)
是R4中正交向量组，但不是标准正交组. 因为
1,2 1 2 0 1 0
1,3 1 2 3 2 0
2 ,3 11 0 2 0
故 1,2 ,3 是正交组. 又 1 1 4 1 1 7
正交化方法把它们化为标准正交组.
解 易验证 α1,α2,α3线性无关，从而 可施行施密特标准正交化.
令 1 1 (1, 1, 1)
2
2
2,1 1, 1
1
(0, 1,
2)
3 (1, 1, 1) 3
(1,
0, 1)
3
3
3, 2 2, 2
2
3,1 1, 1
1
(2, 0, 3) 1 (1, 0, 1) 5 (1, 1, 1)
2
3
5 , 5 , 5 6 3 6
再令 1
1
1
1
1, 3
1, 3
1 3
2
1
2
2
1 , 0, 2
1 2
3
1
3
3
1 , 6
2, 6
1 6
则β1,β2, β3 是α1,α2, α3的标准正交组.
5.3.2 实对称矩阵的特征值与特征向量 当n阶矩阵A=(aij)nn 满足aij=aji，且aij
任给非零向量α ， |α|＞0，从而
1 的长 1 1 ，即 是单位向量
称为α的单位化.
定义5.3.4 设α1,α2,…,αs 是一组皆 非零的向量.若其中任意两个向量都是正 交的，则称其为一个正交向量组.仅由一 个非零向量组成的向量组也称为正交向量 组.
若正交向量组中每个向量都是单位向 量，则称其为标准正交组.
a2
an