概率论与数理统计 第5章

,
y
0
0,
y0
例5.4 X ~ N (, 2 ) (X1,X2,X3)为X的一个样本
求
X1
2
X 2
2
X 3
2
的分布。
解 因为(X1,X2,X3)为X的一个样本 则 X i ~ N (0,1) i=1,2,3
X1
2
X2
2
X3
2
~
2 (3)
例5.5 X ~ N(0,1) (X1,X2,…X6)为X的一个样本
▪ 数理统计——是应用概率的理论来研究大量随机现象 的规律性;对通过科学安排的一定数量的实验所得到的 统计方法给出严格的理论证明;并判定各种方法应用的 条件以及方法、公式、结论的可靠程度和局限性。使 我们能从一组样本来判定是否能以相当大的概率来保 证某一判断是正确的，并可以控制发生错误的概率。
5.1 数理统计的基本概念
(一) 2—分布
1、定义：
设X1,X2,…,Xn为取自总体N(0,1)的样本，则
n
2
X
2 i
~
2 (n)
称为自由度为n的2分布。
i 1
n个相互独立的服从标准正态分布的随机变
量的平方和服从2(n)。
2—分布的密度函数f(y)曲线
f
( y)
1 2n/ 2 (n/ 2)
n 1 y
y2 e 2
X i ~ N (0,1)
i 1,2, ,16
16
Xi
2
~
2 (16)
i1
2
P
2
1 16
16 i 1
(Xi
)2
2
P
8
2 (16)
16
P 2 (16) 16 P 2 (16) 8
{1 P( 2 (16) 16)}{1 P( 2 (16) 8)}
{1 0.25}{1 0.95} 0.70
(二) t—分布
1、定义 若X~N(0, 1)，Y~2(n)，X与Y独立，则
T X ~ t(n). t(n)称为自由度为n的t—分布。 Yn
例5.6 X ~ N (, 2 ) (X1,X2,X3)为X的一个样本，求
2(X1 )
的分布
(X2 )2 (X3 )2
t1 (n)
α
t (n)
T分布的双侧分位数 P{T t (n)}
2
P{T t (n)}
2
2
, P{T -t (n)}
2
2
当n 充分大以后 t (n) u（ 通常n 45)
例5.7.设总体X服从N(0,1)，样本X1,X2…Xn来自总体X，试 求常数c使统计量 c( X1 X 2 ) 服从t-分布.
例5.1 设 X ~ N (, 2 ) (X1,X2,…,Xn)为X的一个样本，
求(X1,X2,…,Xn)的密度。
解 (X1,X2,…,Xn)为X的一个样本，故
X i ~ N (, 2 ) i 1,2, , n
n
f (x1, x2 , , xn ) f (xi )
i 1
n
i 1
1
e
(
xi 2 2
Y (X1 X2 X3 )2 (X4 X5 X6 )2
求常数C使得CY服从2分布。
解 因为(X1,X2…X6)为X的一个样本, Xi~N(0,1)，i=1,2…6
则(X1 X2 X3) ~ N(0,3） (X4 X5 X6 ) ~ N(0,3)
X1 X2 X3 ~ N(0,1） X4 X5 X6 ~ N(0,1)
3
3
( X1 X2 X3 )2 ( X4 X5 X6 )2 ~ 2 (n)
3
3
所以，取常数C=1/3使得CY服从2分布
性质1. 若X～2(n)，则E(X)=n，D(X)=2n
证明： X
n
X
2 i
,
Xi
~
N (0,1),
E( X i )
0, D( X i )
1
i1 n
n
E(X) E(
X
2 3
X
2 4
X
2 5
解：X 1
X 2服从N (0,2) Y1
X1
X2 2
服从N (0,1)
X 3, X 4, X 5服从N (0,1) Y2
X
2 3
X
2 4
X 52服从 2 (3)
又因为Y1 , Y2 相互独立
X1 X2
2
服从t(3)
（X
2 3
X
2 4
X 52）/ 3
c 3/2
例5.8.设随机变量X服从N(2,1)，随机变量Y1 Y, 2 ,Y3, Y4均
第五章 数理统计的基础知识
▪ 总体和样本 ▪ 几个常用的分布和抽样分布
概率论与数理统计的关系
▪ 概率论——是根据大量同类随机现象的统计规律，对 随机现象出现某一结果的可能性作出一种客观的科学 判断，对这种出现的可能性大小做出数量上的描述;比 较这些可能性的大小、研究它们之间的联系，从而形 成一整套数学理论和方法。
如果样本(X1,X2,…,Xn)满足 (1)代表性：样本的每个分量
Xi与总体X有相同的分布； (2)独立性： X1,X2,…,Xn是相 互独立的随机变量，
则称样本(X1,X2,…,Xn)为简单 随机样本。
1设总体X的分布为F(x)，则样本(X1,X2,…,Xn)的联合分布为
F (x1, x2 , , xn ) P( X1 x1, X 2 x2 , X n xn ) P(X1 x1)P(X 2 x2 ) P(X n xn )
样本均方差（样本标准差）S
样本k阶原点矩
Ak
1 n
n i 1
X
k i
1
n 1
n i 1
(Xi
X
)2
k 1,2,
样本k阶中心矩
Mk
1 n
n
(Xi源自文库
i 1
X )k
k 1,2,
顺序统计量，样本极小值，样本极大值，极差
Homework P135
▪6
5.2 常用统计分布
一、常用分布
2—分布、 t —分布和F—分布。
从本质上讲，总体就是所研究的随机变量或随
机变量的分布。即一个具有确定概率分布的随
机变量。
二、随机样本 从总体X中抽出若干个个体称为样本，一般记为 (X1,X2,…,Xn)。n称为样本容量（或样本大小）。而对这 n个个体的一次具体的观察结果——(x1,x2,…,xn)是完全确 定的一组数值，但它又随着每次抽样观察而改变。 (x1,x2,…,xn)称为样本观察值。
x!
n
P( X1 x1, X 2 x2 , , X n xn ) P( X i xi ) i 1
n xi e i1 xi!
n
xi
i1
en
x1!x2! xn!
三、分组数据统计表与频率直方图
1、分组数据表 （1）组距：若样本值过多时，可将其分为若干组。
分组的区间长度一般取成相等，称区间的长度为组距。
n
F (x1)F (x2 ) F (xn ) F (xi ) i 1
2当总体X是离散型时，其分布律（离散总体密度）为
P( X xk ) pk k 1,2, 样本的联合分布律（离散样本密度）为
P( X 1
x1, X 2
x2 ,
Xn
xn )
P( n
X
1
x1 )P( X 2
n
x2 )
P(X n
当n充分大时，近似有2 (n)
1 2
(u
2n -1)2
练习1. P(2(n)<s)=1-p
∵P(2(n) < s)=1- P(2(n) s )=1-p
∴ P(2(n) s )=p
s
2 p
(n)
练习2. P(2(11)>s)=0.05,求s
解：s
2 0.05
(11)
19.675
练习3. P(a<2(n)b)=p
xn )
P( X i xi ) p(xi )
i 1
i 1
3当总体X是连续型时， X~f(x)(连续总体密度），
则样本的联合密度（连续样本密度)为
n
f (x1, x2 , , xn ) f (xi )
i 1
总体、样本、样本观察值的关系
总体
理论分布
样本
样本观察值
统计是从手中已有的资料——样本观察值，去推断总 体的情况——总体分布。样本是联系两者的桥梁。总 体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本取到 样本观察值的规律，因而可以用样本观察值去推断总 体。
X
2 i
)
E
(
X
2 i
)
i 1
i 1
n
n
[
E
(
X
2 i
)
E
(
X
i
)
2
]
D(Xi ) n
i 1
i 1
n
n
D(X) D(
X
2 i
)
D(
X
2 i
)
i 1
i 1
n
n
[
E
(
X
4 i
)
E
(
X
2 i
)
2
]
(3 1) 2n
i 1
i 1
性质2.（分布可加性）:若X～2(n1)，Y～2(n2)，X与 Y独立，则
X
1 n
n i 1
Xi
n
X
2 i
i 1
X
1
2
X
2 i
i
均为统计量
若μ已知，σ2未知， (X1,X2,…,X5)为X的一个样本
maxX1, X2, , X5, X 为统计量
1
2
X
2不是统计量
i
几个常用的统计量
样本均值
X
1 n
n i 1
Xi
样本方差
S 2
1 n 1
n i 1
(Xi
X )2
一、总体（母体） 在数理统计中，把所研究的对象的全体称为总体。
通常指研究对象的某项数量指标，一般记为X。 把总体的每一个基本单位称为个体。
如全体在校生的身高X，某批灯泡的寿命Y。 对不同的个体，X的取值是不同的。X是一个随机变量或 随机向量。X或Y的分布也就完全描述了我们所关心的指 标，即总体的分布。为方便起见，我们将X的可能取值 的全体组成的集合称为总体，或直接称X为总体。X的分 布也就是总体的分布。
(X1,X2,…,Xn)
g(X1,X2,…,Xn)
其中g(x1,x2,…,xn)是(x1,x2,…,xn)的连续函数。
如果g(X1,X2,…,Xn)中不含有未知参数，称g(X1,X2,…,Xn) 为统计量。
（不含未知参数的样本的函数）
如 X ~ N (, 2 ) , 2 已知，
(X1,X2,…,Xn)为X的一个样本
(1
t
2
n1
)2
,
n ( n) n
2
t
2、基本性质:
(1) f(t)关于t=0(纵轴)对称；
(2) f(t)的极限为N(0,1)的密度函数，即
lim f (t) (t)
1
t2
e 2 , x
n
2
3、t分布表及有关计算 T~t(n) P{T>λ}= α
t (n)
α
注: t1 (n) t (n)
解
X i ~ N(, 2 )
X i ~ N (0,1) i=1,2,3
X1 ~ N (0,1)
X2
2
X3
2
~
2 (2)
X1
X2
2
X3
2
2
~ t(2)
2(X1 )
~ t(2)
(X2 )2 (X3 )2
t(n) 的概率密度为
f (t)
( n 1) 2
（2）组频数：区间所含的样本值个数称为该区间的组频数。
（3）组频率：组频数与总的样本容量之比称为组频率。 2、频率直方图
它能够直观地反应出组频率的分布
四、经验分布函数
定义 设总体X的一个容量为n的样本的样本值为x1, x2 xn 可按大小次序排列成x(1) x(2) x(n). 若x(k) x x(k1) ,则不大于x的样本值的频率为k / n.
函数Fn (x) k / n
0
x x(1) x(k) x x (k1)
1 x x(n)
与事件{X x}在n次独立重复的试验中的发生频率是相同的。
称Ｆ（ｎ ｘ）为经验分布函数。
五、统计量
样本是我们进行分析和推断的起点，但实际上我们 并不直接用样本进行推断，而需对样本进行“加工” 和“提炼”，将分散于样本中的信息集中起来，为此 引入统计量的概念。
∵P(a<2(n)b)= P(2(n)b) - P(2(n)a )
={1- P(2(n)>b) }-{1- P(2(n)>a )}
a
2 1
p
(n),
b
2 p
(n)
2
2
例5.6 总体X~N(μ,σ2)，(X1,X2,…,X16)为一个样本，求
2
P
2
1 16
16
(Xi
i 1
)2
2
解 X i ~ N(, 2 )
)2
2
1
e n
1
2 2
n
( xi )2
i1
2
例5.2 设某电子产品的寿命X服从指数分布，密度函数
ex x 0
f (x)
0
x0
(X1,X2,…,Xn)为X的一个样本，求其密度函数。
解 因为(X1,X2,…,Xn)为X的一个样本，X i ~ f (xi )
f (x1, x2, , xn )
n
f
(xi )
n i 1
exi
i 1
0
xi 0(i 1,2, , n) 其他
n
n
xi e i1
0
xi 0(i 1,2, , n) 其他
例5.3 某商场每天客流量X服从参数为λ的泊松分布， 求其样本(X1,X2,…,Xn)的联合分布律。
解 P( X x) x e x 0,1,2,
X + Y～2(n1+n2 )
3、2分布表及有关计算 (1)构成 P{2(n)>λ}=α，已知n, α可查表求得λ;
(2)有关计算P 2 (n)
2 (n) 称为上侧α分位数
2 (n)为整体记号
2 (n)
查表得
2 0.1
(25
)
34 .382
2 0.05
(10 )
18 .307