第四章 一元函数微积分的应用

第四章一元函数微积分的应用内容提要：一元函数微分学的应用很广：导数与切线的关系直接从导数的定义上就可以得到，它也进一步反应了微分学的基本思想：“以曲代直”；导数与单调性的关系是中值定理的推论，它不但可以帮助我们很方便地计算函数的单调区间，还是我们证明很多不等式的重要思路；函数的极值点与拐点是重要的考点，考生需要理解并掌握它们的定义和判别定理，它们也都可以通过函数的单调性来理解。

一元函数微分学的应用在考试中出现的频率很高，但总体难度不大，只要记住相应的定理和计算公式即可。

定积分的应用分为几何应用和物理应用两部分。

几何应用包括通过定积分计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积和侧面积；物理应用主要是通过定积分计算一些物理量：变力做的功，液体的静压力，平面图形的质心或形心等。

定积分的应用的理论基础是定积分的定义，它的基本思想是微元法，微元法可以概括为分割、近似、求和、取极限，其中近分割和近似是这四步的关键。

考生复习时应该掌握常见的几何量和物理量的计算公式，同时还要深入理解微元法的思想，对主要公式要掌握其推导过程。

第一节导数的应用Ⅰ考点精讲1.导数与切线设函数可导，则曲线在任意一点的切线斜率等于该点的导数值。

也就是说，曲线在处的切线方程可表示为，该点的法线方程可表示为。

2.单调性定理：设函数在上连续，在上可导。

（1）如果在上有，那么函数在上单调递增。

（2）如果在上有，那么函数在上单调递减。

（单调性定理也是中值定理的推论，考生可以尝试自行推导）3.函数极值点及其判定方法1）.极值点设函数在点的某领域内有定义，如果对任意的，有，则称是函数的一个极大值（或极小值）。

2）.极值点的判别定理a.(必要条件)设函数在处可导，并在处取得极值，那么。

（罗尔定理的推论）b.(第一充分条件)设函数在处连续，并在的某去心邻域内可导。

ⅰ）若时，而时，则在处取得极大值；ⅱ）若时，而时，则在处取得极小值；ⅲ）若时，符号保持不变，则则在处没有极值；c.(第二充分条件)设函数在处存在二阶导数且，那么ⅰ）若则在处取得极小值；ⅱ）若则在处取得极大值。

4.函数的凹凸性1）凹函数与凸函数的定义设函数在区间上连续，如果对上任意两点恒有，则称是上的凹函数；如果对上任意两点恒有，则称是上的凸函数。

2）凹凸性与二阶导数的关系设函数在闭区间上连续，在开区间上具有一阶和二阶导数，那么：（1）如果在上有，那么函数在上是凹函数；（2）如果在上有，那么函数在上是凸函数。

3）函数的拐点：函数凹凸性的分界点称之为拐点。

4）拐点的判别：拐点判别定理Ⅰ：若在点处，且在点两侧函数二阶导数的符号不一样，则点为拐点。

拐点判别定理Ⅱ：若在点处，且有，则点为拐点。

5.函数的渐近线1）.垂直渐近线()如果函数在处的左右极限中至少有一个等于或，则称为函数的垂直渐近线。

2）.水平渐近线()如果有或，则称为函数的水平渐近线。

3）.斜渐近线()如果有或，则称为函数的斜渐近线。

求函数斜渐近线的方法：ⅰ）.计算；ⅱ）.再计算6．曲线曲率1）曲率：曲线在点处的曲率为；对于参数方程，相应的公式为2）曲率半径：。

3）曲率圆：在点的法线上取曲线凹的一侧的一点，使得，则以点为圆心，为半径的圆称之为曲线在点处的曲率圆。

经计算可得，曲率圆的方程为，其中，。

2核心题型与思路总结题型一导数与切线【例1】：曲线上与直线垂直的切线方程为：分析：曲线的切线与已知直线垂直等价的告诉了切线的斜率，我们只要把切点的坐标求出来就可以写出切线的方程。

【解】：已知直线的斜率为，那么根据垂直直线之间的斜率成负倒数关系，那么切线的斜率为，，，令，可得，所以切线的方程为。

【例2】：若在点处的切线与轴的交点为，则分析：计算极限，我们可以直接把的表达式写出来，然后直接计算极限。

是切线和轴的交点的横坐标，所以我们应先求出切线方程。

【解】：，，那么曲线在处的切线方程为，切线与轴的交点为，即，因此。

【例3】：设周期函数在内可导，周期为。

又，则曲线在点处的切线斜率为（）分析：函数在某点的导数值几何上对应函数曲线在该点的切线的斜率，因此求切线的斜率归结为求导数，对于没有确定表达式的函数求函数在某点的导数可以利用已知条件通过定义来求。

具体到这个题目还会用到周期函数的性质。

【解】：由已知条件在内可导且周期为，即，两侧对求导得，故。

由于，即，即切线的斜率为。

【例4】：已知函数是周期为的可导周期函数，它在的某邻域内满足，试求曲线在点处的切线方程。

分析：此题与上题类似。

函数在某点的导数值几何上对应函数曲线在该点的切线的斜率，因此求切线的斜率归结为求导数，对于没有确定表达式的函数求函数在某点的导数可以利用已知条件通过定义来求。

这个题目也会用到周期函数的性质。

【解】：由已知条件在内可导且周期为，即，两侧对求导得，故。

由于在的某邻域内满足，令可得，即，。

又，令，则所以，，所以切线方程为。

题型二函数单调性与极值（或最值）解题思路：（1）在函数可导的前提下，导数是判断函数增减性最有力的工具；（2）极值点与驻点的关系：极值点不一定是驻点，因为极值点处的导数不易定存在；驻点不易定是极值点，因为该点左右两边的增减性可能一样；（3）判断极值点的两个充分条件中，第一充分条件更本质，适用范围更广，第二充分条件也可以在它的基础上进行理解记忆，但在实际解题时，第二充分条件运用起来更方便；（4）计算函数最值的方法：找出所有导数等于0的点以及端点和不可导点；计算所有这些点的函数值；通过比较，这些值中最大的就是最大值，最小的就是最小值；（5）在很多实际问题中，可以采取这样的思路寻找最值：首先根据问题的实际背景说明问题的最大或最小值必然是存在的；再说明这样的最大或最小值不会在端点出现，也就是说要寻找的最值点也是极值点；最后，再通过计算导数寻找极值点（很多时候，导数等于0的点只有一个，则这个点就是我们要寻找的最值点，而无需再检验极值的充分条件）。

【例5】：设是恒大于零的函数，且。

则当时有（）A. B.C. D.分析：观察可以发现等价于，即，由此我们可以判断哪个不等式成立。

【解】：由可得，即，因此在定义域中是单调递减的函数，那么当时有，变形与选项对照可以发现只有A成立。

【例6】：设为连续正值函数，试证明：在上单调增加。

分析：函数单调递增意味着导函数大于零，因此我们只需证明即可。

【解】：，且为连续正值函数，则当，，所以在上单调增加。

【例7】：设函数在内连续，其导函数的图形如图所示，则有（）（A）一个极小值点和两个极大值点（B）两个极小值点和一个极大值点（C）两个极小值点和两个极大值点（D）三个极小值点和一个极大值点分析：由图像可以观察出导函数的变化规律，按照判断极值点的充分条件就可以得到极值点的个数以及类型。

另外我们也可以根据导函数的图像画出原函数的图像，利用图像判断函数的极值情况。

【解】：根据导函数的图像以及函数在内连续，我们可以画出函数草图，如下从图像可以看出函数有两个极小值、两个极大值。

【例8】：设的导数在处连续，又，则A. 是的极大值点B. 是的极小值点C. 是曲线的拐点D. 不是是的极值点，也不是曲线的拐点分析：我们可以利用考点精讲提供的判断极值点、拐点的判定定理直接判断，需要注意定理的条件，并注重挖掘已知条件中的隐含信息。

【解】：由极限可知，当时，当，，当，，于是时是的极大值点【例9】：设f(x)在[－π, +π]上连续, 当a为何值时, 的值为极小值.(a) (b)(c) (d)【解】：为a的二次式.所以当a =, F(a)有极小值.【例10】：设有二阶导数，满足求证：时，为极小值分析：已知，并且函数有二阶导数，根据考点精讲提供的判断极值的充分条件，我们只需证明，由于，因此需要讨论的取值。

【证明】：（1）情形。

故为极小值（2）情形这时方程条件用代入下行，无法得出上面的公式由于存在可知连续，（用洛必达法则）=（再用洛必达法则）=因此是极小值【例11】：在抛物线上求一点，使得该点的切线与直线所围成的三角形面积最大。

分析：先写出三角形面积与的函数关系式，再求该函数在所给区间上的最大值。

【解】：过抛物线上一点的切线斜率为，于是切线方程为。

将代入直线方程得直线与交点的横坐标，类似得到直线与交点的纵坐标。

于是三角形面积。

先找极值点。

解得，代入得再找端点。

于是使得三角形面积最大的点为【例12】：求函数的最大值与最小值.【解】：, 解得x = 0, x =, , =1所以, 最大值, 最小值.题型三判断函数的凹凸性及拐点解题思路：（1）导数的正负性决定函数的单调性，二阶导数的的正负性决定函数的凹凸性；极值点是函数单调性的分界点，左右两侧导数的符号不一样；拐点是函数凹凸性的分界点，左右两侧二阶导数的符号不一样。

（2）拐点的两个判别定理和极值点的两个判别定理对应，可以结合起来进行理解记忆。

【例13】：曲线的拐点坐标为：分析：判断曲线的拐点可以根据拐点判定定理直接判断，但一定要注意定理的条件。

【解】：，，，令，得，且在两侧变号，那么为原曲线的拐点。

当，不存在，所以也可能为原曲线的拐点，但是在两侧不变号，所以不为原曲线的拐点。

【例14】：设函数由参数方程所确定，则曲线向上凸的的取值范围是：分析：为确定参数方程所确定的曲线向上凸的范围，首先要利用参数方程求导法则求出然后再确定使的的范围，进而确定出的范围。

【解】：由参数方程的求导法则可得，，令，则。

为了确定时的范围，先求，则在时为增函数，又时，，则当时，。

【例15】：已知函数对一切满足，且，则（）A. 是的极大值B. 是的极小值C. 是曲线的拐点D. 不是的极值，也不是曲线的拐点分析：若在中令得，此时不能判断四个选项中哪一个正确，这时应借助于处的高阶导数，由于原式的右端可导，则左端可导，又因为可导，所以可导，即三阶导数存在。

【解】：在中令得，原式两端对求导得，令得，二阶导数值为零，三阶导数值不为零，故是曲线的拐点。

【例16】：设函数，则（）A. 是的极值点，但不是曲线的拐点B. 不是的极值点，但是曲线的拐点C. 是的极值点，且是曲线的拐点D. 不是的极值点，且不是曲线的拐点分析：函数实际上是一分段函数，可以写开，这样我们再判断处的信息就容易的多，直接按照极值点和拐点的性质判断就可以。

【解】：由知，而在的去心邻域内，因而在处取得极小值；又，所以，即在两侧变号，所以是曲线的拐点，答案为C。

题型四计算函数的渐近线解题思路：（1）求渐近线最大的难度在于不重不漏地计算出所有的渐近线。

具体解题步骤如下：首先检查函数所有的间断点，如果在某一间断点处函数的左右极限中至少有一个为无穷，那么该点处就是一条垂直渐近线；找出所有的垂直渐近线后，再分别检验函数在或是否有斜渐近线或水平渐近线。

以的情况为例：计算极限，如果该极限值存在，则；在计算极限，如果该极限存在，则。