第四章 一元函数微积分的应用

第四章一元函数微积分的应用

内容提要：一元函数微分学的应用很广：导数与切线的关系直接从导数的定义上就可以得到，它也进一步反应了微分学的基本思想：“以曲代直”；导数与单调性的关系是中值定理的推论，它不但可以帮助我们很方便地计算函数的单调区间，还是我们证明很多不等式的重要思路；函数的极值点与拐点是重要的考点，考生需要理解并掌握它们的定义和判别定理，它们也都可以通过函数的单调性来理解。一元函数微分学的应用在考试中出现的频率很高，但总体难度不大，只要记住相应的定理和计算公式即可。

定积分的应用分为几何应用和物理应用两部分。几何应用包括通过定积分计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积和侧面积；物理应用主要是通过定积分计算一些物理量：变力做的功，液体的静压力，平面图形的质心或形心等。定积分的应用的理论基础是定积分的定义，它的基本思想是微元法，微元法可以概括为分割、近似、求和、取极限，其中近分割和近似是这四步的关键。考生复习时应该掌握常见的几何量和物理量的计算公式，同时还要深入理解微元法的思想，对主要公式要掌握其推导过程。

第一节导数的应用

Ⅰ考点精讲

1.导数与切线

设函数可导，则曲线在任意一点的切线斜率等于该点的导数值。也就是说，曲线在处的切线方程可表示为，该点的法线方程可表示为。

2.单调性定理：设函数在上连续，在上可导。

（1）如果在上有，那么函数在上单调递增。

（2）如果在上有，那么函数在上单调递减。

（单调性定理也是中值定理的推论，考生可以尝试自行推导）

3.函数极值点及其判定方法

1）.极值点

设函数在点的某领域内有定义，如果对任意的，有

，则称是函数的一个极大值（或极小值）。2）.极值点的判别定理

a.(必要条件)设函数在处可导，并在处取得极值，那么。（罗尔定理

的推论）

b.(第一充分条件)设函数在处连续，并在的某去心邻域内可导。

ⅰ）若时，而时，则在处取得极大值；

ⅱ）若时，而时，则在处取得极小值；

ⅲ）若时，符号保持不变，则则在处没有极值；

c.(第二充分条件)设函数在处存在二阶导数且，那么

ⅰ）若则在处取得极小值；

ⅱ）若则在处取得极大值。

4.函数的凹凸性

1）凹函数与凸函数的定义

设函数在区间上连续，如果对上任意两点恒有，则称是上的凹函数；如果对上任意两点恒有，则称是上的凸函数。

2）凹凸性与二阶导数的关系

设函数在闭区间上连续，在开区间上具有一阶和二阶导数，那么：

（1）如果在上有，那么函数在上是凹函数；

（2）如果在上有，那么函数在上是凸函数。

3）函数的拐点：函数凹凸性的分界点称之为拐点。

4）拐点的判别：

拐点判别定理Ⅰ：若在点处，且在点两侧函数二阶导数的符号不一样，则点为拐点。

拐点判别定理Ⅱ：若在点处，且有，则点为拐点。

5.函数的渐近线

1）.垂直渐近线()

如果函数在处的左右极限中至少有一个等于或，则称为函数的垂直渐近线。

2）.水平渐近线()

如果有或，则称为函数的水平渐近线。

3）.斜渐近线()

如果有或，则称为函数的斜渐近线。

求函数斜渐近线的方法：

ⅰ）.计算；ⅱ）.再计算

6．曲线曲率

1）曲率：曲线在点处的曲率为；

对于参数方程，相应的公式为

2）曲率半径：。

3）曲率圆：在点的法线上取曲线凹的一侧的一点，使得，则以点为圆心，为半径的圆称之为曲线在点处的曲率圆。

经计算可得，曲率圆的方程为，其中，。

2核心题型与思路总结

题型一导数与切线

【例1】：曲线上与直线垂直的切线方程为：

分析：曲线的切线与已知直线垂直等价的告诉了切线的斜率，我们只要把切点的坐标求出来就可以写出切线的方程。

【解】：已知直线的斜率为，那么根据垂直直线之间的斜率成负倒数关系，那么切线的斜率为，，，令，可得，所以切线的方程为。【例2】：若在点处的切线与轴的交点为，则

分析：计算极限，我们可以直接把的表达式写出来，然后直接计算极限。

是切线和轴的交点的横坐标，所以我们应先求出切线方程。

【解】：，，那么曲线在处的切线方程为，切线与轴的交点为，即，因此。

【例3】：设周期函数在内可导，周期为。又，则曲线在点处的切线斜率为（）

分析：函数在某点的导数值几何上对应函数曲线在该点的切线的斜率，因此求切线的斜率归结为求导数，对于没有确定表达式的函数求函数在某点的导数可以利用已知条件通过定义来求。具体到这个题目还会用到周期函数的性质。

【解】：由已知条件在内可导且周期为，即，两侧对

求导得，故。

由于，即，即切线的斜率为。

【例4】：已知函数是周期为的可导周期函数，它在的某邻域内满足

，试求曲线在点处的切线方程。

分析：此题与上题类似。函数在某点的导数值几何上对应函数曲线在该点的切线的斜率，因此求切线的斜率归结为求导数，对于没有确定表达式的函数求函数在某点的导数可以利用已知条件通过定义来求。这个题目也会用到周期函数的性质。

【解】：由已知条件在内可导且周期为，即，两侧对求导得，故。

由于在的某邻域内满足，令可得，即，。

又，令，则

所以，，所以切线方程为。

题型二函数单调性与极值（或最值）

解题思路：（1）在函数可导的前提下，导数是判断函数增减性最有力的工具；

（2）极值点与驻点的关系：极值点不一定是驻点，因为极值点处的导数不易定

存在；驻点不易定是极值点，因为该点左右两边的增减性可能一样；

（3）判断极值点的两个充分条件中，第一充分条件更本质，适用范围更广，第

二充分条件也可以在它的基础上进行理解记忆，但在实际解题时，第二充分条件

运用起来更方便；