【线性系统课件】线性系统的多项式矩阵描述

10.4 系统的零极点
• 一般地，系统的零、极点与传递函数矩阵的零极点不 是等同的，后者包含在前者之中，是前者的一个子集。 同一系统，其PMD为{P(s),Q(s),R(s),W(s)}， 系统极点是det P(s)=0的根 状态空间描述为{A,B,C,E} 系统极点是det(sI-A)=0的根 以上二者是等同的。
rank [ P ( s ) Q ( s )] m , s C
所以，输入零点又等于使[P(s) Q(s)]行降秩的s值。
2. 输出解耦零点(output decoupling zero)
若P(s)和R(s)存在非单模的gcrd F(s)
P (s) P (s)F (s) R (s) R (s)F (s) 则 G ( s ) [ R ( s ) F ( s )][ P ( s ) F ( s )] Q ( s ) W ( s ) R (s)P (s) Q (s) W (s) 可见 , F ( s ) 被消去了 . 定义 : det F ( s ) 0的根为输出解耦零点 同前 , 输出解耦零点又等同于 . s值 .
第10章 线性系统的多项式矩阵描述
10.1 多项式矩阵描述
• 前已讲过，多项式矩阵描述（PMD） P(s)(s)=Q(s)u(s) y(s)=R(s) (s)+W(s)u(s) 它是系统的内部描述，是最一般的描述。 • 不可简约PMD {P(s)，Q(s)}左互质，且{P(s)，R(s)}右互质 • 不可简约PMD不唯一 {P(s),Q(s),R(s),W(s)}不可简约 {U(s)P(s)V(s),U(s)Q(s),R(s)V(s),W(s)}不可简约 U(s),V(s)为单模矩阵
G ( s ) R ( s )[ H ( s ) P ( s )] [ H ( s ) Q ( s )] W ( s ) R (s)P (s) Q (s) W (s)
1 1
可见，H(s)中的gcld H(s)在传递函数矩阵中消失了，这导 致了零极点对消。 定义：det H(s)=0的根为输入解耦零点。 意义：这种对消的零极点使系统的输入与分状态之间解除了 耦合，即输入信号不能影响这些极点所对应的状态。 由于 [ P ( s ) Q ( s )] H ( s )[ P ( s ) Q ( s )]
C o ( sI A o ) B o u ( s ) Y ( s ) u ( s )
1
1
– 总之
y ( s ) R ( s ) ( s ) W ( s ) u ( s ) R ( s )C o
X ( s )( sI A o ) C o
( sI A o ) B o u ( s ) [ R ( s )Y ( s ) W ( s )] u ( s )
10.3 PMD的互质性和状态空间表达的能控性、能观性
• 互质性与能控性、能观性的等价性 1. 给定{P(s),Q(s),R(s),W(s)}，其维数为n=deg detP(s)=dim A的 一个实现为{A,B,C,E(p)}，则 {P(s),Q(s)}左互质{A，B}能控 {P(s),R(s)}右互质{A，C}能观 1 1 N (s)D (s) N (s)D (s)I E (s) 2. 对右MFD， 能控类实现：{A，B，C，E}，dim A=deg detD(s) 则：{D(s),N(s)}右互质{A,C}能观 （已经能控） 1 1 对左MFD， D L ( s ) N L ( s ) ID L ( s ) N ( s ) E ( s ) { 能观类实现： A , B , C , E }, dim A deg det D L ( s ), 则

Pr ( s ) 1 1 1 1

Qr (s )
Pr ( s ) Q r ( s ) u ( s ) [Y ( s ) Pr ( s ) Q r ( s ) ]u ( s )
strictly proper
– 对 得
Pr ( s ) Q r ( s )
1
10.2 PMD的状态空间实现
一. 定义 给定{P(s),Q(s),R(s),W(s)}，若能找到状态空间描述 {A,B,C,E(p)}，使
R (s)P
1
( s ) Q ( s ) W ( s ) C ( sI A )
来自百度文库
1
B E (s)
则称 { A , B , C , E ( p )} 为给定 PMD 的实现 .
1 1
P (s) 使 降秩的所有 R (s)
意义：输出解耦零点使输出与分状态之间的耦合解除了，即分 状态不完全反映到系统输出中去。
3. 输入输出解耦零点
若P(s)和Q(s)存在非单模的左公因子L(s), (不一定gcld) 同时P(s)和R(s)也存在非单模的右公因子L(s) 即 P (s) L(s)P (s) Q ( s ) L ( s )Q ( s )
{ D L ( s ), N L ( s )} 右互质 { A , B }能控
3. 对{A,B,C,E(p)}, G ( s ) C ( sI A ) 1 B E ( s ) {A，B}能控{sI-A，B}左互质 {A，C}能观{sI-A，C}右互质 此即为PBH秩判据的结论。 4. SISO系统{A，b，c}，
1 1
1
C o ( sI A o ) B o u ( s ) [ X ( s ) B o R ( s )Y ( s ) W ( s )] u ( s ) C o ( sI A o ) B o u ( s ) E ( s ) u ( s )
– 实现为 { Ao , B o , C o , E ( p )} 三. 最小实现 当且仅当PMD为不可简约时，其维数为n=deg detP(s) 的任何实现均为最小实现。
• 注： – 求传递函数矩阵时，应消去P(s)与Q(s)的左公因子和 P(s)和R(s)的右公因子，使传递函数矩阵的零极点不 包含解耦零点。 – 若记P和Z为传递矩阵的极点、零点，则系统的极点 Ps和零点Zs分别为
1
( s ), 得
(2) P(s),Q(s)左互质，P(s),R(s)非右互质 P(s),R(s)有非单模的gcrd, 设为F(s), 必非奇
P (s) P (s)F (s) R (s) R (s)F (s) P ( s ), R ( s ) 右互质 原描述可写成 P ( s ) F ( s ) ( s ) Q ( s ) u ( s ) y ( s ) R ( s ) F ( s ) ( s ) W ( s ) u ( s ) ~ 设 ( s ) F ( s ) ( s ), 则 ~ P ( s ) ( s ) Q ( s ) u ( s ) ~ y ( s ) R ( s ) ( s ) W ( s ) u ( s ) 不可简约 rank P ( s ) Q ( s ) rank P ( s ) Q ( s ) , 故 P ( s ), Q ( s ) 左互质 .
（3）前两种情况的组合 P(s),Q(s)非左互质，消去其gcld H(s), 得
H 1 ( s ) P ( s ) ( s ) H 1 ( s ) Q ( s ) u ( s ) y ( s ) R ( s ) ( s ) W ( s ) u ( s ) 再消去 H ( s ) P ( s ) 和 R ( s )的 gcrd F ( s ) , 即做代换 ~ ( s ) F ( s ) ( s ) ~ H 1 ( s ) P ( s ) F 1 ( s ) ( s ) H 1 ( s ) Q ( s ) u ( s ) ~ 1 y ( s ) R ( s ) F ( s ) ( s ) W ( s ) u ( s ) ~ ~ 1 1 1 P ( s ) H ( s ) P ( s ) F ( s ), Q ( s ) H ( s ) Q ( s ) ~ 1 R ( s ) R ( s ) F ( s ), W ( s ) ~ ~ ~ { P ( s ), Q ( s ), R ( s ), W ( s )}即为不可简约
• 实现不唯一，有维数最小的一类实现，称为最小实现。最小 实现能控且能观，不同的最小实现间代数等价。 二 . 算法：以构造观测器形实现为最简便 已知：{P(s),Q(s),R(s),W(s)}, 求实现
• 思路： – 前面已讲过的MFD实现方法，要求分母矩阵行（列）既约， 严格真； 1 ( s ) P ( s )Q ( s )u ( s ) 的 – 在P(s)(s)=Q(s)u(s)中，先求
1 1
P ( s ) P2 ( s ) L ( s ) 则
1
R ( s ) R1 ( s ) L ( s )
G ( s ) R ( s ) P1 ( s ) Q 1 ( s ) W ( s ) R 1 ( s ) P2 ( s ) Q ( s ) W ( s )
1
显然，L(s)的零点都是解耦点，并且既是i.d.z., 又是o.d.z. 这样的L(s) 的零点称为输入输出解耦零点，i.o.d.z
实现。 • 步骤： – 先把 P 1 ( s ) Q ( s ) 化成满足左MFD求实现的条件，即P(s)化 P 为行既约，r 1 ( s ) Q r ( s ) 严格真；
( s ) P ( s ) Q ( s ) u ( s ) [ M ( s ) P ( s )] [ M ( s ) Q ( s )] u ( s )
g ( s ) c ( sI A ) b
1
c adj ( sI A ) b det( sI A )

N (s) (s)
则 {系统完全能控且能观} g(s)无零极点相消 {系统完全能控} adj(sI-A)b和(s)无零极对消现象 {系统完全能观} c adj(sI-A)和(s)无零极对消现象
系统极点并不全是传递函数矩阵的极点，因求传递函 数矩阵时可能发生零极对消。
对消掉的零极点不包含在传递函数矩阵中，成为系统 的解耦零点。
1. 输入解耦零点(input decoupling zero)
若{P(s),Q(s),R(s),W(s)}中，P(s)、Q(s)存在非单模的gcld H(s)， 即 P ( s ) H ( s ) P ( s ), Q ( s ) H ( s ) Q ( s ), 则
{ A o , B o , C o },
1
求观测器形实现（利用上节方法）， 必有
C o ( sI A o ) 1 B o Pr 1 ( s ) Q r ( s ) ( A o , C o ) observable
( s ) [ Pr ( s ) Q r ( s ) Y ( s )] u ( s )
• 由可简约PMD求不可简约PMD （1）{P(s),Q(s)}非左互质，{P(s),R(s)}右互质 此时，P(s),Q(s)有非单模的gcld, 设为H(s), 非奇 则
P (s) H (s)P (s) Q ( s ) H ( s )Q ( s ) P ( s ), Q ( s ) 左互质 P ( s ) ( s ) Q ( s ) u ( s ) 两边左乘 H P ( s ) ( s ) Q ( s ) u ( s ) y ( s ) R ( s ) ( s ) W ( s ) u ( s ) 不可简约 P (s) P (s) rank , 故 P ( s ), R ( s ) 右互质 . rank R (s) R (s)