第4章-图像增强(频率域)

常用窗函数介绍（低通滤波）：
（1）理想低通滤波器
1 H (u) 0
u u0 u u0
（2）Butterworth低通滤波器
1 H (u) 1 (u / u0 )2n
H(u)
1
0
u0
u
H(u)
1
0 u0
u
（3）指数低通滤波器
H(u) e(u/ u0 )n
H(u) 1
0.5
0 u0
u
（4）梯形低通滤波器
H(u)
1
u u0
H (u) (u u1) /(u0 u1) u0 u u1
1
0
u u1
0 u0 u1
u
常用窗函数介绍（高通滤波）：
（1）理想 高通滤波器
0 H (u) 1
u u0 u u0
（2）Butterworth高通滤波器
1 H (u) 1 (u0 / u)2n
（3）指数高通滤波器
F (u, v)
1
M 1 N 1
f ( x, y)e j 2 (ux / M vy/ N )
MN x0 y0
其中：
e j2 (ux / Mvy/ N ) cos(2u x 2v y) j sin( 2u x 2v y)
MN
MN
M、N 分别为 x、y 的范围，在图像中分别为宽、高。
j 1 为虚数单位。
例如： 一幅 512×512 的图像，不用 FFT 计算，需要计算： 2×（512×512）2 = 137438953472 复数乘法和加法, 按0.1微秒完成一次运算，耗时约3.82小时； 采用 FFT 计算，需要计算： (512×512) log2(237) = 9699328 次复数乘法和加法， 按0.1微秒完成一次运算，耗时约0.97秒；
说明已知 F(u) 可以求出 f ( x )
（2）傅立叶反变换
若已求出 f ( x )的傅立叶反变换F(u) ，则可以由 F(u) 求出 f ( x ) ，称为 傅立叶
反变换：
N 1
f ( x) F (u)e j2ux / N
u0
傅立叶变换域反变换举例：
设 f ( x ) = { 10, 12, 14, 16, 20, 18, 15, 11, 7, 3, 5, 8, 11, 14, 19, 22 };
对称
（3）运用傅立叶变换实现滤波
对频域表达的函数，削弱部分频率成分，增强部分频率成分，再经过 反变换回到空间域表达的函数。
➢ 低通滤波 削弱高频，增强低频。用于突出轮廓，滤除杂乱噪声； ➢ 高通滤波 削弱低频，增强高频。用于加强细节，排除漂移干扰； ➢ 带通滤波 增强某范围内的频率成分，提取有用信息。 ➢ 带阻滤波 削弱某范围内的频率成分，排除固定频率干扰。
F (u) F{ f (x)}
4.2
傅立叶变换的离散计算式:
F (u)
1
N 1
f ( x)e j2ux / N
N x0
F(u)的实部:
Re[ F (u)]
1
N 1
2u
f ( x) cos( x)
N x0
N
虚部:
Im[ F (u)]
1
N 1
2u
f ( x) sin( x)
N x0
N
模:
12.81
0 12.81
8 7 -0.187 5.091 0.188
1 12
2.013 1.428 2.468
9 3 -0.488 0.138 0.508
2 14 -1.229 -2.087 2.421 10 5 -0.521 0.216 0.563
3 16 -0.139 -0.744 0.757 11 8 -0.634 0.061 0.637
Im[F(1)] [10sin(0) 12sin(0.125 1) ... 22sin(0.125 15)]/16 1.428
当u =2 时，……
计算结果：
u f (x) Re[F(u)] Im[F(u)] | F(u) | u f (x) Re[F(u)] Im[F(u)] | F(u) |
0 10
叶变换，得到频域函数F (u)：
F (u) f ( x)e j2ux dx
4.1
其中： j 1 , e j2ux cos(2ux ) j sin(2ux )
x 为位置变量，u 为频率变量； f (x)是实函数，F( u )是复函数。 上式表明：若已知空域函数 f (x) ，则可算出以频率u为自变量的频域函数F (u)。 为方便起见，将 4.1 式简记为：
（3）空域与频域描述的关系
➢ 从物理角度看 空域描述反映的是实物；频域描述反映的是图像内容的变化特性。
➢ 从数学角度看 实际上是坐标变换。 空域描述是在( x , y )空间坐标系上描述图像；频域描述是在( u , v )频 率坐标系上描述图像。两种描述是等效的，可相互转换。
v
x
F( u , v )
绘出F(u)的频谱图。每一条竖线代表一个正弦 波。其中:
F(0)为平均值; F(1)为一次谐波, 幅度为2.468, 角频率为π/16; F(2)为二次谐波, 幅度为2.421, 角频率为2π/16; ……
将F(0)~ F(15)代表的16个正弦波叠加起来， 就能得到原函数 f ( x )，这就是反变换。
f ( x )曲线图
频成分描述曲线的细节。
12.81
② 频率域函数F(u)可以通过傅立叶反变换，转 换成空间域函数 f (x, y)。
2.468
F (u)
③ 除F(0)外，
Re{F(u)}关于N/2对称， Im{F(u)}关于N/2反对称， |F(u)|关于N/2对称。
u
频谱图
计算F(u)仅需计算 0 ~ N/2 范围的值即可。
计算量： 设被处理的图像为 480×640，则计算实部要做 (480×640)2 次复数乘法
和加法；虚部的计算也是如此。故计算量为： 2× (480×640)2=188743680000 （次）
即189亿次复数乘法和加法！设完成一次运算需要0.1微秒（当前较快的PC）， 则要计算5.2小时！
必须采用快速算法（FFT，快速傅立叶变换）。
Im{ F (u, v)} 1 M 1N 1 f ( x, y) sin( 2u x 2v y)
MN x0 y0
MN
F(u,v)的模：
F (u, v) Re{F (u, v)}2 Im{F (u, v)}2
F(u,v)的幅角：
(u,
v)
arctan
Im{F Re{F
(u, (u,
vv))}}
F (u) Re[F (u)]2 Im[F (u)]2
幅角: (u) arctan Im[ F (u)]
Re[ F (u)]
物理含意：
在 f ( x ) 中，含有角频率为 2u / N 的正弦波，其幅度为 F(u) ，相位为 (u)
u = 0,1,…,N-1 或： f ( x ) 由一系列不同频率、相位和幅度的正弦波叠加而成。
Buterworth, x0 = 30 理想低通, x0 = 30 指数低通, x0 = 30
原函数 f (x)
各种窗函数的高通滤波效果比较
Buterworth, x0 = 30 理想高通, x0 = 30 指数高通, x0 = 30
原函数 f (x)
4.2.2 二维傅立叶变换
（1）二维傅立叶变换的定义 设二维空域函数为 f (x, y) 。对 f (x, y) 作傅立叶变换，得到频域函数F (u,v)：
H(u) e(u0 / u)n
Leabharlann Baidu
（4）梯形高通滤波器
0 H (u) (u u0 ) /(u1 u0 )
1
u u0 u0 u u1 u u1
H(u)
1
0
u0
u
H(u)
1
0
u0
u
H(u)
1
0
u0
u
H(u)
1
0
u0 u1
u
➢ButterWorth高通滤波f (x)
F(u) H(u)
F(u) × H(u) f (x)
FFT的基本思想
➢ 由傅立叶变换的计算式可看出，其中存在大量的重复计算。 ➢ FFT 采用 “蝶型算法”，近可能地避免重复计算。 ➢ 采用 FFT，使计算量呈数量级的减少。 ➢ 若原计算量为 2n ，则 FFT的计算量为 n×log2(2n)=n。 ➢ 按“蝶型算法”的要求，图像的高、宽均应为2n 。
例：对心电波的低通滤波
原函数 f (x)，带有大量的 高频干扰。
经过傅立叶变换后的频率 域函数 F(u)。
窗函数
H
(u)
1
1 (u /
30
)5
F(u) 与 H(u) 相乘后的频 率域函数，削弱了高频分 量。
经过傅立叶反变换后的空 间域函数 f (x)，高频干 扰基本被滤除。
各种窗函数的低通滤波效果比较
其中， f ( x , y )为 ( x , y ) 处的像素的值，如灰度。
M、 N分别为图像的宽、高。
人们观察到的图像一般都是空域描述的。此前讨论的都是空间域 描述的图像。
本章将讨论在频率域描述图像，并在频率域实现图像的平滑与锐化。
4.1. 2 频域描述 （1）概念
用一系列频率的二维正弦波去测量图像，分别求出图像内容沿空间位 置的变化中，是否含有这些频率成分，幅度有多大。 （2）定义
4 20 -0.313 -0.625 0.699 12 11 -0.313 0.625 0.699
5 18 -0.634 -0.061 0.637 13 14 -0.139 0.744 0.757
6 15 -0.512 -0.216 0.563 14 19 -1.229 2.087 2.421
7 11 -0.488 -0.138 0.508 15 22 2.013 -1.428 2.468
傅立叶反变换还原空间域函数的过程如下：
x
f ( x )曲线图
12.81
2.468
F (u)
u
频谱图
……
F(0)
F(0)+ F(1)
F(0)+ …+ F(14) F(0)+ …+ F(15)
结论：
① 空间域函数 f (x, y)可以通过傅立叶变换，转 换成频率域函数F(u)。
x
一般地，低频成分描述曲线的大致轮廓，高
其曲线如图，求 F(u)。
f (x)
N=16，故傅立叶变换式为：
F (u) 1 15 f ( x)e j2ux /16
16 x0
x
Re[ F (u)]
1 16
15 x0
f
( x) cos(u x),
u
2u
16
Im[ F (u)]
1 16
15 x0
f
( x) sin(u x)
当u =0 时， u 0
在频域中，图像用如下二维函数描述：
F( u , v ) , 0≤u＜M, 0≤v＜N
其中，u , v 分别为水平变化频率和垂直变化频率；
F ( u , v )为图像中含有( u , v ) 频率的幅度；
M、 N 分别为最高水平变化频率和最高垂直变化频率，在数
量上等于图像的宽、高。
在频率域描述图像，从数量的角度揭示了图像内容沿空间位置的变化 情况，是分析和处理图像的有力工具。
F(u, v)是复函数。
u, v 分别为二维正弦波沿水平和 垂直方向变化的频率。
图示为 u=1, v=2 时的二维正弦波。
（2）二维傅立叶变换的程序算法
计算F(u,v)实部： Re{F (u, v)} 1 M 1N 1 f ( x, y) cos(2u x 2v y)
MN x0 y0
MN
计算F(u,v)虚部：
f(x,y) y
空域描述 f ( x, y )
u
频域描述 F(u,v)
4.2 傅立叶(Fourier)变换
图像函数 f (x, y) 是二维函数。为建立傅立叶变换的概念，先从一维 函数开始。
4.2.1 一维傅立叶变换
（1）傅立叶变换
定义: 连续函数的傅立叶变换。设一维空域函数为 f (x) 。对 f (x) 作傅立
第4章 图像增强（频率域)
4.1 图像变换概述 4.2 傅立叶变换 4.3 小波变换简介
4.1 图像变换概述
4.1.1 基本概念 一幅静止图像，可以在空间域描述，也可以在频率域描述。
空间域描述是指：像素的值是空间坐标的函数。 在直角坐标系中，一幅图像可表示为：
f ( x , y ) , 0≤x＜M, 0≤y＜N
本节仅介绍低通滤波和高通滤波 。
➢ 滤波运算方法： 用 窗函数 H(u) 与 F(u) 相乘（内积）。流程如下：
f (x)
傅立叶 F (u) 变换
内积
F (u) 傅立叶 反变换
f (x)
H (u) 窗函数
滤波运算
窗函数： 与 F(u) 中各频率分量对应的一组系数，各系数的大小在 0 ~ 1之间。 窗函数 H(u) 与 F(u) 相乘（内积），就是把各频率分量乘以对应的系数。 当某系数 =1 时，对应的频率分量得以保留； 当某系数 <1 时，对应的频率分量被削弱。
Re[ F(0) ] = (10×cos(0)+12×cos(0)+…+22×cos(0))/16 = 12.81 Im[ F(0) ] = (10×sin(0)+12×sin(0)+…+ 22×sin(0)) /16 = 0
f ( x )的平均值
当u
=1
时，u
2 1
16
0.125
Re[F(1)] [10cos(0) 12cos(0.125 1) ... 22cos(0.125 15)]/16 2.013