GPS三无约束平差的原理及卡方检验的意义

GPS三维无约束平差原理及卡方检验的意义

一、数学模型

1)误差方程

GPS网三维无约束平差所采用的观测值均为基线向量,即GPS基线的起点到终点的坐标差,因此,对于每一条基线向量都可以列出如下一组误差方程:

根据确定基线向量解所采用的方式,确定出参与网平差的基线向量观测值的权阵。若GPS网中共有n个点,通过观测共得到m条独立基线向量,可将总的误差方程写为如下形式(假定第m1条基线的两个端点分别为第n1点(起点)和第n2点(终点)):

2)起算基准

平差所用的观测方程就是通过上述的方法列出的,但为了使平差进行下去,还必须引入位置基准。引入位置基准的方法一般有两种:第一种是以GPS网中一个点的地心坐标作为起算的位置基准,即可有一个基准方程:

第二种是采用秩亏自由网基准,引入下面的基准方程:

二、观测值权阵。

在GPS 网的三维无约束平差中,基线向量观测值权阵通常由基线解算时得出各基线向量的方差-协方差阵来确定。根据确定基线向量解所采用的模式确定出最终参与GPS 网平差的基线向量观测值的方差-协方差阵。

三、方程的解。

根据误差方程、观测值权阵和基准方程,按照最小二乘原理进行平差解算,得到平差结果:

T

PB;(10-128)

Ngg=GNbb

-1

G

T

;(10-129)

W=B

式中,n 为组成GPS 网的基线数,m 为基线数。

四、单位权方差的检验

在平差完成后,需要进行单位权方差估值^σ02

的检验。它应与平差前的先验单位权方差σ02一致,判断它们是否一致可采用χ2-检验。检验方法为:原假设H0:^σ02=σ02;备选假设H1:^σ

02≠σ02。若

其中α为显著性水平,则H0成立,检验通过;反之,则H1成立,检验未通过。在三维无约束平差中,单位权方差估值^σ02的检验主要用于确定如下两个方面的问题:

(1)观测值的先验单位权方差是否合适;

(2)各观测值之间的权比关系是否合适。

当χ2-检验未通过时,通常表明可能具有如下三方面的问题:

(1)给定了不适当的先验单位权方差;

(2)观测值之间的权比关系不合适;

(3)观测值中可能存在粗差。在进行三维无约束平差时,最初通常会将单位权方差设为1。由于该值是人为给定的值,因而在大多数情况下,并不是与所给定的观测值权阵相一致的单位权方差。虽然在三维无约束平差中,如果仅有GPS观测值,并不会影响参数的估值,但是,为了在后续的约束或联合平差中对起算数据的质量进行检验,通常需要对先验的单位权方差进行调整,使其与验后的单位权方差一致。观测值的权阵则通过利用基线解算时与基线向量估值一同得出的基线向量的方差-协方差阵生成。由于基线解算时所得出的方差-协方差阵反映的主要是观测值的内符合精度,而影

响基线向量实际精度的系统误差并未能完全反映,因此,据

此所生成的权阵,实际上可能无法正确反映出观测值间的权比关系。通过χ2-检验,可以确定观测值的权阵是否合适。如果GPS 基线向量中含有粗差,可以认为其方差非常大,但其基线向量解所给出的方差并不能反映这一情况。实际上,也可以将这种情况当做是观测值之间的权比关系不适当,因而有时也将使得无法通过χ2-检验。这里需要指出的是,若χ2-检验未通过,还无法确定究竟发生了上述三种情况中的哪一种,必须利用其他信息来加以判断,如基线向量残差的大小及分布,在测量时是否采用了不同的观测方法或仪器,是否采用了不同数据处理软件进行基线解算,基线向量的类型是否相同等。