几何证明专题1

几何证明专题

1、如图，AB是圆O的直径，D,E为圆上位于AB异侧的两点，连结BD并延长至点C，使BD =DC，连结AC,AE,DE .

2、如图，O和e O'相交于A, B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于点，连结DB并延长交eO于点E.

证明：（I）ACeBD二ADUB ；

（II）AC=AE C,D两

B

3、选修4 —1几何证明选讲

如图，MBC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E.

(I)证明：MBE sA ADC ；

"）若MBC的面积S^AD^AE，求Z BAC的大小.

4、如图，D, E分别为MBC的边AB , AC上的点，且不与心ABC的顶点重合.已

知AE的长为m, AC的长为n, AD , AB的长是关于x的方程Mx + mn-o的

两个根.

（I）证明：C, B, D , E四点共圆;

(II )若N A=9O。，且m=4, n=6,求C B , D ,

所在圆的半径.

B

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参考答案

1 .【答案】证明：连接AD。

••• AB是圆O的直径，••• NADB=9O0（直径所对的圆周角是直角）。

• •• AD丄BD （垂直的定义）。

又••• BD =DC，二AD是线段BC的中垂线（线段

的中垂线定义）。

AB =AC （线段中垂线上的点到线段两端的距

离相等）。

• Z B=N C （等腰三角形等边对等角的性质）。

又••• D,E为圆上位于AB异侧的两点,

• •• N B=N E （同弧所对圆周角相等）。

• •• N E =N C （等量代换）。

2.【命题意图】本题主要考查几何选讲的基础知识，是简单题.

证明：（1）由AC与eO相切于A，得N CAB二NADB，同理土ACB^DAB ,

4全国名校高中数学优质学案、专题汇编（附详解）所以

MC^ADAB。从而竺二俎，即ACeBD二ADSB

AD BD

分

（2）由AD 与eO 相切于 A，得N AED 二NBAD，又N ADE 二NBDA，得△ EAD e iABD 从而些二，即AE BD =AD AB，综合（1）的结论，AC=AE (10)

AB BD

分

3.证明：（I）由已知条件，可得/ BAE=Z CAD.

因为/ AEB与/ ACB是同弧上的圆周角，所以/ AEB=Z ACD.

故^ ABE S A ADC.

(n)因为△ ABE S A ADC，所以空=如，即A B• AC= AD - AE.AE AC

1 1

又S= ^AB -ACsin/ BAC,且S= ^AD -AE,故AB -ACsin/ BAC= AD - AE.

则sin/ BAC= 1,又/ BAC为三角形内角，所以/ BAC= 90° .

4.解:

（I）连接DE,根据题意在△ ADE和^ACB中

ADK AB=mn二AE： AC,

AD AE

即AC A B .又/ DAE= / CAB，从而△ ADE ACB

因此/ ADE= / ACB

所以C, B, D, E四点共圆.

(n) m=4, n=6 时，方程x2-14x+mn=0 的两根为x1=2, x2=12.

故AD=2 , AB=12.

取CE的中点G, DB的中点F,分别过G, F作AC, AB的垂线，两垂线相

交于H点，连接DH.因为C, B , D , E四点共圆，所以C, B , D, E四点所

全国名校高中数学优质学案、专题汇编（附详解）在圆的圆心为H，半径为DH.

1

由于/ A=900，故GH// AB , HF // AC. HF=AG=5 , DF= 2（i2-2）=5.

故C, B, D, E四点所在圆的半径为5厲