极坐标与参数方程专题复习

极坐标与参数方程专题复习

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试卷第8页，总6页

极坐标与参数方程专题复习

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一、知识点总结

1.直线的参数方程

(1)标准式过点()000P ,x y ，倾斜角为α的直线l (如图)的参数方程是

⎩

⎨

⎧+=+=a t y y a

t x x sin cos 00 (t 为参数) 定点()000P ,x y 加t 个单位向量就是动点 于是，t 的绝对值就是定点和动点间的距离，

(2)一般式⎩⎨

⎧+=+=bt

y y at

x x 00(t 为参数)

转化为标准式 ⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨⎧

++=++=t b a b y y t b a a x x 2202

20

2.圆锥曲线的参数方程。“1”的代换

(1)圆()()

22

2

x a y b r -+-=cos sin x a r y b r θ

θ=+⎧⎨

=+⎩

(θ是参数) θ是动半径所在的直线与x 轴正向的夹角，θ∈[]0,2π

(2)椭圆122

22

=+b

y

a x cos sin x a y

b θ

θ=⎧⎨=⎩ (θ为参数)

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椭圆 1

22

22=+b

y a y cos sin x b y a θ

θ=⎧⎨

=⎩

(θ为参数) 3.极坐标

(1)极坐标与直角坐标互换。222cos sin x y x y ρρθρθ⎧=+⎪

=⎨⎪=⎩

(2)过原点倾斜角为α的直线的极坐标方程：θα= (3)圆心在原点，半径为r 的圆极坐标方程：r ρ=

二、例题示范

题型一、坐标的互化。（略） 题型二、参数方程的本质（表示点）。

1、点到点、点到直线距离的最值。参数方程看做点带入距离公式。

2、点的轨迹方程。参数方程看做点，同时使用跟踪点发。

例1．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为33x t y t

=+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以

原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为

23sin ρθ=.

（1）写出直线l 的普通方程及圆C 的直角坐标方程；

（2）点P 是直线l 上的点，求点P 的坐标，使P 到圆心C 的距离最小.

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例2．在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为40x y -+=，曲线C 的参数方

程为3cos 2sin x y αα

⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数）．

（1）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，点P 的极坐标为(2,

)4

π

，判断点P 与曲线

C 的位置关系；

（2）设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．

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例3．已知动点P ，Q 都在曲线C ：2cos 2sin x t

y t =⎧⎨

=⎩

（β为参数）上，对应参数分

别为t α=与2t α=（0＜α＜2π），M 为PQ 的中点。 （Ⅰ）求M 的轨迹的参数方程

（Ⅱ）将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点。

例4．以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线

C 的极坐标方程为10cos sin 2=+θρθρ，将曲线1C ：⎩

⎨

⎧==αα

sin cos y x （α为参数），经过伸缩变换⎩⎨

⎧==y

y x

x 2'3'后得到曲线2C .

（1）求曲线2C 的参数方程；

（2）若点M 的曲线2C 上运动，试求出M 到直线C 的距离的最小值.

题型三、直线参数方程的几何意义。定标图号联、韦达三定理。

例5．已知曲线C 的极坐标方程是1

6cos 2sin 0ρθθρ

-++

=，以极点为平

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面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，在平面直角坐标系xOy ，直线l 经过点(3,3)P ，倾斜角3

π

α=

．

（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程； （2）设l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求||AB 的值．

例6．在平面直角坐标系xOy 中，1C 的参数方程为2

1,2

21,2

x t y t ⎧

=-⎪⎪

⎨

⎪=+⎪⎩

（t 为参数），在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，2C 的极坐标方程

22cos 30ρρθ--=．

（Ⅰ）说明2C 是哪种曲线，并将2C 的方程化为普通方程；

（Ⅱ）1C 与2C 有两个公共点,A B ，顶点P 的极坐标2,4π⎛

⎫

⎪⎝

⎭

，求线段AB 的长及定点P 到,A B 两点的距离之积．

题型四、极坐标的几何意义。点到原点的距离。(直线必过原点) 例7．在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为()

()2

2

3

19x y -++=，以O 为