极坐标与参数方程专题复习
极坐标与参数方程考点汇总
专题一极坐标与参数方程考点整合一、极坐标知识点一极坐标系1．极坐标系：如图所示，在平面内取一个定点O，叫作；自极点O引一条射线Ox，叫作；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．2．极坐标：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫作点M的，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM为终边的角xOM叫作点M的，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫作点M的极坐标，记为M(ρ，θ)．一般地，不做特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．3．点与极坐标的关系：一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一个点．特别地，极点O的坐标为(0，θ)(θ∈R)．和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示．如果规定ρ＞0，0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ)表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是唯一确定的．4．极坐标与直角坐标的互化(1)互化背景：把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．(2)互化公式：如图所示，设M是坐标系平面内任意一点，它的直角坐标系是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下表：温馨提示;(1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一．(2)在与曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性知识点二 常见曲线的极坐标方程．二、参数方程知识点一 参数方程 1．参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )，①，并且对于t 的每一个允许值，由方程组①所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么方程①就叫作这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫作参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫作普通方程． 2．参数方程和普通方程的变化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程．(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )就是曲线的参数方程．(3)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致．易误提醒 在将曲线的参数方程化为普通方程时，还要注意其中的x ，y 的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性． 知识点二 常见曲线的参数方程 1．直线的参数方程经过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α(α≠π2)的直线l 的普通方程是y －y 0＝tan_α(x －x 0)，而过M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为 (t 为参数)，若点P 对于的参数为t ，则有||PM = ． 2．圆的参数方程如图所示，设圆O 的半径为r ，点M 从初始位置M 0(t ＝0时的位置)出发，按逆时针方向在圆O 上作匀速圆周运动，设M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θy ＝r sin θ(θ为参数)．这就是圆心在原点O ，半径为r 的圆的参数方程．其中参数θ的几何意义是OM 0绕点O 逆时针旋转到OM 的位置时，OM 0转过的角度．圆心为(a ，b )，半径为r 的圆的普通方程是(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，它的参数方程为： ． 3．椭圆的参数方程中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，其参数方程为 (φ为参数)．其中参数φ称为离心角；中心在原点O ，焦点在y 轴上的椭圆的标准方程是y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)，其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝b cos φ，y ＝a sin φ(φ为参数)，其中参数φ仍为离心角，通常规定参数φ的范围为φ∈[0,2π)． 温馨提示 (1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有代入消参法，加减消参法，平方消参法等．(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解、漏解，若x 、y 有范围限制，要标出x 、y 的取值范围．典例分析一、t 的几何意义【例1】.在极坐标系中，曲线C 的方程为2cos29ρθ=，点6P π⎛⎫⎪⎝⎭．以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系．（1）求直线OP 的参数方程的标准式和曲线C 的直角坐标方程； （2）若直线OP 与曲线C 交于A 、B 两点，求11PA PB+的值．【变式1】在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为2{x t y =-+=（t 为参数），若以该直角坐标系的原点O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos 0ρθθ+=. （Ⅰ）求直线l 与曲线C 的普通方程；（Ⅱ）已知直线l 与曲线C 交于,A B 两点，设()2,0M -，求11MA MB-的值.二、ρ的几何意义【例2】（2011新课标全国卷）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为：2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）M 是C 1上的动点，P 点满足2OP OM =,P 点的轨迹为曲线C 2(Ⅰ)求C 2的方程(Ⅱ)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求AB .【变式2】在平面直角坐标系中，曲线122:x cos C y sin αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）经伸缩变换2x x y y⎧=⎪⎨⎪='⎩'后的曲线为2C ，以坐标原点O 为极点， x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线2C 的极坐标方程； （2）,A B 是曲线2C 上两点，且3AOB π∠=，求OA OB +的取值范围三、面积【例3】.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是35cos 35sin x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.（1）求曲线的极坐标方程； （2）设12:,:,63l l ππθθ==，若12,l l 与曲线C 分别交于异于原点的,A B 两点，求AOB的面积.【变式3】【2015高考新课标1，文23】选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆()()222:121C x y -+-=，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （I ）求12,C C 的极坐标方程. （II ）若直线3C 的极坐标方程为()πR 4θρ=∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C M N ∆ 的面积. 四、交点【例4】已知直线l 的参数方程为：2cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos ρθθ=-.（Ⅰ）求曲线C 的参数方程； （Ⅱ）当4πα=时，求直线l 与曲线C 交点的极坐标.【变式4】【2013课标全国Ⅰ，文23】已知曲线C 1的参数方程为45cos ,55sin x t y t=+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ. (1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．五、轨迹【例5】（2013全国Ⅱ卷）已知动点,P Q 都在曲线2cos :2sin x C y ββ=⎧⎨=⎩(β为参数)上，对应参数分别为βα=与)20(2πααβ<<=，M 为PQ 的中点． （Ⅰ）求M 的轨迹的参数方程；（Ⅱ）将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点．【变式5】在直角坐标系xOy 中，已知圆C ： 2{2x cos y sin θθ== (θ为参数)，点P 在直线l ：40x y +-=上，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．（I ）求圆C 和直线l 的极坐标方程；（II ）射线OP 交圆C 于R ，点Q 在射线OP 上，且满足2OP OR OQ =⋅，求Q 点轨迹的极坐标方程六、参数方程的应用【例6】(2014课表全国Ⅰ)已知曲线22:149x y C +=,直线2:22x t l y t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数).(Ⅰ)写出曲线C 的参数方程,直线l 的普通方程;(Ⅱ)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线,交l 于点A ,求|PA |的最大值与最小值.【变式6】(2016·全国Ⅲ卷)在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1:sin x C y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()4πρθ+=。
极坐标与参数方程专题复习
OM的角度θ来刻画(如图所示).这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为
点M的极坐标.ρ称为点M的 极径 ，θ称为点M的极角
.
一般认为ρ≥0.当极角θ的取值范围是[0,2π)时，平面上的点(除去极
点)就与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应的关系.我们设定，极点的
例、将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原
来的2倍，得到曲线C.求曲线C的标准方程；
2.极坐标系
(1)极坐标与极坐标系的概念
在平面内取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长
度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了
一个极坐标系.点O称为极点，射线Ox称为极轴.
0，直线 l 的参数方程为
(t 为参数)，射线 OM 的极坐标方程
y＝t
3π
为 θ＝ 4 .求圆 C 和直线 l 的极坐标方程；
题型三、距离的最值： 用“参数法”
1.曲线上的点到直线距离的最值问题
2.点与点的最值问题
“参数法”：设点---套公式--三角辅助角
①设点： 设点的坐标，用该点在所在曲线的的参数 方程来设
直线
圆
普通方程
参数方程
y－y0＝tan α(x－x0)
x＝x0＋tcos α，
(t 为参数)
y＝y0＋tsin α
(x-a)2＋(y-b)2＝r2
2
椭圆
抛物线
2
x y
2＋ 2＝1(a>b>0)
a b
y2＝2px(p>0)
ቊ
= +
(为参数)
= +
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极坐标与参数方程专题复习学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、知识点总结1.直线的参数方程(1)标准式过点()000P ,x y ，倾斜角为α的直线l (如图)的参数方程是⎩⎨⎧+=+=a t y y a t x x sin cos 00(t 为参数) 定点(2)一般式2.(1)圆 θ(2)1x y ⎧⎨⎩3.极坐标 (1)极坐标与直角坐标互换。
222cos sin x y x y ρρθρθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩(2)过原点倾斜角为α的直线的极坐标方程：θα=(3)圆心在原点，半径为r 的圆极坐标方程：r ρ=二、例题示范题型一、坐标的互化。
（略）题型二、参数方程的本质（表示点）。
1、点到点、点到直线距离的最值。
参数方程看做点带入距离公式。
2、点的轨迹方程。
参数方程看做点，同时使用跟踪点发。
例1．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为3x t y =+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρθ=.（1）写出直线l 的普通方程及圆C 的直角坐标方程；（2）点P例2为参数）．（1点P （2）设点例3．＜2π），M 为PQ （Ⅰ）求（Ⅱ）将例4．以标方程为sin 2θρ2C . （1（2）若点题型三、直线参数方程的几何意义。
定标图号联、韦达三定理。
例5．已知曲线C 的极坐标方程是16cos 2sin 0ρθθρ-++=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，在平面直角坐标系xOy ，直线l 经过点(3,3)P ，倾斜角3πα=．（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程；（2）设l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求||AB 的值．例6．在平面直角坐标系xOy 中，1C的参数方程为1,21,2x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，2C 的极坐标方程22cos 30ρρθ--=．（Ⅰ）说明2C 是哪种曲线，并将2C 的方程化为普通方程；（Ⅱ）1C 与2C 有两个公共点,A B ，顶点P的极坐标4π⎫⎪⎭，求线段AB 的长及定点P 到,A B 两点的距离之积．例7（1）求圆（2）直线例8自极点O 12，求动点P参考答案1．试题解析：（1）由3,.x t y =+⎧⎪⎨=⎪⎩消去参数t ，得直线l0y --=，由ρθ=得2sin ρθ=，22x y +=，即圆C 的直角坐标方程为(223x y +-=.（2）()3P t +，(C ，PC ==，由此得cos()1αϕ+=-时，d ． 3.【解析】（Ⅰ）由题意有,(2cos ,2sin )P αα,(2cos 2,2sin 2)Q αα,因此(cos cos 2,sin sin 2)M αααα++,M 的轨迹的参数方程为cos cos 2sin sin 2x y αααα=+⎧⎨=+⎩,(α为参数,02απ<<).（Ⅱ）M 点到坐标原点的距离为2)d απ==<<，当απ=时，0d =，故M 的轨迹过坐标原点.4．试题解析：（1）将曲线1C ：⎩⎨⎧==ααsin cos y x （α为参数）化为122=+y x ， 由伸缩变换⎨⎧=x x 3'化为⎪⎪⎨⎧='31x x ，代入圆的方程得1)'1()'1(22=+y x ，（2）将l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，整理得270t ++=， 247200∆=-⨯=>，则12t t +=-127t t =，所以12||||AB t t =-==6．试题解析：（Ⅰ）2C 是圆，2C 的极坐标方程22cos 30ρρθ--=，化为普通方程：22230x y x +--=即：()2214x y -+=． （Ⅱ）的极坐标平面直角坐标为在直线1C 上，将1C的参数方程为1,21,2x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）代入22230x y x +--=中得：22⎛⎫⎛⎫⎛⎫23,t =-12t t -=12PA PB t t =)219-=可化为OM OP ∙又'cos 3ρθ=，12cos 3θρ∴∙=.则动点P 的极坐标方程为4cos ρθ=.………（5分）极点在此曲线上，∴方程两边可同时乘ρ，得24cos ρρθ=. 2240x y x ∴+-=.………（10分）。
极坐标与参数方程专题复习汇编
坐标系与参数方程一、考试大纲解析：1•坐标系（1） 理解坐标系的作用；（2） 了解平面坐标系伸缩变换作用下图形的变化情况；（3） 能在坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标和平面之间坐标系表示点的位 置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化；（4） 能在极坐标系中给出简单图形的方程，通过比较这些图形在极坐标和直角坐标系中 的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义； 2•参数方程（1） 了解参数方程和参数方程的意义；（2） 能选择适当的参数写出直线、圆、圆锥曲线的参数方程； （3） 能用参数方程解决一些数学问题和实际的运用；极坐标和参数方程是新课标考纲里的选考内容之一， 在每年的高考试卷中，极坐标和参数方程都是放在选作题的一题中来考查。
由于极坐标是新添的内容，考纲要求比较简单，所以在考试中一般不会有很难的题目。
三、知识点回顾坐标系的作用下，点P （x, y ）对应到点P （X , y ），称「为平面直角坐标系中的坐标伸缩.变换，简称伸缩变换?2.极坐标系的概念： 在平面内取一个定点 0，叫做极点；自极点0引一条射线Ox 叫做极 轴；再选定一个长度单位、 一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这 样就建立了一个极坐标系。
3•点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点 0与点M 的距离|0M |叫做点M 的极径， 记为「；以极轴Ox 为始边，射线 0M 为终边的• xOM 叫做点M 的极角，记为二。
有序 数对（OR 叫做点M 的极坐标，记为M （几旳.极坐标（几力与（亍门，2k 二）（k ・Z ）表示同一个点。
极点 0的坐标为（0门）（” R ）.4.若?:：: 0,则- ?0,规定点（-匚力与点（：「）关于极点对称，即（-6力与（匚二 二）表示同一点。
如果规定「7,0 V 2二，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标 （「门）表示;、题型分布:1 .伸缩变换：设点P （x, y ）是平面直角坐标系中的任意一点, 在变换申：丿X 「X, ( ■0),同时，极坐标（入“表示的点也是唯一确定的。
极坐标与参数方程复习
极坐标与参数方程学习目的：通过学习，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况；并能进行极坐标和直角坐标的互化；能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程，并能将参数方程转化为普通方程 学习重点：极坐标和直角坐标的互化、参数方程与普通方程的互化一、知识点归纳：1.极坐标系2. 直角坐标与极坐标的互化以直角坐标系的O 为极点，x 轴正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的单位长度平面内的任一点P 的直角坐标极坐标分别为（x ，y ）和(,)ρθ，则x =2ρ=y = tan θ=3. 在平面直角坐标系中，设图形F 上的任意一点P 的坐标 为(),x y ，向量(),a h k = ，平移后的对应点为()''',P x y ，则平移公式为：4. 设(),P x y 是变换前的点，()''',P x y 是变换后的对应点。
则由__________________ 所确定的变换，称为按伸缩系数λ向着y 轴的伸缩变换。
5. 直线普通方程：()00tan y y x x α-=-⇔00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩ （t 为参数）圆()()222x a y b r -+-=的参数方程为__________________二、广东高考精选1.（09广东）若直线12,23.{x t y t =-=+（t 为参数）与直线41x ky +=垂直，则常数k =________.2．(08广东文、理)已知曲线21,C C 的极坐标方程分别为θρθρcos 4,3cos ==（20,0πθρ<≤≥），则曲线1C 与2C 交点的极坐标为________.3．（07广东）在极坐标系中，直线l 的方程为sin 3ρθ=，则点2,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭到直线l 的距离为_______ 4.（07广东）若直线3,3.{x t y t =+=-（t 为参数），圆C 的参数方程为2cos ,2sin 2.{x y θθ==+（参数[]0,2θπ∈），则圆C 的圆心坐标为_______，圆心到直线l 的距离为_______三、例题分析例1、(1) 在极坐标系中，两点)32,2(),3,3(ππB A 之间的距离是 (2)在极坐标系中，若过点（3，0）且与极轴垂直的直线交曲线θρcos 4=于A 、B 两点，则AB= 。
极坐标与参数方程专题复习
坐标系与参数方程一、知识点回顾坐标系1．伸缩变换：设点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换⎩⎨⎧>⋅='>⋅=').0(,y y 0),(x,x :μμλλϕ的作用下，点),(y x P 对应到点),(y x P '''，称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。
2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。
3．点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离||OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的xOM ∠叫做点M 的极角，记为θ。
有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为),(θρM .极坐标),(θρ与)Z )(2,(∈+k k πθρ表示同一个点。
极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ.4.若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称，即),(θρ-与),(θπρ+表示同一点。
如果规定πθρ20,0≤≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。
5．极坐标与直角坐标的互化：6．直线相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为： ⑴0ϕθ= ⑵θρcos a = ⑶θρcos a-= ⑷θρsin a =⑸θρsin a-= ⑹)cos(ϕθρ-=a 对应图形如下：7．圆相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为)0(>a ： ⑴a =ρ ⑵θρcos 2a = ⑶θρcos 2a -= ⑷θρsin 2a = ⑸ θρsin 2a -= ⑹)cos(2ϕθρ-=a对应图形如下：ϕθ=θρcos a=θρcos a -=θρsin a=图4θρsin a -=图5)cos(ϕθρ-=a θρcos 2a =图2θρsin 2a =图4θρsin 2a -=图5θρcos 2a -=a=ρ图1)cos(2ϕθρ-=a 图6参数方程 1．参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标y x ,都是某个变数t的函数⎩⎨⎧==),(),(t g y t f x 并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点),(y x M 都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数y x ,的变数t 叫做参变数，简称参数。
极坐标与参数方程综合复习
极坐标与参数方程综合复习一、极坐标的基本概念和转换关系极坐标是用极径和极角来表示平面上的点。
对于平面上的一个点P，若以原点O为极点，OP的长度为r，OP与极轴的夹角为θ，则点P的极坐标可以表示为(r,θ)。
其中，极径r是非负实数，极角θ是弧度制。
极坐标与直角坐标的转换关系为：x = r*cosθy = r*sinθr^2=x^2+y^2θ=atan(y/x)在极坐标系中，曲线的方程通常表示为r=f(θ)，其中f(θ)为极角θ的函数。
常见的极坐标曲线包括圆和阿基米德螺线。
二、参数方程的基本概念和转换关系参数方程是使用一个或多个参数来表示曲线上的点的坐标。
对于参数方程x=f(t)，y=g(t)，t为参数变量，曲线上的点的坐标可以表示为(x,y)=(f(t),g(t))。
参数方程与直角坐标的转换关系为：x=f(t)，y=g(t)t=x，x=f(t)，y=g(f(t))参数方程的优点是可以描述更加复杂的曲线，如椭圆、双曲线和螺旋线等。
三、极坐标与参数方程之间的转换关系对于极坐标转换为参数方程，可以将极坐标表示的一组点的极角参数化，然后代入到直角坐标系的坐标转换关系中。
例如，对于极坐标(r,θ)，可以将θ用参数t表示，得到x=r*cos(t)，y=r*sin(t)。
这样，极坐标就转换为了参数方程。
对于参数方程转换为极坐标，首先需要确定极径r和极角θ的范围，然后将参数t代入到直角坐标系的坐标转换关系中，得到x=f(t)，y=g(t)。
再利用极坐标的转换关系，求出相应的极径r和极角θ。
四、极坐标与参数方程的应用1.极坐标的应用：极坐标常用于描述圆和极坐标曲线，可以简化计算。
例如，在极坐标系下，计算圆的面积和弧长可以更加方便。
2.参数方程的应用：参数方程可以描述一条曲线的整个轨迹，因此在物理、工程、经济和生物等领域中有广泛的应用。
例如，在物理学中，参数方程可以描述物体的运动轨迹；在经济学中，参数方程可以描述供需曲线和价格变化曲线等。
极坐标与参数方程复习课件
摆线的极坐标方程是ρ=a(1-cosθ)，其中ρ表示点到原点的距离，θ表示点与x轴的夹角，a表示摆线的 半径。通过这个方程，我们可以方便地计算摆线的长度和面积。
实例三：磁场线的参数方程
总结词
磁场线的参数方程表示
详细描述
磁场线的参数方程通常由两个参数构 成，例如时间和角度。参数方程可以 描述磁场线在任意时刻的位置和方向 ，从而方便地计算磁场线的长度和面 积。
极坐标与参数方程的转换关系
极坐标与直角坐标转换
极坐标系中的点可以用直角坐标系中的坐标表示，反之亦然。具体转换公式为 ：$x = rho cos theta, y = rho sin theta, x^2 + y^2 = rho^2$。
参数方程与直角坐标转换
参数方程中的点也可以用直角坐标系中的坐标表示，具体转换公式取决于参数 方程的形式。
05
极坐标与参数方程的习题及解析
习题一：求圆的极坐标方程
总结词
理解并掌握圆的极坐标方程的推 导方法
详细描述
通过给定的圆心和半径，利用极 坐标与直角坐标方程
80%
总结词
掌握参数方程转换为普通方程的 方法
100%
详细描述
通过消去参数，将参数方程转化 为普通方程，以便更好地理解曲 线的几何意义。
极坐标与直角坐标的关系
对于平面内任意一点P，其直角坐标为(x,y)，则其极坐标为(r,θ)， 其中r=√(x²+y²)，tanθ=y/x。
极坐标与直角坐标的转换
直角坐标转换为极坐标
已知点P的直角坐标为(x,y)，则其极 坐标为(r,θ)，其中r=√(x²+y²)， tanθ=y/x。
极坐标转换为直角坐标
极坐标与参数方程专题复习共35页
31、别人笑我太疯癫，我笑他人看不 穿。(名 言网) 32、我不想听失意者的哭泣，抱怨者 的牢骚 ，这是 羊群中 的瘟疫 ，我不 能被它 传染。 我要尽 量避免 绝望， 辛勤耕 耘，忍 受苦楚 。我一 试再试 ，争取 每天的 成功， 避免以 失败收 常在别 人停滞 不前时 ，我继 续拼在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
35
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26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
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27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
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28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
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29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
33、如果惧怕前面跌宕的山岩，生命 就永远 只能是 死水一 潭。 34、当你眼泪忍不住要流出来的时候 ，睁大 眼睛， 千万别 眨眼!你会看到 世界由 清晰变 模糊的 全过程 ，心会 在你泪 水落下 的那一 刻变得 清澈明 晰。盐 。注定 要融化 的，也 许是用 眼泪的 方式。
35、不要以为自己成功一次就可以了 ，也不 要以为 过去的 光荣可 以被永 远肯定 。
高三数学专题复习--极坐标与参数方程
五、考点练习：
1
在极坐标系中，已知
A2，π6
，B2，－π6
，求
A，B
两点
间的距离．
2.将参数方程xy＝＝1－＋24＋co4ssitn，t(t 为参数，0≤t≤π )化为普通方程，并
说明方程表示的曲线．
3
将方程x＝
t＋1， (t 为参数)化为普通方程．
y＝1－2 t
2、高考出现的题型：
（1）、求曲线的极坐标方程、参数方程； （2）、极坐标方程、参数方程与普通方程间的相互转化； （3）、解决与极坐标方程、参数方程研究有关的距离、 最值、交点等问题。
三、（1）
x y
= =
x0 y0
+ t cos + t sin
a a
， (t
为参数
)
类似地 过原点倾斜角为a的直线l的参数方程为：
解：（1）曲线C化为直角坐标方程为
x1 2 +(y
2
3) =1
，
它表示圆心为C（1， 3 ），半径r=1的圆。
∵ d = co 1（+
3） 2 = 2 ＞1，
∴点O在圆的外部，
当动点与O、C三点在同一直线上时，动点到原点O的距离最小。
d ∴
= d r =2-1=1,
m in
即圆心C上动点到原点O的距离最小值为1。
链接高考2014
以直角坐标系的原点为极点，轴非负半轴为极轴，在两种坐标系
中取相同单位的长度. 已知直线L的方程为
，
曲线C的参数方程为
，点M是曲线C上的一动点.
（Ⅰ)求线段OM的中点P的轨迹方程；
(Ⅱ) 求曲线C上的点到直线L的距离的最小值.
高考文科数学复习专题-极坐标与参数方程
1．曲线的极坐标方程．(1)极坐标系：一般地，在平面上取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系．其中，点O 称为极点，射线Ox称为极轴．(2)极坐标(ρ，θ)的含义：设M是平面上任一点，ρ表示OM的长度，θ表示以射线Ox为始边，射线OM为终边所成的角．那么，有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标．明显，每一个有序实数对(ρ，θ)，确定一个点的位置．其中ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角．极坐标系和直角坐标系的最大区分在于：在直角坐标系中，平面上的点与有序数对之间的对应关系是一一对应的，而在极坐标系中，对于给定的有序数对(ρ，θ)，可以确定平面上的一点，但是平面内的一点的极坐标却不是唯一的．(3)曲线的极坐标方程：一般地，在极坐标系中，假如平面曲线C上的随意一点的极坐标满意方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C的极坐标方程．2．直线的极坐标方程．(1)过极点且与极轴成φ0角的直线方程是θ＝φ0和θ＝π－φ0，如下图所示．(2)与极轴垂直且与极轴交于点(a，0)的直线的极坐标方程是ρcos θ＝a，如下图所示．(3)与极轴平行且在x轴的上方，与x轴的距离为a的直线的极坐标方程为ρsin θ＝a，如下图所示．3．圆的极坐标方程．(1)以极点为圆心，半径为r的圆的方程为ρ＝r，如图1所示．(2)圆心在极轴上且过极点，半径为r的圆的方程为ρ＝2rcos_θ，如图2所示．(3)圆心在过极点且与极轴成π2的射线上，过极点且半径为r的圆的方程为ρ2rsin_θ，如图3所示．4．极坐标与直角坐标的互化．若极点在原点且极轴为x 轴的正半轴，则平面内随意一点M 的极坐标M(ρ，θ)化为平面直角坐标M(x ，y)的公式如下：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ或者ρ＝x 2＋y 2，tan θ＝y x ，其中要结合点所在的象限确定角θ的值．1．曲线的参数方程的定义．在平面直角坐标系中，假如曲线上随意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ），并且对于t 的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x ，y)都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x ，y 之间关系的变数t 叫做参变数，简称参数．2．常见曲线的参数方程．(1)过定点P(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋tcos α，y ＝y 0＋tsin α(t 为参数)， 其中参数t 是以定点P(x 0，y 0)为起点，点M(x ，y)为终点的有向线段PM 的数量，又称为点P 与点M 间的有向距离．依据t 的几何意义，有以下结论：①设A ，B 是直线上随意两点，它们对应的参数分别为t A 和t B ，则|AB|＝|t B －t A |＝（t B ＋t A ）2－4t A ·t B ；②线段AB 的中点所对应的参数值等于t A ＋t B2.(2)中心在P(x 0，y 0)，半径等于r 的圆：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋rcos θ，y ＝y 0＋rsin θ(θ为参数) (3)中心在原点，焦点在x 轴(或y 轴)上的椭圆：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝acos θ，y ＝bsin θ(θ为参数)⎝ ⎛⎭⎪⎫或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝bcos θ，y ＝asin θ. 中心在点P(x 0，y 0)，焦点在平行于x 轴的直线上的椭圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋acos α，y ＝y 0＋bsin α(α为参数)．(4)中心在原点，焦点在x 轴(或y 轴)上的双曲线：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝asec θ，y ＝btan θ(θ为参数)⎝ ⎛⎭⎪⎫或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝btan θ，y ＝asec θ. (5)顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上的抛物线：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2p ，y ＝2p(t 为参数，p>0)． 注：sec θ＝1cos θ.3．参数方程化为一般方程．由参数方程化为一般方程就是要消去参数，消参数时经常采纳代入消元法、加减消元法、乘除消元法、三角代换法，消参数时要留意参数的取值范围对x ，y 的限制．1．已知点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，5π3，则点A 的直角坐标是(2，－23)．2．把点P 的直角坐标(6，－2)化为极坐标，结果为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－π6．3．曲线的极坐标方程ρ＝4sin θ化为直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4．4．以极坐标系中的点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π6为圆心、1为半径的圆的极坐标方程是ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6．5．在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)的右顶点，则常数a 的值为3．解析：由直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a ，得y ＝x －a.由椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝2sin θ，得x 29＝y24＝1.所以椭圆C 的右顶点为(3，0)．因为直线l 过椭圆的右顶点，所以0＝3－a ，即a ＝3.一、选择题1．在平面直角坐标系xOy 中，点P 的直角坐标为(1，－3)．若以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标可以是(C )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，4π3C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3D.⎝⎛⎭⎪⎫2，－4π3 2．若圆的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，直线的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －1(t 为参数)，则直线与圆的位置关系是(B )A ．相离B ．相交C ．相切D ．不能确定3．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cosθ，则直线l 被圆C 截得的弦长为(D )A.14 B ．214 C. 2 D ．2 2解析：由题意可得直线和圆的方程分别为x －y －4＝0，x 2＋y 2＝4x ，所以圆心C(2，0)，半径r ＝2，圆心(2，0)到直线l 的距离d ＝2，由半径，圆心距，半弦长构成直角三角形，解得弦长为2 2.4．已知动直线l 平分圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝1，则直线l 与圆O ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)的位置关系是(A )A ．相交B ．相切C ．相离D ．过圆心解析：动直线l 平分圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝1，即圆心(2，1)在直线l 上，又圆O ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ的一般方程为x 2＋y 2＝9且22＋12<9，故点(2，1)在圆O 内，则直线l 与圆O 的位置关系是相交．二、填空题5．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧y ＝sin θ－2，x ＝cos θ(θ是参数)，若以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，则曲线C 的极坐标方程可写为ρ2＋4ρsin_θ＋3＝0．解析：在平面直角坐标系xOy 中，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝sin θ－2，x ＝cos θ(θ是参数)，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2＝sin θ，x ＝cos θ.依据sin 2θ＋cos 2θ＝1，可得x 2＋(y ＋2)2＝1，即x 2＋y 2＋4y ＋3＝0.∴曲线C 的极坐标方程为ρ2＋4ρsin θ＋3＝0.6．在平面直角坐标系中圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2＋2sin θ(θ为参数)，以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则圆C 的圆心的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π2．三、解答题7．求极点到直线2ρ＝1sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4(ρ∈R)的距离．解析：由2ρ＝1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4⇒ρsin θ＋ρcos θ＝1⇒x ＋y ＝1，故d ＝|0＋0－1|12＋12＝22. 8．极坐标系中，A 为曲线ρ2＋2ρcos θ－3＝0上的动点，B 为直线ρcos θ＋ρsin θ－7＝0上的动点，求|AB|的最小值．9．(2015·大连模拟)曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，将曲线C 1上全部点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标伸长为原来的3倍，得到曲线C 2.以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l ：ρ(cos θ－2sin θ)＝6.(1)求曲线C 2和直线l 的一般方程；(2)P 为曲线C 2上随意一点，求点P 到直线l 的距离的最值．解析：(1)由题意可得C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，即C 2：x 24＋y23＝1，直线l ：ρ(cos θ－2sin θ)＝6化为直角坐标方程为x －2y －6＝0.(2)设点P(2cos θ，3sin θ)，由点到直线的距离公式得点P 到直线l 的距离为 d ＝|2cos θ－23sin θ－6|5＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin θ－12cos θ5＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6＋4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π65＝55⎣⎢⎡⎦⎥⎤6＋4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6. 所以255≤d ≤25，故点P 到直线l 的距离的最大值为25，最小值为255.10．已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4cos θ，y ＝2＋4sin θ(θ为参数)，直线l经过定点P(3，5)，倾斜角为π3.(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的标准方程．(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|PA|·|PB|的值．解析：(1)由曲线C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4cos θ，y ＝2＋4sin θ(θ为参数)，得一般方程为(x －1)2＋(y －2)2＝16，即x 2＋y 2－2x －4y ＝11＝0.直线l 经过定点P(3，5)，倾斜角为π3，直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝5＋32t (t 是参数)．(2)将直线的参数方程代入x 2＋y 2－2x －4y －11＝0，整理，得t 2＋(2＋33)t －3＝0，设方程的两根分别为t 1，t 2，则t 1t 2＝－3，因为直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，所以|PA|·|PB|＝|t 1t 2|＝3.。
高三一轮复习之--- 专题十四 极坐标与参数方程
专题十四：极坐标与参数方程1、在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（φ为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l1的极坐标方程为θ＝（ρ∈R）．（1）求C的极坐标方程和l1的直角坐标方程；（2）若直线l2的极坐标方程为θ＝（ρ∈R），设l1与C的交点为O，M，l2与C的交点为O，N，求△MON的面积．2、在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（θ为参数），以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＝．（1）求曲线C1的极坐标方程以及曲线C2的直角坐标方程；：（2）若直线L：θ＝θ0（ρ∈R）与曲线C1、曲线C2在第一象限交于P，Q两点，且|OP|＝2|OQ|，点M 的坐标为（1，0），求△MPQ的面积．3、在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数）．曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l与曲线C交于M，N两点．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．（1）求直线l和曲线C的极坐标方程；（2）若P（1，﹣2），求||PM|﹣|PN||的值．4．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ＝．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）设l与C相交于A，B两点，定点M（，0），求﹣的值．5、在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（φ为参数）．在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（1）求曲线C的普通方程及直线l的直角坐标方程；（2）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值与最小值．6、在极坐标系中，曲线C1的极坐标方程是ρ＝，以极点为原点O，极轴为x轴正半轴（两坐标系取相同的单位长度）的直角坐标系xOy中，曲线C2的参数方程为（θ为参数）．（1）求曲线C1的直角坐标方程与曲线C2的普通方程；（2）将曲线C2经过伸缩变换后得到曲线C3，若M，N分别是曲线C1和曲线C3上的动点，求|MN|的最小值．7、在直角坐标系xOy中，已知圆C：（θ为参数），点P在直线l：x+y﹣4＝0上，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C和直线l的极坐标方程；（Ⅱ）射线OP交圆C于R，点Q在射线OP上，且满足|OP|2＝|OR|•|OQ|，求Q点轨迹的极坐标方程．8、已知曲线C1的参数方程为（θ为参数），以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin2θ＝4cosθ．（1）求C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）若过点F（1，0）的直线l与C1交于A，B两点，与C2交于M，N两点，求的取值范围．9、直线l的参数方程为（其中t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2﹣2mρcosθ﹣4＝0（其中m＞0）（1）点M的直角坐标为（2，2），且点M在曲线C内，求实数m的取值范围；（2）若m＝2，当α变化时，求直线被曲线C截得的弦长的取值范围．。
高考数学极坐标与参数方程专题复习(基础精心整理)学生版
第7讲 极坐标与参数方程专题复习(学生版)【基础知识】一．平面直角坐标系中的伸缩变换：设点(,)P x y 在变换ϕ：//,(0),(0)x x y y λλμμ⎧=>⎪⎨=>⎪⎩的作用下对应到点///(,)P x y ，则称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。
二.极坐标知识点1.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O ，从O 引一条射线Ox ，选定一个单位长度以及计算角度的正 方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，O 点叫做极点，射线Ox 叫做极轴.①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可. 2.极坐标与直角坐标的互化： 三.参数方程知识点1.参数方程的概念：在平面直角坐标系中，若曲线C 上的点满足，该方程叫曲线C 的参数方程，变量t 是参变数，简称参数。
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。
2．曲线的参数方程（1）圆的参数方程可表示为.（2）椭圆的参数方程可表示为.（3）抛物线的参数方程可表示为. （4）经过点，倾斜角为的直线的参数方程可表示为（为参数）.注意：t 的几何意义3．在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。
在参数方程与普通方程的互化中，必须使的取值范围保持一致. 规律方法指导：1.把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法. 常见的消参方法有：(,)P x y ()()x f t y f t =⎧⎨=⎩222)()(r b y a x =-+-)(.sin ,cos 为参数θθθ⎩⎨⎧+=+=r b y r a x 12222=+b y a x )0(>>b a )(.sin ,cos 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==b y a x px y 22=)(.2,22为参数t pt y pt x ⎩⎨⎧==),(o o O y x M αl ⎩⎨⎧+=+=.sin ,cos o o ααt y y t x x t y x , )0(n t ,sin ,cos ,222≠===+=x xya y x y x θθρθρρ代入消法 ；加减消参；平方和（差）消参法；乘法消参法；比值消参法；利用恒等式消参法；混合消参法等. 2.把曲线的普通方程化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性， 注意方程中的参数的变化范围。
高考复习-极坐标与参数方程
极坐标与参数方程知识集结知识元极坐标知识讲解1．极坐标系【知识点的认识】极坐标系与点的极坐标在平面上取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系．其中，点O称为极点，射线Ox称为极轴．设M是平面上任一点，ρ表示OM的长度，θ表示以射线Ox为始边，射线OM为终边所成的角．那么，有序数对（ρ，θ）称为点M的极坐标．显然，每一个有序实数对（ρ，θ）决定一个点的位置．其中，ρ称为点M 的极径，θ称为点M的极角．由极径的意义可知ρ≥0，当极角θ的取值范围是[0，2π）时，平面上的点（除去极点）就与极坐标（ρ，θ）（ρ≠0）建立一一对应的关系，我们约定，极点的极坐标是极径ρ＝0，极角θ可取任意角．2．简单曲线的极坐标方程【知识点的认识】一、曲线的极坐标方程定义：如果曲线C上的点与方程f（ρ，θ）＝0有如下关系（1）曲线C上任一点的坐标（所有坐标中至少有一个）符合方程f（ρ，θ）＝0；（2）以方程f（ρ，θ）＝0的所有解为坐标的点都在曲线C上．则曲线C的方程是f（ρ，θ）＝0．二、求曲线的极坐标方程的步骤：与直角坐标系里的情况一样①建系（适当的极坐标系）②设点（设M（ρ，θ）为要求方程的曲线上任意一点）③列等式（构造△，利用三角形边角关系的定理列关于M的等式）④将等式坐标化⑤化简（此方程f（ρ，θ）＝0即为曲线的方程）三、圆的极坐标方程（1）圆心在极点，半径为r，ρ＝r．（2）中心在C（ρ0，θ0），半径为r．ρ2+ρ02﹣2ρρ0cos（θ﹣θ0）＝r2．四、直线的极坐标方程（1）过极点，θ＝θ0（ρ∈R）（2）过某个定点垂直于极轴，ρcosθ＝a（3）过某个定点平行于极轴，r sinθ＝a（4）过某个定点（ρ1，θ1），且与极轴成的角度α，ρsin（α﹣θ）＝ρ1sin（α﹣θ1）五、直线的极坐标方程步骤1、据题意画出草图；2、设点M（ρ，θ）是直线上任意一点；3、连接MO；4、根据几何条件建立关于ρ，θ的方程，并化简；5、检验并确认所得的方程即为所求．3．极坐标刻画点的位置【知识点的认识】点的极坐标设M是平面上任一点，ρ表示OM的长度，θ表示以射线Ox为始边，射线OM为终边所成的角．那么，有序数对（ρ，θ）称为点M的极坐标．显然，每一个有序实数对（ρ，θ）决定一个点的位置．其中，ρ称为点M 的极径，θ称为点M的极角．由极径的意义可知ρ≥0，当极角θ的取值范围是[0，2π）时，平面上的点（除去极点）就与极坐标（ρ，θ）（ρ≠0）建立一一对应的关系，我们约定，极点的极坐标是极径ρ＝0，极角θ可取任意角．4．极坐标系和平面直角坐标系的区别【知识点的认识】极坐标系与平面直角坐标系的区别平面直角坐标系极坐标定位方式横坐标、纵坐标角度和距离点与坐标点与坐标一一对应点与极坐标不一一对应外在形式原点，x，y轴极点，极轴本质两线相交定点圆与射线相交定点5．点的极坐标和直角坐标的互化【知识点的认识】坐标之间的互化（1）点的极坐标和直角坐标的互化以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位（如图）．平面内任意一点P的直角坐标与极坐标分别为（x，y）和（ρ，θ），则由三角函数的定义可以得到如下两组公式：，．通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取ρ≥0，0≤θ＜2π．（2）空间点P的直角坐标（x，y，z）与柱坐标（ρ，θ，z）之间的变换公式为：．（3）空间点P的直角坐标（x，y，z）与球坐标（r，φ，θ）之间的变换关系为：．例题精讲极坐标例1.已知点A是曲线ρ=2cosθ上任意一点，则点A到直线ρsin（θ+）=4的距离的最小值是（）A．1B．C．D．例2.在极坐标系中，已知圆C的方程为ρ=2cos（θ-），则圆心C的极坐标可以为（）A．（2，）B．（2，）C．（1，）D．（1，）例3.已知点P（1，），则它的极坐标是（）A．B．C．D．参数方程知识讲解1．参数方程化成普通方程【知识点的认识】参数方程和普通方程的互化由参数方程化为普通方程：消去参数，消参数的方法有代入法、加减（或乘除）消元法、三角代换法等．如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f（t），把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g（t），那么就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．2．直线的参数方程【知识点的认识】直线、圆锥曲线的普通方程和参数方程轨迹普通方程参数方程直线y﹣y0＝tanα（x﹣x0）（t为参数）圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（θ为参数）椭圆+＝1（a＞b＞0）（θ为参数）双曲线（θ为参数）﹣＝1抛物线y2＝2px（p＞0）（t为参数）【解题思路点拨】1．选取参数时的一般原则是：（1）x，y与参数的关系较明显，并列出关系式；（2）当参数取一值时，可唯一的确定x，y的值；（3）在研究与时间有关的运动物体时，常选时间作为参数；在研究旋转物体时，常选用旋转角作为参数；此外，也常用线段的长度、倾斜角、斜率、截距等作为参数．2．求曲线的参数方程常常分成以下几步：（1）建立直角坐标系，在曲线上设任意一点P（x，y）；（2）选择适当的参数；（3）找出x，y与参数的关系，列出解析式；（4）证明（常常省略）．3．根据直线的参数方程标准式中t的几何意义，有如下常用结论：（1）若M1，M2为l上任意两点，M1，M2对应t的值分别为t1，t2，则|M1M2|＝|t1﹣t2|；（2）若M0为线段M1M2的中点，则有t1+t2＝0；（3）若线段M1M2的中点为M，则M＝t M＝．一般地，若点P分线段M1M2所成的比为λ，则t P＝．4．直线的参数方程的一般式（t为参数），是过点M0（x0，y0），斜率为的直线的参数方程．当且仅当a2+b2＝1且b≥0时，才是标准方程，t才具有标准方程中的几何意义．将非标准方程化为标准方程是（t′∈R），式中“±”号，当a，b同号时取正；当a，b异号时取负．5．参数方程与普通方程互化时，要注意：（1）不是所有的参数方程都能化为普通方程；（2）在化参数方程为普通方程时变量的范围不能扩大或缩小；（3）把普通方程化为参数方程时，由于参数选择的不同而不同，参数的选择是由具体的问题来决定的．6．在已知圆、椭圆、双曲线和抛物线上取一点可考虑用其参数方程设定点的坐标，将问题转化为三角函数问题求解．7．在直线与圆和圆锥位置关系问题中，涉及距离问题探求可考虑应用直线参数方程中参数的几何意义求解．8．在求某些动点的轨迹方程时，直接寻找x，y的关系困难，甚至找不出时，可以通过引入参数，建立动点的参数方程后求解．例题精讲参数方程例1.已知直线l：x-y+4=0与圆C：，则C上各点到l的距离的最小值为（）A．2-2B．2C．2D．2+2例2.若圆的方程为（θ为参数），直线的方程为（t为参数），则直线与圆的位置关系是（）A．相离B．相交C．相切D．不能确定例3.曲线x2+y2=1经过伸缩变换后，变成的曲线方程是（）A．25x2+9y2=1B．9x2+25y2=1C．25x+9y=1D．+=1当堂练习单选题练习1.在直角坐标系xOy中，曲线C的方程为，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，射线M的极坐标方程为θ=α（ρ≥0）．设射线m与曲线C、直线l分别交于A、B两点，则的最大值为（）A．B．C．D．练习2.若点P的直角坐标为，则它的极坐标可以是（）A．B．C．D．练习3.点P极坐标为，则它的直角坐标是（）A．B．C．D．练习4.在极坐标系中，极点关于直线ρcosθ-ρsinθ+1=0对称的点的极坐标为（）A．B．C．D．练习5.极坐标方程ρ=2sinθ表示的曲线为（）A．两条直线B．一条射线和一个圆C．一条直线和一个圆D．圆练习6.在极坐标系中，圆ρ=cos（θ-）的圆心的极坐标为（）A．（，-）B．（，）C．（1，-）D．（1，）练习7.在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，长度单位不变，建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρcos（θ-）=1，M，N分别为曲线C与x轴、y轴的交点，则MN的中点的极坐标为（）A．（1，）B．（，）C．D．练习8.直线和直线=1的位置关系（）A．相交但不垂直B．平行C．垂直D．重合填空题练习1.将点的极坐标（2，）化为直角坐标为_______．练习2.在极坐标系中，已知两点A、B的极坐标分别为（3，），（4，），则△AOB（其中O 为极点）的面积为___．练习3.在极坐标系中，极点到直线ρcosθ+ρsinθ=2的距离为___．练习4.在极坐标系中，点（2，）到直线ρ（cosθ+sinθ）=6的距离为_____．练习5.在极坐标系中A（2，），B，（4，）两点间的距离___．练习6.原点与极点重合，x轴正半轴与极轴重合，则点（-2，-2）的极坐标是_______．解答题练习1.'在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），直线l的参数方程为（t为参数，0≤β<π），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）已知直线l与曲线C相交于A，B两点，且|OA|-|OB|=2，求β．'练习2.'已知曲线C的参数方程为（θ为参数），A（2，0），P为曲线C上的一动点．（Ⅰ）求动点P对应的参数从变动到时，线段AP所扫过的图形面积；（Ⅱ）若直线AP与曲线C的另一个交点为Q，是否存在点P，使得P为线段AQ的中点？若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由．'练习3.'已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）（Ⅰ）将C1，C2的方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：（t为参数）距离的最小值。
极坐标与参数方程专题复习
坐标系与参数方程极坐标与直角坐标的互化：直线相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为： ⑴0ϕθ= ⑵θρcos a = ⑶θρcos a-= ⑷θρsin a =⑸θρsin a-= ⑹)cos(ϕθρ-=a对应图形如下：ϕθ=θρcos a=θρcos a -=θρsin a=图4θρsin a -=图5)cos(ϕθρ-=a圆相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为)0(>a ：⑴a =ρ ⑵θρcos 2a = ⑶θρcos 2a -= ⑷θρsin 2a = ⑸ θρsin 2a -= ⑹)cos(2ϕθρ-=a对应图形如下：2．常见曲线的参数方程如下：（1）过定点（x 0，y 0），倾角为α的直线：ααsin cos 00t y y t x x +=+= （t 为参数）其中参数t 是以定点P （x 0，y 0）为起点，对应于t 点M （x ，y ）为终点的有向线段PM 的数量，又称为点P 与点M 间的有向距离．（2）中心在（x 0，y 0），半径等于r 的圆：θθsin cos 00r y y r x x +=+= （θ为参数）（3）中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的椭圆：θcos a x =θcos b x =θρcos 2a =图2θρsin 2a =图4θρsin 2a -=M图5θρcos 2a -=a=ρ图1)cos(2ϕθρ-=a 图6（4）顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上的抛物线：pty pt x 222== （t 为参数，p ＞0）2.若直线的参数方程为12()23x tt y t=+⎧⎨=-⎩为参数，则直线的斜率为（ ）． A ．23 B ．23- C ．32 D ．32-3.参数方程()2()t t t tx e et y e e --⎧=+⎪⎨=-⎪⎩为参数的普通方程为__________________． ．实践练习：1.直线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 211233(t 为参数)的倾斜角是2.方程⎩⎨⎧+=+-=ααsin 3cos 1t y t x （t 为非零常数，α为参数）表示的曲线是 ( )3．直线12()2x tt y t =+⎧⎨=+⎩为参数被圆229x y +=截得的弦长为（ ）． A．125 B C D ．4．已知直线l 过定点3(3,)2P --与圆C ：5cos ()5sin xy θθθ=⎧⎨=⎩为参数相交于A 、B 两点．求：（1）若||8AB =，求直线l 的方程；（2）若点3(3,)2P --为弦AB 的中点，求弦AB 的方程．．5．已知直线；l ：⎩⎨⎧+=--=t y t x 4231与双曲线（y-2）2-x 2=1相交于A 、B 两点，P 点坐标P(-1，2)。
极坐标与参数方程专题复习课件
例1.三种形式方程间的互化
1.已知曲线C：x 2 4
y2 9
1,
直线l：xy
2 2
t (t为参数). 2t
⑴写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程;
分析：高考在22题第一问都是考查三种形式方 程的互化。
例1.三种形式方程间的互化
1.已知曲线C：x 2 4
y2 9
1,
直线l：xy
4cos
θ.因为直线
l
的极坐标方程为
ρsinθ＋π6＝4，即
3 2
ρsin θ＋12ρcos θ＝4，
所以直线 l 的直角坐标方程为 x＋ 3y－8＝0.
(2)依题意，A ，B
两点的极坐标分别为
A
2，π 3
，B
4，π 3
，联
立射线θ ＝11π 与曲线 C 的极坐标方程得 P 点极坐标为
6
2
3，161π
1写出C
2与C
交点的直角坐标；
3
解：因为
2 sin , 所以 2
2 sin ,又因为xy
cos sin
所以，C2的直角坐标方程为：x 2 y 2 2 y 0;
同理，C3的直角坐标方程为：x 2 y 2 2 3x 0;
联立
x x
2 2
y2 y2
2y 0 2 3x
，解得
0
x y
0种形式方程间的互化
2.在直角坐标系xOy中，C1：xy
t t
c s
os in
(t为参数,t 0)，
其中，0 ,曲线C2： 2sin ,曲线C3： 2 3 cos.
1写出C
2与C
交点的直角坐标；
3
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极坐标与参数方程专题复习————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：试卷第8页，总6页极坐标与参数方程专题复习学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、知识点总结1.直线的参数方程(1)标准式过点()000P ,x y ，倾斜角为α的直线l (如图)的参数方程是⎩⎨⎧+=+=a t y y at x x sin cos 00 (t 为参数) 定点()000P ,x y 加t 个单位向量就是动点 于是，t 的绝对值就是定点和动点间的距离，(2)一般式⎩⎨⎧+=+=bty y atx x 00(t 为参数)转化为标准式 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=t b a b y y t b a a x x 2202202.圆锥曲线的参数方程。
“1”的代换(1)圆()()222x a y b r -+-=cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩(θ是参数) θ是动半径所在的直线与x 轴正向的夹角，θ∈[]0,2π(2)椭圆12222=+bya x cos sin x a yb θθ=⎧⎨=⎩ (θ为参数)试卷第8页，总6页椭圆 12222=+by a y cos sin x b y a θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数) 3.极坐标(1)极坐标与直角坐标互换。
222cos sin x y x y ρρθρθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩(2)过原点倾斜角为α的直线的极坐标方程：θα= (3)圆心在原点，半径为r 的圆极坐标方程：r ρ=二、例题示范题型一、坐标的互化。
（略） 题型二、参数方程的本质（表示点）。
1、点到点、点到直线距离的最值。
参数方程看做点带入距离公式。
2、点的轨迹方程。
参数方程看做点，同时使用跟踪点发。
例1．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为33x t y t=+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为23sin ρθ=.（1）写出直线l 的普通方程及圆C 的直角坐标方程；（2）点P 是直线l 上的点，求点P 的坐标，使P 到圆心C 的距离最小.试卷第8页，总6页例2．在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为40x y -+=，曲线C 的参数方程为3cos 2sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数）．（1）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，点P 的极坐标为(2,)4π，判断点P 与曲线C 的位置关系；（2）设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．试卷第8页，总6页例3．已知动点P ，Q 都在曲线C ：2cos 2sin x ty t =⎧⎨=⎩（β为参数）上，对应参数分别为t α=与2t α=（0＜α＜2π），M 为PQ 的中点。
（Ⅰ）求M 的轨迹的参数方程（Ⅱ）将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点。
例4．以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为10cos sin 2=+θρθρ，将曲线1C ：⎩⎨⎧==ααsin cos y x （α为参数），经过伸缩变换⎩⎨⎧==yy xx 2'3'后得到曲线2C .（1）求曲线2C 的参数方程；（2）若点M 的曲线2C 上运动，试求出M 到直线C 的距离的最小值.题型三、直线参数方程的几何意义。
定标图号联、韦达三定理。
例5．已知曲线C 的极坐标方程是16cos 2sin 0ρθθρ-++=，以极点为平试卷第8页，总6页面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，在平面直角坐标系xOy ，直线l 经过点(3,3)P ，倾斜角3πα=．（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程； （2）设l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求||AB 的值．例6．在平面直角坐标系xOy 中，1C 的参数方程为21,221,2x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，2C 的极坐标方程22cos 30ρρθ--=．（Ⅰ）说明2C 是哪种曲线，并将2C 的方程化为普通方程；（Ⅱ）1C 与2C 有两个公共点,A B ，顶点P 的极坐标2,4π⎛⎫⎪⎝⎭，求线段AB 的长及定点P 到,A B 两点的距离之积．题型四、极坐标的几何意义。
点到原点的距离。
(直线必过原点) 例7．在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为()()22319x y -++=，以O 为试卷第8页，总6页极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求圆C 的极坐标方程； （2）直线():6OP R πθρ=∈与圆C 交于点,M N ，求线段MN 的长．例8．选修4-4：坐标系与参数方程自极点O 任意作一条射线与直线cos 3ρθ=相交于点M ，在射线OM 上取点P ，使得12OM OP •=，求动点P 的极坐标方程，并把它化为直角坐标方程.参考答案1．试题解析：（1）由3,3.x t y t =+⎧⎪⎨=⎪⎩消去参数t ，得直线l 的普通方程为3330x y --=，由23sin ρθ=得223sin ρρθ=，2223x y y +=，即圆C 的直角坐标方程为()2233x y +-=.（2）()3,3P t t +，()0,3C ，()()222333412PC t t t =++-=+，0t =∴时PC 最小，此时()3,0P .2．试题分析：（1）可将直角坐标(1,1)P 代入曲线C 的普通方程得11132+<⇒P 在曲线C 内；（2）设点Q 的坐标为(3cos ,2sin )αα，从而点Q 到直线l 的距离为d |5cos()4|2αϕ++=（其中6tan 3ϕ=），⇒cos()1αϕ+=-时，d 取得最小值，且最小值为42102-． 试题解析：（1）把极坐标系下的点(2,)4P π化为直角坐标，得(1,1)P ，曲线C 的普通方程为22132x y +=，把P 代入得11132+<，所以P 在曲线C 内． （2）因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 的坐标为(3cos ,2sin )αα，从而点Q 到直线l 的距离为|3cos 2sin 4|2d αα-+=|5cos()4|2αϕ++=（其中6tan 3ϕ=），由此得cos()1αϕ+=-时，d 取得最小值，且最小值为42102-． 3.【解析】（Ⅰ）由题意有,(2cos ,2sin )P αα,(2cos 2,2sin 2)Q αα,因此(cos cos 2,sin sin 2)M αααα++,M 的轨迹的参数方程为cos cos 2sin sin 2x y αααα=+⎧⎨=+⎩,(α为参数,02απ<<).（Ⅱ）M 点到坐标原点的距离为2222cos (02)d x y ααπ=+=+<<，当απ=时，0d =，故M 的轨迹过坐标原点.4．试题解析：（1）将曲线1C ：⎩⎨⎧==ααsin cos y x （α为参数）化为122=+y x ，由伸缩变换⎩⎨⎧==y y x x 2'3'化为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=='21'31y y x x ，代入圆的方程得1)'21()'31(22=+y x ，即14)'(9)'(22=+y x ，可得参数方程为⎩⎨⎧==ααsin 2cos 3y x （α为参数）. （2）曲线C 的极坐标方程10cos sin 2=+θρθρ，化为直角坐标方程：0102=-+x y ，点M 到C 的距离5555|10)sin(5|5|10sin 4cos 3|=≥--=-+=ϕθθθd ，∴点M 到C 的距离的最小值为5.5．试题分析：(1)利用cos ,sin x y ρθρθ==,化为直角坐标方程,利用直线参数方程公式求出参数方程；(2)利用直线参数方程的几何意义求出弦长||AB .试题解析：（1）曲线C 化为26cos 2sin 10ρρθρθ-++=，再化为直角坐标方程为226210x y x y +-++=，化为标准方程为22(3)(1)9x y -++=，直线l 的参数方程为3cos 33sin 3x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）．（2）将l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，整理得24370t t ++=， 2(43)47200∆=-⨯=>，则1243t t +=-，127t t =， 所以2121212||||()425AB t t t t t t =-=+-=．6．试题解析：（Ⅰ）2C 是圆，2C 的极坐标方程22cos 30ρρθ--=， 化为普通方程：22230x y x +--=即：()2214x y -+=． （Ⅱ）的极坐标平面直角坐标为在直线1C 上，将1C 的参数方程为21,221,2x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）代入22230x y x +--=中得： 22222112130222t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++---= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭化简得：2230t t +-=．设两根分别为12,t t ，由韦达定理知：12122,3,t t t t ⎧+=-⎪⎨=-⎪⎩ 所以AB 的长()2121212421214AB t t t t t t =-=+-=+=，定点P 到,A B 两点的距离之积123PA PB t t ==． 7．试题解析：（1）()()22319x y -+-=可化为2223250x y x y +-+-=，故其极坐标方程为223cos 2sin 50ρρθρθ-+-=.……5分（2）将6πθ=代入223cos 2sin 50ρρθρθ-+-=，得2250ρρ--=，122ρρ∴+=，125ρρ=-.()2121212426MN ρρρρρρ∴=-=+-=.……10分 考点：直角坐标与极坐标互化，弦长公式.8．试题解析：设(),P ρθ，()',M ρθ. 12OM OP •=，'12ρρ=.又'cos 3ρθ=，12cos 3θρ∴•=.则动点P 的极坐标方程为4cos ρθ=.………（5分）极点在此曲线上，∴方程两边可同时乘ρ，得24cos ρρθ=. 2240x y x ∴+-=. ………（10分）。