第5章等参数单元

B1
B2
B3
1 e e e B4 2 e B 3 e 4
第5步：单元应力—应变—节点位移的关系 由平面问题的物理方程，有 第6步：节点力—节点位移间的关系 由虚功原理，可得节点力于节点位移间的关系式 e T (e) F B D B dV V ( e ) 对于平面问题有 e T e (e) (e) F B D B tdxdy K S ( e )
u1 v 1 1 e u 2 e 2 v 2 e 3 u 3 e v3 4 u 4 v 4
A
e
其中
1
N 3 N 1 N 2 N 4 u1 u2 u3 u4 x x x x N 3 N 1 N 2 N 4 v1 v2 v3 v4 y y y y N 1 u N 2 u N 3 u N 4 u N 1 v N 2 v N 3 v N 4 v 3 4 1 2 3 4 y 1 y 2 y y x x x x u1 v N 1 1 N 3 N 2 N 4 0 0 0 0 u 2 x x x x v N N N N 3 1 2 4 2 0 0 0 0 y y y y u 3 N N 1 N 2 N 2 N 3 N 3 N 4 N 4 v 1 3 x y x y x y x y u 4 v 4
N 1 x 0 N 1 y
0 N 1 y N 1 x
N 2 x 0 N 2 y
0 N 2 y N 2 x
N 3 x 0 N 3 y
0 N 3 y N 3 x
N 4 x 0 N 4 y
u1 v 1 0 u 2 N 4 v 2 y u 3 N 4 v 3 x u 4 v 4
e u1
v1 u2
v2
u3 v3 u4
v4
或
其中
4 u N i , u i i 1 4 v N i , vi i 1
1 N 1 , 4 1 1 1 N 2 , 1 1 4 1 N 3 , 1 1 4 1 1 1 N , 4 4

1,1
4
1,1
3

1
2
1, 1
1, 1
为此，首先讨论局部坐标系下的位移插值函数、 形状函数和收敛性条件，然后再讨论具体的坐 标变换。 根据前述，矩形单元四个节点的位移值，就是原 四节点四边形单元的节点处的位移值。因此， 局部坐标系下的矩形单元内任意一点的位移可 以表示为
边界为线性函数，该线性函数可以由边界上的两 个节点坐标完全确定。因此，保证了相邻单元 的公共边界既不开裂，也不重叠。 对于矩形单元中的点也可同样证明（提示：用通 过矩形单元中任意点的水平或垂直的直线在总 体坐标系和局部坐标系中的对应关系来证明）。 我们看到：矩形单元的插值函数对于场变量和坐 标变换完全一样，故称之为的等参数单元。如 果两者不一样，就称为超参元或亚参元。在此 不予介绍。
写成统一的形式
1 N i , 1 i 1 i , i 1,2,3,4 4 1 ,1 1,1, 2 , 2 1,1 其中 i , i 为：
3 ,3 1,1, 4 , 4 1,1
4 x N i , xi i 1 4 y N i , yi i 1
现证明如下： 从四边形到矩形的坐标变换是点点对应，并能保 证相邻单元的几何相容（前面的位移插值可以 看成是位移相容）。所谓几何相容，即是指总 体坐标系下的两四边形单元在转换到局部坐标 系下的矩形单元后：（1）相邻单元的公共节点 位置重合；（2）相邻单元的公共边界不开裂， 不重叠，反之亦然。 关于（1）因为 Ni i ,i 1, Ni j , j 0, i j ， 所以相邻单元的公共节点位置重合； 关于（2）：局部坐标系下的矩形单元边界上的 或 保持常数，转换到总体坐标系下后，
x, y D x, y DB
e




其中
K B DB tdxdy
(e) T S (e)
积分区域为四节点四边形单元四条边所围成的区 域。 需要积分。遇到的问题： K (e) （1） B 不是常量，不能提到积分号外面来； （2） N 是基于局部坐标而建立的，而B 涉 及 N i N i , x y 。
或者
u 1 2 3 4 v 5 6 7 8
, f ,
将
e
和节点坐标 1,1, 1,1, 1,1, 1,1 带入位移插值 函数表达式，可得
形函数的性质： （1） Ni i ,i 1, Ni j , j 0, i j 保证位 移在节点连续。又因为是双线性单元，故也保 证在边界连续。 4 （2） N i , 1 保证单元包含刚体位移。 i 1 这两条性质，保证了解的收敛性。
下面讨论坐标变换。 可以证明：视整体坐标系下的四节点四边形单元 的节点坐标值为“位移值”，采用与矩形单元 内任意一点的插值函数完全相同的插值方式， 就可以满足坐标变换的相容性（几何相容性）， 即
2 3 4 5 6 7 8 T
解上面的方程 从而 其中
N1 N , 0 0 N1 N2 0 0 N2 N3 0 0 N3 N4 0 0 N4
T
A1 e
1 e e
, f , A N ,
5-2 四节点四边形等参数单元 四节点四边形单元的位移插值函数可以写成（以 x方向的位移插值函数为例）
u 1 2 x 3 y 4 xy
对于边界来讲，将
Y AX B
带入上式，经简化可得
u DX EX F
2
上式中有三个待定系数，由所在单元的节点场变 量值确定，但是不能由这个单元的这条边界的 两个节点的场变量值唯一确定，因此相邻两单 元在同一边界上的位移表达式并不一致，使相 容性条件不能得到满足。 这种情况该怎样处理？
u 4 N i , u i x i 1 x x 4 v x, y y N , v i i y y i 1 4 4 xy u v N , u N , v i i i y x y i x i 1 i 1
即：使四节点四边形单元满足解的收敛性的途径 是 （1）将四边形通过坐标变换，转化为矩形单元； （几何相容） （2）以四边形节点位移值作为矩形单元的节点 位移值。（收敛性要求） 以上两条结合，即可保证四节点四边形单元的几 何相容性和有限元解的连续性。
在建立四边形和矩形单元的坐标变换关系时应注 意：四边形单元定义在总体坐标系中，而矩形 单元定义在局部坐标系中。坐标系的变换是一 个四边形单元到一个矩形单元的变换。矩形单 元的局部坐标系，仅仅适用于每个要变换的单 元。
4 N i , ui x i 1 4 N i , vi y i 1 4 4 N , u N , v i i i y i x i 1 i 1 N 3 N1 N 2 N 4 u1 u2 u3 u4 x x x x N N1 N N v1 2 v2 3 v3 4 v4 y y y y N1 u N 2 u N 3 u N 4 u N1 v N 2 v N 3 v N 4 v y 1 y 2 y 3 y 4 x 1 x 2 x 3 x 4
u EY F
上式只含有两个未知参数，由边界上的两个节点 的位移值唯一确定。
可见矩形单元的特点： （1） 矩形单元满足相容性条件。 （2）含有一次项和常数项，故也满足收敛性条 件。 （3）单元插值函数含有交叉项xy，比三节点三 角形单元的阶次要高。 如果通过坐标变换，将任意四边形单元变换成矩 形单元，只要在坐标变换中，任意四边形单元 与矩形单元之间的点是一一对应的（称为坐标 变换的几何相容性），而变换后的位移插值函 数又满足解的收敛性条件，这两条合在一起， 就能保证任意四边形在原坐标系中满足解的收 敛性条件。
5-3 等参数单元平面问题的有限元格式 前述有限元求解的七个步骤中 第1~3步：形成插值函数； 第4~6步：求出单元刚度矩阵，并集成求解； 第7步：用已知节点位移计算应力。 对于等参元，已经得到四边形四节点的等参数单 元的形状函数。下面主要讨论单元刚度矩阵的 形成，即上述中的4~6步。
一 等参数单元刚度矩阵 第4步：单元应变—单元位移—节点位移的关系 由平面问题几何方程和位移插值函数，有
我们知道，矩形单元满足相容性条件。 以图示为例。它有四个节点，各条边与总体坐标 轴平行。单元内任意一点的位移插值函数可以 包含四个待定系数
u 1 2 x 3 y 4 xy
y
x
在矩形单元的任意一条边上，把该边的方程
Y A
或
X B
u CX D
带入上式，总可以得到 或

（3）上述积分区域是总体坐标系下的，不是局 部坐标系下的。
为了能够计算上式，可以 （1）从局部坐标系向总体坐标系转换； 也可以 （2）从总体坐标系向局部坐标系转换。 统一之后，再积分。 (e) K 比较方便的做法：把 的积分从总体坐标系 向局部坐标系转换。 下面讨论坐标变换。