线性回归直线方程PPT
回归线方程ppt课件
变量筛选
在多元回归分析中，利用回归线 方程筛选对因变量有显著影响的
自变量，简化模型。
控制质量
过程控制
在生产过程中，通过建立回归线方程，监控关键工艺参数对产品 质量的影响，确保产品质量稳定。
质量控制
利用回归线方程分析产品质量检测数据，找出影响产品质量的因素 ，制定相应的质量控制措施。
质量改进
求解回归系数
01
02
03
计算回归系数
根据回归方程，计算每个 自变量的回归系数。
分析回归系数
分析回归系数的符号、大 小和显著性，了解自变量 对因变量的影响程度。
检验回归系数
通过假设检验等方法，检 验回差分布情况，检查 是否存在异常值或离群点 。
拟合优度检验
通过计算判定系数、调整 判定系数等方法，评估回 归方程的拟合优度。
显著性检验
通过F检验、t检验等方法 ，检验回归方程的显著性 和可信度。
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
04
回归线方程的应用
预测未来趋势
股票价格预测
通过分析历史股票数据，利用回 归线方程建立模型，预测未来股
最小二乘法通过最小化误差的 平方和来找到最佳拟合直线， 使得所有数据点到直线的垂直 距离最小。
最小二乘法的计算过程
计算误差
计算每个数据点到拟合线的垂 直距离，即误差。
最小化误差平方和
通过最小化所有数据点到直线 的垂直距离的平方和来找到最 佳拟合直线。
收集数据
收集自变量（X）和因变量（Y ）的数据点。
数据来源的可靠性
02
数据来源必须可靠，避免使用不可靠的数据源可能导致错误的
《直线相关与回归》课件
模型评估
通过检验回归方程的显著性和模型的拟合优 度，评估多元线性回归模型的有效性。
案例分析与应用
市场营销
通过回归分析客户消费行为，制定有效的市场推广策略。
金融风险管理
通过建立回归模型，评估风险因素对金融资产的影响程度。
医学研究
回归分析可以帮助研究人员预测疾病发生的概率，优化治疗方案。
皮尔逊相关系数
常用的相关系数，取值范围为-1到1，表示两个变量之间的线性关系的强弱。
斯皮尔曼相关系数
用于非线性关系的测量，通过变量的排序关系来判断相关性的程度。
判定系数
判断回归方程对样本数据的拟合程度，解释自变量对因变量变化的百分比。
回归分析的基本原理
回归分析用于建立因变量与一个或多个自变量之间的数学关系。通过回归方 程的拟合和预测，揭示变量之间的内在规律。
《直线相关与回归》PPT 课件
本课件将介绍直线相关与回归的概念、测量方法以及基本原理。我们还将探 讨简单线性回归模型、多元线性回归模型，以及案例分析与应用。让我们开 始吧！
直线相关的概念
直线相关研究两个变量之间的关系，通过相关系数判断其相关性的强弱。相关性的理解对于回归分析非常重要。直Βιβλιοθήκη 相关的测量方法简单线性回归模型
模型公式
利用一条直线描述因变量与单个自变量之间的线性关 系。
散点图
通过散点图观察数据点的分布和趋势，评估线性模型 的适应度。
回归分析
通过回归分析，我们可以得到回归系数和截距，进而
多元线性回归模型
1
多重共线性
2
当两个或多个自变量之间存在高度相关性时，
会导致多重共线性问题。
线性回归计算方法及公式PPT课件
(y = ax + b)
解释
其中(y)是因变量，(a)是斜率，(x)是自变量，(b)是截距。
实例二：多元线性回归分析
总结词
多个自变量的线性关系
详细描述
多元线性回归分析研究因变量与多个自变量之间的线性关 系。通过引入多个自变量，可以更全面地描述因变量的变 化规律。
公式
(y = a_1x_1 + a_2x_2 + ... + a_nx_n + b)
加权最小二乘法的公式
加权最小二乘法的公式是：(ŷ=β₀+β₁x₁+β₂x₂+...+βₙxₙ)其中，(w_i)是加权因 子，用于对不同观测值赋予不同的权重。
加权最小二乘法适用于数据存在异方差性的情况，通过给不同观测值赋予不同的 权重，能够更好地拟合数据。
主成分回归的公式
主成分回归的公式是：(ŷ=β₀+β₁z₁+β₂z₂+...+βₙzₙ)其中， (z_i)是主成分得分，通过对原始自变量进行线性变换得到。
误差项独立同分布
误差项被假设是相互独立的，并且具有相 同的分布（通常是正态分布）。
误差项无系统偏差
自变量无多重共线性
误差项被假设没有系统偏差，即它们不随 着自变量或因变量的值而变化。
自变量之间被假设没有多重共线性，即它 们是独立的或相关性很低。
02
线性回归模型
模型建立
确定因变量和自变量
首先需要确定研究的因变量和自变量， 以便建立线性回归模型。
以提供更稳定和准确的估 计。
(y = (X^T X + lambda I)^{1}X^T y)
其中(y)是因变量，(X)是自变量 矩阵，(lambda)是正则化参数
一元线性回归分析PPT课件
拟合程度评价
拟合程度是指样本观测值聚集在样本回归线周围的紧
密程度. ( Y t Y ) ( Y ˆ t Y ) ( Y t Y ˆ t)
n
n
n
(Y t Y )2 (Y ˆt Y )2 (Y t Y ˆ)2
t 1
t 1
t 1
n
(Yt Y)2 :总离差平方和，记为SST;
t1
n
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例
食品序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
求和
脂肪Xt 4 6 6 8 19 11 12 12 26 21 11 16 14 9 9 5
热量Yt 110 120 120 164 430 192 175 236 429 318 249 281 160 147 210 120
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回归分析的分类
一个自变量
一元回归
回归分析
两个及以上自变量
多元回归
线性 回归
非线性 回归
线性 回归
非线性 回归
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一元线性回归模型
(一)总体回归函数
Yt＝0＋1Xt＋ut
ut是随机误差项，又称随机干扰项，它是一个特殊的 随机变量，反映未列入方程式的其他各种因素对Y的 影响。
(ˆ1t(n2)Sˆ1)
2
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回归分析的Excel实现
“工具”->“数据分析”->“回归”
第16页/共40页
ˆ 0
S ˆ 0
ˆ 1
S ˆ 1
(ˆ0t(n2)Sˆ0)
2
(ˆ1t(n2)Sˆ1)
2
第17页/共40页
第章线性回归分析详解演示文稿
上式表明：y的变化可由两部分解释：第一，由解释
变量x的变化引起的y的线性变化部分，即y=β0+β1x； 第二，由其他随机因素引起的y的变化部分，即ε。 β0 、β1 都是模型中的未知参数，β0为回归常数，β1为 y对x回归系数（即x每变动一个单位所引起的y的平
一元二乘估计：
多元二乘估计（略）
第十一页，共52页。
9.3回归方程的统计检验
拟合优度检验 回归方程的显著性检验
回归系数的显著性检验 残差分析
第十二页，共52页。
9.3.1回归方程的拟合优度检验
用于检验样本数据点聚集在回归线周围的密集程度， 从而评价回归线对样本数据的代表程度。 思想：因变量y（儿子身高）取值的变化受两个因素
第二十九页，共52页。
第二、计算残差的自相关系数 自相关系数用于测定序列自相关强弱，其取值范围 -1~+1，接近1表明序列存在正自相关
第三十页，共52页。
第三、DW（durbin-watson）检验
DW检验用于推断小样本序列是否存在自相关的方法。其原 假设为：总体自相关系数ρ与零无显著差异。采用统计量 为：
的影响：自变量x（父亲身高）不同取值的影响，其 他因素（环境、饮食等）的影响。
可表示如下:
因变量总变差 = 自变量引起的 + 其他因素引起的 即因变量总变差= 回归方程可解释的+不可解释的 即，因变量总离差平方和SST =回归平方和 SSA + 剩余平
方和SSE
第十三页，共52页。
图示：
y y i
素对 y 的影响造成的。
第十五页，共52页。
一、一元线性回归方程
拟合优度的检验采用R2统计量，称为判定系数
[课件]第八章 直线回归与相关分析PPT
![[课件]第八章 直线回归与相关分析PPT](https://img.taocdn.com/s3/m/48735145f5335a8102d2207a.png)
（2）F检验：
U 176 . 4 F ( n 2 ) ( 5 2 ) 4 . 96 Q 106 . 6
因为 F ， 4 . 96 F 10 . 13 0 . 05 ( 1 , 3 ) .05 。说明小白鼠体重和日龄间 所以， p 0 的直线关系不显著。
相关分析（correlation analysis）3
研究“一因一果”，即一个自变量与一个依 变量的回归分析称为一元回归分析；
直线回归分析 曲线回归分析
研究“多因一果”，即多个自变量与一个依 变量的回归分析称为多元回归分析。
多元线性回归分析
多元非线性回归分析
第二节：直线回归
Linear Regression
回归和相关分析结果仅适用于自变量的试验取值 范围。
9
2. 进行直线回归分析时应符合的基本条件 （基本假定） （1）x是没有误差的固定变量；而y是随机 变量，具有随机误差。 （2）x的任一值都对应着一个y的总体，且 呈正态分布。
（3）随机误差是相互独立的，且呈正态分
布。
10
对两个变量间的线性关系的显著性进行检验时， 采用的方法是 F 检验或 t 检验。 直线回归中，只有一个自变量，所以回归平方和 的自由度为1，离回归平方和的自由度为n－2 。 1. 计算回归平方和U和离回归平方和Q：
序号 日龄 x 体重 y 1 6 12 2 9 17 3 12 22 4 15 25 5 18 29
13
（一）求回归方程： （1）由观测值计算6个一级数据
n 5
x 6 9 12 15 18 60 x 6 9 12 15 18 810
线性回归分析教程PPT课件
实例二：销售预测
总结词
线性回归分析在销售预测中，可以通过分析历史销售数据，建立销售量与影响因子之间的线性关系， 预测未来一段时间内的销售量。
详细描述
在销售预测中，线性回归分析可以用于分析历史销售数据，通过建立销售量与影响因子（如市场需求 、季节性、促销活动等）之间的线性关系，预测未来一段时间内的销售量。这种分析方法可以帮助企 业制定生产和销售计划。
自相关检验
自相关是指残差之间存在 相关性。应通过图形或统 计检验方法检验残差的自 相关性。
05
线性回归模型的预测与 优化
利用线性回归模型进行预测
确定自变量和因变量
01
在预测模型中，自变量是预测因变量的变量，因变量是需要预
测的目标变量。
建立模型
02
通过收集数据并选择合适的线性回归模型，利用数学公式表示
一元线性回归模型
一元线性回归模型是用来研究一个因变量和一个 自变量之间的线性关系的模型。
它通常用于预测一个因变量的值，基于一个自变 量的值。
一元线性回归模型的公式为：y = b0 + b1 * x
多元线性回归模型
01 多元线性回归模型是用来研究多个自变量和一个 因变量之间的线性关系的模型。
02 它通常用于预测一个因变量的值，基于多个自变 量的值。
线性回归模型与其他模型的比较
01
与逻辑回归的比较
逻辑回归主要用于分类问题，而 线性回归主要用于连续变量的预 测。
02
与决策树的比较
决策树易于理解和解释，但线性 回归在预测精度和稳定性方面可 能更优。
03
与支持向量机的比 较
支持向量机适用于小样本数据， 而线性 Nhomakorabea归在大样本数据上表现 更佳。
线性回归直线方程PPT
作出比较可靠的趋势预测，服务于现实生活。
作业:
1．已知复印机复印资料的份数与所用时间具有线性相关 关系，已知如下数据：
复印资料份数x(份) 复印时间y(分钟)
30
50
60
5
6
7
(1) 求线性回归直线方程; (2)若要复印1000份资料，估计需要多少时间？
17633 5 58.22
y 66 a 66 1.19758.2 3.665
法二：用Excel软件求回归方程（演示） （参考教材P93）
(1)把数据输入Excel表格， (2)选定数据后在菜单项中选择添加数据图表
（散点图）
(3)选中散点，在菜单中选定“图表”中的“添 加趋势线”，弹出对话框
xi yi nx y
b
i 1
n
(xi
i 1
x)2
i1
n
xi 2
2
nx
i 1
a y bx
最小二乘法 :
n
▪ 这种通过求Q= ( yi yi )2 最小值而得到回
归直线方程的方i法1 ，即求线性回归直线， 使得样本数据的点到它的距离(误差)的平方 和最小的方法叫做最小二乘法。
下表是近十届奥运会男子110米栏第一名的成绩:
(4)双击回归直线，弹出“趋势线格式”对话框， (5)单击“选项”，选定“显示公式”，确定即 可
法三：用计算器的统计功能求系数（参考教材P94）
总结:
1. 最小二乘法的思想 2. 运用回归分析的方法来分析、处理数据的一般步骤: ①收集数据，并制成表格； ②画出数据的散点图； ③利用散点图直观认识变量间的相关关系； ④运用科学计算器、Excel表格等现代信息技术手段
第22讲 回归直线方程(解析版)
第22讲 回归直线方程一、必备秘籍 1．两个变量线性相关(1)散点图：将样本中n 个数据点(,)i i x y (i ＝1,2，…，n )描在平面直角坐标系中得到的图形． (2)正相关与负相关①正相关：散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域． ②负相关：散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域． 2．回归直线的方程(1)回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．(2)回归方程：回归直线对应的方程叫回归直线的方程，简称回归方程． (3)回归方程的推导过程：①假设已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数据11(,)x y ,22(,)x y ,33(,)x y (,)n n x y ．②设所求回归方程为y bx a =+，其中,a b 是待定参数． ③由最小二乘法得1122211()(),()nnii i ii i nniii i xx y y x ynx yb a y bx xx xnx ====---===---∑∑∑∑其中，b 是回归方程的斜率，a 是截距． 二、例题讲解1．（2021·哈尔滨市呼兰区第一中学校高三模拟预测（文））十三届全国人大三次会议表决通过了《中华人民共和国民法典》这部法律自2021年1月1日起施行，某市相关部门进行法律宣传，某宣传小分队记录了前5周每周普及宣传的人数与时间的数据，得到下表：（2）利用（1）的回归方程，预测该宣传小分队第7周普及宣传（民法典）的人数．参考公式及数据：回归方程ˆˆˆybx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()121ˆniii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，ˆa y bx=-，()()51430i ii x x y y =--=∑.【答案】（1）4341y x =+；（2）预测该宣传小分队第7周普及宣传《民法典》的人数为342． 【分析】（1）求出x 、y 的值，将表格中的数据代入最小二乘法公式，求出b 、a 的值，可得出y 关于x 的线性回归方程；（2）将7x =代入回归直线方程，可得出结果. 【详解】（1）由题意得()11234535x =++++=，()1901201702102601705y =++++=， ()()()()()()52222221132333435310ii x x =-=-+-+-+-+-=∑，所以()()()51521430ˆ4310iii ii x x y y bx x ==--===-∑∑，所以ˆ17043341a y bx=-=-⨯=， 所以线性回归方程为4341y x =+；（2）由（1）知4341y x =+，令7x =，解得43741342y =⨯+=， 故预测该宣传小分队第7周普及宣传《民法典》的人数为342．2．（2021·合肥市第六中学高三模拟预测（文））树木根部半径与树木的高度呈正相关，即树木根部越粗，树木的高度也就越高.某块山地上种植了A 树木，某农科所为了研究A 树木的根部半径与树木的高度之间的关系，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取6棵A 树木，调查得到A 树木根部半径x (单位：米)与A 树木高度y (单位：米)的相关数据如表所示：（2）对（1）中得到的回归方程进行残差分析，若某A 树木的残差为零则认为该树木“长势标准”，在此片树木中随机抽取1棵A 树木，估计这棵树木“长势标准”的概率.参考公式：回归直线方程为y bx a =+，其中()()()1122211n ni iiii i b nnixii i x y nxy x x y y xnx x ==-==---==--∑∑∑∑，a y bx =-.【答案】（1）ˆ 20.9y x =+；（2）12【分析】（1）由最小二乘法先求样本点中心(),x y ，再代入公式求ˆ2b=，即可得到答案；（2）先计算6棵A 树木中残差为零的有3棵，占比为3162=，即可得到答案； 【详解】（1）由1(0.10.20.30.40.50.6)0.356x =⨯+++++=，1(1.1 1.3 1.6 1.5 2.0 2.1) 1.66y =⨯+++++=，610.1 1.10.2 1.30.3 1.60.4 1.50.5 2.00.6 2.1 3.71i ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑，6222222210.10.20.30.40.50.60.91ii x==+++++=∑，有62261216 3.7160.35 1.6ˆ20.9160.356i ii ii x yxybxx ==--⨯⨯===-⨯-∑∑，ˆˆ 1.6020.350.9ay bx =-=-⨯=， 故y 关于x 的回归方程为：ˆ 20.9yx =+. （2）当0.1x =时，ˆ20.10.9 1.1y=⨯+=，残差为1.1 1.10-=， 当0.2x =时，ˆ20.20.9 1.3y=⨯+=，残差为1.3 1.30-=， 当0.3x =时，ˆ20.30.9 1.5y=⨯+=，残差为1.6 1.50.1-=， 当0.4x =时，ˆ20.40.9 1.7y=⨯+=，残差为1.5 1.70.2-=-， 当0.5x =时，ˆ20.50.9 1.9y=⨯+=，残差为2.0 1.90.1-=， 当0.6x =时，ˆ20.60.9 2.1y=⨯+=，残差为2.1 2.10-=， 由这6棵A 树木中残差为零的有3棵，占比为3162=，∴这棵树木“长势标准”的概率为12.1．（2021·湖南师大附中高三月考）今年五月，某医院健康管理中心为了调查成年人体内某种自身免疫力指标，从在本院体检的人群中随机抽取了100人，按其免疫力指标分成如下五组：(10,20],(20,30],(30,40],(40,50],(50,60]，其频率分布直方图如图1所示．今年六月，某医药研究所研发了一种疫苗，对提高该免疫力有显著效果．经临床检测，将自身免疫力指标比较低的成年人分为五组，各组分别按不同剂量注射疫苗后，其免疫力指标y 与疫苗注射量x 个单位具有相关关系，样本数据的散点图如图2所示．（1）健管中心从自身免疫力指标在(40,60]内的样本中随机抽取3人调查其饮食习惯，记X 表示这3人中免疫力指标在(40,50]内的人数，求X 的分布列和数学期望；（2）由于大剂量注射疫苗会对身体产生一定的副作用，医学部门设定：自身免疫力指标较低的成年人注射疫苗后，其免疫力指标不应超过普通成年人群自身免疫力指标平均值的3倍．以健管中心抽取的100人作为普通人群的样本，据此估计疫苗注射量不应超过多少个单位．附：对于一组样本数据()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ⋅⋅⋅，其回归直线ˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘估计值分别为()()()1122211,nniii ii i nniii i x x yy x ynxyb a y bx x xxnx ====---===---∑∑∑∑． 【答案】（1）分布列见解析，125；（2）疫苗注射量不应超过80个单位． 【分析】（1）根据频率分布直方图分别求出自身免疫力指标在(40,50]内和在(50,60]内的人数，写出X 的可能取值，求出对应概率，即可写出分布列，再根据期望公式即可求得数学期望；（2）根据最小二乘法求得回归方程，然后求出免疫力指标的平均值，根据题意列出不等式，从而可得答案. 【详解】解：（1）由直方图知，自身免疫力指标在(40,50]内的人数为0.008101008⨯⨯=，在(50,60]内的人数为0.002101002⨯⨯=，则X 的可能取值为1，2，3．其中122130828282233101010177(1),(2),(3)151515C C C C C C P X P X P X C C C =========．所以X 的分布列为()7121231515155E X =⨯+⨯+⨯=． （2）由散点图知，5组样本数据(,)x y 分别为(10,30),(30,50),(50,60),(70,70),(90,90)，且x 与y 具有线性相关关系． 因为50,60x y ==，则22222210303050506070709090550607103050709055010b ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯==++++-⨯，760502510a =-⨯=，所以回归直线方程为ˆ0.725yx =+． 由直方图知，免疫力指标的平均值为26402482152535455527100100100100100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 由27381ˆy≤⨯=，得0.72581x +≤，解得80x ≤． 据此估计，疫苗注射量不应超过80个单位．2．（2021·安徽师范大学附属中学（理））根据国际疫情形势以及传染病防控的经验，加快新冠病毒疫苗接种是当前有力的防控手段，我国正在安全、有序加快推进疫苗接种工作，某乡村采取通知公告、微信推送、广播播放、条幅宣传等形式，积极开展疫苗接种社会宣传工作，消除群众疑虑，提高新冠疫苗接种率，让群众充分地认识到了疫苗接种的重要作用，自宣传开始后村干部统计了本村200名居民（未接种）的一个样本，5天内每天新接种疫苗的情况，如下统计表：（2）假设全村共计2000名居民（均未接种过疫苗），用样本估计总体来预测该村80%居民接种新冠疫苗需要几天？参考公式：回归方程y bx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1221ˆi ii nii x ynxybxnx π==-=-∑∑，ˆˆay bx =-． 【答案】（1）222955y x =+；（2）7． 【分析】（1）根据公式求线性回归方程即可； （2）根据线性回归方程可设222955n a n ，求出67,S S ，与200080%1600⨯=比较即可求解. 【详解】 （1）1234535x ++++==，1015192328195y ++++==，则51522222222110305792140531922ˆ12345535i ii ii x y nxybxnx ==-++++-⨯⨯===++++-⨯-∑∑，222919355ˆa =-⨯=， 故y 关于x 的线性回归方程222955y x =+． （2）设222955na n ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，易知数列{}n a 是等差数列， 则()12222922291155558225n n n a a S n n n n⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭=⋅=⋅=+， 因为6127.2S ，7163.8S ， 所以6101272S =，7101638S =200080%1600⨯=（人），所以预测该村80%居民接种新冠疫苗需要7天．3．（2021·九龙坡·重庆市育才中学高三月考）随着城市规模的扩大和人们生活水平的日益提高，某市近年机动车保有量逐年递增.根据机动车管理部门的统计数据，以5年为一个研究周期，得到机动车每5年纯增数据情况为：其中，时间变量i 对应的机动车纯增数据为i ，且通过数据分析得到时间变量与对应的机动车纯增数量y （单位：万辆）具有线性相关关系.（1）求机动车纯增数量y （单位：万辆）关于时间变量x 的回归方程，并预测2025~2030年间该市机动车纯增数量的值；附：回归直线方程y bx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()1122211n ni iiii i nniii i x y nx y x x y y b xnxx x ====-⋅--==--∑∑∑∑；a y bx =-.（2）该市交通管理部门为了了解市民对“单双号限行”的赞同情况，随机采访了200名市民，将他们的意见和是否拥有私家车情况进行了统计，得到如下的22⨯列联表：附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.【答案】（1） 5.7 5.1y x =-，2025~2030年间，机动车纯增数量的值约为34.8万辆；（2）没有95%的把握认为“对限行的意见与是否拥有私家车有关”. 【分析】（1）根据最小二乘法求得线性回归方程，再求估计值即可； （2）根据列联表求得卡方观测值，再对照表即可得解. 【详解】 （1）由 51132639415527237i ii x y=⨯+⨯+⨯+=⨯+⨯=∑.()12222222212375312575.755451234553ni ii ni i x y nx yb x nx==-⋅-⨯⨯====-++++-⨯-∑∑. 因为y bx a =+过点(),x y ，所以 5.7y x a =+，5.1a =-，所以 5.7 5.1y x =-.2025~2030年时，7x =，所以 5.77 5.134.8y =⨯-=， 所以2025~2030年间，机动车纯增数量的值约为34.8万辆.（2）根据列联表，由()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++得观测值为()2220025 3.12510085251575100160084K ⨯⨯-⨯⨯=⨯⨯==，3.125 3.841<，所以没有95%的把握认为“对限行的意见与是否拥有私家车有关”.4．（2021·贵州贵阳·高三月考（理））据贵州省气候中心报，2021年6月上旬，我省降水量在15.2-170.3mm 之间，毕节市局地、遵义市北部、铜仁市局地和黔东南州东南部不足50mm ，其余均在50mmm 以上，局地超过100mm.若我省某地区2021年端午节前后3天，每一天下雨的概率均为50%.通过模拟实验的方法来估计该地区这3天中恰好有2天下雨的概率，利用计算机或计算器可以产生0到9之间取整数值的随机数x （x ∈N ，且09x ≤≤）表示是否下雨：当[]()0,x k k Z ∈∈时表示该地区下雨，当[]1,9x k ∈+时，表示该地区不下雨.因为是3天，所以每三个随机数作为一组，从随机数表中随机取得20组数如下: 332 714 740 945 593 468 491 272 073 445 992 772 951 431 169 332 435 027 898 719（1）求出k 的值，使得该地区每一天下雨的概率均为50%；并根据上述20组随机数估计该地区这3天中恰好有2天下雨的概率；（2）2016年到2020年该地区端午节当天降雨量（单位:mm ）如表：回归直线方程y bt a =+.并预测该地区2022年端午节有降雨的话，降雨量约为多少？参考公式：()()()1122211nniii ii i nniii i tty y t y nt yb tttnt====---==--∑∑∑∑，a y bt =-.【答案】（1）4， 25；（2）814955y t =-+，935mm ．【分析】（1）由于该地区每一天下雨的概率均为50%，所以150%10k +=，从而可求出k 的值，在所给的20组数据中找出有两天小于等于k 的数，从而利用古典概型的概率公式可求出概率，（2）直接利用所给的数据和公式求出回归直线方程。
线性回归完美版PPT
相关关系与函数关系的异同点： 非随机变量与随机变量的关系
相关关系
函数
自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个
相同点 各点大致分布在一条直线的附近
均是指两个变量的关系
例 一个工厂在某年里每月产品的总成线y（万元）与该月
非确定关系 表示n个点与相应直线在整体上的接近程度． 不同点
确定的关系
非随机变量与随机变量的关系 两个非随机变量的关系
n
记作 Q (yi bi x a )2 i 1
1.6 线性回归
新授课
直线方程 ：y ˆ b x a叫做回归直线方程．
其中
n
n
(xi x)(yi y)
xi yi nxy
b
i1
n
(xi x)2
i1
i1 n
.
xi2 nx2
i1
a y bx.
x
1 n
n线方程为 y ˆ 0 . 3 t 5 . 5 .42
1.6 线性回归
练习：
课后练习 课堂小结
准确理解相关关系的概念，并在此基础上，了解回归分析
与散点图的含义，了解回归直线方程推导的思路，会利用a、b
的公式求出回归直线方程，利用回归直线方程去估值．
对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分 析．
1.6 线性回归
新授课 施化肥量x 15 20 25 30 35 40 45 水稻产量y 330 345 365 405 445 450 455
你发现图象中的点有什么特点？ 各点大致分布在一条直线的附近
表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形，叫做散 点图.
（1）画出散点图； （2）求月总成本y与月总产量x之间的回归直线方程．
生物统计附试验设计第八章直线回归与相关分析ppt课件
Q ei2 (y yˆ)2 y (a bx)2
利用最小二乘法，即使偏差平方和最小 的方法求a与b的值。
Q a
2 ( y
a
bx)
0
Q b
2 ( y
a
bx)x
0
na ( x)b y
根据微积分 学中求极值 的原理，将Q 对a与b求偏 导数并令其 等于0：
( x)a ( x)2 b xy
平行关系/相关关系（两个以上变量之间共
同受到另外因素的影响，无自变量与依变
量之分）
X身高
Y体重
X体重
Y身高
在大量测量各种身高人群的体重时会发现，在同样 身高下，体重并不完全一样。在同样体重下，身高 并不完全一样。但在每一身高/体重下，有一确定 的体重/身高。
身高与体重之间存在相关关系。
平行关系/相关关系（两个以上变量之间共 同受到另外因素的影响，无自变量与依变 量之分）
Sr
检验的计算公式为：
Sr (1 r2 ) /(n 2)
Sr—相关系数标准误
F
(1
r2 r2) (n
2)
df1 1, df2 n 2
此外，还可以直接采用查表法对相关系 数r进行显著性检验。先根据自由度n-2查临
界r值(附表8)，得r0.05、 r0.01。
若|r|＜r0.05 ，P＞0.05，则相关系数r不 显著；
椰子树的产果树与树高之间无直线相关关系。
当样本太小时，即使r值达到0.7996，样本也可
能来自总体相关系数ρ=0的总体。
不能直观地由r值判断两变数间的相关密切程度。 试验或抽样时，所取的样本容量n大一些，由此计
算出来的r值才能参考价值。
四、相关与回归的关系
《线性回归方程》课件1
i 1
i 1
i 1
i 1
i 1
方程
类似地，我们可以推得，求回归
yˆ bx a 中系数a,b的一般公式:
n
n
xi yi nx y (xi x)(yi y)
b
i1 n
xi2
2
nx
i1
n
(xi x)2
,
i1
i1
a ybx
以上公式的推导较复杂，故不作推导，但它 的原理较为简单：即各点到该直线的距离的平 方和最小，这一方法叫最小二乘法。
线性回归方程
问题引入：
有些教师常说：“如果你的数学成绩好，那 么你的物理学习就不会有什么大问题” 按照这种 说法，似乎学生的物理成绩与数学成绩之间也存 在着某种关系。你如何认识它们之间存在的关系？
数学成绩
物理成绩
学习兴趣
学习时间
其他因素
结论：变量之间除了函数关系外，还有
。
变量之间的关系
函数关系---变量之间是一种确定 性的关系.如:圆的面积S和半径r之间 的关系.
b
i 1 n
xi2
2
nx
i1
n
(xi x)2
,
i 1
i 1
a y bx
数学３——统计 1. 画散点图 2. 了解最小二乘法的思想 3. 求回归直线方程 4. 用回归直线方程解决应用问题
近似表示的相关关系叫做线性相关关系.
如果散点图中的点分布从整体 上看大致在一条直线附近我们就称 这两个变量之间具有线性相关关系
线性回归方程： 一般地,设有n个观察数据如下：
x x1 x2 x3 … xn
y y1 y2 y3 … yn 当a,b使
Q ( y1 bx1 a)2 ( y2 bx2 a)2 ... ( yn bxn a)2
线性回归方程(课件)高二数学(苏教版2019选择性必修第二册)
探究新知
(2)对两边取对数把指数关系变为线性关系，令 z＝ln y，则有变换后
的样本点应分布在直线 z＝bx＋a(a＝ln c1，b＝c2)的周围，这样就可以利
用线性回归模型来建立 y 与 x 之间的非线性回归方程了，数据可以转化
0+，估计值并不是精确值，允许有误差存在.
估计值＝
ො x
ො
探究新知
四、残差分析
对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回
归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值称为残差.残差是
ො
随机误差的估计结果，通过对残差的分析可
以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在
可疑数据等，这方面工作称为残差分析.
（1）在一元线性回归模型中，R2＝r2，因此0≤R2 ≤1，且在一元
线性模型中，R2和r都能刻画用线性回归模型拟合数据的效果，|r|
越大，即R2越大，用线性回归模型拟合数据的效果就越好，即相
关程度越强.
（2）当两个变量x，y非线性相关时，用拟合系数R2判断拟合效
果，R2越大，拟合效果越好.
（3）R2可以作为衡量任何模型拟合效果的一个指标，它越大，
56.770
128.381
290.325
^
ei
0.557
－0.101
1.875
－8.950
9.23
－13.381
34.675
(3)当 x＝40 时，y＝e0.272
×40－3.849
≈1 131.
探究新知
●
非线性回归问题的处理方法
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这样，问题归结为：
当 a, b 为何值时Q最小？
接着经过数学上求最小值的运算，
可求得系数 a, b 的公式。
最小二乘法 :
n
• 这种通过求的 ( yi yi )2 最小值而得到回
归直线方程的方i法1 ，即求线性回归直线， 使得样本数据的点到它的距离(偏差)的平方 和最小的方法叫做最小二乘法。
成绩y （秒）
13.30
届次x 24
成绩y （秒）
12.98
20 13.24 25 13.12
21 13.30 26 12.95
22 13.39 27 13.00
23 13.20 28 12.91
利用计算器求线性 回归直线， 并预测2008年北京奥运会男子110m栏成绩.
总结:
1. 最小二乘法的思想： 2．回归分析：对具有相关关系的两个变量进行统计分析 的方法叫做回归分析。 3. 运用回归分析的方法来分析、处理数据的一般步骤: ①收集数据，并制成表格； ②画出数据的散点图； ③利用散点图直观认识变量间的相关关系； ④运用科学计算器、Excel表格等现代信息技术手段
(利用系数公式)求解回归方程； ⑤通过研究回归方程，提取有用信息，
作出比较可靠的趋势预测，服务于现实生活。
布置作业:
(A)1．教材本节练习（P96）第1，2题。
(B) 2．已知复印机复印资料的份数与所用时间 具有线性相关关系， 已知如下数据：
复印资料份数x(份)
30
50
60
复印时间y(分钟)
5
6
7
25
20
15
10
5
0
22
23
24
25
26
27
28
29
届次x
总体上看x与y正相关，线性相关. 散点图中的点在一条直线附近， 这条直线称为其线性回归直线。 可以利用此直线来预测下一届金牌总数。
探究讨论:
金牌数y
35
30
25
20
15
10
5
0
22
23
24
25
26
27
28
29
届次x
怎样才能找到合适的线性回归直线？(求出其方程)
（散点图） (3)选中散点，在菜单中选定“图表”中
的“添加趋势线”，弹出对话框 (4)双击回归直线，弹出“趋势线格式”对话框， (5)单击“选项”，选定“显示公式”，确定即可
回归直线是
法三：用计算器的统计功能求系数（参米栏第一名的成绩:
届次x 19
1、采用测量的方法，先画一条直线，测量出各点 到它的距离，然后移动直线，到达一个使距离之 和最小的位置，测量出此时直线的斜率和截距， 就得到回归方程。
2、在图中选取两点画直线，使得直线两侧的点的 个数基本相同。
3、在散点图中多取几个点，确定几条直线的方程， 分别求出各条直线的斜率和截距的平均数，将这 两个平均数作为回归方程的斜率和截距。
课题:
2.3.2 线性回归直线方程(一)
探究讨论:
上届奥运我国金牌总数排第二，而下一届将 在首都北京举行，因此有人预测下一届奥运我 国金牌总数很可能是第一，你能利用下表数据 来对其加以评论吗？
届次x 23 24 25 26 27 28 金牌总数y 15 5 16 16 28 32
金牌数y
35
30
n
n
(xi x)(yi y)
xi yi nx y
b i1
n
(xi x)2
i 1
i1
n
xi 2
2
nx
i 1
a y bx
对系数a,b的理解
a, b 分别为回归直线方程的纵截距与斜率， 当x与y正相关时b>0； 当x与y负相关时b<0.
y bx a说明线性回归直线经过 点(x, y)
| yi yi |
可用
n
| yi yi | 来表示整体上的偏差
i 1
含多个绝对值的式子求最小值的运算很不方便。 为此改用下式来衡量n个点与回归直线整体上的偏差：
Q=
n
( yi yi )2
i 1
= ( y1 bx1 a)2 ( y2 bx2 a)2 ( yn bxn a)2
例1：我国历届奥运获得金牌数表
届次x 23 24 25 26 27 28 金牌数y 15 5 16 16 28 32
利用公式求y关于x的线性回归直线方程， (先列表, 再用计算器计算） 并据此预测第29届奥运会中国的金牌数。
法二：用Excel软件求回归方程（演示） （参考教材P93）
(1)把数据输入Excel表格， (2)选定数据后在菜单项中选择添加数据图表
(1)(选做)直接用最小二乘法推导其线性回归直线方程, (2)利用系数公式求线性回归直线方程 (3)若要复印1000份资料，估计需要多少时间？
(C) 3. 探究：当已知数据只有两个时，用线性回归直线系数公式
得到的直线方程与过此两点的直线方程有何关系？ 4. 选做：(1)查阅推导线性回归直线方程的资料
上面的这些方法虽然有一定的道理，但可靠性不强， 所得的直线不只一条，且差别很大， 或者所用方法太繁杂，没有通用性。
探究讨论: 怎样才能找到合适的回归直线？
求回归直线方程的目的是什么？
（x1,y1）
（x1,y1）
yi yi
（x1,y1）
记， yi bxi a
则相应于由回归直线得出的估计值与实际值的偏差是