江苏省高考数学二轮复习专题空间平行与垂直
高考数学大二轮专题复习：第二编空间中平行与垂直
高考数学大二轮专题复习：第二编空间中平行与垂直第2讲空间中的平行与垂直「考情研析」 1.从具体内容上：①以选择题、填空题的形式考查，主要利用平面的基本性质及线线、线面和面面平行和垂直的判定定理与性质定理对命题的真假进行判断，属于基础题；②以解答题的形式考查，主要是对线线、线面与面面平行和垂直关系交汇综合命题，且多以棱柱、棱锥、棱台或其简单组合体为载体进行考查． 2.从高考特点上，难度中等，常以一道选填题或在解答题的第一问考查．核心知识回顾 1.直线与平面平行的判定和性质(1)判定①判定定理：a∥b，b⊂α，a⊄α⇒a∥α．②面面平行的性质：α∥β，a⊂α⇒a∥β．(2)性质：l∥α，l⊂β，α∩β＝m⇒l∥m．2．直线和平面垂直的判定和性质(1)判定①判定定理：a⊥b，a⊥c，b，c⊂α，b∩c＝O⇒a⊥α．②线面垂直的其他判定方法：a．a∥b，a⊥α⇒b⊥α．b．l⊥α，α∥β⇒l⊥β．c．α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β．(2)性质①l⊥α，a⊂α⇒l⊥a．②l⊥α，m⊥α⇒l∥m．3．两个平面平行的判定和性质(1)判定①判定定理：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒β∥α．②面面平行的其他判定方法：a．l⊥α，l⊥β⇒α∥β．b．α∥γ，α∥β⇒β∥γ．(2)性质：α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b⇒a∥b．4．两个平面垂直的判定和性质(1)判定：a⊂α，a⊥β⇒α⊥β．(2)性质：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β．热点考向探究考向1空间线面位置关系的判定例1(1)(多选)(2020·山东省烟台市模拟)已知m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，则() A．若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n B．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n C．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥β D．若m∥n，n⊥α，α⊥β，则m∥β 答案BC 解析由m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，知：对于A，若m∥α，n∥β，α∥β，则m与n相交、平行或异面，故错误；对于B，若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则由线面垂直、面面垂直的性质定理得m⊥n，故正确；对于C，若m∥n，m⊥α，n⊥β，则由线面垂直的性质定理和面面平行的判定定理得α∥β，故正确；对于D，若m∥n，n⊥α，α⊥β，则m∥β或m⊂β，故错误．故选BC. (2) (多选)(2020·山东省实验中学高考预测卷)在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M在棱CC1上，则下列结论正确的是() A．直线BM与平面ADD1A1平行B．平面BMD1截正方体所得的截面为三角形C．异面直线AD1与A1C1所成的角为D．MB＋MD1的最小值为答案ACD 解析对于A，因为平面ADD1A1∥平面BCC1B1，BM⊂平面BCC1B1，即可判定直线BM与平面ADD1A1平行，故正确；对于B，如图1，平面BMD1截正方体所得的截面为四边形，故错误；对于C，如图2，异面直线AD1与A1C1所成的角为∠D1AC，即可判定异面直线AD1与A1C1所成的角为，故正确；对于D，如图3，将正方体的侧面展开，可得当B，M，D1共线时，MB＋MD1有最小值，最小值为BD1＝＝，故正确．故选ACD. 判断空间线面位置关系常用的方法(1)根据空间线面平行、垂直关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题．(2)必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系，并结合有关定理来进行判断. (多选)(2020·山东省聊城市一模)正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G 分别为BC，CC1，BB1的中点，则() A．直线D1D与直线AF 垂直B．直线A1G与平面AEF平行C．平面AEF截正方体所得的截面面积为D．点C与点G到平面AEF的距离相等答案BC 解析∵CC1与AF不垂直，而DD1∥CC1，∴AF与DD1不垂直，故A错误；取B1C1的中点N，连接A1N，GN，可得平面A1GN∥平面AEF，则直线A1G∥平面AEF，故B正确；把截面AEF补形为四边形AEFD1，由四边形AEFD1为等腰梯形可得平面AEF截正方体所得的截面面积S＝，故C正确；假设点C与点G到平面AEF的距离相等，即平面AEF将CG 平分，则平面AEF必过CG的中点，连接CG交EF于点H，而H 不是CG中点，则假设不成立，故D错误．故选BC. 考向2空间平行、垂直关系的证明例2(2020·山东省青岛市高三期中)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2，PA＝PD＝CD＝BC＝1，面PAD⊥面ABCD，E 为AD的中点．(1)求证：PA⊥BD；(2)在线段AB上是否存在一点G，使得BC∥面PEG？若存在，请证明你的结论；若不存在，请说明理由．解(1)证明：取AB的中点F，连接DF. ∵DC∥AB且DC＝AB，∴DC∥BF且DC＝BF，∴四边形BCDF为平行四边形，又AB⊥BC，BC＝CD＝1，∴四边形BCDF为正方形．在Rt△AFD中，∵DF＝AF＝1，∴AD＝，在Rt△BCD中，∵BC＝CD＝1，∴BD＝，∵AB＝2，∴AD2＋BD2＝AB2，∴BD⊥AD，∵BD⊂面ABCD，面PAD∩面ABCD＝AD，面PAD⊥面ABCD，∴BD⊥面PAD，∵PA⊂面PAD，∴PA⊥BD.(2)在线段AB上存在一点G，满足AG＝AB，即G为AF的中点时，BC∥面PEG，证明如下：连接EG，∵E为AD的中点，G 为AF中点，∴GE∥DF，又DF∥BC，∴GE∥BC，∵GE⊂面PEG，BC⊄面PEG，∴BC∥面PEG. 空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化，即通过判定定理、性质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化．(2020·江苏省泰州中学、宜兴中学、江都中学联考)如图，在四棱锥S－ABCD中，已知SA＝SB，四边形ABCD是平行四边形，且平面SAB⊥平面ABCD，点M，N分别是SC，AB的中点．求证：(1)MN∥平面SAD；(2)SN⊥AC. 证明(1)取SD的中点E，连接EM，EA. ∵M是SC的中点，∴EM∥CD，且EM＝CD. ∵底面ABCD是平行四边形，N为AB的中点，∴AN∥CD，且AN＝CD，∴EM∥AN，EM＝AN，∴四边形EMNA是平行四边形，∴MN∥AE. ∵MN⊄平面SAD，AE⊂平面SAD，∴MN∥平面SAD. (2)∵SA＝SB，N 是AB的中点，∴SN⊥AB，∵平面SAB⊥平面ABCD，平面SAB∩平面ABCD＝AB，SN⊂平面SAB，∴SN⊥平面ABCD，∵AC⊂平面ABCD，∴SN⊥AC. 考向3立体几何中的翻折问题例3(1)(2020·山东省潍坊市三模)如图1，四边形ABCD是边长为10的菱形，其对角线AC＝12，现将△ABC沿对角线AC折起，连接BD，形成如图2的四面体ABCD，则异面直线AC与BD 所成角的大小为________；在图2中，设棱AC的中点为M，BD的中点为N，若四面体ABCD的外接球的球心在四面体的内部，则线段MN长度的取值范围为________．答案(，8) 解析连接BM，DM，∵四边形ABCD是菱形，M为棱AC的中点，∴AC⊥BM，AC⊥DM，又BM∩DM＝M，则AC⊥平面BMD，∵BD⊂平面BMD，∴AC⊥BD，则异面直线AC与BD所成角的大小为. ∵四边形ABCD是边长为10的菱形，其对角线AC＝12，∴MA＝6，MB ＝8. 设O1是△ABC的外心，则O1在中线BM上，设过点O1的直线l1⊥平面ABC，易知l1⊂平面BMD，设O2是△ACD的外心，则O2在中线DM上，设过点O2的直线l2⊥平面ACD，易知l2⊂平面BMD，由对称性易知l1，l2的交点O在直线MN 上，根据外接球的性质，知点O为四面体ABCD的外接球的球心，O1A2＝O1M2＋MA2，O1A＋O1M＝BM＝8，∴(8－O1M)2＝O1M2＋36，解得O1M＝，令∠BMN＝θ，根据题意可知BD⊥CN，BD⊥AN，且CN∩AN＝N，∴BD⊥平面ACN，又MN⊂平面ACN，∴BD⊥MN，∴0θ，∴MN＝BM cos θ＝8cos θ8. ∵cos θ＝＝，∴OM·MN＝O1M·BM＝×8＝14，又OMMN，∴MN214，∴MN，∴MN8，即线段MN长度的取值范围为(，8). (2)如图1，在直角梯形ABCP中，CP∥AB，CP⊥BC，AB＝BC ＝CP，D是CP的中点，将△PAD沿AD折起，使点P到达点P′的位置得到图2，点M为棱P′C上的动点．①当M在何处时，平面ADM⊥平面P′BC，并证明；②若AB＝2，∠P′DC＝135°，证明：点C到平面P′AD的距离等于点P′到平面ABCD的距离，并求出该距离. 解①当点M为P′C的中点时，平面ADM⊥平面P′BC，证明如下：∵DP′＝DC，M为P′C的中点，∴P′C⊥DM，∵AD⊥DP′，AD⊥DC，DP′∩DC＝D，∴AD⊥平面DP′C，∴AD⊥P′C，又DM∩AD＝D，∴P′C⊥平面ADM，∴平面ADM⊥平面P′BC. ②在平面P′CD 上作P′H⊥CD的延长线于点H，由①中AD⊥平面DP′C，可知平面P′CD⊥平面ABCD，又平面P′CD∩平面ABCD＝CD，P′H⊂平面P′CD，P′H⊥CD，∴P′H⊥平面ABCD，由题意，得DP′＝2，∠P′DH＝45°，∴P′H＝，又VP′－ADC＝VC－P′AD，设点C到平面P′AD的距离为h，即S△ADC×P′H＝S△P′AD×h，由题意，知△ADC≌△ADP′，则S△ADC＝S△P′AD. ∴P′H＝h，故点C到平面P′AD的距离等于点P′到平面ABCD的距离，且该距离为. 翻折前后位于同一个半平面内的直线间的位置关系、数量关系不变，翻折前后分别位于两个半平面内(非交线)的直线位置关系、数量关系一般发生变化，解翻折问题的关键是辨析清楚“不变的位置关系和数量关系”“变的位置关系和数量关系”．如图1所示，直角梯形ABCD，∠ADC＝90°，AB∥CD，AD＝CD＝AB ＝2，点E为AC的中点，将△ACD沿AC折起，使折起后的平面ACD与平面ABC垂直(如图2)，在图2所示的几何体D－ABC 中，(1)求证：BC⊥平面ACD；(2)若点F在棱CD上，且满足AD∥平面BEF，求几何体F－BCE的体积．解(1)证明：在图1中，由题意，知AC＝BC＝2，AB＝4，所以AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC. 如图2，因为E为AC的中点，连接DE，则DE⊥AC，又平面ADC⊥平面ABC，且平面ADC∩平面ABC＝AC，DE⊂平面ACD，从而ED⊥平面ABC，所以ED⊥BC. 又AC⊥BC，AC∩ED＝E，所以BC⊥平面ACD. (2)如图2，取DC的中点F，连接EF，BF，因为E是AC的中点，所以EF∥AD，又EF⊂平面BEF，AD⊄平面BEF，所以AD∥平面BEF，由(1)知，DE为三棱锥D－ABC的高，因为三棱锥F－BCE的高h＝DE＝×＝，S△BCE＝S△ABC＝__2×2＝2，所以三棱锥F－BCE的体积为VF－BCE＝S△BCE·h＝×2×＝. 真题押题『真题检验』1．(2020·浙江高考)已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，则“m，n，l在同一平面”是“m，n，l两两相交”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 B 解析依题意m，n，l是空间中不过同一点的三条直线，当m，n，l在同一平面时，可能有m∥n∥l，故不能得出m，n，l两两相交．当m，n，l两两相交时，设m∩n＝A，m∩l＝B，n∩l＝C，则m，n确定一个平面α，而B∈m⊂α，C∈n⊂α，所以直线BC即l⊂α，所以m，n，l在同一平面．综上所述，“m，n，l在同一平面”是“m，n，l 两两相交”的必要不充分条件．故选B. 2．(2019·全国卷Ⅱ)设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是() A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面答案 B 解析若α∥β，则α内有无数条直线与β平行，反之则不成立；若α，β平行于同一条直线，则α与β可以平行也可以相交；若α，β垂直于同一个平面，则α与β可以平行也可以相交，故A，C，D中条件均不是α∥β的充要条件．根据平面与平面平行的判定定理知，若一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则两平面平行，反之也成立．因此，B中条件是α∥β的充要条件．故选 B. 3．(2020·新高考卷Ⅰ)已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD＝60°.以D1为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________．答案解析如图所示，取B1C1的中点为E，BB1的中点为F，CC1的中点为G，因为∠BAD＝60°，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的棱长均为2，所以△D1B1C1为等边三角形，所以D1E＝，D1E⊥B1C1.又四棱柱ABCD－A1B1C1D1为直四棱柱，所以BB1⊥平面A1B1C1D1，所以BB1⊥D1E.因为BB1∩B1C1＝B1，所以D1E⊥侧面B1C1CB.设P为侧面B1C1CB与球面的交线上的点，则D1E⊥EP.因为球的半径为，D1E＝，所以EP＝＝＝，所以侧面B1C1CB与球面的交线上的点到E的距离为.因为EF＝EG＝，所以侧面B1C1CB与球面的交线是扇形EFG的弧.因为∠B1EF＝∠C1EG＝，所以∠FEG ＝，所以根据弧长公式可得交线长l＝×＝. 4. (2020·全国卷Ⅲ)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别在棱DD1，BB1上，且2DE＝ED1，BF＝2FB1.证明：(1)当AB＝BC时，EF⊥AC；(2)点C1在平面AEF内．证明(1)连接BD，B1D1. ∵在长方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥BB1. ∵AB＝BC，∴四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD. ∵BB1∩BD＝B，BB1，BD⊂平面BB1D1D，∴AC⊥平面BB1D1D. ∵EF⊂平面BB1D1D，∴EF⊥AC. (2)在CC1上取点M使得CM ＝2MC1，连接DM，MF，EC1. ∵D1E＝2ED，DD1∥CC1，DD1＝CC1，∴ED＝MC1，ED∥MC1. ∴四边形DMC1E为平行四边形，∴DM∥EC1. ∵在长方体ABCD－A1B1C1D1中，BF＝2FB1，CM＝2MC1，∴DA∥CB，DA＝CB，MF∥CB，MF＝CB，∴MF∥DA，MF＝DA，∴四边形MFAD为平行四边形，∴DM∥AF，∴EC1∥AF. ∴点C1在平面AEF内．5．(2020·江苏高考)在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点．(1)求证：EF∥平面AB1C1；(2)求证：平面AB1C⊥平面ABB1. 证明(1)由于E，F分别是AC，B1C的中点，所以EF∥AB1. 由于EF⊄平面AB1C1，AB1⊂平面AB1C1，所以EF∥平面AB1C1. (2)由于B1C⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，所以B1C⊥AB. 由于AB⊥AC，AC∩B1C ＝C，所以AB⊥平面AB1C，由于AB⊂平面ABB1，所以平面AB1C⊥平面ABB1. 『金版押题』 6. (多选)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，N为底面ABCD的中心，P为线段A1D1上的动点(不包括两个端点)，M为线段AP的中点，则() A．CM与PN是异面直线B．CMPN C．平面PAN⊥平面BDD1B1 D．过P，A，C三点的正方体的截面一定是等腰梯形答案BCD 解析由C，N，A三点共线，得CN，PM交于点A，因此CM，PN共面，A错误；记∠PAC＝θ，则PN2＝AP2＋AN2－2AP·AN cos θ＝AP2＋AC2－AP·AC cos θ，CM2＝AC2＋AM2－2AC·AM cos θ＝AC2＋AP2－AP·AC cos θ，又APAC，CM2－PN2＝(AC2－AP2)0，所以CM2PN2，即CMPN，B正确；在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AN⊥BD，BB1⊥平面ABCD，则BB1⊥AN，BB1∩BD＝B，可得AN⊥平面BDD1B1，AN⊂平面PAN，从而可得平面PAN⊥平面BDD1B1，C正确；在C1D1上取一点K，使得D1K＝D1P，连接KP，KC，A1C1，易知PK∥A1C1，又在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1C1∥AC，所以PK∥AC，所以PK，AC共面，PKCA就是过P，A，C三点的正方体的截面，它是等腰梯形，D正确．故选BCD. 专题作业一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2020·武汉部分学校质量检测)若点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线MN∥平面ABC的是() 答案 D 解析对于A，因为A，C，M，N分别为所在棱的中点，由正方体的性质知MN∥AC，又MN⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，所以MN∥平面ABC.对于B，取AC的中点E，连接BE，由条件及正方体的性质知MN∥BE.因为MN⊄平面ABC，BE⊂平面ABC，所以MN∥平面ABC.对于C，取AC的中点E，连接BE，由条件及正方体的性质知MN∥BE，因为MN⊄平面ABC，BE⊂平面ABC，所以MN∥平面ABC.对于D，连接AM，BN，由条件及正方体的性质知四边形AMNB是等腰梯形，所以AB与MN所在的直线相交，故不能推出MN∥平面ABC.故选D. 2．(2020·长春高三质量监测)已知直线a和平面α，β有如下关系：①α⊥β，②α∥β，③a⊥β，④a∥α，则下列命题为真的是() A．①③⇒④ B．①④⇒③ C．③④⇒① D．②③⇒④ 答案 C 解析如图正方体中，当直线a为AB，平面α为平面A1ABB1，平面β为平面B1BCC1时，α⊥β，a⊥β，a⊂α，故A不正确；当直线a为DD1，平面α为平面A1ABB1，平面β为平面B1BCC1时，α⊥β，a∥α，a∥β，故B不正确；若a⊥β，a∥α，则由面面垂直的判定定理可推出α⊥β，故C正确；当直线a为A1D1，平面α为平面A1ABB1，平面β为平面D1DCC1时，α∥β，a⊥β，a⊥α，故D不正确．综上所述，C为真命题，故选C. 3. (2020·四川省泸州市模拟)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列命题正确的是() A.AC与B1C是相交直线且垂直 B.AC与A1D是异面直线且垂直C．BD1与BC是相交直线且垂直D．AC与BD1是异面直线且垂直答案 D 解析如图，连接AB1，可得△AB1C为正三角形，可得AC与B1C是相交直线且成60°角，故A错误；∵A1D∥B1C，∴AC与A1D是异面直线且成60°角，故B错误；BD1与BC是相交直线，所成角为∠D1BC，其正切值为，故C错误；连接BD，可知BD⊥AC，则BD1⊥AC，可知AC与BD1是异面直线且垂直，故D正确．故选D. 4．(2020·河北省石家庄模拟)已知α，β是空间两个不同的平面，m，n是空间两条不同的直线，则给出的下列说法正确的是() ①m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β；②m∥α，n∥β，且m⊥n，则α⊥β；③m⊥α，n⊥β，且m∥n，则α∥β；④m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β. A．①②③ B．①③④ C．②④ D．③④ 答案 D 解析对于①，当m∥α，n∥β，且m∥n时，有α∥β或α，β相交，所以①错误；对于②，当m∥α，n∥β，且m⊥n时，有α⊥β或α∥β或α，β相交且不垂直，所以②错误；对于③，当m⊥α，n⊥β，且m∥n时，得出m⊥β，所以α∥β，③正确；对于④，当m⊥α，n⊥β，且m⊥n时，α⊥β成立，所以④正确．综上知，正确的命题序号是③④.故选D. 5．(2020·甘肃省靖远县高三第四次联考)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CD上的一点，且CE＝2DE，F为棱AA1的中点，且平面BEF与DD1交于点G，则B1G与平面ABCD所成角的正切值为() A．B．C．D．答案 C 解析因为平面ABCD∥平面A1B1C1D1，所以B1G与平面ABCD所成角即为B1G与平面A1B1C1D1所成角，易知B1G与平面A1B1C1D1所成角为∠D1B1G.设AB＝6，则AF＝3，DE＝2，平面BE F∩平面CDD1C1＝GE且BF∥平面CDD1C1，可知BF∥GE，易得△FAB∽△GDE，则＝，即＝⇒DG＝1，D1G＝5，在Rt△B1D1G中，tan ∠D1B1G ＝＝＝，故B1G与平面ABCD所成角的正切值为，故选C. 6．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F与平面D1AE的垂线垂直，如图所示，下列说法不正确的是() A．点F的轨迹是一条线段B．A1F与BE是异面直线C．A1F与D1E不可能平行D．三棱锥F－ABC1的体积为定值答案 C 解析由题知A1F∥平面D1AE，分别取B1C1，BB1的中点H，G，连接HG，A1H，A1G，BC1，可得HG∥BC1∥AD1，A1G∥D1E，故平面A1HG∥平面AD1E，故点F的轨迹为线段HG，A正确；由异面直线的判定定理可知A1F与BE是异面直线，故B正确；当F是BB1的中点时，A1F与D1E平行，故C不正确；∵HG∥平面ABC1，∴F点到平面ABC1的距离不变，故三棱锥F－ABC1的体积为定值，故D正确．7．(2020·长沙模拟)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝6，AA1＝2，M为棱BC的中点，动点P满足∠APD＝∠CPM，则点P的轨迹与长方体的面DCC1D1的交线长等于() A．B．π C．D．π 答案A 解析如图，由题意知，只需考虑点P在平面DCC1D1上的情况，此时AD⊥DP，MC⊥CP，所以tan ∠APD＝，tan∠CPM ＝.因为∠APD＝∠CPM，所以＝.因为M是BC的中点，所以AD ＝2MC，所以DP＝2PC.在平面D1DCC1内，以D为原点，的方向为x轴的正方向，DD1的方向为y轴的正方向，建立平面直角坐标系，则D(0，0)，C(6，0).设P(x，y)，则＝2，化简，得y2＋(x－8)2＝42.该圆与平面D1DCC1的交线长对应的圆心角为，则对应弧长为×4＝. 8．(2020·佛山模拟)如图，矩形ABCD中，AB ＝1，BC＝2，点E为AD的中点，将△ABE沿BE折起，在翻折过程中，记点A对应的点为A′，二面角A′－DC－B的平面角的大小为α，则当α最大时，tan α＝() A. B．C．D．答案D 解析如图，取BC的中点F，连接AF，交BE于点O，则AF⊥BE，连接OA′，A′F，则OA′＝OA＝，O A′⊥BE，OF⊥BE，又OA′∩OF＝O，所以BE⊥平面OA′F，又BE⊂平面ABCD，所以平面OA′F⊥平面ABCD.设A′在AF上的投影为M，连接A′M，设∠A′OM＝β，则A′M＝sin β，OM＝cos β，过点M作MN⊥CD 交CD于点N，连接A′N，则∠A′NM＝α.易得α∈，MN＝－cos β，所以当α最大时，tan α最大，tan α＝＝，令＝t，所以sin β＝3t－t cos β，所以3t＝sin β＋t cos β＝sin (β＋θ)，所以3t≤ ，所以t≤，即tan α≤，故选D. 二、选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9．(2020·山东省青岛市高三期中)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列直线或平面与平面ACD1平行的是() A．直线A1B B．直线BB1 C．平面A1DC1 D．平面A1BC1 答案AD 解析如图，由A1B∥D1C，且A1B⊄平面ACD1，D1C⊂平面ACD1，故直线A1B与平面ACD1平行，故A 正确；直线BB1∥DD1，DD1与平面ACD1相交，故直线BB1与平面ACD1相交，故B错误；显然平面A1DC1与平面ACD1相交，故C错误；由A1B∥D1C，AC∥A1C1，且A1B∩A1C1＝A1，AC∩D1C ＝C，故平面A1BC1与平面ACD1平行，故D正确．故选AD. 10．如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是() 答案BD 解析在A中，AB与CE的夹角为45°，所以直线AB与平面CDE不垂直，故不符合题意；在B中，AB⊥CE，AB⊥DE，CE∩DE＝E，所以AB⊥平面CDE，故符合题意；在C中，AB与EC的夹角为60°，所以直线AB与平面CDE 不垂直，故不符合题意；在D中，AB⊥DE，AB⊥CE，DE∩CE＝E，所以AB⊥平面CDE，故符合题意．故选BD. 11．(2020·海南省高三三模)如图，四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，△PAD是等边三角形，底面ABCD是菱形，且∠BAD＝60°，M为棱PD的中点，N为菱形ABCD的中心，下列结论正确的有() A．直线PB与平面AMC平行B．直线PB与直线AD垂直C．线段AM与线段CM长度相等D．PB与AM所成角的余弦值为答案ABD 解析如图，连接MN，易知MN∥PB，又MN⊂平面AMC，∴PB∥平面AMC，A正确；在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，∴△BAD为等边三角形．设AD的中点为O，连接OB，OP，则OP⊥AD，OB⊥AD，∴AD⊥平面POB，又PB⊂平面POB，∴AD⊥PB，B正确；由平面PAD⊥平面ABCD，得△POB为直角三角形，设AD ＝4，则OP＝OB＝2，∴PB＝2，MN＝PB＝.在△MAN中，AM ＝AN＝2，MN＝，可得cos ∠AMN＝，故异面直线PB与AM所成角的余弦值为，D正确；∵cos ∠MNC＝－cos ∠MNA＝－c os ∠AMN＝－，又NC ＝2，MN＝，∴－＝，得CM＝2AM，C错误．故选ABD. 12．(2020·山东省威海市一模)如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，BC＝CD＝AB＝2，E为AB的中点，以DE为折痕把△ADE折起，使点A到达点P的位置，且PC＝2.则() A．平面PED⊥平面EBCD B．PC⊥ED C．二面角P－DC－B的大小为45° D．PC与平面PED所成角的正切值为答案AC 解析A项，PD＝AD＝＝＝2，在三角形PDC中，PD2＋CD2＝PC2，所以PD⊥CD，又CD⊥DE，可得CD⊥平面PED，CD⊂平面EBCD，所以平面PED⊥平面EBCD，正确；B项，若PC⊥ED，又ED⊥CD，可得ED⊥平面PDC，则ED⊥PD，而∠EDP＝∠EDA＝45°，显然矛盾，故错误；C项，二面角P－DC－B的平面角为∠PDE，又∠PDE＝∠ADE＝45°，故正确；D项，由上面分析可知，∠CPD为直线PC与平面PED所成的角，在Rt△PCD中，tan ∠CPD＝＝，故错误．故选AC. 三、填空题13．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1＝2，M，N分别为AA1，BB1的中点，则异面直线BM与C1N所成角的余弦值为________．答案解析如图，连接A1N，则A1N∥BM，所以异面直线BM与C1N所成的角就是直线A1N和C1N所成的角．由题意，得A1N＝C1N＝＝，在△A1C1N中，由余弦定理得cos ∠A1NC1＝＝.所以异面直线BM与C1N所成角的余弦值为. 14．(2019·北京高考)已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α. 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：________．答案若m∥α且l⊥α，则l⊥m(或若l⊥m，l⊥α，则m∥α) 解析已知l，m是平面α外的两条不同直线，由①l⊥m与②m∥α，不能推出③l⊥α，因为l可以与α平行，也可以相交不垂直；由①l⊥m与③l⊥α能推出②m∥α；由②m∥α与③l⊥α可以推出①l⊥m.故正确的命题是②③⇒①或①③⇒②. 15．已知四边形ABCD是矩形，AB＝4，AD＝3.沿AC将△ADC折起到△AD′C，使平面AD′C⊥平面ABC，F是AD′的中点，E是AC上一点，给出下列结论：①存在点E，使得EF∥平面BCD′；②存在点E，使得EF⊥平面ABC；③存在点E，使得D′E⊥平面ABC；④存在点E，使得AC⊥平面BD′E. 其中正确的结论是________(写出所有正确结论的序号). 答案①②③ 解析对于①，存在AC的中点E，使得EF∥CD′，利用线面平行的判定定理可得EF∥平面BCD′；对于②，过点F作EF⊥AC，垂足为E，利用面面垂直的性质定理可得EF⊥平面ABC；对于③，过点D′作D′E⊥AC，垂足为E，利用面面垂直的性质定理可得D′E⊥平面ABC；对于④，因为ABCD是矩形，AB＝4，AD＝3，所以B，D′在AC上的射影不是同一点，所以不存在点E，使得AC⊥平面BD′E. 16．如图，AB是圆锥SO的底面圆O的直径，D是圆O上异于A，B的任意一点，以AO为直径的圆与AD的另一个交点为C，P为SD的中点．现给出以下结论：①△SAC为直角三角形；②平面SAD⊥平面SBD；③平面PAB必与圆锥SO的某条母线平行．其中正确结论的序号是________(写出所有正确结论的序号). 答案①③ 解析如图，连接OC，∵SO⊥底面圆O，∴SO⊥AC，C在以AO为直径的圆上，∴AC⊥OC，∵OC∩SO＝O，∴AC⊥平面SOC，AC⊥SC，即△SAC为直角三角形，故①正确；假设平面SAD⊥平面SBD，在平面SAD中过点A作AH⊥SD 交SD于点H，则AH⊥平面SBD，∴AH⊥BD，又BD⊥AD，∴BD⊥平面SAD，又CO∥BD，∴CO⊥平面SAD，∴CO⊥SC，又在△SOC中，SO⊥OC，在一个三角形内不可能有两个直角，故平面SAD⊥平面SBD不成立，故②错误；连接DO并延长交圆O于点E，连接PO，SE，∵P为SD的中点，O为ED的中点，∴OP是△SDE的中位线，∴PO∥SE，即SE∥平面PAB，即平面PAB必与圆锥SO的母线SE平行．故③正确．故正确是①③. 四、解答题17.在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为6的菱形，且∠ABC＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝6，F是棱PA上的一动点，E为PD的中点．(1)求证：平面BDF⊥平面ACF；(2)若AF＝2，侧面PAD内是否存在过点E的一条直线，使得直线上任一点M都有CM∥平面BDF，若存在，给出证明；若不存在，请说明理由．解(1)证明：由题意可知，PA⊥平面ABCD，则BD⊥PA，又底面ABCD是菱形，所以BD⊥AC，PA，AC为平面PAC内两相交直线，所以BD⊥平面PAC，BD为平面BDF内一直线，从而平面BDF⊥平面ACF. (2)侧面PAD内存在过点E的一条直线，使得直线上任一点M都有CM∥平面BDF. 设G是PF的中点，连接EG，CG，OF，则⇒平面CEG∥平面BDF，所以直线EG上任一点M都满足CM∥平面BDF. 18. (2020·河北省保定市二模)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的正方形，PA＝PD＝，E为PA的中点，点F在PD上且EF⊥平面PCD，M在DC延长线上，FH∥DM，交PM于点H，且FH＝1. (1)证明：EF∥平面PBM；(2)求点M到平面ABP的距离. 解(1)证明：取PB的中点G，连接EG，HG，则EG∥AB，且EG＝1，∵FH∥DM，且FH ＝1 又AB∥DM，∴EG∥FH，EG＝FH，即四边形EFHG为平行四边形，∴EF∥GH. 又EF⊄平面PBM，GH⊂平面PBM，∴EF∥平面PBM. (2)∵EF⊥平面PCD，CD⊂平面PCD，∴EF⊥CD. ∵AD⊥CD，EF和AD显然相交，EF，AD⊂平面PAD，∴CD⊥平面PAD，CD⊂平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面PAD. 取AD 的中点O，连接PO，∵PA＝PD，∴PO⊥AD. 又平面ABCD∩平面PAD＝AD，PO⊂平面PAD，∴PO⊥平面ABCD，∵AB∥CD，∴AB⊥平面PAD，∵PA⊂平面PAD，∴PA⊥AB，在等腰三角形PAD中，PO＝＝＝4. 设点M到平面ABP的距离为h，连接AM，利用等体积可得VM－ABP＝VP－ABM，即__2__h＝__2×2×4，∴h＝＝，∴点M到平面PAB的距离为.。
2020届江苏省高考二轮复习专题：立体几何中的平行与垂直问题(共29张PPT)
M 为PD中点
MF
/
/
1 2
CD
M
四边形ABCD为矩形
E为AB中点
AE/ / 1 CD 2
MF / /AE 四边形AEFM为平行四边形
线面平行判 定定理
AEMF∥ 平AM面PAD
EF
平面PAD
M
EF∥平面PAD
思路1：法2：过EF做一个平面与平面PAD有一条交线，
目标：寻找AD所在平面与平面PEF的交线。
G
重心
交线
证明：连接DC，交PE于点G，连接FG
AD∥平面PEF AD⊂平面ADC
AD∥FG
平面ADC∩平面PEF＝FG
DP为BPCB中的，中连点接DE E为BC的中点
DE为△PBC的 中位线，
△DEG∽△CPG
AF DG FC GC DG DE 1 GC PC 2
PCD中，
Q为CD中点 F为CP中点
FQ∥PD
PD 平面PAD
FQ 平面
PAD
Q
FQ∥平面PAD
EQ∥平面PAD FQ∩EQ＝Q
FQ，EQ⊂平面EQF
平面EQF∥平面PAD EF⊂平面EQF
EF∥平面PAD
面面平行判定定理
面面平行性质定理
例1. 如图，四棱锥P-ABCD的底面为矩形，且AB＝ 2 BC，E， F分别为棱AB，PC的中点．(2)若点P在平面ABCD内的射影O在直
分析：AB1⊥A1B. AB1⊥BC
AB1⊥平面A1BC.
平面ABB1A1⊥平面A1BC.
（2）证明：在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，
四边形ABB1A1为平行四边形 AA1＝AB
线∥线
线∥面
高考数学二轮复习之考点透析16：空间垂直与与平行证明
,
所
以
1 A ' B ,故选: A a 2
2a
:
1
例 1． （P75 例 3） 如图，在五面体 ABCDEF 中，点 O 是矩形 ABCD 的对角线的交点，面 CDE 是等边三角形，棱 EF∥ BC .
1 2
（I）证明 FO∥平面 CDE;
（
II
）
设
BC 3CD, 证明 EO 平面 CDF .
江苏启东中学高考数学二轮复习之考点透析 16： 空间垂直与 与平行证明
【考点聚焦】 考点 1：空间元素点、线、面之间的垂直与平行关系的判断； 考点 2：空间线面垂直与平行关系的证明；简单几何体中的线面关系证明； 【考点小测】 1． 已知 m、n 是两条不重合的直线，α、β、γ 是三个两两不重合的平面．给出下列的四个 命题： ①若 m ，m ，则 // ；②若 ， ，则 // ；③若 m ，n ，
4．(上海卷)若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同 一平面上”的 （ ） （A）充分非必要条件； （B）必要非充分条件； （C）充要条件； （D）非充分非必要条件 5.(上海卷)如果一条直线与一个平面垂直， 那么， 称此直线与平面构成一个 “正交线面对” ． 在 一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数 是 ．
PA 平面 ABCD ，且 PA AB ，点 E 是 PD 的中点.（Ⅰ）求证：
A1
AC PB ； （Ⅱ）求证： PB // 平面 AEC ； （Ⅲ）求四面体 B-AED 的
体积。 例 4． （2006 湖北文文修改）如图，已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱
江苏高考数学文二轮专题复习演练5.2空间中的平行与垂直
第2讲 空间中的平行与垂直1．(2013·杭州质检)设l 是直线，α，β是两个不同的平面，以下四个命题：①若l ∥α，l ∥β，则α∥β；②若l ∥α，l ⊥β，则α⊥β；③若α⊥β，l ⊥α，则l ⊥β；④若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β，其中正确的是 ________.解析 设α∩β＝a ，若直线l ∥a ，且l ⊄α，l ⊄β，则l ∥α，l ∥β，因此α不一定平行于β，故①错误；由于l ∥α，故在α内存在直线l ′∥l ，又因为l ⊥β，所以l ′⊥β，故α⊥β，所以②正确；若α⊥β，在β内作交线的垂线l ，则l ⊥α，此时l 在平面β内，因此③错误； 已知α⊥β，若α∩β＝a ，l ∥a ，且l 不在平面α，β内，则l ∥α且l ∥β，因此④错误．答案 ②2．(2013·山东改编)已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形．若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则P A 与平面ABC 所成角的大小为 ________.解析 如图所示：S △ABC ＝12×3×3×sin 60°＝334.∴VABC -A1B 1C 1＝S △ABC ×OP ＝334×OP ＝94，∴OP＝ 3.又OA ＝32×3×23＝1，∴tan ∠OAP ＝OP OA ＝3，由∠OAP ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2， 得∠OAP ＝π3.答案 π33．设a ，b 是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列命题：①若a ⊥b ，a ∥α，则b ∥α；②若a ∥α，α⊥β，则a ⊥β；③若a⊥β，α⊥β，则a∥α；④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β.其中正确命题的个数是________.解析①当a⊥b，a∥α时，b与α可能相交，所以①错误．②中a⊥β不一定成立．③中a⊂α或a∥α，所以错误．④正确，所以正确的命题只有一个．答案 14．如图所示，四棱锥S－ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列四个结论①AC⊥SB；②AB∥平面SCD；③SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角；④AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角，其中不正确的是________.解析易证AC⊥平面SBD，因而AC⊥SB，A正确；AB∥DC，DC⊂平面SCD，故AB∥平面SCD，B正确；由于SA，SC与平面SBD的相对位置一样，因而所成的角相同．答案④5．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD ＝90°.将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A-BCD.则在三棱锥A-BCD中，下列四个命题：①平面ABD⊥平面ABC；②平面ADC⊥平面BDC；③平面ABC⊥平面BDC；④平面ADC⊥平面ABC.其中正确的是________.解析在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，∴BD⊥CD.又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，∴CD ⊥平面ABD，∴CD⊥AB.又AD⊥AB，故AB⊥平面ADC，从而平面ABC⊥平面ADC.答案④6．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．解析 由于在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，∴AC ＝2 2.又E 为AD 中点，EF ∥平面AB 1C ，EF ⊂平面ADC ，平面ADC ∩平面AB 1C ＝AC ， ∴EF ∥AC ，∴F 为DC 中点，∴EF ＝12AC ＝ 2.答案 27．如图，P A ⊥⊙O 所在的平面，AB 是⊙O 的直径，C是⊙O 上的一点，E ，F 分别是点A 在PB ，PC 上的射影，给出下列结论：①AF ⊥PB ；②EF ⊥PB ；③AF ⊥BC ；④AE ⊥平面PBC .其中正确命题的序号是________．解析 ∵P A ⊥⊙O 所在的平面，AB 是⊙O 的直径，∴CB ⊥P A ，CB ⊥AC ，又P A ∩AC ＝A ，∴CB ⊥平面P AC .又AF ⊂平面P AC ，∴CB ⊥AF .又∵F 是点A 在PC 上的射影，∴AF ⊥PC ，又PC ∩BC ＝C ，PC ，BC ⊂面PBC ，∴AF ⊥平面PBC ，故①③正确．又∵E 为A 在PB 上的射影，∴AE ⊥PB ，∴PB ⊥平面AEF ，故②正确．而AF ⊥平面PCB ，∴AE 不可能垂直于平面PBC .故④错．答案 ①②③8．(2013·安徽高考改编)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段CC 1上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面记为S .则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①当0<CQ <12时，S 为四边形；②当CQ ＝12时，S 为等腰梯形；③当34<CQ <1时，S 为六边形；④当CQ ＝1时，S 的面积为62.解析 截面S 与DD 1的交点为M ，由平面与平面平行的性质定理知AM ∥PQ ，若0<CQ <12，则M 在线段DD 1上(不包括端点)如图S 为四边形，命题①正确；当CQ ＝12时，M 点与D 1重合，四边形APQD 1为等腰梯形，命题②正确． ③中，当34<CQ <1时，连接AM 交A 1D 1于N ，则截面S 为五边形APQRN ，命题③错误．当CQ ＝1时，截面S 为菱形，其对角线长分别为2，3，则S 的面积12·2·3＝62，故命题④正确．答案 ①②④9．(2013·辽宁高考)如图，AB 是圆O 的直径，P A 垂直圆O 所在的平面，C 是圆O 上的点．(1)求证：BC ⊥平面P AC ；(2)设Q 为P A 的中点，G 为△AOC 的重心，求证：QG ∥平面PBC .证明 (1)由AB 是圆O 的直径，得AC ⊥BC ，由P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，得P A ⊥BC .又P A ∩AC ＝A ，P A ⊂平面P AC ，AC ⊂平面P AC ，所以BC ⊥平面P AC .(2)连接OG 并延长交AC 于M ，连接QM ，QO ，由G 为△AOC 的重心，得M 为AC 中点．由Q 为P A 中点，得QM ∥PC ，又O为AB中点，得OM∥BC.因为QM∩MO＝M，QM⊂平面QMO，MO⊂平面QMO，BC∩PC＝C，BC⊂平面PBC，PC⊂平面PBC.所以平面QMO∥平面PBC.因为QG⊂平面QMO，所以QG∥平面PBC.B1C1中，A1B1＝10．(2012·江苏)如图，在直三棱柱ABC－AA1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；(2)直线A1F∥平面ADE.证明(1)因为ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.又AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD.又因为AD⊥DE，CC1，DE⊂平面BCC1B1，CC1∩DE＝E，所以AD⊥平面BCC1B1.又AD⊂平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1.(2)因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，所以A1F⊥B1C1.因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F⊂平面A1B1C1，所以CC1⊥A1F.又因为CC1，B1C1⊂平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，所以A1F⊥平面BCC1B1.由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD.又AD⊂平面ADE，A1F⊄平面ADE，所以直线A1F∥平面ADE.11．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，CD＝2AB＝4，AD＝2，E为CD的中点，将△BCE沿BE折起，使得CO⊥DE，其中垂足O在线段DE内．(1)求证：CO ⊥平面ABED ；(2)问∠CEO (记为θ)多大时，三棱锥C -AOE 的体积最大，最大值为多少．(1)证明 在直角梯形ABCD 中，CD ＝2AB ，E 为CD 的中点，则AB ＝DE ，又AB ∥DE ，AD ⊥AB ，可知BE ⊥CD .在四棱锥C -ABED 中，BE ⊥DE ，BE ⊥CE ，CE ∩DE ＝E ，CE ，DE ⊂平面CDE ，则BE ⊥平面CDE .又BE ⊂平面ABED ，所以平面ABED ⊥平面CDE ，因为CO ⊂平面CDE ，又CO ⊥DE ，且BE ，DE 是平面ABED 内的两条相交直线，故CO ⊥平面ABED .(2)解 由(1)知CO ⊥平面ABED ，所以三棱锥C -AOE 的体积V ＝13S △AOE ×OC ＝13×12×OE ×AD ×OC .由直角梯形ABCD 中，CD ＝2AB ＝4，AD ＝2，CE ＝2.得在三棱锥C -AOE 中，OE ＝CE cos θ＝2cos θ，OC ＝CE sin θ＝2sin θ，V ＝23sin 2θ≤23，当且仅当sin 2θ＝1，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，即θ＝π4时取等号(此时OE ＝2＜DE ，O 落在线段DE 内)，故当θ＝π4时，三棱锥C -AOE 的体积最大，最大值为23.。
江苏省南京市高三数学二轮专题复习(第二层次)专题13空间的平行与垂直问题 Word版含答案
专题13：空间的平行与垂直问题班级 姓名一、前测训练1．如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若D ，E 是棱CC 1，AB 的中点，求证：DE ∥平面AB 1C 1．提示：法一：用线面平行的判定定理来证： “平行投影法”：取AB 1的中点F ，证四边形C 1DEF 是平行四边形． “中心投影法”：取B 为投影中心，延长BD 与B 1C 1交于M ，利用三角线中位线证DE ∥AM ．法二：用面面平行的性质取BB 1中点G ，证平面DEG ∥平面AB 1C 1．2．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C提示：用面面平行的判定定理证： 证明BD ∥B 1D 1，A 1B ∥D 1C ．3．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为棱CC 1的中点，AC 交BD 于O ． （1）求证：A 1O ⊥平面MBD ；（2）若AB ＝2，求点B 1到平面BDM 的距离．提示：用线面垂直的判定定理：证BD ⊥平面AA 1C 1C ，从而得出BD ⊥A 1O ；在矩形AA 1C 1C 中，用平几知识证明A 1O ⊥OM ；4．如图，在四棱锥P －ABCD 中，四边形ABCD 是菱形，PB ＝PD ．求证：平面PBD ⊥平面PAC ．提示：设BD 与AC 交于点O ，证BD ⊥AC ，BD ⊥OP ， 从而得出BD ⊥平面PAC ．5．如图，已知VB ⊥平面ABC ，侧面VAB ⊥侧面VAC ，求证：△VAC 是直角三角形．提示：过B 作BD ⊥VA ，垂足为D ，由侧面VAB ⊥侧面VAC ，得出BD ⊥侧面VAC ，从面BD ⊥AC ，A 1 D 1ABCD B 1C 1M · OBCAV A 1D 1A B CD B 1C 1CDBA P由VB ⊥平面ABC ，得AC ⊥VB ，从而AC ⊥平面VAB ． 所以AC ⊥VA ．二、方法联想1．证明线面平行方法1 构造三角形(中心投影法)．寻找平面内平行直线步骤：①在直线和平面α外寻找一点P （一般情况下，P 为几何体的顶点）；②连接PA 交平面α于点M ；③连接PB 交平面α于点N ，④连接MN 即为要找的平行线．方法2：构造平行四边形(平行投影法) ．寻找平面内平行直线步骤，如下图：①选择直线上两点A 、B 构造两平行直线（投影方向通常选择几何体的棱所在直线的方向，大多数情况是取点连接）和平面α相交于M 、N ；②连接MN 即为要找的平行线．方法3：构造面面平行．构造平行平面步骤，如下图：①过A 做AC 平行于平面α内一条直线A ′C ′；②连结BC ；③平面ABC 即为所要找的平行平面．证明线线平行的常见方法有方法1：利用中位线；方法2：利用平行四边形；方法3：利用相似三角形平行线段成比例；方法4：利用平行公理． 已知线面平行方法 过直线l 作（找）平面β交已知平面α于直线m ，则l ∥m ．【变式】（1）如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 、E 是棱CC 1，AB 的上的点，且AE ＝23AB ，若DE ∥平面AB 1C 1，求CDDC 1的值．（已知线面，转化为线线平行）（2）E ，P ，G ，H 分别是四面体的棱ABCD 的棱AB 、CD 、CA 、CB 的中点，求证：PE ∥平面PGH ． （通过面面的平行证明线面平行）2．面面平行证明ml α①②AB C A ′C ′① ② ① A M N B或①② ③ P A B ④ ①② ③ A B P ④M N M N N方法 在一个平面内寻找两条相交直线，证明与另一个平面平行．注意 证面面平行只有一个定理，不可以用线线平行来证面面平行．【变式】在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是A 1A 的中点．点F 在棱CC 1上，使得平面EB 1D 1∥平面BDF ．求证：点F 为棱CC 1的中点． 3．证明线面垂直方法 证明直线与平面内两条相交直线垂直． 证明线线垂直的常见方法有方法1：利用线面垂直；方法2：利用线线平行；方法3：利用勾股定理；方法4：利用等腰三角形三线合一；方法5：利用菱形对角线互相垂直；求点到平面的距离方法1 找出或作点到平面的垂线段，先证明，再计算． 方法2 利用棱锥体积法，将点到平面的距离转化为某一三棱锥的高，利用等体积法求解，即13S 1h 1＝13S 2h 2【变式1】在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，所有棱长均相等，D 为BB 1的中点，求证：A 1B ⊥C D ．【变式2】在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中， D 为BB 1的中点， A 1B ⊥CD ，求证：AA 1＝AB ． 【变式3】（1）在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AC 交BD 于O ，点M 在棱CC 1上，且A 1O ⊥平面MBD ，求证：M 为棱CC 1的中点． （线面垂直得线线垂直）（2）在四面体ABCD 中，AD ⊥BC ，CA ＝CB ＝CD ＝1，BD ＝2，则△ABC 的面积为_____． （计算证明线线垂直）（3）在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ，AB 1⊥BC 1，求证：A 1C ⊥BC 1．（利用平行转移线线垂直，从而一条直线与两异面直线的 垂直转化为线面的垂直）4．证明面面垂直ABlC① ②A 1B CC 1B 1DAA 1关键是找到和另一个平面垂直的垂线，转化为线面垂直． 找垂线的一般方法：（1）分别在两个平面内找两条互相垂直的直线，再判断其中一条直线垂直于平面； （2）找（或作）两平面交线的垂线．（3）直接寻找其中一个平面的垂线． 已知面面垂直优先在其中一个平面内做两个平面交线的垂线，转化为线面垂直．【变式】在四棱锥P －ABCD 中，CD ⊥平面PAD ，△PAD 是正三角形，DC //AB ，DA ＝DC ＝2AB ．求证：平面PBC ⊥平面PDC.（存在第三个面与其中一个面垂直）提示1：取PD 中点M ，则AM ⊥平面PDC ，下面只需将AM 平移到平面PBC 内． 提示2：作出平面PAD 与平面PBC 的交线PN ，只需证明PN ⊥平面PDC ．三、例题分析例1．在四棱锥P －ABCD 中，∠ABC ＝∠ACD ＝90°，∠BAC ＝∠CAD ＝60°，P A ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，P A ＝2AB ．(1)若F 为PC 的中点，求证：PC ⊥平面AEF ； (2)求证：CE ∥平面P AB ．证明：(1)在△ABC 中，∵∠ABC ＝90°，∠BAC ＝60°， ∴AC ＝2AB ，又∵P A ＝2AB ，∴AC ＝P A ， ∵F 为PC 的中点，∴AF ⊥PC ；∵P A ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴P A ⊥CD ，∵∠ACD ＝90°，∴CD ⊥AC ， AC ∩P A ＝A ，∴CD ⊥平面P AC ， ∵PC ⊂平面P AC ，∴CD ⊥PC ，∵E 为PD 的中点，F 为PC 的中点，∴EF ∥CD ，∴EF ⊥PC ， ∵AF ∩EF ＝F ，∴PC ⊥平面AEF ．(2)提示：①中心投影法：延长CD 与AB 交于G ，证明CE ∥PG ． ②平行投影法：取P A 中点M ，过C 作CN ∥AD 交AB 于N ． 证四边形CEMN 是平行四边形，从而得CE ∥MN ． ③面面平行的性质：取AD 中点H ，证明平面CEH ∥平面P AB ． 【教学建议】1．首先要认识立体图形，即四棱锥底面的形状，顶点与底面的关系，这是证题关键． 2．立体几何中证明位置关系的方法并不多，对立体图形了解越多，方法就越简单，也很容易找到平行线、垂线、垂面等．例2．如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是矩形，DE ⊥平面ABCD ．A CBEPF ABEPFPA BCD（1）求证：AB ∥EF ；（2）求证：平面BCF ⊥平面CDEF ．证明：（1）因为四边形ABCD 是矩形，所以AB ∥CD ， 因为AB ⊄平面CDEF ，CD ⊂平面CDEF ， 所以AB ∥平面CDEF ．因为AB ⊂平面ABFE ，平面ABFE 平面CDEF EF =，所以AB ∥EF ．（2）因为DE ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， 所以DE ⊥BC ． 因为BC ⊥CD ，CDDE D =，,CD DE ⊂平面CDEF ，所以BC ⊥平面CDEF ．因为BC ⊂平面BCF ，平面BCF ⊥平面CDEF ． 【教学建议】1．线面平行的性质定理，是学生的薄弱点，它的使用是唯一的，需要找到一个过线的平面即可．这方面就加强训练．特别注意五面体是由五个平面围成的一个几何体． 2.证明面面垂直方法3，直接找其中一个平面的垂线．例3．如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，PD ＝DC ＝4，AD＝2，E 为PC 的中点．(1)求证：AD ⊥PC ；(2)求三棱锥P －ADE 的体积；(3)在线段AC 上是否存在一点M ，使得PA ∥平面EDM ，若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由．证明(1)∵PD ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥AD ， ∵底面ABCD 为矩形，∴AD ⊥DC ，又PD ∩DC ＝D ， ∴AD ⊥平面PDC ，PC ⊂平面PDC ， ∴AD ⊥PC ； (2)由(1)知AD ⊥平面PDC ，∴AD 的长为A 到平面PDE 的距离， 在直角三角形PDC 中，E 为PC 中点，PD ＝DC ＝4，∴S △PDE ＝4，∴V P －ADE ＝V A －PDE ＝13×S △PDE ×AD ＝13×4×2＝83．(3)当M 为AC 中点时，PA ∥平面EDM ， 即在线段AC 上存在一点M ，使得PA ∥平面EDM ．∵M 为AC 中点，E 为PC 中点，∴EM ∥PA ，又PA ⊄平面EDM ，EM ⊂平面EDM ， ∴PA ∥平面EDM ．此时AM ＝12AC ＝1242＋22＝5． 【教学建议】1．本题主要涉及证明线线垂直，体积计算与探究命题成立的条件，要分清P A ∥平面EDMABD CE PCE ABDF是条件还是结论．2．证明空间两条异面直线垂直问题，通常是证明一条直线垂直与另一条直线所在的一个平面；多面体体积的计算，关键是找到多面体的高，另一方面对于不易找高的多面体，可以利用几何体体积之间的关系进行转化，转化为比较容易计算的几何体体积． 3．对命题条件的探索常采用以下三种方法： ①先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；②先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性；四、反馈练习１．空间四边形ABCD 的两条对角线AC 和BD 的长分别为8和6，它们所成的角为90°，AB ，CD 的中点分别为M ，N ，则MN 的长为． 答案：５(考查：空间中直线的平行与垂直)．２.如图，四边形ABCD 是矩形，平面ABCD ∩平面BCE ＝BC ，点F 在BE 上，当BEBF＝时，有DE ∥平面ACF ．答案：２(考查：线面平行的性质定理)．３．已知P －ABC 为正三棱锥，D 为BC 的中点，则直线BC 与平面PAD 的位置关系是．答案：垂直(考查：线面垂直的判定定理)．４．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝8，∠BAC ＝60°，PC ⊥平面ABC ，PC ＝26，M 是AB 边上的一动点，则PM 的最小值为． 答案：6(考查：线面垂直的性质，点到直线的距离)．５．如图，PA ⊥菱形ABCD 所在的平面，M 是PC 上的一个动点，当点M 满足时，平面MDB⊥平面PCD ．答案：MD PC ⊥或MB PC ⊥(考查：线面垂直，面面垂直的判定定理)．P C D BA P ＤＣＢ ＡＭ6．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 为线段B 1C 上的一点，则三棱锥A －DED 1的体积为． 答案：16(考查：线面垂直的判定定理，体积变换)７．如图，等边△ABC 与直角梯形ABDE 所在平面垂直，BD ∥AE ，BD ＝2AE ，AE ⊥AB ，M 为AB 的中点．（1）证明：CM ⊥DE ；（2）在边AC 上找一点N ，使CD ∥平面BEN . 答案：(2)N 为靠近A 的三等分点 (考查：面面垂直的性质定理，线面垂直的性质；线面平行的性质定理)．8．如图，在四棱锥P －ABCD 中，O 为AC 与BD 的交点，AB ⊥平面PAD ，△PAD 是正三角形， DC //AB ，DA ＝DC ＝2AB .（1）若点E 为棱PA 上一点，且OE ∥平面PBC ，求AEPE 的值； （2）求证：平面PBC ⊥平面PDC.证 （1）因为OE ∥平面PBC ，OE ⊂平面PAC ，平面PAC ∩平面PBC ＝PC ，所以OE ∥PC ，所以AO ∶OC ＝AE ∶EP ．因为DC //AB ，DC ＝2AB ，所以AO ∶OC ＝AB ∶DC ＝1∶2.所以AE PE ＝12． （2）法一：取PC 的中点F ，连结FB ，FD ．因为△PAD 是正三角形，DA ＝DC ，所以DP ＝DC ．因为F 为PC 的中点，所以DF ⊥PC . 因为AB ⊥平面PAD ，所以AB ⊥PA ，AB ⊥AD ，AB ⊥PD ．因为DC //AB ，所以DC ⊥DP ，DC ⊥DA ． 设AB ＝a ，在等腰直角三角形PCD 中，DF ＝PF ＝2a ．在Rt △PAB 中，PB ＝5a ．在直角梯形ABCD 中，BD ＝BC ＝5a ． 因为BC ＝PB ＝5a ，点F 为PC 的中点，所以PC ⊥FB ． 在Rt △PFB 中，FB ＝3a ．在△FDB 中，由DF ＝2a ，FB ＝3a ，BD ＝5a ，可知DF 2＋FB 2＝BD 2，所以FB ⊥DF ． 由DF ⊥PC ，DF ⊥FB ，PC ∩FB ＝F ，PC 、FB ⊂平面PBC ，所以DF ⊥平面PBC ． 又DF ⊂平面PCD ，所以平面PBC ⊥平面PDC ．ME DCBAPAB CDOE法二：取PD ，PC 的中点，分别为M ，F ，连结AM ，FB ，MF ，所以MF ∥DC ，MF ＝12DC ． 因为DC //AB ，AB ＝12DC ，所以MF ∥AB ，MF ＝AB ， 即四边形ABFM 为平行四边形，所以AM ∥BF ． 在正三角形PAD 中，M 为PD 中点，所以AM ⊥PD ．因为AB ⊥平面PAD ，所以AB ⊥AM ．又因为DC //AB ，所以DC ⊥AM ． 因为BF //AM ，所以BF ⊥PD ，BF ⊥CD ．又因为PD ∩DC ＝D ，PD 、DC ⊂平面PCD ，所以BF ⊥平面PCD ． 因为BF ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PDC . (考查：线面平行的性质定理；面面垂直的判定定理)９．如图，平面PAC ⊥平面ABC ，点E ，F ，O 分别为线段PA ，PB ，AC 的中点，点G 是线段CO的中点，AB ＝BC ＝AC ＝4，PA ＝PC ＝22． 求证：（1）PA ⊥平面EBO ； （2）FG ∥平面EBO ．(考查：面面垂直的性质定理，线面垂直的判定定理；线面平行 的判定定理，面面平行的性质)．10．已知直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝1＋3，过A 作AE ⊥CD ，垂足为E ，G ，F 分别为AD ，CE 的中点，现将△ADE 沿AE 折叠，使得DE ⊥EC ，如图所示．(1)求证：BC ⊥平面CDE ； (2)求证：FG ∥平面BCD ；(3)在线段AE 上找一点R ，使得平面BDR ⊥平面DCB ，并说明理由．答案：（3）12AR =(考查：线面垂直的判定定理；线面平行的判定定理； 面面垂直的判定定理和性质定理)． 11．已知如图所示的多面体中，四边形ABCD 是菱形，四边形BDEF 是矩形，ED ⊥平面ABCD ，∠BAD ＝π3．(1)求证：平面BCF ∥平面AED ；PAB COEFG(2)若BF ＝BD ＝a ，求四棱锥A -BDEF 的体积．答案：（２）36a 3 (考查：面面平行的判定定理；棱锥体积公式)．１2．如图，直三棱柱ABC －A′B′C′，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，AA′＝1，点M ，N 分别为A′B 和B′C′的中点．(1)证明：MN ∥平面A′ACC′；(2)求三棱锥A′－MNC 的体积．答案：（２）16(考查：线面平行的判定定理；面面平行的性质；体积变换)。
江苏省最新高考数学二轮复习专题二立体几何2.2大题考法_平行与垂直讲义含解析
第二讲大题考法——平行与垂直题型(一)线线、线面位置关系的证明平行、垂直关系的证明是高考的必考内容，主要考查线面平行、垂直的判定定理及性质定理的应用，以及平行与垂直关系的转化等.[典例感悟][例1] (2017·江苏高考)如图，在三棱锥ABCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求证：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC.[证明] (1)在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF⊥AD，所以EF∥AB.又因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.(2)因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BC⊂平面BCD，BC⊥BD，所以BC⊥平面ABD.因为AD⊂平面ABD，所以BC⊥AD.又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AD⊥平面ABC.又因为AC⊂平面ABC，所以AD⊥AC.[方法技巧]立体几何证明问题的2个注意点(1)证明立体几何问题的主要方法是定理法，解题时必须按照定理成立的条件进行推理．如线面平行的判定定理中要求其中一条直线在平面内，另一条直线必须说明它在平面外；线面垂直的判定定理中要求平面内的两条直线必须是相交直线等，如果定理的条件不完整，则结论不一定正确．(2)证明立体几何问题，要紧密结合图形，有时要利用平面几何的相关知识，因此需要多画出一些图形辅助使用．[演练冲关]1.(2018·苏锡常镇调研)如图，在四棱锥PABCD中，∠ADB＝90°，CB＝CD，点E为棱PB的中点．(1)若PB＝PD，求证：PC⊥BD；(2)求证：CE∥平面PAD.证明：(1)取BD的中点O，连结CO，PO，因为CD＝CB，所以BD⊥CO.因为PB＝PD，所以BD⊥PO.又PO∩CO＝O，所以BD⊥平面PCO.因为PC⊂平面PCO，所以PC⊥BD.(2)由E为PB中点，连结EO，则EO∥PD，又EO⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，所以EO∥平面PAD.由∠ADB＝90°，以及BD⊥CO，所以CO∥AD，又CO⊄平面PAD，所以CO∥平面PAD.又CO∩EO＝O，所以平面CEO∥平面PAD，而CE⊂平面CEO，所以CE∥平面PAD.2．(2018·苏州模拟)在如图所示的空间几何体ABCDPE中，底面ABCD 是边长为4的正方形，PA⊥平面ABCD，PA∥EB，且PA＝AD＝4，EB＝2.(1)若点Q是PD的中点，求证：AQ⊥平面PCD；(2)证明：BD∥平面PEC.证明：(1)因为PA＝AD，Q是PD的中点，所以AQ⊥PD.又PA⊥平面ABCD，所以CD⊥PA.又CD⊥DA，PA∩DA＝A，所以CD⊥平面ADP.又因为AQ⊂平面ADP，所以CD⊥AQ，又PD∩CD＝D，所以AQ⊥平面PCD.(2)如图，取PC的中点M，连结AC交BD于点N，连结MN，ME，在△PAC 中，易知MN ＝12PA ，MN ∥PA ，又PA ∥EB ，EB ＝12PA ，所以MN ＝EB ，MN ∥EB ，所以四边形BEMN 是平行四边形， 所以EM ∥BN .又EM ⊂平面PEC ，BN ⊄平面PEC ， 所以BN ∥平面PEC ，即BD ∥平面PEC .题型(二)两平面之间位置关系的证明考查面面平行和面面垂直，都需要用判定定理，其本质是考查线面垂直和平行. [例2] (2018·南京模拟)如图，直线PA 垂直于圆O 所在的平面，△ABC 内接于圆O ，且AB 为圆O 的直径，M 为线段PB 的中点，N 为线段BC 的中点．求证：(1)平面MON ∥平面PAC ； (2)平面PBC ⊥平面MON .[证明] (1)因为M ，O ，N 分别是PB ，AB ，BC 的中点，所以MO ∥PA ，NO ∥AC ，又MO ∩NO ＝O ，PA ∩AC ＝A ， 所以平面MON ∥平面PAC .(2)因为PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以PA ⊥BC . 由(1)知，MO ∥PA ，所以MO ⊥BC .连结OC ，则OC ＝OB ，因为N 为BC 的中点，所以ON ⊥BC . 又MO ∩ON ＝O ，MO ⊂平面MON ，ON ⊂平面MON ， 所以BC ⊥平面MON .又BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面MON .[方法技巧]证明两平面位置关系的求解思路(1)证明面面平行依据判定定理，只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可，从而将证明面面平行转化为证明线面平行，再转化为证明线线平行．(2)证明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即证明一个面过另一个面的一条垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中线、高线或添加辅助线解决.[演练冲关](2018·江苏高考)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AA1＝AB，AB1⊥B1C1.求证：(1)AB∥平面A1B1C；(2)平面ABB1A1⊥平面A1BC.证明：(1)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AB∥A1B1.因为AB⊄平面A1B1C，A1B1⊂平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C.(2)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形．又因为AA1＝AB，所以四边形ABB1A1为菱形，因此AB1⊥A1B.因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC.因为A1B∩BC＝B，A1B⊂平面A1BC，BC⊂平面A1BC，所以AB1⊥平面A1BC.因为AB1⊂平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面A1BC.题型(三)空间位置关系的综合问题主要考查空间线面、面面平行或垂直的位置关系的证明与翻折或存在性问题相结合的综合问题.[典例感悟][例3] 如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E是CD的中点，将△ADE沿AE折起，得到如图2所示的四棱锥D1ABCE，其中平面D1AE⊥平面ABCE.(1)证明：BE ⊥平面D 1AE ；(2)设F 为CD 1的中点，在线段AB 上是否存在一点M ，使得MF ∥平面D 1AE ，若存在，求出AM AB的值；若不存在，请说明理由．[解] (1)证明：∵四边形ABCD 为矩形且AD ＝DE ＝EC ＝BC ＝2，∴AE ＝BE ＝2 2. 又AB ＝4，∴AE 2＋BE 2＝AB 2， ∴∠AEB ＝90°，即BE ⊥AE .又平面D 1AE ⊥平面ABCE ，平面D 1AE ∩平面ABCE ＝AE ，BE ⊂平面ABCE ，∴BE ⊥平面D 1AE .(2)AM AB ＝14，理由如下： 取D 1E 的中点L ，连接FL ，AL ， ∴FL ∥EC ，FL ＝12EC ＝1.又EC ∥AB ，∴FL ∥AB ，且FL ＝14AB ，∴M ，F ，L ，A 四点共面． 若MF ∥平面AD 1E ，则MF ∥AL . ∴四边形AMFL 为平行四边形， ∴AM ＝FL ＝14AB ，即AM AB ＝14.[方法技巧]与平行、垂直有关的存在性问题的解题步骤[演练冲关](2018·全国卷Ⅰ)如图，在平行四边形ABCM 中，AB ＝AC ＝3，∠ACM ＝90°.以AC 为折痕将△ACM 折起，使点M 到达点D 的位置，且AB ⊥DA .(1)证明：平面ACD ⊥平面ABC ；(2)Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且BP ＝DQ ＝23DA ，求三棱锥Q ABP 的体积．解：(1)证明：由已知可得，∠BAC ＝90°，即BA ⊥AC . 又因为BA ⊥AD ，AC ∩AD ＝A ，所以AB ⊥平面ACD . 因为AB ⊂平面ABC ， 所以平面ACD ⊥平面ABC .(2)由已知可得，DC ＝CM ＝AB ＝3，DA ＝3 2. 又BP ＝DQ ＝23DA ，所以BP ＝2 2.如图，过点Q 作QE ⊥AC ，垂足为E ，则QE 綊13DC .由已知及(1)可得，DC ⊥平面ABC ， 所以QE ⊥平面ABC ，QE ＝1.因此，三棱锥Q ABP 的体积为V Q ABP ＝13×S △ABP ×QE ＝13×12×3×22sin 45°×1＝1.[课时达标训练]A 组——大题保分练1.如图，在三棱锥V ABC 中，O ，M 分别为AB ，VA 的中点，平面VAB ⊥平面ABC ，△VAB 是边长为2的等边三角形，AC ⊥BC 且AC ＝BC .(1)求证：VB ∥平面MOC ； (2)求线段VC 的长．解：(1)证明：因为点O ，M 分别为AB ，VA 的中点，所以MO ∥VB . 又MO ⊂平面MOC ，VB ⊄平面MOC ， 所以VB ∥平面MOC .(2)因为AC ＝BC ，O 为AB 的中点，AC ⊥BC ，AB ＝2，所以OC ⊥AB ，且CO＝1.连结VO，因为△VAB是边长为2的等边三角形，所以VO＝ 3.又平面VAB⊥平面ABC，OC⊥AB，平面VAB∩平面ABC＝AB，OC⊂平面ABC，所以OC⊥平面VAB，所以OC⊥VO，所以VC＝OC2＋VO2＝2.2．(2018·南通二调)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC⊥BC，A1B与AB1交于点D，A1C与AC1交于点E.求证：(1)DE∥平面B1BCC1；(2)平面A1BC⊥平面A1ACC1.证明：(1)在直三棱柱ABCA1B1C1中，四边形A1ACC1为平行四边形．又E为A1C与AC1的交点，所以E为A1C的中点.同理，D为A1B的中点，所以DE∥BC.又BC⊂平面B1BCC1，DE⊄平面B1BCC1，所以DE∥平面B1BCC1.(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1⊥平面ABC，又BC⊂平面ABC，所以AA1⊥BC.又AC⊥BC，AC∩AA1＝A，AC⊂平面A1ACC1，AA1⊂平面A1ACC1，所以BC⊥平面A1ACC1.因为BC⊂平面A1BC，所以平面A1BC⊥平面A1ACC1.3.如图，在三棱锥ABCD中，E，F分别为棱BC，CD上的点，且BD∥平面AEF.(1)求证：EF∥平面ABD；(2)若BD⊥CD，AE⊥平面BCD，求证：平面AEF⊥平面ACD.证明：(1)因为BD∥平面AEF，BD⊂平面BCD，平面AEF∩平面BCD＝EF，所以BD∥EF.因为BD⊂平面ABD，EF⊄平面ABD，所以EF∥平面ABD.(2)因为AE⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，所以AE⊥CD.因为BD⊥CD，BD∥EF，所以CD⊥EF，又AE∩EF＝E，AE⊂平面AEF，EF⊂平面AEF，所以CD⊥平面AEF.又CD⊂平面ACD，所以平面AEF⊥平面ACD.4．(2018·无锡期末)如图，ABCD 是菱形，DE ⊥平面ABCD ，AF ∥DE ，DE ＝2AF . 求证：(1)AC ⊥平面BDE ； (2)AC ∥平面BEF .证明：(1)因为DE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以DE ⊥AC . 因为四边形ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD ，因为DE ⊂平面BDE ，BD ⊂平面BDE ，且DE ∩BD ＝D ， 所以AC ⊥平面BDE .(2)设AC ∩BD ＝O ，取BE 中点G ，连结FG ，OG ， 易知OG ∥DE 且OG ＝12DE .因为AF ∥DE ，DE ＝2AF ， 所以AF ∥OG 且AF ＝OG ，从而四边形AFGO 是平行四边形，所以FG ∥AO . 因为FG ⊂平面BEF ，AO ⊄平面BEF ， 所以AO ∥平面BEF ，即AC ∥平面BEF .B 组——大题增分练1．(2018·盐城三模)在直四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，已知底面ABCD 是菱形，M ，N 分别是棱A 1D 1，D 1C 1的中点．求证：(1)AC ∥平面DMN ； (2)平面DMN ⊥平面BB 1D 1D .证明：(1)连结A 1C 1，在四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，因为AA 1綊BB 1，BB 1綊CC 1，所以AA 1綊CC 1，所以A 1ACC 1为平行四边形，所以A 1C 1∥AC .又M ，N 分别是棱A 1D 1，D 1C 1的中点，所以MN ∥A 1C 1，所以AC ∥MN .又AC ⊄平面DMN ，MN ⊂平面DMN ，所以AC ∥平面DMN .(2)因为四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1是直四棱柱， 所以DD 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，而MN ⊂平面A 1B 1C 1D 1， 所以MN ⊥DD 1.又因为棱柱的底面ABCD 是菱形，所以底面A 1B 1C 1D 1也是菱形， 所以A 1C 1⊥B 1D 1，而MN ∥A 1C 1，所以MN ⊥B 1D 1.又MN ⊥DD 1，DD 1⊂平面BB 1D 1D ，B 1D 1⊂平面BB 1D 1D ，且DD 1∩B 1D 1＝D 1， 所以MN ⊥平面BB 1D 1D .而MN ⊂平面DMN ，所以平面DMN ⊥平面BB 1D 1D .2.如图，在四棱锥P ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝1，DC ＝2，点E 在PB 上．(1)求证：平面AEC⊥平面PAD；(2)当PD∥平面AEC时，求PE∶EB的值．解：(1)证明：在平面ABCD中，过A作AF⊥DC于F，则CF＝DF＝AF＝1，∴∠DAC＝∠DAF＋∠FAC＝45°＋45°＝90°，即AC⊥DA.又PA⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PA.∵PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，且PA∩AD＝A，∴AC⊥平面PAD.又AC⊂平面AEC，∴平面AEC⊥平面PAD.(2)连结BD交AC于O，连结EO.∵PD∥平面AEC，PD⊂平面PBD，平面PBD∩平面AEC＝EO，∴PD∥EO，则PE∶EB＝DO∶OB.又△DOC∽△BOA，∴DO∶OB＝DC∶AB＝2∶1，∴PE∶EB的值为2.3.(2018·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB＝AC，点E，F分别在棱BB1，CC1上(均异于端点)，且∠ABE＝∠ACF，AE⊥BB1，AF⊥CC1.求证：(1)平面AEF⊥平面BB1C1C；(2)BC∥平面AEF.证明：(1)在三棱柱ABCA1B1C1中，BB1∥CC1.因为AF⊥CC1，所以AF⊥BB1.又AE⊥BB1，AE∩AF＝A，AE⊂平面AEF，AF⊂平面AEF，所以BB1⊥平面AEF.又因为BB1⊂平面BB1C1C，所以平面AEF⊥平面BB1C1C.(2)因为AE⊥BB1，AF⊥CC1，∠ABE＝∠ACF，AB＝AC，所以Rt△AEB≌Rt△AFC.所以BE＝CF.又BE∥CF，所以四边形BEFC是平行四边形．从而BC∥EF.又BC⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，所以BC∥平面AEF.4．(2018·常州期末)如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是平行四边形，PC⊥平面ABCD，PB＝PD，点Q是棱PC上异于P，C的一点．(1)求证：BD⊥AC；(2)过点Q和AD的平面截四棱锥得到截面ADQF(点F在棱PB上)，求证：QF∥BC. 证明：(1)因为PC⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥PC.记AC，BD交于点O，连结OP.因为平行四边形对角线互相平分，则O为BD的中点．在△PBD中，PB＝PD，所以BD⊥OP.又PC∩OP＝P，PC⊂平面PAC，OP⊂平面PAC.所以BD⊥平面PAC，又AC⊂平面PAC，所以BD⊥AC.(2)因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC.又AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以AD∥平面PBC.又AD⊂平面ADQF，平面ADQF∩平面PBC＝QF，所以AD∥QF，所以QF∥BC.11。
高考数学二轮复习冲刺提分第8讲空间中的平行与垂直作业(江苏专用)
第8讲空间中的平行与垂直1.设l,m表示直线,m是平面α内的任意一条直线,则“l⊥m”是“l⊥α”成立的条件.(在“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选填一个)2.(2018江苏盐城中学高三上学期期末)设m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,给出下列四个命题,其中正确命题的序号是.①若m⊥α,n∥α,则m⊥n;②若α∥β,β∥γ,m⊥α,则m⊥γ;③若α⊥β,α⊥γ,则β⊥γ;④若α∩γ=m,β∩γ=n,m∥n,则α∥β.3.(2018南京高三年级第三次模拟)已知α,β是两个不同的平面,l,m是两条不同的直线,有如下四个命题:①若l⊥α,l⊥β,则α∥β;②若l⊥α,α⊥β,则l∥β;③若l∥α,l⊥β,则α⊥β;④若l∥α,α⊥β,则l⊥β.其中真命题为(填所有真命题的序号).4.设x,y,z是空间中不同的直线或不同的平面,下列条件中能保证“若x⊥z,且y⊥z,则x∥y”为真命题的是.(填所有正确命题的序号)①x,y,z为直线;②x,y,z为平面;③x,y为直线,z为平面;④x为直线,y,z为平面.5.(2019苏州3月检测,16)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是棱BC,CC1上的点(点D不同于点C),且AD⊥DE,F为棱B1C1上的点,且A1F⊥B1C1.求证:(1)平面ADE⊥平面BCC1B1;(2)A1F∥平面ADE.6.(2019江苏七大市三模,16)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,平面BPC⊥平面DPC,BP=BC,E,F分别是PC,AD的中点.求证:(1)BE⊥CD;(2)EF∥平面PAB.答案精解精析1.答案充要解析因为m是平面α内的任意一条直线,若l⊥m,则l⊥α,所以充分性成立;反过来,若l⊥α,则l⊥m,所以必要性成立,故“l⊥m”是“l⊥α”成立的充要条件.2.答案①②解析若m⊥α,n∥α,则m⊥n,①正确;若α∥β,β∥γ,则α∥γ,又m⊥α,则m⊥γ,②正确;若α⊥β,α⊥γ,则β,γ可能平行或相交,③错误;若α∩γ=m,β∩γ=n,m∥n,则α,β可能平行或相交,④错误,正确命题的序号是①②.3.答案①③解析若l⊥α,l⊥β,则α∥β,①正确;若l⊥α,α⊥β,则l∥β或l⊂β,②错误;若l∥α,l⊥β,则α⊥β,③正确;若l∥α,α⊥β,则l与β的位置关系不确定,可能平行、相交或l⊂β,④错误.故真命题为①③.4.答案③解析若x,y,z为直线,则直线x,y可以平行、相交、异面,①错误;若x,y,z为平面,则平面x,y可能平行或相交,②错误;若x,y为直线,z为平面,由线面垂直的性质定理可知③正确;若x为直线,y,z为平面,则直线x可以在平面y内,也可以与平面y平行,④错误.5.证明(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥平面ABC.因为AD⊂平面ABC,所以BB1⊥AD,又因为AD⊥DE,且在平面BCC1B1中,BB1与DE相交,所以AD⊥平面BCC1B1,又因为AD⊂平面ADE,所以平面ADE⊥平面BCC1B1.(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥平面A1B1C1,因为A1F⊂平面A1B1C1,所以BB1⊥A1F,又因为A1F⊥B1C1,且在平面BCC1B1中,BB1∩B1C1=B1,所以A1F⊥平面BCC1B1,在(1)中已证得AD⊥平面BCC1B1,所以A1F∥AD,又因为A1F⊄平面ADE,AD⊂平面ADE,所以A1F∥平面ADE.6.证明(1)在△PBC中,因为BP=BC,E是PC的中点,所以BE⊥PC.又因为平面BPC⊥平面DPC,平面BPC∩平面DPC=PC,BE⊂平面BPC,所以BE⊥平面PCD.又因为CD⊂平面DPC,所以BE⊥CD.(2)取PB的中点H,连接EH,AH,如图所示.在△PBC中,因为E是PC的中点,BC.所以HE∥BC,HE=12又底面ABCD是平行四边形,F是AD的中点,BC.所以AF∥BC,AF=12所以HE∥AF,HE=AF,所以四边形AFEH是平行四边形,所以EF∥HA.又因为EF⊄平面PAB,HA⊂平面PAB,所以EF∥平面PAB.。
数学高考二轮专题13 空间中的平行与垂直(解析版)
专题13 空间中的平行与垂直【考向解读】1.以选择题、填空题的形式考查，主要利用平面的基本性质及线线、线面和面面的判定与性质定理对命题的真假进行判断，属基础题.2.以解答题的形式考查，主要是对线线、线面与面面平行和垂直关系交汇综合命题，且多以棱柱、棱锥、棱台或其简单组合体为载体进行考查，难度中等.【命题热点突破一】 空间线面位置关系的判定(1)根据空间线面平行、垂直关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题；(2)必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系，并结合有关定理来进行判断．例1、如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且11B D A F ⊥ ，1111AC A B ⊥.求证：平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .【答案】在直三棱柱111ABC A B C -中，1111AA ⊥平面A B C 因为11AC ⊂平面111A B C ，所以111AA ⊥A C又因为111111*********,,AC A B AA ABB A A B ABB A A B AA A ⊥⊂⊂=I ，平面平面 所以11AC ⊥平面11ABB A因为1B D ⊂平面11ABB A ，所以111AC B D ⊥又因为1111111111111C F,C F,B D A AC A A F A AC A F A ⊥⊂⊂=I F ，平面平面 所以111C F B D A ⊥平面因为直线11B D B DE ⊂平面，所以1B DE 平面11.AC F ⊥平面【变式探究】(1)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是()A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交(2)平面α∥平面β的一个充分条件是()A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，a⊂α，a∥βC．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αD．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α【答案】(1)D(2)D【变式探究】已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不重合的平面，给出下列命题：①若m⊥α，n⊥α，则m∥n；②若m⊥α，m⊥n，则n∥α；③若α⊥β，m∥α，则m⊥β；④若m⊥α，m∥β，则α⊥β.A．0 B．1C．2 D．3【答案】C【命题热点突破二】空间平行、垂直关系的证明空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化，即通过判定、性质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化．例2、如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD＝PC＝4，AB＝6，BC＝3.(1)证明：BC ∥平面PDA ； (2)证明：BC ⊥PD ；【解析】 (1)证明 因为四边形ABCD 是长方形， 所以BC ∥AD ，因为BC ⊄平面PDA ， AD ⊂平面PDA ， 所以BC ∥平面PDA .(2)证明 因为四边形ABCD 是长方形，所以BC ⊥CD ，因为平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PDC ∩平面ABCD ＝CD ，BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面PDC ，因为PD ⊂平面PDC ，所以BC ⊥PD .【高考题型解读】1.,αβ 是两个平面，,m n 是两条直线，有下列四个命题： （1）如果,,//m n m n αβ⊥⊥，那么αβ⊥. （2）如果,//m n αα⊥，那么m n ⊥. （3）如果//,m αβα⊂，那么//m β.（4）如果//,//m n αβ，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等. 其中正确的命题有 ． (填写所有正确命题的编号） 【答案】②③④2.如图，在△ABC 中，AB =BC =2，∠ABC =120°.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD =DA ，PB =BA ，则四面体PBCD 的体积的最大值是 .【答案】123.平面α过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ,α//平面CB 1D 1,αI 平面ABCD =m ,αI 平面AB B 1A 1=n ,则m 、n 所成角的正弦值为(A)32 (B )22 (C)33 (D)13【答案】A【解析】如图，设平面11CB D I 平面ABCD ='m ，平面11CB D I 平面11ABB A ='n ，因为α∥平面11CB D ，所以','m m n n ∥∥，则,m n 所成的角等于','m n 所成的角.过1D 作11D E B C ∥，交AD 的延长线于点E,连接CE ，则CE 为'm .连接1A B ，过B 1作111B F A B ∥，交1AA 的延长线于点1F ，则11B F 为'n .连接BD ，则111,BD CE B F A B ∥∥，则','m n 所成的角即为1,A B BD 所成的角，为60︒，故,m n 所成角的正弦值为3，选A.4.在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球，若AB BC ⊥，6AB =，8BC =，13AA =，则V 的最大值是（ ）（A ）4π （B ）92π（C ）6π （D ）323π【答案】B【解析】要使球的体积V 最大，必须球的半径R 最大．由题意知球的与直三棱柱的上下底面都相切时，球的半径取得最大值32，此时球的体积为334439()3322R πππ==，故选B ． 5.已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是( ) A ．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行 B ．若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面【答案】 D6.如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD翻折成△A′CD，所成二面角A′－CD－B的平面角为α，则()A．∠A′DB≤αB．∠A′DB≥αC．∠A′CB≤α D．∠A′CB≥α【答案】 B【解析】极限思想：若α＝π，则∠A′CB＜π，排除D；若α＝0，如图，则∠A′DB，∠A′CB都可以大于0，排除A，C.故选B.7.如图，三棱锥A－BCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是________．【答案】782020年高考数学（理）总复习：空间中的平行与垂直题型一空间位置关系的判断【题型要点】(1)解决空间线面位置关系的判断问题常有以下方法：①根据空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题；②必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系，并结合有关定理来进行判断．(2)熟练掌握立体几何的三种语言——符号语言、文字语言以及图形语言的相互转换，是解决此类问题的关键．【例1】如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是()【解析】B选项中，AB∥MQ，且AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，则AB∥平面MNQ；C选项中，AB∥MQ，且AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，则AB∥平面MNQ；D选项中，AB∥NQ，且AB⊄平面MNQ，NQ⊂平面MNQ，则AB∥平面MNQ.故选A.【答案】 A【例2】．如图，平面α⊥平面β，α∩β＝直线l, A，C是α内不同的两点，B，D是β内不同的两点，且A，B，C，D∉直线l, M，N分别是线段AB，CD 的中点．下列判断正确的是()A．当CD＝2AB时，M，N两点不可能重合B．M，N两点可能重合，但此时直线AC与l不可能相交C．当AB与CD相交，直线AC平行于l时，直线BD可以与l相交D．当AB，CD是异面直线时，直线MN可能与l平行【解析】由于直线CD的两个端点都可以动，所以M，N两点可能重合，此时两条直线AB，CD共面，由于两条线段互相平分，所以四边形ACBD是平行四边形，因此AC∥BD，则BD⊂β，所以由线面平行的判定定理可得AC∥β，又因为AC⊂α，α∩β＝l，所以由线面平行的性质定理可得AC∥l，故应排除答案A，C，D，故选B.【答案】 B题组训练一空间位置关系的判断1．设四棱锥P－ABCD的底面不是平行四边形，用平面α去截此四棱锥，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面α()A．有无数多个B．恰有4个C．只有1个D．不存在【解析】如图，由题知面P AD与面PBC相交，面P AB与面PCD相交，可设两组相交平面的交线分别为m，n，由m，n决定的平面为β，作α与β平行且与四条侧棱相交，交点分别为A1，B1，C1，D1，则由面面平行的性质定理得A1B1∥n∥C1D1，A1D1∥m∥B1C1，从而得截面必为平行四边形．由于平面α可以上下平移，可知满足条件的平面α有无数多个．故选A.【答案】 A2．已知m，l是直线，α，β是平面，给出下列命题：①若l垂直于α，则l垂直于α内的所有直线②若l平行于α，则l平行于α内的所有直线③若l⊂β，且l⊥α，则α⊥β④若m⊂α，l⊂β，且α∥β，则m∥l其中正确的命题的个数是()A．4B．3C．2D．1【解析】对于①，由线面垂直的定义可知①正确；对于②，若l平行于α内的所有直线，根据平行公理可得：α内的所有直线都互相平行，显然是错误的，故②错误；对于③，根据面面垂直的判定定理可知③正确；对于④，若m⊂α，l⊂β，且α∥β，则直线l与m无公共点，∴l与m平行或异面，故④错误；故选C.【答案】 C题型二平行与垂直的证明与体积【题型要点】(1)平行关系及垂直关系的转化空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化，即通过判定、性质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化．(2)数学思想①本例在证明线线垂直、线面平行时，采用了转化与化归思想．②利用转化与化归思想还可以解决本专题中的线面其他位置关系．(3)求解多面体的体积问题，如最值问题、高的问题、点面距离的问题，一般利用公式法、等体积法、割补法、函数与方程的思想求解．【例2】如图，四棱锥P －ABCD 中，侧面P AD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，AB ＝BC ＝12AD ，∠BAD ＝∠ABC ＝90°.(1)证明：直线BC ∥平面P AD ；(2)若△P AD 面积为27，求四棱锥P －ABCD 的体积．【解析】 (1)证明：在平面ABCD 内，因为∠BAD ＝∠ABC ＝90°，所以BC ∥AD .又BC ⊄平面P AD ，AD ⊂平面P AD ，故BC ∥平面P AD .(2)取AD 的中点M ，连结PM ，CM ，由AB ＝BC ＝12AD 及BC ∥AD ，∠ABC＝90°得四边形ABCM 为正方形，则CM ⊥AD .因为侧面P AD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，所以PM ⊥AD ，PM ⊥底面ABCD ，因为CM ⊂底面ABCD ，所以PM ⊥CM .设BC ＝x ，则CM ＝x ，CD ＝2x ，PM ＝3x ，PC ＝PD ＝2x .取CD 的中点N ，连结PN ，则PN ⊥CD ，所以PN ＝142x 因为△PCD 的面积为27，所以12×2x ×142x ＝27，解得x ＝2(舍去)，x ＝2，于是AB ＝BC ＝2，AD ＝4，PM ＝23，所以四棱锥P －ABCD 的体积V ＝13×2(2＋4)2×23＝4 3.题组训练二 平行与垂直的证明与体积如图，平面ABCD ⊥平面ADEF ，四边形ABCD 为菱形，四边形ADEF 为矩形， M ，N 分别是EF ，BC 的中点， AB ＝2AF , ∠CBA ＝60°.①求证： DM ⊥平面MNA ； ②若三棱锥A －DMN 的体积为33，求MN 的长． ①【证明】 连接AC ，在菱形ABCD 中， ∠CBA ＝60°，且AB ＝BC ，∴△ABC 为等边三角形，又∵N 为BC 的中点， ∴AN ⊥BC ，∵BC ∥AD ，∴AN ⊥AD ，又∵平面ABCD ⊥平面ADEF ，平面ABCD ∩平面ADEF ＝AD ，AN ⊂平面ABCD ，∴AN ⊥平面ADEF ，又DM ⊂面ADEF ，∴DM ⊥AN .∵在矩形ADEF 中， AD ＝2AF ，M 为EF 的中点，∴△AMF 为等腰直角三角形，∴∠AMF ＝45°，同理可证∠DME ＝45°，∴∠DMA ＝90°，∴DM ⊥AM ，又∵AM ∩AN ＝A ，且AM ，AN ⊂平面MNA ，∴DM ⊥平面MNA 。
江苏省高考数学二轮复习专题二立体几何规范答题示例2空间中的平行与垂直学案
规范答题示例2 空间中的平行与垂直典例2 (14分)如图，四棱锥P —ABCD 的底面为正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，PA ⊥AD ，E ，F ，H 分别为AB ，PC ，BC 的中点．(1)求证：EF ∥平面PAD ； (2)求证：平面PAH ⊥平面DEF .审题路线图 (1)条件中各线段的中点――→设法利用中位线定理取PD 的中点M ――→考虑平行关系长度关系 平行四边形AEFM ―→AM ∥EF ――→线面平行的判定定理EF ∥平面PAD (2)平面PAD ⊥平面ABCDPA ⊥AD―――→面面垂直的性质PA ⊥平面ABCD ―→PA ⊥DE ――――――――→正方形ABCD 中E ，H 为AB ，BC 中点DE ⊥AH ――――→线面垂直的判定定理DE ⊥平面PAH ――――→面面垂直的判定定理平面PAH ⊥平面DEF规 范 解 答·分 步 得 分构 建 答 题 模 板证明 (1)取PD 的中点M ，连结FM ，AM .∵在△PCD 中，F ，M 分别为PC ，PD 的中点，∴FM ∥CD 且FM ＝12CD .∵在正方形ABCD 中，AE ∥CD 且AE ＝12CD ，∴AE ∥FM 且AE ＝FM ， ∴四边形AEFM 为平行四边形， ∴AM ∥EF ，4分∵EF ⊄平面PAD ，AM ⊂平面PAD ， ∴EF ∥平面PAD .7分(2)∵侧面PAD ⊥底面ABCD ，PA ⊥AD ， 侧面PAD ∩底面ABCD ＝AD ，PA ⊂平面PAD ， ∴PA ⊥底面ABCD ，∵DE ⊂底面ABCD ，∴DE ⊥PA . ∵E ，H 分别为正方形ABCD 边AB ，BC 的中点， ∴Rt△ABH ≌Rt△DAE ，则∠BAH ＝∠ADE ，∴∠BAH ＋∠AED ＝90°，∴DE ⊥AH ，10分∵PA ⊂平面PAH ，AH ⊂平面PAH ，PA ∩AH ＝A ，∴DE ⊥平面PAH ， ∵DE ⊂平面EFD ，∴平面PAH ⊥平面DEF .14分 第一步找线线：通过三角形或四边形的中位线、平行四边形、等腰三角形的中线或线面、面面关系的性质寻找线线平行或线线垂直. 第二步找线面：通过线线垂直或平行，利用判定定理，找线面垂直或平行；也可由面面关系的性质找线面垂直或平行. 第三步找面面：通过面面关系的判定定理，寻找面面垂直或平行. 第四步写步骤：严格按照定理中的条件规范书写解题步骤.评分细则 (1)第(1)问证出AE ∥FM 且AE ＝FM 给2分；通过AM ∥EF 证线面平行时，缺1个条件扣1分；利用面面平行证明EF ∥平面PAD 同样给分；(2)第(2)问证明PA ⊥底面ABCD 时缺少条件扣1分；证明DE ⊥AH 时只要指明E ，H 分别为正方形边AB ，BC 的中点得DE ⊥AH 不扣分；证明DE ⊥平面PAH 只要写出DE ⊥AH ，DE ⊥PA ，缺少条件不扣分．跟踪演练2 (2018·江苏南京外国语学校模拟)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AA1，点M，N分别为A1B和B1C1的中点．(1)求证：MN∥平面A1ACC1；(2)求证：平面A1BC⊥平面MAC.证明(1)连结B1M，AC1，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1∥BB1，AA1＝BB1，所以四边形ABB1A1为平行四边形，因为M为A1B的中点，所以M为AB1的中点．又因为N为B1C1的中点，所以MN∥AC1.因为AC1⊂平面A1ACC1，MN⊄平面A1ACC1，所以MN∥平面A1ACC1.(2)因为AB＝AA1，点M为A1B的中点，所以AM⊥A1B.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，因为AC⊂平面ABC，所以AA1⊥AC.因为∠BAC＝90°，即AB⊥AC，又AB∩AA1＝A，AB，AA1⊂平面ABB1A1，所以AC⊥平面ABB1A1，因为A1B⊂平面ABB1A1，所以AC⊥A1B.因为AM∩AC＝A，AM，AC⊂平面MAC，所以A1B⊥平面MAC，因为A1B⊂平面A1BC，所以平面A1BC⊥平面MAC.。
(江苏专用)2021高考数学二轮复习第二篇第13练空间中的平行与垂直试题理
第13练空间中的平行与垂直[明晰考情] 1.命题角度：空间中的平行、垂直关系的证明.2.题目难度：低档难度.考点一空间中的平行关系方法技巧(1)平行关系的根底是线线平行，比拟常见的是利用三角形中位线构造平行关系，利用平行四边形构造平行关系.(2)证明过程中要严格遵循定理中的条件，注意推证的严谨性.1.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN，求证：MN∥平面AA1B1B.证明如下图，作ME∥BC交BB1于点E，作NF∥AD交AB于点F，连结EF，那么EF⊂平面AA1B1B.∵ME∥BC，NF∥AD，∴MEBC＝B1MB1C，NFAD＝BNBD.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，∵CM＝DN，∴B1M＝NB.又B1C＝BD，∴MEBC＝BNBD＝NFAD，又BC＝AD，∴ME＝NF.又ME∥BC∥AD∥NF，∴四边形MEFN为平行四边形，∴MN∥EF. 又EF⊂平面AA1B1B，MN⊄平面AA1B1B，∴MN∥平面AA1B1B.2.如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，且AB＝2CD，在棱AB上是否存在一点F，使平面C1CF∥平面ADD1A1？假设存在，求点F的位置；假设不存在？请说明理由.解存在这样的点F，使平面C1CF∥平面ADD1A1，此时点F为AB的中点，证明如下：∵AB∥CD，AB＝2CD，∴AF∥CD且AF＝CD，∴四边形AFCD是平行四边形，∴AD∥CF.又AD⊂平面ADD1A1，CF⊄平面ADD1A1，∴CF∥平面ADD1A1.又CC1∥DD1，CC1⊄平面ADD1A1，DD1⊂平面ADD1A1，∴CC1∥平面ADD1A1.又CC1，CF⊂平面C1CF，CC1∩CF＝C，∴平面C1CF∥平面ADD1A1.考点二空间中的垂直关系方法技巧判定直线与平面垂直的常用方法(1)利用线面垂直定义.(2)利用线面垂直的判定定理，一条直线与平面内两条相交直线都垂直，那么这条直线与平面垂直.(3)利用线面垂直的性质，两平行线中的一条垂直于平面，那么另一条也垂直于这个平面.(4)利用面面垂直的性质定理，两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面.3.如下图，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点.求证：(1)AF∥平面BCE；(2)平面BCE ⊥平面CDE .证明 (1)如图，取CE 的中点G ，连结FG ，BG .∵F 为CD 的中点，∴GF ∥DE 且GF ＝12DE .∵AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ， ∴AB ∥DE ，∴GF ∥AB . 又AB ＝12DE ，∴GF ＝AB .∴四边形GFAB 为平行四边形， ∴AF ∥BG .∵AF ⊄平面BCE ，BG ⊂平面BCE ， ∴AF ∥平面BCE .(2)∵△ACD 为等边三角形，F 为CD 的中点， ∴AF ⊥CD .∵DE ⊥平面ACD ，AF ⊂平面ACD ，∴DE ⊥AF . 又CD ∩DE ＝D ，CD ，DE ⊂平面CDE ， 故AF ⊥平面CDE .∵BG ∥AF ，∴BG ⊥平面CDE .∵BG ⊂平面BCE ，∴平面BCE ⊥平面CDE .4.如图，在六面体ABCDE 中，平面DBC ⊥平面ABC ，AE ⊥平面ABC .(1)求证：AE ∥平面DBC ；(2)假设AB ⊥BC ，BD ⊥CD ，求证：AD ⊥DC . 证明 (1)过点D 作DO ⊥BC ，垂足为O .∵平面DBC ⊥平面ABC ，平面DBC ∩平面ABC ＝BC ，DO ⊂平面DBC ，∴DO ⊥平面ABC .又AE⊥平面ABC，那么AE∥DO.又AE⊄平面DBC，DO⊂平面DBC，故AE∥平面DBC.(2)由(1)知，DO⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，∴DO⊥AB.又AB⊥BC，且DO∩BC＝O，DO，BC⊂平面DBC，∴AB⊥平面DBC.∵DC⊂平面DBC，∴AB⊥DC.又BD⊥CD，AB∩DB＝B，AB，DB⊂平面ABD，那么DC⊥平面ABD.又AD⊂平面ABD，故可得AD⊥DC.考点三平行和垂直的综合应用方法技巧空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化，即通过判定、性质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化.5.如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点.求证：(1)直线EF∥平面PCD；(2)平面BEF⊥平面PAD.证明(1)在△PAD中，∵E，F分别为AP，AD的中点，∴EF∥PD.又∵EF⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，∴直线EF∥平面PCD.(2)如图，连结BD.∵AB＝AD，∠BAD＝60°，∴△ADB为正三角形.∵F是AD的中点，∴BF⊥AD.∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BF⊂平面ABCD，∴BF⊥平面PAD.又∵BF⊂平面BEF，∴平面BEF⊥平面PAD.ABCD－A1B1C1D1截去三棱锥C1－B1CD1ABCD为正方形，O为AC与BD的交点，E为AD的中点，A1E⊥平面ABCD.(1)证明：A1O∥平面B1CD1；(2)设M是OD的中点，证明：平面A1EM⊥平面B1CD1.证明(1)取B1D1的中点O1，连结CO1，A1O1，由于ABCDA1B1C1D1是四棱柱，所以A1O1∥OC，A1O1＝OC，因此四边形A1OCO1为平行四边形，所以A1O∥O1C.又O1C⊂平面B1CD1，A1O⊄平面B1CD1，所以A1O∥平面B1CD1.(2)因为AC⊥BD，E，M分别为AD和OD的中点，所以EM⊥BD，又A1E⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以A1E⊥BD.因为B1D1∥BD，所以EM⊥B1D1，A1E⊥B1D1.又A1E，EM⊂平面A1EM，A1E∩EM＝E，所以B1D1⊥平面A1EM.又B1D1⊂平面B1CD1，所以平面A1EM⊥平面B1CD1.典例 (14分)如图，四棱锥P －ABCD 的底面为正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，PA ⊥AD ，点E ，F ，H 分别为AB ，PC ，BC 的中点.(1)求证：EF ∥平面PAD ； (2)求证：平面PAH ⊥平面DEF . 审题路线图(1)E ，F 是中点――→取PD 的中点M 构造▱AEFM ―→线线平行EF ∥AM ―→线面平行EF ∥平面PAD (2)面面垂直PAD ⊥底面ABCD ――→PA ⊥AD 线面垂直PA ⊥底面ABCD ―→线线垂直PA ⊥DE――――――――→Rt△ABH ≌Rt△DAE 线线垂直DE ⊥AH ―→线面垂直DE ⊥平面PAH ―→ 面面垂直平面PAH ⊥平面DEF 标准解答·评分标准证明 (1)取PD 的中点M ，连结FM ，AM .∵在△PCD 中，F ，M 分别为PC ，PD 的中点， ∴FM ∥CD 且FM ＝12CD .∵在正方形ABCD 中，AE ∥CD 且AE ＝12CD ，∴AE ∥FM 且AE ＝FM ，那么四边形AEFM 为平行四边形， ∴AM ∥EF .4分又∵EF⊄平面PAD，AM⊂平面PAD，∴EF∥平面PAD. 6分(2)∵侧面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，侧面PAD∩底面ABCD＝AD，∴PA⊥底面ABCD.∵DE⊂底面ABCD，∴DE⊥PA.∵E，H分别为正方形ABCD边AB，BC的中点，∴Rt△ABH≌Rt△DAE，那么∠BAH＝∠ADE，∴∠BAH＋∠AED＝90°，那么DE⊥AH. 10分∵PA⊂平面PAH，AH⊂平面PAH，PA∩AH＝A，∴DE⊥平面PAH. 12分∵DE⊂平面DEF，∴平面PAH⊥平面DEF. 14分构建答题模板[第一步] 找线线：通过三角形或四边形的中位线，平行四边形，等腰三角形的中线或线面、面面关系的性质寻找线线平行或线线垂直.[第二步] 找线面：通过线线垂直或平行，利用判定定理，找线面垂直或平行；也可由面面关系的性质找线面垂直或平行.[第三步] 找面面：通过面面关系的判定定理，寻找面面垂直或平行.[第四步] 写步骤：严格按照定理中的条件标准书写解题步骤.1.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1，CA⊥AB，M为CB1的中点.(1)求证：AC∥平面MA1B；(2)求证：平面CAB1⊥平面MA1B.证明(1)如图，设AB1与A1B的交点为O，连结OM.因为在直三棱柱ABC－A1B1C1中，四边形ABB1A1是平行四边形，所以O为AB1的中点.因为M为CB1的中点，所以OM是△ACB1的中位线，所以OM∥AC.因为OM⊂平面MA1B，AC⊄平面MA1B，所以AC∥平面MA1B.(2)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，因为CA⊂平面ABC，所以CA⊥AA1，因为CA⊥AB，AB∩AA1＝A，AB，AA1⊂平面ABB1A1，所以CA⊥平面ABB1A1.因为A1B⊂平面ABB1A，所以CA⊥A1B.因为在平行四边形ABB1A1中，AA1⊥AB，AB＝AA1，所以四边形ABB1A1是正方形，所以A1B⊥AB1.因为CA，AB1⊂平面CAB1，CA∩AB1＝A，所以A1B⊥平面CAB1.因为A1B⊂平面MA1B，所以平面CAB1⊥平面MA1B.2.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为侧棱PA的中点，O为AC与BD 的交点.(1)求证：OE∥平面PCD；(2)假设DE⊥CD，PD＝AD，求证：平面APD⊥平面PAB.证明(1)因为底面ABCD为平行四边形，O为AC与BD的交点，所以O为AC的中点，又E为侧棱PA的中点，所以OE为△ACP的中位线，所以OE∥PC，因为PC⊂平面PCD，OE⊄平面PCD，所以OE∥平面PCD.(2)因为底面ABCD为平行四边形，所以CD∥AB，又DE⊥CD，所以DE⊥AB.因为PD＝AD，E为侧棱PA的中点，所以DE⊥AP.又AP⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，AP∩AB＝A，所以DE⊥平面PAB，又DE⊂平面APD，所以平面APD⊥平面PAB.3.(2021·江苏)如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB，AB1⊥B1C1.求证：(1)AB∥平面A1B1C；(2)平面ABB1A1⊥平面A1BC.证明(1)在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB∥A1B1.因为AB⊄平面A1B1C，A1B1⊂平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C.(2)在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形.又因为AA1＝AB，所以四边形ABB1A1为菱形，因此AB1⊥A1B.又因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC.又因为A1B∩BC＝B，A1B，BC⊂平面A1BC，所以AB1⊥平面A1BC.因为AB1⊂平面ABB1A1，所以平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC .4.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ⊥PD ，PA ＝PD ，E ，F 分别为AD ，PB 的中点.求证：(1)PE ⊥BC ；(2)平面PAB ⊥平面PCD ； (3)EF ∥平面PCD .证明 (1)因为PA ＝PD ，E 为AD 的中点， 所以PE ⊥AD .因为底面ABCD 为矩形，所以BC ∥AD ，所以PE ⊥BC . (2)因为底面ABCD 为矩形， 所以AB ⊥AD .又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，AB ⊂平面ABCD ， 所以AB ⊥平面PAD ， 又PD ⊂平面PAD ， 所以AB ⊥PD .又因为PA ⊥PD ，PA ∩AB ＝A ，PA ，AB ⊂平面PAB ， 所以PD ⊥平面PAB . 又PD ⊂平面PCD ， 所以平面PAB ⊥平面PCD .(3)如图，取PC 的中点G ，连结FG ，DG .因为F ，G 分别为PB ，PC 的中点， 所以FG ∥BC ，FG ＝12BC ，因为四边形ABCD 为矩形， 且E 为AD 的中点， 所以DE ∥BC ，DE ＝12BC .所以DE ∥FG ，DE ＝FG ..所以四边形DEFG为平行四边形，所以EF∥DG.又因为EF⊄平面PCD，DG⊂平面PCD，所以EF∥平面PCD.下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。
步高高考数学江苏专用(文)二轮专题突破：专题四第讲空间中的平行与垂直
第2讲空间中的平行与垂直【高考考情解读】高考对本节知识的考查主要是以下两种形式：1•以填空题的形式考查，主要利用平面的基本性质及线线、线面和面面的判定与性质定理对命题真假进行判断，属基础题2以解答题的形式考查，主要是对线线、线面与面面平行和垂直关系交汇综合命题，且多以棱柱、棱锥、棱台或其简单组合体为载体进行考查，难度中等.主干知识梳理1.线面平行与垂直的判定定理、性质定理线面平行的判定定理a// b'1b? a ◎ a / a a? a /线面平行的性质定理a/aa? 3 ,? a / b aCl 3= b j线面垂直的判定定理a? a, b? aa C b= O >? I丄a I丄a, I丄b ”线面垂直的性质定理2.热点分类突破考点一 空间线面位置关系的判断【例1 (1)11, 12, 13是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是 ____________ •(填序号)① 11± 12, 12 丄 13? 11 // 13 ② l i 丄 12, 12〃 13? h 丄 13 ③ l i // I 2// l 3? l l , l 2, l 3 共面 ④ l 1 , l 2 , l 3 共点？ 11, l 2 , l 3 共面 (2)设I , m 是两条不同的直线，a 是一个平面，则下列命题正确的是 ___________ •(填序号)①若 l 丄m , m? a ，则l 丄a②若 l 丄a, l //m , 则 m ±a ③若l // a,m?则 l //m ④若 l // a, m //则 l //m答案⑴②⑵②解析 ⑴对于①，直线h 与13可能异面、相交；对于 ③，直线11、12、13可能构成三棱柱面面平行的判定定理 a? 3b? 3 a A b = O a 〃 a, b II a a // 3面面平行的性质定理 a I 3 |aA Y = a ? a // b 3A 尸b 提醒 使用有关平行、垂直的判定定理时，要注意其具备的条件，缺一不可. 3.平行关系及垂直关系的转化示意图 面面平行的判定 线线 线面平行的判定线面面面平行的判定 ----------- 面面 平线面平行的性质 平行面面平行的性质平 面面平行的性质 面面重直的判定面面垂直的性质的三条棱而不共面；对于④，直线1l、12、13相交于同一个点时不一定共面，如正方体一个顶点的三条棱•对于②，由异面直线所成角的定义知②正确.(2)①中直线I可能在平面a内；③与④中直线I, m可能异面；事实上由直线与平面垂直的判定定理可得②正确.抿虫耳】」解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全移植到立体几何中.变式训练-(1)(2013广东改编)设m, n是两条不同的直线，a, B是两个不同的平面，下列命题中正确的是. (填序号)①若a丄3, m?a,n?3则m± n②若all 3, m?a,n?3则m // n③若m±n , m?a,n?3,则a丄3④若m丄a , m l n,n//3则a丄3(2)平面a//平面B的一个充分条件是___________ .(填序号)①存在一条直线a, a / a, a / 3②存在一条直线a, a? a, a// 3③存在两条平行直线 a , b , a? a, b? 3, a / 3, b // a④存在两条异面直线 a , b , a? a, b? 3, a/ 3, b // a 答案⑴④⑵④考点二线线、线面的位置关系例 2 如图，在四棱锥P—ABCD 中，/ ABC =Z ACD = 90° / BAC = '■/ CAD = 60° , PA 丄平面ABCD, E 为PD 的中点，PA= 2AB.(1) 若F为PC的中点，求证：PC丄平面AEF ; .；；i(2) 求证：EC //平面FAB.证明(1)由题意得PA = CA , •/ F为PC的中点，••• AF 丄PC. •/ PA 丄平面ABCD, ••• PA 丄CD.•/ AC 丄CD , PA n AC= A , • CD丄平面PAC ,• CD丄PC. •/ E为PD的中点，F为PC的中点，• EF // CD , • EF丄PC.•/ AF A EF = F, ••• PC 丄平面AEF.⑵方法一如图，取AD的中点M ,连结EM , CM. 则EM // PA.•/ EM?平面FAB, PA?平面FAB,• EM // 平面FAB.在Rt△ ACD 中，/ CAD = 60° MC = AM ,•••/ ACM = 60°而 / BAC= 60°, • MC // AB.•/ MC?平面PAB, AB?平面FAB,• MC // 平面PAB.v EM A MC = M ,•平面EMC //平面PAB.•/ EC?平面EMC ,• EC // 平面PAB.方法二如图，延长DC、AB ,设它们交于点N ,连结PN.•••/ NAC = / DAC = 60°AC丄CD , • C为ND的中点.••• E 为PD 的中点，• EC / PN.•/ EC?平面PAB , PN?平面PAB ,• EC // 平面PAB.用曲孤寻(1)立体几何中，要证线垂直于线，常常先证线垂直于面，再用线垂直于面的性质易得线垂直于线.要证线平行于面，只需先证线平行于线，再用线平行于面的判定定理易得.(2) 证明立体几何问题，要紧密结合图形，有时要利用平面几何的相关知识，因此需要多画出一些图形辅助使用.m如图所示，在直三棱柱ABC —A i B i C i中，AB = BC= BB i,D 为AC 的中点.(1) 求证：B i C //平面 A i BD ;⑵若AC 」平面A i BD ，求证：B i C i 丄平面ABB i A 仁⑶在⑵的条件下，设 AB = i ,求三棱锥B — A i C i D 的体积. ⑴证明如图所示，连结AB i 交A i B 于E ,连结ED.T ABC — A i B i C i 是直三棱柱，且 AB = BB i ,•••侧面ABB i A i 是正方形，••• E 是AB i 的中点，又已知 D 为AC 的中点, •••在厶AB i C 中，ED 是中位线， •- B i C // ED , • B i C // 平面 A i BD. ⑵证明 •/ AC i 丄平面A i BD , • AC i 丄A i B. •••侧面ABB i A i 是正方形，• A i B 丄AB i . 又 AC i A AB i = A ,•- A i B 丄平面 AB i C i , •- A i B 丄 B i C i . 又■/ ABC — A i B i C i 是直三棱柱， •- BB i 丄 B i C i , • B i C i 丄平面 ABB i A i .⑶解 •/ AB = BC , D 为AC 的中点, • BD 丄AC , • BD 丄平面 DC i A i .• BD 是三棱锥B — A i C i D 的高. 由⑵知B i C i 丄平面ABB i A i , • BC 丄平面 ABB i A i .• BC 丄AB , •△ ABC 是等腰直角三角形.又••• AB = BC = i , BD =考点三面面的位置关系例3 如图，在几何体ABCDE中，AB= AD = 2, AB丄AD , AE丄平面ABD.M为线段BD的中点，MC // AE , AE = MC = 2.⑵若N为线段DE的中点，求证：平面AMN //平面BEC.(1) 求证：平面BCD丄平面CDE ;证明⑴•/ AB= AD = 2, AB丄AD, M为线段BD的中点，1••• AM = ^BD = 2, AM丄BD.AE = MC = 2,1AE = MC = 2BD = 2, • BC丄CD.•/ AE 丄平面ABD , MC // AE,• MC丄平面ABD.•平面ABD丄平面CBD ,• AM丄平面CBD.又MC綊AE,•四边形AMCE为平行四边形，• EC // AM ,• EC 丄平面CBD , • BC丄EC,•/ EC n CD = C, • BC丄平面CDE ,•平面BCD丄平面CDE.⑵•/ M为BD中点，N为ED中点，• MN // BE 且BE n EC= E,由(1)知EC // AM 且AM n MN = M ,•平面AMN //平面BEC.探究務门(1)证明面面平行依据判定定理，只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可，从而将证明面面平行转化为证明线面平行，再转化为证明线线平行.(2) 证明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即证明一个面过另一个面的一条垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线,则借助中线、高线或添加辅助线解决.密讥;.1 ；如图所示，已知AB丄平面ACD , DE丄平面ACD ,△ ACD为等边三角形，AD = DE = 2AB, F为CD的中点.求证：(1)AF //平面BCE ;(2) 平面BCE丄平面CDE.证明⑴如图，取CE的中点G,连结FG, BG.1••• F 为CD 的中点，••• GF // DE 且GF = ^DE.•/ AB丄平面ACD , DE丄平面ACD ,• AB // DE , • GF // AB.厂 1又AB = 2DE, • GF = AB.•四边形GFAB为平行四边形，则AF // BG.•/ AF?平面BCE , BG?平面BCE,• AF // 平面BCE.(2) •••△ ACD为等边三角形，F为CD的中点，• AF 丄CD.•「DE 丄平面ACD , AF?平面ACD , • DE丄AF. 又CD A DE = D，故AF丄平面CDE.•/ BG // AF, • BG丄平面CDE.•/ BG?平面BCE, •平面BCE丄平面CDE.考点四立体几何中的探索性问题例4 (2012北京)如图(1)，在Rt△ ABC中，/ C= 90° D , E分别为为线段CD上的一点，将△ ADE沿DE折起到△ A1DE的位置，使C F DDAC, AB的中点，点FA1F丄CD，如图⑵.⑴(2)(1)求证：DE //平面A i CB;⑵求证：A i F丄BE;(3) 线段A i B上是否存在点Q,使A i C丄平面DEQ ?说明理由.思络启级折叠问题要注意在折叠过程中，哪些量变化了，哪些量没有变化•第(1)问证明线面平行，可以证明DE // BC ;第(2)问证明线线垂直转化为证明线面垂直，即证明A i F丄平面BCDE ;第⑶问取A i B的中点Q,再证明A i C丄平面DEQ.(i)证明因为D, E分别为AC, AB的中点，所以DE // BC.又因为DE?平面A i CB, BC?平面A i CB,所以DE //平面A i CB.⑵证明由已知得AC丄BC且DE // BC,所以DE丄AC.所以DE丄A i D, DE丄CD.所以DE丄平面A i DC.而A i F?平面A i DC ,所以DE丄A i F.又因为A i F丄CD,所以A i F丄平面BCDE ,所以A i F丄BE.⑶解线段A i B上存在点Q,使A i C丄平面DEQ •理由如下：如图，分别取A i C, A i B的中点P, Q,贝U PQ // BC. 又因为DE // BC, 所以DE// PQ.所以平面DEQ即为平面DEP .由⑵知，DE丄平面A i DC ,所以DE丄A i C.又因为P是等腰三角形DA i C底边A i C的中点，所以A i C丄DP•所以A i C丄平面DEP.从而A i C丄平面DEQ.故线段A i B上存在点Q,使得A i C丄平面DEQ.抿虫耳】」解决探索性问题的一般步骤为：首先假设其存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设，如果得到了矛盾结论就否定假设•另外也可以通过观察分析直接得到结论，然后证明其结论正确.亚比川第’ 直角梯形ABCD中，AD // BC, AB丄BC, AD = 2, BC=4, P为平面ABCD外一点，且PA = PB, PD中占I 八、、•⑴求证：平面PCD丄平面ABCD ;(2)在线段PC上是否存在一点E使得NE//平面明理由并确定E点的位置，若不存在请说明理由.解⑴取AB中点M ,连结PM , PN , MN 贝U PM 丄AB , PN 丄CD ,又ABCD为直角梯形，AB丄BC,••• MN 丄AB.•/ PM A MN = M ,• AB丄平面PMN.又PN?平面PMN ,• AB 丄PN.••• AB与CD相交，• PN丄平面ABCD.又PN?平面PCD,•平面PCD丄平面ABCD.⑵假设存在.在PC、PB上分别取点E、F,i i使BF =；BP, CE = ；CP,44连结EF、MF、NE,3贝U EF // BC 且可求得EF = -BC= 3.4•/ MN = 3 且MN // BC,••• EF // MN 且EF = MN.••• MNEF为平行四边形，• EN // FM.又FM ?平面PAB,•在线段PC上存在一点E使得NE //平面ABP ,1此时CE= -PC.4」规律总结］1. 证明线线平行的常用方法⑴利用平行公理，即证明两直线同时和第三条直线平行；(2) 利用平行四边形进行转换；(3) 利用三角形中位线定理证明；(4) 利用线面平行、面面平行的性质定理证明.2. 证明线面平行的常用方法(1) 利用线面平行的判定定理，把证明线面平行转化为证线线平行；(2) 利用面面平行的性质定理，把证明线面平行转化为证面面平行.3. 证明面面平行的方法证明面面平行，依据判定定理，只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可, 从而将证面面平行转化为证线面平行，再转化为证线线平行.4. 证明线线垂直的常用方法(1)利用特殊平面图形的性质，如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形等得到线线垂直；(2)利用勾股定理逆定理;(3) 利用线面垂直的性质，即要证线线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在平面即可.5. 证明线面垂直的常用方法(1) 利用线面垂直的判定定理，把线面垂直的判定转化为证明线线垂直；(2) 利用面面垂直的性质定理，把证明线面垂直转化为证面面垂直；(3) 利用常见结论，如两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面等.6. 证明面面垂直的方法证明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即证明一个面过另一个面的一条垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中点、高线或添加辅助线解决押题精练1. 如图，正方体ABCD —A i B i C i D i的棱长为1，线段B I D I上有两个动点1E, F，且EF =彳，则下列结论中正确的是__________ .(填序号)①AC丄BE②EF //平面ABCD③三棱锥A—BEF的体积为定值④厶AEF的面积与厶BEF的面积相等答案①②③解析•/ AC丄平面BB1D1D，又BE?平面BB1D1D,••• AC丄BE,故①正确.••• B1D1 /平面ABCD，又E、F在线段B1D1上运动，故EF //平面ABCD.故②正确.③中由于点B到直线EF的距离是定值，故△ BEF的面积为定值,又点A到平面BEF的距离为定值，故V A—BEF不变.故③正确.由于点A到B1D1的距离与点B到B1D1的距离不相等，因此△ AEF与厶BEF的面积不相等，故④错误.2. 如图所示，在正方体ABCD —A i B i C i D i中，E是棱DD i的中占八、、♦⑴证明：平面ADC i B i丄平面A i BE;⑵在棱C i D i上是否存在一点F，使B i F //平面A i BE?证明你的结论.⑴证明如图，因为ABCD —A i B i C i D i为正方体，所以B i C i丄面ABB i A i.因为A i B?面ABB i A i,所以B i C i丄A i B.又因为A i B丄AB i, B i C i Q AB i= B i,所以A i B丄面ADC i B i.因为A i B?面A i BE，所以平面ADC i B i丄平面A i BE.⑵解当点F为C i D i中点时，可使B i F /平面A i BE.证明如下：易知：EF // C i D，且EF = *C i D.i设AB i A A i B= 0,贝U B i O// C i D 且B i O= 2皿,所以EF // B i O 且EF = B i O,所以四边形B i OEF为平行四边形.所以B i F // OE.又因为B i F?面A i BE, OE?面A i BE.所以B i F // 面A i BE.专题突破练（推荐时间：60分钟）一、填空题i.已知a 3, 丫是三个互不重合的平面，I是一条直线，下列命题中正确的是___________________ .（填序号）① 若a 丄3, l 丄3,贝U I H a② 若I 上有两个点到a 的距离相等，则I //a③ 若I 丄a, I // 3贝U a 丄3④ 若 a 丄3, a 丄Y 贝H 丄3答案③解析当a 丄3 I 丄3时，I 可以在a 内，二①不正确；如果a 过I 上两点A , B 的中点，贝U A , B 到a 的距离相等，• ••②不正确；当a 丄3, a 丄丫时,可以有 3/ 丫，•••④不正确，•正确的只有 ③.a 3为平面,m 为直线,如果all 3那么"m / a”是"m / 3的 ___________________________________条件.答案既不充分也不必要解析 all 3,当m // a 时，有可能m? 3,不能推出m // 3,反之亦然.如图，四边形 ABCD 中，AD // BC , AD = AB , / BCD = 45° ° / BAD = 90° ° 将厶 ADB 沿BD 折起，使平面 ABD 丄平面 BCD ,构成三棱锥 A - BCD.则在三棱锥 A - BCD 中，下列 命题正确的是 _________ .（填序号）① 平面 ABD 丄平面 ABC ②平面 ADC 丄平面 BDC③平面 ABC 丄平面 BDC ④平面 ADC 丄平面 ABC答案④解析 •/ 在四边形 ABCD 中，AD // BC , AD = AB , / BCD = 45° / BAD = 90°, • BD 丄 CD , 又平面 ABD 丄平面BCD ,且平面 ABD 门平面BCD = BD ,所以CD 丄平面 ABD ,贝U CD 丄AB ,又AD 丄AB , AD A CD = D ,所以 AB 丄平面ADC ,又AB?平面ABC ,所以平面 ABC 丄平面ADC ,故填④.下列命题中，m 、n 表示两条不同的直线, a 、3 丫表示三个不同的平面.2. 3. 4.①若m 丄a, n //a ,贝U m±n;②若a丄Y3丄Y贝U a// 3；③若m //a,n // a ,贝U m // n;④若a〃伏B〃Y m丄a,贝y m± Y正确命题是的序号为 _________ .答案①④解析②平面a与B可能相交，③中m与n可以是相交直线或异面直线.故②③错.5. 一正四面体木块如图所示，点P是棱VA的中点，过点P将木块锯开，使截面平行于棱VB和AC,若木块的棱长为a,则截面面积为______________ .2答案74V 解析如图，在面VAC内过点P作AC的平行线PD交VC于点D，在面VAB内作VB的平行线交AB于点F，过点D作VB的平行线交BC于点E.连结EF，易知PF// DE,故P, D, E, F共面，且面PDEF与VB2a a和AC都平行，易知四边形PDEF是边长为号的正方形，故其面积为讣6. 在正三棱锥S—ABC中，M, N分别是SC, BC的中点，且MN丄AM ,若侧棱SA= 2寸3,则正三棱锥S—ABC外接球的表面积是__________ .答案36 n解析由MN丄AM且MN是厶BSC的中位线得BS丄AM ,又由正三棱锥的性质得BS丄AC,所以BS丄面ASC.即正三棱锥S—ABC的三侧棱SA、SB SC两两垂直，外接球直径为,3SA= 6.球的表面积S= 4 d R2= 4 nX 32= 36 n.7. 设x,y,z是空间中的不同直线或不同平面，下列条件中能保证"若x丄乙且y丄乙则x// y”为真命题的是 _______ （填出所有正确条件的代号）.①x为直线，y, z为平面；②x, y, z为平面；③x, y为直线，z为平面；④x, y为平面，z为直线；⑤x, y, z为直线.答案③④解析因为垂直于同一个平面的两条直线平行，所以③正确；因为垂直于同一条直线的两个平面平行，所以④正确；若直线X丄平面Z,平面y丄平面乙则可能有直线x在平面y内的情况，所以①不正确；若平面x丄平面乙平面y丄平面乙则平面x与平面y可能相交，所以②不正确；若直线x丄直线z,直线y丄直线z,则直线x与直线y可能相交、异面、平行，所以⑤不正确.如图，在三棱柱 ABC — A i B i C i 中，侧棱AA i 丄底面ABC ，底面是以/ ABC 为直角的等腰直角三角形， AC = 2a , BB i = 3a , D 是A i C i 的中点，点F在线段AA i 上，当AF = ___________ 时，CF 丄平面B i DF.答案 a 或2a解析 由题意易知，B i D 丄平面ACC i A i ，所以B i D 丄CF.要使CF 丄平面B i DF ，只需CF 丄DF 即可.令 CF 丄 DF ，设 AF = x ,贝U A i F = 3a — x.易知 Rt △ CAF s Rt △ FA i D ,整理得 x 2 — 3ax + 2a 2 = 0,解得x = a 或x = 2a.9. 如图，AB 为圆O 的直径，点C 在圆周上（异于点A , B ），直线PA 垂 直于圆O所在的平面，点 M 为线段PB 的中点.有以下四个命题：① PA //平面MOB ;② MO //平面FAC ;③ OC 丄平面FAC ;④ 平面FAC 丄平面 PBC.其中正确的命题是 _________ （填上所有正确命题的序号）.答案②④解析 ①错误，PA?平面MOB ;②正确；③错误，否则，有 OC 丄AC ,这与BC 丄AC 矛盾；④正确，因为BC 丄平面PAC.、解答题iO . （20i3重庆）如图，四棱锥 P — ABCD 中，FA 丄底面 ABCD , FA = 2.3,, , nBC = CD = 2，/ ACB =Z ACD = 3.（i ）求证：BD 丄平面FAC ; ⑵若侧棱PC 上的点F 满足PF = 7FC ,求三棱锥P — BDF 的体积.（i ）证明 因为BC = CD ，所以△ BCD 为等腰三角形，又/ACB = Z ACD ，故 BD 丄 AC.AC _ AF AF = A^D ， 3a — xA因为FA丄底面ABCD，所以PA丄BD.从而BD 与平面PAC 内两条相交直线 PA , AC 都垂直,所以BD 丄平面PAC.⑵解三棱锥P — BCD 的底面BCD 的面积1 12S ^BCD = -BC CD sin / BCD = -x 2 x 2X sin y= 3.由PA 丄底面ABCD ，得1 1V P — BCD = 3 S^BCD PA = 3X 3X 2、：3= 2.1由PF = 7FC ，得三棱锥 F — BCD 的高为/FA ,故 V F — BCD = - S ^BCD 1pA = - X ,3X - x 2 3= 1, 3 8 3 ' 8 4所以 V p — BDF = V p —BCD — V F — BCD = 11. (2012 广东)如图所示，在四棱锥 P — ABCD 中，AB 丄平面 PAD ,1 AB // CD , PD = AD , E 是PB 的中点，F 是DC 上的点且 DF = ^AB , PH PAD 中AD 边上的高.(1)证明：PH 丄平面 ABCD ;⑵若PH = 1, AD = 2, FC = 1，求三棱锥 E — BCF 的体积; (3)证EF 丄平面(1)证明 因为AB 丄平面FAD , PH?平面FAD ,所以PH 丄AB.因为PH PAD 中AD 边上的高，所以 PH 丄AD.因为 PH?平面 ABCD , AB A AD = A , AB , AD?平面 ABCD , 所以PH 丄平面 ABCD.⑵解如图，连结BH ，取BH 的中点G ,连结EG.因为E 是PB 的中点，所以 EG // PH ,且 EG = ；PH = 2因为PH 丄平面 ABCD ,74.所以EG丄平面ABCD.因为AB丄平面PAD , AD?平面PAD,所以AB丄AD，所以底面ABCD为直角梯形，1所以V E-BCF= 3G BCF EG1 1 2=3 2 FC AD EG=卷.⑶证明取PA中点M，连结MD , ME.1因为E是PB的中点，所以ME "AB.又因为DF綊^AB，所以ME綊DF ,所以四边形MEFD是平行四边形，所以EF // MD.因为PD = AD，所以MD丄PA.因为AB丄平面FAD，所以MD丄AB.因为PA A AB= A,所以MD丄平面PAB,所以EF丄平面PAB.12 .如图，在平行四边形ABCD 中，AB = 2BC = 4，/ ABC = 120 ° E, M分别为AB, DE的中点，将△ ADE沿直线DE翻折成△ A' DE, F为A' C 的中点，A' C = 4.(1) 求证：平面A' DE丄平面BCD ;(2) 求证：FB //平面A' DE.证明(1)由题意，得△ A' DE是厶ADE沿DE翻折而成的，•••△ A' DE◎△ ADE.•••/ ABC = 120°四边形ABCD是平行四边形，又••• AD = AE= 2,• △ A' DE和厶ADE都是等边三角形.如图，连结A' M , MC ,••• M是DE的中点,••• A' M 丄DE , A' M = 3.在厶DMC 中，MC2= DC2+ DM2—2DC DMcos 60 °=42+ 12—2 X 4 X 1X cos 60 ；• MC = 13.在厶A' MC 中，A M2+ MC2= ( 3)2+ ( ,^3)2= 42= A' C2.•△ A' MC是直角三角形，• A' M丄MC.又••• A' M 丄DE , MC A DE = M ,• A' M丄平面BCD.又••• A' M?平面A' DE,•平面A ' DE丄平面BCD.⑵取DC的中点N,连结FN , NB.••• A ' C= DC = 4, F , N 分别是A ' C, DC 的中点，• FN // A ' D.又••• N , E分别是平行四边形ABCD的边DC , AB的中点，• BN // DE.又••• A ' D A DE = D , FN A NB = N ,•平面A ' DE //平面FNB.•/ FB?平面FNB ,• FB/ 平面 A ' DE.• AC = A i C i = *. 2.•三棱锥B—A i C i D 的体积V = ~ BD S^ A i C i D = 3 区弋x^A i C i AA i = 2 X i = £3 3 2 2 i2 6。
高考数学二轮复习 专题12 空间的平行与垂直教学案 理
专题12 空间的平行与垂直1．以选择、填空题形式考查空间位置关系的判断，及文字语言、图形语言、符号语言的转换，难度适中；2.以客观题形式考查有关线面平行、垂直等位置关系的命题真假判断或充要条件判断等．3.以多面体或旋转体为载体(棱锥、棱柱为主)命制空间线面平行、垂直各种位置关系的证明题或探索性问题，以大题形式呈现．1．点、线、面的位置关系(1)平面的基本性质(2)平行公理、等角定理公理4：若a∥c，b∥c，则a∥b.等角定理：若OA∥O1A1，OB∥O1B1，则∠AOB＝∠A1O1B1或∠AOB＋∠A1O1B1＝180°.2．直线、平面的平行与垂直3.熟练掌握常见几何体(柱、锥、台、球)的几何特征，明确各种几何体的直观图与三视图特征及相关面积体积的计算公式，熟练掌握线线、线面、面面平行与垂直等位置关系的判定与性质定理及公理，熟练进行线线、线面、面面平行与垂直关系的相互转化是解答相关几何题的基础.【误区警示】1．应用线面、面面平行与垂直的判定定理、性质定理时，必须按照定理的要求找足条件．2．作辅助线(面)是立体几何证题中常用技巧，作图时要依据题设条件和待求(证)结论之间的关系结合有关定理作图．注意线线、线面、面面平行与垂直关系的相互转化．3．若a 、b 、c 代表直线或平面，△代表平行或垂直，在形如⎭⎪⎬⎪⎫a △b a △c ⇒b △c 的命题中，要切实弄清有哪些是成立的，有哪些是不成立的．例如a 、b 、c 中有两个为平面，一条为直线，命题⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αa ⊥β⇒α∥β是成立的.⎭⎪⎬⎪⎫a ∥αa ∥β⇒α∥β是不成立的．考点一 空间中点、线、面的位置例1．已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是( ) A ．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行 B ．若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行C ．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D ．若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面答案 D【变式探究】已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是( ) A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥n C ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥αD ．若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α答案 B考点二 空间中平行的判定与垂直例2．【2017江苏，15】 如图，在三棱锥A-BCD 中，AB ⊥AD ， BC ⊥BD ， 平面ABD ⊥平面BCD ， 点E ，F (E 与A ，D 不重合)分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD .求证：（1）EF ∥平面ABC ； （2）AD ⊥AC .【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】证明：（1）在平面ABD 内，因为AB ⊥AD ， EF AD ⊥，所以EFAB.又因为EF ⊄平面ABC ， AB ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC . （2）因为平面ABD ⊥平面BCD ， 平面ABD ⋂平面BCD =BD ，BC ⊂平面BCD ， BC BD ⊥，所以BC ⊥平面ABD .因为AD ⊂平面ABD ，所以BC ⊥ AD .(第15题)ADBC EF又AB ⊥AD ， BC AB B ⋂=， AB ⊂平面ABC ， BC ⊂平面ABC ， 所以AD ⊥平面ABC ， 又因为AC ⊂平面ABC ， 所以AD ⊥AC.【变式探究】【2016高考江苏卷】(本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且11B D A F ⊥ ，1111AC A B ⊥.求证：（1）直线DE ∥平面A 1C 1F ； （2）平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .【答案】（1）详见解析（2）详见解析（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1111AA ⊥平面A B C 因为11AC ⊂平面111A B C ，所以111AA ⊥A C又因为111111*********,,AC A B AA ABB A A B ABB A A B AA A ⊥⊂⊂=，平面平面所以11AC ⊥平面11ABB A因为1B D ⊂平面11ABB A ，所以111AC B D ⊥又因为1111111111111C F,C F,B D A AC A A F A AC A F A ⊥⊂⊂=F ，平面平面所以111C F B D A ⊥平面因为直线11B D B DE ⊂平面，所以1B DE 平面11.AC F ⊥平面【变式探究】如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知AC ⊥BC ，BC ＝CC 1.设AB 1的中点为D ，B 1C ∩BC 1＝E .求证：(1)DE ∥平面AA 1C 1C ； (2)BC 1⊥AB 1.因为AC ，B 1C ⊂平面B 1AC ，AC ∩B 1C ＝C ， 所以BC 1⊥平面B 1AC . 又因为AB 1⊂平面B 1AC ， 所以BC 1⊥AB 1.【举一反三】【2016高考新课标2理数】如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，5,6AB AC ==，点,E F 分别在,AD CD 上，54AE CF ==，EF 交BD 于点H ．将DEF ∆沿EF 折到D EF '∆位置，OD '=（Ⅰ）证明：D H '⊥平面ABCD ； （Ⅱ）求二面角B D A C '--的正弦值．. 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）25【变式探究】如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD翻折成△A′CD，所成二面角A′－CD－B的平面角为α，则( )A．∠A′DB≤αB．∠A′DB≥αC．∠A′CB≤αD．∠A′CB≥α解析极限思想：若α＝π，则∠A′CB＜π，排除D；若α＝0，如图，则∠A′DB，∠A′CB都可以大于0，排除A，C.故选B.答案 B考点三平面图形的折叠问题例 3、(2016·全国甲卷)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E，F分别在AD，CD上，AE ＝CF，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D′EF的位置．(1)证明：AC⊥HD′；(2)若AB＝5，AC＝6，AE＝54，OD′＝22，求五棱锥【方法技巧】平面图形翻折问题的求解方法(1)解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量，一般情况下，线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口．(1)求证：GR⊥平面PEF；(2)若正方形ABCD的边长为4，求三棱锥P－DEF的内切球的半径．52－22＝6.内切球的半径为r，×1×2×2×4＝A1EM⊥平面B1CD1. CO1，A1O1，3.【2017江苏，15】 如图，在三棱锥A-BCD 中，AB ⊥AD ， BC ⊥BD ， 平面ABD ⊥平面BCD ， 点E ，F (E 与A ，D 不重合)分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD .求证：（1）EF ∥平面ABC ； （2）AD ⊥AC .【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】证明：（1）在平面ABD 内，因为AB ⊥AD ， EF AD ，所以EFAB.(第15题)ADBC EF又因为EF ⊄平面ABC ， AB ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC .1.【2016高考浙江理数】已知互相垂直的平面αβ，交于直线l .若直线m ，n 满足,m n αβ∥⊥， 则（ ） A ．m ∥l B ．m ∥n C ．n ⊥l D ．m ⊥n 【答案】C 【解析】由题意知,l l αββ=∴⊂，,n n l β⊥∴⊥．故选C ．2.【2016高考新课标2理数】 ,αβ是两个平面，,m n 是两条直线，有下列四个命题： （1）如果,,//m n m n αβ⊥⊥，那么αβ⊥. （2）如果,//m n αα⊥，那么m n ⊥. （3）如果//,m αβα⊂，那么//m β.（4）如果//,//m n αβ，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等. 其中正确的命题有 ． (填写所有正确命题的编号） 【答案】②③④【解析】对于①，,,//m n m n αβ⊥⊥，则,αβ的位置关系无法确定，故错误；对于②,因为//n α，所以过直线n 作平面γ与平面β相交于直线c ，则//n c ，因为,,m m c m n α⊥∴⊥∴⊥，故②正确；对于③，由两个平面平行的性质可知正确；对于④，由线面所成角的定义和等角定理可知其正确，故正确的有②③④.3.【2016高考浙江理数】如图，在△ABC 中，AB =BC =2，∠ABC =120°.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD =DA ，PB =BA ，则四面体PBCD 的体积的最大值是.【答案】12在PBD ∆中，PD AD x ==，2PB BA ==.由余弦定理可得222cos 2PD PB BD BPD PD PB +-∠===⋅，所以30BPD ∠=.由此可得，将△ABD 沿BD 翻折后可与△PBD 重合，无论点D 在任何位置，只要点D 的位置确定，当平面PBD ⊥平面BDC 时，四面体PBCD 的体积最大（欲求最大值可不考虑不垂直的情况）.EDCBAP过P 作直线BD 的垂线，垂足为O .设PO d =，则11sin 22PBD S BD d PD PB BPD =⨯=⋅∠△，12sin 302d x =⋅，解得d =而△BCD的面积111sin )2sin 30)222S CD BC BCD x x =⋅∠=⋅=. 当平面PBD ⊥平面BDC 时： 四面体PBCD的体积111)332BCD V S d x =⨯=⨯△=.观察上式，易得)2x xx x +≤，当且仅当x x，即x 时取等号，同时我们可以发现当xx 时，四面体PBCD 的体积最大，为1.24.【2016高考新课标1卷】平面α过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ,α//平面CB 1D 1,αI 平面ABCD =m ,αI 平面AB B 1A 1=n ,则m 、n 所成角的正弦值为B)213【答案】A5.【2016高考新课标3理数】在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球，若AB BC ⊥，6AB =，8BC =，13AA =，则V 的最大值是（ ）（A ）4π （B ）92π （C ）6π （D ）323π 【答案】B6.【2016高考天津理数】已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单 位：m ），则该四棱锥的体积为_______m 3.【答案】2【解析】由三视图知四棱锥高为3，底面平行四边形的一边长为2，其对应的高为1， 因此所求四棱锥的体积1(21)323V =⨯⨯⨯=．故答案为2． 1.【2015高考浙江，理8】如图，已知ABC ∆，D 是AB 的中点，沿直线CD 将ACD ∆折成A CD '∆，所成二面角A CD B '--的平面角为α，则（ ）A. A DB α'∠≤B. A DB α'∠≥C. A CB α'∠≤D. A CB α'∠≤【答案】B.在Rt A BP '∆中，2222222(2cos )4cos A P A B BP t t θθ''=-=-=-，在A NP '∆中，222cos cos 2A N NP A P A NP A N NP α''+-'=∠='⨯2222sin sin (4cos )2sin sin t θθθθθ+--=⨯222222222222cos 2cos 1cos cos 2sin 2sin sin sin sin t t A DB θθθθθθθθ+--'==+=∠+， ∵210sin θ>，22cos 0sin θθ≥，∴cos cos A DB α'≥∠（当2πθ=时取等号），∵α，[0,]A DB π'∠∈，而cos y x =在[0,]π上为递减函数，∴A DB α'≤∠，故选B.【考点定位】立体几何中的动态问题2.【2015高考湖南，理10】某工件的三视图如图3所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=新工件的体积原工件的体积）（ ）A.89πB.169πC.31)πD.31)π【答案】A.322162()327a a a ++-≤⨯=，当且仅当y x =，3222=⇒-=a a a 时，等号成立，此时利用率为ππ98213127162=⨯⨯，故选A.【考点定位】1.圆锥的内接长方体；2.基本不等式求最值.3.【2015高考福建，理7】若,l m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α ，则“l m ⊥ ”是“//l α 的 （ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B4.【2015高考四川，理14】如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M 在线段PQ 上，E 、F 分别为AB 、BC 的中点。
2020届高考数学江苏省二轮课件：第8讲 空间中的平行与垂直
证明 (1)设AC交BE于点O,连接OF,CE.
因为AE=BC=1,AD∥BC,所以四边形ABCE为平行四边形, 所以点O为AC的中点, 又因为点F为PC的中点,所以OF∥AP.
又因为OF⊂平面BEF,AP⊄平面BEF,所以AP∥平面BEF. (2)因为AD∥BC,ED=BC=1, 所以四边形BCDE为平行四边形,所以BE∥CD. 因为AP⊥CD,所以AP⊥BE. 又因为四边形ABCE为平行四边形,AB=BC, 所以四边形ABCE为菱形,所以AC⊥BE. 又因为AP⊥BE,AP∩AC=A,AP⊂平面APC,AC⊂平面APC, 所以BE⊥平面APC. 因为BE⊂平面BEF,所以平面BEF⊥平面PAC.
2.α,β为两个不同的平面,m,n为两条不同的直线,下列命题中正确的是 (填上所有正确命题的序号).
①若α∥β,m⊂α,则m∥β; ②若m∥α,n⊂α,则m∥n; ③若α⊥β,α∩β=n,m⊥n,则m⊥β; ④若n⊥α,n⊥β,m⊥α,则m⊥β.
答案 ①④ 解析 由面面平行的性质可得①正确;若m∥α,n⊂α,则m,n平行或异面,②错 误;由面面垂直的性质定理可知③中缺少条件“m⊂α”,错误;若n⊥α,n⊥β,则 α∥β,又m⊥α,则m⊥β,④正确.
题型二 以柱体为载体的空间线面关系 例2 (2019常州期末)如图,正三棱柱ABC-A1B1C1中,点M,N分别是棱AB,CC1的 中点. 求证:(1)CM∥平面AB1N; (2)平面A1BN⊥平面AA1B1B.
证明 (1)设AB1交A1B于点O,连接OM,ON.
在正三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1∥CC1,BB1=CC1,且四边形AA1B1B是平行四边形, 所以O为AB1的中点, 又因为M为AB的中点,所以OM∥BB1,且OM=1 BB1.
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空间平行与垂直1.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝3 cm ，AA 1＝2 cm ，则四棱锥A －BB 1D 1D 的体积为________ cm 3.解析：连结AC 交BD 于点O ，则四棱锥A －BB 1D 1D 的体积为13S BB 1D 1D ·AO ＝6.答案：62.在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若点P 是棱上一点，则满足|P A |＋|PC 1|＝2的点P 的个数为________．解析：点P 在以A ，C 1为焦点的椭圆上， 若P 在AB 上，设AP ＝x ，有P A ＋PC 1＝x ＋(1－x )2＋(2)2＝2， 解得x ＝12.故AB 上有一点P (AB 的中点)满足条件．同理在AD ，AA 1，C 1B 1，C 1D 1，C 1C 上各有一点满足条件． 又若点P 在BB 1上，则P A ＋PC 1＝1＋BP 2＋1＋B 1P 2>2.故BB 1上不存在满足条件的点P ，同理DD 1，BC ，A 1D 1，DC ，A 1B 1上不存在满足条件的点P .答案：63．在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，以BC 边所在直线为轴旋转一周，则形成的几何体的侧面积为________．解析：将矩形ABCD 以BC 边所在直线为轴旋转一周后得到的几何体为是以2为底面半径，以3为高的圆柱体，故它的侧面积为2π×2×3＝12π.答案：12π4．(2012·南京三模)已知α，β是两个不同的平面，下列四个条件： ①存在一条直线a ，a ⊥α，a ⊥β；②存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β； ③存在两条平行直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α. ④存在两条异面直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α.其中是平面α∥平面β的充分条件的为________．(填上所有符合要求的序号)解析：②③中的α与β可以相交．答案：①④5．(2012·江苏最后一卷)给出下列四个命题：①如果平面α与平面β相交，那么平面α内所有的直线都与平面β相交；②如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β；③如果平面α⊥平面β，那么平面α内与它们的交线不垂直的直线与平面β也不垂直；④如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β.真命题的序号是________．(写出所有真命题的序号)解析：①中α内存在与β平行的直线；②中α内只有垂直于交线的直线才垂直于β；③、④正确．答案：③④[典例1]如图，四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABC D，PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90°.(1)求证：PC⊥BC；(2)求点A到平面PBC的距离．[解](1)证明：因为PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC.由∠BCD＝90°，得CD⊥BC.又PD∩DC＝D，PD，DC⊂平面PCD，所以BC⊥平面PCD.因为PC⊂平面PCD，故PC⊥BC.(2)法一：分别取AB，PC的中点E，F，连结DE，DF，易证DE∥CB，DE∥平面PBC，点D，E到平面PBC的距离相等．又点A到平面PBC 的距离等于E到平面PBC的距离的2倍．由(1)知，BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD于PC.因为PD＝DC，PF＝FC，所以DF⊥PC.所以DF⊥平面PBC于F.易知DF＝22，故点A到平面PBC的距离等于 2.法二：体积法：连结AC，设点A到平面PBC的距离为h. 因为AB∥DC，∠BCD＝90°，所以∠ABC＝90°.从而AB＝2，BC＝1，得△ABC的面积S△ABC＝1.由PD ⊥平面ABCD 及PD ＝1，得三棱锥P －ABC 的体积V ＝13S △ABC ·PD ＝13.因为PD ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ， 所以PD ⊥DC .又PD ＝DC ＝1，所以PC ＝PD 2＋DC 2＝ 2. 由PC ⊥BC ，BC ＝1，得△PBC 的面积S △PBC ＝22. 由V A －PBC ＝V P －ABC ，13S △PBC ·h ＝V ＝13，得h ＝2，故点A 到平面PBC 的距离等于 2.本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力．[演练1]如图，四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形且AB ∥CD ，∠BAD ＝90°，P A ＝AD ＝DC ＝2，AB ＝4.(1)求证：BC ⊥PC ； (2)四面体A －PBC 的体积．解：(1)证明：作CE ⊥AB 于点E ，则AE ＝EB ＝CE ＝2，BC ＝22，则AC ＝22，故∠ACB ＝90°，即AC ⊥CB .又P A ⊥平面ABCD ，故P A ⊥BC ，所以BC ⊥平面P AC .又PC ⊂面P AC ， 因此BC ⊥PC .(2)因为P A ⊥平面ABC ，所以V A －PBC ＝V P －ABC ＝13S △ABC ·P A＝13×12AC ·BC ·P A ＝13×12×22×22×2＝83. 故四面体A －PBC 的体积为83.[典例2](2012·泰州模拟)已知四面体ABCD 中，AB ＝AC ，BD ＝CD ，平面ABC ⊥平面BCD ，E ，F 分别为棱BC 和AD 的中点．(1)求证：AE ⊥平面BCD ； (2)求证：AD ⊥BC ；(3)若△ABC 内的点G 满足FG ∥平面BCD ，设点G 构成集合T ，试描述点集T 的位置．(不必说明理由)[解](1)证明：∵在△ABC中，AB＝AC，E为BC的中点，∴AE⊥BC.又∵平面ABC⊥平面BCD，AE⊂平面ABC，平面ABC∩平面BCD＝BC，∴AE⊥平面BCD.(2)证明：连结DE，∵BD＝CD，E为BC的中点，∴BC⊥DE.由(1)知AE⊥BC，又AE∩DE＝E，AE，DE⊂平面AED，∴BC⊥平面AED.又AD⊂平面AED，∴BC⊥AD.(3)取AB，AC的中点M，N，所有的点G构成的集合T即为△ABC的中位线MN.本题的第(3)问考查线面平行，没有直接给出点G的位置，而是需要探究点的位置．根据面面平行的性质得到线面平行，并且利用面面的交线确定点G的位置．[演练2]如图ABCD为直角梯形，∠BCD＝∠CDA＝90°，AD＝2BC＝2CD，P为平面ABCD外一点，且PB⊥BD.(1)求证：P A⊥BD；(2)若PC与CD不垂直，求证：P A≠PD.解：(1)证明：∵ABCD为直角梯形，∠BCD＝∠CDA＝90°，AD＝2BC＝2CD，∴AD＝2AB＝2BD.∴AB⊥BD.∵PB⊥BD，AB∩PB＝B，AB，PB⊂平面P AB，∴BD⊥平面P AB.∵P A⊂面P AB，∴P A⊥BD.(2)证明：假设P A＝PD，取AD中点N，连结PN，BN，则PN⊥AD，BN⊥AD，∴AD⊥平面PNB，得PB⊥AD，又PB⊥BD，得PB⊥平面ABCD，∴PB⊥CD，又∵BC⊥CD，且PB∩BC＝B，∴CD⊥平面PBC，∴CD⊥PC，与已知条件PC与CD不垂直矛盾，∴假设不成立，∴P A≠PD.[典例3](2011·江苏高考)请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D 四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E、F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE ＝FB ＝x (cm)．(1)若广告商要求包装盒的侧面积S (cm 2)最大，试问x 应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V (cm 3)最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．[解] 设包装盒的高为h (cm)，底面边长为a (cm)． 由已知得a ＝2x ，h ＝60－2x2＝2(30－x )，0＜x ＜30.(1)S ＝4ah ＝8x (30－x )＝－8(x －15)2＋1 800， 所以当x ＝15时，S 取得最大值．(2)V ＝a 2h ＝22(－x 3＋30x 2)，V ′＝62x (20－x )． 由V ′＝0得x ＝0(舍)或x ＝20.当x ∈(0,20)时，V ′＞0；当x ∈(20,30)时，V ′＜0. 所以当x ＝20时，V 取得极大值，也是最大值． 此时h a ＝12.即包装盒的高与底面边长的比值为12.本题主要考查空间几何体中的最值问题，综合考查数学建模能力及应用导数解决实际问题的能力．[演练3]某加工厂有一块三角形的铁板余料(如图)，经测量得知：AC ＝3，AB ＝33，BC ＝6.工人师傅计划利用它加工成一个无盖直三棱柱型水箱，设计方案为：将图中的阴影部分切去，再把它沿虚线折起．请计算容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？解：设容器的高为x ，∵AC ＝3，AB ＝33，BC ＝6，∴BC 2＝AC 2＋AB 2， 得∠A ＝π2，∠C ＝π3，∠CED ＝π3，∠FEG ＝π3，∴CD ＝DE ·tan ∠CED ＝3x .∴GE ＝3－x －3x ＝3－(3＋1)x . ∴GF ＝3GE ＝3[3－(3＋1)x ]． 又GE >0，∴0<x <33＋1. 设容器的容积为V ， 则V ＝12x ·3·[3－(3＋1)x ]2∴V ′＝32[3－(3＋1)x ]2－3x [3－(3＋1)x ]·(3＋1) ＝332[3－(3＋1)x ][1－(3＋1)x ]． 令V ′＝0，又0<x <33＋1，∴x ＝13＋1＝3－12.当0<x <3－12时，V ′>0，3－12<x <33＋1时，V ′<0. ∴当x ＝3－12时，V max ＝3－ 3. [专题技法归纳]1．证明线面平行或垂直关系时，要认真体会“转化”这一数学思想方法，既要领会平行、垂直内部间的转化，也要注意平行与垂直之间的转化．2．空间几何体的表面积和体积的研究策略研究空间几何体的结构→计算相关边长→代入公式计算． 3．空间几何体的结构的研究策略运用转化的思想，将空间几何体的问题转化为平面问题，如几何体的外接球或内切球问题，转化为多边形的外接圆或内切圆的问题．4．组合体体积的求解组合体的体积求解无论是分割还是补形，关键是有利于求出几何体的高，即找到线面垂直．配套检测1．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，给出下列命题：①若α∥β，则l ⊥m ；②若α⊥β，则l ∥m ；③若l ∥m ，则α⊥β；④若l ⊥m ，则α∥β. 其中正确命题的序号是________．解析：②中l 与m 可能异面；④中α与β也可能相交．答案：①③2．已知P A ，PB ，PC 两两互相垂直，且△P AB ，△PBC ，△P AC 的面积分别为1.5 cm 2,2 cm 2,6 cm 2，则过P ，A ，B ，C 四点的外接球的表面积为________ cm 2.(注S 球＝4πr 2，其中r 为球半径)解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧12P A ·PB ＝1.5，12PB ·PC ＝2，12PC ·P A ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧P A ＝3，PB ＝1，PC ＝4.因为P A ，PB ，PC 两两互相垂直，所以可构造长方体．长方体的体对角线长为26，即为外接球的直径，所以外接球的表面积为26π.答案：26π3．(2012·苏州二模)设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列命题：①若α∥β，m ⊂β，n ⊂α，则m ∥n ； ②若α∥β，m ⊥β，n ∥α，则m ⊥n ； ③若α⊥β，m ⊥α，n ∥β，则m ∥n ； ④若α⊥β，m ⊥α，n ⊥β，则m ⊥n .上面命题中，所有真命题的序号为________． 解析：①③中的直线m 与n 可以是异面直线． 答案：②④4．多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的顶点，正方体的一个顶点A 在平面α内，其余顶点在α的同侧，正方体上与顶点A 相邻的三个顶点到α的距离分别为1,2和4，P 是正方体的其余四个顶点中的一个，则P 到平面α的距离可能是：①3；②4；③5；④6；⑤7以上结论正确的为________．(写出所有正确结论的编号)解析：如图，B ，D ，A 1到平面α的距离分别为1,2,4，则D ，A 1的中点到平面α的距离为3，所以D 1到平面α的距离为6；B ，A 1的中点到平面α的距离为52，所以B 1到平面α的距离为5；则D ，B 的中点到平面α的距离为32，所以C 到平面α的距离为3；C ，A 1的中点到平面α的距离为72，所以C 1到平面α的距离为7；而P 为C ，C 1，B 1，D 1中的一点，所以所有可能的结果为3,5,6,7.答案：①③④⑤5．已知α，β是两个不同的平面，m ，n 是平面α及平面β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m ∥n ，②α∥β，③m ⊥α，④n ⊥β，以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________.解析：同垂直于一个平面的两条直线互相平行，同垂直于两个平行平面的两条直线也互相平行，故②③④⇒①.(同理①③④⇒②)．答案：②③④⇒①(或①③④⇒②)6．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，四面体ACB 1D 1的体积为________． 解析：用正方体体积减去4个相同的三棱锥体积(或求棱长为2的正四面体的体积)． 答案：137．(2012·南京二模)一块边长为10 cm 的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点P 为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥容器，当x ＝6 cm 时，该容器的容积为________ cm 3.解析：正四棱锥的高h ＝52－32＝4， V ＝13×62×4＝48(cm 3)．答案：488．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是________(写出所有正确结论的编号)．①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．解析：当四点共面时为矩形；当四点不共面时，若有三点在正方体的某一面内，则可形成③⑤中的几何形体，若任意三点都不在正方体的某一面内，则形成④中的几何形体．答案：①③④⑤9．一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为________．解析：如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，△ABC 为正三角形，边长为2，△DEF 为等腰直角三角形，DF 为斜边，设DF 长为x ，则DE ＝EF ＝22x ，作DG ⊥BB 1，HG ⊥CC 1，EI ⊥CC 1， 则EG ＝DE 2－DG 2＝x 22－4，FI ＝EF 2－EI 2＝x 22－4，FH ＝FI＋HI ＝FI ＋EG ＝2x 22－4，在Rt △DHF 中，DF 2＝DH 2＋FH 2，即x 2＝4＋⎝⎛⎭⎫2x 22－42，解得x ＝2 3.即该三角形的斜边长为2 3.答案：2 310.(2012·南通一模)在棱长为4的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱AA 1、D 1C 1上的动点，点G 为正方形B 1BCC 1的中心．则空间四边形AEFG 在该正方体各个面上的正投影所构成的图形中，面积的最大值为________．解析：如图1，当E 与A 1重合，F 与B 1重合时，四边形AEFG 在前、后面的正投影的面积最大值为12；如图2，当E 与A 1重合，四边形AEFG 在左、右面的正投影的面积最大值为8； 如图3，当F 与D 重合时，四边形AEFG 在上、下面的正投影的面积最大值为8； 综上得，面积最大值为12.答案：1211.(2012·南京二模)如图，四边形ABCD 是矩形，平面ABCD ⊥平面BCE ，BE ⊥EC .(1)求证：平面AEC ⊥平面ABE ；(2)点F 在BE 上，若DE ∥平面ACF ，求BFBE 的值．解：(1)证明：因为ABCD 为矩形，所以AB ⊥BC . 因为平面ABCD ⊥平面BCE ， 平面ABCD ∩平面BCE ＝BC ， AB ⊂平面ABCD ， 所以AB ⊥平面BCE .因为CE ⊂平面BCE ，所以CE ⊥AB .因为CE ⊥BE ，AB ⊂平面ABE ，BE ⊂平面ABE ，AB ∩BE ＝B ， 所以CE ⊥平面ABE .因为CE ⊂平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面ABE . (2)连结BD 交AC 于点O ，连结OF .因为DE ∥平面ACF ，DE ⊂平面BDE ，平面ACF ∩平面BDE ＝OF ， 所以DE ∥OF .又因为矩形ABCD 中，O 为BD 中点，所以F 为BE 中点，即BF BE ＝12.12.(2013·无锡一中)如图，四棱锥E －ABCD 中，EA ＝EB ，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝2CD .(1)求证：AB ⊥ED ；(2)线段EA 上是否存在点F ，使DF ∥平面BCE ？若存在，求出EF EA 的值；若不存在，说明理由．解：(1)证明：取AB 中点O ，连结EO ，DO .因为EA ＝EB ，所以EO ⊥AB .因为AB ∥CD ，AB ＝2CD ， 所以BO ∥CD ，BO ＝CD .又因为AB ⊥BC ，所以四边形OBCD 为矩形， 所以AB ⊥DO . 因为EO ∩DO ＝O ，所以AB ⊥平面EOD .又因为EDC 平面EOD ， 所以AB ⊥ED .(2)存在点F 满足EF EA ＝12，即F 为EA 中点时，有DF ∥平面BCE .证明如下：取EB 中点G ，连结CG ，FG . 因为F 为EA 中点，所以FG ∥AB ，FG ＝12AB .因为AB ∥CD ，CD ＝12AB ，所以FG ∥CD ，FG ＝CD .所以四边形CDFG 是平行四边形，所以DF ∥CG . 因为DF ⊄平面BCE ，CG ⊂平面BCE ， 所以DF ∥平面BCE .。