高考备考 均值不等式和柯西不等式 含历年高考真题

1、(2008江苏)设a ，b ，c 为正实数，求证：

333111a

b

c

+++abc ≥．

2、（2010辽宁理数）已知c b a ,,均为正数，证明：36

)111(2222≥+++++c

b

a

c b a ，并确

定c b a ,,为何值时，等号成立。

3、（2012江苏理数）已知实数x ，y 满足：1

1|||2|3

6

x y x y +<-<，，求证：5

||18

y <． 4、（2013新课标Ⅱ）设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明:

(Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)222

1a b c b c a

++≥.

5、（2012福建）已知函数f (x )=m -|x -2|,m ∈R,且f (x +2)≥0的解集为[-1,1].

(1)求m 的值; (2)若a ,b ,c ∈R,且1a + 12b + 1

3c =m ,求证:a + 2b +3c ≥9

6、（2011浙江）设正数z y x ,,满足122=++z y x . (1)求zx yz xy ++3的最大值； （2）证明：

26

125

111113≥+++++xz yz xy 7. (2017全国新课标II 卷) 已知3

3

0,0,2a b a b >>+=。证明： （1）5

5

()()4a b a b ++≥； （2）2a b +≤。

8.(2017天津) 若,a b ∈R ，0ab >，则4441

a b ab

++的最小值为___________.

9. 【2015高考新课标2，理24】设,,,a b c d 均为正数，且a b c d +=+，证明：

（Ⅰ）若ab cd >+>

（Ⅱ）>是a b c d -<-的充要条件． 10. 【2015高考福建，理21】选修4-5：不等式选讲

已知0,0,0a b c >>>，函数()||||f x x a x b c =++-+的最小值为4． (Ⅰ)求a b c ++的值； (Ⅱ)求2221

14

9

a b c ++的最小值．

11.【2015高考陕西，理24】（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{}24x x <<．

（I ）求实数a ，b 的值；（II ）求+的最大值． 【均值不等式】

例题1：已知y x ,均为正数，且y x >，求证：3221

22

2+≥+-+

y y

xy x x ． 例题2：已知z y x ,,均为正数．求证：

z

y x xy z zx y yz x 111++≥++． 变式：设z y x ,,为正数，证明：()()()()y x z z x y z y x z y x +++++≥++2

223332． 【柯西不等式】

例题1：若正数c b a ,,满足1=++c b a ，求

1

21

121121++

+++c b a 的最小值．

变式：若21

,32

x ⎛⎫

∈- ⎪⎝

⎭

<例题2：已知z y x ,,是正数．

()1若1=+y x ，求y y x x +++2222的最小值； ()2若1222=+++++z z

y y x x ，求证：12222

22≥+++++z

z y y x x ． 变式1：设0,,>c b a ，1=++c b a ，求证：

5

3

222≥-+-+-c c b b a a ． 变式2：已知正数y x ,满足xyz z y x =++，求zx

yz

xy

211+

+

的最大值．

【能力提升】

1、 设c b a ,,均为正实数，求证：

b

a c a c

b

c b a ++

+++≥++1

11212121．