高考备考 均值不等式和柯西不等式 含历年高考真题
柯西不等式高考题精选
柯西不等式高考题精选1.（2013 年湖北）设 x.zeR,且满足：/ + / + 22=1, x + 2y+ 3z = V14,则x+y + z=.【答案】半2.（2013年陕西）已知a, b,叫,n均为正数，且a+b=1,mn=2,则（am+bn）（bm+an）的最小值为.【答案】2 f (x) = x + 11 + lx —2 | 的最小值为 a.3. [2014 •福建] 已知定义在R上的函数（1）求a的值；⑵若p, q, r是正实数，且满足p + q + r = a, 求证:p2+q:+r2^3.解：(1)因为|x+l + |x—2| | (x+1) — (x—2) |=3, 当且仅当一l〈x<2时，等号成立, 所以f(x)的最小值等于3,即a=3.⑵由⑴知p + q + r = 3,又p, q, r是正实数，所以(p' + q~ + r')(l-+l'+l/)2(pXl + qXl+rXl)'=(p + q + r)2=9,即 E+/+/23.4.[2014 •陕西]A.(不等式选做题)设a, b, m, n£R,且£ +b' = 5, ma + nb = 5,则+ 的最小值为.【答案】m5.[2014 •浙江](1)解不等式 2|x—2| — x+l|>3；(2)设正数 a, b, c 满足 abc=a + b + c, 求证：ab + 4bc + 9ac236,并给出等号成立条件. 解：(1)当 xW —1 时，2(2—x) + (x + 1) >3, 得xV2,此时x 〈一l ；当一lVx<2 时，2(2—x) — (x + 1) >3,得 xVO,此时 -l<x<0； 当 x>2 时，2(x — 2) — (x+l)>3,得 x>8,此时 x 〉8.综上所述，原不等式的解集是(-8, O)U (8, +8).(2)证明：由abc = a + b + c,得々+*+,=1.由柯西不等式， ab be caz 、得(ab + 4bc + 9ac) ~--F~ F — 2 (1 + 2 + 3)、[ab be ca ；所以ab + 4bc + 9ac236,当且仅当a = 2, b = 3, c = l 时，等号 成立.6.12015福建】已知〃>0*>0,0 0,函数/0)=1%+。
2021年高考数学考点60不等式的证明柯西不等式必刷题文含解析
考点60 不等式的证明、柯西不等式1．已知函数．（1）解不等式；（2）设函数的最小值为c，实数a，b满足，求证：．【答案】（1）；（2）见解析2．已知函数.（1）当时，解不等式；（2）若的解集为，，求证：.【答案】(1)；(2)证明见解析.3．已知函数.(1)求不等式的解集；(2)设，证明: .【答案】(1) (2)见解析【解析】（1）当时，恒成立，所以；当时，，所以，综合可知，不等式的解集为.4．设函数，（实数）（1）当，求不等式的解集；（2）求证：.【答案】（1）；（2）【解析】（1）原不等式等价于，当时，可得，得；当时，可得，得不成立；当时，可得，得；综上所述，原不等式的解集为5．已知函数，关于的不等式的解集记为. （1）求；（2）已知，，求证：.【答案】（1）（2）见解析【解析】（1）由，得，即或或解得或，所以，集合.（2）证明：∵，，∴，∴，，，∵，∴.6．已知，且，证明：（1）；（2）.【答案】（1）见解析（2）见解析7．关于的不等式的解集为.（1）某某数的值；（2）若，且，求证：. 【答案】（1）1（2）见解析【解析】8．已知函数，.（1）解不等式；（2）设，求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）由题意得原不等式为，等价于或或，解得或或，综上可得．∴原不等式的解集为．（2），当且仅当时等号成立．9．已知实数x, y满足.（1）解关于x的不等式；（2）若，证明：【答案】（1）；（2）9（2）且，.当且仅当时，取“=”.10．已知，且.（1）若恒成立，求的取值X围；（2）证明：.【答案】(1);(2)见解析.当时，，解得，故；综上，.（2），，.11．已知函数.（1）解不等式；（2）若对任意恒成立，求证：. 【答案】(1) ；(2)证明见解析.因为对任意恒成立，所以，又，所以．12．已知，不等式的解集是.（1）求集合；（2）设，证明：.【答案】（Ⅰ）. （Ⅱ）见解析.13．已知函数()21f x x x =+--. （1）求不等式()2f x ≥的解集；（2）记()f x 的最大值为k ，证明：对任意的正数a ，b ，c ，当a b c k ++=a b c k ≤成立.【答案】(1) 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭;(2)见解析.14．已知实数,,a b c 满足()4a b c +=，证明： （1）()2228a b c +≥； （2）22228a b c ++≥. 【答案】(1)见解析;(2)见解析.【解析】（1）由()4a b c +=，得()2216a b c +=， 所以()222216a b bc c ++=， 即222162b bc c a ++=. 因为()222222b bc c b c ++≤+，当且仅当b c =时，取等号， 所以()222162b c a≤+， 所以()2228a b c ≤+，15．已知，．（1）求的最小值（2）证明：． 【答案】（1）3；（2）证明见解析． 【解析】（1）因为，，所以,即，当且仅当时等号成立，此时取得最小值3．（2）．16．已知函数()2F x x m x =-++的图象的对称轴为1x =.（1）求不等式()2F x x ≥+的解集；（2）若函数()f x 的最小值为M ，正数a ，b 满足a b M +=，求证：12924a b +≥. 【答案】(1) ][(),04,-∞⋃+∞ (2)见解析17．已知函数()23f x x x m =---R ；（1）某某数m 的取值X 围；（2）设实数t 为m 的最大值，若实数a ，b ，c 满足2222a b c t ++=，求222111123a b c +++++的最小值.【答案】（1）3m ≤-；（2）3518．已知函数()31f x x x =++-的最小值为m ． （1）求m 的值；（2）若0a >，0b >，a b m +=，求证1494a b +≥． 【答案】（1）4m =（2）见解析【解析】（1）()31314f x x x x x =++-≥++-=，取等号时，()()310x x +-≥，即31x -≤≤，故m=4．（2）由（1）a+b=4，所以14145444a b a b a b a b b a +⎛⎫⎛⎫+=+=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 因为2144a b a b b a b a +≥⋅=，取等号时，4a b b a =，因为a+b=4，所以a=43，83b =．故1494a b +≥． 19．（1）已知函数()3,f x x a x a R =--+∈.若[]0,3x ∈时，()4f x ≤，某某数a 的取值X 围； （2）已知,,a b c R +∈，且1a b c ++=，求证：22213a b c ++≥. 【答案】(1）[－7，7]（2）见解析【解析】、（1）当[]0,3x ∈时，()4f x ≤即7x a x -≤+，由此77x x a x -≤-≤+在[]0,3上恒成立，故得7a ≥-且27a x ≤+．当[]0,3x ∈时，27x +的最小值为7，所以a 的取值X 围是[]7,7-． （2）因为()()()2220a b a c b c -+-+-≥，所以222a b c ab bc ac ++≥++，所以()2223a b c ∴++≥()21a b c ++=，故22213a b c ++≥.20．已知函数f(x)=x+2,g(x)=2-2x, （Ⅰ）若，且恒成立，某某数的取值X 围； （Ⅱ）若，求的最大值．【答案】(1);(2).21．已知函数.（1）解不等式；（2）记函数的最小值为，若，，均为正实数，且，求的最小值.【答案】(1)（2）22．选修4-5：不等式选讲（1）已知，都是正实数，且，求的最小值；（2），，求.【答案】(1);(2)见解析.【解析】（1）由柯西不等式得，当且仅当时取等号；∴，∴的最小值为.（2）. 23．已知函数．（Ⅰ）若，且恒成立，某某数的取值X围；（Ⅱ）若，求的最大值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.24．已知函数的最小值为（，，为正数）.（1）求的最小值；（2）求证：.【答案】（1）36；（2）见解析.【解析】（1）∵（当且仅当时取等号），由题意，得.根据柯西不等式，可知，∴.∴的最小值为36.（2）∵，，，∴，∴.25．已知a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，则的最大值为________．【答案】。
2024年高考数学高频考点(新高考通用)柯西不等式(精讲+精练)解析版
【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展01柯西不等式（精讲+精练）
1.二维形式的柯西不等式
.),,,,,()())((22222等号成立时当且仅当bc ad R d c b a bd ac d c b a =∈+≥++2.二维形式的柯西不等式的变式
bd ac d c b a +≥+⋅+2222)1( .),,,,,(等号成立时当且仅当bc ad R d c b a =∈bd ac d c b a +≥+⋅+2222)2(
.),,,,,(等号成立时当且仅当bc ad R d c b a =∈.)
,0,,,(())()(3(2等号成立，时当且仅当bc ad d c b a bd ac d c b a =≥+≥++3.
二维形式的柯西不等式的向量形式
.),,,(等号成立时使或存在实数是零向量当且仅当βαβk k =≤注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。
比如，对2
2
2
c b a ++，并不是不等式的形状，但变成
()()
2222221113
1
c b a ++∙++∙就可以用柯西不等式了。
4.扩展：()()233221122322212
2322
21)(n n n n b a b a b a b a b b b b a a a a ++++≥++++++++ ，当且仅当n n b a b a b a :::2211=== 时，等号成立.
【题型训练1-刷真题】
二、题型精讲精练
一、知识点梳理。
【精品试题】高考数学一轮必刷题 专题70 不等式的证明、柯西不等式与均值不等式(含解析)
专题70 不等式的证明、柯西不等式与均值不等式1．（广西桂林市，贺州市，崇左市2019年高三下学期3月联合调研考试数学理）选修4-5：不等式选讲 设函数22()|||2|(,)f x x a x b a b R =-++∈. （1）若1a =，0b =，求()2f x ≥的解集； （2）若()f x 的最小值为8，求2+a b 的最大值.2．（天津市耀华中学2019届高三第二次校模拟考试数学理）已知数列{}n a 的前n 项和是()*n S n N ∈，11a=且1102n n n S S a -⋅+= （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式（Ⅱ）求证：对任意的*n N ∈，不等式231111111n S S S +⋅>---3．（山东省威海市2019届高三二模考试数学理）已知正实数,a b 满足2ab +=.(Ⅰ)(Ⅱ) 若对任意正实数,a b ，不等式|1||3|x x ab +--≥恒成立，求实数x 的取值范围. 4．（天津市2019年3月九校联考高三数学理）已知数列{}n a 是公比为12的等比数列，且21a -是1a 与31a +的等比中项，其前n 项和为n S ；数列{}n b 是等差数列，18b =，其前n 项和n T 满足1n n T n b λ+=⋅(λ为常数，且1λ≠).(1)求数列{}n a 的通项公式及λ的值； (2)设11nn k kC T ==∑.求证：当*n N ∈时，14nn C S ≤. 5．（山西省太原市2019届高三模拟试题一理）已知函数()|21|2|1|f x x x =-++. （1）求不等式()5f x 的解集；（2）若存在实数0x ，使得()205f x m m +-成立的m 的最大值为M ，且实数a ，b 满足33a b M +=，证明：02a b <+.6．（河南省濮阳市2019届高三第二次模拟考试数学理）已知函数12()ln x e f x x xλλ-=-.（Ⅰ）当12λλ=时，讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）当11λ=，20λ=时，()nf m e =，其中,(0,)m n ∈+∞，证明：20m n -<.7．（川省华文大教育联盟2019届高三第二次质量检测考试数学理）已知函数()2121f x x x =++-，且不等式()4f x ≤的解集为M. (1)求M ；(2)若,x M y M ∈∈，求证：111x yy x+≤++． 8．（东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019届高三第一次模拟数学理）选修4-5：不等式选讲已知函数()|4|||,f x x a x a R =-+∈.（1）若不等式2()f x a ≥对x R ∀∈恒成立，求实数a 的取值范围；（2）设实数m 为（1）中a 的最大值，若实数,,x y z 满足42x y z m ++=，求222()x y y z +++的最小值.9．（重庆市南开中学2019届高三第三次教学质量检测考试数学理）已知函数()2145f x x x =++-的最小值为M . （1）求M ；（2）若正实数a ，b ，c 满足a b c M ++=，求证：2222227a b a c b cc b a+++++≥.10．（广西南宁市2019届高三毕业班第一次适应性测试数学理）已知函数f （x ）＝|ax ﹣1|﹣|2x +a |的图象如图所示． （1）求a 的值； （2）设g （x ）＝f （x 12+）+f （x ﹣1），g （x ）的最大值为t ，若正数m ，n 满足m +n ＝t ，证明：49256m n +≥．11．（河南省顶级名校2018－2019年度高三第四次联合质量测评数学理）设不等式2124x x -++<的解集为M ． (1)求集合M ；(2)已知,a b M ∈，求证：()1a b ab -<-．12．（北京市顺义区2019届高三第二次统练数学理）在数列{}n a 中，若221n n a a D --=（2n ≥，*n N ∈，D 为常数），则称{}n a 为“平方等差数列”． （Ⅰ）若数列{}n b 是“平方等差数列”，121,2b b ==，写出34,b b 的值； （Ⅱ）如果一个公比为q 的等比数列为“平方等差数列”，求证：1q =±；（Ⅲ）若一个“平方等差数列”{}n c 满足122,0n c c c ==>，设数列1n c ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ．是否存在正整数,p k ，使不等式1n T 对一切*n N ∈都成立？若存在，求出,p k 的值；若不存在，说明理由．13．（四川省攀枝花市2019届高三第二次统一考试数学理）[选修4-5：不等式选讲] 已知函数()ln(3121)f x x x =---+. （I ）求函数()f x 的定义域D ；（II ）证明：当,a b D ∈时，|||1|a b ab +<+.14．（广西壮族自治区柳州市2019届高三毕业班3月模拟考试数学理）选修4-5：不等式选讲 （1）如果关于x 的不等式15x x m ++-≤无解，求实数m 的取值范围； （2）若,a b 为不相等的正数，求证：0a b b a a b a b ->.15．（黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三第一次模拟考试（内考)数学理）《选修4-5：不等式选讲》 设,,0a b c >，且1ab bc ca ++=.求证：（1）a b c ++≥（23()b c a b c ac ab.16．（江西省重点中学盟校2019届高三第一次联考数学理）若关于x 的不等式22210x x t +---≥在实数范围内有解.（1）求实数t 的取值范围；（2）若实数t 的最大值为a ，且正实数mn p ，，满足23m n p a ++=，求证：123m p n p+++≥. 17．（2019年四川省达州市高考理科数学一诊）设函数()223f x x x =++-．()1解不等式：()7f x ≥；()2记函数()f x 的最小值为a ，已知0m >，0n >，且2m n a +=，求证：122mn+≥．18．（广东省广雅中学、执信、六中、深外四校2020届高三8月开学联考数学理）已知a ，b ，c +∈R ，满足1abc =． （1）求证：()2333a b c a b c bc ac ab++≥++； （2）求证：()()()22211132a b c b a c c a b ++≥+++．19．（江苏省徐州市2018-2019学年高三考前模拟检测）选修4-2：不等式选讲 设正数,,a b c 满足1a b c ++=，求证：32a b c b c c a a b ++≥+++. 20．（湖南省衡阳市2019届高三第三次联考三模（理）已知不等式2231x x -->的解集为 A ． （1）求A ；（2）若,m n A ∈，且4m n +=．证明：22811n m m n +≥--21．（江苏省苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查（二)数学试题含附加题）已知正数a ，b ，c 满足a ＋b＋c ＝2，求证：2221a b c b c c a a b++≥+++．22．（陕西省西安地区陕师大附中、西安高级中学等八校2019届高三4月联考数学理）已知,a b 均为实数，且3410a b += .（Ⅰ）求22a b +的最小值；（Ⅱ）若2232x x a b +--≤+对任意的,a b ∈R 恒成立，求实数x 的取值范围. 23．（安徽省江淮十校2019届高三第三次联考理）已知函数()|2|f x x a a =-+.（1）若对任意的[2,3]x ∈-，恒有()6f x 成立，求实数a 的取值范围；（2）设()|2|g x x b =+，且0a >，0b >时函数()()yf xg x 的最小值为3，求2242a b b a+的最小值. 24．（江苏省南通市2019届高三下学期4月阶段测试）已知,,a b c 均为正数，且243a b c ++=，求111111a b c +++++的最小值，并指出取得最小值时,,a b c 的值． 25．（贵州省2019年普通高等学校招生适应性考试理）已知函数()54f x x x =+--. （1）解关于x 的不等式()1f x x ≥+；（2）若函数()f x 的最大值为M ，设a ，b 为正实数，且()()11a b M ++=，求ab 的最大值. 26．（辽宁省凌源市2019届高三第一次联合模拟考试数学理）已知函数4,()f x x a x a R =-+∈． (Ⅰ)若不等式2()f x a ≥对x R ∀∈恒成立，求实数a 的取值范围；(Ⅱ)设实数m 为(Ⅰ)中a 的最大值，若实数,,x y z 满足42x y z m ++=，求222()x y y z +++的最小值． 27．（山东省潍坊市2019届高三下学期高考模拟一模考试数学理）已知函数()121f x x x =--+的最大值为t .（1）求实数t 的值；（2）若()()21g x f x x =++，设0m >，0n >，且满足112t m n+=，求证：(2)(2)2g m g n ++≥.专题70 不等式的证明、柯西不等式与均值不等式1．（广西桂林市，贺州市，崇左市2019年高三下学期3月联合调研考试数学理）选修4-5：不等式选讲 设函数22()|||2|(,)f x x a x b a b R =-++∈. （1）若1a =，0b =，求()2f x ≥的解集； （2）若()f x 的最小值为8，求2+a b 的最大值. 【答案】（1）13(,][,)22x ∈-∞-⋃+∞；（2）【解析】（1）因为1a =，0b =，所以()1f x x x =-+， 当0x <时，1122x x x --≥⇒≤-，∴12x ≤-.当01x ≤<时，12x x x φ-+≥⇒∈； 当1x ≥时，3122x x x -+≥⇒≥，∴32x ≥.综上所述：][13,,22x ⎛⎫∈-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭. （2）∵2222222228x a x b x a x b a b -++≥---=+=， 又根据柯西不等式知2a b +≤=a b =时取等号），故2+ab 的最大值为2．（天津市耀华中学2019届高三第二次校模拟考试数学理）已知数列{}n a 的前n 项和是()*n S n N ∈，11a=且1102n n n S S a -⋅+= （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式 （Ⅱ）求证：对任意的*n N ∈，不等式231111111n S S S +⋅>---【答案】（Ⅰ）()()2,221231,1n n n n a n -⎧≥⎪--=⎨⎪=⎩；（Ⅱ）见解析.【解析】（Ⅰ）∵11a =且1102n n n S S a -⋅+=，即()()111022n n n n S S S S n --⋅+-=≥ 112n n n n S S S S --⋅=-两边同除以1n n S S -⋅得1112n n S S -=- ∴数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，以2为公差的等差数列． ∴()112121n n n S =+-=-，∴121n S n =-， 当1n =时，11a =当2n ≥时，()()()1112212112123n n n a S S n n n n --=-=-=----- ∴()()2,221231,1n n n n a n -⎧≥⎪--=⎨⎪=⎩．（Ⅱ）112112n n S n++=- 设数列{}n c 的前n项积为n T =，则)12n n n T c n T -==≥ 经检验1n =时也成立要证不等式231111111n S SS +⋅>---只需证不等式212n n +>两边平方即为2244114n n n n n+++>即证2244144n n n n ++>+，显然成立． 3．（山东省威海市2019届高三二模考试数学理）已知正实数,a b 满足2ab +=.(Ⅰ)(Ⅱ) 若对任意正实数,a b ，不等式|1||3|x x ab +--≥恒成立，求实数x 的取值范围.【答案】(Ⅰ)见解析.(Ⅱ) 3[,)2+∞. 【解析】(Ⅰ)22()262()212a b a b =+++≤+++=(Ⅱ)对正实数,a b 有2a b ab +，所以2≤，解得1ab ≤，当且仅当a b =时等号成立． 因为对任意正实数,a b ，|1||3|x x ab +--≥恒成立， 所以|1||3|1x x +--≥恒成立．当1x ≤-时，不等式化为1(3)1x x ----≥，整理得41-≥，所以不等式无解； 当13x时，不等式化为1(3)1x x +--≥，解得332x ≤≤；当3x ≥时，不等式化为1(3)1x x +--≥，整理得41≥，不等式恒成立． 综上可得x 的取值范围是3[,)2+∞．4．（天津市2019年3月九校联考高三数学理）已知数列{}n a 是公比为12的等比数列，且21a -是1a 与31a +的等比中项，其前n 项和为n S ；数列{}n b 是等差数列，18b =，其前n 项和n T 满足1n n T n b λ+=⋅(λ为常数，且1λ≠).(1)求数列{}n a 的通项公式及λ的值； (2)设11nn k kC T ==∑.求证：当*n N ∈时，14nn C S ≤. 【答案】(Ⅰ)12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，12λ=；(Ⅱ)证明见解析.【解析】(Ⅰ)由题意可得()()221311a a a -=+，即2111111124a a a ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得112a =，故数列的通项公式为12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭. ()()1223188822162828n T b d b n T b d d d λλλλλ⎧⎧==+=⎧⎪⎪⇒⇒⇒=⎨⎨⎨=+=+⎪⎩⎩⎪=⎩. (Ⅱ)结合(Ⅰ)的结果可知：()()188412n n n n T n b n n λ++=⋅==+，则111141n T n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭， 121111111111114223141n n C T T T n n ⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 1111442nn S ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，14nn C S 1111114142nn ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⇔-- ⎪ ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭12n n ⇔+， 当n =1时，21n n =+；当n >1时，()01211111nn nn n n C C C n n =+=+++=+++>+.故题中的结论成立.5．（山西省太原市2019届高三模拟试题一理）已知函数()|21|2|1|f x x x =-++. （1）求不等式()5f x 的解集；（2）若存在实数0x ，使得()205f x m m +-成立的m 的最大值为M ，且实数a ，b 满足33a b M +=，证明：02a b <+. 【答案】(1) 3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(2)见证明 【解析】 （1）解：()21215f x x x =-++≤，15122x x ∴-++≤， 由绝对值得几何意义可得32x =-和1x =上述不等式中的等号成立，∴不等式()5f x ≤的解集为3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）由绝对值得几何意义易得()1212f x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭的最小值为3， 235m m ∴≤+-，12m ∴-≤≤，2M ∴=，332a b ∴+=，()()33222a b a b a ab b =+=+-+，220a ab b -+≥，0a b ∴+>，222ab a b ≤+，()24ab a b ∴≤+，()24a b ab +∴≤，332a b =+ ()()22a b a ab b =+-+ ()()23a b a b ab ⎡⎤=++-⎣⎦ ()314a b ≥+， 2a b ∴+≤，02a b ∴<+≤6．（河南省濮阳市2019届高三第二次模拟考试数学理）已知函数12()ln x e f x x xλλ-=-.（Ⅰ）当12λλ=时，讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）当11λ=，20λ=时，()nf m e =，其中,(0,)m n ∈+∞，证明：20m n -<.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析 【解析】（Ⅰ）依题意，()0,x ∈+∞，()()()()111221'x x xxe e x ef x x xx λλλ----=-=.当11λ≤时，10xe λ->.所以当()0,1x ∈时，()'0f x <，当()1,x ∈+∞时，()'0f x >. 所以函数()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增. 当11λ>时，令()'0f x =，解得1x =或1ln x λ=.若1e λ=，则()'0f x ≥，所以函数()f x 在()0,+∞上单调递增； 若11e λ<<，则1ln 1λ<，所以当()10,ln x λ∈时，()'0f x >，当()1ln ,1x λ∈时，()'0f x <，当()1,x ∈+∞时，()'0f x >，所以函数()f x 在()10,ln λ和()1,+∞上单调递增，在()1ln ,1λ上单调递减； 若1e λ>，则1ln 1λ>，所以当()0,1x ∈时，()'0f x >，当()11,ln x λ∈时，()'0f x <，当()1ln ,x λ∈+∞时，()'0f x >，所以函数()f x 在()0,1和()1ln ,λ+∞上单调递增，在()11,ln λ上单调递减.（Ⅱ）依题意，得()1x e f x x-=，所以1m n e e m -=.要证20m n -<，即证12n m >，即证2m n e e >，即证21mm e e m->,即证210m m e me -->，所以只需证0m >时，210mm e me -->成立即可. 令()21xx h x e xe=--，则()22=12xx x h x e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.令()212xx g x e =--，则()211'0(0)22xg x e x =->>.所以()g x 在()0,+∞上单调递增.所以()()00g x g >=，即2102xxe -->，所以()22'102x xx h x e e ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭.所以()h x 在()0,+∞上单调递增.所以()()00h x h >=， 所以210mm e me -->，即20m n -<.7．（川省华文大教育联盟2019届高三第二次质量检测考试数学理）已知函数()2121f x x x =++-，且不等式()4f x ≤的解集为M. (1)求M ；(2)若,x M y M ∈∈，求证：111x yy x+≤++． 【答案】（1）[]1,1-；（2）见解析【解析】（1）解：当12x -时，不等式()4f x 变为21124x x --+-≤， 解得1-x ，此时1x -12-.当1122x -<时，不等式()4f x 变为21124x x ++-≤，此不等式恒成立，此时1122x-<.||||x y 当12x >时，不等式()4f x 变为21214x x ++-≤，解得1x ，此时112x <，综上，不等式的解集M 是[]1,1-；（2）证明：由题意，得[1,1],[1,1]x y ∈-∈-，则0||1,0||1x y ， 设||||x y ，||||||||||||1||11||1||1||1||1||1||x y x y x y y y x y y y y ++++==++++++故111x y yx+≤++8．（东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019届高三第一次模拟数学理）选修4-5：不等式选讲已知函数()|4|||,f x x a x a R =-+∈.（1）若不等式2()f x a ≥对x R ∀∈恒成立，求实数a 的取值范围；（2）设实数m 为（1）中a 的最大值，若实数,,x y z 满足42x y z m ++=，求222()x y y z +++的最小值.【答案】（1）44a -≤≤ ；（2）1621【解析】（1）因为函数()4f x x a x =-+244x a x a a ≥--=≥恒成立，解得44a -≤≤ ；（2）由第一问可知4m =，即4244()24x y z x y y z ++=⇒+-+= 由柯西不等式可得：2222222[4()2][4(2)1][()]x y y z x y y z +-+≤+-+⋅+++化简：2221621[()]x y y z ≤⨯+++即22216()21x y y z +++≥当且紧当：421x y y z+==-时取等号， 故最小值为1621．9．（重庆市南开中学2019届高三第三次教学质量检测考试数学理）已知函数()2145f x x x =++-的最小值为M . （1）求M ；（2）若正实数a ，b ，c 满足a b c M ++=，求证：2222227a b a c b cc b a+++++≥.【答案】（1）72；（2）详见解析. 【解析】解：（1）()146,21562,24564,4x x f x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=--≤<⎨⎪⎪-≥⎪⎩，由于函数y=146,2x x -<-,是减函数，y=1562,24x x --≤<,是减函数，y=564,4x x -≥，是增函数， 故当54x =时，()f x 取得最小值72M =.（2）222222222a b a c b c ab ac bcc b a c b a +++++≥++b c a c a b a b c c b c a b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()27a b c ≥++=.10．（广西南宁市2019届高三毕业班第一次适应性测试数学理）已知函数f （x ）＝|ax ﹣1|﹣|2x +a |的图象如图所示． （1）求a 的值；（2）设g（x）＝f（x1 2 +）+f（x﹣1），g（x）的最大值为t，若正数m，n满足m+n＝t，证明：49256m n+≥．【答案】（1）2a=；（2）见解析【解析】（1）解：由()01f=-，得11a-=-，即2a=±.由()13f-=，得123a a+--=，所以2a=.（2）证明：由（1）知()2122f x x x=--+，所以()()1123232g x f x f x x x⎛⎫=++-=--+⎪⎝⎭36,2334,2236,2xx xx⎧≤-⎪⎪⎪=--<≤⎨⎪⎪->⎪⎩，显然()g x的最大值为6，即6t=.因为6(0,0)m n m n+=>>，所以()491491491366n mm nm n m n m n⎛⎫⎛⎫+=++=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为4949212n m n mm n m n+≥⋅=（当且仅当125m=，185n=时取等号），所以()49125131266m n+≥⨯+=.11．（河南省顶级名校2018－2019年度高三第四次联合质量测评数学理）设不等式2124x x-++<的解集为M．(1)求集合M；(2)已知,a b M ∈，求证：()1a b ab -<-． 【答案】（1）{|11}x x -<<（2）见解析 【解析】（1）原不等式等价于122124x x x ⎧≥⎪⎨⎪-++<⎩或1221224x x x ⎧-<<⎪⎨⎪-++<⎩或21224x x x ≤-⎧⎨---<⎩ 解得：112x ≤<或112x -<< 所以原不等式的解集为{}11x x -<<（2）由（1）知，当,a b M ∈时，11a -<<，11b -<< 所以21a <，21b <从而()()()()2222222211110a b ab a b a b a b---=+--=--<可得1a b ab -<-12．（北京市顺义区2019届高三第二次统练数学理）在数列{}n a 中，若221n n a a D --=（2n ≥，*n N ∈，D 为常数），则称{}n a 为“平方等差数列”． （Ⅰ）若数列{}n b 是“平方等差数列”，121,2b b ==，写出34,b b 的值； （Ⅱ）如果一个公比为q 的等比数列为“平方等差数列”，求证：1q =±； （Ⅲ）若一个“平方等差数列”{}n c满足122,0n c c c ==>，设数列1n c ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ．是否存在正整数,p k，使不等式1n T 对一切*n N ∈都成立？若存在，求出,p k 的值；若不存在，说明理由．【答案】（Ⅰ）34b b ==Ⅱ）见解析（Ⅲ）1p k == 【解析】（Ⅰ）由{}n b 是“平方等差数列”，121,2b b == 22213D ⇒=-=于是2232437b b D =+=+=，22437310b b D =+=+=所以34b b ==（Ⅱ）设数列{}n a 是等比数列，所以11n n a a q -=（q 为公比且0q ≠）则22221n n a a q-= 若{}n a 为“平方等差数列”，则有()()22222222242211111n n n n n a a a qa q a qqD -----=-=-=因为D 为与n 无关的常数，所以21q = 即1q =±（Ⅲ）因为数列{}n c 是“平方等差数列”，122,0n c c c ==>则4D =，()()22114414n c c n D n n =+-=+-= n c ⇒=所以数列1n c ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和1...2n T =+假设存在正整数,p k 使不等式112n +>⎪⎭对一切*n N ∈都成立，即)21n+++>当1n =时，)121> 94p k ⇒+<又,p k 为正整数 1p k ⇒==) (21)++>对一切*n N ∈都成立()*2n N =>=∈所以：))...21 (2)1⎡⎤++>+++=⎣⎦所以存在1p k ==使不等式1n T 对一切*n N ∈都成立13．（四川省攀枝花市2019届高三第二次统一考试数学理）[选修4-5：不等式选讲] 已知函数()ln(3121)f x x x =---+. （I ）求函数()f x 的定义域D ；（II ）证明：当,a b D ∈时，|||1|a b ab +<+. 【答案】（Ⅰ）()1,1- （Ⅱ）见证明 【解析】（Ⅰ）由31210x x ---+> 1213x x ⇒-++<1233x x ⎧≤-⎪⇒⎨⎪-<⎩或11223x x ⎧-<≤⎪⎨⎪+<⎩或133x x >⎧⎨<⎩ 112x ⇒-<≤-或112x -<<或x φ∈ 11x ⇒-<<所以函数()f x 的定义域D 为()1,1-． （Ⅱ）法一：()()()()222222221111a bab a b a b a b +-+=+--=--因为,a b D ∈，所以21a <，21b <． 故()()2210a bab +-+<，即()()221a b ab +<+所以1a b ab +<+．法二：当(),1,1a b D ∈=-时， ∴21a <，21b < ∴()()22110a b--<，即 22221ab a b +<+，∴()()2211a b ab a b ab +<+⇒+<+．14．（广西壮族自治区柳州市2019届高三毕业班3月模拟考试数学理）选修4-5：不等式选讲 （1）如果关于x 的不等式15x x m ++-≤无解，求实数m 的取值范围； （2）若,a b 为不相等的正数，求证：0a b b a a b a b ->. 【答案】（1）(),6∞-；（2）见解析 【解析】（1）令15y x x =++-= 24,16,1524,5x x x x x -+≤-⎧⎪-<<⎨⎪-≥⎩，则当1x ≤-时，6y ≥；当15x -<<时，6y =；当5x ≥时，6y ≥，综上可得6y ≥，即156x x ++-≥． 故要使不等式15x x m ++-≤的解集是空集， 则有6m <，所以实数m 的取值范围为(),6∞-． （2）证明：由,a b 为不相等的正数， 要证0a b b a a b a b ->，即证a b b a a b a b >， 只需证1a b b aab-->，整理得1a ba b -⎛⎫> ⎪⎝⎭，①当a b >时，0,1a a b b ->>，可得1a ba b -⎛⎫> ⎪⎝⎭，②当a b <时，0,01a a b b -<<<，可得1a ba b -⎛⎫> ⎪⎝⎭，综上可得当,a b 均为正数时1a ba b -⎛⎫> ⎪⎝⎭，从而0a b b a a b a b ->成立．15．（黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三第一次模拟考试（内考)数学理）《选修4-5：不等式选讲》 设,,0a b c >，且1ab bc ca ++=.求证：（1）a b c ++≥（23()b c a b c ac ab.【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】（1）要证a b c ++≥,,0a b c >，因此只需证明()23a b c ++≥.即证：()22223a b c ab bc ca +++++≥，而1ab bc ca ++=， 故需证明：()22223a b c ab bc ca +++++≥ ()ab bc ca ++.即证：222a b c ab bc ca ++≥++.而这可以由ab bc ca ++≤ 222222222a b b c c a +++++= 222a b c ++（当且仅当a b c ==时等号成立）证得.∴原不等式成立.（2=.由于（1）中已证a b c ++≥≥.即证1，即证ab bc ca ≤++.而2ab ac+=≤，2ab bc +≤，2bc ca+≤.∴≤ ab bc ca ++（a b c ===时等号成立）.∴原不等式成立. 16．（江西省重点中学盟校2019届高三第一次联考数学理）若关于x 的不等式22210x x t +---≥在实数范围内有解.（1）求实数t 的取值范围；（2）若实数t 的最大值为a ，且正实数mn p ，，满足23m n p a ++=，求证：123m p n p+++≥. 【答案】（Ⅰ） 3t ≤ （Ⅱ）见证明 【解析】解：（Ⅰ）因为22210x x t +---≥所以2221x x t +--≥ 又因为()222122213x x x x +--≤+--= 所以3t ≤（Ⅱ）由（1）可知，3a =,则方法一：()()1211422322m p n p m p n p m p n p ⎛⎫⎡⎤+=++++ ⎪⎣⎦++++⎝⎭()41221141433223m p n p m p n p ⎛⎡⎤++ =+++≥++=⎢⎥ ++⎣⎦⎝ 123m p n p∴+≥++ 方法二：利用柯西不等式()()1211422322m p n p m p n p m p n p ⎛⎫⎡⎤+=++++ ⎪⎣⎦++++⎝⎭2133≥= 123m p n p∴+≥++ 17．（2019年四川省达州市高考理科数学一诊）设函数()223f x x x =++-．()1解不等式：()7f x ≥；()2记函数()f x 的最小值为a ，已知0m >，0n >，且2m n a +=，求证：122mn+≥．【答案】（1）][(),22,-∞-⋃+∞；（2）见解析 【解析】 解：()()1223f x x x =++-，()311513313x x f x x x x x -+<-⎧⎪∴=+-≤≤⎨⎪->⎩，①当1x <-时，不等式()7f x ≥即为317x -+≥，解得，2x ≤-，②当13x -≤≤时，不等式()7f x ≥即为57x +≥，解得23x ≤≤， ③当3x >时，不等式()7f x ≥即为317x -≥，解得3x >综上所述，不等式()7f x ≥的解集为][(),22,-∞-⋃+∞()2证明：由()1可知，4a =，24m n ∴+=，即214m n+=，()121121412442444m n m n m n m n n m ⎛⎛⎫⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，即122m n+≥． 18．（广东省广雅中学、执信、六中、深外四校2020届高三8月开学联考数学理）已知a ，b ，c +∈R ，满足1abc =． （1）求证：()2333a b c a b c bc ac ab++≥++； （2）求证：()()()22211132a b c b a c c a b ++≥+++．【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】（1）左边()2223a b c =++由柯西不等式得：()()()2222111a b c a b c ++++≥++⋅（取等号的条件是a b c ==），即所以()2333a b c a b c bc ac ab++≥++，原不等式得证。
高考常用不等式
高考常用不等式
高考常用不等式是指在高考数学中常常出现的不等式。
这些不等式不仅在解题过程中有很大的用处，而且也对学生掌握数学知识有很大的帮助。
以下是一些高考常用不等式：
1、均值不等式：对于任意正实数a1,a2,...,an，有以下不等式成立：
其中，a1,a2,...,an的算术平均数为
2、柯西不等式：对于任意两个向量x=(x1,x2,...,xn)和
y=(y1,y2,...,yn)，有以下不等式成立：
其中，x和y的内积为
3、三角不等式：对于任意两个实数x和y，有以下不等式成立：
其中，|x|表示x的绝对值。
4、AM-GM不等式：对于任意n个正实数a1,a2,...,an，有以下不等式成立：
其中，a1,a2,...,an的几何平均数为
5、洛必达法则：对于两个函数f(x)和g(x)，若存在极限
则有以下不等式成立：
以上是高考常用不等式的一些例子。
在高考数学中，学生需要掌握这些不等式的使用方法，以便在解题过程中能够熟练运用。
同时，学生还需要理解这些不等式的证明过程，以提高自己的数学素养。
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(完整版)均值不等式高考一轮复习(教师总结含历年高考真题)
基础篇一、单变量部分1、 求)0(1>+=x xx y 最小值及对应的x 值答案当x=1最小值2 2、 2、（添负号）求)0(1<+=x xx y 最大值-23、（添系数）求)31,0()31(∈-=x x x y 最大值1214、（添项）求)2(24>-+=x x x y 最小值65、（添根号）02>≥x 求24x x y -=最大值26、（取倒数或除分子）求)0(12>+=x x x y 最大值217、（换元法）求)1(132>-+=x xxx y 最大值-9 8、（换元法）求)2(522->++=x x x y 最大值42二、多变量部分1、（凑系数或消元法）已知041>>a ，b>0且4a+b=1求ab 最大值161 2、（乘“1”法或拆“1”法）已知x>0,y>0，x+y=1求yx 94+最小值25 3、（放缩法）已知正数a ，b 满足ab=a+b+3则求ab 范围),9[+∞ 三、均值+解不等式1. 若正数a,b 满足ab=a+2b+6则ab 的取值范围是______),18[+∞_________2、已知x>0,y>0, x+2y+2xy=8则x+2y 的最小值__________4__________ 练习1. 已知x>0，y>0，且182=+yx 则xy 的最小值_______64_______ 2.)0(1324>++=k kk y 最小值_________2_________ 3. 设0≥a ，0≥b ，1222=+b a ，则21b a +的最大值为_________423_________4. 已知45<x ，求函数54124-+-=x x y 的最大值________1________ 5. 已知x>0,y>0且191=+yx 求x+y 的最小值______16__________ 6. 已知)0,0(232>>=+y x yx 则xy 的最小值是___6_____ 7. 已知a>0,b>0,a+b=2，则b a y 41+=的最小值______29________ 8. 已知+∈R y x ,且满足143=+yx 则xy 的最大值________3_______11、已知x>0,y>0,z>0,x-y+2z=0,则2y xz=_____________D_______ A 、最小值8 B 、最大值8C 、最小值81D 、最大值81注:消y12、设R y x ∈,则)41(12222y xy x +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+的最小值是_______9_________ 13、若R b a ∈,,且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是（D ）A 、ab b a 222>+ B 、ab b a 2≥+C 、abb a 211>+ D 、2≥+b a a b 14、若a,b,c,d,x,y 是正实数，且cd ab +=P ，ydx b cy ax Q +⋅+=则有（C ）A 、P=QB 、Q P ≥C 、Q P ≤D 、P>Q15、已知25≥x 则4254)(2-+-=x x x x f 有（D ）A 、有最大值45 B 、有最小值45 C 、最大值1 D 、最小值116、建造一个容积为83m ，深为2m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低总造价为1760元 17、函数y=x(3-2x))10(≤≤x 的最大值为89 18、函数1)(+=x xx f 的最大值是（C ）A 、52B 、21C 、22D 、119、已知正数x,y 满足141=+yx 则xy 有（C ）A 、最小值161B 、最大值16C 、最小值16D 、最大值16120、若-4<x<1，则当22222-+-x x x 取最大值时，x 的值为（A ）A 、-3B 、-2C 、-1D 、021、若122=+yx ，则x+y 的取值范围是（D ） A 、[0,2] B 、[-2,0] C 、),2[+∞- D 、]2,(--∞22、某商场中秋前30天月饼销售总量f(t)与时间t(300≤<t )的关系大致满足1610)(2++=t t t f 则该商场前t 天月饼的平均销售量最少为18 23、已知点P （x,y ）在直线x+3y-2=0上，那么代数式yx273+的最小值是6提高篇一、函数与均值 1、)2(21>-+=a a a m ,)0(2122<⎪⎭⎫ ⎝⎛=-x n x 则m,n 之间关系_____m ≥n______________2、 设x ≥0,x x P -+=22,2)cos (sin x x Q +=则（ C ） A 、Q P ≥ B 、Q P ≤ C 、P>Q D 、P<Q3、已知函数()x a x f 21+-=若()02≥+x x f 在()+∞,0上恒成立，则a 的取值范围是__),41[)0,(+∞⋃-∞_4、若对任意x>0,a x x x≤++132恒成立，则a 的取值范围是_______51≥a ____________5、函数xxxy 2log 2log +=的值域_______),3[]1,(+∞⋃--∞___________ 6、设a,b,c 都是正实数，且a,b 满足191=+ba 则使cb a ≥+恒成立的c 的取值范围是_D__A 、]8,0(B 、（0,10] C(0,12] D 、（0,16] 7、已知函数())1,0(log 1)1(≠>+=-a a ax f x 的图象恒过定点P ，又点P的坐标满足方程mx+ny=1,则mn 的最大值为_________81_____________ 8、已知函数()()),0(22+∞∈++=x xax x x f⑴当21=a 时，求f(x)的最小值答案：22+⑵若对任意),0(+∞∈x ，f(x)>6恒成立，求正实数a 的取值范围___a>4__ 9、0)1(42>-++x k x 对]3,1[∈x 恒成立，求k 的范围 10、若a+b=2则ba33+的最小值为______6___________11、设x,y,z 均为大于1的实数，且z 为x 和y 的等比中项，则yzx z lg lg lg 4lg +的最小值为A A 、89 B 、49 C 、29D 、9 12、已知a>1，b>1，且lga+lgb=6，则b a lg lg ⋅的最大值为（B ）A 、6B 、9C 、12D 、1813、R y x ∈,且x+y=5,则yx33+的最小值为（D ） A 、10 B 、36 C 、64 D 、31814、设a>0,b>0,若3是a 3与b3的等比中项，则ba 11+的最小值为（B ） A 、8 B 、4 C 、1 D 、4115、函数)1,0(1≠>=-a a ay x的图象恒过点A ，若点A 在直线mx+ny-1=0（mn>0）上，则nm 11+的最小值为4 16、当x>1时，不等式a x x ≥-+11恒成立，则实数a 的取值范围是（D ）A 、]2,(-∞B 、),2[+∞C 、),3[+∞D 、]3,(-∞17、函数)1,0(1)3(log ≠>-+=a a x y a 的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx+ny+2=0上，其中m>0,n>0,则nm 12+的最小值为（D ） A 、22 B 、4 C 、25 D 、29二、数列与均值1、已知x>0,y>0，x,a,b,y成等差数列，x,c,d,y成等比数列，则cdba2）（+的最小值是__4_2、已知等比数列{a n}中a2=1，则其前3项的和S3的取值范围是。
近五年(2017-2021)高考数学真题分类汇编14 不等式选讲【含答案】
又 在 的最小值必为 与 之一，所以 且 ，得 .
所以 的取值范围为 .
小结:形如 (或 )型的不等式主要有两种解法：
(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为 ， ， (此处设 )三个部分，将每部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．
（2）依题意可得m≤[f（x）﹣x2+x]max，设g（x）＝f（x）﹣x2+x，分x≤1、﹣1＜x＜2、x≥2三类讨论，可求得g（x）max ，从而可得m的取值范围．
【解析】
解：（1）∵f（x）＝|x+1|﹣|x﹣2| ，f（x）≥1，
∴当﹣1≤x≤2时，2x﹣1≥1，解得1≤x≤2；
当x＞2时，3≥1恒成立，故x＞2；
【解析】
（1）当 时， .
当 时， ，解得： ；
当 时， ，无解；
当 时， ，解得： ；
综上所述： 的解集为 或 .
（2） （当且仅当 时取等号），
，解得： 或 ，
的取值范围为 .
【小结】
本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型.
4．（1）解析解析；（2） .
【分析】
【解析】
（1）
当且仅当 时取等号
，即：
（2） ，当且仅当 时取等号
又 ， ， （当且仅当 时等号同时成立）
又
【小结】
本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生对于基本不等式的变形和应用能力，需要注意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立.
9．4
【解析】
分析：根据柯西不等式 可得结果.
（2）若不等 的解集包含[–1，1]，求 的取值范围．
02柯西不等式与平均值不等式(含经典例题+答案)
柯西不等式与平均值不等式一、比较法1．求差比较法知道a ＞b ⇔a －b ＞0，a ＜b ⇔a －b ＜0，因此要证明a ＞b ，只要证明a －b ＞0即可，这种方法称为求差比较法．2．求商比较法由a ＞b ＞0⇔a b ＞1且a ＞0，b ＞0，因此当a ＞0，b ＞0时要证明a ＞b ，只要证明1a b即可，这种方法称为求商比较法．二、分析法从所要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实，从而得出要证的命题成立，这种证明方法称为分析法，即“执果索因”的证明方法．三、综合法从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理，论证而得出命题成立，这种证明方法称为综合法即“由因寻果”的方法．四、放缩法在证明不等式时，有时我们要把所证不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的．这种方法称为放缩法．五、反证法的步骤1．作出否定结论的假设；2．进行推理，导出 矛盾；3．否定假设，肯定结论．六、柯西不等式的二维形式1．柯西不等式的代数形式：设a ，b ，c ，d 都是实数，则(a 2＋b 2).(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd)2，其中等号当且仅当a 1b 2＝a 2b 1时成立．2．柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反时成立．3．二维形式的三角不等式：设x 1，y 1，x 2，y 2∈R ，那么x 21＋y 21＋x 22＋y 22≥(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2七、柯西不等式的一般形式柯西不等式的一般形式：设a 1，a 2，…，a n ，b 1，b 2，…b n 为实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )·(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2.八、基本不等式的一般形式a 1+ a 2+…a n n≥n (a 1+ a 2+...a n ) 例3：设n 是正整数，求证：12≤1＋1＋ (12)＜1.解：(1)由|2x －1|＜1，得－1＜2x －1＜1，解得0＜x ＜1，所以M ＝{x|0＜x ＜1}．(2)由(1)和a ，b ∈M 可知0＜a ＜1,0＜b ＜1.所以(ab ＋1)－(a ＋b)＝(a －1)(b －1)＞0, 故ab ＋1＞a ＋b. 本例条件不变，试比较logm(ab ＋1)与logm(a ＋b)(m ＞0且m≠1)的大小．解：∵0＜a ＜1,0＜b ＜1，∴(ab ＋1)－(a ＋b)＝(a －1)(b －1)＞0.故ab ＋1＞a ＋b.当m ＞1时，y ＝logmX 在(0，＋∞)上递增，∴logm(ab ＋1)＞logm(a ＋b)当0＜m ＜1时logmX 在(0，＋∞)上单调递减，∴logm(ab ＋1)＜logm(a ＋b)．例6：设a ＞b ＞0，求证：a2＋b 2＞a －b .例8：已知m ＞0，a ，b ∈R ，求证：a mb +⎛⎫ ⎪≤a 2＋mb 21＋m . 它的变形形式又有(a ＋b )2≥4ab ，a 2＋b 22≥22a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭等；(4)a ＋b 2≥ab (a ≥0，b ≥0)，它的变形形式又有a ＋1a ≥2 (a ＞0)，b a ＋a b ≥2(ab ＞0)，b a ＋a b≤－2(ab ＜0)等. 2．分析法证明不等式的注意事项：用分析法证明不等式时，不要把“逆求”错误地作为“逆推”，分析法的过程仅需要寻求充分条件即可，而不是充要条件，也就是说，分析法的思维是逆向思维，因此在证题时，应正确使用“要证”、“只需证”这样的连接“关键词”.例10：设m 是|a |，|b |和1中最大的一个，当|x |＞m 时，求证：⎪⎪⎪⎪a x ＋b x 2＜2. [证明]由已知m ≥|a |，m ≥|b |，m ≥1.又|x |＞m ，∴|x |＞|a |，|x |＞|b |，|x |＞1.∴⎪⎪⎪⎪a x ＋b x 2≤⎪⎪⎪⎪a x ＋⎪⎪⎪⎪b x 2＝|a ||x |＋|b ||x |2＜|x ||x |＋|x ||x |2＝1＋1|x |＜1＋|x ||x |＝2.∴|a x ＋b x2|＜2成立． 例11：已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，a ＋b ＞c .求证：a 1＋a ＋b 1＋b ＞c 1＋c. 证明：∵a ＞0，b ＞0，∴a 1＋a ＞a 1＋a ＋b ，b 1＋b ＞b 1＋a ＋b .∴a 1＋a ＋b 1＋b ＞a ＋b 1＋a ＋b. 而函数f (x )＝x 1＋x ＝1－11＋x 在(0，＋∞)上递增，且a ＋b ＞c ，∴f (a ＋b )＞f (c )，则a ＋b 1＋a ＋b >c 1＋c， 所以a 1＋a ＋b 1＋b >c 1＋c，则原不等式成立． 例12：求证：32－1n ＋1＜1＋122＋132＋…＋1n 2＜2－1n(n ≥2，n ∈N ＋)． 证明：∵k (k ＋1)＞k 2＞k (k －1)，k ≥2，∴1k (k ＋1)＜1k 2＜1k (k －1)，即1k －1k ＋1＜1k 2＜1k －1－1k ，分别令k ＝2,3，…，n 得12－13＜122＜1－12；13－14＜132＜12－13；…1n －1n ＋1＜1n 2＜1n －1－1n； 将上述不等式相加得：12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＜122＋132＋…＋1n 2＜1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n， 即12－1n ＋1＜122＋132＋…＋1n 2＜1－1n ，∴32－1n ＋1＜1＋122＋132＋…＋1n 2＜2－1n. (1)在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的推证技巧．“放”和“缩”的方向与“放”和“缩”的量的大小是由题目分析得出的．常见的放缩变换有变换分式的分子和分母，如1k 2＜1k (k －1)，1k 2＞1k (k ＋1)，1k ＜2k ＋k －1，1k ＞2k ＋k ＋1.上面不等式中k ∈N ＋，k ＞1.利用函数的单调性，真分数性质“若0＜a ＜b ，m ＞0，则a b ＜a ＋m b ＋m ”，添加或减少项，利用有界性等． (2)在用放缩法证明不等式时，“放”和“缩”均有一个度．例13：已知x ，y 均为正数，且x ＞y,2x ＋1x 2－2xy ＋y 2≥2y ＋3. 解：因为x ＞0，y ＞0，x －y ＞0，2x ＋1x 2－2xy ＋y 2－2y ＝2(x －y )＋1x －y 2＝(x －y )＋(x －y )＋1x －y 2≥33x －y 21x －y 2＝3，所以2x ＋1x 2－2xy ＋y 2≥2y ＋3. 例14：设a ，b ，c 为正实数，求证：1a 3＋1b 3＋1c3＋abc ≥2 3. 证明：因为a ，b ，c 为正实数，由平均不等式可得1a 3＋1b 3＋1c 3≥331a 3·1b 3·1c 3，即1a 3＋1b 3＋1c 3≥3abc. 所以1a 3＋1b 3＋1c 3＋abc ≥3abc ＋abc .而3abc ＋abc ≥2 3abc ·abc ＝2 3.所以1a 3＋1b 3＋1c3＋abc ≥2 3. 例15：若n 为大于1的自然数，求证：n n n ＋1＜n ＋1＋12＋13＋ (1). 证明：由柯西不等式右边＝1＋1＋1＋12＋1＋13＋…＋1＋1n ＝2＋32＋43＋54＋…＋n ＋1n ≥n ·n 2·32·43·…·n ＋1n＝n .n n ＋1＝左边．∵2≠32≠43，故不取等号．∴不等式n n n ＋1＜n ＋1＋12＋13＋ (1)成立． 例16：已知f (x )＝x 2＋px ＋q ，求证|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12.证明：假设|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|都小于12，则|f (1)|＋2|f (2)|＋|f (3)|＜2.而|f (1)|＋2|f (2)|＋|f (3)|≥|f (1)＋f (3)－2f (2)|＝|(1＋p ＋q )＋(9＋3p ＋q )－(8＋4p ＋2q )|＝2，与|f (1)|＋2|f (2)|＋|f (3)|＜2矛盾，∴|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12. 例17：设a 、b 、c 均为正数，求证：12a ＋12b ＋12c ≥1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b. 证明：∵a 、b 、c 均为正数，∴121122a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥12ab ≥1a ＋b，当a ＝b 时等号成立；12(12b ＋12c )≥12bc ≥1b ＋c ，当b ＝c 时等号成立；12(12c ＋12a )≥12ca ≥1c ＋a ，当a ＝c 时等号成立．三个不等式相加即得12a ＋12b ＋12c ≥1b ＋c ＋1c ＋a＋1a ＋b，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立． 例18：已知：a n ＝1×2＋2×3＋3×4＋…＋n n ＋1(n ∈N ＋)，求证：n n ＋12＜a n ＜n n ＋22. 证明：∵n n ＋1＝n 2＋n ，∴n n ＋1＞n ，∴a n ＝1×2＋2×3＋…＋n n ＋1＞1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12.∵n n ＋1＜n ＋n ＋12，∴a n ＜1＋22＋2＋32＋3＋42＋…＋n ＋n ＋12＝12＋(2＋3＋…＋n )＋n ＋12＝n n ＋22.综上得：n n ＋12＜a n ＜n n ＋22. 例19：设a ，b ，c 为正数且a ＋b ＋c ＝1，求证：21a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+21b b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+21c c ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥1003. 证明：21a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+21b b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+21c c ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝13(12＋12＋12)[21a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+21b b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+21c c ⎛⎫+ ⎪⎝⎭] ≥132111111a b c a b c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯++⨯++⨯+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦＝2111113a b c ⎡⎤⎛⎫+++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝()2111113a b c a b c ⎡⎤⎛⎫+++++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦≥13(1＋9)2＝1003. 例20：已知a ，b 为正实数．(1)求证：a 2b ＋b 2a ≥a ＋b ；(2)利用(1)的结论求函数y ＝1－x 2x＋x 21－x(0＜x ＜1)的最小值． 解：(1)证明：法一：∵a ＞0，b ＞0，∴(a ＋b )22a b b a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝a 2＋b 2＋a 3b ＋b 3a ≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2. ∴a 2b ＋b 2a≥a ＋b ，当且仅当a ＝b 时等号成立。
高考数学均值不等式专题含答案家教文理通用
高考：均值不等式专题◆知识梳理1．常见大体不等式2,0,a R a ∈≥0a ≥222()22a b a b ++≥， 222a b c ab bc ac ++≥++ 若a>b>0,m>0,则b b ma a m +<+； 若a,b 同号且a>b 则11a b<。
ab b a R b a 2,,22≥+∈则;.2,,22ab b a R b a -≥+∈2．均值不等式:两个正数的均值不等式：ab b a ≥+2 变形ab b a 2≥+，22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭,ab b a 222≥+等。
3．最值定理:设,0,x y x y >+≥由（1）若是x,y 是正数,且积(xy P =是定值）,则 时,x y +和有最小值（2）如果x,y 是正数和(x y S +=是定值）,则 时,22Sxy 积有最大值（）4．利用均值不等式可以证明不等式，求最值、取值范围，比较大小等。
注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；② 熟悉一个重要的不等式链：ba 112+2a b+≤≤≤222b a +。
◆课前热身1. 已知,x y R +∈，且41x y +=，则x y ⋅的最大值为 .2. 2. 若0,0x y >>1x y +=,则41x y+的最小值为 ． 3. 已知：0>>x y ，且1=xy ，则22x y x y+-的最小值是 .4. 4. 已知下列四个结论①当2lg 1lg ,10≥+≠>x x x x 时且；②02x >≥当时；③x x x 1,2+≥时当的最小值为2；④当xx x 1,20-≤<时无最大值. 则其中正确的个数为◆考点剖析 一、基础题型。
1.直接利用均值不等式求解最值。
例1：（2021年高考山东文科卷第14题）已知,x y R +∈，且知足134x y+=，则xy 的最大值为 。
专题3 柯西不等式(原卷+解析)-高考数学二轮复习
第3讲 柯西不等式知识与方法在求二元(或多元)代数式最值或者二元(或多元)不等式的证明的题目中,巧用柯西不等式会比较方便快捷. 二维形式:()()22222()a b c d ac bd +++,等号成立条件:a c ad bc b d ⎛⎫== ⎪⎝⎭.扩展:()()()222222222123123112233n nn n a a a a b b b b a b a b a b a b ++++++++++++等号成立条件:1122:::n n a b a b a b ===(当0i a =或0i b =时,i a 和i b 都等于0,不考虑:,1,2,3,,)i i a b i n =二维形式的证明:()()()2222,,,ab c d a b c d ++∈R22222222a c b d a d b c =+++2222222222a c abcd b d a d abcd b c =+++-+22()()ac bd ad bc =++- 2()ac bd +等号在且仅在0ad bc -=,即ad bc =时成立. 向量形式的证明: 令()()123123,,,,,,,,,n n a a a a b b b b ==m n112233cos ,n n a b a b a b a b ⋅=++++=m n m n m n2221cos ,n n a b b =++++m ncos ,1m n ,22222222112233123123n nn na b a b a b a b a a a a b b b b ∴++++++++++++. 典型例题【例1】 实数x y 、满足22326x y +=,则2x y +的最大值是【例2】 已知实数,x y 4=,则x y +的最小值是【例3】 函数y =,此时x =【例4】(1)证明柯西不等式:()()22222()a b cd ac bd +++;(2)若,a b +∈R 且1a b +=,的最大值.【例5】设,,x y z ∈R ,且1x y z ++=. (1)求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值;(2)若2221(2)(1)()3x y z a -+-+-成立,证明:3a -或1a -.强化训练1.已知定义域在R 上的函数()12f x x x =++-的最小值为a . (1)求a 的值;(2)若,,p q r 为正实数,且p q r a ++=,求证:2223p q r ++.2.设正数,,a b c 满足abc a b c =++,求证:4936ab bc ac ++,并给出等号成立条件.3.设,,,a b m n ∈R ,且225,5a b ma nb +=+=,的最小值为4.已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点,P 是它们的一个公共点.且123F PF π∠=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )C.3D.25. 设,,a b c 为互不相等的正整数,求证:221112323b c a ++++.第3讲 柯西不等式知识与方法在求二元(或多元)代数式最值或者二元(或多元)不等式的证明的题目中,巧用柯西不等式会比较方便快捷. 二维形式:()()22222()a b c d ac bd +++,等号成立条件:a c ad bc b d ⎛⎫== ⎪⎝⎭.扩展:()()()222222222123123112233n nn n aa a ab b b b a b a ba b a b ++++++++++++等号成立条件:1122:::n n a b a b a b ===(当0i a =或0i b =时,i a 和i b 都等于0,不考虑:,1,2,3,,)i i a b i n =二维形式的证明:()()()2222,,,ab c d a b c d ++∈R22222222a c b d a d b c =+++2222222222a c abcd b d a d abcd b c =+++-+22()()ac bd ad bc =++- 2()ac bd +等号在且仅在0ad bc -=,即ad bc =时成立. 向量形式的证明: 令()()123123,,,,,,,,,n n a a a a b b b b ==m n112233cos ,n n a b a b a b a b ⋅=++++=m n m n m n2221cos ,n n a b b =++++m ncos ,1m n ,22222222112233123123n nn na b a b a b a b a a a a b b b b ∴++++++++++++. 典型例题【例1】实数x y 、满足22326x y +=,则2x y +的最大值是 . 【解析】【解法1】由柯西不等式得()2224132(2)32x yx y ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭故211(2)6116x y +⨯= 211,x y ∴+2x y ∴+【解法2】万能k 法222,2,32(2)6x y k y k x x k x +==-+-=令()2222232446,118260x k kx x x kx k +-+=-+-=Δ0,1111.k -【解法3】2222326,1,23x y x y +=+= 令2x y z +=，直线20x y z +-=与椭圆相切时有最值由硬解定理（见圆锥曲线）得22430z ⨯+-=，z =【解法4】三角换元221,,,23x y x y αα+===令辅助角公式()αααϕ=+【例2】已知实数,x y 4=,则x y +的最小值是 . 【解析】【解法1】实数,x y 4=,由柯西不等式可得,()()2212311(2111),x y x +++++⨯+即44816x y ++,求得2x y +,2==时,取等号, 故x y +的最小值是2.【解法2】4=,2213,,22a b a b x y --====, 题目转换为4a b +=,求()22221312222a b a b --+=+-的最小值, 地位等价法,()22221312,2 2.222a b a b a b --==+=+-=【解法3】4=,2213,,,422a b a b x y a b --====+=,()22222131()2162222622222a b a b ab ab a b ab --+--+=+-=-=-=- 26 2.2a b +⎛⎫-= ⎪⎝⎭【答案】2.【例3】函数y =,此时x = .【解析】由柯西不等式得2222251(5211x ⎡⎤⎡⎤++-⎣⎦⎣⎦2269∴⨯,326x ∴,当且仅当1=,取等号,即25152x =时,取等号.【答案】25152. 【例4】(1)证明柯西不等式:()()22222()a b cd ac bd +++;(2)若,a b +∈R 且1a b +=,的最大值. 【解析】(1)证明:()()222222()()0,a b cd ac bd ad bc ++-+=-()()22222()a b c d ac bd ∴+++.(2)由柯西不等式可得()2222211(31a ⎡⎤++++⎣⎦.21,10,3a b a +=∴∴.【例5】设,,x y z ∈R ,且1x y z ++=. (1)求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值;(2)若2221(2)(1)()3x y z a -+-+-成立,证明:3a -或1a -. 【解析】(1),,x y z ∈R ,且1x y z ++=,由柯西不等式可得()222222111(1)(1)(1)x y z ⎡⎤++-++++⎣⎦2(111)4x y z -++++=,可得2224(1)(1)(1)3x y z -++++, 即有222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值为43. (2)证明：由1x y z ++=,柯西不等式可得()22222222111(2)(1)()(21)(2)x y z a x y z a a ⎡⎤++-+-+--+-+-=+⎣⎦,可得2222(2)(2)(1)()3a x y z a +-+-+-, 即有222(2)(1)()x y z a -+-+-的最小值为2(2)3a +,由题意可得2(2)133a +,解得1a -或3a -.强化训练1.已知定义域在R 上的函数()12f x x x =++-的最小值为a . (1)求a 的值;(2)若,,p q r 为正实数,且p q r a ++=,求证:2223p q r++.【解析】(1)解:()()12123x x x x ++-+--=,当且仅当12x -时,等号成立,()f x ∴的最小值为3,即3a =.(2)证明:由(1)知,3p q r ++=,又,,p q r 为正实数,∴由柯西不等式得,()()2222222111(111)pq r p q r ++++⨯+⨯+⨯22()39p q r =++==,即22p q +23r +2.设正数,,a b c 满足abc a b c =++,求证:4936ab bc ac ++,并给出等号成立条件.【解析】证明:正数,,a b c 满足111,1abc a b c ab bc ac =++∴++=,再由柯西不等式可得()211149(123)36ab bc ac ab bc ac ⎛⎫++++++=⎪⎝⎭,当且仅当231a b c ===、、时,取等号,故4936ab bc ac ++成立.3.设,,,a b m n ∈R ,且225,5a b ma nb +=+=,的最小值为.【解析】由柯西不等式得,()()22222()ma nb mn a b +++,()222225,5,5,ab ma nb m n m +=+=∴+∴4.已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点,P 是它们的一个公共点.且123F PF π∠=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )C.3D.2【解析】设椭圆的长半轴为a ,双曲线的实半轴为11,a a a >,半焦距为c ,由椭圆和双曲线的定义可知,设112212,,2PF r PF r F F c===,椭圆和双曲线的离心率分别为1212,,3e e F PF π∠=,∴由余弦定理可得()()222121242cos3c r r r r π=+-,(1)在椭圆中,(1)化简为即2212443c a r r =-,即122213114r r c e =-,(2)在双曲线中,(1)化简为即2211244c a r r =+,即12222114r r c e =-+,(3)联立(2)(3)得,2212134e e +=,由柯西不等式得22212121131113e e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,即21211443e e ⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭163=,即12111643e e +=,当且仅当12e e ==时取等号.故1211e e +最大值为. 【解法2】设椭圆的长半轴为1a ,双曲线的实半轴为112,a a a >,半焦距为c ,由椭圆和双曲线的定义可知,设112212,,2PF r PF r F F c===,椭圆和双曲线的离心率分别为1212,,3e e F PF π∠=,∴由余弦定理可得()()()()222221212121242cos3c r r r r r r r r π=+-=+-,由12112222r r a r r a +=⎧⎨-=⎩,得1121212121211,r a a a a r r a a e e c c =+⎧+∴+==⎨=-⎩,令221122222121222211144413124r r m c r r r r r rr r r r ====+-⎛⎫⎛⎫+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,当2112r r =时,1max?max?16,3r m c ⎛⎫=∴= ⎪⎝⎭, 即1211e e +的最大值为. 【解法3】设12,PF m PF n ==,则1222m n a m n a +=⎧⎨-=⎩,则12a a m+=,则121211a a m e e c c ++==,由正弦定理得()2sin60sin 120m c θ=-即()()2sin 12044120sin6033m c θθ-==-=. 【答案】A.5.设,,a bc 为互不相等的正整数,求证:221112323b ca ++++.【解析】证明:由柯西不等式可得211149b c a a b c ⎛⎛⎫⎛⎫++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭,即为21111112349b c a a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,当且仅当222149ab c ==,即有1,2,3a b c ===时,上式取得等号. 故不等式221112323b c a ++++成立.。
均值不等式【高考题】
利用一、求最值之杨若古兰创作直接求 例1、若x,y 是负数，则(x +1)2+(y +1)2的最小值是【】2y LXA.3B.7C .4D .922例2、设X ,”R ,a >1,b >1,若a x -b y -3,a +b =23,则1+1的最大值为【】xyA.2B.3C.1D.122练习1.若x >0，则x +2的最小值为.x练习2.设x ,y 为负数,则(x +y )(1+4)的最小值为【】xyA.6B.9C.12D 15练习3.若a >0,b >0,且函数f (x )-4x 3一ax 2-2bx +2在x -1处有极值，则ab 的最大值等于【】A.2B.3C.6D.9练习4.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，贝1J x -吨. 练习5.求以下函数的值域：（a +b ）2的最小值是【】cd A.0B.4C.2D.1 例3、已知a>0,b >0,c >0且a +b +c —1,则（1一1）（1一1）（1一1）最小值为【】abcA.5B.6C.7D.8凑系数例4、若x ,y e R +，且x +4y -1，则x .y 的最大值是. 练习1.已知x ,y E R +，且满足x +y =1，则孙的最大值为. 34练习2.当0<x <4时，求y -x (8-2x )的最大值.凑项例5、若函数f (x )-x +1(x >2)在x -a 处取最小值，则a -【】x -2⑴y-3x 2+2：2⑵ 练习6.已知x >0,y >0, 1 y -x + x x ,a ,b ,y 成等差数列，x , d ,y 成等比数列，则A-1+2B-1+3C-3D-4练习1.已知x <5，求函数尸4，一2+，的最大值.44%—5 练习2.函数，+%(%>3)的最小值为【】%—3A.2B.3C.4D.5练习3.函数2%2+3(%>0)的最小值为【】% A-艰BYCWD-微 两次用不等式例6、已知抽a +log b >1，贝I3a +9b 的最小值为 22例7、已知a >0,b >0，则1+1+2%a 的最小值是【】ab A-2B-2R C-4D-5例8、设a >b >c >0，则2a 2+L -10ac +25c 2的最小值是【aba (a -b ) A-2B-4C-2V 5D-5练习1.设a >b >0，A-1B-2C-3D-4 练习2.设a >b >0，则a 2+1的最小值是【】b (a —b )A-2B-3C-4D-5练习3.设a >b >0，则a +1的最小值是【】 十b (2a -b )A-33/2B-3<3C-232D-33/4222 练习4.设a >2b >0，则(a -b )2+9的最小值是-b (a-2b ) 换元例9、若%2+y 2二4,则％-y 的最大值是-练习1.设a ,b G R ,a 2+2b 2=6,则a +b 的最小值是【】 A--22B--52C--3D--732 例10、设%,y 是实数，且%2+y 2=4,则S =2%y 的最小值是【】%+y -2A --2B--、2C-2-2k D-2(<2+1)练习1.若%2+y2T 盯则最大值是%y —±,%+y -1 练习2.若0<a <1,0<%<y <1,且(log x )(log y )二1则冲【】aa 消元例11、设x ,y ,z 为正实数，满足%.2y +3z =0，则竺的最小值是. xz练习1.已知实数a ,b ,c 〉0满足a +b +c =9,ab +b c +ca=24,，则b 的取值范围为 两次用 11 a 2+—+j aba (a —b ) 的最小值是【例12、已知负数x,y,z满足x2+y2+z2=1,则S=上z的最小值是【】2xyzA.3B.3a+；")C.4D.2(v2+1)练习1.已知负数x,y,z满足x2+y2+z2=1,则S=上的最小值是【】2xyz2A.3B.9C.4D.2c2练习2.已知x,y,z均为负数，则盯+y z的最大值是【】x2+y2+z2A.q初C.2,/2D.2V3练习3.已知实数x,y,z满足x2+y2+z2=1,则尤xy+yz的最大值是全体代换例13、已知〃>0,b>0,a+b=2，贝y=1+4的最小值是【】abA.7B.4C.9D.5例14、函数y=a-(a>0,a01)的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny-1=0(mn>0)上，则I—+—的最小值为.mn例15、设a>0,b>0,若4万是3a与3b的等比中项，则1+1的最小值为abA.8B.4C.1D.14、例16、已知a,b,c都是正实数，且满足log(9a+b)=log abb，则使4a+b>c恒成93立的c的取值范围是A.[4,2)B.[0,22)C.[2,23)D.(0,25]练习1.函数klogG+3)」(〃>0且a=1)的图象恒过定点A，若点A在直线a mx+ny+1=0上，其中mn>0,则1+2的最小值为.mn练习2.若x,y e R+,且2x+y=1，则L1的最小值为.xy练习3.已知x>0,y>0，且1+9=1，求x+y的最小值.xy练习4.若x,y e R+且2x+y=1，求11的最小值.+xy练习5.已知a,b,x,y e R+且ab［，求x+y的最小值.+=1xy练习6.已知x>1,x>1,xx2=1000,则上+▲的最小值等于【I1212lg x lg x12A.4B,4<6C,7+2、落D.7—261-33练习7.若0<x<1,a,b为常数，则竺+上的最小值是x 1一x练习8.已知a >b >也,+'>与恒成立，则m 的取值范围是a -bb -ca 一c 练习9.a ,b e(0,+8),a +3b =1,则+_L 最小值为aa33b分离法【分式】例17、已知t >0，则函数y ='2一4t +1的最小值为.t例18、已知x >5,则f (x )=x 2一4x +5有【】 22x -4A.£大值58.最小值50最大值1口.最小值1 练习1.求y =x 2+7x +10(x >_1)的值域.x +1练习2.若x >1,则函数y =x +1+上的最小值为.'xx 2+1放缩法——解不等式例19、设x ,y 为实数，若4x 2+y 2+町=1,则2x +y 的最大值 是.例20已知2+1=2(x >0,y >0)，则xy 的最小值是.xy 例21、若a 是1+2b 与1_2b 的等比中项，则2ab 的最大值为【】a +2bA.空B.,翔C.V5D.\；215丁"5"万 练习1.若实数x ,y 满足x 2+y 2+町=1，则x +y 的最大值是. 练习2.若正实数X ,Y 满足2X +Y +6=XY ,则XY 的最小值是 练习3.已知x >0,y >0,x +2y +2町=8,则X +2y 的最小值是【】A.3B.4C.£D.q练习4.已知a >0,b >0,ab -（a +b ）=1，求a +b 的最小值.练习5：已知5+2=2（X >0,y >0）恒成立，则xy 的最小值是. Xy 练习6.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值. 练习7.若实数X ,y 满足4X +4y =2X +1+2y +1则t=2X +2y 的取值范围是 取平方例22、若a ,b ,c >0且a 2+2ab +2ac +4bc =12，则a +b +c 的最小值是【】A.2x /3B .3C .2D .<3练习1.若a ,b ,c>0且a （a+b+c ）+bc =4-2a ，则2a +b +c 的最小值为【】A -<3-1B .\；3+1C .2七3+2D.2,；3-2练习2.已知X ,y 为正实数，3X +2y =10，求函数w =3X +2y 的最值.取平方+解不等式 例23、已知a>0,b>0,c >0且a +b+c =1,则a 2+b 2+c 2最小值为【】A.1B.1C.1D.1结合2单3调性4——5与函数例24、若a ,b e R +,a +b=1,则ab+-1的最小值为【】abA.41B.41C.°1D,2 44224-练习1,求函数丫_%2+5的值域. y _E练习2.求以下函数的最小值，并求取得最小值时工的值. ⑴y _X 2+3X +1,（X >0）（2）y _2X +—,X >3X X -3（3）y _2sin X +—i —,X e （0,兀）sin X练习3.已知0<%<1,求函数y =\X E ）的最大值. 练习4.0<X <2,求函数y _.X 2F 的最大值.3 练习5.设a ,b e R +且2a+b_1,S_2ab-4a 2-b 2的最大值是【】A.2-1B.2-1C.2+1D.2+122例25、已知0+b_1，则a 4+b 4的最小值是【】A.1B.£C.1D.1练习1.若实数a ,b ,c 满足2a +2b =2a +b ,2a +2b +2c =2a +b +c ,则c 的最大值是 用另一个公式例26、函数、3+4=7的最大值为.练习1.已知a ,b G R+,a 2+吃=1,，则a 、瓦的最大值是【】2 A.1B.1C.32D.三212例27、已知a 〉0,b >0,c >0且a+b+c =1,则工+_!+_!最小值为【】a 2b 2c 2A.12B.11C.21D.27直接取值【讨论】例28、a 2+b 2-1,b 2+c 2-2,c 2+a 2=2,则ab +bc +ca 的最小值【】A.右一1B.1_、,3C.-1_,运D.1+；32222利用二、恒成立成绩例1、若a ,b e R ，且ab>0，则以下不等式中，恒成立的是【】 A,a 2+b 2>2ab B-a +b>2、/abC 112ba 、C*-+->^=D--+->2ababbab 例2、设a ,b ,c 是互不相等的负数， A*|a -b 1<1a -c 1+1b -c I B,a 2+—>a +1a 2a0*I a -b I +>2D *a+3-a+1<a+2-aa -b例3、设a >0,b>0,则以下不等式中不恒成立的是【••••a 2+b 2+2>2a +2b *I a —b I >a —例4、已知不等式a+y )(i+a )>9对任意正实数羽》恒成立，则正实数a xy的最小值为【】 A.8B.6C.4D.2例5、若直线x +y =1通过点M (cos a ,sin 。
2018年高考备考均值不等式和柯西不等式含历年高考真题
1、(2008江苏)设a ，b ，c为正实数，求证：333111a b c+++abc ≥ 2、（2010辽宁理数）已知均为正数，证明：，并确定为何值时，等号成立。
3、（2012江苏理数）已知实数x ，y 满足：11|||2|36x y x y +<-<，，求证：5||18y <．4、（2013新课标Ⅱ）设均为正数,且,证明:(Ⅰ); (Ⅱ).5、（2012福建）已知函数f (x )=m -|x -2|,m ∈R,且f (x +2)≥0的解集为[-1,1].(1)求m 的值; (2)若a ,b ,c ∈R,且1a + 12b + 13c=m ,求证:a + 2b +3c ≥9 6、（2011浙江）设正数z y x ,,满足122=++z y x .(1)求zx yz xy ++3的最大值； （2）证明：26125111113≥+++++xz yz xy 7. (2017全国新课标II 卷) 已知330,0,2a b a b >>+=。
证明：（1）55()()4a b a b ++≥； （2）2a b +≤。
8.(2017天津) 若，，则的最小值为___________.9. 【2015高考新课标2，理24】设,,,a b c d 均为正数，且a b c d +=+，证明： （Ⅰ）若ab cd >>>+是a b c d -<-的充要条件．10. 【2015高考福建，理21】选修4-5：不等式选讲已知0,0,0a b c >>>，函数()||||f x x a x b c 的最小值为4．(Ⅰ)求a b c 的值； (Ⅱ)求2221149a b c 的最小值． 11.【2015高考陕西，理24】（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{}24x x <<．（I ）求实数a ，b 的值；（II +的最大值．【均值不等式】c b a ,,36)111(2222≥+++++cb ac b a c b a ,,例题1：已知y x ,均为正数，且y x >，求证：3221222+≥+-+y yxy x x ． 例题2：已知z y x ,,均为正数．求证：zy x xy z zx y yz x 111++≥++． 变式：设z y x ,,为正数，证明：()()()()y x zz x y z y x z y x +++++≥++2223332． 【柯西不等式】例题1：若正数c b a ,,满足1=++c b a ，求121121121+++++c b a 的最小值．变式：若21,32x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭<例题2：已知z y x ,,是正数．()1若1=+y x ，求y y x x +++2222的最小值； ()2若1222=+++++zz y y x x ，求证：1222222≥+++++z z y y x x ． 变式1：设0,,>c b a ，1=++c b a ，求证：53222≥-+-+-c c b b a a ． 变式2：已知正数y x ,满足xyz z y x =++，求zx yz xy 211++的最大值． 【能力提升】1、 设c b a ,,均为正实数，求证：ba c a cbc b a +++++≥++111212121．。
由均值不等式与柯西不等式联袂巧证竞赛不等式
㊀㊀㊀由均值不等式与柯西不等式联袂巧证竞赛不等式◉甘肃省华池县第一中学㊀路李明均值不等式与柯西不等式是历年数学竞赛的热点内容,利用这两类不等式解题的关键是恰当创设应用公式的结构形式,通常需要转化㊁变形甚至构造,还需要很丰富的想象能力．对一些较为复杂的不等式问题,有时要把这两类不等式联袂方可达到事半功倍的效果!笔者通过近两年的几道数学期刊征解问题㊁国内外数学竞赛题的解析与各位读者共勉．例１㊀(«数学通讯»２０２０年第８期问题４６０)已知正实数a ,b ,c 满足a b c ＝１,求证:１＋a b ２c ２０２０＋１＋b c ２a ２０２０＋１＋c a ２b ２０２０ȡ１８３(a ４０４０＋b ４０４０＋c４０４０)．证明:由柯西不等式的变形公式,得１＋a b ２c ２０２０＋１＋b c ２a ２０２０＋１＋c a ２b ２０２０＝１c ２０２０＋１a ２０２０＋１b ２０２０æèçöø÷＋a b ２c ２０２０＋b c ２a ２０２０＋c a ２b ２０２０æèçöø÷ȡ(１＋１＋１)２c ２０２０＋a ２０２０＋b ２０２０＋(b a ＋cb ＋a b )２c ２０２０＋a ２０２０＋b ２０２０ȡ９c ２０２０＋a ２０２０＋b ２０２０＋(３３a b c a b c )２c ２０２０＋a ２０２０＋b２０２０＝１８c ２０２０＋a ２０２０＋b ２０２０＝１８(c２０２０＋a２０２０＋b２０２０)２ȡ１８３(a ４０４０＋b ４０４０＋c ４０４０)．例２㊀(«数学通报»２０２０年第９期数学问题２５６２)设a ,b ,c ＞０,且满足a ＋b ＋c ＝３,证明:１－a b １＋a b＋１－b c １＋b c ＋１－c a１＋c aȡ０．证明:㊀１－a b １＋a b ＋１－b c １＋b c ＋１－c a１＋c a＝２－(１＋a b )１＋a b ＋２－(１＋b c )１＋b c ＋２－(１＋c a )１＋c a ＝２１＋a b ＋２１＋b c ＋２１＋c a－３ȡ㊀２(１＋１＋１)２３＋a b ＋b c ＋c a－３ȡ㊀１８３＋a ＋b ＋c －３＝０．例３㊀(«数学通讯»２０２０年第７期问题４５５)已知正实数a ,b ,c 满足a ＋b ＋c ＝１,求证:a(a －１)(a －２)＋b(b －１)(b －２)＋c(c －１)(c －２)ȡ３１０１０．证明:显然a ,b ,c ɪ(０,１)．㊀a (a －１)(a －２)＝１０a１０(a －１)(a －２)＝１０a (５－５a )(４－２a )ȡ１０a(５－５a )＋(４－２a )２＝２１０a ９－７a ＝２１０a２a ＋９b ＋９c ．同理b (b －１)(b －２)ȡ２１０b９a ＋２b ＋９c ,c (c －１)(c －２)ȡ２１０c９a ＋９b ＋２c ．将上面三式相加,得a (a －１)(a －２)＋b (b －１)(b －２)＋c(c －１)(c －２)ȡ㊀２１０a ２a ＋９b ＋９c ＋２１０b ９a ＋２b ＋９c ＋２１０c ９a ＋９b ＋２c＝２１０a ２２a ２＋９a b ＋９a c ＋２１０b ２９a b ＋２b ２＋９b c ＋２１０c２９a c ＋９b c ＋２c２ȡ㊀２１０(a ＋b ＋c )２２(a ２＋b ２＋c ２)＋１８(a b ＋b c ＋c a )＝２１０２(a ＋b ＋c )２＋１４(a b ＋b c ＋c a )＝２１０２＋１４(a b ＋b c ＋c a )ȡ２１０２＋１４(a ＋b ＋c )３２７５２０２２年６月上半月㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀解法探究复习备考Copyright ©博看网. All Rights Reserved.㊀㊀㊀＝３１０１０．例４㊀(２０２０年摩尔多瓦数学奥林匹克竞赛试题)设a,b,c＞０,证明:a７a２＋b２＋c２＋ba２＋７b２＋c２＋ca２＋b２＋７c２ɤ１．证明:由柯西不等式,得(７a２＋b２＋c２)(７＋１＋１)ȡ(７a＋b＋c)２⇒a７a２＋b２＋c２ɤ３a７a＋b＋c＝３７１－b＋c７a＋b＋cæèçöø÷．同理,㊀ba２＋７b２＋c２ɤ３７１－a＋ca＋７b＋cæèçöø÷,ca２＋b２＋７c２ɤ３７１－a＋ba＋b＋７cæèçöø÷．于是,只需证明:b＋c７a＋b＋c＋a＋ca＋７b＋c＋a＋ba＋b＋７cȡ２３．由柯西不等式和均值不等式,得b＋c７a＋b＋c＋a＋ca＋７b＋c＋a＋ba＋b＋７c＝b７a＋b＋c＋ca＋７b＋c＋aa＋b＋７cæèçöø÷＋c７a＋b＋c＋aa＋７b＋c＋ba＋b＋７cæèçöø÷＝b２７a b＋b３＋b c＋c２a c＋７b c＋c２＋a２a２＋a b＋７a cæèçöø÷＋c２７a c＋b c＋c２＋a２a２＋７a b＋a c＋b２a b＋b２＋７b cæèçöø÷ȡ２(a＋b＋c)２８(a b＋b c＋c a)＋a２＋b２＋c２＝２(a＋b＋c)２６(a b＋b c＋c a)＋(a＋b＋c)２ȡ２(a＋b＋c)２６(a＋b＋c)２３＋(a＋b＋c)２＝２３．例５㊀(«数学通讯»２０２０年第２期问题４３８)已知正实数a,b,c,dɪ０,１２æèçùûúú,求证:１a２＋１b２＋１c２＋１d２ȡ６＋２０a＋b＋c＋d．证明:由条件可知aɪ０,１２æèçùûúú⇒a２ɤ１２aɤ１４．同理,b２ɤ１２bɤ１４,c２ɤ１２cɤ１４,d２ɤ１２dɤ１４．从而a２＋b２＋c２＋d２ɤ１２(a＋b＋c＋d)ɤ１４＋１４＋１４＋１４＝１⇒a＋b＋c＋dɤ２．由均值不等式和柯西不等式知道１a２＋１b２＋１c２＋１d２ȡ(１＋１＋１＋１)２a２＋b２＋c２＋d２ȡ１６１２(a＋b＋c＋d)＝３２a＋b＋c＋d＝１２a＋b＋c＋d＋２０a＋b＋c＋dȡ６＋２０a＋b＋c＋d．例６㊀(«数学通讯»２０２０年第６期问题４４９)已知正实数a,b,c,d满足a b c d＝１,求证:１a２－a＋４＋１b２－b＋４＋１c２－c＋４＋１d２－d＋４ɤ１．证明:由均值不等式得１a２－a＋４＝１a２＋１－a＋３ɤ１２a－a＋３＝１a＋３．同理,１b２－b＋４ɤ１b＋３,１c２－c＋４ɤ１c＋３,１d２－d＋４ɤ１d＋３．将上面的四个式子相加,得１a２－a＋４＋１b２－b＋４＋１c２－c＋４＋１d２－d＋４ɤ１a＋３＋１b＋３＋１c＋３＋１d＋３．故只需要证明１a＋３＋１b＋３＋１c＋３＋１d＋３ɤ１．而１a＋３＋１b＋３＋１c＋３＋１d＋３ɤ１⇔a a＋３＋b b＋３＋c c＋３＋d d＋３ȡ１．由柯西不等式和均值不等式,得aa＋３＋bb＋３＋cc＋３＋dd＋３ȡ㊀(a＋b＋c＋d)２a＋b＋c＋d＋１２ȡ㊀a＋b＋c＋d＋２ˑ６６(a b c d)３a＋b＋c＋d＋１２＝１．在不等式的大家庭中,均值不等式和柯西不等式是高中数学中基本而又重要的不等式,对求解一些不等式问题起到举足轻重的作用,直接用简洁明快 ,联袂用更是 威力无穷 ,让人深深感受到数学的无穷奥妙和神奇魅力!F８５复习备考解法探究㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀２０２２年６月上半月Copyright©博看网. All Rights Reserved.。
山东省济宁市高考数学专题复习第34讲绝对值不等式及柯西不等式练
山东省济宁市高考数学专题复习第34讲绝对值不等式及柯西不等式练第五节绝对值不等式及柯西不等式(选修4－5)[考情展望]1.考查含绝对值不等式的解法.2.利用不等式的性质求最值.3.利用柯西不等式求一些特定函数的最值．一、绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．定理1的阿提斯鲁夫尔谷功能|a±b|≤|a|＋|b|，从左到右是一个放大过程，从右到左是一个缩小过程，证明不等式可以直接用，也可利用它消去变量求最值．绝对值不等式是证明与绝对值有关的不等式的重要工具，但有时还需要通过适当的变形使其符合绝对值不等式的条件．定理2的推断推论1：||a|－|b||≤|a＋b|.推论2：||a|－|b||≤|a－b|.二、绝对值不等式的解法1．不含绝对值的不等式|x|a的边值问题分类解集不等式|x|a{x|－a＜x＜a}{x|x＞a或x＜－a}?{x∈r|x≠0}?ra>0a＝0a<02|ax＋b|≤c、|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法3．|x－a|＋|x－b|≥c、|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的数学分析：解绝对值不等式的基本方法：零点分段探讨法就是解绝对值不等式的基本方法．其操作程序就是：打听零点、分后区间、分段探讨．含绝对值不等式的常见类型及其转化方法1．形如|f(x)|＜|g(x)|型不等式|f(x)|＜|g(x)|?[f(x)]＜[f(x)].2．形例如|f(x)|＜g(x)，|f(x)|＞g(x)型不等式(1)|f(x)|＜g(x)?－g(x)＜f(x)＜g(x)；(2)|f(x)|＞g(x)?f(x)＞g(x)或f(x)＜－g(x)．3．形似a＜|f(x)|＜b(b＞a＞0)型不等式22a＜|f(x)|＜b?a＜f(x)＜b或－b＜f(x)＜－a.4．形例如|f(x)|＜f(x)，|f(x)|＞f(x)型不等式|f(x)|＞f(x)?f(x)＜0；|f(x)|＜f(x)?x∈?.5．含有两个或两个以上绝对值的不等式的解法(1)零点分段法，通过讨论去掉绝对值符号．(2)利用|x－a1|±|x－a2|的几何意义求解．三、柯西不等式1．二维形式的柯西不等式内容代数形式向量形式三角形式若a、b、c、d∈r，则(a＋b)(c＋222等号成立的条件当且仅当ad＝bc时，等号成立当且仅当β是零向量或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立2222d)≥(ac＋bd)设α、β是两个向量，则|αβ|≤|α||β|设x1，y1，x2，y2∈r，那么x＋y＋x＋y≥(x1－x2)＋(y1－y2)22212122当且仅当p1(x1，y1)，p2(x2，y2)，o(0,0)三点共线且p1，p2在o两旁时，等号成立2.一般形式的柯西不等式设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a1＋a2＋…＋an)(b1＋b2＋…＋bn)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn).当且仅当b1＝b2＝…＝bn＝0或存有一个数k，使ai＝kbi(i＝1,2，…，2222222n)时，等号设立．1．设ab>0，下面四个不等式中，正确的是()①|a＋b|>|a|；②|a＋b||a|－|b|.a．①和②c．①和④b．①和③d．②和④【解析】∵ab＞0，即a，b同号，则|a＋b|＝|a|＋|b|，∴①④正确，②③错误．【答案】c2．不等式|x－2|＞x－2的边值问题就是()a．(－∞，2)c．(2，＋∞)b．(－∞，＋∞)d．(－∞，2)∪(2，＋∞)【解析】|x－2|＞x－2同解于x－2＜0，∴x＜2.【答案】a3．已知关于x的不等式|x－1|＋|x|≤k无解，则实数k的取值范围是________．【解析】∵|x－1|＋|x|≥|x－1－x|＝1，∴当k＜1时，不等式|x－1|＋|x|≤k无解，故k＜1.【答案】(－∞，1)132224．未知非负实数x，y，z满足用户x＋y＋z＋x＋2y＋3z＝，则x＋y＋z的最大值为 4________．1232272【解析】由已知可得?x＋?＋(y＋1)＋?z＋?＝，2241则??x＋?1＋y＋21?2≤??x＋?＋??21?2＝3??x＋?＋??2?y＋y＋232＋?z＋?1??23?2?222＋?z＋??(1＋1＋1)?2??23281＋?z＋??＝，?2??43从而x＋y＋z≤.2133当且仅当x＋＝y＋1＝z＋＝时，等号设立．22213即当x＝1，y＝，z＝0时，x＋y＋z获得最大值.223【答案】25．(2021大纲全国卷)不等式|x－2|＜2的边值问题就是()a．(－1,1)c．(－1,0)∪(0,1)222b．(－2,2)d．(－2,0)∪(0,2)2【解析】由|x－2|＜2，得－2＜x－2＜2，即0＜x＜4，所以－2＜x＜0或0＜x＜2，故解集为(－2,0)∪(0,2)．【答案】d6．(2021重庆高考)若关于实数x的不等式|x－5|＋|x＋3|【解析】∵|x－5|＋|x＋3|＝|5－x|＋|x＋3|≥|5－x＋x＋3|＝8，∴(|x－5|＋|x＋3|)min＝8，必须并使|x－5|＋|x＋3|考向一[105]绝对值三角不等式的应用(2021南昌质检)对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，则|x－2y＋1|的最大值为________．【思路指点】思路一将|x－2y＋1|变形，设法用x－1与y－2则表示，利用绝对值三角不等式谋最大值．思路二由|x－1|≤1，|y－2|≤1分别求x、y的取值范围，然后运用不等式的性质和绝对值的意义求解．【尝试答疑】法一|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－2)－2|≤|x－1|＋2|y－2|＋2≤1＋2＋2＝5，当且仅当x＝0，y＝3时，|x－2y＋1|取最大值5.法二∵|x－1|≤1，∴－1≤x－1≤1，∴0≤x≤2.又∵|y－2|≤1，∴－1≤y－2≤1，∴1≤y≤3，从而－6≤－2y≤－2.由同向不等式的直和性可以得－6≤x－2y≤0，∴－5≤x－2y＋1≤1，∴|x－2y＋1|的最大值为5.【答案】5规律方法1利用绝对值三角不等式求最值时，要指明取到等号的条件；若注意到|x－2y＋1|＝5|x－2y＋1|，亦可由点x，y到直线x－2y＋1＝0的距离求解.5对点训练(2021陕西中考)若存有实数x并使|x－a|＋|x－1|≤3设立，则实数a的值域范围就是________．【解析】∵|x－a|＋|x－1|≥|(x－a)－(x－1)|＝|a－1|，必须并使|x－a|＋|x－1|≤3存有求解，可以并使|a－1|≤3，∴－3≤a－1≤3，∴－2≤a≤4.【答案】[－2,4]考向二[106]含绝对值不等式的解法(2021辽宁中考)未知函数f(x)＝|x－a|，其中a>1.(1)当a＝2时，谋不等式f(x)≥4－|x－4|的边值问题；(2)已知关于x的不等式|f(2x＋a)－2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，求a的值．【思路点拨】绝对值不等式，分段讨论求解；将a看做已知，求解|f(2x＋a)－2f(x)|≤2，将结果与已知结果对比确定a值．－2x＋6，x≤2，??。
柯西不等式在高考中的运用1
柯西不等式在高考中的运用柯西不等式：(1) 二维形式()()()22222bd ac d c b a +≥++公式变形：()()2222d c b abd ac ++≤+，等号成立条件：当且仅当⎪⎭⎫⎝⎛==d b c a bc ad 即时。
（2） 一般形式()()()()n i R b a b b b a a a b a b a ba i i nn n n 2,1,,,222212222122211=∈++++++≤+++等号成立条件：nn b a b a b a === 2211，或()n i b a i i ,2,1,=中有一为零。
（3）柯西不等式的三角形式设d c b a ,,,都是实数，则()()222222d b c a d c b a -+-≥+++.从题型上来分，柯西不等式可用于不等证明问题和最值问题两大类。
其中不等证明问题可细分为 分式和不等式证明问题、整式和不等式证明问题；最值问题又可进一步细分为多元变量代数式的最值问题和一元变量的最值问题。
1、求最值问题（1）求多元变量代数式的最值求多元变量代数式的最小值时，可考虑多元变量代数式放置在柯西不等式的左边；当求多元变量代数式的最大值时，可考虑多元变量代数式放置在柯西不等式的右边。
例6（2012高考浙江卷文科第9题）若正数y x ,满足xy y x 53=+，则y x 43+的最小值是（ ）。
A.524 B.528C.5D.6 解：由xy y x 53=+，得.513=+yx（*） 由柯西不等式，得()()2491343+≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛++y x y x （* *）即()25435≥+y x ，所以543≥+y x ，且.54321,1=+==y x y x 时， 所以y x 43+的最小值是5，故选C.例7 （2014年高考陕西卷理科第15题）设R n m b a ∈,,,且5,522=+=+nd ma b a ，则22n m +的最小值为 。
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1、(2008江苏)设a ，b ，c 为正实数，求证：
333111a
b
c
+++abc ≥．
2、（2010辽宁理数）已知c b a ,,均为正数，证明：36
)111(2222≥+++++c
b
a
c b a ，并确
定c b a ,,为何值时，等号成立。
3、（2012江苏理数）已知实数x ，y 满足：1
1|||2|3
6
x y x y +<-<，，求证：5
||18
y <． 4、（2013新课标Ⅱ）设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明:
(Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)222
1a b c b c a
++≥.
5、（2012福建）已知函数f (x )=m -|x -2|,m ∈R,且f (x +2)≥0的解集为[-1,1].
(1)求m 的值; (2)若a ,b ,c ∈R,且1a + 12b + 1
3c =m ,求证:a + 2b +3c ≥9
6、（2011浙江）设正数z y x ,,满足122=++z y x . (1)求zx yz xy ++3的最大值； （2）证明：
26
125
111113≥+++++xz yz xy 7. (2017全国新课标II 卷) 已知3
3
0,0,2a b a b >>+=。
证明： （1）5
5
()()4a b a b ++≥； （2）2a b +≤。
8.(2017天津) 若,a b ∈R ，0ab >，则4441
a b ab
++的最小值为___________.
9. 【2015高考新课标2，理24】设,,,a b c d 均为正数，且a b c d +=+，证明：
（Ⅰ）若ab cd >+>
（Ⅱ）>是a b c d -<-的充要条件． 10. 【2015高考福建，理21】选修4-5：不等式选讲
已知0,0,0a b c >>>，函数()||||f x x a x b c =++-+的最小值为4． (Ⅰ)求a b c ++的值； (Ⅱ)求2221
14
9
a b c ++的最小值．
11.【2015高考陕西，理24】（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{}24x x <<．
（I ）求实数a ，b 的值；（II ）求+的最大值． 【均值不等式】
例题1：已知y x ,均为正数，且y x >，求证：3221
22
2+≥+-+
y y
xy x x ． 例题2：已知z y x ,,均为正数．求证：
z
y x xy z zx y yz x 111++≥++． 变式：设z y x ,,为正数，证明：()()()()y x z z x y z y x z y x +++++≥++2
223332． 【柯西不等式】
例题1：若正数c b a ,,满足1=++c b a ，求
1
21
121121++
+++c b a 的最小值．
变式：若21
,32
x ⎛⎫
∈- ⎪⎝
⎭
<例题2：已知z y x ,,是正数．
()1若1=+y x ，求y y x x +++2222的最小值； ()2若1222=+++++z z
y y x x ，求证：12222
22≥+++++z
z y y x x ． 变式1：设0,,>c b a ，1=++c b a ，求证：
5
3
222≥-+-+-c c b b a a ． 变式2：已知正数y x ,满足xyz z y x =++，求zx
yz
xy
211+
+
的最大值．
【能力提升】
1、 设c b a ,,均为正实数，求证：
b
a c a c
b
c b a ++
+++≥++1
11212121．。