如何尺规画正多边形[1]

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用圆规和直尺画正五边形和正六边形的方法

用圆规和直尺画正五边形和正六边形的方法用圆规和直尺来画正五边形和正六边形有着悠久的历史，早在古代，人们就已经发现了用圆规和直尺这种最简单的工具，就能够画出精美的正五边形和正六边形。

随着技术的进步，画正五边形和正六边形的方法也不断进化，但最根本的原理却始终没有改变。

本文将介绍用圆规和直尺画正五边形和正六边形的方法，以及探讨相关原理。

一、用圆规和直尺画正五边形的方法
1.圆规的定位轴取出，在一张纸上随意放置，用笔记录放置点的位置。

2.圆规，将放置点与其他的点连接起来，使得每两个点之间的距离都相等，这样就构成了正五边形。

二、用圆规和直尺画正六边形的方法
1.圆规的定位轴取出，在一张纸上随意放置，用笔记录放置点的位置。

2.直尺，将放置点与其他的点连接起来，使得每两个点之间的距离都相等，这样就构成了正六边形。

三、用圆规和直尺画正五边形和正六边形的原理
用圆规和直尺来画正五边形和正六边形，实质上都是利用其特殊的几何性质来实现的。

正五边形是一种平面几何形状，每条边都是相等的，而任意两条边之间的夹角都是相等的。

所以，用圆规来画正五边形，只要每条边都是圆规定义的相等距离，就能够构成正五边形。

正六边形也是一种平面几何形状，每条边都是相等的，而任意两条边之间的夹角都是相等的。

所以，用直尺来画正六边形，只要每条边都是直尺定义的相等距离，就能够构成正六边形。

结论
本文介绍了用圆规和直尺画正五边形和正六边形的方法，以及探讨了相关原理。

通过用圆规和直尺来画正五边形和正六边形，可以让人们更加深刻地理解几何图形的形成原理，也能提高人们的几何创造能力。

尺规作图法简介

一、尺规作图在中学就知道，几何作图所使用的工具是严格限制的，只准用圆规和直尺，直尺不能有刻度，不能使用量角器及其他任何工具．其实，这种限制自古希腊就有而且沿用至今．为什么要加以这样的限制呢？比如说，要找出一个线段的中点来，就不可以先用(有刻度的)尺去量，看它的长度是多少，然后取这个长的一半，再用这一半去量就找出中点来了．何必一定要用无刻度的直尺和圆规去寻求呢？是自己跟自己过不去吗？古希腊认为，所有的几何图形是由直线段和圆弧构成的，圆是最完美的，他们确信仅靠直尺和圆规就可绘出图形来．古希腊人十分讲究理性思维，讲究精确、严谨．他们认为依据从少数假定出发的、经由逻辑把握的东西最可靠．例如前面所说的寻求一已知线段AB的中点问题，作图的步骤是：1．以A为圆心，以一适当长度为半径画弧；2．又以B为圆心，以同样的长度为半径画弧；3．这两弧相交于两点，作两点连线，此连线与已知直线之交点即为所求之中点．然后，要根据已知几何命题来证明这个点必是中点．人们认为，这不仅是最可靠地找到了中点，而且体现了一种完美的思路和做法．正多边形的尺规作图是大家感兴趣的．正三边形很好做；正四边形稍难一点；正六边形也很好做；正五边形就更难一点，但人们也找到了正五边形的直规作图方法．确实，有的困难一些，有的容易一些．正七边形的尺规作图是容易一些，还是困难一些呢？人们很久很久未找到作正七边形的办法，这一事实本身就说明作正七边形不容易；一直未找到这种作法，也使人怀疑：究竟用尺规能否作出正七边形来？数学不容许有这样的判断：至今一直没有人找到正七边形的尺规作图方法来，所以断言它是不能用尺规作出的．人们迅速地解决了正三、四、五、六边形的尺规作图问题，却在正七边形面前止步了：究竟能作不能作，得不出结论来．这个悬案一直悬而未决两千余年．17世纪的费马，就是我们在前面已两次提到了的那个法国业余数学家，他研究了形如F i＝22i＋1的数．费马的一个著名猜想是，当n≥3时，不定方程x n＋y n＝z n没有正整数解．现在他又猜测F i都是素数，对于i＝0，1，2，3，4时，容易算出来相应的F i：F0＝3，F1＝5，F2＝17，F3=257，F4=65 537验证一下，这五个数的确是素数．F5=225+1是否素数呢？仅这么一个问题就差不多一百年之后才有了一个结论，伟大的欧拉发现它竟不是素数，因而，伟大的费马这回可是猜错了！F5是两素数之积：F5＝641×6 700 417．当然，这一事例多少也说明：判断一个较大的数是否素数也决不是件简单的事，不然，何以需要等近百年？何以需要欧拉这样的人来解决问题？更奇怪的是，不仅F5不是素数，F6，F7也不是素数，F8，F9，F10，F11等还不是素数，甚至，对于F14也能判断它不是素数，但是它的任何真因数还不知道．至今，人们还只知F0，F1，F2，F3，F4这样5个数是素数．由于除此而外还未发现其他素数，于是人们产生了一个与费马的猜想大相径庭的猜想，形如22i＋1的素数只有有限个．但对此也未能加以证明．当然，形如F i=22i+1的素数被称为费马素数．由于素数分解的艰难，不仅对形如F i=22i+1的数的一般结论很难做出，而且具体分解某个F i也不是一件简单的事．更加令人惊奇的事情发生在距欧拉发现F5不是素数之后的60多年，一位德国数学家高斯，在他仅20岁左右之时发现，当正多边形的边数是费马素数时是可以尺规作图的，他发现了更一般的结论：正n边形可尺规作图的充分且必要的条件是n=2k或2k×p1×p2×…×p s，其中，p1，p2，…，p s是费马素数．正7边形可否尺规作图呢？否！因为7是素数，但不是费马素数．倒是正17边形可尺规作图，高斯最初的一项成就就是作出了正17边形．根据高斯的理论，还有一位德国格丁根大学教授作了正257边形．就这样，一个悬而未决两千余年的古老几何问题得到了圆满的解决，而这一问题解决的过程是如此的蹊跷，它竟与一个没有猜对的猜想相关连．正17边形被用最简单的圆规和直尺作出来了，而正多边形可以换个角度被视为是对圆的等分，那么这也相当于仅用圆规和直尺对圆作了17等分，其图形更觉完美、好看．高斯本人对此也颇为欣赏，由此引导他走上数学道路(他早期曾在语言学与数学之间犹豫过)，而且在他逝后的墓碑上就镌刻着一个正17边形图案．高斯把问题是解决得如此彻底，以致有了高斯的定理，我们对于早已知道如何具体作图的正三边形、正五边形，还进而知道了它们为什么能用尺规作图，就因为3和5都是费马素数(3=F0，5＝F1)；对于很久以来未找到办法来作出的正七边形，乃至于正11边形、正13边形，现在我们能有把握地说，它们不可能由尺规作图，因为7、11、13都不是费马素数；对于正257边形、正65 537边形，即使我们不知道具体如何作，可是理论上我们已经知道它们是可尺规作图的；此外，为什么正四边形、正六边形可尺规作图呢？因为4＝22，因为6= 2· 3而3=F0．从古希腊流传下来的几何作图还有三大难题，一个是化圆为方问题，即求作一正方形，使其面积等于已知圆的面积；二是倍立方体问题，即求作一立方体，使其体积等于已知立方体的体积；三是将一任意角三等分．某些特殊角的三等分并不困难，例如将90°的角、135°的角三等分并不难，但是任意角就不一样了．例如，60°的角，你试试看，能否将它三等分？现在已有了结论，告诉你不要再试了，否则是白费时间了．可以取单位圆作代表，其面积即为π．那么，化圆为方的问题相当能吗？古希腊人对化圆为方的问题有极大兴趣，许多人进行研究．这一研究推动了圆面积的近似计算，促进了极限思想的萌生，但是并没有解决化圆为方的问题．另外两大难题虽也没解决，但也促进了对另一些数学问题的研究．尺规作图的实质在于限制只使用两种工具的条件下通过有限步骤完成作图．长度为任一有理数平方根的线段来．当然还可通过有限步骤作出长度为一有理数平方根的平方根的线段来．我们把凡能用尺规经有限次步骤作出的线段或量叫做“可作几何量”．可以证明，“可作几何量”就是那些有理数经有限次+、－、×、÷和开方这类运算得到的量．否则叫“不可作几何量”．化圆为方的问题直至19世纪才得到答案：它是不可能的．因为可作几何量”．这一悬而未决、延宕两千多年的古老问题，最终得以解决．属“不可作几何量”，所以，倍立方体问题的答案也明确了：不可能！再以60°角为例来分析任意角的三等分问题．为把60°三等分，必然要用尺规作出量cos 20°或sin 20°．以下三角恒等式是我们熟知的：cos 3x＝4cos3x－3cos x，将x＝20°代入，得将cos 20°换写为y，即是三次代数方程：这个三次方程的一个正实根当为其所需之解，然而，它必会有有理数的立方根表示．因而y＝cos 20°也是一个“不可作几何量”．故三等分问题亦属不可能．难怪古希腊人对这三个问题久久未找到答案，难怪这是真正的难题．不是古希腊人不智，确实是当时的数学水平还难以使他们得出三大几何作图难题均以“不可能”为结局的结论来．二、解析几何与微积分数学以两千多年的历史伴随人类文明．从公元前到公元16世纪，几何与代数各自平行发展着，几何则以更大的魅力影响着人类文明．但几何似乎仅是关于形的科学而与数无关；代数则似乎与形无关而仅是关于数的科学．代数与几何难以被联系起来的原因是，人们心目中的数是一个个孤立的定数，因而难以从数想到由无穷多个点连成的线条等图形；而对于形，例如，线段和封闭图形，它们与数的联系似乎仅有由数刻画的长度和面积，因而难以从图形想到数的其他表现能力．把数与形密切联系起来的关键是变量概念的形成；另一个同等重要的问题是把图形如线条视为是由动点形成的．只有变动的数与变动的点联系起来，才使数与形的密切关系被深刻地揭示出来了．这里，决定性的工具是坐标，有了坐标，数就是点，点就是数，变动的点就是变动的数，变动的数就是变动的点，于是变数与图形结合在一块了．真正的困难还在于，任何一个具体的图形都不带有一个坐标在身上，亦即，人们在现实生活中是不能直接看到坐标的．当然，稍稍想一想，生活中也有根本感受不到的坐标存在着．例如，在我们说东、南、西、北的时候，一般是确定的站在某一点来说，比如说“北京在东面”，这对站在兰州的人来讲是对的，对站在济南的人来讲是不对的．同样，站在郑州应当说“武汉在南面”，而站在广州，则只能说“武汉在北面”．这实际上就是有了坐标原点的概念，有了坐标的思想．可是，问题还没有那样简单，还需要有运动的观念，还需要有更精确的描述，才能借以刻画几何图形，才能实现数与形的有效融合．数与形的充分结合才产生解析几何．解析几何的主要创始人笛卡儿的有关工作也经历了一个发展过程，所以解析几何并不是瞬间的、偶然出现的产物．让我们看一个实例．首先，我们回顾一下已知两线段而由尺规作出比例中项的办法，如果两线段一样长，那它们本身就是比例中项．如果不一样，那么，可在较长的线段AC上取一点B，使AB等于较短线段的长．再以AC为直径画圆，然后过B作AC的垂线交圆于D，连接AD，AD即为所求之比例中项．在右图中，我们按以上方式作出了AB与AC的比例中项，即接着，我们容易作出E、F、G、H、…使得如果设AB＝1，AD＝x，上式就变成了从线段看，AD=x时AF=x3，AF＝AD＋DF，若记DF=a，我们得到x3=x+a．反过来看，a作为已知数，容易作出一长度为a的线段DF，根据由以上分析所得之启示可作出AD，那么，AD实际上便是三次方程式x3=x＋a的根．这就是笛卡儿在正式形成其明确的解析几何思想之前的一例，把代数方程与几何结合起来的一例．他还曾利用几何方法探寻四次代数方程求根的方法．这是把几何与代数问题结合的一个方面．另一方面，笛卡儿对几何问题又运用了代数方法，例如，研究几何轨迹的问题．解析几何的精华在于把几何曲线用代数方程来表达，同时又利用代数的研究方法来研究几何．从进一步的分析还可发现，这种方法其所以十分强有力，是因为形与数的联系比人们想象的要紧密得多，许多复杂的几何现象是通过解析的方法发现的，许多复杂的几何问题是通过解析方法解决的．这不仅是一个手段问题，也是对世界本质的看法问题．所以，笛卡儿的解析几何具有深远的意义．我们从所熟知的内容来看看解析几何的意义．例如，我们知道椭圆、双曲线、抛物线的标准方程是：y2＝2px我们并不需要画出图形来而只要一看式子就知道它是个什么样子．所谓标准方程，是从代数表达形式来看的，而从几何上看，则是其图形摆得方方正正，例如，标准椭圆方程实际上是其圆心摆在原点，其长短半轴分别与平面的两条坐标轴重合．但是，实际的情况并不总是以标准的形式呈现在我们面前的．直线也有其标准形式，但一般形式是ax＋by＋c＝0；二次曲线的一般方程式是ax2＋2bxy＋cy2＋dx＋ey＋f＝0．然后，我们可以通过解析的方法、代数的方法把它们化为标准形式，例如，对二次方程，我们可以通过以下的变换来做这件事情：通过这样的变换，就可以把一般方程化为标准方程．这一过程，这种工作，从表面看来似与几何毫无关系，我们只是在做着代数的工作．通过上面的变换，原来的方程就变为一个新的形式了，现在把它们并列写下来：ax2＋2bxy＋cy2＋dx+ey＋f＝0a′x′2+2b′x′y′+c′y′2+d′x′+e′y′+f′=0这成了两个不同的式子，却有3个相等的式子：a+c=a′+c′，换句话说，在前述变换之下，有两个东西不变(对此，我们前面曾提到过)．至此，我们对一般二次代数方程所作的叙述全是代数的，对方程进行代数变换(两种线性变换)，以及这种变换之下的不变量．接下去我们还可以说明，一般二次方程能在变换之下化为标准方程．下面将用全套的几何语言来叙述与以上相关的全套代数涵义，或说明全套代数语言的几何涵义：在给出了一般二次曲线之后，我们总可以通过平移和旋转，把它摆在标准位置上．以椭圆为例，即把它的圆心移到原点来，把它的长短轴移至坐标轴上来，而二次曲线的原形是不变的．可见，用几何的语言来说，也是很简单的．那么，代数的讨论有什么实际的意义呢？在一般地给出了一个二次代数方程后，你很难看出它会是怎样一条曲线，如果一点一点地描绘也不是件简单的事．然而，代数的讨论告诉我们有几个不变式在那里，我们甚至不必最终化成标准表达式，就能由几个不变式看出曲线的类型和性质．这是重要的定性分析．此外，这种分析也使我们能把所有的二次曲线准确无误地详尽无遗地予以归类了．从哲学上说，笛卡儿的解析几何可说是他理性主义的产物．上面以二次曲线为例，表明代数方法与几何问题的结合，产生了最充分的理论说明．笛卡儿们认为世界是十分有秩序有条理的，是可以用方程来表达的．奇异就出在这种有序的世界和有序的运动里面．在解析几何出现后不久，微积分被发现了．微积分与解析几何不仅是伟大的数学发现，而且为近代科学开辟了道路；它们不仅是17世纪的伟大发现，而且在人类文明史上写下了极其灿烂的一页；它们不仅为近代科学开辟了道路，而且它们本身就是划时代的成果．在微积分产生之前，人们已比较普遍地接触这样几类问题：物理方面，求速度、求距离的问题；几何方面，求切线、求长度、求面积、求体积、求物体重心的问题；在各种实际问题中，求极大、极小的问题等．因此，在微积分正式诞生之前，关于极限的思想，关于微分的思想，关于积分的思想，已经零星可见．关于极限的思想在我国古代早已出现．求速度，求切线，这就会接近微分；求距离，求长度和面积、体积，这就会接近积分．古代中国的祖暅原理与近代西方的卡瓦列里原理说的是同一原理，前者先于后者约1100年左右．这一原理当为一般大学生所熟悉：当两立体介入两平行平面之间，又为平行于这两平面的任何一平行平面所截得之截面面积相等时，那么两立体之体积相等．用符号来表达，用同一平面截得两立体之截面面积分别表示为f(x)dx和g(x)dx，原理说的是：当对于所有的x有f(x)dx=g(x)dx时，便有：作为一个著名例子，我们看看半球体积的计算．这一计算，现在看来似乎是轻而易举的，但在没有微积分之前是十分困难的．所以下面的计算方式在当时是很有意义的，它利用了祖暅——卡瓦列里原理．设半球的半径为r．以半球的大圆为底面，球顶朝上．作一平面与底面平行并与底面之距离为h．这个平面截半球所得之截面为一圆，该π(r2－h2)．再看看一个截面半径为r的圆柱，其高度也为r．其下底与上面所说的半球底面摆在一个平面．现在将以此圆柱的上底为底、以下底圆的圆心为顶点作一圆锥．这一圆锥完全含于圆柱，现在把这一圆锥挖去，并考虑被挖去一圆锥的圆柱所形成的立体．当用一平行于底面的平面去截它时，其截面为一圆环，设这一平行于底面的平面距底面h，那么，这一圆环的面积也等于πr2－πh2=π(r2－h2)．可见，这一立体与半球被任何同一平行平面所截之截面面积相等．根据祖暅原理，半球体积应与被挖去一圆锥的圆柱体积相等．而被挖去一圆锥的圆柱体积是：尽管在牛顿和莱布尼茨之前，人们从不同的角度接触到了微分和积分，但是对于微分与积分的关系并没有真正弄清楚．而真正的困难亦在此．很容易明白，加法与减法是互逆的运算，也不难明白，乘法与除法是互逆的运算．开方作为乘方的逆运算，在技术上更困难了；作为指数运算逆运算的对数运算的产生并不容易．逆运算常常带来一些新问题，程序性问题，多值性问题．对于微分与积分之间的联系，认识上更有特殊的困难，这样两个似乎十分不同的两种运算竟然是互逆的，这正是使人惊讶不已的地方，也是使人感到其发现之特别不易的地方．以具体问题来说，求一曲线所围成图形的面积运算怎么会与求这一曲线的切线的运算是互逆的运算呢？微积分的创立正是以发现微分与积分的互逆关系为标志的．如今我们所说的牛顿—莱布尼茨定理即微积分基本定理，讲的就是两者关系．微积分基本定理可主要以微分的形式出现，亦可主要以积分的形式出现．我们分别叙述如下：微分形式．(x)在[a，b]上可微，且积分形式．可微，且发现f(x)的积分的微分正是它自己(在一定条件下即可保证)．只有在这一发现得到之后，才能说微积分产生了，因为这一定理奠定了微积分的理论基础．牛顿的发现在莱布尼茨之前，但发表的时间在莱布尼茨之后，他们两人又确系各自独立的发现，而且背景也有所不同．因此，虽然后来也曾出现过关于发现的优先权的争议，最终的看法却达成一致：牛顿和莱布尼茨共同创立了微积分的基本定理．微积分的伟大意义可以从4个方面去看．1．对数学自身的作用．自从有了解析几何和微积分，就开辟了变量数学的时代，因而数学开始描述变化，描述运动．微积分改变了整个数学世界的面貌．牛顿、莱布尼茨17世纪创立的微积分还存在着明显的逻辑缺陷，但是这种缺陷并未抑制它旺盛的生命力．18世纪的数学家们在微积分提供的思维和工具的基础上阔步前进，迅速创立了许多数学分支，诸如微分方程，无穷级数，变分法等．在进入19世纪之后，还有诸多与微积分直接相关的数学分支产生，原有的一些数学分支也开始利用微积分的方法，前者包括复变函数，微分几何等，后者包括数论，概率论等．可以说，在有了微积分之后的两、三百年期间，数学获得了极大的发展，获得了空前的繁荣．微积分的严密逻辑基础也在19世纪完善地建立起来．微积分基本定理的表现形式在多维空间和一般拓扑空间中也获得了拓广，在更广阔的领域中延伸，进一步显示了它在数学领域里的普遍意义．2．对其他自然科学和工程技术的作用．有了微积分，整个力学、物理学都得以它为工具来加以改造，微积分成了物理学的基本语言，而且，许多物理学问题要依靠微积分来寻求解答．“数理不分家”，这句话在有了微积分之后就具有了真实的意义，离开了微积分不可能有现代物理，无论是力学、电学还是光学、热学．微积分的创立得到了天文学的启示，此后，天文学再也离不开微积分．19世纪上半叶可能还认为化学只需要简单的代数知识，而生物学基本上与数学没有联系．现在，化学、生物学、地理学等都必须深入地同微积分打交道．3．对人类物质文明的影响工程技术是最直接影响人类物质生活的，然而工程技术的基础即数理科学，也可以说，现代工程技术少不了微积分的支撑．从机械到材料力学，从大坝到电站的建设，都要利用微积分的思想和方法．如果说在落后的生产方式之下，只需要少量的几何、三角知识就可以工作的话，如今，任何一个未学过微积分的人都不可能从事科学技术工作．在有了微积分和万有引力原理之后，人们就预见了人造卫星及宇宙飞行的可能，并且早已利用微积分计算出了宇宙速度．今日满天飞行的人造卫星早在微积分产生之初就已在学者们的预料之中．在今天人类广泛的经济活动、金融活动中，微积分也成了必不可少的工具．微积分诞生之初的主要背景是物理学和几何学，而今，它几乎为一切领域所运用．它对人类物质生活的影响是越来越大．4．对人类文化的影响只要研究变化规律就要用上微积分，在人文、社会科学领域亦如此，因而微积分也渗透于人文、社会科学，用它来描述和研究规律性的东西．哲学尤其关注微积分，那是因为微积分给了哲学许多的启示，它不仅影响到哲学方法，也影响到世界观．辩证唯物主义更关注微积分．马克思十分关心数学，何止是关心，他对数学还曾有过广泛而深入的研究，特别对微积分有专门的研究．马克思在1863年7月6日致恩格斯的信中说：“有空时我研究微积分．顺便说说，我有许多关于这方面的书籍，如果您愿意研究，我准备寄给您一本．”①1865年5月20日，马克思又在给恩格斯的一封信中说到：“在工作之余——西，任何其他读物总是把我赶回写字台来．”②马克思不只研究牛顿、莱布尼茨，而且研究了牛顿、莱布尼茨之后一个多世纪内的一批著名数学家，如达朗贝尔，欧拉，拉格朗日等人．1882年11月22日，马克思在致恩格斯的一封信中还说到：“我未尝不可用同样的态度去对待所谓微分方法的全部发展——这种方法始于牛顿和莱布尼茨的神秘方法，继之以达朗贝尔和欧拉的唯理论的方法，终于拉格朗日的严格的代数方法(但始终是从牛顿—莱布尼茨的原始的基本原理出发的)，——我未尝不可以用这样的话去对待分析的这一整个发展过程，说它在利用几何方法于微分学方面，也就是使之几何形象化方面，实际上并未引起任何实质性的改变．”③马克思那个时代写到了“终于拉格朗日”表明马克思已站在前沿，他可能还未看到柯西、魏尔斯特拉斯的分析方法、极限方法，但也是从“牛顿—莱布尼茨”那里出发的．从1863年的信到1882年的信，从信中表现出来的对微积分越来越深入的分析，可以看出，马克思是多么认真、多么深入又在多么漫长的时间里关注和研究着微积分！我们可以想一想，马克思作为一位哲学家、思想家、经济学家、政治家为何如此深切地关心和深入地研究数学尤其是微积分？再看看恩格斯本人．恩格斯在《自然辩证法》中有一段许多人熟悉的话：“数学中的转折点是笛卡儿的变数．有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分学和积分学也就立刻成为必要的了，而它们也就立刻产生，并且是由牛顿和莱布尼茨大体上完成的，但不是由他们发明的．”①当然，应当说大体上是由他们发现的，另一位可以说接近这一发现的是牛顿的老师——巴罗．恩格斯还在《反杜林论》这部著作中说到：“因为辩证法突破了形式逻辑的狭隘界限，所以它包含着更广的世界观的萌芽．在数学中也存在着同样的关系．初等数学，即常数的数学，是在形式逻辑的范围内活动的，至少总的说来是这样，而变数的数学——其中最重要的部分是微积分——本质上不外是辩证法在数学方面的运用．”②事实上，恩格斯不只是注意深入研究微积分，研究数学，他还令人敬佩地广泛地研究了他所处时代的数十个自然科学领域的最新成果．也许，恩格斯是一个杰出的榜样，是从社会文化的角度深刻分析过自然科学的榜样．顺便说说，列宁对于数学，尤其是物理学，也有过浓厚的兴趣．似乎在马克思、恩格斯、列宁之后的马克思主义者很少有这种兴趣，更少有这样深刻的见解．这是不是一种遗憾呢？也许，不一定每位马克思主义者都需要有如此广博而深刻的自然科学见解，也许学识与智慧及其表现形式也不一样．然而，有一点似乎应当是共同的，任何一位真正的马克思主义者必然是对自然科学的各种进步寄予深切关注和满腔热情的支持，并且特别关注它们对社会进步的巨大影响．邓小平具有这样的品质，邓小平亦可算这一方面的典范，虽然他没有可能熟悉现代意义下的微积分，但他把社会文化与自然文化也联系在一起．三、非欧几何直到现在，知道非欧几何的大学生还少得可怜，甚至大学数学专业本科毕业了，学习了大约15年以上的数学，不少人还是不知道非欧几何．这一事实，让人在赞美非欧几何之时多少有些遗憾．为了使我们的叙述更实在些，不能不以尽可能简洁的方式介绍一下有关背景．欧几里得几何在公元前300年就产生了，现在简称欧氏几何．中学生所学的几何基本上是欧氏几何，这种几何已流传两千多年，至今每个学生仍然学习它，多多少少要学习；它的影响遍及世界各国．欧氏几何的主要特征是首开公理方法，不仅是在数学领域，而且是在整个科学领域开创了公理方法．公理方法的基本要点是，从少数几个概念(原始概念)和少数几个命题(原始命题，又称公理)出发；演绎出本学科其他所有概念和命题，从而构成这一学科的全貌．运用这种方法的学科因而自然地被认为具有最严密的演绎体系，做到了这一点的学科就被认为是严谨的科学，也被认为是十分成熟的学科门类．所以，几何被认为是最早成熟的自然科学分支．由于几何在数学领域长期作为主要的代表，。

初中数学——正多边形

初中数学——正多边形
考点一、正多边形和圆
1、正多边形的定义
各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。

2、正多边形和圆的关系
只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。

考点二、与正多边形有关的概念
1、正多边形的中心
正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。

2、正多边形的半径
正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。

3、正多边形的边心距
正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。

4、中心角
正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。

考点三、正多边形的对称性
1、正多边形的轴对称性
正多边形都是轴对称图形。

一个正n 边形共有n 条对称轴，每条对称轴都通过正n 边形的中心。

2、正多边形的中心对称性
边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。

3、正多边形的画法
先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。

考点四、弧长和扇形面积
1、弧长公式
n°的圆心角所对的弧长l 的计算公式为180
r
n l π=2、扇形面积公式
lR R n S 2
13602==π扇其中n 是扇形的圆心角度数，R 是扇形的半径，l 是扇形的弧长。

3、圆锥的侧面积
rl r l S ππ=∙=22
1其中l 是圆锥的母线长，r 是圆锥的地面半径。

正多边形和圆-ppt课件

“各边相等，各内角相等”是正多边形的两
个基本特征，当边数n>3时，二者必须同时具备，
缺一不可，否则多边形就不是正多边形.
感悟新知
3. 正多边形的有关概念
知1－讲
(1)正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫作正
多边形的中心 .
(2)正多边形的半径：正多边形的外接圆的半径叫作正多边形
的半径 .
心，OA 为半径作⊙ O，直径 FC ∥ AB， AO， BO
的延长线交⊙ O 于点 D， E.
求证：六边形 ABCDEF 为圆内接
正六边形 .
感悟新知
知1－练
思路导引：
感悟新知
知1－练
证明： ∵三角形 AOB 是正三角形，
∴∠ AOB= ∠ OAB= ∠ OBA=60°， OB=OA.
∴点 B 在⊙ O 上 .
(1)作半径为 0.9 cm 的⊙ O；
(2)用量角器画∠ AOB = ∠ BOC=120°，其中 A， B，C
均为圆上的点；
(3)连接 AB， BC， CA，则△ ABC 为
所求作的正三角形，如图 24. 3－4所示.
感悟新知
作法二
(1)作半径为 0.9 cm 的⊙ O；
知3－练
(2)作⊙ O 的任一直径 AB；
︵
︵
︵
︵
︵︵
∴BDE－CDE＝CDA－CDE，即BC＝AE.∴BC＝AE.
同理可证其余各边都相等，
∴五边形 ABCDE 是正五边形．
感悟新知
知识点 2 正多边形的有关计算
1. 正 n 边形的每个内角都等于
(－)· °
.

2. 正 n 边形的每个中心角都等于

数学教案-画正多边形

数学教案－画正多边形数学教案－画正多边形教学设计例如1教学目的：〔1〕理解用量角器等分圆心角来等分圆；掌握用尺规作圆内接正方形和正六边形，能作圆内接正八边形、正三角形、正十二边形；〔2〕通过画图培养学生的画图才能；〔3〕对学生进展审美教育，进步学生的审美才能，促进学生对几何学习的热情．教学重点：(1)量角器等分圆心角来等分圆；(2)尺规作圆内接正方形和正六边形．教学难点：准确作图．教学活动设计：〔一〕提出问题：由于正多边形在消费、生活实际中有广泛的应用性，所以会画正多边形应是学生必备才能之一．问题1：⊙O的半径为2cm，求作圆的内接正三角形．老师组织学生进展，方法不限．目的：充分开展学生的发散思维．〔二〕解决问题：以下为解决问题的参考方案：(上课时老师归纳学生的方法)(1)度量法：①用量角器或30°角的三角板度量，使∠BAO=∠CAO=30°．②用量角器度量，使∠AOB=∠BOC=∠COA=120°．(2)尺规法：〔如上右图〕用圆规在⊙O上截取长度等于半径〔2cm〕的弦，连结AB、BC、CA即可．(3)计算与尺规结合法：由正三角形的半径与边长的关系可得，正三角形的边长=R=2〔cm〕，用圆规在⊙O上截取长度为2〔cm〕的弦AB、AC，连结AB、BC、CA即可．〔三〕研究、归纳1、用量角器等分圆：根据：等圆中相等的圆心角所对应的弧相等．操作：两种情况：其一是依次画出相等的圆心角来等分圆，这种方法比拟准确，但是费事；其二是先用量角器画一个圆心角，然后在圆上依次截取等于该圆心角所对弧的等弧，于是得到圆的等分点，这种方法比拟方便，但画图的误差积累到最后一个等分点，使画出的正多边形的边长误差较大．问题2：把半径为2cm⊙O九等份．〔先画半径2cm的圆，然后把360°的圆心角9等份，每一份40°〕归纳：用量角器等分圆，方法简便，可以把圆任意n等分，但有误差．2、用尺规等分圆：〔1〕问题3：作正四边形、正八边形．老师组织学生，分析^p 、作图．归纳：只要作出⊙O的互相垂直的直径即得圆内接正方形，再过圆心作各边的垂线与⊙O相交，或作各中心角的角平分线与⊙O相交，即得圆接正八边形，照此方法依次可作正十六边形、正三十二边形、正____边形……〔2〕问题4：作正六、三、十二边形．老师组织学生，分析^p 、作图．归纳：先作出正六边形，那么可作正三角形，正十二边形，正二十四边形………理论上我们可以一直画下去，但大家不难发现，随着边数的增加，正多边形越来越接近于圆，正多边形将越来越难画．〔四〕总结〔1〕用量角器等分圆周作正n边形；〔2〕用尺规作正方形及由此扩展作正八边形、用尺规作正六边形及由此扩展作正12边形、正三角形．〔五〕作业教材P173中13．教学设计例如2教学目的：1、能应用画正多边形解决实际问题；会画正五边形的近似图；理解等分圆的美丽图形；2、通过运用正多边形的有关计算和画图解决实际问题培养学生分析^p 问题、解决问题的才能；3、对学生进展审美教育和文化传统教育和爱国教育；4、浸透数学建模思想．教学重点：应用正多边形的计算与画图解决实际问题．教学难点：数学模型的建立，和正多边形的有关计算问题．教学活动设计：〔一〕知识回忆：分别画半径2cm的圆内接正六边形、内接正三角形、内接正十二边形、内接正方形、内接正八边形．要求①尺规作图；②说明画法；③指出作图根据；④学生独立完成．老师巡视，对画的好的学生给于表扬，对有问题的学生给于指导．〔二〕画图应用：例1、有一个亭子，它的地基是半径为4m的正八边形，(1)用1∶200的比例尺画出地基平面图；(2)求地基的边长a8(准确到0.01m)和面积S8(准确到0.1m2)老师引导学生分析^p ：①比例尺=；②正八边形的半径R=2cm；③如何解正八边形和近似计算．〔1〕画法：1．以任意一点O为圆心，以4m的，即2cm 为半径画⊙O(如图)．2．作⊙O的直径AC、BD，使AC⊥BD．3．作平分、的直径EG、FH．4．顺次连结AE、EB、BF、FC、CG、GD、DH、HA．八边形AEBFCGDH就是亭子地基的.正八边形．〔2〕解〔学生分析^p 解题方法〕：〔m〕〔m〕〔m2〕答：〔略〕我国民间相传有五边形的近似画法，画法口诀是：“九五顶五九，八五两边分”，它的意义如图：假如正五边形的边长为10，作它的中垂线AF，取AF=15.4，在AF上取FM=9.5，那么AM=5.9，过点M作BE⊥AF，在BE上取BM=ME=8．连结AB、BC、DE、EA即可．例2、用民间相传画法口诀，画边长为20mm的正五边形．分析^p ：要画边长20mm的正五边形，关键在于计算出口诀中各局部的尺寸，由于要画的正五边形与口诀正五边形相似，所以要画的正五边形的各局部应与口诀正五边形各局部对应成比例．由知道要画正五边形的边CD=20mm．请同学们算出各局部的尺寸，并按口诀画出正五边形ABCDE．〔画法：略．参看教材P170〕说明：虽然这种画法是近似画法，但是这种画法的准确度却是很高的．有才能的学生课下可以探究和计算．通过正五边形的民间近似画法的教学弘扬民族文化，提醒其科学性，浸透理论出真知的观点．〔三〕优美图案欣赏和画法：请学生欣赏以下图案，分析^p 图案构造，画出图案．组织学生进展，可以让学生独立完成，也可以让学生协作完成，对画的较好的同学给予表彰．〔四〕总结1、运用正多边形的知识解决实际问题；2、学习了民间画正五边形的近似画法；3、学习了分解与组合有关正多边形的几何图案．〔五〕作业教材P171中练习1；P173中12；P173中14．探究活动图案设计某学校在教学楼前的圆形广场中，准备建造一个花园，并在花园内分别种植牡丹、月季和杜鹃三种花卉。

画正多边形(二)数学教案

画正多边形(二)数学教案
标题：画正多边形（二）数学教案
一、课程目标
1. 学习并理解正多边形的概念和性质。

2. 掌握用直尺和圆规绘制正多边形的方法。

3. 培养学生的空间想象能力和动手操作能力。

二、教学内容
1. 正多边形的基本概念和性质
2. 绘制正多边形的方法
三、教学过程
1. 引入新课：通过回顾上节课的内容，引出正多边形的概念和性质。

2. 新知识讲解：
a. 正多边形的基本概念和性质：包括定义、内角和、外角和等。

b. 绘制正多边形的方法：详细讲解如何使用直尺和圆规绘制正多边形，可以通过演示或让学生自己尝试的方式进行。

3. 实践活动：让学生自己尝试绘制不同数量边的正多边形，巩固所学知识。

4. 总结与复习：总结本节课的主要内容，并对学生的实践活动进行反馈和评价。

四、作业布置
1. 完成课本上的练习题。

2. 自己尝试绘制更多的正多边形。

五、教学反思
分析学生在课堂上的反应和学习效果，思考如何改进教学方法和策略。

六、教学资源
提供一些相关的教具和参考资料，如直尺、圆规、正多边形的实物模型等。

七、拓展阅读
提供一些相关的课外读物或网站，供学生进一步了解正多边形的知识。

3.7正多边形

什么叫多边形
n边形内角和等于（n -2）180°（n≥3）。 n边形的外角和等于360°。
在同一平面内，由不在同一条直线上的若干条线段（线段的条数不小于3）首尾顺次相接形成的图形，叫做多边形．
第1页，共20页。
3.7 正多边形
E
A
D
B
C
第2页，共20页。
三条边相等，
四条边相等，
正三三个角相等角形（60度）。
：4、8、16、32等
用量角器（一般）
计算圆心角
2、已知正多边形作外接圆。
找圆心、半径
完成作业题3、4、5
第16页，共20页。
四、正多边形的对称性
填写书本100页表格
1、正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过n边形的中心。
2. 边数是偶数的正多边形还是中心对称图形。
正方形
四个角相等（900）。
一 .正多边形定义各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形.
如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边形
叫做正n边形。
第3页，共20页。
根据边数不同，分别叫做
正三角形正五边形
正方形
正六边形正八边形
第4页，共20页。
思考: 菱形是正多边形吗?矩形是正多边形呢?
矩形不是正多边形，因为四条边不都相等;
因为n是正整数，所以不存在内角为100°的正多边形.
第7页，共20页。
作业题：
1、求正七边形的内角的度数。 2、已知一个正多边形的内角1400，它是几边形？
第8页，共20页。
做一做：
用直尺和圆规作出它们的外接圆
A

A
D
B
C

尺规正五边形原理证明

尺规正五边形原理证明
五边形正五边形是多边形中一种最重要的形状，它有着广泛的历史记录和传统。

几乎所有数学家都熟知五边形正五边形的原理，即证明只要符合相应的条件，就可以形成正五边形。

首先，任何多边形的所有内角之和都应该小于360°。

因此，只有5个角的多边形的内角总和才是360°。

正五边形有五个等边，每个角的度数都是36°，所以它的内角总和也是36°X5 = 180°。

其次，任何多边形的每两条边的夹角的和应该是180°。

正五边形的每两条边之间的夹角都是72°，因此它的每对角度之和也是
72°X5 =360°。

最后，当多边形的内角总和等于180°，而每对角度之和等于360°时，这个多边形就是五边形正五边形。

由于经过前面两个条件的验证，我们可以得出结论，如果多边形满足内角总和的条件与每对角度之和的要求，就形成了五边形正五边形。

由于正五边形符合上述条件，我们可以得出结论，五边形正五边形就是这样形成的。

它是一种相当有趣的多边形形状，也是广泛应用于几何学和数学方面的最重要的多边形之一。

它也被用于建筑、绘画等人们日常生活和活动中。

综上所述，五边形正五边形的原理可以从多个条件出发来证明：只要符合内角总和和每对角度之和的要求，就可以形成五边形正五边形。

这也说明了它的历史和传统的重要性以及它在几何学和数学方面的重要性。

正正八边形的尺规作图

正六边形．
利用这种
方法可以
画出任意
O·
的正n边形.
60°
第二种方法，如图，以2cm为半径作一个⊙O，由于正六边形的半径等于边长，所以在圆上依次截取等于2cm的弦，就可以将圆六等分，顺次连接各分点即可．
O·
三、拓展练习
探究
参照图，按照一定比例，画一个停车让行的交通标志的外缘．
A
如图：
B
已知点A、B、C、D、E是⊙O Nhomakorabea的5等分点，
画出⊙O的内接和外
C
切正五边形
E O
D
练习
用等分圆周的方法画出下列图案：
四、小结
二、新知讲解
画正多边形的方法 1.用量角器等分圆
2.尺规作图等分圆
(1)正四、正八边形的尺规作图（2）正六、正三、正十二边形的尺规作图
例如，我们可以这样来画一个边长为2cm的正六边形．
第一种方法，如图，以2cm为半径作一个⊙O，用量角器画一个等于
360 60 的圆心角，它对着一段弧，然后在圆上依次截取与这条弧6相等的弧，就得到圆的6个等分点，顺次连接各分点，即可得出
一、知识回顾
1、正多边形的各边相等 2、正多边形的各角相等
3、正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过n边形的中心。
4、边数是偶数的正多边形还是中心对称图形，它的中心就是对称中心。
实际生活中，经常会遇到画正多边形的问题，比如画一个六角螺帽的平面图，画一个五角星等，这些问题都与等分圆周有关，要制造如图中零件，也需要等分圆周．

正正八边形的尺规作图

例如，我们可以这样来画一个边长为2cm的正六边形．
第一种方法，如图，以2cm为半径作一个⊙O，用量角器画一个等于
360 60 的圆心角，它对着一段弧，然后在圆上依次截取与这条弧6相等的弧，就得到圆的6个等分点，顺次连接各分点，即可得出
正六边形．
利用这种
方法可以
画出任意
O·
的正n边形.
尺规作图等分圆尺规作图等分圆1正四正八边形的尺规作图正四正八边形的尺规作图22正六正三正六正三正十二边形的尺规作图正十二边形的尺规作图例如我们可以这样来画一个边长为2cm的正六边形
一、知识回顾
1、正多边形的各边相等 2、正多边形的各角相等
3、正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过n边形的中心。
C
切用等分圆周的方法画出下列图案：
四、小结
4、边数是偶数的正多边形还是中心对称图形，它的中心就是对称中心。
实际生活中，经常会遇到画正多边形的问题，比如画一个六角螺帽的平面图，画一个五角星等，这些问题都与等分圆周有关，要制造如图中零件，也需要等分圆周．
二、新知讲解
画正多边形的方法 1.用量角器等分圆
2.尺规作图等分圆
(1)正四、正八边形的尺规作图（2）正六、正三、正十二边形的尺规作图
60°
第二种方法，如图，以2cm为半径作一个⊙O，由于正六边形的半径等于边长，所以在圆上依次截取等于2cm的弦，就可以将圆六等分，顺次连接各分点即可．
O·
三、拓展练习
探究
参照图，按照一定比例，画一个停车让行的交通标志的外缘．
A
如图：
B
已知点A、B、C、D、
E是⊙O 的5等分点，
画出⊙O的内接和外

尺规作图与正多边形

《尺规作图与正多边形》教案设计一.前期分析1.容分析《尺规作图与正多边形》比较系统地研究了怎样的正多边形可以尺规作图做出来这个课题。

在课型上属于定理教学课，主要容是处理如何在圆里面做出相应的多边形边长来，我们初中就已经学习过一些简单的尺规作图，在初高中也已经接触了很多圆接正多边形。

启发学生联想所学知识，运用几何法，推导出定理 6.12。

了解这个定理就可以很快知道一个正多边形能不能尺规作图做出来。

2.学情分析（1）学生已经了解尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图（2）学生已经掌握五种基本作图：1、作一条线段等于已知线段；2、作一个角等于已知角；3、作已知线段的垂直平分线；4、作已知角的角平分线；5、过一点作已知直线的垂线；（3）学生已具备自学能力，能够独立建立直角坐标系来解决一些简单问题。

（4）学生或许建立模型的意识比较薄弱，所以要达到独立从特殊案例一般化推广到抽象数学问题的解决比较困难。

二．教学目标1.知识目标：通过对本节课的学习，掌握以下容：(1)能自己通过尺规作图作出正三，四，五边形(2)解释为什么做不出正七边形，正九边形(3)理解、掌握、应用公式n=2m p1p2……pk2.能力目标：(1)培养学生动手操作的能力，以及数形结合的思想。

(2)培养学生从特殊到一般化的推广，学生观察、分析问题、应用所学知识解觉问题的能力。

(3)通过在正多边形与费马素数之间建立起关系，在解决问题的过程中培养学生的联想能力、综合应用知识的能力3.情感目标：(1)培养学生的探究意识，激发学生学习兴趣，活跃学习氛围。

(2)鼓励学生探索规律、发现规律、解决实际问题(3)通过共同剖析、探讨问题，推进师生合作意识，加强相互评价与自我反思三．教学重点与难点分析1.教学重点是能自己通过尺规作图作出正三，四，五边形、解释为什么做不出正七边形，正九边形以及理解、掌握、应用公式n=2m p1p2……pk2.教学难点是启发学生联想所学知识，运用几何法，推导出定理6.12 n=2m p1p2……pk四．教学方法分析以学生自学为主，教师引导为辅。

如何尺规画正多边形[1]

1：尺规作出正三角形
2尺规作出正方形
3：尺规作出正六边形
4：尺规作出正十边形
5：尺规作出正十六边形
6：尺规作出正十七边形
7：尺规作出正十五边形
8：尺规作出正五边形
9：单尺作出正八边形
10：单尺作出正方形
11：单尺作出正六边形
12：单尺作出正五边形
13：单规找出两点间的三等分点
14：单规找出两点间的中点
15：单规作出等边三角形
16：单规作出正八边形
17：单规作出正方形
18：单规作出正六边形
19：单规作出正十边形
20：单规作出正十二边形
21：单规作出正十六边形
22：单规作出正十五边形
23单规作出正五边形
24：只有两个刻度的直尺作出正三角形
25：只有两个刻度的直尺作出正方形。

正六边形的三种画法

正六边形，也被称为完美六边形，拥有相等的六条边以及相等的六个角。

你可以用尺子和量角器画一个完美的六边形，用尺子和圆形物体画一个粗糙的六边形，或者只用笔和自己的直觉画一个随意的六边形。

如果你想知道画六边形的各种方法，请跟我来。

1.用圆规画一个完美的六边形用圆规画一个圆。

将铅笔放在圆规上。

张开圆规直到和你想要的圆半径一样长。

它可能只有几厘米宽。

然后，把圆规的角固定在纸上，另一端旋转360°画出一个圆。

有时候先画一半更容易，在一个方向上绘制半圈，然后返回，在另一个方向上再绘制半圈。

把圆规角固定到圆的边缘。

将它移到圆的上方。

不要改变圆规的半径。

用铅笔在圆的边缘做记号。

清晰一点，但不要下笔太重——待会你还要擦掉它。

记住保持圆规的半径不变。

将圆规的角移到标记点上。

把角固定到标记点的正中间。

用铅笔在圆的边缘上做另一个记号。

这将会创建和第一个标记点有一段距离的第二个标记点。

继续这样顺时针或者逆时针的绕圆做标记用同样的方法制作后四个标记点。

你结束的地方应该和你开始的地方重合。

如果没有，那可能是你在画的时候太用力或者太松，以至于改变了圆规的半径。

用尺子把标记点连接起来。

你在圆圈上标记的六个点就是六边形的六个顶点。

用尺子和铅笔在相邻的标记点之间画直线。

擦掉参考线。

这包括开始的圆，在边缘上做的标记，以及其他多余的痕迹。

当擦掉所有的参考线后，你的完美六边形就跃然纸上了。

2.用尺子和圆形物体画一个粗糙的六边形用铅笔描出玻璃杯的圆边。

这将创建一个圆。

一定要注意使用铅笔，因为你稍后还要擦掉它。

你也可以描倒着的被子，罐子或食品容器，或者其他有圆形底座的物体的边缘。

在你圈子的中心画一条水平线。

你可以通过尺子，书本或者其他有直边的物体来做这件事。

如果你有尺子，就可以通过测量圆的垂直长度的一半来把圆更平均的分成两部分。

在整个圆上画一个大X，把圆分成六等份。

因为在圆的中间你已经有了一条水平线，所以X的宽度一定要大于它的高度，这样才可以平均分成六等份。

初中尺规作图详细讲解(含图)

初中数学尺规作图讲解初等平面几何研究的对象,仅限于直线、圆以及由它们（或一部分)所组成的图形，因此作图的工具，习惯上使用没有刻度的直尺和圆规两种。

限用直尺和圆规来完成的作图方法,叫做尺规作图法.最简单的尺规作图有如下三条：⑴经过两已知点可以画一条直线；⑵已知圆心和半径可以作一圆；⑶两已知直线；一已知直线和一已知圆；或两已知圆,如果相交,可以求出交点;以上三条，叫做作图公法。

用直尺可以画出第一条公法所说的直线;用圆规可以作出第二条公法所说的圆；用直尺和圆规可以求得第三条公法所说的交点.一个作图题，不管多么复杂，如果能反复应用上述三条作图公法,经过有限的次数，作出适合条件的图形，这样的作图题就叫做尺规作图可能问题；否则，就称为尺规作图不能问题。

历史上,最著名的尺规作图不能问题是：⑴三等分角问题：三等分一个任意角；⑵倍立方问题：作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍；⑶化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积.这三个问题后被称为“几何作图三大问题”.直至1837年,万芝尔（Pierre Laurent Wantzel)首先证明三等分角问题和立方倍积问题属尺规作图不能问题；1882年,德国数学家林德曼（Ferdinand Lindemann）证明π是一个超越数（即π是一个不满足任何整系数代数方程的实数），由此即可推得根号π(即当圆半径1r=时所求正方形的边长）不可能用尺规作出，从而也就证明了化圆为方问题是一个尺规作图不能问题.若干著名的尺规作图已知是不可能的，而当中很多不可能证明是利用了由19世纪出现的伽罗华理论.尽管如此，仍有很多业余爱好者尝试这些不可能的题目，当中以化圆为方及三等分任意角最受注意。

数学家Underwood Dudley曾把一些宣告解决了这些不可能问题的错误作法结集成书.还有另外两个著名问题：⑴正多边形作法·只使用直尺和圆规，作正五边形。

·只使用直尺和圆规，作正六边形。

圆的内接正多边形的画法

得圆内接正三角形abc探索新知你能用以上方法画出正四边形正五边形正六边形吗
圆的内接正多边形的画法
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当堂训练
正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过n边形的中心。
当堂训练
边数是偶数的正多边形还是中心对称图形，它的中心就是对称中心。
D
F
E
·O
B
E
O·
A
O
·
D
90°
72°
60°
B
C
C
D
B
C
探索新知
你能尺规作出正六边形、正三角形、正十二边形吗？
F
E
O
A
·
D
以半径长在圆周上截取六段相等的弧，依次连结各等分点，则作出正六边形.
先作出正六边形，则可作正三角形，正十二边形，正二十四边
形………
B
C
探索新知
圆内接正五边形的画法：
① 以O为圆心，定长R为半径画圆，并作互相垂直的直径 MN和AP。
探索新知
怎样画一个正多边形呢？问题1：已知⊙O的半径为2cm，求作圆的内接正三角形.
A①用量角器度量，使源自∠AOB=∠BOC=∠COA=
120°，得A、B、C
120 ° O
② 顺次连接AB、BC、 CA。
得圆内接正三角形ABC
C
B
探索新知
你能用以上方法画出正四边形、正五边形、正六边形吗？
A
A
② 平分半径ON，得OK=KN。 B
③ 以K为圆心，KA为半径画弧与OM交于H，AH即为正五边形的边长。

(完整)尺规作图与正多边形

《尺规作图与正多边形》教案设计一。

前期分析1.内容分析《尺规作图与正多边形》比较系统地研究了怎样的正多边形可以尺规作图做出来这个课题。

在课型上属于定理教学课，主要内容是处理如何在圆里面做出相应的多边形边长来,我们初中就已经学习过一些简单的尺规作图,在初高中也已经接触了很多圆内接正多边形。

启发学生联想所学知识，运用几何法,推导出定理6.12。

了解这个定理就可以很快知道一个正多边形能不能尺规作图做出来。

2.学情分析（1）学生已经了解尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图（2)学生已经掌握五种基本作图：1、作一条线段等于已知线段；2、作一个角等于已知角;3、作已知线段的垂直平分线；4、作已知角的角平分线；5、过一点作已知直线的垂线；（3）学生已具备自学能力，能够独立建立直角坐标系来解决一些简单问题。

（4）学生或许建立模型的意识比较薄弱，所以要达到独立从特殊案例一般化推广到抽象数学问题的解决比较困难.二．教学目标1.知识目标：通过对本节课的学习,掌握以下内容：（1）能自己通过尺规作图作出正三,四，五边形(2）解释为什么做不出正七边形，正九边形(3）理解、掌握、应用公式n=p1p2……pk2.能力目标：(1）培养学生动手操作的能力，以及数形结合的思想。

(2）培养学生从特殊到一般化的推广,学生观察、分析问题、应用所学知识解觉问题的能力。

（3）通过在正多边形与费马素数之间建立起关系，在解决问题的过程中培养学生的联想能力、综合应用知识的能力3。

情感目标：（1)培养学生的探究意识，激发学生学习兴趣，活跃学习氛围。

（2）鼓励学生探索规律、发现规律、解决实际问题（3)通过共同剖析、探讨问题,推进师生合作意识，加强相互评价与自我反思三．教学重点与难点分析1.教学重点是能自己通过尺规作图作出正三，四,五边形、解释为什么做不出正七边形，正九边形以及理解、掌握、应用公式n=p1p2……pk2。

教学难点是启发学生联想所学知识，运用几何法，推导出定理6。

正多边形的画法

复习正n边形的一个内角的度数是（n 2） 180 ____________; n 360 中心角是___________; n 正多边形的中心角与外角的大小关系是________. 相等
都是 2、正多边形＿＿＿＿＿＿＿＿轴对称图形，一个正 n n边形共有＿＿＿条对称轴，每条对称轴都通中心过正n边形的＿＿＿＿＿＿＿＿。
你能用以上方法画出正四边形、正五边形、正六边形吗？
A O ·
90°
D
B O
A E
F
E O ·
60°
·
72°
Aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
D
B
C
C
D
B
C
你能尺规作出正四边形、正八边形吗？
A
D
O ·
B
C
只要作出已知⊙O的互相垂直的直径即得圆内接正方形，再过圆心作各边的垂线与⊙O相交，或作各中心角的角平分线与⊙O 相交，即得圆接正八边形，照此方法依次可作正十六边形、正三十二边形、正六十四边形……
边数是偶数的正多边形还是中心对称图形，它的中心就是对称中心。
由于正多边形在生产、生活实际中有广泛的应用性，所以会画正多边形应是学生必备能力之一。怎样画一个正多边形呢？问题1：已知⊙O的半径为2cm，求作圆的内接正三角形. A
120 ° O C B
①用量角器度量，使 ∠AOB=∠BOC=∠COA =120°． ②用量角器或30°角的三角板度量，使 ∠BAO=∠CAO=30°．
你能尺规作出正六边形、正三角形、正十二边形吗？
以半径长在圆周上截取六段相等的弧，依次连结各等分点，则作出正六边形. 先作出正六边形，则可作正三角形，正十二边形，正二十四边形………

画正多边形

画正多边形(一)一、教学目的1.使学生明确正多边形的作图，实质上就是等分圆周.2.使学生掌握等分圆周的两种方法，并了解各种方法的优缺点；熟练地用尺规作出正四、八边形，正六、三、十二边形.3.培养学生认真细致的良好作风和审美情趣.二、教学重点、难点重点：正四、六边形的尺规作图及其作法的理论根据.难点：清除作图中的累积误差.三、教学过程复习提问引入新课我们已经学过了正多边形的一些知识，并进行了有关的计算，但还不知道如何准确地画出这些图形.大家想想看，利用提问中的1和2知道正四、六边形的中心角或边长能不能将这些图形画出来？怎么画？其它的正n边形又怎么画？现在我们就来研究它们的画法.新课作半径为R的正n边形，关键是n等分这个圆.如何等分圆，介绍两种方法.1.用量角器等分圆这种用量角器等分圆的方法学生并不生疏.现在是对这种方法从理论上加深认识，画法上进上步熟练，范围上相应扩展.用量角器等分圆的两种方法：(1)是用量角器依次作相等的圆心角来等分圆；(2)所对的等弧.要使学生明确：(1)第二种方法画图操作较方便(可从实践中体会)；(2)这两种方法的理论根据都是在同圆中等圆心角对等弧、对等弦；(3)尽管上述等分圆的方法作出的等分点都是近似的，但却是一种简单有效而常用的方法.应切实掌握；(4)这些方法的实质，把等分弧的问题转化为作某一定值的角(用量角器)，或某一定值的线段(用刻度尺)的问题.2.用尺规等分圆周对于特殊的正n边形，还可以用直尺和圆规作出较准确的图形.这里重点介绍四、六等分圆的作法.然后采用逐次倍增就可将圆八等分、十六等分、……；十二等分、二十四等分、…….对于尺规作图要使学生明确：(1)作法的理论根据.如正方形，根据中心角等于90°，可以通过作互相垂直的直径来四等分圆；根据正六边形的中心角等于60°，可推出正六边形的边长与半径相等，所以以半径为弦在圆上截取等弧就可以六等分圆；(2)尺规等分圆，只能对于一些特殊值才可实现.实际上19世纪的德国数学家高期曾证明：如果n＞2的任意自然数都能用尺规n等分圆周，以防学生误解；(3)尽量减少用尺规通过等分圆作正多边形所造成的累积误差(这是操作不当，而不是理论所致).为此尽量避免从圆周上某一点连续截取等弧的方法.像教科书中正六边形、正十边形的作法那样来避免累积误差；(4)用尺规作图，从理论上来说虽然是准确的，但实际上存在着不可避免的作图误差.所以用尺规作出的图形事实上也带有近似性.补充例题已知：⊙O半径R=3cm.求作：⊙O的七等分点(用量角器).小结我们主要讲了用量角器和直尺圆规等分圆周两种方法，要弄清这些方法的理论根据，了解它们的优缺点.用量角器作图的优点：容易掌握，比较简单而且可以任意n等分圆周的近似作图法；缺点：误差较大，尤其当圆的半径较大时.尺规作图的优点：从理论上讲，这是准确的等分圆周的方法.当然，由于受工具的限制或操作不当，在圆周上依次截取等弧往往出现累积误差，致使等分圆周不准，但不是方法有误；缺点：局限性大，并非对于n的任意值都能使用.实际上用尺规只会把圆周3×2k，4×2k，5×2k，(k=0，1，2，3，…)等分，以及由此推得的如15等分圆周等.对于这两种方法的选择，要因题制宜，实用为佳.练习：教材中相关练习作业：教材中相关作业四、教学注意问题指导学生实际操作画正多边形(二)一、教学目的1.使学生进一步熟悉等分圆周的画法依据，熟练掌握作正多边形的两种方法.2.使学生掌握正五边形的近似画法.二、教学重点、难点重点：让学生自己动手画图，培养画图能力.难点：实际问题抽象为数学问题.训练解决实际问题的能力.三、教学过程复习提问1.用量角器等分圆周的理论根据是什么？用尺规6等分圆周的理论根据是什么？2.让学生在自己笔记本上用量角器作出半径为4cm的正九边形.引入新课我们已经知道作正多边形的问题实际就是等分它的外接圆的问题.因此，能把圆n等分时就能作出正n边形，并且也讲了两种等分圆的方法.能否较准确地作出正多边形，关键在于练习，熟练生巧.所以这一堂我们继续用讲过的画法练习画正多边形.同时再学习一种民间相传的正五边形的近似画法.新课1.画正八边形例1有一个亭子(课本图7-97)，它的地基是半径为4m的正八边形.(1)用1∶200的比例尺画出地基平面图；(2)求地基的边长(精确到0.01m)和面积S8(精确到0.1m2).这是一道联系实际，并且既画图又计算的综合题目.首先要使学生看懂图形，认清哪一部分是亭子的地基.然后再明确要画的图形是什么(实际问题转化为数学问题，这一步很重要).最后要明确计算的是哪一部分.可引导学生先按所给比例算出地基所在圆半径2cm，再按尺规作图将此圆八等分，画出正八边形.计算a8，r8，S8可由学生自己完成.2.正五边形的一种民间近似画法结合图形讲我国民间相传正五边形的近似画法口诀“九五顶五九，八五两边分“的意义.在学生理解口诀意义的基础上，引导学生按口诀顺序完成画图.“实践出真知“.根据实际需要人民群众在生活生产实践中创造了很多等分圆周的近似画法，这里所介绍的就是在我国民间广为流传、简单而又实用的方法.补充例题以正方形ABCD的四个顶点为圆心，对角线一半为半径画弧，交正方形于E，F，G，H，K，L，M，N.求证：EFGHKLMN为正八边形.小结这一小节我们主要讲的是画正多边形，画正多边形实质就是等分圆.圆有可能等分，保证了教材第7.16节第一个定理的存在意义.这个定理说明了圆内接正n边形的存在性，给出了画正n边形的方法.我们讲了等分圆周的几种方法，各有利弊，酌情选用.对于一些常用的如正四、八边形，正六、三、十二边形、正五边形等的画法要牢记.练习：教材中相关练习作业：教材中相关作业四、教学注意问题学生动手练习，提高画图能力.2．正多边形的有关计算怎样进行？答：正多边形的有关计算主要是研究正多边形的边长、半径、中心角、边心距、周长、面积等的计算问题．而解决这些问题的关键是把正多边形的有关计算，转化为解直角三角形问题．而下面的定理是转化的基石．定理：正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形．利用这个定理，我们可以把正n边形的计算问题归结为直角三角形的计算问题．这些直角三角形的一条直角边是正n边形的边心距；另一条直角边是正n边形的边a n的一半；它的斜边是正n边形的半径．一个锐角的度数是正n边形中心角度数αn的一半．如果正n边形的中心角、半径、边长、边心距、周长、面积分别用αn、R、a n、r n、P n和S n表示(图1)，那么对于这些计算公式大家会感到公式多、难记、难用，为此我们应当抓关键、抓联系．抓关键是：一个正多边形被它的半径和边心距分成2n个全等的直角三角形，而每个直角三角形都集中地反映了多边形各元素之间的关系，熟练地掌握直角三角形中的这些关系是进行正多边形的有关计算的关键．抓联系是：有关正多边形的计算公式，应根据正多边形各元素之间的内在联系进行推导，不要死记硬背这些公式．比如：正多边形的边长、边心距、半径可以通过解直角三角形AOM求得(见图2)；正n边形的周长，可以根据周长是边长的n倍求得；正n边形的面积，可以根据正n边形的面积是△AOB面积的n倍求得．正多边形的有关计算，主要熟悉正方形、正六边形、正三角形的有关计算，实际上是解有特殊角的直角三角形，这些计算在今后的学习中经常用到．如已知圆的半径为R，求它的内接正三角形、正方形、正六边形的边长、边心距及面积．[例] 已知正八边形的外接圆半径是R，求这个正八边形的周长和面积．解：图3中，设AB是正八边形的一边长，作AM⊥OB 于M．∵∠AOB=45°，OA=R，∴正八边形的周长为：∴正八边形的面积为解题时要画出示意图，再根据已知条件运用恰当的关系式进行计算．。