苏科版八年级数学上册勾股定理章节知识点

§3.1勾股定理

【知识点梳理】

一、格点图形的面积

在方格纸（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）中，我们把每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的图形称为格点图形.利用网格可以求出格点图形的面积. 例1：如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形”.图中的四边形ABCD 就是一个“格点多边形”，求四边形ABCD 的面积.

二、勾股定理

直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.若把直角三角形的两条直角边和斜边分别记为c b a 、、（如图3.1.1），则222c b a =+

例2：在Rt △ABC 中，∠C=90°.（1）如果AC=3,BC=4，那么AB= (2)如果AB=25，BC=24,那么AC=

三、勾股定理的验证

勾股定理的推导方法有很多种，到目前为止，能够验证勾股定理的方法有近500种.课本上是利用图形的“截、割、补、拼”来说明表示相同图形面积的代数式之间的恒等关系，既具有严密性，又具有直观性.

例3：如图，分别以边长分别为c b a 、、（c 为斜边）的直角三角形的3边为边向外作三个正方形拼成如图所示的图形，是利用面积知识验证勾股定理.

四、勾股定理的应用

勾股定理揭示了直角三角形中三条边之间的数量关系，只要知道直角三角形中任意两条边的长度就可以求出第三条边的长度.

例4：如图，滆湖有A 、B 两点，从与BA 方向成直角的BC 方向上的点C 处测得CA=13米，CB=12米，求AB 长.

【典例展示】

题型一格点图形中的距离问题

例1：如图，每个小方格的边长为1，A、B、C都在小方格的顶点上，则点B到AC所在直线的距离为

题型二运用勾股定理求直角三角形的边长

例2：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，若AC=6，BC=8，求：（1）DE的长；（2）△ADB的面积.

题型三折纸中勾股定理的运用

例3：如图，四边形ABCD是一张边长为9的正方形，将其沿MN折叠，使点B落在边CD上的点B′处，点A对应点为A′，且B′C=3，则AM的长是（）

A．1.5 B．2 C．2.25 D．2.5

题型四运用勾股定理进行说理

例4：如图，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为

D、E，F为BC的中点，BE与DF、DC分别交于点G，H，∠ABE=∠CBE．

（1）线段BH与AC相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由；（2）求证：BG2-GE2=EA2．

题型五 探索规律

例5：如图，OP=1，过点P 作PP 1⊥OP 且PP 1=1，得OP=2；再过点P1作P 1P 2⊥OP 1且P 1P 2=1，连接OP 2，得OP 2=3；又过点P 2作P 2P 3⊥OP 2且P 2P 3=1，得OP 3=4；…

依此法继续作下去，得OP 2014= ．

题型六 运用方程思想解题

例6:一个直角三角形的一条直角边长为5cm ，另一条直角边比斜

边短1cm 。求它的斜边长。

题型七 分类讨论题

例7：在△ABC 中，AB=15，AC=13，高AD=12，求△ABC 的周长.

【误区警示】

误点1 不能用图形面积表示代数式之间的数量关系，导致出现错误

例1：如图是由四个相同的直角三角尺拼接成的图形，设三角尺的直角边长分别为)(b a b a ＞、，则这两个图形能验证的等式是（ ）

A ．（a+b ）2-（a-b ）2=4ab

B ．（a 2+b 2）-（a-b ）2=2ab

C ．（a+b ）2-2ab=a 2+b 2

D ．（a+b ）（a-b ）=a 2-b 2

误点2 不能正确把握勾股定理的内涵，导致出现错误

例2：已知Rt △ABC 的两边长为3、4，求第三边长的平方.

§3.2勾股定理的逆定理

【知识点总结】

一、勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长分别为c b a 、、，且222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形. 例1：如图，判断图中的三角形是否是直角三角形？为什么？

二、勾股数

满足关系222c b a =+的3个正整数c b a 、、称为勾股数.利用勾股数可以构造直角三角形. 例2：分别以下列四组数为一个三角形的三边长：①6、8、10；②5、12、13；③8、15、17；④7、8、9.其中能构成直角三角形的有（ ）

A.4组

B.3组

C.2组

D.1组

【典例展示】

题型一 判断三角形的形状

例1：已知△ABC 的三边长分别为c b a 、、，且满足0641615)17(22=+-+-+-c c b a ，则△ABC 是（ ）

A.以a 为斜边的直角三角形

B.以b 为斜边的直角三角形

C.以c 为斜边的直角三角形

D.非直角三角形

题型二 运用勾股定理的逆定理进行计算

例2：如图，在△ABC 中，D 为边BC 上的一点，AB=13，AD=12,AC=15,BD=5，求DC 的长

题型三 运用勾股定理的逆定理进行说理

例3：如图，在△ABC 中，AB=13cm ，BC=10cm ，中线AD=12cm ，试说明△ABC 是等腰三角形

题型四 运用勾股定理的逆定理确定两直线的位置关系

例4：如图，在△ABC 中，D 为BC 的中点，AB=5，AD=6，AC=13，试说明AD 与AB 的位置关系

题型五 运用勾股定理的逆定理解决实际问题

例5：如图，在我国沿海有一艘不明国际的轮船进入我国还与，我

海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A 、B 两个基地前去

拦截，六分钟后同时到达C 地将其拦截．已知甲巡逻艇每小时航

行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西40°，

问：甲巡逻艇的航向？