第一章线性空间和线性变换概况讲解学习
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❖ 矩阵的广义逆：将逆矩阵的概念在矩阵不可 逆的情形正在推广就得到了广义逆或伪逆矩 阵的概念，从而使矩阵的求逆运算推广到了 更广的场合。
❖ Kronecker积：Kronecker积是矩阵的另一种 乘法，有广泛的应用。
第一章 线性空间与线性变换
第一章 线性空间与线性变换
1.1 线性空间 1.2 基与坐标、坐标变换 1.3 线性子空间 1.4 线性映射 1.5 线性映射的值域、核 1.6 线性变换的矩阵与线性变换的运算 1.7 n维线性空间的结构 1.8 线性变换的特征值与特征向量 1.9 线性变换的不变子空间 1.10 矩阵的相似形
Hale Waihona Puke Baidu 1.1 线性空间
一、线性空间概念 (a) 数域
数域(field)：关于四则运算封闭的数的集合。 ✓任何数域都含有元素0和元素1；
✓典型数域：复数域C，实数域R，有理数域Q； ✓任意数域F都包括有理数域Q。
阿贝尔群V和数域F上的线性运算具有良 (b) 线性空间 好性质，则<V，F>构成一个线性空间。
数因子结合律 单位向量
k lx kl x
1x x
则称V是F上的线性空间(linear space)。当F是实
数域时，称V为实线性空间；当F是复数域时，称
V为复线性空间。
例1 实系数，次数不超过n的一元多项式的集合构 成实数域R上的线性空间，但由所有次数为n的实 系数多项式构成的集合V不是实数域R上的线性空 间。 例2 闭区间[a,b]上所有实连续函数集 C[a,b]={f(x)|f(x)是[a,b]上实连续函数}. f,gC[a,b],kR,(f+g)(x)=f(x)+g(x), (kf)(x)=kf(x).不难证明C[a,b]满足线性空间的 定义,故它是实线性空间。
例3 所有n阶实向量的集合。Rn
例4 所有n阶实矩阵的集合。Rn×n
(c) 线性空间的基本性质 1. 零元素是唯一的； 2. 任一元素的负元素是唯一的；
3. 设k, 0,1 K，x, 0, x V，有
① 0x 0
② 1 x x
③ k0 0 ④ 若 kx 0 ，则
k 0或
x 0。
二、向量的线性相关性 给定线性空间V中一组元素x1,…,xm，对于x∈V， 若存在数域K中的一组数c1,…,cm使得
❖ 矩阵与矩阵的Jordan标准形：元素为的多项式的 矩阵称为矩阵。特征矩阵E-A就是矩阵的特例。 利用这个概念我们可以导出任一矩阵均相似于其 Jordan标准形这一重要结果。特征值与特征向量 在求Jordan标准形的过程中起到了重要的作用。 而Jordan标准形有助于解决许多问题。
❖ 内积空间、正规矩阵、Hermite矩阵：引入 内积的线性空间称为内积空间(欧氏空间和 酉空间)，内积将度量的概念引入到了线性 空间中，这样我们就可以在其中求距离、夹 角、极限等等。正规矩阵、Hermite矩阵、 二次型是本章的主要概念。
则称x是x1,…,xm的线性组合(linear combination)， 或称x能被x1,…,xm线性表示（线性表出）。 对于线性空间V中一组元素x1,…,xm，若存在数域F 中的一组不全为零的数c1,…,cm使得
则称x1,…,xm是线性相关(linearly dependent)的。 否则称x1,…,xm是线性无关(linearly independent) 的。
2. 如果向量组x1,x2,…,xr线性无关，而且可以被向 量组y1,y2,…,ys线性表出，则r≤s。
3. 两个等价的线性无关的向量组，必含有相同数 量的向量。
4. 如果向量组x1,x2,…,xr线性无关，但x1,x2,…,xr,y 线性相关，则y必可以由x1,x2,…,xr线性表出，且表 法唯一。
例5 在Rn中，分别讨论下面两个向量组的线性相 关性：
例6 讨论下面2阶矩阵的线性相关性： a1 1a 11 11
A 1 11 ,A 2 11 ,A 3 a1 ,A 4 1a . 例7 设V是R上全体实函数构成的线性空间，讨论V 中元素组t，et，e2t的线性相关性。
1. 一个向量线性相关的充要条件是它是零向量。 两个以上的的向量线性相关的充要条件是其中有 一个向量是其余向量的线性组合。
1.2 基与坐标、坐标变换
(a) 维数
线性空间V中线性无关向量组所含向量最大个数n 称为V的维数(dimension)，记为dimV=n。当n是有 限数时，称V为n维线性空间。当n=∞时，称V为无 限维线性空间。
❖ 矩阵分解：矩阵分解讲解满秩分解，正交三 角分解，奇异值分解，非负矩阵分解和谱分 解。
❖ 范数、序列、级数：定义了范数，我们就可 以定义矩阵序列、矩阵级数及其极限，并讨 论其收敛和发散性。
❖ 矩阵函数：以矩阵为变量的函数称为矩阵函 数。Jordan标准形在此起了很重要的作用。
❖ 函数矩阵与矩阵微分方程：将矩阵的概念 推广，元素为任意函数的矩阵称为函数矩阵。 这样我们可以求矩阵的导数、微分、积分， 并求解相应的微分方程。
给定非空集合V ，数域F，如果满足：
Ⅰ 在V中定义一个封闭的加法
加法交换律 x y y x
加法结合律 x y z x y z
零向量 x 0 x
负向量 x x 0
Ⅱ 在V中定义一个封闭的数乘运算
数对元素分配律 k x y kx ky
元素对数分配律 k l x kx lx
第一章线性空间和线性变换概况
主要内容
1. 线性空间与线性变换 2. 矩阵与矩阵的Jordan标准形 3. 内积空间、正规矩阵、Hermite矩阵 4. 矩阵分解 5. 范数、序列、级数 6. 矩阵函数 7. 函数矩阵与矩阵微分方程 8. 矩阵的广义逆 9. Kronecker积
❖ 线性空间与线性变换：以前我们谈集合和映射(自 己到自己的映射称为变换，一般映射总可以化为变 换)，现在谈空间与变换。一般我们指具有结构的 集合称为空间。(代数)结构是指定义了某些运算的 集合。如定义了线性运算(加和数乘)且运算满足一 定性质的集合称为线性空间。第一章是全书的基础， 重要概念有线性空间、线性子空间、线性变换及其 矩阵表示、核空间，值空间、线性变换的特征值与 特征向量。
❖ Kronecker积：Kronecker积是矩阵的另一种 乘法，有广泛的应用。
第一章 线性空间与线性变换
第一章 线性空间与线性变换
1.1 线性空间 1.2 基与坐标、坐标变换 1.3 线性子空间 1.4 线性映射 1.5 线性映射的值域、核 1.6 线性变换的矩阵与线性变换的运算 1.7 n维线性空间的结构 1.8 线性变换的特征值与特征向量 1.9 线性变换的不变子空间 1.10 矩阵的相似形
Hale Waihona Puke Baidu 1.1 线性空间
一、线性空间概念 (a) 数域
数域(field)：关于四则运算封闭的数的集合。 ✓任何数域都含有元素0和元素1；
✓典型数域：复数域C，实数域R，有理数域Q； ✓任意数域F都包括有理数域Q。
阿贝尔群V和数域F上的线性运算具有良 (b) 线性空间 好性质，则<V，F>构成一个线性空间。
数因子结合律 单位向量
k lx kl x
1x x
则称V是F上的线性空间(linear space)。当F是实
数域时，称V为实线性空间；当F是复数域时，称
V为复线性空间。
例1 实系数，次数不超过n的一元多项式的集合构 成实数域R上的线性空间，但由所有次数为n的实 系数多项式构成的集合V不是实数域R上的线性空 间。 例2 闭区间[a,b]上所有实连续函数集 C[a,b]={f(x)|f(x)是[a,b]上实连续函数}. f,gC[a,b],kR,(f+g)(x)=f(x)+g(x), (kf)(x)=kf(x).不难证明C[a,b]满足线性空间的 定义,故它是实线性空间。
例3 所有n阶实向量的集合。Rn
例4 所有n阶实矩阵的集合。Rn×n
(c) 线性空间的基本性质 1. 零元素是唯一的； 2. 任一元素的负元素是唯一的；
3. 设k, 0,1 K，x, 0, x V，有
① 0x 0
② 1 x x
③ k0 0 ④ 若 kx 0 ，则
k 0或
x 0。
二、向量的线性相关性 给定线性空间V中一组元素x1,…,xm，对于x∈V， 若存在数域K中的一组数c1,…,cm使得
❖ 矩阵与矩阵的Jordan标准形：元素为的多项式的 矩阵称为矩阵。特征矩阵E-A就是矩阵的特例。 利用这个概念我们可以导出任一矩阵均相似于其 Jordan标准形这一重要结果。特征值与特征向量 在求Jordan标准形的过程中起到了重要的作用。 而Jordan标准形有助于解决许多问题。
❖ 内积空间、正规矩阵、Hermite矩阵：引入 内积的线性空间称为内积空间(欧氏空间和 酉空间)，内积将度量的概念引入到了线性 空间中，这样我们就可以在其中求距离、夹 角、极限等等。正规矩阵、Hermite矩阵、 二次型是本章的主要概念。
则称x是x1,…,xm的线性组合(linear combination)， 或称x能被x1,…,xm线性表示（线性表出）。 对于线性空间V中一组元素x1,…,xm，若存在数域F 中的一组不全为零的数c1,…,cm使得
则称x1,…,xm是线性相关(linearly dependent)的。 否则称x1,…,xm是线性无关(linearly independent) 的。
2. 如果向量组x1,x2,…,xr线性无关，而且可以被向 量组y1,y2,…,ys线性表出，则r≤s。
3. 两个等价的线性无关的向量组，必含有相同数 量的向量。
4. 如果向量组x1,x2,…,xr线性无关，但x1,x2,…,xr,y 线性相关，则y必可以由x1,x2,…,xr线性表出，且表 法唯一。
例5 在Rn中，分别讨论下面两个向量组的线性相 关性：
例6 讨论下面2阶矩阵的线性相关性： a1 1a 11 11
A 1 11 ,A 2 11 ,A 3 a1 ,A 4 1a . 例7 设V是R上全体实函数构成的线性空间，讨论V 中元素组t，et，e2t的线性相关性。
1. 一个向量线性相关的充要条件是它是零向量。 两个以上的的向量线性相关的充要条件是其中有 一个向量是其余向量的线性组合。
1.2 基与坐标、坐标变换
(a) 维数
线性空间V中线性无关向量组所含向量最大个数n 称为V的维数(dimension)，记为dimV=n。当n是有 限数时，称V为n维线性空间。当n=∞时，称V为无 限维线性空间。
❖ 矩阵分解：矩阵分解讲解满秩分解，正交三 角分解，奇异值分解，非负矩阵分解和谱分 解。
❖ 范数、序列、级数：定义了范数，我们就可 以定义矩阵序列、矩阵级数及其极限，并讨 论其收敛和发散性。
❖ 矩阵函数：以矩阵为变量的函数称为矩阵函 数。Jordan标准形在此起了很重要的作用。
❖ 函数矩阵与矩阵微分方程：将矩阵的概念 推广，元素为任意函数的矩阵称为函数矩阵。 这样我们可以求矩阵的导数、微分、积分， 并求解相应的微分方程。
给定非空集合V ，数域F，如果满足：
Ⅰ 在V中定义一个封闭的加法
加法交换律 x y y x
加法结合律 x y z x y z
零向量 x 0 x
负向量 x x 0
Ⅱ 在V中定义一个封闭的数乘运算
数对元素分配律 k x y kx ky
元素对数分配律 k l x kx lx
第一章线性空间和线性变换概况
主要内容
1. 线性空间与线性变换 2. 矩阵与矩阵的Jordan标准形 3. 内积空间、正规矩阵、Hermite矩阵 4. 矩阵分解 5. 范数、序列、级数 6. 矩阵函数 7. 函数矩阵与矩阵微分方程 8. 矩阵的广义逆 9. Kronecker积
❖ 线性空间与线性变换：以前我们谈集合和映射(自 己到自己的映射称为变换，一般映射总可以化为变 换)，现在谈空间与变换。一般我们指具有结构的 集合称为空间。(代数)结构是指定义了某些运算的 集合。如定义了线性运算(加和数乘)且运算满足一 定性质的集合称为线性空间。第一章是全书的基础， 重要概念有线性空间、线性子空间、线性变换及其 矩阵表示、核空间，值空间、线性变换的特征值与 特征向量。