2012年金版新学案新编高三总复习第四章 第3课时
《金版新学案》2012高考政治总复习 经济常识 第一单元商品和商品经济第三课时 价值规律课件 大纲人教版
(3)价格围绕价值上下波动并不违背价值规律：第一，价格的波动是以价值 )价格围绕价值上下波动并不违背价值规律：第一， 为轴心的，不能脱离价值无限度地上涨或下跌，所以仍是价值决定价格。 为轴心的，不能脱离价值无限度地上涨或下跌，所以仍是价值决定价格。 第二，等价交换原则并不是体现在每一次具体的交换中， 第二，等价交换原则并不是体现在每一次具体的交换中，而是从一定时期 、从社会的总体来看，才体现等价交换的原则，可见等价交换的原则是在 从社会的总体来看，才体现等价交换的原则， 动态中实现的。等价交换原则要求商品价格既要反映商品价值，又要反映 动态中实现的。等价交换原则要求商品价格既要反映商品价值， 供求关系的变化。价格围绕价值上下波动表明， 供求关系的变化。价格围绕价值上下波动表明，社会必要劳动时间决定着 商品的价值量始终作为一种趋势、作为一个规律在贯彻着。 商品的价值量始终作为一种趋势、作为一个规律在贯彻着。 [点拨 价格与供求之间存在着双向制约的关系。 点拨] 价格与供求之间存在着双向制约的关，改善经营管理，提高劳动生产率。价值 )刺激商品生产者改进生产技术，改善经营管理，提高劳动生产率。 规律的刺激作用是通过商品按照社会必要劳动时间决定的价值量进行等价 交换实现的。 交换实现的。 (3)促使商品生产者在竞争中优胜劣汰。价值规律的分化作用是通过市场竞 )促使商品生产者在竞争中优胜劣汰。 争实现的。 争实现的。 3．市场是优化资源配置的方式 ． 价值规律发生作用是通过价格、供求和竞争来实现的。 价值规律发生作用是通过价格、供求和竞争来实现的。价值规律对商品经 济的三方面的调节作用可以归结为一点：市场是优化资源配置的方式。 济的三方面的调节作用可以归结为一点：市场是优化资源配置的方式。
第三课时 价值规律
1．价值规律的内容 ． (1)价值规律是商品经济的基本规律，只要存在商品生产和商品交换，就存在 )价值规律是商品经济的基本规律，只要存在商品生产和商品交换， 价值规律。 价值规律。 (2)价值规律的基本内容：商品的价值量是由生产商品的社会必要劳动时间决 )价值规律的基本内容： 定的，商品交换要以价值量为基础，实行等价交换。 定的，商品交换要以价值量为基础，实行等价交换。
2012年金版新学案新编高三总复习第四章 第2课时
(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题1．(2011·宁夏银川实验中学一模)已知正方形ABCD 中，E 是DC 的中点，且AB →＝a ，AD→＝b ，则BE →等于( )A ．b ＋12aB ．b －12aC ．a ＋12bD ．a －12b解析： BE →＝BC →＋CE →＝－12a ＋b .答案： B2．已知a ，b 是不共线的向量，若AB →＝λ1a ＋b ，AC →＝a ＋λ2b (λ1，λ2∈R )，则A 、B 、C 三点共线的充要条件为( )A ．λ1＝λ2＝－1B ．λ1＝λ2＝1C ．λ1λ2－1＝0D ．λ1λ2＋1＝1解析： ∵A 、B 、C 三点共线⇔AB →与AC →共线⇔AB →＝kAC →⇔⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝k ，kλ2＝1，∴λ1λ2－1＝0. 答案： C3．已知向量e 1与e 2不共线，实数x ，y 满足(3x －4y )e 1＋(2x －3y )e 2＝6e 1＋3e 2，则x －y 等于( )A ．3B ．－3C ．0D ．2 解析： ∵(3x －4y )e 1＋(2x －3y )e 2＝6e 1＋3e 2， ∴(3x －4y －6)e 1＋(2x －3y －3)e 2＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y －6＝0 ①2x －3y －3＝0 ② 由①－②得x －y －3＝0， 即x －y ＝3，故选A. 答案： A4．P ＝{α|α＝(－1,1)＋m (1,2)，m ∈R }，Q ＝{β|β＝(1，－2)＋n (2,3)，n ∈R }是两个向量集合，则P ∩Q 等于( )A ．{(1，－2)}B ．{(－13，－23)}C ．{(－2,1)}D ．{(－23，－13)}解析： P 中，α＝(－1＋m,1＋2m )，Q 中，β＝(1＋2n ，－2＋3n )． ∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋m ＝1＋2n ，1＋2m ＝－2＋3n .∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－12，n ＝－7. 此时α＝β＝(－13，－23)． 答案： B5．已知点A (2,1)，B (0,2)，C (－2,1)，O (0,0)，给出下面的结论：①直线OC 与直线BA 平行；②AB →＋BC →＝CA →； ③OA →＋OC →＝OB →；④AC →＝OB →－2OA →. 其中正确结论的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析： k OC ＝1－2＝－12，k BA ＝2－10－2＝－12，∴OC ∥BA ，①正确； ∵AB →＋BC →＝AC →，∴②错误； ∵OA →＋OC →＝(0,2)＝OB →，∴③正确； ∵OB →－2OA →＝(－4,0)，AC →＝(－4,0)， ∴④正确．故选C. 答案： C6．已知向量OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(k ＋1，k －2)，若A 、B 、C 三点不能构成三角形，则实数k 应满足的条件是( )A ．k ＝－2B ．k ＝12C ．k ＝1D ．k ＝－1解析： 若点A 、B 、C 不能构成三角形，则向量AB →，AC →共线， ∵AB →＝OB →－OA →＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，AC →＝OC →－OA →＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)，∴1×(k ＋1)－2k ＝0，解得k ＝1.答案： C 二、填空题 7．(2009·江西卷)已知向量a ＝(3,1)，b ＝(1,3)，c ＝(k,7)，若(a －c )∥b ，则k ＝________. 解析： 由已知得a －c ＝(3－k ，－6)，又∵(a －c )∥b ， ∴3(3－k )＋6＝0，∴k ＝5. 答案： 58．已知点A (1，－2)，若点A 、B 的中点坐标为(3,1)，且AB →与向量a ＝(1，λ)共线，则λ＝________.解析： 由A 、B 的中点坐标为(3,1)可知B (5,4)，所以AB →＝(4,6)，又∵AB →∥a ，∴4λ－1×6＝0，∴λ＝32.答案： 329．(2009·安徽卷)给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为120°.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动，若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值是________．解析： 建立如图所示的坐标系，则A (1,0)，B (cos 120°，sin 120°)，即B ⎝⎛⎭⎫－12，32.设∠AOC ＝α，则OC →＝(cos α，sin α)．＝(cos α，sin α)．∴⎩⎨⎧x －y2＝cos α，32y ＝sin α.∴⎩⎨⎧x ＝sin α3＋cos α，y ＝2sin α3，∴x ＋y ＝3sin α＋cos α＝2sin(α＋30°)． ∵0°≤α≤120°.∴30°≤α＋30°≤150°. ∴x ＋y 有最大值2，当α＝60°时取最大值． 答案： 2 三、解答题10．若a 、b 为不共线向量，(1)试证2a －b,2a ＋b 为平面向量的一组基底； (2)试用2a －b,2a ＋b 表示3a －b . 【解析方法代码108001052】 解析： (1)证明：∵a ，b 不共线，则2a ＋b ≠0， 假设2a －b ∥2a ＋b ，则2a －b ＝λ(2a ＋b )， 整理得：(2－2λ)a ＝(λ＋1)b ， ∴a ∥b ，这与a 、b 不共线矛盾．即2a －b,2a ＋b 为平面向量的一组基底． (2)设3a －b ＝x (2a －b )＋y (2a ＋b )， 即3a －b ＝(2x ＋2y )a ＋(y －x )b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ＝3，x －y ＝1，解得⎩⎨⎧x ＝54，y ＝14.因此3a －b ＝54(2a －b )＋14(2a ＋b )．11．已知A (1,1)、B (3，－1)、C (a ，b )．(1)若A 、B 、C 三点共线，求a 、b 的关系式；(2)若AC →＝2AB →，求点C 的坐标. 【解析方法代码108001053】解析： (1)由已知得AB →＝(2，－2)，AC →＝(a －1，b －1)， ∵A 、B 、C 三点共线， ∴AB →∥AC →，∴2(b －1)＋2(a －1)＝0， 即a ＋b ＝2.(2)∵AC →＝2AB →，∴(a －1，b －1)＝2(2，－2)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝4b －1＝－4， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5b ＝－3，∴点C 的坐标为(5，－3)． 12．(2011·浙江嘉兴一中一模)三角形的三内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，设向量m ＝(3c －b ，a －b )，n ＝(3a ＋3b ，c )，m ∥n .(1)求cos A 的值； (2)求sin(A ＋30°)的值．解析： (1)因为m ∥n ，所以3c －b 3a ＋3b＝a －b c ，得a 2＝b 2＋c 2－13bc ＝b 2＋c 2－2bc cos A .所以cos A ＝16.(2)由cos A ＝16得sin A ＝356，sin(A ＋30°)＝sin A cos 30°＋cos A sin 30° ＝356×32＋16×12＝1＋10512.。
2012年金版新学案新编高三总复习第十章 第3课时
第十章
统计、统计案例
栏目导引
解析：
(1)列表如下：
合计 20 25 112.3 90
i 1 2 3 4 5 xi 2 3 4 5 6 yi 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 xiyi 4.4 11.4 22.0 32.5 42.0 x2 4 9 16 25 36 i x ＝4； y ＝5；
n 2 xi ＝90； xiyi＝112.3 i＝ 1 i＝ 1
第十章 统计、统计案例
栏目导引
∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧
假设关于某设备的使用年限 x 和所支出的维 修费用 y(万元)，有如下表的统计资料：
使用年限x 维修费用y
2 2.2
3 3.8
4 5.5
5 6.5
6 7.0
若由资料可知 y 对 x 呈线性相关关系，试求： (1)线性回归直线方程； (2)估计使用年限为 10 年时， 维修费用是多少？
有关
第十章
统计、统计案例
栏目导引
相关关系的判断 判断两个变量正相关还是负相关， 有三种方法： (1)利用散点图； (2)利用相关系数 r 的符号； r>0 时， 当 正相关； r<0 时，负相关；
(3)在已知两变量线性相关时， 也可以利用回归 方程y ＝a＋bx.当 b>0 时， ＝a＋bx 是增函数， y 两变量是正相关，当 b<0 时，y ＝a＋bx 是减 函数，两变量是负相关．
n
第十章
统计、统计案例
栏目导引
xiyi－5 x y
∧
5
i＝ 1 5
b＝
x2－5 x 2 i
i＝ 1
∧ ∧
112.3－5×4×5 ＝ ＝1.23， 2 90－5×4
2012年金版新学案新编高三总复习选修4-2 第1课时
1.已知N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，则N 2＝________.解析： N 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1.答案： ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －12．(2010·福建福州)函数y ＝x 2在矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 14 变换作用下的结果为________．解析： ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 14⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ x 14y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′⇒x ＝x ′，y ＝4y ′， 代入y ＝x 2，得y ′＝14x ′2.答案： y ＝14x 23．(2010·江苏徐州)设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 2k 7，若AB ＝BA ，则k ＝________. 解析： AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋2k 1612＋4k 34，BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10 16k ＋21 2k ＋28，由AB ＝BA ，∴k ＝3. 答案： 34．(2010·江苏南通)设a ，b ∈R ，若矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 10 b 把直线l ：x ＋y －1＝0变成为直线m ：x －y －2＝0，则a ＝______，b ＝______.解析： ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 10 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝ax ＋y ，y ′＝by ， 代入x ′－y ′－2＝0，得a ＝2，b ＝－1. 答案： 2 －15．(2010·江苏南京)设数列{a n }、{b n }满足a n ＋1＝2a n ＋3b n ，b n ＋1＝2b n ，且满足⎣⎢⎡⎦⎥⎤a n ＋4b n ＋4＝M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a n b n ，二阶矩阵M 为______． 解析： 依题设有⎣⎢⎡⎦⎥⎤a n ＋1b n ＋1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 30 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a nb n ，令A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 30 2，则M ＝A 4，A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 30 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 30 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 120 4. M ＝A 4＝(A 2)2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 120 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 120 4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤16 960 16.答案： ⎣⎢⎡⎦⎥⎤16 960 16 6．设△OAB 的三个点坐标为O (0,0)，A (A 1，A 2)，B (B 1，B 2)，在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 k 0 1对应的变换下形成△OA ′B ′，则△OAB 与△OA ′B ′的面积之比________．解析： 由题意知T M 为切变变换，故变换前后的图形面积大小不变，∴面积之比为1∶1.答案： 1∶17．已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －3－4 6，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤8 45 5，C ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 －23 1.求AB 和AC . 解析： AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －3－4 6⎣⎢⎡⎦⎥⎤8 45 5＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －7－2 14，AC ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －3－4 6⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 －23 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 －7－2 14.8．求使等式⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 43 5＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1成立的矩阵M . 解析： 设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n p q ，则由⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 43 5＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2m 2n p q ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2m －2n p －q ， 则⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＝2－2n ＝4p ＝3－q ＝5⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1n ＝－2p ＝3q ＝－5，即M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －23 －5.9．运用旋转矩阵，求直线2x ＋y －1＝0绕原点逆时针旋转45°后所得的直线方程．解析： 旋转矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 45° －sin 45°sin 45° cos 45°＝22⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －11 1.直线2x ＋y －1＝0上任意一点(x 0，y 0)旋转变换后为(x 0′，y 0′)，得22⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －11 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0′y 0′， ∴⎩⎨⎧x 0′＝22x 0－22y 0，y 0′＝22x 0＋22y 0.即⎩⎨⎧x 0＝22x 0′＋22y 0′，y 0＝－22x 0′＋22y 0′.直线2x ＋y －1＝0绕原点逆时针旋转45°后所得的直线方程是2x ＋2y －22x ＋22y －1＝0，即22x ＋322y －1＝0. 10．(2010·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0,0)，B (－2,0)，C (－2,1)．设k为非零实数，矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k 00 1，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0，点A 、B 、C 在矩阵MN 对应的变换下得到的点分别为A 1、B 1、C 1，△A 1B 1C 1的面积是△ABC 的面积的2倍，求k 的值．解析： 由题设得MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k 00 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 k 1 0.由⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 k 1 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 k 1 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－2， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 k 1 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ k －2，可知A 1(0,0)，B 1(0，－2)，C 1(k ，－2)．计算得△ABC 的面积是1，△A 1B 1C 1的面积是|k |， 由题设知|k |＝2×1＝2，所以k 的值为－2或2.11．已知二阶矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 b c 1，矩阵M 对应的变换将点(2,1)变换成点(4，－1)．求矩阵M 将圆x 2＋y 2＝1变换后的曲线方程. 【解析方法代码108001163】解析： 由已知得M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 4－1，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 b c 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 4－1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋b ＝4，2c ＋1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝－1.∴M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2－1 1.设点P (x ，y )是圆x 2＋y 2＝1上的任意一点，变换后的点为P ′(x ′，y ′)，则M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋2y ，y ′＝－x ＋y ，从而⎩⎨⎧x ＝13(x ′－2y ′)，y ＝13(x ′＋y ′).则变换后的曲线方程为(x ′－2y ′)2＋(x ′＋y ′)2＝9， 即2x ′2－2x ′y ′＋5y ′2＝9. 12．(2010·江苏南通)在直角坐标系中，△OAB 的顶点坐标O (0,0)，A (2,0)，B (1，2)，求△OAB 在矩阵MN 的作用下变换所得到的图形的面积，其中矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12222. 解析： MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1220 －22，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 220 －22⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1220 －22⎣⎢⎡⎦⎥⎤20＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤20， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1220 －22⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－1. 可知O ，A ，B 三点在矩阵MN 作用下变换所得的点分别为O ′(0,0)′，A ′(2,0)，B ′(2，－1)．可知△O ′A ′B ′的面积为1.13．已知在一个二阶矩阵M 的变换作用下，点A (1,2)变成了点A ′(4,5)，点B (3，－1)变成了点B ′(5,1)．(1)求矩阵M ；(2)若在矩阵M 的变换作用下，点C (x,0)变成了点C ′(4，y )，求x ，y .解析： (1)设该二阶矩阵为M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，由题意得⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤51， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝4，c ＋2d ＝5，3a －b ＝5，3c －d ＝1，解得a ＝2，b ＝1，c ＝1，d ＝2，故M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 11 2. (2)因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2112⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x x ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4y ， 解得x ＝2，y ＝2.14．设平面上一矩形ABCD ，A (0,0)，B (2,0)，C (2,1)，D (0,1)．在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 211对应的变换作用下依次得到A ′，B ′，C ′，D ′.(1)求A ′，B ′，C ′，D ′的坐标．(2)判断四边形A ′B ′C ′D ′的形状，并求其面积．解析： (1)∵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 21 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 21 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤20＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 21 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 21 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21. ∴A ′(0,0)，B ′(2,2)，C ′(4,3)，D ′(2,1)． (2)∵ k A ′B ′＝1，k C ′D ′＝1，|A ′B ′|＝|C ′D ′|＝2 2. ∴四边形A ′B ′C ′D ′是平行四边形． 又∵直线A ′B ′的方程是x －y ＝0.∴D ′到A ′B ′的距离为22.∴S 四边形A ′B ′C ′D ′＝22×22＝2.15．二阶矩阵M 对应的变换将点(1，－1)与(－2,1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2)． (1)求矩阵M ；(2)设直线l 在变换M 作用下得到了直线m ：x －y ＝4.求直线l 的方程. 【解析方法代码108001164】解析： (1)设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ， 则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－1， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－2. 所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝－1c －d ＝－1，且⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝0－2c ＋d ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝2c ＝3d ＝4，所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234.(2)因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2y 3x ＋4y 且m ：x ′－y ′＝4， 所以(x ＋2y )－(3x ＋4y )＝4，即x ＋y ＋2＝0为直线l 的方程．16．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 1－1 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1.(1)计算AB ；(2)若矩阵B 把直线l ：x ＋y ＋2＝0变为直线l ′，求直线l ′的方程．解析： (1)∵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 1－1 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1.∴AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 1－1 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×1＋1×0 2×(－2)＋1×1－1×1＋2×0 (－1)×(－2)＋2×1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －3－1 4 (2)任取直线l 上一点P (x ，y )，P 经矩阵B 变换后为P ′(x ′，y ′)． 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －2y y . ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝x －2y ，y ′＝y . ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′＋2y ′y ＝y ′. 由于P (x ，y )在直线l 上，所以代入x ＋y ＋2＝0得x ′＋2y ′＋y ′＋2＝0. ∴x ′＋3y ′＋2＝0，∴直线l ′的方程为x ＋3y ＋2＝0.。
2012年金版新学案新编高三总复习第一章 第3课时
(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题1．将“x 2＋y 2≥2xy ”改写成全称命题，下列说法正确的是( )A ．∀x ，y ∈R ，都有x 2＋y 2≥2xyB ．∃x ，y ∈R ，都有x 2＋y 2≥2xyC ．∀x ＞0，y ＞0，都有x 2＋y 2≥2xyD ．∃x ＜0，y ＜0，都有x 2＋y 2≤2xy解析： 全称命题是∀x ，y ∈R ，x 2＋y 2≥2xy 都成立，故选A.答案： A2．若命题p ：∀x ∈R,2x 2－1＞0，则该命题的否定是( )A ．∀x ∈R,2x 2－1＜0B ．∀x ∈R,2x 2－1≤0C ．∃x ∈R,2x 2－1≤0D ．∃x ∈R,2x 2－1＞0解析： 全称命题的否定为特称命题．命题p 的否定为存在一个实数x,2x 2－1≤0，故选C.答案： C3．下列说法中，正确的是( )A ．命题“若am 2＜bm 2，则a ＜b ”的逆命题是真命题B ．命题“∃x ∈R ，x 2－x ＞0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－x ≤0”C ．命题“p ∨q ”为真命题，则命题“p ”和命题“q ”均为真命题D ．已知x ∈R ，则“x ＞1”是“x ＞2”的充分不必要条件解析： “∃x ∈R ，x 2－x ＞0”为特称命题，则它的否定应为全称命题，即“∀x ∈R ，x 2－x ≤0”，故选B.答案： B4．现有命题p 、q ，若命题m 为“p 且q ”，则“¬p 或¬q ”是¬m 的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析： p 且q 的否定是¬p 或¬q ，反之也成立．答案： C5．已知命题P ：∃a ，b ∈(0，＋∞)，当a ＋b ＝1时，1a ＋1b＝3；命题Q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1≥0恒成立，则下列命题是假命题的是( )A ．¬P ∨¬QB ．¬P ∧¬QC ．¬P ∨QD ．¬P ∧Q解析： 由基本不等式可得：1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ×(a ＋b )＝2＋b a ＋a b≥4，故命题P 为假命题，¬P 为真命题；∀x ∈R ，x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34＞0，故命题Q 为真命题，¬Q 为假命题，¬P ∧¬Q 为假命题，故选B.答案： B6．已知命题p ：“任意x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“存在x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0”．若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围为( )A ．a ≤－2或a ＝1B ．a ≤－2或1≤a ≤2C ．a ≥1D ．－2≤a ≤1解析： 由已知可知p 和q 均为真命题，由命题p 为真得a ≤1，由命题q 为真得a ≤－2或a ≥1，所以a ≤－2或a ＝1.答案： A二、填空题7．已知命题p ：“∃x ∈R *，x ＞1x”，命题p 的否定为命题q ，则q 是“________”；q 的真假为________．(填“真”或“假”)解析： x ＞1时，x ≤1x假． 答案： ∀x ∈R *，x ≤1x假 8．“若a ∉M 或a ∉P ，则a ∉M ∩P ”的逆否命题是________________________．解析： 命题“若p 则q ”的逆否命题是“若綈q 则綈p ”，本题中“a ∉M 或a ∉P ”的否定是“a ∈M 且a ∈P ”．答案： 若a ∈M ∩P ，则a ∈M 且a ∈P9．(2010·青岛模拟)命题“∃x ∈R,2x 2－3ax ＋9＜0”为假命题，则实数a 的取值范围为________．解析： 题目中的命题为假命题，则它的否命题“∀x ∈R,2x 2－3ax ＋9≥0”为真命题，也就是常见的“恒成立”问题，只需Δ＝9a 2－4×2×9≤0，即可解得－22≤a ≤2 2.答案： [－22，22]三、解答题10．分别指出下列命题的形式及构成它的简单命题，并判断真假．(1)相似三角形周长相等或对应角相等；(2)9的算术平方根不是－3；(3)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧．解析： (1)这个命题是p ∨q 的形式，其中p ：相似三角形周长相等，q ：相似三角形对应角相等，因为p 假q 真，所以p ∨q 为真．(2)这个命题是¬p 的形式，其中p ：9的算术平方根是－3，因为p 假，所以¬p 为真．(3)这个命题是p ∧q 的形式，其中p ：垂直于弦的直径平分这条弦，q ：垂直于弦的直径平分这条弦所对的两条弧，因为p 真q 真，所以p ∧q 为真．11．写出下列命题的否定并判断其真假：(1)p ：不论m 取何实数，方程x 2＋mx －1＝0必有实数根；(2)p ：有的三角形的三条边相等；(3)p ：∃x 0∈N ，x 20－2x 0＋1≤0.解析： (1)¬p ：存在一个实数m ，使方程x 2＋mx －1＝0没有实数根．因为该方程的判别式Δ＝m 2＋4＞0恒成立，故¬p 为假命题．(2)¬p ：所有的三角形的三条边不全相等．显然¬p 为假命题．(3)¬p ：∀x ∈N ，x 2－2x ＋1＞0.显然当x ＝1时，x 2－2x ＋1＞0不成立，故¬p 是假命题．12．已知两个命题p ：sin x ＋cos x ＞m ，q ：x 2＋mx ＋1＞0.如果对∀x ∈R ，p 与q 有且仅有一个是真命题．求实数m 的取值范围．解析： ∵sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≥－2， ∴当p 是真命题时，m ＜－ 2.又∵对∀x ∈R ，q 为真命题，即x 2＋mx ＋1＞0恒成立，有Δ＝m 2－4＜0，∴－2＜m ＜2.∴当p 为真，q 为假时，m ＜－2，且m ≤－2或m ≥2，即m ≤－2，当p 为假，q 为真时，m ≥－2且－2＜m ＜2，即－2≤m ＜2，。
2012年金版新学案新编高三总复习第二章 第3课时
栏目导引
判断下列函数的奇偶性： 1 1)f(x)＝|x|(x ＋1)；(2)f(x)＝ x＋x； －x2＋2x＋1x＞0， (3)f(x)＝ 2 x ＋2x－1x＜0；
2
4－x2 (4)f(x)＝ . |x＋3|－3
第二章
函数、导数及其应用
栏目导引
解析： (1)此函数的定义域为 R. ∵f(－x)＝|－x|[(－x)2＋1]＝|x|(x2＋1)＝f(x)， ∴f(－x)＝f(x)，即 f(x)是偶函数． (2)此函数的定义域为 x＞0，由于定义域关 于原点不对称， 故 f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
第二章 函数、导数及其应用
栏目导引
解析： (1)由奇函数图象对称性质补出其在[－ 5,0)上的图象，由图象知解集为(－2,0)∪(2,5]． (2)由已知 f(x)在[0，＋∞)上为增函数， 且 f(a)＝f(|a|)， ∴f(a)≥f(2)⇒f(|a|)≥f(2)， ∴|a|≥2 得 a≥2 或 a≤－2.
第二章
函数、导数及其应用
栏目导引
1．对任意实数 x，下列函数中为奇函数的是 ( ) A．y＝2x－3 B．y＝－3x2 C．y＝ln 5x D．y＝－|x|cos x
解析： 若 f(x)＝ln 5x，则 f(－x)＝ln 5－x＝ ln(5x)－1 ＝－ln 5x＝－f(x)． x ∴函数 y＝ln 5 为奇函数．
第二章 函数、导数及其应用
栏目导引
(3)f(0)＝0，f(2)＝0，f(1)＝1，f(3)＝－1. 又 f(x)是周期为 4 的周期函数， ∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6) ＋f(7)＝…＝f(2 008)＋f(2 009)＋f(2 010) ＋f(2 011)＝0. ∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 011)＝0.
金版新学案新编高三总复习-第4课时省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
第五章 数列
栏目导引
4．已知数列{an}的通项 an＝－5n＋2，则其前 n
项和 Sn＝______.
解析： Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an ＝－5(1＋2＋3＋…＋n)＋2n ＝－5n2n＋1＋2n
＝－5n22－n.
答案：
－5n2－n 2
第五章 数列
栏目导引
5．数列 1,412，714，1018，…前 10 项的和为________． 解析： 1＋421＋714＋1081＋…＋285112
第五章 数列
栏目导引
数列求和的方法 (1)一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先 求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有 关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的 方法求和． (2)数列求和的常见类型及方法 ①an＝kn＋b，利用等差数列前 n 项和公式直接求解； ②an＝a·qn－1，利用等比数列前 n 项和公式直接求解，
(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意
将两式“错位项对齐”以便下一步准确写出
“Sn－qSn”的表达式．
第五章 数列
栏目导引
数列{an}中 a1＝3，已知点(an，an＋1)在直线 y＝ x＋2 上， (1)求数列{an}的通项公式； (2)若 bn＝an·3n，求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
⑦an＝(－1)nf(n)，可采用相邻两项合并求解，
即采用“并项法”．
第五章 数列
栏目导引
从近两年高考试题来看，错位相减法求和 是高考旳热点，题型以解答题为主，往往 和其他知识相结合，考察较为全方面，在 考察基本运算、基本概念旳基础上又注ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 考察学生分析问题、处理问题旳能力．
第五章 数列
2012年金版新学案新编高三总复习选修4-2 第1课时
栏目导引
a (2)矩阵的乘法：二阶矩阵 矩阵的乘法： 矩阵的乘法 c a 则为： 则为： c
b x 与 的乘法规 d y
d y
ax＋by ＋ x b ＋ cx＋dy ＝ _________.
选修4-2
矩阵与变换
栏目导引
(2)因为矩阵 M 对应的线性变换将直线变成直线 因为矩阵 (或点 ， 或点)， (1,3) 或点 所以可取直线 y＝3x 上的两点 ＝ 上的两点(0,0)， ， 1 －10 0 1 －11 － 2 得 ： ＝ ， ＝ 由 10 0 －1 13 2 －1 点 (0,0)， (1,3)在矩阵 M 所对应的线性变换作用 ， 在矩阵 下的像分别是点(0,0)， (－2,2)． 下的像分别是点 ，－ ． 从而直线 y＝3x 在矩阵 M 所对应的线性变换作 ＝ ＝－x. 用下的像的方程为 y＝－ ＝－
(2)矩阵乘法满足结合律 矩阵乘法满足结合律(AB)C＝A(BC)． 矩阵乘法满足结合律 ＝ ．
选修4-2
矩阵与变换
栏目导引
思考探究】 【思考探究】 矩阵乘法满足交换律和消去 律吗？ 律吗？
提示： 提示： 不满足 ，只满足结合律 ． 不满足 只满足结合律．
选修4-2
矩阵与变换
栏目导引
矩阵的运算
矩阵的运算只满足结合律， 矩阵的运算只满足结合律，不满足交换律和 消去律． 消去律．
a b 解析： 解析： 设 M＝ ＝ ， d c 1 1 a 1 由 M ＝ 得， ＝ ， 0 0 c 0
所以 a＝1， c＝0. ＝ ， ＝
选修4-2
矩阵与变换
2012年金版新学案新编高三总复习第四章 章末优化训练
章末优化训练(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知x ∈R ，i 为虚数单位，若(1－2i)(x ＋i)＝4－3i ，则x 的值等于( ) A ．－6 B ．－2 C ．2 D ．6解析： 依题意(1－2i)(x ＋i)＝x ＋2＋(1－2x )i ＝4－3i ，则x ＋2＝4，解得x ＝2，故选C. 答案： C2．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且|AB |＝λ|DC |，设AB →＝a ，AD →＝b ，则AC →＝( ) A ．λa ＋b B ．a ＋λb C.1λa ＋b D ．a ＋1λb 解析： AC →＝AD →＋DC →＝b ＋1λAB →＝b ＋1λa .故选C.答案： C3．复数(1＋2i )(2＋i )(1－i )2等于( )A.52 B ．－52 C.52i D ．－52i 【解析】 (1＋2i )(2＋i )(1－i )2＝2＋4i ＋i ＋2i 2－2i ＝5i －2i＝－52，故选B. 答案： B4．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若P A →＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则BC →＝( )A ．(－2,7)B ．(－6,21)C ．(2，－7)D ．(6，－21)解析： AQ →＝PQ →－P A →＝(－3,2)，∴AC →＝2AQ →＝(－6,4)． PC →＝P A →＋AC →＝(－2,7)，∴BC →＝3PC →＝(－6,21)．故选B. 答案： B5．已知a ，b 是非零向量且满足(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a 与b 的夹角是( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6解析： ∵(a －2b )⊥a ，∴(a －2b )·a ＝a 2－2a ·b ＝0， 即a 2＝2a ·b .∵(b －2a )⊥b ，∴(b －2a )·b ＝b 2－2a ·b ＝0，即b 2＝2a ·b .∴a 2＝b 2＝2a ·b .∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝a ·b a 2＝12.又〈a ，b 〉∈[0，π]，∴〈a ，b 〉＝π3.答案： B6．已知A (－1,0)，B (1,0)，点P 满足P A →·PB →＝1，则|P A →＋PB →|等于( )解析： 设点P 的坐标为(x ，y )，则P A →·PB →＝(－1－x ，－y )·(1－x ，－y )＝x 2－1＋y 2＝1，整理可得x 2＋y 2＝2，即点P 的轨迹是以原点O 为圆心，半径为2的圆，∴|P A →＋PB →|＝|2PO →|＝2 2.答案： A7．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若AO →＝λAB →＋μBC →，则λ＋μ＝( )A ．1 B.12C.13D.23解析： AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →，即2AO →＝AB →＋13BC →，AO →＝12AB →＋16BC →.故λ＋μ＝12＋16＝23.故选D. 答案： D8．已知向量a ＝(cos 2α，sin α)，b ＝(1,2sin α－1)，α∈⎝⎛⎭⎫π4，π，若a ·b ＝25，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值为( )A.13B.27C.17D.23解析： 由a ·b ＝25得：cos 2α＋sin α(2sin α－1)＝25，又cos 2α＝1－2sin 2α，即1－2sin 2α＋2sin 2α－sin α＝25，有sin α＝35，若α∈⎝⎛⎦⎤π4，π2，则sin α＞22＞35，所以α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则 tan α＝－34，所以tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝17，故选C.答案： C 9．下列各式：①|a |＝a ·a ；②(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )；③OA →－OB →＝BA →；④在任意四边形ABCD 中，M 为AD 的中点，N 为BC 的中点，则AB →＋DC →＝2MN →； ⑤a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，且a 与b 不共线，则(a ＋b )⊥(a －b )． 其中正确的个数有( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解析： |a |＝a ·a 正确； (a ·b )·c ≠a ·(b ·c )；OA →－OB →＝BA →正确； 如右图所示， MN →＝MD →＋DC →＋CN →且MN →＝MA →＋AB →＋BN →，两式相加可得2MN →＝AB →＋DC →，即命题④正确；∵a ，b 不共线，且|a |＝|b |＝1，∴a ＋b ，a －b 为菱形的两条对角线，即得(a ＋b )⊥(a －b )． ∴命题①③④⑤正确． 答案： D10．点M 是边长为2的正方形ABCD 内或边界上一动点，N 是边BC 的中点，则AN →·AM →的最大值是( )A ．2B ．4C ．5D ．6解析： 以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则N (2,1)，B (2,0)，D (0,2)，C (2,2)．设点M 坐标为(x ，y )，则AM →·AN →＝(x ，y )·(2,1)＝2x ＋y .当直线2x ＋y ＝0平移到点C 时，Z max ＝2×2＋2＝6.故选D.答案： D 11．设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)．定义一种向量积：a ⊗b ＝(a 1，a 2)⊗(b 1，b 2)＝(a 1b 1，a 2b 2)．已知m ＝⎝⎛⎭⎫2，12，n ＝⎝⎛⎭⎫π3，0，点P (x ，y )在y ＝sin x 的图象上运动，点Q 在y ＝f (x )的图象上运动，满足OQ →＝m ⊗OP →＋n (其中O 为坐标原点)，则y ＝f (x )的最大值A 及最小正周期T 分别为( )A ．2，πB ．2,4π C.12，4π D.12，π 解析： 设Q (x 0，y 0)，OQ →＝(x 0，y 0)，OP →＝(x ，y )，∵OQ →＝m ⊗OP →＋n ，∴(x 0，y 0)＝⎝⎛⎭⎫2，12⊗(x ，y )＋⎝⎛⎭⎫π3，0 ＝⎝⎛⎭⎫2x ，12y ＋⎝⎛⎭⎫π3，0＝⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，12y ， ∴⎩⎨⎧x 0＝2x ＋π3，y 0＝12y ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x 0－π6，y ＝2y 0.代入y ＝sin x 中，得2y 0＝sin ⎝⎛⎭⎫12x 0－π6， 所以最大值为12，周期为4π，选C.答案： C12．设a ，b ，c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a 与b 不共线，a ⊥c ，|a |＝|c |，则|b ·c |的值一定等于( )A ．以a ，b 为两边的三角形的面积B ．以b ，c 为两边的三角形的面积C ．以a ，b 为邻边的平行四边形的面积D ．以b ，c 为邻边的平行四边形的面积解析： ∵|b ·c |＝|b |·|c |·|cos θ|，如图，∵a ⊥c ，∴|b ·cos θ|就是以a 、b 为邻边的平行四边形的高，而|a |＝|c |，∴|b ·c |＝|a |(|b |·|cos θ|)， ∴|b ·c |表示以a 、b 为邻边的平行四边形的面积． 答案： C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上) 13．若平面向量a ，b 满足|a ＋b |＝1，a ＋b 平行于y 轴，a ＝(2，－1)，则b ＝________. 解析： 由a ＋b 平行于y 轴设b ＝(－2，y )，因为|a ＋b |＝1，所以(y －1)2＝1，故y ＝0或2.所以b ＝(－2,0)或b ＝(－2,2)． 答案： (－2,0)或(－2,2)14．已知复数z 1＝3－i ，z 2是复数－1＋2i 的共轭复数，则复数i z 1－z 24的虚部等于________．解析： i z 1－z 24＝i 3－i －－1－2i 4＝3i －110－－1－2i 4＝3＋16i 20，其虚部为45.答案： 4515．如图，在平面四边形ABCD 中，若AC ＝3，BD ＝2，则(AB →＋DC →)·(AC →＋BD →)＝________.解析： (AB →＋DC →)·(AC →＋BD →)＝(DB →－DA →＋DA →＋AC →)·(AC →＋BD →)＝(AC →－BD →)·(AC →＋BD →)＝AC →2－BD →2＝32－22＝5.答案： 516．(2011·济南市质检)在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝2，∠A ＝90°，如果不等式|BA →－tBC →|≥|AC →|恒成立，则实数t 的取值范围是________．解析： 由AB ＝3，BC ＝2，∠A ＝90°可知∠B ＝30°，则由题意知|BA →|2＋t 2|BC →|2－2tBA →·BC →≥|AC →|2，即4t 2－6t ＋2≥0，解得t ≥1或t ≤12.答案： ⎝⎛⎦⎤－∞，12∪[1，＋∞) 三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )，x ∈R . (1)若a ⊥b ，求x 的值； (2)若a ∥b ，求|a －b |.解析： (1)若a ⊥b ，则a ·b ＝(1，x )·(2x ＋3，－x )＝1×(2x ＋3)＋x (－x )＝0.整理得x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3. (2)若a ∥b ，则有1×(－x )－x (2x ＋3)＝0， 即x (2x ＋4)＝0，解得x ＝0或x ＝－2. 当x ＝0时，a ＝(1,0)，b ＝(3,0)，∴|a －b |＝|(1,0)－(3,0)|＝|(－2,0)|＝(－2)2＋02＝2. 当x ＝－2时，a ＝(1，－2)，b ＝(－1,2)， ∴|a －b |＝|(1，－2)－(－1,2)|＝|(2，－4)| ＝22＋(－4)2＝2 5.18．(12分)已知A (1,0)，B (0,1)，C (2sin θ，cos θ)．(1)若|AC →|＝|BC →|，求tan θ的值；(2)若(OA →＋2OB →)·OC →＝1，其中O 为坐标原点，求sin 2θ的值． 解析： (1)∵A (1,0)，B (0,1)，C (2sin θ，cos θ)， ∴AC →＝(2sin θ－1，cos θ)，BC →＝(2sin θ，cos θ－1)． ∵|AC →|＝|BC →|，∴(2sin θ－1)2＋cos 2θ＝(2sin θ)2＋(cos θ－1)2，∴2sin θ＝cos θ，∴tan θ＝12.(2)∵OA →＝(1,0)，OB →＝(0,1)，OC →＝(2sin θ，cos θ)， ∴OA →＋2OB →＝(1,2)，∵(OA →＋2OB →)·OC →＝1，∴2sin θ＋2cos θ＝1，∴sin θ＋cos θ＝12，∴(sin θ＋cos θ)2＝14，∴sin 2θ＝－34.19．(12分)设在平面上有两个向量a ＝(cos α，sin α)(0°≤α＜360°)，b ＝⎝⎛⎭⎫－12，32.(1)求证：向量a ＋b 与a －b 垂直；(2)当向量3a ＋b 与a －3b 的模相等时，求α的大小．解析： (1)证明：因为(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2＝(cos 2α＋sin 2α)－⎝⎛⎭⎫14＋34＝0，故a ＋b 与a －b 垂直．(2)由|3a ＋b |＝|a －3b |，两边平方得3|a |2＋23a ·b ＋|b |2＝|a |2－23a ·b ＋3|b |2， 所以2(|a |2－|b |2)＋43a ·b ＝0， 而|a |＝|b |，所以a ·b ＝0，则⎝⎛⎭⎫－12·cos α＋32·sin α＝0，即cos(α＋60°)＝0， ∴α＋60°＝k ·180°＋90°， 即α＝k ·180°＋30°，k ∈Z ， 又0°≤α＜360°，则α＝30°或α＝210°.20．(12分)已知A (－1,0)，B (0,2)，C (－3,1)，且AB →·AD →＝5，|AD →|2＝10. (1)求D 点的坐标；(2)用AB →，AD →表示AC →.解析： (1)设D (x ，y )，则AB →＝(1,2)，AD →＝(x ＋1，y )． ∴AB →·AD →＝x ＋1＋2y ＝5， ① |AD →|2＝(x ＋1)2＋y 2＝10. ②联立①②，解之得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1. ∴D 点的坐标为(－2,3)或(2,1)．(2)当D 点的坐标为(－2,3)时，AB →＝(1,2)， AD →＝(－1,3)，AC →＝(－2,1)， 设AC →＝mAB →＋nAD →，则(－2,1)＝m (1,2)＋n (－1,3)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ －2＝m －n ，1＝2m ＋3n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝1.∴AC →＝－AB →＋AD →.当D 点的坐标为(2,1)时，设AC →＝pAB →＋qAD →， 则(－2,1)＝p (1,2)＋q (3,1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ －2＝p ＋3q ，1＝2p ＋q .∴⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1，q ＝－1， ∴AC →＝AB →－AD →.所以当D 点的坐标为(－2,3)时，AC →＝－AB →＋AD →；当D 点的坐标为(2,1)时，AC →＝AB →－AD →.21．(12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知m ＝⎝⎛⎭⎫cos 3A 2，sin 3A 2，n ＝⎝⎛⎭⎫cos A 2，sin A2，且满足|m ＋n |＝ 3. (1)求角A 的大小；(2)若|AC →|＋|AB →|＝3|BC →|，试判断△ABC 的形状. 【解析方法代码108001058】 解析： (1)由|m ＋n |＝3，得m 2＋n 2＋2m ·n ＝3，即1＋1＋2⎝⎛⎭⎫cos 3A 2cos A 2＋sin 3A 2sin A2＝3， ∴cos A ＝12，∵0＜A ＜π，∴A ＝π3.(2)∵|AC →|＋|AB →|＝3|BC →|， ∴b ＋c ＝3a ，∴sin B ＋sin C ＝3sin A ，∴sin B ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝3×32， 即32sin B ＋12cos B ＝32， ∴sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6＝32，又∵0＜B ＜2π3， ∴π6＜B ＋π6＜5π6， ∴B ＋π6＝π3或2π3，故B ＝π6或π2，当B ＝π6时，C ＝π2；当B ＝π2，C ＝π6.故△ABC 是直角三角形．22．(14分)已知O 为坐标原点，向量OA →＝(sin α，1)，OB →＝(cos α，0)，OC →＝(－sin α，2)，点P 满足AB →＝BP →.(1)记函数f (α)＝PB →·CA →，α∈⎝⎛⎭⎫－π8，π2，讨论函数f (α)的单调性，并求其值域； (2)若O ，P ，C 三点共线，求|OA →＋OB →|的值. 【解析方法代码108001059】解析： (1)AB →＝(cos α－sin α，－1)，设OP →＝(x ，y )，则BP →＝(x －cos α，y )． 由AB →＝BP →得x ＝2cos α－sin α，y ＝－1， 故OP →＝(2cos α－sin α，－1)． PB →＝(sin α－cos α，1)，CA →＝(2sin α，－1)，f (α)＝PB →·CA →＝(sin α－cos α，1)·(2sin α，－1)＝2sin 2α－2sin αcos α－1＝－(sin 2α＋cos 2α)＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4， 又α∈⎝⎛⎭⎫－π8，π2，故0＜2α＋π4＜5π4， 当0＜2α＋π4≤π2，即－π8＜α≤π8时，f (α)单调递减；当π2＜2α＋π4＜5π4，即π8＜α＜π2时，f (α)单调递增， 故函数f (α)的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫π8，π2，单调递减区间为⎝⎛⎦⎤－π8，π8， 因为sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4∈⎝⎛⎦⎤－22，1， 故函数f (α)的值域为[－2，1)． (2)OP →＝(2cos α－sin α，－1)，OC →＝(－sin α，2)，由O ，P ，C 三点共线可得(－1)×(－sin α)＝2×(2cos α－sin α)，得tan α＝43，sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α＝2425. |OA →＋OB →|＝(sin α＋cos α)2＋1＝2＋sin 2α＝745.。
2012年金版新学案新编高三总复习选修4-4 第1课时
个方程， 个方程，得 2λx－µy＝ 4，与 x－2y＝ 2 比较系 － ＝ ， － ＝ 数得 λ＝1，µ＝ 4， ＝ ， ＝ ，
x′＝x， ′ ， 也就是说， 即 也就是说，直线 x－2y＝2 图象 － ＝ ′ ， y′＝ 4y，
上所有点的横坐标不变，纵坐标扩大到原来的 上所有点的横坐标不变， 4 倍可得到直线 2x′－ y′＝4. ′ ′
选修4-4
坐标系与参数方程
栏目导引
4．柱坐标系与球坐标系 ． 设空间中一点M的直角坐标为 的直角坐标为(x， ， ， 点 设空间中一点 的直角坐标为 ，y，z)，M点 坐标面上的投影为M 点在xOy平面 在xOy坐标面上的投影为 0，M0点在 坐标面上的投影为 平面 上的极坐标为(ρ， ，则三个有序数ρ、 上的极坐标为 ，θ)，则三个有序数 、 θ、z构成的 数组 ，θ，z) 称为空间中点 的 构成的_____________称为空间中点 、 构成的 数组(ρ， ， 称为空间中点M的 柱坐标．在柱坐标中，限定ρ≥0,0≤θ<2π，z为 柱坐标．在柱坐标中，限定 ，为 任意实数．由此可见， 任意实数．由此可见，柱坐标就是平面上的 极坐标，加上与平面垂直的一个直角坐标． 极坐标，加上与平面垂直的一个直角坐标． 因此， 因此，由平面上极坐标和直角坐标的变换公 式容易得到： 式容易得到：
提示： 规定极点的极坐标是极径 ＝ ， 提示： 规定极点的极坐标是极径 ρ＝ 0， 极角可取任意角． 极角可取任意角．
选修4-4
坐标系与参数方程
栏目导引
3．极坐标与直角坐标的转化 ． 为平面上的一点，它的直角坐标为(x， ， 设 M 为平面上的一点，它的直角坐标为 ，y)， 极坐标为(ρ， ．由图可知下面的关系式成立： 极坐标为 ，θ)．由图可知下面的关系式成立： x＝ρcos θ ＝ ，或 ＝ ρsin θ y＝_______
2012年金版新学案新编高三总复习第四章 第1课时
栏目导引
平面向 量的数 量积及 平面向 量应用 举例
第四章
知识点
考纲下载
1.理解复数的基本概念． 理解复数的基本概念． 理解复数的基本概念 2.理解复数相等的充要条件． 理解复数相等的充要条件． 理解复数相等的充要条件 数系的 3.了解复数的代数表示法及其几何意 了解复数的代数表示法及其几何意 扩充与 义． 复数的 4.会进行复数代数形式的四则运算． 会进行复数代数形式的四则运算． 会进行复数代数形式的四则运算 引入 5.了解复数代数形式的加、减运算的几 了解复数代数形式的加、 了解复数代数形式的加 何意义. 何意义
解析： ＝－k(b－ ， 解析： 由已知得 a＋λb＝－ －3a)， ＋ ＝－
λ＝－1 ＝－ λ＝－ ＝－k ＝－ 3 ∴ ，解得 1 ＝ 3k＝1 ＝ k＝3
.
1 答案： 答案： －3
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
栏目导引
5．已知平面上不共线的四点 O、A、 B、C. ． 、 、 、 → |AB| → → → 等于________． 若OA－3OB＋2OC＝0， ， 则 等于 ． → |BC| → → → → 解析： 由已知得， OA－ OA OB＝2(OB－OC)， 解析： 由已知得， －OB＝2(OB－OC)， ，
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
栏目导引
给出下列命题： 【变式训练】 1.给出下列命题： 变式训练】 给出下列命题 ①有向线段就是向量，向量就是有向线段； 有向线段就是向量，向量就是有向线段； → → 为平行四边形； ②若AB＝DC，则 ABCD 为平行四边形； ③若 a＝b，b＝c，则 a＝c； ＝ ， ＝ ， ＝ ； ④若 a∥b，b∥c，则 a∥c. ∥ ， ∥ ， ∥ 其中正确命题的个数是( 其中正确命题的个数是 A．0 ． C．2 ．
2012年金版新学案新编高三总复习第五章 第3课时
第五章 数列
栏目导引
解析： 是等差数列， a 解析： (1)∵{an}是等差数列， 1＝1， 2＝a， ∵ 是等差数列 a ， ， ∴an＝1＋(n－1)(a－1)． ＋ － － ． 又 ∵ b3 ＝ 12， ∴ a3a4 ＝ 12， 即 (2a－ 1)(3a－ 2) ， ， － － 12， ＝12， 5 解得 a＝2 或 a＝－6. ＝ ＝－ ∵a＞0，∴a＝2.∴an＝n. ＞ ， ＝ ∴
第五章 数列
栏目导引
(4)等比数列的前 n 项和公式 等比数列的前
___ na1 Sn＝ a1(1－qn) a1－anq － ＝ __________________ 1－q 1－q － －
(q＝1) ＝ ) (q≠1). ≠ )
第五章 数列
栏目导引
2．等比数列的性质 ． 已知等比数列{a 的前 已知等比数列 n}的前 n 项和为 Sn. (1)数列 数列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{an·bn}({bn}也是 数列 ≠ ， ， 也是 1 2 等比数列)，{an}，a 等也是等比数列． 等比数列 ， ， 等也是等比数列． n (2)数列 am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等 数列 比数列． 比数列．
第五章 数列
栏目导引
1．等比数列{an}中 a5＝4，则 a2·a8 等于 ．等比数列 等于( 中 ， A．4 B．8 ． ． C．16 ． D．32 ．
解析： 解析： ∵{an}是等比数列且 2＋8＝2×5， 是等比数列且 ＋ ＝ × ， ∴a2·a8＝a2＝16. 5
)
答案： 答案：
C
第五章 数列
答案： 答案：
C
第五章 数列
栏目导引
2012年金版新学案新编高三总复习选修4-5 第1课时
{x|x∈R且x≠0} ___ ∈ 且 ≠ _____________ R
选修4-5
不等式选讲
栏目导引
(2)|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c＞0)型不 ＋ ＞ 和 ＋ ＞ 型不 等式的解法 ＋ ①|ax＋b|≤c⇔_____________； ＋ ⇔ －c≤ax＋b≤c ； ＋ 或 ＋ － ②|ax＋b|≥c⇔_________________. ＋ ⇔ ax＋b≥c或ax＋b≤－c.
选修4-5
不等式选讲
栏目导引
给出以下三个命题： 给出以下三个命题： ①若|a－b|<1，则|a|<|b|＋1； － ， ＋ ； ②若 a、b∈R，则|a＋b|－2|a|≤|a－b|； 、 ∈ ， ＋ － ≤ － ； x 2 ③若|x|<2，|y|>3，则 < . ， ， y 3 其中所有正确命题的序号是________． 其中所有正确命题的序号是 ．
选修4-5
不等式选讲
栏目导引
解析： 解析：
(1)y＝ |2x＋1|－ |x－3|＝ ＝ ＋ － － ＝ －x－4， x≤－ 1， － ， ≤ 2 1 － ，－ ， 3x－ 2，－2<x<3， x＋ 4，x≥3. ＋ ， ≥ 的图象， 作出函数 y＝ |2x＋1|－ |x－3|的图象，它与直 ＝ ＋ － － 的图象 线 y＝ 4 的交点为 － 8,4)和 (2,4)． ＝ 的交点为(－ 和 ． 则 |2x＋1|－ |x－3|≤4 的解集为 －8,2]． ＋ － － ≤ 的解集为[－ ．
选修4-5
不等式选讲
栏目导引
设 a∈R，函数 f(x)＝ax2＋x－a(－1≤x≤1)， ∈ ， ＝ － － ≤ ≤ ， 5 若|a|≤1，求证：|f(x)|≤ . ≤ ，求证： ≤ 4 证明： 证法一： 证明： 证法一：∵－1≤x≤1，∴|x|≤1. ≤ ≤ ， ≤ 又∵|a|≤1， ≤ ， ∴ |f(x)|＝ |a(x2－ 1)＋x|≤|a(x2－1)|＋ |x| ＝ ＋ ≤ ＋ ≤|x2－ 1|＋ |x|＝ 1－|x|2＋ |x| ＋ ＝ － 1 2 5 5 ＝－|x|－ ＋ ≤ . － 2 4 4
2012年金版新学案新编高三总复习选修4-2 第2课时
栏目导引
二元一次方程组的矩阵解法
1．用矩阵方法求解二元一次方程组的关键是 ． 求解系数所对应的矩阵的逆矩阵． 求解系数所对应的矩阵的逆矩阵． a b 2． ． 若系数矩阵为 则方程组的解可以表 ， d c x a b－1e 达成 ＝ . d f y c
d b － ad－bc － － ad－bc ＝ . c a － － － ad－bc ad－bc
a A＝ ＝ c
b －1 时，有 A d
选修4-2
矩阵与变换
栏目导引
2．若 A，B 两个矩阵均存在可逆矩阵时，则 ． 阵均存在可逆矩阵时， ， 两个矩阵均存在可逆矩阵时 －1 －1 －1 有(AB) ＝B A ；若 A，B，C 为二阶矩阵 ， ， 可逆， ＝ ＝ ， 且 A 可逆，则当 AB＝AC 时，有 B＝C，即此 时矩阵乘法的消去律成立． 时矩阵乘法的消去律成立．
可
1 见， α1＝ 是 1
M 的属于 λ1＝ 2 的特征向量． 的特征向量．
x x x＋ y＝ 0， ＋ ＝ ， M ＝ 4 可得 y y ＋ ＝ ， x＋ y＝ 0，
当 λ2＝ 4 时，由
可
1 是 M 的属于 λ2＝ 4 的特征向量． 见， α2＝ 的特征向量 ． － 1
第2课时 课时
逆矩阵、 逆矩阵、特征值与 特征向量
选修4-2
矩阵与变换
栏目导引
1.基本概念 基本概念 (1)逆变换：设 ρ 是一个线性变换，如果存在 逆变换： 是一个线性变换， 逆变换 线性变换 σ，使得 σρ＝ρσ＝I，则称变换 ρ ， ＝ ＝ ， 可逆， 的逆变换． 可逆，且称 σ 是 ρ 的逆变换． (2)逆矩阵：设 A 是一个二阶矩阵，如果存在 逆矩阵： 是一个二阶矩阵， 逆矩阵 二阶矩阵 B，使得 BA＝AB＝E，则称矩阵 A ， ＝ ＝ ， 可逆， 的逆矩阵． 可逆，且称 B 是 A 的逆矩阵．
2012年金版新学案新编高三总复习第四章 第4课时
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
栏目导引
1．在复平面内，复数z＝i(1＋2i)对应的点 ．在复平面内，复数 ＝ ＋ 对应的点 位于( ) 位于 A．第一 B．第二象限 ． ． C．第三象限 D．第四象限 ． ．
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
栏目导引
计算： 【变式训练】 2.计算： 变式训练】 计算 )(2＋ ) (－1＋i)( ＋i) ＋ )( (1＋2i)2＋3(1－i) ＋ ) ( －) (1) . ；(2) 3 i 2＋i ＋
)(2＋ ) (－1＋i)( ＋i) －3＋i ＋ )( ＋ 解析： ＝－1－ 解析： (1) ＝ ＝－ －3i. i3 －i (1＋2i)2＋3(1－i) －3＋4i＋3－3i ＋ ) ( －) ＋ ＋ － i (2) ＝ ＝ 2＋i 2＋i 2＋i ＋ ＋ ＋ i(2－i) ( －) ＝ 5 1 2 ＝5＋5i.
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
栏目导引
4＋2i ＋ 解析： 解析： (1) －(1－i)2＝ － 1－2i － )(1＋ ) (4＋2i)( ＋2i) ＋ )( ＋2i )(1＋ ) (1－2i)( ＋2i) － )( 10i ＝ 5 ＋2i＝4i. ＝ 1＋2i ＋ (2)∵ ∵ ＝1＋i， ＋， a＋bi ＋ )(1－ ) 1＋2i (1＋2i)( －i) 3＋i ＋ )( ＋ ＋ ＝ ＝ 2 ， ∴a＋bi＝ ＋ ＝ )(1－ ) 1＋i (1＋i)( －i) ＋ )( ＋ 3 1 ∴a＝2，b＝2. ＝ ＝ 答案： 答案： (1)D (2)A
2012年金版新学案新编高三总复习选修4-5 第1课时
1.f (x )＝|3－x |＋|x －2|的最小值为________． 解析： ∵|3－x |＋|x －2|≥|(3－x )＋(x －2)|＝1， ∴f (x )min ＝1. 答案： 12．(2009·广东卷)不等式|x ＋1||x ＋2|≥1的实数解为________．解析： |x ＋1||x ＋2|≥1⇔⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋1|≥|x ＋2|，x ＋2≠0，⇔⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2≥(x ＋2)2，x ＋2≠0， 即⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1＋x ＋2)(x ＋1－x －2)≥0，x ≠－2，， 解得x ≤－32且x ≠－2.答案： (－∞，－2)∪⎝⎛⎦⎤－2，－32 3．不等式|x －x 2－2|>x 2－3x －4的解集是________．解析： ∵|x －x 2－2|＝|x 2－x ＋2|， 而x 2－x ＋2>0恒成立，∴原不等式等价于x 2－x ＋2>x 2－3x －4， 即2x >－6，x >－3.∴原不等式的解集为(－3，＋∞)． 答案： (－3，＋∞) 4．(2010·陕西卷)不等式|x ＋3|－|x －2|≥3的解集为________． 解析： 当x ≥2时，原不等式化为x ＋3－(x －2)≥3. 解得x ≥2；当－3<x <2时，原不等式化为x ＋3－(2－x )≥3， 解得1≤x <2；当x ≤－3时，原不等式化为－x －3－(2－x )≥3，无解． 综上，x 的取值范围为x ≥1. 答案： {x |x ≥1}5．如果关于x 的不等式|x －3|－|x －4|<a 的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________．解析： a >(|x －3|－|x －4|)min ，令y ＝|x －3|－|x －4|， 由几何意义得－1≤y ≤1，故a >－1. 答案： a >－16．若不等式⎪⎪⎪⎪x ＋1x >|a －2|＋1对于一切非零实数x 均成立，则实数a 的取值范围是________．解析： ∵⎪⎪⎪⎪x ＋1x ≥2，∴|a －2|＋1<2， 即|a －2|<1，解得1<a <3. 答案： (1,3) 7．(2009·福建卷)解不等式：|2x －1|<|x |＋1.解析： 当x <0时，原不等式可化为－2x ＋1<－x ＋1，解得x >0，又∵x <0，∴x 不存在；当0≤x <12时，原不等式可化为－2x ＋1<x ＋1，解得x >0，又∵0≤x <12，∴0<x <12；当x ≥12时，原不等式可化为2x －1<x ＋1，解得x <2，又∵x ≥12，∴12≤x <2.综上，原不等式的解集为{x |0<x <2}． 8．解不等式|x ＋1|＋|x －2|<x 2＋1.解析： 当x ≤－1时，原不等式可化为 －(x ＋1)－(x －2)<x 2＋1， 解得x <－2或x >0. ∴x <－2.当－1<x <2时，原不等式可化为(x ＋1)－(x －2)<x 2＋1， 解得x <－2或x > 2. ∴2<x <2.当x ≥2时，原不等式可化为(x ＋1)＋(x －2)<x 2＋1， 解得x ∈R . ∴x ≥2.综上所述，原不等式的解集为(－∞，－2)∪(2，＋∞)． 9．(2009·海南、宁夏卷)如图，O 为数轴的原点，A ，B ，M 为数轴上三点，C 为线段OM 上的动点，设x 表示C 与原点的距离，y 表示C 到A 距离的4倍与C 到B 距离的6倍的和．(1)将y 表示为x 的函数；(2)要使y 的值不超过70，x 应该在什么范围内取值？ 解析： (1)y ＝4|x －10|＋6|x －20|,0≤x ≤30.(2)依题意，x 满足⎩⎪⎨⎪⎧4|x －10|＋6|x －20|≤70，0≤x ≤30.解不等式组，其解集为[9,23]． 所以x ∈[9,23]．10．函数f (x )＝ax ＋b ，当|x |≤1时，都有|f (x )|≤1， 求证：|b |≤1，|a |≤1.证明： 由|f (x )|≤1，令x ＝0得|f (0)|≤1， ∴|b |≤1.由|f (1)|＝|a ＋b |≤1，|f (－1)|＝|－a ＋b |≤1. ∴2|a |＝|a ＋b ＋a －b |≤|a ＋b |＋|a －b |≤2. ∴|a |≤1. 11．(2010·福建厦门)已知函数f (x )＝|x －4|－|x －2|. (1)作出函数y ＝f (x )的图象； (2)解不等式|x －4|－|x －2|>1.解析： (1)依题意可知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2 x >4，－2x ＋6 2≤x ≤4，2 x <2.则函数y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由函数y ＝f (x )的图象容易求得原不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，52.12．(2010·新课标全国卷)设函数f (x )＝|2x －4|＋1.(1)画出函数y ＝f (x )的图象；(2)若不等式f (x )≤ax 的解集非空，求a 的取值范围．解析： (1)由于f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋5，x <2，2x －3，x ≥2，则函数y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由函数y ＝f (x )与函数y ＝ax 的图象可知，当且仅当a ≥12或a <－2时，函数y ＝f (x )与函数y ＝ax 的图象有交点．故不等式f (x )≤ax 的解集非空时，a 的取值范围为(－∞，－2)∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞.13．已知函数f (x )＝|x －3|－2，g (x )＝－|x ＋1|＋4. (1)若函数f (x )值不大于1，求x 的取值范围；(2)若不等式f (x )－g (x )≥m ＋1的解集为R ，求m 的取值范围． 解析： (1)由题意得f (x )≤1，即|x －3|－2≤1， 得|x －3|≤3.解得0≤x ≤6，∴x 的取值范围是[0,6]． (2)f (x )－g (x )＝|x －3|＋|x ＋1|－6，因为对于∀x ∈R ，由绝对值的三角不等式得 f (x )－g (x )＝|x －3|＋|x ＋1|－6＝|3－x |＋|x ＋1|－6 ≥|(3－x )＋(x ＋1)|－6＝4－6＝－2. 于是有m ＋1≤－2，得m ≤－3， 即m 的取值范围是(－∞，－3]．14．已知函数f (x )＝log 2(|x －1|＋|x －5|－a )． (1)当a ＝2时，求函数f (x )的最小值；(2)当函数f (x )的定义域为R 时，求实数a 的取值范围．【解析方法代码108001171】解析： (1)函数的定义域满足：|x －1|＋|x －5|－a >0， 即|x －1|＋|x －5|>a ， 设g (x )＝|x －1|＋|x －5|，则g (x )＝|x －1|＋|x －5|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －6 (x ≥5)，4 (1<x <5)，6－2x (x ≤1).g (x )min ＝4，f (x )min ＝log 2(4－2)＝1.(2)由(1)知，g (x )＝|x －1|＋|x －5|的最小值为4. |x －1|＋|x －5|－a >0，∴a <4，∴a 的取值范围是(－∞，4)． 15．(2010·福建卷)已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，若f (x )＋f (x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围． 解析： 方法一：(1)由f (x )≤3得|x －a |≤3， 解得a －3≤x ≤a ＋3.又已知不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －3＝－1，a ＋3＝5，解得a ＝2.(2)当a ＝2时，f (x )＝|x －2|. 设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)，于是g (x )＝|x －2|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －1，x <－3；5，－3≤x ≤2；2x ＋1，x >2.所以当x <－3时，g (x )>5；当－3≤x ≤2时，g (x )＝5； 当x >2时，g (x )>5.综上可得，g (x )的最小值为5.从而，若f (x )＋f (x ＋5)≥m ，即g (x )≥m 对一切实数x 恒成立，则m 的取值范围为(－∞，5]．方法二：(1)同方法一．(2)当a ＝2时，f (x )＝|x －2|.设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)．由|x －2|＋|x ＋3|≥|(x －2)－(x ＋3)|＝5(当且仅当－3≤x ≤2时等号成立)得，g (x )的最小值为5.从而，若f (x )＋f (x ＋5)≥m ，即g (x )≥m 对一切实数x 恒成立，则m 的取值范围为(－∞，5]．16．已知a ，b ，c 是实数，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，g (x )＝ax ＋b ，当－1≤x ≤1时，|f (x )|≤1.求证：(1)|c |≤1；(2)当－1≤x ≤1时，|g (x )|≤2. 【解析方法代码108001172】证明： (1)∵当－1≤x ≤1时，|f (x )|≤1， ∴取x ＝0，有|c |＝|f (0)|≤1，即|c |≤1. (2)∵g (x )＝ax ＋b 的图象是一条直线， ∴只需证明|g (－1)|≤2，且|g (1)|≤2. 由已知|f (－1)|≤1，|f (1)|≤1， 又由(1)知|c |≤1，∴|g(－1)|＝|－a＋b|＝|－f(－1)＋c|≤|f(－1)|＋|c|≤1＋1＝2. ∴|g(－1)|≤2，同理|g(1)|≤2.∴当－1≤x≤1时，|g(x)|≤2.。
2012年金版新学案新编高三总复习选修4-4 第2课时
栏目导引
变式训练】 【变式训练】 方程． 方程．
x＝ 3k 2 ＝ 1＋k ＋ (1) 6k 6 2 ＝ y＝1＋k2 ＋
1.将下列参数方程化为普通 将下列参数方程化为普通
x＝1－sin 2θ ＝ － . ；(2) ＝ ＋ y＝sin θ＋ cos θ
(1)将曲线 C 的参数方程化为普通方程； 将曲线 的参数方程化为普通方程； (2)若直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点，求线段 AB 若直线 、 两点， 的长． 的长．
选修4-4 坐标系与参数方程
栏目导引
解析： 解析：
(1)x2＋ y2＝16. x＝ 3＋1t ＝ ＋ 2 2 2 (2)将 将 代入 x ＋ y ＝16，并整理 ， 3 ＝ ＋ y＝ 2＋ 2 t
解析： 解析： 将椭圆 C1 的参数方程代入 C2： y2＝ 3 6x－ ， － 2 3 2 整理得 3sin φ＝6m＋2cos φ－ ， ＝ ＋ － 2 ∴1－ cos2φ＝2m＋ 4cos φ－ 3， － ＝ ＋ － ， 即 (cos φ＋ 2)2＝ 8－2m. ＋ － ∵1≤(cos φ＋ 2)2≤9， ≤ ＋ ， ∴1≤8－ 2m≤9. ≤ － ≤ 1 7 解得－ ≤m≤ . 解得－ ≤ 2 2 1 7 ∴当 C1∩C2≠∅时，m∈－ ， . ∈ 2 2
选修4-4
坐标系与参数方程
栏目导引
(1)化 C1，C2 的方程为普通方程，并说明它们分 化 的方程为普通方程， 别表示什么曲线； 别表示什么曲线； π (2)若 C1 上的点 P 对应的参数为 t＝ ，Q 为 C2 若 ＝ 2 上 的 动 点 ， 求 PQ 中 点 M 到 直 线 C3 ：
2012年金版新学案新编高三总复习选修4-1 第2课时
栏目导引
6．平行射影 ． (1)正射影的定义：给定一个平面 α，从一点 A 正射影的定义： 正射影的定义 ， 的垂线， 作平面 α 的垂线，垂足为点 A′，称点 A′为 ′ ′ 上的正射影． 点 A 在平面 α 上的正射影． (2)平行射影的定义：设直线 l 与平面 α 相交， 平行射影的定义： 相交， 平行射影的定义 的方向为投影方向． 称直线 l 的方向为投影方向．过点 A 作平行于 l 的直线 称为投影线 必交 α 于一点 A′，称点 的直线(称为投影线 称为投影线)必交 ′ A′为 A 沿 l 的方向在平面 α 上的平行射影． ′ 上的平行射影．
选修4-1
几何证明选讲
栏目导引
5．与圆有关的比例线段 ． (1)相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的 相交弦定理 圆内的两条相交弦， 两条线段长的____相等 相等． 两条线段长的 积 相等． (2)割线定理 从圆外一点引圆的两条割线，这一点 割线定理 从圆外一点引圆的两条割线， 到每条割线与圆的交点的两条线段长的____相等 相等． 到每条割线与圆的交点的两条线段长的 积 相等． (3)切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线， 切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线， 切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的 __________． 比例中项 ． (4)切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线， 的切线长相等， 的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线 的______． 夹角 ．
选修4-1 几何证明选讲
栏目导引
(2)因为 AC 是⊙O 的切线，所以 AE2＝AD·AB. 因为 的切线， 因为 AE＝6 2， AD＝6，所以 ＝ ， ＝ ，所以(6 2)2＝ 6×AB， × ， 解得 AB＝12，则 OD＝ OB＝3. ＝ ， ＝ ＝ AO OE 9 3 因为 EO∥ CB，所以 ＝ ，所以 ＝ ， ∥ ， 12 BC AB BC 解得 BC＝4. ＝
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第四章
平面向量、数系的扩充与复数的引入
栏目导引
4．数量积的坐标运算 ． 设 a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则 ＝ ， ＝ ， (1)a·b＝______________. ＝ a1b1＋a2b2 (2)a⊥b⇔______________. ⊥ ⇔ a1b1＋a2b2＝0
a2＋a2 1 2 (3)|a|＝_________ ＝_________.
第四章
平面向量、数系的扩充与复数的引入
栏目导引
3．数量积的运算律 ． (1)交换律 交换律a·b＝_______. ＝ b·a 交换律 · ＋ · (2)分配律(a＋b)·c＝___________. (2)分配律 分配律(a＋b)·c＝ a·c＋b·c ( )· ＝ a·(λb) ． ·( ) (λa)·b (3)对λ∈R，λ（a·b）＝_______＝_______． 对 ∈ ， （ ）
第四章
平面向量、数系的扩充与复数的引入
栏目导引
解析： AB＝ ， 解析： (1)在△ABC 中， C＝90°， ＝5， 在 ∠ ＝ ， AC＝4， ＝ ， 3 故 BC＝3，且 cos∠ABC＝5， ＝ ， ∠ ＝ → → AB与BC的夹角 θ＝π－∠ABC， ＝ － ， → → → → ∴ AB · BC ＝ － | AB || BC |cos ∠ ABC ＝ － 3 5×3× ＝－ ×引入
栏目导引
(2)∵(a＋2b)⊥(2a－b)，∴(a＋2b)·(2a－b)＝0 ∵ ＋ ⊥ － ， ＋ － ＝ 即 2a2＋3a·b－2b2＝0.∴2|a|2＋3a·b－2|b|2＝0 － ∴ － 5 5 ∴2×5＋3a·b－2×4＝0，∴a·b＝－2， × ＋ － × ， ＝－ a·b ＝－1， ∴cos θ＝|a||b|＝－ ，∵θ∈[0，π]，∴θ＝π. ＝ ∈ ， ， ＝
栏目导引
平面向量夹角与垂直
1．当 a，b 是非坐标形式时，求 a 与 b 的夹 ． ， 是非坐标形式时， |b|或得出它们的关系 角， 需求得 a·b 及|a|， 或得出它们的关系． ， 或得出它们的关系． 2． 2． 的坐标， 若已知 a 与 b 的坐标， 则可直接利用公式 x1x2＋y1y2 cos θ＝ 2 2 2 2来求夹角； 来求夹角； ＝ x1＋y1 x2＋y2 非零向量 a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. ⊥ ⇔ ＝ ⇔
第四章
平面向量、数系的扩充与复数的引入
栏目导引
已知 a、b、c 是同一平面内的三个向量，其中 、 、 是同一平面内的三个向量， a＝(1,2)， ＝ ， (1)若|c|＝2 5，且 c∥a，求 c 的坐标； 的坐标； 若 ＝ ， ∥ ， 5 (2)若|b|＝ ，且 a＋2b 与 2a－b 垂直，求 a 若 ＝2 ＋ － 垂直， 与 b 的夹角 θ.
第四章
平面向量、数系的扩充与复数的引入
栏目导引
(2)A、B、C 为平面内不共线的三点，若向量 、 、 为平面内不共线的三点， → → → AB＝(1,1)， ＝(1， ， n·AC＝2， n·BC n＝ ， －1)， ， － 且 ， 则 等于( ) 等于 A．－ ．－2 B．2 ．－ ． C．－ 或 2 ．－2 D．0 ．－ ．
第3课时
平面向量的数量积及平 面向量应用举例
第四章
平面向量、数系的扩充与复数的引入
栏目导引
1．平面向量数量积的意义 ． (1)a，b是两个非零向量，它们的夹角为θ，则 (1)a，b是两个非零向量 它们的夹角为θ， 是两个非零向量， 叫做a与 的数量积 记作a·b， 的数量积， 数|a|·|b|·cos θ叫做 与b的数量积，记作 叫做 ， 规定0·a＝0. 即a·b＝_____________.规定 ＝ |a|·|b|·cos θ 规定 ＝ 当a⊥b时，θ＝90°，这时a·b＝__. ⊥ 时 ＝ ° 这时 ＝0 (2)a·b的几何意义 的几何意义 a·b等于 的长度 与b在a的方向上的 等于a的长度 等于 的长度|a|与 在 的方向上的 投影|b|cos θ的乘积 ． 投影 的乘积 __________________．
第四章
平面向量、数系的扩充与复数的引入
栏目导引
→ → 解析： 解析： (1)由AP＝2PM知，P 为△ABC 的 由 → → → 重心，根据向量的加法， 重心，根据向量的加法，PB＋PC＝2PM， → → → → → → → 则AP·(PB＋PC)＝2AP·PM＝2|AP||PM|·cos 0° ＝ 2 1 4 ＝2×3×3×1＝9.故选 A. × ＝ 故选
a1b1＋a2b2 2 2 2 2 (4)cos〈a，b〉＝ a1＋a2 b1＋b2 〉＝_________________. 〈 ， 〉＝
第四章
平面向量、数系的扩充与复数的引入
栏目导引
1． ． (2010·重庆卷 已知向量 a， 满足 a·b＝0， 重庆卷)已知向量 ， b 重庆卷 ＝ ， |a|＝1，|b|＝2，则|2a－b|＝( ) ＝ ， ＝ ， － ＝ A．0 B．2 2 ． ． C． C．4 D． D．8
答案： 答案： 29 2 10
第四章
平面向量、数系的扩充与复数的引入
栏目导引
平面向量的数量积的运算
向量的数量积有两种计算方法，一是利用公 向量的数量积有两种计算方法 ， 来计算， 式 a·b＝|a||b|cos θ 来计算， ＝ 二是利用 a·b＝x1x2 ＝ 来计算， ＋y1y2 来计算， 具体应用时可根据已知条件的 特征来选择， 特征来选择， 同时要注意数量积运算律的应 用．
第四章
平面向量、数系的扩充与复数的引入
栏目导引
5． a＝ ( － 1,1)， b＝ (3,4) ， 则 a＋ b 的模为 ． ＝ ， ＝ ＋ ________， 与 b 的夹角的余弦值为________． ， a 的夹角的余弦值为 ．
解析： ＋ ＝ 解析： a＋b＝(2,5)，∴|a＋b|＝ 22＋52＝ ， ＋ ＝ 29. ＋ a·b －3＋4 1 2 又 cos θ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ . |a||b| 2×5 5 2 10 ×
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
栏目导引
上的投影是向量吗？ 【思考探究】 1.b 在 a 上的投影是向量吗？ 思考探究】
提示： 不是， 提示： 不是，b 在 a 上的投影是一个数 量|b|cos θ，它可以为正，可以为负，也可 ，它可以为正，可以为负， 以为 0.
第四章
平面向量、数系的扩充与复数的引入
解析： 解析 ：
|2a－ b|2 ＝ (2a－ b)2 ＝ 4|a|2 － 4a·b＋ |b|2 － － ＋
＝4×1－4×0＋4＝8，∴|2a－b|＝2 2. × － × ＋ ＝ ， － ＝
答案： 答案：
B
第四章
平面向量、数系的扩充与复数的引入
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2．已知|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则向量 ．已知 ＝ ， ＝ ， － ＝ ， a 与 b 的夹角是( 的夹角是 ) π π A. B. 6 4 π π C. D. 2 3 解析： 解析： ∵a·(b－a)＝a·b－a2＝2，∴a·b＝2＋ － ＝ － ， ＝ ＋ a2＝3. a·b 3 1 ∴cos〈a·b〉＝|a||b|＝ 〈 〉＝ ＝2，∴a 与 b 的夹 1×6 × π 角为 . 3 答案： 答案： C
第四章
平面向量、数系的扩充与复数的引入
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数量积的运算满足结合律吗？ 【思考探究】 2.数量积的运算满足结合律吗？ 思考探究】 数量积的运算满足结合律吗
提示： 数量积的运算不满足结合律， 提示： 数量积的运算不满足结合律， (a·b)c 即 不成立． ＝a(b·c)不成立．这是由于 不成立 这是由于(a·b)c 表示一个与 c 共线的向量， 共线的向量，而 a(b·c)表示一个与 a 共线的向 表示一个与 一般是不相等的． 一般是不相等的 量，因此(a·b)c 与 a(b·c)一般是不相等的． 因此
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2．向量数量积的性质 ． 〈 ， 〉 (1)如果 e 是单位向量， a·e＝e·a＝___________． 如果 是单位向量， 则 ＝ ＝ |a|cos〈a，e〉 ． (2)a⊥b⇒_________且 a·b＝0⇒______. ⊥ ⇒ a·b＝0 且 ＝ ⇒ a⊥b ＝ ⊥ |a|2 (3)a·a＝____，|a|＝ (3)a·a＝____，|a|＝ a·a. a·b (4)cos〈a，b〉＝ |a|·|b| 〉＝________. 〈 ， 〉＝ ≤ (5)|a·b|____|a||b|.
第四章
平面向量、数系的扩充与复数的引入
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解析： y)， 解析： (1)设 c＝(x， ， c∥a 和|c|＝2 5 设 ＝ ， 由 ∥ ＝ 可得 1·y－2·x＝0 x＝2 x＝－ ＝－2 － ＝ ＝ ＝－ 2 ， ∴ 或 ， 2 ＝－4 ＝ ＝－ x ＋y ＝20 y＝4 y＝－ ，－4)． ∴c＝(2,4)或 c＝(－2，－ ． ＝ 或 ＝ － ，－
第四章
平面向量、数系的扩充与复数的引入
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解析： 解析： 设 c＝(x，y)，则 c＋a＝(x＋1，y＋ ＝ ， ， ＋ ＝ ＋ ， ＋ 2)， ， 又(c＋a)∥b，∴2(y＋2)＋3(x＋1)＝0.① ＋ ∥ ， ＋ ＋ ＋ ＝ ① ，－1)＝ － ＝ 又 c⊥(a＋b)，∴(x，y)·(3，－ ＝3x－y＝0. ⊥ ＋ ， ， ，－ ② 7 7 ①②得 ＝－ 解①②得 x＝－9，y＝－3. ＝－ 答案： 答案： D
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
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3．已知向量 a＝(1,2)，b＝(2，－ ．若向量 c ． ，－3)． ＝ ， ＝ ，－ 满足(c＋ ∥ ， ⊥ ＋ ， ) 满足 ＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则 c＝( ＝ 7 7 7 7 A.9，3 B.－3，－9 7 7 7 7 ， － ，－ C.3 9 D. 9 3